Параметрээс хамаарч магадлалын хуваарилалт. Хэвийн магадлалын тархалтын хууль

Магадлалын үндэслэлийн эхний бөгөөд хамгийн байгалийн алхам бол: хэрэв танд санамсаргүй байдлаар утгыг авдаг хувьсагч байгаа бол тухайн хувьсагч тодорхой утгыг ямар магадлалаар авахыг мэдэхийг хүсч байна. Эдгээр магадлалын нийлбэр нь магадлалын тархалтыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, шоо өгсөн бол та чадна 1/6-тай тэнцүү магадлалтайгаар аль ч ирмэг дээр унана гэж априори тооцно. Энэ нь яс нь тэгш хэмтэй байх тохиолдолд тохиолддог. Хэрэв өлгүүр тэгш хэмтэй биш бол туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн илүү олон удаа унадаг царайнуудын магадлал өндөр, бага унадаг царайны магадлал бага байгааг тодорхойлох боломжтой. Хэрэв зарим царай огт харагдахгүй бол түүнд 0-ийн магадлалыг оноож болно. Энэ бол үхэл шидэх үр дүнг тодорхойлоход ашиглаж болох хамгийн энгийн магадлалын хууль юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол маш энгийн жишээ боловч жишээлбэл, даатгалын бодлогыг гаргахдаа бодит эрсдэлийг бодит өгөгдөл дээр үндэслэн тооцох үед актуар тооцоололд ижил төстэй асуудал үүсдэг.

Энэ бүлэгт бид практикт ихэвчлэн гарч ирдэг магадлалын хуулиудыг авч үзэх болно.

Эдгээр тархалтын графикуудыг STATISTICA-д хялбархан зурж болно.

Хэвийн тархалт

Ердийн магадлалын тархалтыг ялангуяа статистикт ихэвчлэн ашигладаг. Хэвийн тархалт нь бодит ертөнцийн үзэгдлийн сайн загвар болж өгдөг бөгөөд үүнд:

1) мэдээллийн төвийг тойрон бөөгнөрөх хандлага хүчтэй байна;

2) төвөөс эерэг ба сөрөг хазайлт ижил магадлалтай;

3) төвөөс хазайлт ихсэх үед хазайлтын давтамж хурдан буурдаг.

Төвлөрсөн хязгаарын теоремыг ашиглан тайлбарласан хэвийн тархалтын үндсэн механизмыг дараах байдлаар дүрсэлж болно. Та аяга усанд санамсаргүй унагасан цэцгийн тоосонцортой байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Микроскопоор нэг бөөмсийг харахад та гайхалтай үзэгдлийг харах болно - бөөмс хөдөлж байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь усны молекулууд хөдөлж, тэдний хөдөлгөөнийг түдгэлзүүлсэн цэцгийн тоосонцор руу дамжуулдаг тул тохиолддог.

Гэхдээ хөдөлгөөн яг яаж үүсдэг вэ? Энд илүү сонирхолтой асуулт байна. Мөн энэ хөдөлгөөн маш хачин юм!

Усны молекулуудын нөлөөллийн хэлбэрээр бие даасан цэцгийн тоосонцор дээр хязгааргүй олон тооны бие даасан нөлөөлөл байдаг бөгөөд энэ нь бөөмсийг маш хачирхалтай траекторийн дагуу хөдөлгөдөг. Микроскопоор харахад энэ хөдөлгөөн нь олон удаа, эмх замбараагүй эвдэрсэн шугамтай төстэй юм. Эдгээр эвдрэлийг урьдчилан таамаглах боломжгүй бөгөөд тэдгээр нь бөөмс дэх молекулуудын эмх замбараагүй нөлөөлөлтэй яг таарч байна. Усны молекулын цохилтыг санамсаргүй байдлаар мэдэрсэн түдгэлзүүлсэн бөөмс хөдөлгөөний чиглэлээ өөрчилдөг, дараа нь хэсэг хугацаанд инерцээр хөдөлж, дараа нь дараагийн молекулын нөлөөнд дахин унах гэх мэт. Шилэн усанд гайхалтай бильярд гарч ирдэг!

Молекулуудын хөдөлгөөн нь санамсаргүй чиглэл, хурдтай байдаг тул траектор дахь гулзайлтын хэмжээ, чиглэл нь огт санамсаргүй бөгөөд урьдчилан таамаглах аргагүй юм. 19-р зуунд нээгдсэн Брауны хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг энэхүү гайхалтай үзэгдэл бидэнд олон зүйлийг эргэцүүлэн бодох боломжийг олгодог.

Хэрэв бид тохирох системийг нэвтрүүлж, тухайн бөөмийн координатыг тодорхой цаг мөчид тэмдэглэвэл ердийн хуулийг олж авна. Нарийвчлан хэлэхэд молекулын нөлөөллөөс үүссэн цэцгийн тоосонцрын шилжилт нь ердийн хуулийг дагаж мөрдөх болно.

Брауны хэмээх ийм бөөмийн хөдөлгөөний хуулийг анх удаа А.Эйнштейн хатуу чанга физикийн түвшинд дүрсэлсэн байдаг. Дараа нь Ленжеван илүү энгийн бөгөөд ойлгомжтой аргыг боловсруулсан.

20-р зууны математикчид энэ онолд хамгийн сайн хуудсаа зориулж байсан бөгөөд 300 жилийн өмнө төвийн хязгаарын теоремын хамгийн энгийн хувилбарыг нээсэн анхны алхамыг хийсэн.

Магадлалын онолд төв хязгаарын теорем нь анх 17-р зуунд Ж. Бернуллигийн (1654-1705) алдартай их тооны хуулийн боловсруулалт гэж Мойвр, Лаплас нарын томъёололд мэдэгдэж байсан (Ж. Бернулли (1713) үзнэ үү). , Ars Conjectandi) нь одоогоор маш их хөгжиж, оргилдоо хүрсэн. Инвариант байдлын орчин үеийн зарчимд Оросын математикийн сургууль ихээхэн үүрэг гүйцэтгэсэн. Энэ зарчмаар Брауны бөөмийн хөдөлгөөн өөрийн хатуу математик тайлбарыг олдог.

Санаа нь олон тооны бие даасан хэмжигдэхүүнийг (тоосон тоосонцор дээрх молекулуудын мөргөлдөөн) нэгтгэн дүгнэхэд тодорхой боломжийн нөхцөлд хэвийн тархсан хэмжигдэхүүнүүдийг олж авдаг. Энэ нь бие даасан байдлаар, өөрөөр хэлбэл анхны утгуудын хуваарилалтаас өөрчлөгддөггүй. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой хувьсагчид олон хүчин зүйл нөлөөлж байвал эдгээр нөлөөлөл нь бие даасан, харьцангуй бага, нийлбэр нь бие биендээ нийлдэг бол үүссэн утга нь хэвийн тархалттай байна.

Жишээлбэл, бараг хязгааргүй олон хүчин зүйл нь хүний ​​жинг тодорхойлдог (мянган ген, урьдач байдал, өвчин гэх мэт). Тиймээс бүх хүмүүсийн популяцид жингийн хэвийн хуваарилалтыг хүлээх болно.

Хэрэв та санхүүч бөгөөд хөрөнгийн зах зээл дээр тоглодог бол хувьцааны үнэ броуны тоосонцор шиг аашилж, олон хүчин зүйлээс эмх замбараагүй нөлөө үзүүлдэг тохиолдлуудыг та мэднэ.

Албан ёсоор хэвийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар бичнэ.

Энд a ба õ 2 нь тухайн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж ба дисперс гэж тус тус тайлбарласан хуулийн параметрүүд юм (хэвийн тархалтын онцгой үүрэг учир бид түүний нягтын функц ба тархалтын функцийг тусгай тэмдэгтээр тэмдэглэнэ). Харааны хувьд хэвийн нягтын график нь алдартай хонх хэлбэртэй муруй юм.

Хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний (a,õ 2) харгалзах тархалтын функцийг Ф(x; a,õ 2) гэж тэмдэглээд дараах харьцаагаар өгөгдөнө.

a = 0 ба õ 2 = 1 параметртэй хэвийн хуулийг стандарт гэж нэрлэдэг.

z, 0 утгад хамаарах стандарт хэвийн тархалтын урвуу функц

STATISTICA-ийн магадлалын тооцоолуур ашиглан x ба эсрэгээр z-ийг тооцоолно уу.

Ердийн хуулийн үндсэн шинж чанарууд:

Дундаж, горим, медиан: E=x mod =x med =a;

Тархалт: D=õ 2 ;

Тэгш бус байдал:

Илүүдэл:

Томьёогоос харахад хэвийн тархалтыг хоёр параметрээр дүрсэлсэн нь тодорхой байна.

a - дундаж - дундаж;

õ - стандарт хазайлт - стандарт хазайлт, уншина уу: "сигма".

Заримдаа хамт стандарт хазайлтыг стандарт хазайлт гэж нэрлэдэг, гэхдээ энэ нь аль хэдийн хоцрогдсон нэр томъёо юм.

Хэвийн тархалтын талаар зарим хэрэгтэй баримтуудыг энд оруулав.

Дундаж утга нь нягтын байршлын хэмжүүрийг тодорхойлдог. Хэвийн тархалтын нягт нь дундажтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Хэвийн тархалтын дундаж нь медиан ба горимтой давхцдаг (графикийг харна уу).

1-р хэлбэлзэл ба дундаж 1-тэй хэвийн тархалтын нягт

Дундаж 0, дисперс 0.01-тэй хэвийн тархалтын нягт

Дундаж 0 ба дисперс 4-тэй хэвийн тархалтын нягт

Тархалт ихсэх тусам хэвийн тархалтын нягт нь OX тэнхлэгийн дагуу тархах эсвэл тархах үед тархалт буурах үед энэ нь эсрэгээрээ агшиж, нэг цэгийн эргэн тойронд төвлөрдөг - дундаж утгатай давхцах хамгийн их утгын цэг; . Тэг вариацын хязгаарлагдмал тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн доройтож, дундаж утгатай тэнцүү нэг утгыг авна.

Хэвийн тархалттай холбоотой 2 ба 3 сигма буюу 2 ба 3 стандарт хазайлтын дүрмийг мэдэх нь олон төрлийн хэрэглээнд хэрэглэгддэг. Эдгээр дүрмийн утга нь маш энгийн.

Хэрэв дундаж цэгээс эсвэл хэвийн тархалтын хамгийн их нягтын цэгээс бид баруун ба зүүн тийш хоёр ба гурван стандарт хазайлт (2 ба 3-сигма) тавьдаг бол Энэ интервалаас тооцсон хэвийн нягтын график доорх талбай нь график доорх нийт талбайн 95.45% ба 99.73% -тай тэнцүү байх болно (STATISTICA магадлалын тооцоолуур дээр шалгана уу!).

Өөрөөр хэлбэл, үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: Хэсгийн хэмжээ эсвэл хувьцааны үнэ гэх мэт энгийн популяцид бие даасан бүх ажиглалтын 95.45% ба 99.73% нь дунджаас 2 ба 3 стандарт хазайлт дотор байна.

Нэг төрлийн хуваарилалт

Нэг төрлийн тархалт нь утга тус бүр нь ижил магадлалтай хувьсах хэмжигдэхүүнийг тайлбарлахад ашигтай байдаг, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн утгууд нь зарим бүс нутагт жигд тархсан байдаг.

[a, b] интервал дээр утгыг авах нэгэн жигд санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал ба тархалтын функцийн томъёог доор харуулав.

Эдгээр томъёоноос нэг төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь олонлогоос утгыг авах магадлалыг ойлгоход хялбар байдаг. [c, d] [a, b], тэнцүү (d - c)/(b - a).

тавья a=0,b=1. Доорх нь сегмент дээр төвлөрсөн жигд магадлалын нягтын график юм.

Нэгдмэл хуулийн тоон шинж чанарууд:

Экспоненциал тархалт

Өдөр тутмын хэлээр ховор тохиолддог үйл явдлууд тохиолддог. Хэрэв T нь X эрчимтэй дунджаар тохиолдох ховор тохиолдлуудын хоорондох хугацаа бол утга
T нь параметр (lambda) бүхий экспоненциал тархалттай. Экспоненциал тархалтыг ихэвчлэн санамсаргүй тохиолдлуудын хоорондох завсарлага, тухайлбал, түгээмэл бус вэбсайт руу зочлох хоорондын зайг тодорхойлоход ашигладаг, учир нь эдгээр зочлолт нь ховор тохиолддог.

Энэхүү тархалт нь Оросын нэрт математикч А.А.Марковын хүндэтгэлд зориулж хожмын үр дагаваргүй, эсвэл тэдний хэлснээр Марковын шинж чанартай маш сонирхолтой шинж чанартай бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тайлбарлаж болно. Хэрэв тодорхой үйл явдал тохиолдох мөчүүдийн хоорондох хуваарилалт нь шинж тэмдэг юм бол тархалтыг ямар ч мөчөөс эхлэн тоолно. t дараагийн үйл явдал хүртэл экспоненциал тархалттай (ижил параметртэй).

Өөрөөр хэлбэл, ховор тохиолдлын урсгалын хувьд дараагийн зочдыг хэр удаан хүлээснээс үл хамааран хүлээх хугацаа нь үргэлж экспоненциал байдлаар тархдаг.

Экспоненциал тархалт нь Пуассоны тархалттай холбоотой: нэгж хугацааны интервалд үйл явдлын тоо, хоорондын интервалууд нь бие даасан, экспоненциал тархалттай байдаг нь Пуассоны тархалттай байдаг. Хэрэв сайтад зочлох хоорондын интервал нь экспоненциал тархалттай байвал, жишээ нь нэг цагийн дотор зочилсон тоог Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилдаг.

Экспоненциал тархалт нь Вейбуллийн тархалтын онцгой тохиолдол юм.

Хэрэв цаг хугацаа тасралтгүй биш, харин салангид байвал экспоненциал тархалтын аналог нь геометрийн тархалт юм.

Экспоненциал тархалтын нягтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энэ хуваарилалт нь зөвхөн нэг параметртэй бөгөөд энэ нь түүний шинж чанарыг тодорхойлдог.

Экспоненциал тархалтын нягтын график дараах байдалтай байна.

Экспоненциал тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Эрлангийн хуваарилалт

Энэхүү тасралтгүй тархалт нь (0,1) дээр төвлөрсөн бөгөөд нягтралтай байна:

Математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна

Эрлангийн тархалтыг дараалал, утасны онолын асуудалд анх ашигласан А.Эрлангийн нэрээр нэрлэсэн.

µ ба n параметртэй Эрлангийн тархалт нь nµ параметртэй экспоненциал тархалттай, бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний n нийлбэрийн тархалт юм.

At n = 1 Эрлангийн тархалт нь экспоненциал эсвэл экспоненциал тархалттай ижил байна.

Лапласын тархалт

Жишээлбэл, регрессийн загварт алдааны тархалтыг тодорхойлоход Лапласын нягтын функц буюу давхар экспоненциал гэж нэрлэдэг. Энэ тархалтын графикийг харвал энэ нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй хоёр экспоненциал тархалтаас бүрдэхийг харах болно.

Хэрэв байрлалын параметр 0 бол Лапласын тархалтын нягтын функц дараах хэлбэртэй байна.

Байршлын параметрийг тэг гэж үзвэл энэхүү тархалтын хуулийн үндсэн тоон шинж чанарууд нь дараах байдалтай байна.

Ерөнхийдөө Лапласын тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

a нь хуваарилалтын дундаж; b - масштабын параметр; e - Эйлерийн тоо (2.71...).

Гамма тархалт

Экспоненциал тархалтын нягт нь 0 цэгт горимтой байдаг бөгөөд энэ нь заримдаа практик хэрэглээнд тохиромжгүй байдаг. Олон жишээн дээр авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим 0-тэй тэнцүү биш гэдгийг урьдчилж мэддэг, жишээлбэл, цахим худалдааны дэлгүүрт үйлчлүүлэгчид ирэх эсвэл вэбсайт руу зочлох хоорондын зай нь тодорхой горимтой байдаг. Ийм үйл явдлыг загварчлахын тулд гамма тархалтыг ашигладаг.

Гамма тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд Г нь Эйлерийн Г-функц, a > 0 нь “хэлбэрийн” параметр, b > 0 нь масштабын параметр юм.

Тодорхой тохиолдолд бид Эрлангийн тархалт ба экспоненциал тархалттай.

Гамма тархалтын үндсэн шинж чанарууд:

Доорх нь масштабын параметр нь 1, хэлбэрийн параметр нь 3 ба 5-тай гамма нягтын хоёр график юм.

Гамма тархалтын ашигтай шинж чанар: дурын тооны бие даасан гамма тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр (ижил масштабын параметртэй b)

(a l ,b) + (a 2 ,b) + --- +(a n ,b) нь мөн гамма тархалтад захирагдах боловч a 1 + a 2 + + a n ба b параметртэй.

Логнормаль тархалт

h санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг натурал логарифм (lnh) нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг бол логарифмын хэвийн буюу логнормаль гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, орлого, шинээр гэрлэсэн хүмүүсийн нас, хүнсний бүтээгдэхүүн дэх хортой бодисын стандартаас зөвшөөрөгдөх хазайлт зэрэг хувьсагчдыг загварчлахад логнормаль тархалтыг ашигладаг.

Тэгэхээр, хэрэв үнэ цэнэ x нь хэвийн тархалттай, дараа нь утга байна y = e x нь Логнормаль тархалттай.

Хэрэв та норм утгыг илтгэгчийн зэрэгт орлуулбал ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь давтан нийлбэрийн үр дүн болдог шиг логнормаль утга нь бие даасан хувьсагчдыг олон дахин үржүүлсний үр дүн гэдгийг төвөггүй ойлгож болно.

Логнормаль тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Логнормаль тархалтын үндсэн шинж чанарууд:

Хи квадратын тархалт

Дундаж 0 ба дисперс 1-тэй бие даасан m хэвийн хувьсагчийн квадратуудын нийлбэр нь m эрх чөлөөний зэрэгтэй хи-квадрат тархалттай байна. Энэ хуваарилалтыг өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Албан ёсоор, m эрх чөлөөний зэрэгтэй сайн квадрат тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Сөрөг байдлын хувьд x нягт нь 0 болно.

Хи квадрат тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Нягтын графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

Бином тархалт

Дуран тархалт нь хэдхэн цэгт төвлөрдөг хамгийн чухал дискрет тархалт юм. Хоёр нэрийн тархалт нь эдгээр цэгүүдэд эерэг магадлалыг өгдөг. Иймээс бином тархалт нь тус тусад нь сонгосон цэгүүдэд тэг магадлалыг өгдөг тасралтгүй тархалтаас (хэвийн, хи-квадрат гэх мэт) ялгаатай бөгөөд тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Дараах тоглоомыг авч үзээд дуран тархалтыг илүү сайн ойлгож чадна.

Та зоос шидэж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Төрийн сүлд унах магадлал байгаасай p ба толгойнууд буух магадлал байна q = 1 - p (зоос нь тэгш хэмт бус байх үед бид хамгийн ерөнхий тохиолдлыг авч үзэж байна, жишээлбэл, хүндийн төвийг нүүлгэн шилжүүлсэн - зоосонд нүх байдаг).

Сүлд буух нь амжилтад тооцогдох бол сүүл буух нь бүтэлгүйтсэнд тооцогдоно. Дараа нь зурсан толгойн (эсвэл сүүлний) тоо нь бином тархалттай байна.

Тэгш хэмт бус зоос эсвэл жигд бус шоо зэргийг авч үзэх нь практик сонирхолтой гэдгийг анхаарна уу. Ж.Нейманн “Магадлал ба математикийн статистикийн онолын танилцуулга” хэмээх гоёмсог номондоо тэмдэглэснээр, үхрийн цэгийн давтамж нь үхрийн өөрийнх нь шинж чанараас хамаардаг бөгөөд үүнийг зохиомлоор өөрчлөх боломжтой гэдгийг хүмүүс эртнээс таамаглаж ирсэн. Археологичид фараоны булшнаас хоёр хос шоо олжээ: "шударга" - бүх тал нь унах магадлалтай, худал нь - хүндийн төвийг зориудаар шилжүүлсэн нь зургаа унах магадлалыг нэмэгдүүлсэн.

Дуран тархалтын параметрүүд нь амжилтанд хүрэх магадлал юм p (q = 1 - p) ба туршилтын тоо n.

Дуран тархалт нь санамсаргүй түүврээр сонгогдсон компаниудын эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн тоо гэх мэт бином үйл явдлын тархалтыг тодорхойлоход хэрэгтэй. Тоглоомын асуудалд бином тархалтыг ашиглах нь онцгой ач холбогдолтой юм.

Амжилтанд хүрэх магадлал m-ийн нарийн томъёо n туршилтыг дараах байдлаар бичнэ.

p-амжилтанд хүрэх магадлал

q нь 1-p, q>=0, p+q==1-тэй тэнцүү

n- туршилтын тоо, м =0,1...м

Бином тархалтын үндсэн шинж чанарууд:

Туршилтын янз бүрийн тоо n ба амжилтын магадлал p-ийн энэхүү тархалтын график дараах хэлбэртэй байна.

Бином тархалт нь хэвийн ба Пуассон тархалттай холбоотой (доороос харна уу); тодорхой параметрийн утгууд болон олон тооны туршилтуудын хувьд энэ нь эдгээр хуваарилалт болж хувирдаг. Үүнийг STATISTICA ашиглан харуулахад хялбар байдаг.

Жишээ нь, параметр бүхий бином тархалтын графикийг авч үзэх p = 0.7, n = 100 (зураг харна уу), бид STATISTICA BASIC ашигласан - график нь хэвийн тархалтын нягттай маш төстэй байгааг харж болно (энэ нь үнэхээр юм!).

Параметр бүхий бином тархалтын график p=0.05, n=100 нь Пуассоны тархалтын графиктай маш төстэй.

Өмнө дурьдсанчлан, хоёр нэрийн тархалт нь шударга зоос шидэх хамгийн энгийн боломжийн тоглоомын ажиглалтаас үүдэлтэй юм. Ихэнх тохиолдолд энэ загвар нь илүү төвөгтэй тоглоомууд болон хувьцааны арилжаанд тохиолддог санамсаргүй үйл явцын хувьд сайн анхны ойролцоололт болж өгдөг. Олон нарийн төвөгтэй процессуудын үндсэн шинж чанаруудыг энгийн бином загвараас ойлгож болох нь гайхалтай юм.

Жишээлбэл, дараах нөхцөл байдлыг авч үзье.

Сүлд алдсаныг 1, сүүл алдсаныг хасах 1 гэж тэмдэглээд дараалсан оноо, хожил, алдагдлыг нэгтгэн тооцъё. Графикууд нь 1000 шидэлт, 5000 шидэлт, 10 000 шидэлтийн ийм тоглоомын ердийн замыг харуулж байна. Удаан хугацааны туршид замнал хэрхэн тэгээс дээш эсвэл доогуур байгааг анзаараарай, өөрөөр хэлбэл, бүрэн шударга тоглолтонд тоглогчдын аль нэг нь ялах хугацаа маш урт, хожихоос ялагдах руу шилжих шилжилт харьцангуй ховор, мөн "Үнэхээр шударга тоглоом" гэсэн илэрхийлэл нь ид шидийн шившлэг шиг сонсогддог бэлтгэлгүй оюун ухаанд үүнийг эвлэрэхэд хэцүү байдаг. Тиймээс, тоглоом нь нөхцөл байдлын хувьд шударга боловч ердийн замналын зан байдал нь шударга бус бөгөөд тэнцвэрт байдлыг харуулдаггүй!

Мэдээжийн хэрэг, энэ баримтыг бүх тоглогчид мэддэг бөгөөд энэ нь тоглогч хожсон мөнгөө орхиж болохгүй, харин цааш тоглохыг албадах үед үүнтэй холбоотой байдаг.

Нэг тоглогч ялах (0-ээс дээш зам), хоёр дахь тоглогч ялагдах (0-ээс доош замнал) шидэлтийн тоог авч үзье. Эхлээд харахад ийм шидэлтийн тоо ойролцоогоор ижил байна. Гэсэн хэдий ч (сонирхолтой номыг үзнэ үү: Феллер В. "Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ" танилцуулга. Москва: Мир, 1984, 106-р хуудас) 10,000 шидэлттэй зоос (өөрөөр хэлбэл Бернуллигийн туршилтын хувьд). p = q = 0.5, n=10,000) талуудын аль нэг нь 9930-аас дээш туршилтанд тэргүүлэгч байх магадлал, хоёр дахь нь 70-аас бага бол 0.1-ээс давсан.

Гайхалтай нь, 10,000 шударга зоос шидсэн тоглолтонд манлайлагч хамгийн ихдээ 8 удаа солигдох магадлал 0.14-ээс их, 78-аас дээш удаа удирдагч солигдох магадлал ойролцоогоор 0.12 байна.

Тиймээс, бидэнд парадоксик нөхцөл байдал бий: тэгш хэмтэй Бернулли алхах үед дараалсан тэг өгөөжийн хоорондох график дээрх "долгионууд" (графикуудыг харна уу) гайхалтай урт байж болно. Үүнтэй холбоотой өөр нэг нөхцөл байдал, тухайлбал, тэр нь T n / n (график нь x тэнхлэгээс дээш байх үеийн хэсэг) хамгийн бага магадлалтай нь 1/2-тэй ойролцоо утгууд юм.

Математикчид арксинус гэж нэрлэгддэг хуулийг нээсэн бөгөөд үүний дагуу 0 тутамд< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

Арксинусын тархалт

Энэхүү тасралтгүй тархалт нь (0, 1) интервал дээр төвлөрсөн бөгөөд нягтралтай байна:

Арксинусын тархалт нь санамсаргүй алхалттай холбоотой. Энэ нь тэгш хэмтэй зоос, өөрөөр хэлбэл ижил магадлалтай зоос шидэх үед эхний тоглогч хожсон хугацааны хуваарилалт юм. S үсэг нь сүлд, сүүл дээр унасан байдаг. Өөр нэг байдлаар, ийм тоглоомыг тэгээс эхлэн баруун тийш эсвэл зүүн тийшээ нэг үсрэлт хийх магадлалтай бөөмийн санамсаргүй алхалт гэж үзэж болно. Бөөмийн үсрэлт - толгой эсвэл сүүл унах нь адилхан магадлалтай тул ийм алхалтыг ихэвчлэн тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Хэрэв магадлал өөр байсан бол бид тэгш бус алхах болно.

Арксинусын тархалтын нягтын графикийг дараах зурагт үзүүлэв.

Хамгийн сонирхолтой зүйл бол графикийн чанарын тайлбар бөгөөд үүнээс та шударга тоглолтын ялалт, ялагдлын цувралын талаар гайхалтай дүгнэлт хийж болно. Графикаас харахад хамгийн бага нягт нь тухайн цэг дээр байгааг харж болно 1/2. "Тэгээд юу?!" - чи асууж байна. Гэхдээ хэрэв та энэ ажиглалтын талаар бодох юм бол таны гайхшрал хязгааргүй болно! Тоглоомыг шударга гэж тодорхойлсон хэдий ч энэ нь анх харахад тийм ч шударга биш юм.

Бөөм эерэг ба сөрөг хагас тэнхлэгт, өөрөөр хэлбэл тэгээс баруун эсвэл зүүн тийш тэнцүү цаг зарцуулдаг тэгш хэмтэй санамсаргүй траекторууд нь хамгийн бага магадлалтай байдаг. Тоглогчдын хэл рүү шилжих юм бол тэгш хэмтэй зоос шидэх үед тоглогчид хожиж, хожигдох тэнцүү цаг зарцуулдаг тоглоомууд хамгийн бага магадлалтай гэж хэлж болно.

Үүний эсрэгээр нэг тоглогч ялах, нөгөө нь хожигдох магадлал өндөр байдаг тоглоомууд хамгийн өндөр магадлалтай байдаг. Гайхалтай парадокс!

Эхний тоглогч ялах t хугацааны хэсэг нь хоёрын хооронд байх магадлалыг тооцоолохын тулд t1 хүртэл t2, түгээлтийн функцийн утгаас шаардлагатай F(t2) хуваарилалтын функцийн утгыг хасна F(t1).

Албан ёсоор бид дараахь зүйлийг авна.

P(t1

Энэ баримт дээр үндэслэн 10,000 алхмаар бөөмс эерэг талдаа 9930 гаруй удаа 0.1 магадлалаар үлддэгийг STATISTICA ашиглан тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл ойролцоогоор нэг тохиолдолд ийм байрлал ажиглагдах болно. 10-аас (хэдийгээр харахад утгагүй мэт санагдаж байна; "Магадлал ба математикийн статистик" нэвтэрхий толь дахь Ю. В. Прохоровын "Бернуллигийн эрэл хайгуул" хэмээх гайхалтай тэмдэглэлийг үзнэ үү, хуудас 42-43, М.: Оросын том нэвтэрхий толь, 1999 он. ).

Сөрөг бином тархалт

Энэ нь бүхэл тоон цэгүүдэд хуваарилах салангид хуваарилалт юм k = 0,1,2,... магадлал:

p k =P(X=k)=C k r+k-1 p r (l-p) k ", энд 0<р<1,r>0.

Сөрөг бином тархалт нь олон хэрэглээнд байдаг.

Ерөнхийдөө r > 0 бол сөрөг бином тархалтыг Бернулли тестийн схемд r-р "амжилт"-ыг хүлээх хугацааны хуваарилалт "амжилт"-ын магадлал гэж тайлбарладаг. p, жишээ нь, хоёр дахь эмблемийг зурахаас өмнө хийх ёстой өнхрөх тоо, энэ тохиолдолд үүнийг заримдаа Паскал тархалт гэж нэрлэдэг бөгөөд гамма тархалтын салангид аналог юм.

At r = 1 сөрөг бином тархалт нь геометрийн тархалттай давхцдаг.

Хэрэв Y нь санамсаргүй параметртэй Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд энэ нь эргээд нягтралтай гамма тархалттай байна.

Дараа нь U параметртэй сөрөг бином тархалттай байх болно;

Пуассоны тархалт

Пуассоны тархалтыг заримдаа ховор тохиолдлын тархалт гэж нэрлэдэг. Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилагдсан хувьсагчдын жишээ нь: ослын тоо, үйлдвэрлэлийн процесст гарсан согогийн тоо гэх мэт. Пуассоны тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Пуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарууд:

Пуассоны тархалт нь экспоненциал тархалт ба Бернуллигийн тархалттай холбоотой.

Хэрэв үйл явдлын тоо Пуассоны тархалттай бол үйл явдлын хоорондын интервал нь экспоненциал эсвэл экспоненциал тархалттай байна.

Пуассоны тархалтын график:

5-р параметртэй Пуассоны тархалтын графикийг p=q=0.5,n=100 үед Бернулли тархалтын графиктай харьцуул.

Графикууд маш төстэй байгааг та харах болно. Ерөнхий тохиолдолд дараах загвар байдаг (жишээлбэл, маш сайн номыг үзнэ үү: Ширяев А.Н. "Магадлал." Москва: Наука, х. 76): хэрвээ Бернулли тестүүд n нь том утгыг авдаг бол амжилтанд хүрэх магадлал / ? харьцангуй бага учир амжилтын дундаж тоо (бүтээгдэхүүн ба нар) бага ч биш, их ч биш, тэгвэл n, p параметртэй Бернулли тархалтыг = np параметртэй Пуассоны тархалтаар сольж болно.

Пуассоны тархалтыг практикт, жишээлбэл, чанарын хяналтын графикт ховор тохиолдлын хуваарилалт болгон өргөн ашигладаг.

Өөр нэг жишээ болгон, телефон утасны шугамтай холбоотой дараах асуудлыг авч үзье, практикт авч үзнэ үү (үзнэ үү: Feller V. Introduction to theory of probability and its application. Москва: Мир, 1984, х. 205, түүнчлэн Молина Е. С. (1935). Инженерийн магадлал, Цахилгааны инженерчлэл, 54, х 423-427 Bell телефоны систем Техникийн бүтээлүүд Монограф Б-854). Энэ даалгаврыг орчин үеийн хэл рүү, жишээлбэл, хөдөлгөөнт холбооны хэл рүү хялбархан орчуулж болох бөгөөд үүнийг сонирхсон уншигчдыг хийхийг урьж байна.

Асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон. А ба В гэсэн хоёр утасны станц байг.

А телефоны станц 2000 хэрэглэгч болон В биржийн хооронд холбоо барих ёстой.Харилцааны чанар нь 100 дуудлагаас 1 нь л шугам чөлөөтэй болтол хүлээдэг байх ёстой.

Асуулт нь: харилцааны шаардлагатай чанарыг хангахын тулд хэдэн утасны шугам суурилуулах шаардлагатай вэ? Мэдээжийн хэрэг, 2000 мөр үүсгэх нь тэнэг хэрэг, учир нь тэдгээрийн олонх нь удаан хугацаанд чөлөөтэй байх болно. Зөн совингийн үүднээс авч үзвэл N шугамын оновчтой тоо байгаа нь тодорхой байна. Энэ тоог хэрхэн тооцоолох вэ?

Захиалагчийн сүлжээнд нэвтрэх эрчмийг тодорхойлсон бодит загвараас эхэлье, загварын үнэн зөвийг мэдээж статистикийн стандарт шалгуурыг ашиглан шалгаж болно гэдгийг тэмдэглэе.

Тиймээс, захиалагч бүр цагт дунджаар 2 минут шугам ашигладаг бөгөөд захиалагчдын холболтууд бие даасан байна гэж бодъё (Гэхдээ Феллерийн зөвөөр тэмдэглэснээр, бүх захиалагчдад нөлөөлөх ямар нэг үйл явдал тохиолдохгүй бол сүүлийнх нь тохиолддог, жишээлбэл, дайн эсвэл. хар салхи).

Дараа нь бидэнд 2000 Бернулли туршилт (зоос шидэх) эсвэл амжилттай байх магадлалтай сүлжээний холболтууд p=2/60=1/30 байна.

N-ээс олон хэрэглэгч нэгэн зэрэг сүлжээнд холбогдсон байх магадлал 0.01-ээс хэтрэхгүй байхаар N-г олох хэрэгтэй. Эдгээр тооцоог STATISTICA системд хялбархан шийдэж болно.

STATISTICA ашиглан асуудлыг шийдэж байна.

Алхам 1.Модулийг нээнэ үү Үндсэн статистик. 110 ажиглалт агуулсан binoml.sta файл үүсгэ. Эхний хувьсагчийг нэрлэнэ үү ХОЁС, хоёр дахь хувьсагч - ХОР.

Алхам 2. ХОЁС, цонхыг нээнэ үү Хувьсагч 1(зураг харна уу). Зурагт үзүүлсэн шиг томьёог цонхонд оруулна. Товчлуур дээр дарна уу OK.

Алхам 3.Гарчиг дээр давхар товшино уу ХОР, цонхыг нээнэ үү Хувьсагч 2(зураг харна уу)

Зурагт үзүүлсэн шиг томьёог цонхонд оруулна. Бид Пуассоны тархалтын параметрийг томъёогоор тооцоолж байгааг анхаарна уу =n×p. OK.

Тиймээс = 2000 × 1/30. Товчлуур дээр дарна уу

STATISTICA нь магадлалыг тооцоолж, үүсгэсэн файлд бичнэ.Алхам 4.

Ажиглалтын дугаар 86 руу гүйлгэж үзнэ үү. Хэрэв хоёр тоот тархалтыг ашиглавал нэг цагийн дотор сүлжээний 2000 хэрэглэгчээс 86 ба түүнээс дээш хэрэглэгчид нэгэн зэрэг орох магадлал 0.01347 болохыг харах болно.

Сүлжээний 2000 хэрэглэгчээс 86 ба түүнээс дээш хүн нэг цагт нэгэн зэрэг ажиллах магадлал нь Пуассоны ойролцоолсон хоёр тоот тархалтыг ашиглан 0.01293 байна.

Бидэнд 0.01-ээс ихгүй магадлал хэрэгтэй тул шаардлагатай харилцааны чанарыг хангахад 87 шугам хангалттай байх болно.

Хэрэв та бином тархалтын ердийн ойролцооллыг ашиглавал ижил төстэй үр дүнг авч болно (үүнийг шалгана уу!).

В.Феллерийн мэдэлд STATISTICA систем байгаагүй бөгөөд хоёр нэрийн болон хэвийн тархалтын хүснэгтүүдийг ашигласан болохыг анхаарна уу.

Үүнтэй ижил үндэслэлийг ашиглан В.Феллерийн хэлэлцсэн дараах асуудлыг шийдэж болно. Хэрэглэгчдийг тус бүр 1000 хүнтэй 2 бүлэгт хуваахдаа найдвартай үйлчлэхийн тулд илүү их эсвэл цөөн тооны шугам шаардлагатай эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Хэрэглэгчдийг бүлгүүдэд хуваахад ижил чанарын түвшинд хүрэхийн тулд нэмэлт 10 мөр шаардлагатай болно.

Та мөн өдрийн турш сүлжээний холболтын эрчмийн өөрчлөлтийг анхаарч үзэх боломжтой.

Геометрийн тархалт

Хэрэв Бернуллигийн бие даасан туршилтыг хийж, дараагийн "амжилт" хүртэлх туршилтын тоог тоолох юм бол энэ тоо нь геометрийн тархалттай байна. Тиймээс, хэрэв та зоос шидэх юм бол дараагийн сүлд гарч ирэхээс өмнө хэдэн удаа шидэх ёстой нь геометрийн хуульд захирагдана.

Геометрийн тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

p - амжилтанд хүрэх магадлал, x = 1, 2,3...

Тархалтын нэр нь геометрийн прогресстой холбоотой.

Тиймээс геометрийн тархалт нь тодорхой алхам дээр амжилтанд хүрэх магадлалыг тодорхойлдог.

Геометрийн тархалт нь экспоненциал тархалтын салангид аналог юм. Хэрэв цаг хугацаа квантаар өөрчлөгддөг бол цаг мөч бүрт амжилтанд хүрэх магадлалыг геометрийн хуулиар тодорхойлдог. Хэрэв цаг хугацаа тасралтгүй байвал магадлалыг экспоненциал эсвэл экспоненциал хуулиар тодорхойлно.

Гипергеометрийн тархалт

Энэ нь m = 0, 1,2,...,n бүхэл тоон утгыг магадлал бүхий X санамсаргүй хэмжигдэхүүний дискрет тархалт юм.

Энд N, M ба n нь сөрөг бус бүхэл тоо ба M< N, n < N.

Гипергеометрийн тархалт нь ихэвчлэн солихгүйгээр сонголттой холбоотой байдаг бөгөөд жишээлбэл, M хар, N - M цагаан зэрэг N бөмбөлөг агуулсан популяциас n хэмжээтэй санамсаргүй түүврээс яг m хар бөмбөг олох магадлалыг тодорхойлдог (харна уу. Жишээ нь, "Магадлал" нэвтэрхий толь ба математикийн статистик, М.: Оросын агуу нэвтэрхий толь, 144-р хуудас).

Гипергеометрийн тархалтын математик хүлээлт нь N-ээс хамаарахгүй бөгөөд харгалзах бином тархалтын μ=np математик хүлээлттэй давхцаж байна.

Гипергеометрийн тархалтын хэлбэлзэл бином тархалтын дисперсээс хэтрэхгүй npq. Гипергеометрийн тархалтын аль ч дарааллын мөчүүдэд бином тархалтын моментуудын харгалзах утгууд хандлагатай байдаг.

Энэ хуваарилалт нь чанарын хяналтын програмуудад маш их тохиолддог.

Олон гишүүнт тархалт

Олон гишүүнт буюу олон гишүүнт тархалт нь уг тархалтыг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Зоосыг хоёр үр дүнтэй (толгой эсвэл сүлд) шидэх үед хоёр нэрийн тархалт үүсдэг бол олон гишүүнт тархалт нь үхрийг өнхрүүлэх үед үүсдэг ба хоёроос илүү үр дүн гарах боломжтой. Албан ёсоор энэ нь n 1 + ... + n k = нөхцлийг хангасан n 1,...,n k сөрөг бус бүхэл тоон утгыг авч X 1,...,X k санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын хамтарсан тархалт юм. n, магадлал бүхий:

"Олон гишүүнт тархалт" гэсэн нэрийг олон гишүүнт (p 1 + ... + p k) n тэлэх үед олон гишүүнт магадлал үүсдэгтэй холбон тайлбарладаг.

Бета түгээлт

Бета тархалт нь дараах хэлбэрийн нягтралтай байна.

Стандарт бета тархалт нь 0-ээс 1 хүртэлх интервал дээр төвлөрдөг. Шугаман хувиргалтыг ашиглан бета утгыг ямар ч интервал дээр утгыг авахаар хувиргаж болно.

Бета тархалттай хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд:

Хэт их утгын хуваарилалт

Хэт их утгын тархалт (I төрөл) нь дараахь хэлбэрийн нягтралтай байдаг.

Энэ хуваарилалтыг заримдаа хэт үнэ цэнийн тархалт гэж нэрлэдэг.

Хэт их утгын хуваарилалтыг онцгой нөхцөл байдлын загварчлалд ашигладаг, жишээлбэл, үерийн түвшин, эргэлтийн хурд, тухайн жилийн хөрөнгийн зах зээлийн индексийн дээд хэмжээ гэх мэт.

Энэ хуваарилалтыг найдвартай байдлын онолд, жишээлбэл, цахилгаан хэлхээний эвдрэлийн хугацааг тодорхойлох, түүнчлэн актуар тооцоонд ашигладаг.

Рэйлигийн хуваарилалт

Рэйлигийн тархалт нь дараах хэлбэрийн нягтралтай байна.

энд b нь масштабын параметр юм.

Рэйлигийн тархалт нь 0-ээс хязгааргүй хүртэлх мужид төвлөрдөг. 0 утгын оронд STATISTICA нь босго параметрийн өөр утгыг оруулах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь Rayleigh тархалтыг тохируулахаас өмнө анхны өгөгдлөөс хасагдах болно. Тиймээс босго параметрийн утга нь ажиглагдсан бүх утгаас бага байх ёстой.

Хэрэв 1 ба 2 хоёр хувьсагч нь бие биенээсээ хамааралгүй бөгөөд ижил дисперстэй хэвийн тархсан бол хувьсагч Рэйлигийн тархалттай байх болно.

Жишээлбэл, буудлагын онолд Рэйлигийн тархалтыг ашигладаг.

Вейбуллийн тархалт

Weibull тархалтыг Шведийн судлаач Валодди Вейбуллийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр энэхүү хуваарилалтыг найдвартай байдлын онолын янз бүрийн хэлбэрийн бүтэлгүйтлийн хугацааг тодорхойлоход ашигласан.

Албан ёсоор Вейбуллийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар бичнэ.

Заримдаа Вейбуллийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар бичдэг.

B - масштабын параметр;

C - хэлбэрийн параметр;

E нь Эйлерийн тогтмол (2.718...).

Байршлын параметр. Ерөнхийдөө Weibull тархалт нь 0-ээс хязгааргүй хүртэлх хагас тэнхлэгт төвлөрдөг. Хэрэв 0-ийн хилийн оронд практикт ихэвчлэн шаардлагатай байдаг a параметрийг оруулбал гурван параметрт Weibull тархалт үүсдэг.

Weibull тархалтыг найдвартай байдлын онол, даатгалд өргөнөөр ашигладаг.

Дээр дурдсанчлан экспоненциал тархалтыг объектын бүтэлгүйтлийн магадлал тогтмол гэсэн таамаглалаар бүтэлгүйтэх хугацааг тооцоолох загвар болгон ашигладаг. Хэрэв бүтэлгүйтлийн магадлал цаг хугацааны явцад өөрчлөгдвөл Weibull хуваарилалтыг хэрэглэнэ.

At =1-тэй эсвэл өөр нэг параметржүүлэлтээр Вейбуллийн тархалтаар томъёоноос харахад экспоненциал тархалт, -тэй - Рэйлигийн тархалт болж хувирдаг.

Вейбуллийн тархалтын параметрүүдийг тооцоолох тусгай аргуудыг боловсруулсан (жишээлбэл: Лоулесс (1982) Statistical models and methods for lifetime data, Belmont, CA: Lifetime Learning, энэ нь тооцооллын аргууд, түүнчлэн асуудлуудыг тодорхойлсон номыг үзнэ үү. Weibull) гурван параметрийн тархалтын байрлалын параметрийг тооцоолоход үүсдэг.

Найдвартай байдлын шинжилгээ хийхдээ тухайн цаг хугацааны дараа богино хугацааны интервалд бүтэлгүйтэх магадлалыг харгалзан үзэх шаардлагатай байдаг. t энэ мөч хүртэл заасан t бүтэлгүйтэл гарсангүй.

Энэ функцийг эрсдэлийн функц буюу бүтэлгүйтлийн түвшний функц гэж нэрлэдэг бөгөөд албан ёсоор дараах байдлаар тодорхойлогддог.

H(t) - t үеийн бүтэлгүйтлийн түвшний функц эсвэл эрсдэлийн функц;

f(t) - эвдрэлийн үеийн хуваарилалтын нягт;

F(t) - эвдрэлийн хугацааны хуваарилалтын функц (интервал дахь нягтын интеграл).

Ерөнхийдөө бүтэлгүйтлийн түвшний функцийг дараах байдлаар бичнэ.

Эрсдлийн функц нь төхөөрөмжийн хэвийн үйл ажиллагаанд тохирох тогтмол утгатай тэнцүү байх үед (томъёог үзнэ үү).

Эрсдэлийн функц буурах үед энэ нь төхөөрөмжийн ажиллах хугацаатай тохирч байна.

Эрсдлийн функц буурах үед энэ нь төхөөрөмжийн насжилттай тохирч байна. Ердийн эрсдэлийн функцуудыг графикт үзүүлэв.

Төрөл бүрийн параметр бүхий Weibull нягтын графикийг доор үзүүлэв. a параметрийн утгын гурван мужид анхаарлаа хандуулах шаардлагатай.

Эхний бүсэд эрсдэлийн функц буурч (тохируулгын хугацаа), хоёр дахь бүсэд эрсдэлийн функц тогтмол хэмжээтэй тэнцүү, гуравдугаар бүсэд эрсдэлийн функц нэмэгддэг.

Шинэ машин худалдаж авах жишээг ашиглан юу хэлснийг хялбархан ойлгож болно: эхлээд машин дасан зохицох хугацаа, дараа нь удаан хугацаагаар хэвийн ажиллах хугацаа, дараа нь машины эд анги элэгдэж, эвдрэх эрсдэлтэй байдаг. огцом нэмэгддэг.

Үйл ажиллагааны бүх үеийг ижил хуваарилалтын гэр бүлээр дүрслэх нь чухал юм. Энэ бол Weibull түгээлтийн цаад санаа юм.

Weibull тархалтын үндсэн тоон шинж чанарыг танилцуулъя.

Парето хуваарилалт

Хэрэглээний статистикийн янз бүрийн асуудалд таслагдсан хуваарилалт гэж нэрлэгддэг зүйл нэлээд түгээмэл байдаг.

Жишээлбэл, энэ хуваарилалтыг даатгалд эсвэл татварт ашигладаг бөгөөд ашиг нь тодорхой утгаас хэтэрсэн орлогод ашиглагдана c 0

Парето тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Логистик түгээлт

Логистик түгээлт нь нягтын функцтэй:

A - байрлалын параметр;

B - масштабын параметр;

E - Эйлерийн дугаар (2.71...).

Hotelling T 2 түгээлт

(0, Г) интервал дээр төвлөрсөн энэхүү тасралтгүй тархалт нь нягтралтай байна:

параметрүүд хаана байна n ба k, n >_k >_1-ийг эрх чөлөөний зэрэг гэнэ.

At k = 1 Hotelling, P-хуваарилалт нь Оюутны хуваарилалт хүртэл буурдаг ба аль ч хувьд k >1 нь Оюутны тархалтыг олон хувьсагч тохиолдолд ерөнхийд нь авч үзэх боломжтой.

Зочид буудлын хуваарилалт нь хэвийн тархалт дээр суурилдаг.

k хэмжээст санамсаргүй вектор Y нь тэг вектор дундаж ба ковариацын матрицтай хэвийн тархалттай байг.

Тоо хэмжээг авч үзье

Энд Z i санамсаргүй векторууд нь бие биенээсээ болон Y-ээс хамааралгүй бөгөөд Y-тэй ижил байдлаар тархсан байна.

Тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн T 2 =Y T S -1 Y нь n зэрэгтэй эрх чөлөөний T 2 -Hotelling тархалттай байна (Y нь баганын вектор, T нь шилжүүлгийн оператор).

санамсаргүй хэмжигдэхүүн хаана байна t n нь n зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий Оюутны тархалттай ("Магадлал ба Математик Статистик," нэвтэрхий толь, хуудас 792-ыг үзнэ үү).

Хэрэв Y нь тэгээс өөр дундажтай хэвийн тархалттай бол харгалзах тархалтыг дуудна төв бус Hotelling T 2 -эрх чөлөөний n зэрэгтэй хуваарилалт ба төвлөрсөн бус параметр v.

Hotelling T 2 -тархалт нь математикийн статистикт Оюутны ^-тархалттай ижил нөхцөлд ашиглагддаг, гэхдээ зөвхөн олон хувьсагч тохиолдолд. Хэрэв X 1,..., X n ажиглалтын үр дүн нь μ дундаж вектор ба ганц бус ковариацын матрицтай бие даасан, хэвийн тархалттай санамсаргүй векторууд байвал статистик

нь Hotelling T 2 - түгээх нь байна n - 1 градусын эрх чөлөө. Энэ баримт нь Hotelling шалгуурын үндэс суурь болдог.

STATISTICA-д Hotelling тестийг жишээ нь Үндсэн статистик ба хүснэгтийн модульд ашиглах боломжтой (доорх харилцах цонхыг харна уу).

Максвелл хуваарилалт

Максвеллийн тархалт нь идеал хийн молекулуудын хурдны тархалтыг тайлбарлах үед физикт үүссэн.

Энэхүү тасралтгүй тархалт нь (0, ) дээр төвлөрсөн бөгөөд нягтралтай байна:

Түгээлтийн функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд Ф(x) нь стандарт хэвийн тархалтын функц юм. Максвеллийн тархалт нь эерэг хазайлтын коэффициенттэй бөгөөд нэг цэг дээр нэг горимтой байдаг (өөрөөр хэлбэл тархалт нь нэг загвартай).

Максвелл хуваарилалт нь ямар ч дарааллын төгсгөлийн мөчүүдтэй; Математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү, мөн

Максвеллийн тархалт нь ердийн тархалттай холбоотой байдаг.

Хэрэв X 1, X 2, X 3 нь 0 ба õ 2 параметртэй хэвийн тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн Максвелл тархалттай. Иймд Максвеллийн тархалтыг гурван хэмжээст орон зай дахь декартын координатын систем дэх координат нь бие даасан, дундаж 0, дисперс õ 2-той хэвийн тархсан санамсаргүй векторын уртын тархалт гэж үзэж болно.

Коши хуваарилалт

Энэ гайхалтай тархалт нь заримдаа дундаж утгагүй байдаг, учир нь түүний нягтрал нь х үнэмлэхүй утгыг нэмэгдүүлэх тусам аажмаар тэг рүү чиглэдэг. Ийм тархалтыг хүнд сүүлт хуваарилалт гэж нэрлэдэг. Хэрэв та дундаж утгагүй хуваарилалтыг гаргах шаардлагатай бол тэр даруй Коши хуваарилалт гэж нэрлэнэ үү.

Коши тархалт нь горимын хувьд нэг загварлаг бөгөөд тэгш хэмтэй бөгөөд энэ нь медиан бөгөөд нягтын функцтэй байдаг:

Хаана c > 0 - масштабын параметр ба a нь горим ба медианы утгыг нэгэн зэрэг тодорхойлдог төвийн параметр юм.

Нягтын интеграл, өөрөөр хэлбэл тархалтын функцийг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.

Оюутны хуваарилалт

Английн статистикч В.Госсет, “Оюутан” хэмээх нууц нэрээр алдаршсан, англи шар айрагны чанарын статистик судалгаанаас ажлын гараагаа эхэлсэн бөгөөд 1908 онд дараах үр дүнд хүрчээ. Болъё x 0 , x 1 ,.., x m - бие даасан, (0, s 2) - хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд:

Энэ хуваарилалтыг одоо Оюутны тархалт гэж нэрлэдэг (товчилсон t (m) тархалт, энд m нь эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо) нь хоёр популяцийн дундаж утгыг харьцуулах зорилготой алдартай t-тестийн үндэс юм.

Нягтын функц f t (x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний õ 2 дисперсээс хамаарахгүй бөгөөд үүнээс гадна x = 0 цэгийн хувьд нэг модаль, тэгш хэмтэй байна.

Оюутны тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Дундаж үнэлгээг авч үзэж, түүврийн хэлбэлзэл тодорхойгүй тохиолдолд t-ийн тархалт чухал юм. Энэ тохиолдолд түүврийн дисперс ба t тархалтыг ашиглана.

Их хэмжээний эрх чөлөөний хувьд (30-аас дээш) t-тархалт нь стандарт хэвийн тархалттай бараг давхцдаг.

Эрх чөлөөний зэрэг нэмэгдэхийн хэрээр t-тархалтын нягтын функцийн график дараах байдлаар гажиглана: оргил нь нэмэгдэж, сүүл нь 0 хүртэл огцом явж, t-тархалтын нягтын функцийн график хажуу тийш шахагдсан мэт харагдана.

F тархалт

Ингээд авч үзье m 1 + m 2 бие даасан ба (0, s 2) хэвийн тархсан хэмжигдэхүүнүүд

болон тавих

Мэдээжийн хэрэг, ижил санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр бие даасан, зохих ёсоор нормчлогдсон хи-квадрат тархсан хувьсагчийн харьцаа гэж тодорхойлж болно.

Английн нэрт статистикч Р.Фишер 1924 онд санамсаргүй хэмжигдэхүүний F(m 1, m 2) магадлалын нягтыг дараах функцээр өгөгдсөн болохыг харуулсан.

Энд Г(у) нь Эйлерийн гамма функцийн утга юм. цэг y ба хуулийг өөрөө m,1l m7-тэй тэнцүү тооны болон хуваагчийн чөлөөт байдлын зэрэгтэй F-тархалт гэж нэрлэдэг.

F тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

F тархалт нь ялгаварлан гадуурхах шинжилгээ, регрессийн шинжилгээ, дисперсийн шинжилгээ болон бусад төрлийн олон талт өгөгдлийн шинжилгээнд илэрдэг.

Практикт олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн нөлөөнд автдаг ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд магадлалын тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг. Тиймээс магадлалын онолын янз бүрийн хэрэглээнд энэ хууль онцгой ач холбогдолтой юм.

$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал магадлалын тархалтын хуулинд захирагдана.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ функцийн графикийг зурагт бүдүүвчээр үзүүлсэн бөгөөд "Гаусын муруй" гэж нэрлэнэ. Энэ графикийн баруун талд еврог худалдаанд гаргахаас өмнө хэрэглэж байсан Германы 10 маркийн мөнгөн дэвсгэрт байна. Хэрэв та анхааралтай ажиглавал энэ мөнгөн дэвсгэрт дээр Гауссын муруй, түүнийг нээсэн хамгийн агуу математикч Карл Фридрих Гауссыг харж болно.

$f\left(x\right)$ нягтын функц руугаа буцаж $a,\ (\sigma )^2$ түгээлтийн параметрүүдийн талаар зарим тайлбар өгье. $a$ параметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтын төвийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлт гэсэн утгатай. $a$ параметр өөрчлөгдөж, $(\sigma )^2$ параметр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх үед бид $f\left(x\right)$ функцийн графикийн абсцисса дагуу шилжилтийг ажиглаж болно, харин нягтын график өөрөө хэлбэрээ өөрчилдөггүй.

$(\sigma )^2$ параметр нь дисперс бөгөөд $f\left(x\right)$ нягтын графикийн муруйн хэлбэрийг тодорхойлдог. $(\sigma )^2$ параметрийг $a$ параметрээр өөрчлөгдөөгүй үед бид нягтын график абсцисса тэнхлэгийн дагуу шилжихгүйгээр хэлбэрээ шахаж, сунах замаар хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ажиглаж болно.

Өгөгдсөн интервалд хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал

Мэдэгдэж байгаагаар $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалд орох магадлалыг $P\left(\alpha) тооцоолж болно.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Энд $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ функц нь Лаплас функц. Энэ функцийн утгыг -аас авсан болно. $\Phi \left(x\right)$ функцийн дараах шинж чанаруудыг тэмдэглэж болно.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, өөрөөр хэлбэл $\Phi \left(x\right)$ функц сондгой байна.

2 . $\Phi \left(x\right)$ нь нэг хэвийн өсөлттэй функц юм.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ зүүн(x\баруун)\ )=-0.5$.

$\Phi \left(x\right)$ функцийн утгыг тооцоолохын тулд Excel-ийн $f_x$ функцийг ашиглаж болно: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x) ;0;1;1\баруун )-0.5$. Жишээлбэл, $\Phi \left(x\right)$ функцийн утгыг $x=2$-д тооцож үзье.

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ математикийн хүлээлт $a$-тай харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалд унах магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Гурван сигма дүрэм. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ интервалд орох нь бараг тодорхой юм.

Жишээ 1 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $a=2,\ \sigma =3$ параметр бүхий хэвийн магадлалын тархалтын хуульд захирагдана. $X$ $\left(0.5;1\right)$ интервалд орох магадлал болон $\left|X-a\right| тэгш бус байдлыг хангах магадлалыг ол.< 0,2$.

Томьёог ашиглах

$$P\left(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

бид $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\(3)-аас дээш олно. ))\баруун)=\Phi \left(-0.33\баруун)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\баруун)=0.191- 0,129=0,062 доллар.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Жишээ 2 . Жилийн туршид тодорхой компанийн хувьцааны үнэ нь ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна гэж бодъё, математикийн хүлээлт нь 50 ердийн мөнгөн нэгжтэй тэнцэх, стандарт хазайлт нь 10-тай тэнцүү байна. Санамсаргүй түүврийн дагуу сонгох магадлал хэд вэ? Хэлэлцэж буй хугацааны өдөр урамшууллын үнэ нь:

a) 70 гаруй ердийн мөнгөн нэгж үү?

б) нэгж хувьцаанд 50-аас доош байх уу?

в) нэгж хувьцаанд 45-58 ердийн мөнгөн нэгжийн хооронд байх уу?

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зарим компанийн хувьцааны үнэ байг. Нөхцөлөөр $X$ нь $a=50$ - математикийн хүлээлт, $\сигма =10$ - стандарт хазайлт гэсэн параметртэй хэвийн тархалтад хамаарна. Магадлал $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\баруун)=\Phi \left(((\infty -50)\(10))\баруун)-\Phi \left(((70-50)\ дээш (10))\баруун)=0.5-\Phi \зүүн(2\баруун)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\зүүн(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Хэдийгээр чамин нэртэй ч нийтлэг тархалтууд нь хоорондоо зөн совинтой, сонирхолтой байдлаар холбогддог бөгөөд энэ нь тэднийг санаж, итгэлтэйгээр тайлбарлахад хялбар болгодог. Зарим нь, жишээлбэл, Бернуллигийн тархалтыг дагадаг. Эдгээр холболтын газрын зургийг харуулах цаг болжээ.

Тархалт бүрийг тархалтын нягтын функцийн (DFF) жишээгээр харуулав. Энэ нийтлэл нь зөвхөн үр дүн нь ганц тоогоор илэрхийлэгдэх тархалтын тухай юм. Тиймээс график бүрийн хэвтээ тэнхлэг нь үр дүнгийн боломжит тоонуудын багц юм. Босоо - үр дүн бүрийн магадлал. Зарим тархалт нь салангид байдаг - тэдгээрийн үр дүн нь 0 эсвэл 5 гэх мэт бүхэл тоо байх ёстой. Эдгээрийг үр дүн тус бүрд нэг, өгөгдсөн үр дүнгийн магадлалд тохирсон өндөртэй, сийрэг шугамаар зааж өгсөн болно. Зарим нь тасралтгүй, үр дүн нь -1.32 эсвэл 0.005 гэх мэт ямар ч тоон утгыг авч болно. Эдгээрийг магадлалыг өгдөг муруйн хэсгүүдийн доорх хэсгүүдтэй нягт муруй хэлбэрээр үзүүлэв. Шугам ба муруй доорх талбайн өндрийн нийлбэр нь үргэлж 1 байна.

Үүнийг хэвлэж, тасархай шугамын дагуу хайчилж, хэтэвчиндээ авч яваарай. Энэ бол түгээлтийн улс болон тэдний хамаатан садны талаарх таны гарын авлага юм.

Бернулли ба дүрэмт хувцас

Бернуллигийн тархалт нь буруу зоос эргүүлэх гэх мэт тэгш бус магадлалтай үр дүнг илэрхийлж болно. Дараа нь толгойн магадлал 0.5 биш, харин өөр бусад утга p, сүүлний магадлал 1-p байх болно. Бусад олон түгээлтийн нэгэн адил энэ нь үнэндээ дээрх p шиг тодорхой параметрээр тодорхойлогдсон тархалтын бүхэл бүтэн гэр бүл юм. “Бернулли” гэж бодохдоо “(магадгүй буруу) зоос шидэх” тухай бод.

Эндээс хэд хэдэн ижил магадлалтай үр дүнгийн дээр хуваарилалтыг төлөөлөх нь маш жижиг алхам юм: хавтгай PDF-ээр тодорхойлогддог жигд тархалт. Ердийн шоо гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний 1-6 хүртэлх үр дүн нь адилхан магадлалтай. Үүнийг ямар ч тооны үр дүнгийн n хувьд, тэр ч байтугай тасралтгүй тархалтаар зааж өгч болно.

Тэгш хуваарилалтыг "шулуун үхэл" гэж бодоорой.

Бином ба гипергеометр

Шударга зоосыг хоёр удаа шидэх - энэ нь хэдэн удаа толгой байх вэ? Энэ нь бином тархалтыг дагасан тоо юм. Түүний параметрүүд нь n, туршилтын тоо, p - "амжилтанд хүрэх" магадлал (манай тохиолдолд толгой эсвэл 1). Шидэх бүр нь Бернуллигаар хуваарилагдсан үр дүн буюу тест юм. Зоос шидэх гэх мэт зүйлсийн амжилтын тоог тоолохдоо хоёр нэрийн тархалтыг ашиглана уу, шидэх бүр нь бусдаас хамааралгүй бөгөөд амжилтанд хүрэх магадлал ижил байна.

Эсвэл ижил тооны цагаан, хар бөмбөлөг бүхий савыг төсөөлөөд үз дээ. Нүдээ аниад, бөмбөгийг гаргаж, өнгийг нь бичээд буцааж тавь. Давт. Хар бөмбөгийг хэдэн удаа зурсан бэ? Мөн энэ тоо нь бином тархалтыг дагадаг.

Гипергеометрийн тархалтын утгыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс бид энэхүү хачирхалтай нөхцөл байдлыг танилцуулсан. Энэ нь ижил тооны хуваарилалт юм, гэхдээ нөхцөл байдалд бид бол Үгүйбөмбөгийг буцааж өгсөн. Энэ нь мэдээж хоёр нэрийн тархалтын үеэл боловч сугалсан бөмбөг бүрт амжилтанд хүрэх магадлал өөрчлөгддөг тул ижил биш юм. Хэрэв сугалааны тоотой харьцуулахад бөмбөгний тоо хангалттай их байвал эдгээр хуваарилалт бараг ижил байна, учир нь сугалаа бүрт амжилтанд хүрэх магадлал маш бага өөрчлөгддөг.

Хүмүүс савнаас бөмбөгийг буцааж өгөхгүйгээр сугалж авах тухай ярихад "тийм ээ, гипергеометрийн тархалт" гэж хэлэх нь бараг аюулгүй байдаг, учир нь би амьдралдаа бөмбөг дүүргэж, дараа нь сугалж аваад буцааж өгсөн хүнтэй хэзээ ч уулзаж байгаагүй. , эсвэл эсрэгээр. Би хогийн савтай хүнийг ч мэдэхгүй. Зарим популяцийн томоохон дэд бүлгийг түүвэр болгон сонгох үед энэ хуваарилалт бүр илүү олон удаа гарч ирдэг.

Анхаарна уу орчуулга

Энд тийм ч ойлгомжтой биш байж магадгүй, гэхдээ энэ заавар нь анхлан суралцагчдад зориулсан экспресс хичээл тул үүнийг тодруулах хэрэгтэй. Хүн ам бол бидний статистикийн хувьд үнэлмээр байгаа зүйл юм. Тооцоолохын тулд бид тодорхой хэсгийг (дэд олонлог) сонгож, түүн дээр шаардлагатай тооцоог хийнэ (дараа нь энэ дэд олонлогийг түүвэр гэж нэрлэдэг), нийт хүн амын тооцоолол ижил байх болно гэж үзэв. Гэхдээ энэ нь үнэн байхын тулд түүврийн дэд олонлогийн тодорхойлолтод нэмэлт хязгаарлалт хийх шаардлагатай байдаг (эсвэл эсрэгээр, мэдэгдэж буй түүврийг өгвөл энэ нь хүн амыг хангалттай нарийвчлалтай дүрсэлсэн эсэхийг үнэлэх шаардлагатай).

Практик жишээ - бид E3 руу аялахын тулд 100 хүнтэй компаниас төлөөлөгч сонгох хэрэгтэй. Өнгөрсөн жил тэнд 10 хүн аялсан нь мэдэгдэж байна (гэхдээ хэн ч үүнийг хүлээн зөвшөөрдөггүй). Бүлэгт ядаж нэг туршлагатай нөхөр байх магадлал өндөр байхын тулд хамгийн бага хэмжээ хэд байх ёстой вэ? Энэ тохиолдолд хүн ам 100, түүвэр 10, түүврийн шаардлага нь E3 руу аль хэдийн аялсан дор хаяж нэг хүн байна.

Википедиа нь багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн талаар бага инээдтэй, гэхдээ илүү практик жишээтэй.

Пуассон

Дуран тооллын нэгэн адил Пуассоны тархалт нь тоолох тархалт юм: ямар нэг зүйл тохиолдох тоо. Энэ нь p магадлал ба туршилтын тоо n-ээр бус харин дундаж эрчим λ-ээр параметрлэгддэг бөгөөд энэ нь binomial-тай адил энгийн np тогтмол утга юм. Пуассоны хуваарилалт - энэ нь юуны тухай юм шаардлагатайТогтмол өгөгдсөн эрчимтэй тодорхой хугацааны туршид үйл явдлуудыг тоолох тухай ярьж байгааг санаарай.

Чиглүүлэгч дээр ирсэн пакетууд, дэлгүүрт үйлчлүүлэгчид гарч ирэх, эсвэл оочерлож буй зүйл гэх мэт зүйл байвал "Пуассон" гэж бодоорой.

Геометрийн ба сөрөг бином

Хэрэв бином тархалт нь "хэдэн амжилт" бол геометрийн тархалт нь "Амжилтын өмнө хэдэн бүтэлгүйтэл вэ?"

Сөрөг binomial тархалт нь өмнөх нэг ерөнхий ойлголт юм. Энэ нь 1 биш r амжилт байхаас өмнөх бүтэлгүйтлийн тоо юм. Иймээс энэ r-ээр цааш нь параметржүүлнэ. Үүнийг заримдаа амжилтаас r бүтэлгүйтлийн тоо гэж тодорхойлдог. Гэхдээ миний амьдралын дасгалжуулагчийн хэлснээр: "Амжилт, бүтэлгүйтэл юу болохыг та өөрөө л шийддэг" гэж хэлэхэд p магадлал нь амжилт эсвэл бүтэлгүйтлийн зөв магадлал байх ёстой гэдгийг санаж байгаа бол энэ нь адилхан юм.

Хэрэв та хурцадмал байдлыг арилгахын тулд хошигнол хэрэгтэй бол дуран ба гипергеометрийн тархалт нь тодорхой хос боловч геометр ба сөрөг хоёр тоо нь хоорондоо нэлээд төстэй гэдгийг дурдаад "За, энэ бүгдийг хэн гэж нэрлэдэг вэ? ”

Экспоненциал ба Вейбула

За, өмнөх шигээ бид цаг хугацааны хуваах геометрийн хуваарилалтын хязгаарт шилждэг - мөн voila. Бид дуудлага хийхээс өмнөх цагийг үнэн зөв дүрсэлсэн экспоненциал тархалтыг олж авдаг. Үр дүн нь бүхэл бүтэн секундын дотор байх албагүй учраас энэ бол бидний анхных нь тасралтгүй тархалт юм. Пуассоны тархалтын нэгэн адил энэ нь λ эрчимээр параметрлэгддэг.

Дуран ба геометрийн хоорондын уялдаа холбоог дахин давтаж, Пуассон "цаг хугацаанд хичнээн үйл явдал?" Энэ нь “үйл явдал хэр удаан үргэлжлэх бол?” гэсэн экспоненциалтай холбоотой. Хэрэв нэгж хугацаанд ногдох тоо нь Пуассоны тархалтад захирагдах үйл явдлууд байгаа бол тэдгээрийн хоорондох хугацаа нь ижил параметртэй λ-тэй экспоненциал тархалтад захирагдана. Аль нэгийг нь хэлэлцэх үед хоёр хуваарилалтын хоорондох энэхүү захидал харилцааг анхаарах ёстой.

"Үйл явдал хүртэлх цаг", магадгүй "бүтэлгүйтлийн цаг" тухай бодох үед экспоненциал тархалт нь санаанд орж ирэх ёстой. Үнэн хэрэгтээ энэ нь маш чухал нөхцөл байдал бөгөөд Weibull тархалт гэх мэт MTBF-ийг тайлбарлах илүү ерөнхий хуваарилалтууд байдаг. Элэгдлийн хувь эсвэл эвдрэлийн хувь тогтмол байх үед экспоненциал тархалт тохиромжтой байдаг бол Вейбуллийн тархалт нь цаг хугацааны явцад нэмэгдэж буй (эсвэл буурах) эвдрэлийн түвшинг загварчилж чаддаг. Экспоненциал бол ерөнхийдөө онцгой тохиолдол юм.

MTBF-ийн тухай ярихдаа "Weibull" гэж бодоорой.

Хэвийн, логнормаль, Оюутны t ба хи-квадрат

Анхаарна уу орчуулга

Зохиогч нь нийлмэл хуваарилалтын харьцуулж болохуйц хэмжээний хэрэгцээний талаар бичээгүйд би гайхсан: хэрэв нэг нь бусдыг давамгайлж байвал нэгдэл нь маш муу байх болно. Мөн ерөнхийдөө туйлын бие даасан байх шаардлагагүй, сул хамааралтай байх нь хангалттай.

За, түүний бичсэнчлэн үдэшлэгт сайн байх.

Нөхцөл байдлын хувьд хэвийн нь бүх тархалттай холбоотой байдаг. Хэдийгээр энэ нь үндсэндээ бүх төрлийн хэмжээг хуваарилахтай холбоотой юм. Бернулли туршилтын нийлбэр нь хоёр төрлийн тархалтыг дагаж мөрддөг ба туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр энэхүү бином тархалт хэвийн тархалтад ойртоно. Үүний нэгэн адил түүний үеэл нь гипергеометрийн тархалт юм. Пуассоны тархалт - binomial-ийн хязгаарлах хэлбэр нь эрчимжилтийн параметр нэмэгдэх тусам хэвийн хэмжээнд ойртдог.

Логарифм нь хэвийн тархсан утгыг логнормаль тархалтыг дагаж гарсан үр дүн гаргадаг. Эсвэл өөрөөр хэлбэл: хэвийн тархсан утгын илтгэгч нь логнормал тархалттай байна. Хэрэв нийлбэрүүд хэвийн тархсан бол бүтээгдэхүүнүүд нь хэвийн тархалттай гэдгийг санаарай.

Оюутны t тархалт нь бусад салбарт статистикийн бус олон хүмүүс суралцдаг t тестийн үндэс болдог. Энэ нь хэвийн тархалтын дундаж утгын талаар таамаглал гаргахад хэрэглэгддэг ба параметр нь өсөх тусам хэвийн тархалт руу чиглэдэг. t-тархалтын өвөрмөц шинж чанар нь түүний сүүл нь хэвийн тархалтаас илүү зузаан байдаг.

Хэрэв тарган сүүлт хошигнол хөршөө хангалттай хөдөлгөж чадаагүй бол шар айрагны тухай хөгжилтэй үлгэр рүү шилжээрэй. Одоогоос 100 гаруй жилийн өмнө Гиннесс статистикийн мэдээг ашиглан өөрийн биеийг сайжруулахад ашигладаг. Дараа нь Уильям Сили Госсет арвайн тариалалтыг сайжруулах цоо шинэ статистик онолыг зохион бүтээжээ. Госсетт бусад шар айраг үйлдвэрлэгчид түүний санааг хэрхэн ашиглахыг ойлгохгүй гэж даргадаа итгүүлж, "Оюутан" хэмээх нууц нэрээр нийтлэх зөвшөөрөл авсан. Госсетийн хамгийн алдартай амжилт бол түүний нэрээр нэрлэгдсэн t-тараалт юм.

Эцэст нь хи-квадрат тархалт нь хэвийн тархсан утгуудын квадратуудын нийлбэрийн тархалт юм. Хи-квадрат тест нь энэ тархалт дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь өөрөө хэвийн тархсан байх ёстой ялгаануудын квадратуудын нийлбэр дээр суурилдаг.

Гамма ба бета

Эдгээр коньюгат хуваарилалтын талаар бүү ярь, гэхдээ хэрэв шаардлагатай бол бета түгээлтийн талаар ярихаа бүү мартаарай, учир нь энэ нь энд дурдсан ихэнх тархалтын өмнөх коньюгат юм. Дата судлаачид үүнийг яг ийм зорилгоор бүтээсэн гэдэгт итгэлтэй байна. Үүнийг санамсаргүйгээр дурдаж, хаалга руу оч.

Мэргэн ухааны эхлэл

Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч тухайн тохиолдлоос хамааран тодорхой утгыг авч болох хувьсах хэмжигдэхүүн юм. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z) тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Энэ нь тодорхой тэг биш магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.

1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.

Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)ашиглан түгээлтийн функц F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).

F(x) функцийн шинж чанарууд

3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хуваарилалтын хуулийн хамгийн чухал шинж чанарыг тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх дундаж хэмжээг харуулсан тоо байж болно.

Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг. :

• Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар Математикийн хүлээлт (дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
  M(X)=Σ x i p i
• Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ Тархалт дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2 эсвэл D(X) = M(X 2)− 2
  . X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
• Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ Стандарт хазайлт (стандарт хазайлт).

σ(X)=√D(X)

"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.

Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.

Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Даалгавар 3.

Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ.

Шийдэл. 1. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F(x) тархалтын функцийг олоод график зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 =0 (төхөөрөмжийн аль ч элемент амжилтгүй болсон), x 2 =1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 =2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон ) ба x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон). Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг ашиглах боломжтой. Бернуллигийн томъёо
. n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;

Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Тиймээс X-ийн хүссэн хоёр нэрийн тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

3. Бид абсцисса тэнхлэгийн дагуу x i-ийн боломжит утгуудыг, ординатын тэнхлэгийн дагуу p i-ийн харгалзах магадлалыг зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.

x > 3-ын хувьд F(x) = 1 байх болно, учир нь үйл явдал найдвартай.

4. F(x) функцын график
X хоёрын тархалтын хувьд:
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

6-р хэсэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ердийн хууль ба тоон шинж чанар

F(x), p(x) функцүүдийн хэлбэр буюу p(x i) тоололыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэнэ. Хэдийгээр бид хязгааргүй олон янзын санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг төсөөлж чадах ч тархалтын хууль хамаагүй цөөн байдаг. Нэгдүгээрт, өөр өөр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд яг ижил тархалтын хуультай байж болно. Жишээ нь: 0.5 магадлал бүхий 1 ба -1 гэсэн 2 утгыг л авъя; z = -y утга нь яг ижил тархалтын хуультай байна.
Хоёрдугаарт, ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ижил төстэй тархалтын хуультай байдаг, жишээлбэл, тэдгээрийн хувьд p(x) нь зөвхөн нэг буюу хэд хэдэн тогтмол үзүүлэлтээр ялгаатай ижил хэлбэрийн томъёогоор илэрхийлэгддэг. Эдгээр тогтмолуудыг түгээлтийн параметрүүд гэж нэрлэдэг.

Хэдийгээр зарчмын хувьд янз бүрийн хуваарилалтын хуулиуд боломжтой боловч хамгийн ердийн хэд хэдэн хуулийг энд авч үзэх болно. Тэдгээрийн үүсэх нөхцөл, эдгээр хуваарилалтын параметр, шинж чанарыг анхаарч үзэх нь чухал юм.

1. Нэг төрлийн хуваарилалт
Энэ нь (a,b) интервалд дурын утгыг авч болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг өгсөн нэр бөгөөд (a,b) доторх аль ч сегментэд унах магадлал нь тухайн хэсгийн урттай пропорциональ байна. сегмент бөгөөд түүний байрлалаас хамаардаггүй бөгөөд гаднах утгын магадлал (a,b ) нь 0-тэй тэнцүү байна.

Зураг 6.1 Нэг төрлийн тархалтын функц ба нягт

Түгээлтийн параметрүүд: a, b

2. Хэвийн тархалт
Томъёогоор тодорхойлсон нягтралтай тархалт

(6.1)

хэвийн гэж нэрлэдэг.
Түгээлтийн параметрүүд: a, σ

Зураг 6.2 Ердийн нягт ба хэвийн тархалтын функц

3. Бернуллигийн тархалт
Хэрэв А үйл явдал тус бүрт ижил магадлалаар p гарч болох бие даасан туршилтыг цувралаар хийвэл тухайн үйл явдлын тохиолдлын тоо нь Бернуллигийн хууль эсвэл бином хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно. (түгээлтийн өөр нэр).

Энд n нь цувралын туршилтын тоо, m нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн (А үйл явдлын тохиолдлын тоо), P n (m) нь А яг m удаа тохиолдох магадлал, q = 1 - p (магадлал А нь шүүх хуралд оролцохгүй.)

Жишээ 1: Шалгуурыг 5 удаа өнхрүүлсэн бол 6-г хоёр удаа өнхрүүлэх магадлал хэд вэ?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Түгээлтийн параметрүүд: n, p

4. Пуассоны тархалт
Пуассоны тархалтыг Бернуллигийн тархалтын хязгаарлагдмал тохиолдлоор олж авна, хэрэв p нь тэг рүү, n нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай, гэхдээ тэдгээрийн үржвэр нь тогтмол хэвээр байвал: nр = а. Албан ёсоор хязгаарт ийм гарц нь томъёонд хүргэдэг

Түгээлтийн параметр: a

Шинжлэх ухаан болон практик амьдралд олдсон олон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд Пуассоны тархалтад хамаарна.

Жишээ 2: түргэн тусламжийн төвд нэг цагийн дотор ирсэн дуудлагын тоо.
T хугацааны интервалыг (1 цаг) жижиг dt интервалд хуваая, ингэснээр dt-ийн үед хоёр ба түүнээс дээш дуудлага хүлээн авах магадлал маш бага, нэг дуудлагын магадлал p нь dt-тэй пропорциональ байна: p = μdt;
бид dt моментуудын ажиглалтыг бие даасан туршилт гэж үзэх болно, T хугацааны туршид ийм туршилтын тоо: n = T / dt;
Хэрэв бид нэг цагийн дотор дуудлага ирэх магадлал өөрчлөгддөггүй гэж үзвэл нийт дуудлагын тоо Бернуллигийн хуульд n = T / dt, p = μdt гэсэн параметрүүдийг дагаж мөрддөг. dt-ийг тэг рүү чиглүүлснээр n нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай бөгөөд n×р үржвэр тогтмол хэвээр байна: a = n×r = μТ.

Жишээ 3: зарим тогтмол эзэлхүүн дэх идеал хийн молекулуудын тоо V.
V эзэлхүүнийг dV-д хоёр ба түүнээс дээш молекул олох магадлал бага, нэг молекулыг олох магадлал dV-тэй пропорциональ байхаар dV-ийн жижиг эзэлхүүнүүдэд хуваая: p = μdV; бид dV эзлэхүүн бүрийн ажиглалтыг бие даасан туршилт гэж үзэх болно, ийм туршилтын тоо n=V/dV; хэрэв V доторх аль ч газраас молекулыг олох магадлал ижил гэж үзвэл V эзлэхүүн дэх молекулуудын нийт тоо Бернуллигийн хуулийг n = V / dV, p = μdV параметртэй дагаж мөрддөг. dV-ийг тэг рүү чиглүүлснээр n нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай бөгөөд n×р үржвэр тогтмол хэвээр байна: a = n×r =μV.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар

1. Математикийн хүлээлт (дундаж утга)

Тодорхойлолт:
Математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг
  (6.4)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан бүх утгыг нийлбэр авна. Цуврал нь туйлын нийлсэн байх ёстой (эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг математикийн хүлээлт байхгүй гэж үзнэ)

;   (6.5)

Интеграл нь туйлын нийлсэн байх ёстой (эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг математикийн хүлээлтгүй гэж үзнэ)

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

а. Хэрэв C нь тогтмол утга бол MC = C
б. MCx = CMx
в. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байна: M(x+y) = Mx + My d. Математикийн нөхцөлт хүлээлтийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өөр өөр нөхцөлд p(x i /H j) өөр өөр магадлал бүхий x i утгыг H j авч байвал нөхцөлт хүлээлт тодорхойлогдоно.

Яаж эсвэл ;   (6.6)

H j үйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байгаа бол бүрэн

Математикийн хүлээлт: ;   (6.7)

Жишээ 4: Эхний тэмдэг гарч ирэхээс өмнө зоосыг дунджаар хэдэн удаа шидэх ёстой вэ? Энэ асуудлыг шууд шийдэж болно

x i	1 2 3 ... к..
p(x i) :		,

гэхдээ энэ дүнг тооцох шаардлагатай хэвээр байна. Та нөхцөлт болон бүрэн математикийн хүлээлт гэсэн ойлголтуудыг ашиглан үүнийг илүү хялбар хийж чадна. H 1 - төрийн сүлд анх удаа унасан, H 2 - сүлд анх удаа унасангүй гэсэн таамаглалуудыг авч үзье. Мэдээжийн хэрэг, p(H 1) = p(H 2) = ½; Mx / N 1 = 1;
Mx / N 2 нь хүссэн бүрэн хүлээлтээс 1 дахин их, учир нь Зоос эхний шидсэний дараа байдал өөрчлөгдөөгүй, гэхдээ аль хэдийн нэг удаа шидсэн байна. Математикийн нийт хүлээлтийн томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд Мх = Мx / Н 1 ×р(Н 1) + Мx / Н 2 ×р(Н 2) = 1 × 0.5 + (Мх + 1) × 0.5 байна. Мх-ийн хувьд бид шууд Mx = 2-г авна.

д. Хэрэв f(x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн функц бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн математик хүлээлтийн тухай ойлголтыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд: ;   (6.8)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан бүх утгыг нийлбэр авна. Цуврал нь туйлын нийлсэн байх ёстой.

Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд: ;   (6.9)

Интеграл нь туйлын нийлэх ёстой.

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл
Тодорхойлолт:
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн дисперс нь түүний математик хүлээлтээс утгын утгын квадрат хазайлтын математик хүлээлт юм: Dx = M(x-Mx) 2

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд: ;   (6.10)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан бүх утгыг нийлбэр авна. Цуврал нь нийлэх ёстой (эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсгүй гэж үзнэ)

Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд: ;   (6.11)

Интеграл нь нийлэх ёстой (эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсгүй гэж үзнэ)

Тархалтын шинж чанарууд:
а. Хэрэв C нь тогтмол утга бол DC = 0
б. DСх = С 2 Dх
в. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь эдгээр утгууд бие даасан (бие даасан хувьсагчийн тодорхойлолт) тохиолдолд л тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байдаг.
г. Зөрчлийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах нь тохиромжтой.

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

Тоон шинж чанаруудын хоорондын хамаарал
ба ердийн тархалтын параметрүүд