Оюутан, сургуулийн сурагчдад хамрагдсан материалаа бүрэн нэгтгэж, практик ур чадвараа сургах сайт дээрх онлайн хязгаарын тооцоолуур. Манай нөөцийн онлайн хязгаарын тооцоолуурыг хэрхэн ашиглах вэ? Үүнийг маш амархан хийж болно, та зүгээр л боломжтой талбарт анхны функцийг оруулаад, сонгогчоос хувьсагчийн шаардлагатай хязгаарын утгыг сонгоод "Шийдвэр" товчийг дарна уу. Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт хязгаарын утгыг тооцоолох шаардлагатай бол энэ цэгийн утгыг тоон эсвэл бэлгэдлийн утгыг оруулах хэрэгтэй. Онлайн хязгаарын тооцоолуур нь өгөгдсөн цэг, функцийг тодорхойлох интервал дахь хязгаар, хязгаарын утга, судалж буй функцийн аргумент нь өгөгдсөн зүйл рүү яарах үед энэ утгыг олоход тусална. цэг нь хязгаарын шийдэл юм. Манай вэбсайт дээрх онлайн хязгаарын тооцоолуур дээр үндэслэн бид дараахь зүйлийг хэлж чадна - Интернет дээр маш олон тооны аналогууд байдаг, та зохистойг нь олох боломжтой, та зүгээр л тэднийг шаргуу хайх хэрэгтэй. Гэхдээ энд нэг сайт өөр сайтаас ялгаатай гэдэгтэй тулгарах болно. Тэдний олонх нь биднээс ялгаатай нь онлайн хязгаарын тооцоолуур огт санал болгодоггүй. Хэрэв та Yandex эсвэл Google гэх мэт алдартай хайлтын системээс "Онлайн хязгаарын тооцоолуур" гэсэн хэллэгийг ашиглан сайт хайж байгаа бол хайлтын үр дүнгийн дээд хэсэгт сайт гарч ирнэ. Энэ нь эдгээр хайлтын системүүд бидэнд итгэдэг гэсэн үг бөгөөд манай сайт дээр зөвхөн өндөр чанартай контент байдаг бөгөөд хамгийн чухал нь сургууль, их дээд сургуулийн оюутнуудад хэрэгтэй! Хязгаарын тооцоолуур болон ерөнхийдөө хязгаарт хүрэх онолын тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо хөрш зэргэлдээх ойлголтыг ихэвчлэн томъёолдог. Энд функцүүдийн хязгаар, түүнчлэн эдгээр хязгаарын шийдлийг зөвхөн функцийг тодорхойлох мужийг хязгаарлаж буй цэгүүдэд судалж, ийм цэгийн ойр орчмын нутаг дэвсгэр бүрт функцийн тодорхойлолтын хүрээний цэгүүд байдаг гэдгийг мэддэг. энэ функц. Энэ нь өгөгдсөн цэг рүү хувьсах функцийн хандлагын талаар ярих боломжийг бидэнд олгодог. Хэрэв функцийн тодорхойлолтын домэйны аль нэг цэгт хязгаар байгаа бөгөөд энэ үед онлайн хязгаарын тооцоолуур функцийн хязгаарын нарийвчилсан шийдлийг гаргадаг бол энэ үед функц тасралтгүй болж хувирна. Шийдэл бүхий манай онлайн хязгаарын тооцоолуур эерэг үр дүнг өгөөч, бид үүнийг бусад сайтууд дээр шалгах болно. Энэ нь манай нөөцийн чанарыг баталж чадах бөгөөд олон хүн аль хэдийн мэдэж байгаачлан энэ нь хамгийн сайн бөгөөд хамгийн өндөр магтаал хүртэх ёстой. Үүний зэрэгцээ нарийн шийдэл бүхий онлайн тооны машины хязгаарыг бие даан, гэхдээ мэргэжлийн багшийн нарийн хяналтан дор судлах боломжтой. Ихэнхдээ энэ үйлдэл нь хүлээгдэж буй үр дүнд хүргэдэг. Шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь улирлын эхэнд багшийн өгсөн нарийн төвөгтэй асуудлыг нарийвчлан тайлбарлах болно гэж бүх оюутнууд мөрөөддөг. Гэхдээ энэ нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Та эхлээд онолыг судалж, дараа нь үнэгүй тооны машин ашиглах хэрэгтэй. Онлайн хязгаарлалттай адил тооцоолуур нь танд шаардлагатай оруулгуудыг нарийвчлан өгөх бөгөөд та үр дүндээ сэтгэл хангалуун байх болно. Гэхдээ тодорхойлолтын хүрээний хязгаарлах цэг нь энэ тодорхойлолтод хамаарахгүй байж болох бөгөөд энэ нь хязгаарын тооцоолуурыг онлайнаар нарийвчлан тооцоолсноор нотлогддог. Жишээ нь: бид функцийг тодорхойлсон нээлттэй сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн хязгаарыг авч үзэж болно. Энэ тохиолдолд сегментийн хил хязгаар нь өөрөө тодорхойлолтын домэйнд ороогүй болно. Энэ утгаараа энэ цэгийн хөршүүдийн систем нь ийм дэд бүлгийн суурийн онцгой тохиолдол юм. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь бодит цаг хугацаанд бүтээгдэж, өгөгдсөн тодорхой аналитик хэлбэрээр томъёог ашигладаг. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур ашиглан функцийн хязгаар нь дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм: анх цэг дээрх функцийн хязгаарыг домэйны элементүүдийн дарааллын хязгаар гэж ойлгодог байв. Өгөгдсөн цэг рүү ойртож буй функцийг тодорхойлох домэйны элементүүдийн дарааллын цэгүүдийн зургуудаас бүрдэх функцийн утгууд (хязгаарыг харгалзан үзэх); хэрэв ийм хязгаар байгаа бол функцийг заасан утгад нэгтгэнэ гэж хэлнэ; хэрэв тийм хязгаар байхгүй бол функцийг диверс гэж хэлнэ. Ерөнхийдөө хязгаарт хүрэх онол бол бүх математик шинжилгээний үндсэн ойлголт юм. Бүх зүйл хязгаарт хүрэх гарц дээр тулгуурладаг, өөрөөр хэлбэл хязгаарын нарийвчилсан шийдэл нь математик анализын шинжлэх ухааны үндэс суурь бөгөөд онлайн хязгаарын тооцоолуур нь оюутны сургалтын үндэс суурийг тавьдаг. Вэбсайт дахь нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь бодит цаг хугацаанд үнэн зөв, шуурхай хариулт авах өвөрмөц үйлчилгээ юм. Оюутнууд математикийн анализыг анх судлахдаа хязгаарлалтыг шийдвэрлэхэд тэр даруй бэрхшээлтэй тулгардаг нь ховор биш юм. Манай үйлчилгээнд онлайнаар тооны машин ашиглан хязгаарыг шийдвэрлэх нь үнэн зөв, өндөр чанартай хариулт авах түлхүүр гэдгийг бид баталж байна, та хэдхэн секундын дотор тооны машин ашиглан хязгаарын нарийвчилсан шийдлийн хариултыг авах болно. тэр даруй. Хэрэв та буруу өгөгдөл, өөрөөр хэлбэл систем хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй тэмдэгт оруулбал зүгээр, үйлчилгээ танд алдааны талаар автоматаар мэдэгдэх болно. Өмнө нь оруулсан функцийг (эсвэл хязгаарын цэгийг) засч, онлайн хязгаарын тооцоолуур ашиглан зөв нарийвчилсан шийдлийг аваарай. Бидэнд итгээрэй, бид чамайг хэзээ ч урам хугарахгүй. Та сайтыг хялбархан ашиглах боломжтой бөгөөд шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь асуудлыг тооцоолох алхам алхмаар үйлдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Та хэдхэн секунд хүлээх хэрэгтэй бөгөөд та хүссэн хариултаа хүлээн авах болно. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн тооны машин ашиглан хязгаарлалтыг шийдэхийн тулд бүх боломжит аргуудыг ашигладаг, ялангуяа L'Hopital-ийн аргыг ихэвчлэн ашигладаг, учир нь энэ нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд функцийн хязгаарыг тооцоолох бусад аргуудаас илүү хурдан хариу өгөхөд хүргэдэг. Ихэнхдээ тооны дарааллын нийлбэрийг тооцоолохын тулд хязгаарын тооцоолуур бүхий онлайн дэлгэрэнгүй шийдэл шаардлагатай байдаг. Та мэдэж байгаагаар тоон дарааллын нийлбэрийг олохын тулд та энэ дарааллын хэсэгчилсэн нийлбэрийг зөв илэрхийлэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь манай үнэгүй үйлчилгээний вэбсайтыг ашиглан бүх зүйл энгийн байдаг, учир нь манай онлайн хязгаарын тооцоолуур ашиглан хязгаарыг хэсэгчлэн тооцоолох боломжтой. нийлбэр нь тоон дарааллын эцсийн нийлбэр болно. Вэбсайт үйлчилгээг ашиглан хязгаарын тооцоолуурыг онлайнаар хийх нарийвчилсан шийдэл нь оюутнуудад асуудлыг шийдвэрлэх явцыг харах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хязгаарын онолыг ойлгоход хялбар бөгөөд бараг бүх хүнд хүртээмжтэй болгодог. Анхаарлаа төвлөрүүлж, буруу үйлдлээсээ болж амжилтгүй дүн авах хэлбэрээр асуудал үүсгэхийг бүү зөвшөөр. Хязгаарын тооцоолуур онлайн үйлчилгээтэй аливаа нарийвчилсан шийдлийн нэгэн адил асуудлыг шийдэхийн тулд бүх дүрэм, журмын дагуу нарийвчилсан шийдэлтэй, тохиромжтой, ойлгомжтой хэлбэрээр танилцуулах болно Мөнгө, учир нь бид үүний төлөө юу ч гуйхгүй. Манай вэб сайт дээр онлайн хязгаарын тооцоолуурын нарийвчилсан шийдлийг өдөрт хорин дөрвөн цагийн турш ашиглах боломжтой. Үнэн хэрэгтээ, шийдэл бүхий бүх онлайн хязгаарын тооцоолуур нь алхам алхмаар шийдлийн явцын талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгөхгүй байж магадгүй бөгөөд бид үүнийг мартаж болохгүй. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн тооцоолуурын хязгаар нь таныг "Шийдвэр" товчийг дарж эхлэхэд эхлээд бүгдийг шалгана уу. өөрөөр хэлбэл, оруулсан функц, мөн хязгаарын утгыг шалгаад дараа нь үйлдлийг үргэлжлүүлнэ. Энэ нь таныг амжилтгүй тооцооллын зовлон зүдгүүрээс аврах болно. Дараа нь нарийвчилсан хуультай онлайн тооцоолуурын хязгаар нь алхам алхмаар үйлдлүүдийн зөв факториал дүрслэлийг өгөх болно. Хэрэв онлайн хязгаарын тооцоолуур гэнэт нарийвчилсан шийдлийг өгөхгүй бол энэ нь хэд хэдэн шалтгаан байж болно. Эхлээд бичсэн функцийн илэрхийллийг шалгана уу. Энэ нь "x" хувьсагчийг агуулсан байх ёстой, эс тэгвээс функцийг бүхэлд нь систем тогтмол гэж үзэх болно. Дараа нь хэрэв та өгөгдсөн цэг эсвэл бэлгэдлийн утгыг зааж өгсөн бол хязгаарын утгыг шалгана уу. Энэ нь зөвхөн латин үсэг агуулсан байх ёстой - энэ нь чухал юм! Дараа нь та манай гайхалтай үйлчилгээнд онлайнаар хязгаарлалтын нарийвчилсан шийдлийг олохын тулд дахин оролдоод үр дүнг нь ашиглах боломжтой. Онлайнаар шийдэх шийдлийн хязгаар нь маш хэцүү гэж хэлэхэд тэд итгэхгүй, хамгийн чухал нь сандрах хэрэггүй, бүх зүйл сургалтын хүрээнд шийдэгддэг. Бид танд сандрахгүйгээр хэдхэн минутыг манай үйлчилгээнд зориулж, өгөгдсөн дасгалыг шалгахыг зөвлөж байна. Гэсэн хэдий ч онлайн шийдлийн хязгаарлалтыг нарийвчлан шийдэж чадахгүй бол та үсгийн алдаа гаргасан байна, учир нь өөрөөр хэлбэл сайт бараг ямар ч асуудалгүйгээр шийддэг. Гэхдээ та ямар ч бэрхшээлгүйгээр, хүчин чармайлт гаргахгүйгээр хүссэн үр дүндээ шууд хүрч чадна гэж бодох шаардлагагүй. Ямар ч тохиолдолд та материалыг судлахад хангалттай цаг зарцуулах хэрэгтэй. Ил шийдлийг бүтээх үе шатанд хязгаарын тооцоолуур бүрийг шийдэлтэй онлайнаар нарийвчлан үзүүлж, эсрэгээр нь таамаглах боломжтой. Гэхдээ үүнийг хэрхэн илэрхийлэх нь хамаагүй, учир нь бид шинжлэх ухааны хандлагын үйл явцын талаар санаа зовж байна. Үүний үр дүнд бид онлайн шийдэл бүхий хязгаарын тооцоолуур нь шинжлэх ухаан болох математикийн үндсэн тал дээр хэрхэн үндэслэсэн болохыг нарийвчлан харуулах болно. Таван үндсэн зарчмыг онцолж, цаашдын үйлдлээ эхлүүлээрэй. Хүн бүрт зориулсан нарийвчилсан шийдэл бүхий хязгаарын тооцоолуур онлайнаар ашиглах боломжтой эсэхийг танаас асуухад та хариулах болно - тийм ээ! Магадгүй энэ утгаараа үр дүнд онцгой анхаарал хандуулдаггүй ч онлайн хязгаарлалт нь тухайн хичээлийг судлахад анх санагдаж байснаас арай өөр утгатай байдаг. Тэнцвэртэй арга барил, хүчний зөв тэнцвэртэй байдлын тусламжтайгаар та хамгийн богино хугацаанд онлайн хязгаарыг нарийвчлан харуулах боломжтой.! Бодит байдал дээр, шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь алхам алхмаар тооцооллын бүх үе шатыг хурдан пропорциональ байдлаар илэрхийлж эхлэх болно.
Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дээрх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарлагдмал утгыг олох, тооцоол эцсийнхязгааргүй дэх функцийн утга. Манай онлайн үйлчилгээний ачаар тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох болон бусад олон зүйлийг хийх боломжтой. Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө функцын хувьсагч болон түүний чиглэх хязгаарыг оруулдаг бөгөөд манай үйлчилгээ танд бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохТа тоон цуваа болон тогтмол илэрхийлэл агуулсан аналитик функцийг хоёуланг нь оруулж болно. Энэ тохиолдолд функцын олсон хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ нь олоход төвөгтэй аливаа асуудлыг шийддэг онлайн хязгаарлалт, функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаарын утга. Тооцоолж байна онлайн хязгаарлалт, та олж авсан үр дүнг шалгахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга, дүрмийг ашиглаж болно хязгаарлалтыг онлайнаар шийдвэрлэх www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, бичиг хэргийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарыг бие даан тооцоолоход нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Тооны дарааллын нийтлэг гишүүнийг оруулах шаардлагатай ба www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.
Математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарТэгээд дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарна онлайн хязгаарлалтхэдхэн секундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн дүүрэн байна. Математик анализын судалгаа нь дараахь үеэс эхэлдэг хязгаар руу шилжих, хязгаарДээд математикийн бараг бүх салбарт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг Онлайн хязгаарлалтын шийдэл, энэ нь сайт юм.
Төрөл ба зүйлийн тодорхойгүй байдал нь хязгаарыг шийдвэрлэх үед илчлэх шаардлагатай хамгийн түгээмэл тодорхойгүй байдал юм.
Оюутнуудад тулгардаг хязгаарлалтын асуудлуудын ихэнх нь яг ийм тодорхой бус байдлыг агуулдаг. Тэдгээрийг илчлэх, эсвэл тодорхой бус байдлаас зайлсхийхийн тулд хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийллийн төрлийг хувиргах хэд хэдэн хиймэл аргууд байдаг. Эдгээр аргууд нь дараах байдалтай байна: хуваагч ба хуваагчийг хувьсагчийн хамгийн дээд хүчинд хуваах, хосолсон илэрхийллээр үржүүлэх, квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд болон үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан дараагийн бууруулах зорилгоор үржүүлэх.
Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал
Жишээ 1.
n 2-той тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана.
.
Илэрхийллийн баруун талд тайлбар бичнэ үү. Сум ба тоонууд нь орлуулалтын дараа ямар бутархай болохыг заадаг nхязгааргүй гэсэн утгатай. Энд жишээ 2-ын адил зэрэг nХуваагч нь тоологчоос илүү их байдаг бөгөөд үүний үр дүнд бүхэл хэсэг нь хязгааргүй жижиг буюу "хэт жижиг" байх хандлагатай байдаг.
Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь -тэй тэнцүү байна.
Жишээ 2. .
Шийдэл. Энд хувьсагчийн хамгийн их хүч байна x 1-тэй тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана x:
.
Шийдвэрийн явцын талаарх тайлбар. Тоолуур дээр бид "x"-ийг гуравдугаар зэргийн язгуур дор хөтлөх ба анхны зэрэг (1) өөрчлөгдөхгүй байхын тулд бид үүнийг үндэстэй ижил зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 3-аар онооно. Сум эсвэл нэмэлт тоо байхгүй байна. Энэ оруулгад оюун ухаанаараа оролдоод үзээрэй, гэхдээ өмнөх жишээтэй адилтгаж "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулсны дараа тоо болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ямар хандлагатай байгааг тодорхойл.
Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү гэсэн хариултыг авсан.
Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал
Жишээ 3.Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол.
Шийдэл. Тоолуур нь кубын зөрүү юм. Сургуулийн математикийн хичээлийн товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя.
Хуваагч нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар үржвэрлэх болно (квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх холбоос):
Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан илэрхийлэлийг бичиж, функцийн хязгаарыг олъё.
Жишээ 4.Тодорхойгүй байдлын түгжээг тайлж, хязгаарыг олоорой
Шийдэл. Хэмжилтийн хязгаарын теорем энд хамаарахгүй, учир нь
Тиймээс бид бутархайг ижил байдлаар хувиргадаг: тоологч ба хуваагчийг хоёрын нэгдэлээр хуваагч руу үржүүлж, хуваах замаар бууруулна. x+1. Теорем 1-ийн үр дүнд үндэслэн бид илэрхийлэлийг олж, үүнийг шийдэж, хүссэн хязгаараа олно.
Жишээ 5.Тодорхойгүй байдлын түгжээг тайлж, хязгаарыг олоорой
Шийдэл. Шууд утгыг орлуулах xӨгөгдсөн функцийн = 0 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Үүнийг илрүүлэхийн тулд бид ижил өөрчлөлтүүдийг хийж, эцэст нь хүссэн хязгаарыг олж авдаг. 
Жишээ 6.Тооцоол 
Шийдэл:Хязгаарын талаархи теоремуудыг ашиглая
Хариулт: 11
Жишээ 7.Тооцоол 
Шийдэл:Энэ жишээнд тоологч ба хуваагчийн хязгаар 0-тэй тэнцүү байна:
; 
. Тиймээс бид хуваалтын хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй гэж хүлээн авсан.
Бутархайг тэг рүү чиглэсэн нийтлэг хүчин зүйлээр багасгахын тулд тоологч ба хуваагчийг үржвэр болгон хувацгаая, тэгэхээр теорем 3-ыг ашиглах боломжтой болгоё.
Бид x 1 ба x 2 нь гурвалсан гишүүний үндэс болох томъёог ашиглан тоологч дахь квадрат гурвалжийг өргөжүүлнэ. Үржүүлэгчид болон хуваагчийг хийсний дараа бутархайг (x-2) бууруулж, теорем 3-ыг хэрэгжүүлнэ.
Хариулт:
Жишээ 8.Тооцоол
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байгаа тул теорем 3-ыг шууд хэрэглэх үед бид тодорхойгүй байдлыг илэрхийлдэг илэрхийлэлийг олж авна. Энэ төрлийн тодорхойгүй байдлаас ангижрахын тулд тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваах хэрэгтэй. Энэ жишээнд та хуваах хэрэгтэй X:
Хариулт:
Жишээ 9.Тооцоол 
Шийдэл: x 3:
Хариулт: 2
Жишээ 10.Тооцоол 
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй хандлагатай байх үед. Тоолуур ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваацгаая, i.e. x 5:
= 
Бутархайн хуваагч нь 1, хуваагч нь 0, тиймээс бутархай нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.
Хариулт:
Жишээ 11.Тооцоол
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй хандлагатай байх үед. Тоолуур ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваацгаая, i.e. x 7:
Хариулт: 0
Дериватив.
y = f(x) функцын x аргументтай холбоотой деривативаргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байх үед y-ийн өсөлтийн х аргументийн x-ийн харьцааны хязгаар гэнэ: . Хэрэв энэ хязгаар хязгаарлагдмал бол функц у = f(x) x дээр дифференциалагдах боломжтой гэж хэлдэг. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол тэд функц гэж хэлдэг у = f(x)х цэг дээр хязгааргүй дериватив байна.
Үндсэн үндсэн функцүүдийн деривативууд:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Ялгах дүрэм:
а) 
V) 
Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол 
Шийдэл:Хэрэв хоёр дахь гишүүний деривативыг бутархайг ялгах дүрмийг ашиглан олвол эхний гишүүн нь нарийн төвөгтэй функц бөгөөд деривативыг дараах томъёогоор олно.
, Хаана 
, Дараа нь
Шийдвэрлэхдээ дараах томъёог ашигласан: 1,2,10,a,c,d.
Хариулт:
Жишээ 21.Функцийн деривативыг ол 
Шийдэл:Хоёр нэр томьёо нь нийлмэл функцууд бөгөөд эхнийх нь , , хоёр дахь нь , дараа нь
Хариулт: 
Дериватив програмууд.
1. Хурд ба хурдатгал
s(t) функцийг тайлбарлая байр суурь t цаг хугацааны зарим координатын систем дэх объект. Тэгвэл s(t) функцийн эхний дериватив агшин зуур байна хурдобъект:
v=s′=f′(t)
s(t) функцийн хоёр дахь дериватив нь агшин зуурыг илэрхийлнэ хурдатгалобъект:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Тангенсийн тэгшитгэл
y−y0=f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) шүргэгч цэгийн координат, f′(x0) нь шүргэгч цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утга.
3. Хэвийн тэгшитгэл
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) нь нормаль зурсан цэгийн координат, f′(x0) нь энэ цэг дэх f(x) функцийн деривативын утга юм.
4. Өсөх, багасгах функцууд
Хэрэв f′(x0)>0 бол функц x0 цэг дээр нэмэгдэнэ. Доорх зурагт функц нь x-ээр нэмэгдэж байна
Хэрэв f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Функцийн локал экстремум
f(x) функц байна орон нутгийн дээд хэмжээ x1 цэг дээр хэрэв x1 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x1)≥f(x) тэгш бус байдал биелнэ.
Үүнтэй адилаар f(x) функц байна орон нутгийн доод хэмжээ x2 цэг дээр хэрэв x2 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x2)≤f(x) тэгш бус байдал биелнэ.
6. Чухал цэгүүд
x0 цэг байна чухал цэг f(x) функц, хэрэв түүн дэх f′(x0) дериватив тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй бол.
7. Экстремум байгаагийн эхний хангалттай шинж тэмдэг
Хэрэв f(x) функц нь зарим (a,x1] интервалд бүх x-ийн хувьд (f′(x)>0) нэмэгдэж (f′(x)) буурвал (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) $ интервалаас бүх x-ийн хувьд
| Жишээ 3 |
| $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $-г шийднэ үү. |
| Шийдэл |
|
Ердийнх шигээ бид $ x $ утгыг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулж эхэлдэг. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Одоо юу болох вэ? Эцэст нь юу болох ёстой вэ? Энэ нь тодорхойгүй байгаа тул энэ хариулт хараахан болоогүй байгаа тул бид тооцооллыг үргэлжлүүлж байна. Тоолууруудад олон гишүүнт байгаа тул бид үүнийг сургуулийн бүх хүмүүст мэддэг $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ томъёог ашиглан үржвэрлэх болно. Чи санаж байна уу? Гайхалтай! Одоо үргэлжлүүлээд дуутай нь ашигла :) Бид тоологч $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ болохыг олж мэднэ Дээрх өөрчлөлтийг харгалзан бид шийдсээр байна. $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Хариулах |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Сүүлийн хоёр жишээн дэх хязгаарыг хязгааргүй болгож, тодорхойгүй байдлыг авч үзье: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Жишээ 5 |
| Тооцоолох $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Шийдэл |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Юу хийх вэ? Би яах ёстой вэ? Бүү сандар, учир нь боломжгүй зүйл боломжтой. Тоолуур ба хуваарийн аль алинд нь х-г гаргаж аваад дараа нь багасгах шаардлагатай. Үүний дараа хязгаарыг тооцоолохыг хичээ. Оролдоод үзье... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-р жишээн дээрх тодорхойлолтыг ашиглан х-г хязгааргүйг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Хариулах |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Хязгаарыг тооцоолох алгоритм
Ингээд жишээнүүдийг товчхон дүгнэж, хязгаарыг шийдвэрлэх алгоритмыг бүтээцгээе.
- Х цэгийг хязгаарын тэмдгийн дараах илэрхийлэлд орлуулна. Хэрэв тодорхой тоо эсвэл хязгааргүйг олж авбал хязгаар нь бүрэн шийдэгдэнэ. Үгүй бол бидэнд тодорхойгүй байдал бий: "тэг тэгээр хуваагдах" эсвэл "хязгааргүйд хуваагдах" ба зааврын дараагийн цэгүүд рүү шилжинэ.
- "Тэгийг тэгээр хуваана" гэсэн тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд та тоо болон хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох хэрэгтэй. Ижил төстэй зүйлсийг багасгах. Х цэгийг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулна.
- Хэрэв тодорхойгүй байдал нь "хязгааргүйд хуваагдсан" бол бид тоологч болон хуваагч х-г хоёуланг нь хамгийн их хэмжээгээр авна. Бид X-г богиносгодог. Бид хязгаараас доогуур байгаа x утгыг үлдсэн илэрхийлэл болгон орлуулна.
Энэ нийтлэлээс та Тооцооллын хичээлд ихэвчлэн хэрэглэгддэг хязгаарыг шийдвэрлэх үндсийг сурсан. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь шалгуулагчдын санал болгож буй бүх төрлийн асуудал биш, зөвхөн хамгийн энгийн хязгаарлалтууд юм. Бид бусад төрлийн даалгаврын талаар дараагийн өгүүллүүдэд ярих болно, гэхдээ та эхлээд энэ хичээлийг урагшлуулахын тулд суралцах хэрэгтэй. Үндэс, зэрэг, хязгааргүй бага эквивалент функц, гайхалтай хязгаар, L'Hopital-ийн дүрмийг судалж үзвэл юу хийх талаар ярилцъя.
Хэрэв та хязгаарлалтыг өөрөө тодорхойлж чадахгүй бол бүү сандар. Бид туслахдаа үргэлж баяртай байдаг!
