Шууд тэгшитгэлийг онлайн тооцоолуураар шийдээрэй. Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

Хавтгай дээрх шугамын тэгшитгэл.

Мэдэгдэж байгаагаар хавтгай дээрх аливаа цэг нь зарим координатын систем дэх хоёр координатаар тодорхойлогддог. Координатын систем нь суурь ба гарал үүслийн сонголтоос хамааран өөр өөр байж болно.

Тодорхойлолт. Шугамын тэгшитгэлЭнэ шулууныг бүрдүүлж буй цэгүүдийн координатуудын хоорондын y = f(x) хамаарлыг гэнэ.

Шугамын тэгшитгэлийг параметрээр илэрхийлж болно, өөрөөр хэлбэл цэг бүрийн координат бүрийг бие даасан параметрээр илэрхийлнэ гэдгийг анхаарна уу. т.

Ердийн жишээ бол хөдөлж буй цэгийн замнал юм. Энэ тохиолдолд параметрийн үүргийг цаг хугацаагаар гүйцэтгэдэг.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

Түүнээс гадна, А ба В тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, i.e. A 2 + B 2  0. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C = 0, A  0, B  0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө.

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = C = 0, A  0 – шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A = C = 0, B  0 – шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран өөр өөр хэлбэрээр үзүүлж болно.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байна.

Жишээ.Векторт перпендикуляр А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол (3, -1).

A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x – y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна.

Бид дараахийг авна: 3 – 2 + C = 0, тиймээс C = -1.

Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x – y – 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1  x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2 бол.

Бутархай
=k гэж нэрлэдэг налуушууд.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Ax + By + C = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэй болговол:

болон томилох
, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторын тодорхойлолтыг оруулж болно.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр ( 1,  2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A 1 + B 2 = 0 нөхцөлийг хангасан бол шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ.Чиглэлийн вектор бүхий шулууны тэгшитгэлийг ол (1, -1) ба А(1, 2) цэгээр дамжин өнгөрнө.

Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1A + (-1)B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 үед бид C/A = -3, i.e. шаардлагатай тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С 0 байвал –С-д хуваавал бид дараахийг авна.
эсвэл

, Хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм АШугамын Окс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б– шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x – y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Ax + By + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваавал
гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcos + ysin - p = 0 –

шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Нормчлох хүчин зүйлийн  тэмдгийг С байхаар сонгох ёстой< 0.

p нь эхлэлээс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын урт,  нь Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг юм.

Жишээ. 12x – 5y – 65 = 0 гэсэн шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын хэвийн тэгшитгэл:

;

cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Жишээ.Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжгүй.

Нийт:
эсвэл x + y – 4 = 0.

Жишээ.А(-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь:
, энд x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Хэрэв k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна.

k 1 = -1/k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. Ax + Wu + C = 0 ба А шууд шугамууд 1 x + B 1 y + C 1 А коэффициентүүд пропорциональ байх үед = 0 параллель байна 1 =  А, Б 1 =  B. Хэрэв бас C 1 =  C, дараа нь шугамууд давхцдаг.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

энэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх y = kx + b шулуун шугамд перпендикуляр шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв M(x) цэг өгөгдсөн бол 0 , y 0 ), тэгвэл Ах + Ву + С =0 шулуун хүртэлх зайг тодорхойлно

.

Баталгаа. М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу унасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ.Шугамануудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 тг =
;

Жишээ. = /4.

3x – 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y – 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Жишээ.Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) гурвалжны оройг өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.
Бид AB талын тэгшитгэлийг олно:

;

4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.
k =
. Дараа нь y =
.

. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

үүнээс b = 17. Нийт:

Хариулт: 3x + 2y – 34 = 0.

Сансар дахь аналитик геометр.

чиглэлийн вектор.

Дурын шугам ба векторыг авъя (m, n, p), өгөгдсөн шугамтай зэрэгцээ. Вектор дуудсан чиглүүлэгч векторшууд.

Шулуун шугам дээр бид M 0 (x 0, y 0, z 0) ба M (x, y, z) хоёр дурын цэгийг авдаг.

z

М 1

Эдгээр цэгүүдийн радиус векторуудыг гэж тэмдэглэе Тэгээд , энэ нь ойлгомжтой - =
.

Учир нь векторууд
Тэгээд collinear байвал хамаарал үнэн болно
= t, энд t нь зарим параметр юм.

Нийтдээ бид дараахь зүйлийг бичиж болно. = + т.

Учир нь Энэ тэгшитгэл нь шулуун дээрх дурын цэгийн координатаар хангагдвал үүссэн тэгшитгэл нь шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Энэ вектор тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ системийг хувиргаж, t параметрийн утгыг тэнцүүлэх замаар бид орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авна.

.

Тодорхойлолт. Чиглэлийн косинусуудшууд нь векторын чиглэлийн косинусууд юм , үүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

;

.

Эндээс: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p тоонуудыг дууддаг өнцгийн коэффициентүүдшууд. Учир нь тэгээс ялгаатай вектор бол m, n, p нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, гэхдээ эдгээр тоонуудын нэг эсвэл хоёр нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ тохиолдолд шугамын тэгшитгэлд харгалзах тоологчдыг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Сансар огторгуй дахь шулуун шугамын тэгшитгэл

хоёр цэгээр дамжуулан.

Хэрэв бид огторгуйн шулуун шугам дээр дурын хоёр цэгийг M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэж тэмдэглэвэл эдгээр цэгүүдийн координатууд нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг хангах ёстой. дээр авсан:

.

Үүнээс гадна M 1 цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

.

Эдгээр тэгшитгэлийг хамтад нь шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Энэ бол огторгуйн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм.

Орон зайн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр хавтгайн огтлолцлын шугамын тэгшитгэл гэж үзэж болно.

Дээр дурдсанчлан вектор хэлбэрийн хавтгайг тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

+ D = 0, хаана

- онгоц хэвийн; - радиус нь хавтгай дээрх дурын цэгийн вектор юм.

"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Өнөөдөр бид геометртэй холбоотой алгоритмуудыг сурч эхэлнэ. Тооцооллын геометртэй холбоотой компьютерийн шинжлэх ухаанд олон тооны олимпиадын асуудал байдаг бөгөөд ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.

Хэд хэдэн хичээлийн туршид бид тооцооллын геометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн дэд даалгавруудыг авч үзэх болно.

Энэ хичээлээр бид програм зохиох болно шугамын тэгшитгэлийг олох, дамжин өнгөрөх өгөгдсөн хоёр оноо. Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тооцооллын геометрийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Бид хичээлийнхээ нэг хэсгийг тэдэнтэй танилцахад зориулах болно.

Тооцооллын геометрийн ойлголтууд

Тооцооллын геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалдаг компьютерийн шинжлэх ухааны салбар юм.

Ийм асуудлын анхны өгөгдөл нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц, сегментийн багц, олон өнцөгт (жишээлбэл, оройнуудын жагсаалтыг цагийн зүүний дагуу зааж өгсөн) гэх мэт байж болно.

Үр дүн нь аль нэг асуултын хариулт (жишээ нь, нэг цэг нь сегментэд хамаарах уу, хоёр сегмент огтлолцдог уу, ... гэх мэт) эсвэл геометрийн объект (жишээлбэл, өгөгдсөн цэгүүдийг холбосон хамгийн жижиг гүдгэр олон өнцөгт, талбайн хэмжээ) байж болно. олон өнцөгт гэх мэт).

Тооцооллын геометрийн асуудлуудыг бид зөвхөн хавтгайд, зөвхөн декартын координатын системд авч үзэх болно.

Вектор ба координат

Тооцооллын геометрийн аргыг хэрэглэхийн тулд геометрийн дүрсийг тооны хэл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай. Онгоцонд цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг декартын координатын системийг өгсөн гэж бид таамаглах болно.

Одоо геометрийн объектууд аналитик илэрхийлэлийг хүлээн авдаг. Тиймээс цэгийг тодорхойлохын тулд түүний координатыг зааж өгөхөд хангалттай: хос тоо (x; y). Сегментийг түүний төгсгөлийн координатыг зааж өгч болно шулуун шугамыг түүний хос цэгийн координатыг зааж өгч болно.

Гэхдээ бидний асуудлыг шийдэх гол хэрэгсэл нь векторууд байх болно. Тиймээс тэдний талаарх зарим мэдээллийг эргэн санацгаая.

Сегмент AB, ямар нэг санаа байна Аэхлэл (хэрэглэх цэг), цэг гэж үздэг IN– төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг ABба аль нэгээр нь эсвэл тод жижиг үсгээр тэмдэглэнэ, жишээ нь А .

Векторын уртыг (өөрөөр хэлбэл харгалзах сегментийн урт) тэмдэглэхийн тулд бид модулийн тэмдгийг ашиглана (жишээлбэл, ).

Дурын вектор нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү координаттай байна.

,

энд оноо байна АТэгээд Б координаттай байна тус тус.

Тооцооллын хувьд бид ойлголтыг ашиглах болно чиглэсэн өнцөг, өөрөөр хэлбэл векторуудын харьцангуй байрлалыг харгалзан үзсэн өнцөг.

Векторуудын хооронд чиглэсэн өнцөг а Тэгээд б Хэрэв эргэлт нь вектороос байвал эерэг а вектор руу б эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг) хийгдэх ба нөгөө тохиолдолд сөрөг байна. Зураг 1а, Зураг 1б-г үзнэ үү. Мөн хос вектор гэж хэлдэг а Тэгээд б эерэг (сөрөг) чиглэсэн.

Тиймээс чиглэсэн өнцгийн утга нь векторуудыг жагсаасан дарааллаас хамаардаг бөгөөд интервал дахь утгыг авч болно.

Тооцооллын геометрийн олон асуудалд векторуудын вектор (хашуу эсвэл псевдоскаляр) бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашигладаг.

a ба b векторуудын вектор үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр юм.

.

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр:

Баруун талын илэрхийлэл нь хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч юм:

Аналитик геометрийн тодорхойлолтоос ялгаатай нь энэ нь скаляр юм.

Вектор бүтээгдэхүүний тэмдэг нь бие биетэйгээ харьцуулахад векторуудын байрлалыг тодорхойлдог.

а Тэгээд б эерэг хандлагатай.

Хэрэв утга нь бол хос вектор байна а Тэгээд б сөрөг хандлагатай.

Тэг биш векторуудын хөндлөн үржвэр нь зөвхөн, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал тэг болно ( ). Энэ нь тэдгээр нь нэг шугам дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай хэд хэдэн энгийн асуудлыг авч үзье.

Хоёр цэгийн координатаас шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлъё.

Координатаар нь тодорхойлсон хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Шулуун дээр давхцаагүй хоёр цэгийг координаттай (x1; y1) ба координаттай (x2; y2) өгье. Үүний дагуу эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байдаг вектор нь координаттай (x2-x1, y2-y1) байна. Хэрэв P(x, y) нь манай шулуун дээрх дурын цэг бол векторын координатууд (x-x1, y – y1) тэнцүү байна.

Вектор үржвэрийг ашиглан векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тэдгээр. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

Бодлого 1. Хоёр цэгийн координатыг өгөв. Түүний дүрслэлийг ax + by + c = 0 хэлбэрээр ол.

Энэ хичээлээр бид тооцооллын геометрийн талаар зарим мэдээллийг сурсан. Бид хоёр цэгийн координатаас шулууны тэгшитгэлийг олох асуудлыг шийдсэн.

Дараагийн хичээлээр бид тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох программ зохиох болно.

Шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдээр дамжуулна. М 1 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл y-y 1 = хэлбэртэй байна к (x - x 1), (10.6)

Хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгийг дайран өнгөрөх тул энэ цэгийн координатууд (10.6) тэгшитгэлийг хангах ёстой: y 2 -y 1 = к (x 2 - x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 = x 2 бол M 1 (x 1,y I) ба M 2 (x 2,y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 = y I бол шугамын тэгшитгэлийг y = y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугам нь Ox тэнхлэгийг M 1 (a;0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0;b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг таслахыг заана.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр Mo (x O; y o) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олъё.

Шулуун дээрх дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг дуудна Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n= (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

Тэгшитгэлийг (10.8) гэж дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C = -Ax o - Vu o нь чөлөөт гишүүн юм. Тэгшитгэл (10.9) шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
- шугам өнгөрөх цэгийн координат, ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай харагдана.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. Тэгээд фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол хэмжигдэхүүн юм
, голомт хоорондын зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр байрлах эллипсийн каноник тэгшитгэл ба голомтын дундах координатын гарал үүсэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа хагас гол тэнхлэгийн урт;б – хагас бага тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр зөрж буй шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Шулуун шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу шууд.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

r- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Энэ нийтлэл нь хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн сэдвийг үргэлжлүүлэх болно: бид энэ төрлийн тэгшитгэлийг шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж үзэх болно. Теоремыг тодорхойлж, түүний нотолгоог өгье; Шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий тэгшитгэлээс шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг олж мэдье. Бид онолыг бүхэлд нь практик асуудлуудын чимэглэл, шийдлээр бататгах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгш өнцөгт координатын системийг O x y хавтгай дээр зааж өгье.

Теорем 1

A x + B y + C = 0 хэлбэртэй, A, B, C нь зарим бодит тоо (A, B нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш) хэлбэртэй, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог. хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем. Хариуд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх аливаа шулуун шугамыг A, B, C тодорхой утгын хувьд A x + B y + C = 0 хэлбэртэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Баталгаа

Энэ теорем нь хоёр цэгээс бүрдэнэ.

1. A x + B y + C = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамыг тодорхойлж байгааг баталцгаая.

Координатууд нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирох M 0 (x 0 , y 0) цэг байг. Тиймээс: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас A x 0 + B y 0 + C = 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасвал A (x) шиг харагдах шинэ тэгшитгэлийг олж авна. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Энэ нь A x + B y + C = 0-тэй тэнцүү байна.

Үүссэн тэгшитгэл A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x) векторуудын перпендикуляр байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм. 0, y - y 0 ). Ийнхүү M (x, y) цэгүүдийн олонлог нь n → = (A, B) векторын чиглэлд перпендикуляр тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамыг тодорхойлно. Энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж болно, гэхдээ дараа нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд перпендикуляр биш, A (x -) тэнцүү байх болно. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 нь үнэн биш байх болно.

Иймээс A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх тодорхой шугамыг тодорхойлдог тул A x + B y + C = 0 эквивалент тэгшитгэл нь ижил шугам. Бид теоремын эхний хэсгийг ингэж нотолсон.

1. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шулуун шугамыг A x + B y + C = 0 1-р зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болохыг нотлон харуулъя.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд шулуун a шулууныг тодорхойлъё; энэ шугам өнгөрөх M 0 (x 0 , y 0) цэг, мөн энэ шулууны хэвийн вектор n → = (A, B) .

Шугаман дээрх хөвөгч цэг болох M (x, y) цэг бас байг. Энэ тохиолдолд n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд хоорондоо перпендикуляр байх ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг болно.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 тэгшитгэлийг дахин бичиж, C: C = - A x 0 - B y 0 -ийг тодорхойлж, эцсийн үр дүнд A x + B y + C = тэгшитгэлийг олж авъя. 0.

Ингээд бид теоремын хоёр дахь хэсгийг баталж, бүхэл бүтэн теоремыг баталлаа.

Тодорхойлолт 1

Маягтын тэгшитгэл A x + B y + C = 0 - Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрОкси.

Батлагдсан теорем дээр үндэслэн бид тэгш өнцөгт координатын тогтмол систем дэх хавтгай дээр тодорхойлогдсон шулуун шугам ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй холбоотой гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны шугам нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна; шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамтай тохирч байна.

Теоремын баталгаанаас мөн x ба y хувьсагчийн А ба В коэффициентүүд нь шулууны хэвийн векторын координат болох нь A x + B y + C = шулууны ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн байна. 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн тодорхой жишээг авч үзье.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамд тохирох 2 x + 3 y - 2 = 0 тэгшитгэлийг өгье. Энэ шугамын хэвийн вектор нь вектор юм n → = (2, 3) . Өгөгдсөн шулуун шугамыг зурган дээр зуръя.

Мөн бид дараахь зүйлийг хэлж болно: зураг дээр бидний харж буй шулуун шугамыг 2 x + 3 y - 2 = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно, учир нь өгөгдсөн шулуун дээрх бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш λ тоогоор үржүүлснээр бид λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 тэгшитгэлийг гаргаж болно. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцэх тул хавтгай дээрх ижил шулуун шугамыг дүрслэх болно.

Шугамын бүрэн ерөнхий тэгшитгэл– A x + B y + C = 0 шулуун шугамын ийм ерөнхий тэгшитгэл нь A, B, C тоонууд тэгээс ялгаатай. Үгүй бол тэгшитгэл болно бүрэн бус.

Шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн бүх хувилбарт дүн шинжилгээ хийцгээе.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 үед ерөнхий тэгшитгэл нь B y + C = 0 хэлбэртэй байна. Ийм бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь O x y тэгш өнцөгт координатын системд O x тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлдог, учир нь x-ийн аливаа бодит утгын хувьд y хувьсагч нь утгыг авна. - С Б. Өөрөөр хэлбэл, A x + B y + C = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A = 0, B ≠ 0 үед координат нь ижил тоотой тэнцүү (x, y) цэгүүдийн байршлыг зааж өгдөг. - С Б.
2. Хэрэв A = 0, B ≠ 0, C = 0 бол ерөнхий тэгшитгэл нь y = 0 хэлбэрийг авна. Энэхүү бүрэн бус тэгшитгэл нь O x тэнхлэгийг тодорхойлдог.
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 үед ординаттай параллель шулуун шугамыг тодорхойлж, бүрэн бус ерөнхий A x + C = 0 тэгшитгэлийг олж авна.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 байг, тэгвэл бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байх ба энэ нь координатын шугамын O y тэгшитгэл юм.
5. Эцэст нь A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0-ийн хувьд бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y = 0 хэлбэртэй байна. Мөн энэ тэгшитгэл нь эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг дүрсэлдэг. Үнэн хэрэгтээ (0, 0) хос тоо нь A x + B y = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул A · 0 + B · 0 = 0 байна.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн дээрх бүх төрлийг графикаар үзүүлье.

Жишээ 1

Өгөгдсөн шулуун шугам нь ординатын тэнхлэгтэй параллель бөгөөд 2 7, - 11 цэгийг дайран өнгөрдөг нь мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг A x + C = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд A ≠ 0 байна. Нөхцөл нь мөн шугам өнгөрөх цэгийн координатыг зааж өгөх бөгөөд энэ цэгийн координатууд нь бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл A x + C = 0 нөхцөлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн:

A 2 7 + C = 0

Үүнээс А-д тэгээс бусад утгыг өгвөл С-г тодорхойлох боломжтой, жишээлбэл, A = 7. Энэ тохиолдолд бид: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 болно. Бид A ба C коэффициентийг хоёуланг нь мэдэж, тэдгээрийг A x + C = 0 тэгшитгэлд орлуулж, шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэлийг олоорой: 7 x - 2 = 0

Хариулт: 7 x - 2 = 0

Жишээ 2

Зураг нь шулуун шугамыг харуулж байна, та түүний тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй.

Шийдэл

Өгөгдсөн зураг нь асуудлыг шийдэхийн тулд анхны өгөгдлийг хялбархан авах боломжийг олгодог. Өгөгдсөн шулуун шугам нь O x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (0, 3) цэгийг дайран өнгөрч байгааг бид зургаас харж байна.

Абсциссатай параллель шулуун шугамыг бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл B y + C = 0 тодорхойлно. В ба С-ийн утгыг олцгооё. (0, 3) цэгийн координатууд нь өгөгдсөн шулуун дундуур өнгөрөх тул B y + C = 0 шулууны тэгшитгэлийг хангана, тэгвэл тэгшитгэл хүчинтэй болно: B · 3 + C = 0. В-г тэгээс өөр утгыг тохируулъя. B = 1 гэж үзье, энэ тохиолдолд B · 3 + C = 0 тэгшитгэлээс бид C: C = - 3-ийг олж болно. B ба C-ийн мэдэгдэж буй утгуудыг ашиглан бид шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна: y - 3 = 0.

Хариулт: y - 3 = 0.

Хавтгайн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамыг M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжуулж, түүний координатууд нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн: A x 0 + B y 0 + C = 0. Шугамын ерөнхий бүрэн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасъя. Бид дараахийг авна: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, энэ тэгшитгэл нь анхны ерөнхийтэй тэнцүү, M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжин өнгөрч, хэвийн байна. вектор n → = (A, B) .

Бидний олж авсан үр дүн нь шугамын хэвийн векторын мэдэгдэж буй координат ба энэ шугамын тодорхой цэгийн координат бүхий шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой болгож байна.

Жишээ 3

Шугаман өнгөрөх M 0 (- 3, 4) цэг ба энэ шугамын хэвийн вектор өгөгдсөн. n → = (1 , - 2) . Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өгөгдлийг олж авах боломжийг олгодог: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Дараа нь:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 у (у - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 у + 22 = 0

Асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y + C = 0 байна. Өгөгдсөн хэвийн вектор нь A ба B коэффициентүүдийн утгыг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Одоо шулуун шугам өнгөрөх асуудлын нөхцөлөөр заасан M 0 (- 3, 4) цэгийг ашиглан C-ийн утгыг олъё. Энэ цэгийн координатууд нь x - 2 · y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. - 3 - 2 4 + C = 0. Тиймээс C = 11. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x - 2 · y + 11 = 0.

Хариулт: x - 2 y + 11 = 0.

Жишээ 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 шулуун ба энэ шулуун дээр байрлах M 0 цэг өгөгдсөн. Зөвхөн энэ цэгийн абсцисс нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь - 3-тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэгийн ординатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

M 0 цэгийн координатыг x 0 ба у 0 гэж тэмдэглэе. Эх сурвалж өгөгдөл нь x 0 = - 3 гэдгийг харуулж байна. Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна. Дараа нь тэгш байдал үнэн болно:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ийг тодорхойлох: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Хариулт: - 5 2

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү шилжих ба эсрэгээр

Бидний мэдэж байгаагаар хавтгай дээрх ижил шулуун шугамын хэд хэдэн төрлийн тэгшитгэл байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг сонгох нь асуудлын нөхцлөөс хамаарна; түүнийг шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтойг нь сонгох боломжтой. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах ур чадвар энд маш хэрэгтэй.

Эхлээд A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлээс x - x 1 a x = y - y 1 a y каноник тэгшитгэл рүү шилжихийг авч үзье.

Хэрэв A ≠ 0 бол B y гишүүнийг ерөнхий тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Зүүн талд бид А-г хаалтнаас гаргаж авдаг. Үүний үр дүнд бид: A x + C A = - B y болно.

Энэ тэгшитгэлийг пропорциональ байдлаар бичиж болно: x + C A - B = y A.

Хэрэв B ≠ 0 байвал ерөнхий тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн A x нэр томъёог үлдээж, бусдыг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна: A x = - B y - C. Бид хаалтнаас – B-г аваад: A x = - B y + C B .

Тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар дахин бичье: x - B = y + C B A.

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжих үед үйлдлийн алгоритмыг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 5

3 y - 4 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Үүнийг каноник тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны тэгшитгэлийг 3 у - 4 = 0 гэж бичье. Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажиллана: 0 x гэсэн нэр томъёо зүүн талд хэвээр байна; баруун талд нь бид хаалтаас 3-ыг тавьдаг; Бид дараахийг авна: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Үүссэн тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар бичье: x - 3 = y - 4 3 0 . Тиймээс бид каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: x - 3 = y - 4 3 0.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрт шилжүүлэхийн тулд эхлээд каноник хэлбэрт, дараа нь шугамын каноник тэгшитгэлээс параметрт тэгшитгэл рүү шилжинэ.

Жишээ 6

Шулуун шугамыг 2 x - 5 y - 1 = 0 тэгшитгэлээр өгөв. Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Одоо бид үүссэн каноник тэгшитгэлийн хоёр талыг λ-тэй тэнцүү авбал:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Хариулт:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ерөнхий тэгшитгэлийг y = k · x + b налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргаж болно, гэхдээ зөвхөн B ≠ 0 үед. Шилжилтийн хувьд бид B y нэр томъёог зүүн талд үлдээж, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ. Бид дараахийг авна: B y = - A x - C. Үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс ялгаатай В-д хуваая: y = - A B x - C B.

Жишээ 7

Шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн: 2 x + 7 у = 0. Та энэ тэгшитгэлийг налуугийн тэгшитгэл болгон хувиргах хэрэгтэй.

Шийдэл

Алгоритмын дагуу шаардлагатай үйлдлүүдийг хийцгээе:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Хариулт: y = - 2 7 x .

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс x a + y b = 1 хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлийг авахад хангалттай. Ийм шилжилт хийхийн тулд бид C тоог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг - C-д хувааж, эцэст нь x ба y хувьсагчдын коэффициентийг хуваагч руу шилжүүлнэ.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Жишээ 8

X - 7 y + 1 2 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

1 2-ыг баруун тийш шилжүүлье: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Тэгш байдлын хоёр талыг -1/2-т хуваая: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Хариулт: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ерөнхийдөө урвуу шилжилт нь бас хялбар байдаг: бусад төрлийн тэгшитгэлээс ерөнхийд шилжих.

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл ба өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг тэгш байдлын зүүн талд байгаа бүх нөхцөлийг цуглуулснаар амархан ерөнхий болгон хувиргаж болно.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Дараах схемийн дагуу каноник тэгшитгэлийг ерөнхий болгон хувиргана.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрээс шилжихийн тулд эхлээд каноник руу, дараа нь ерөнхий рүү шилжинэ.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Жишээ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 шугамын параметрийн тэгшитгэлүүд өгөгдсөн. Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Параметрийн тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Каноникоос ерөнхий рүү шилжье:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Хариулт: y - 4 = 0

Жишээ 10

x 3 + y 1 2 = 1 хэрчмүүд дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөв. Тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрт шилжих шаардлагатай.

Шийдэл:

Бид тэгшитгэлийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Хариулт: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зурах

Ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон шугам өнгөрөх цэгийн координатуудаар бичиж болно гэж бид дээр хэлсэн. Ийм шулуун шугамыг A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэнд бид мөн холбогдох жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо бид эхлээд хэвийн векторын координатыг тодорхойлох хэрэгтэй илүү төвөгтэй жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 шулуунтай параллель шугам өгөгдсөн. Өгөгдсөн шугам өнгөрөх M 0 (4, 1) цэгийг бас мэддэг. Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Эхний нөхцөлүүд нь шугамууд параллель байгааг хэлж байгаа бол тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай шулууны хэвийн векторын хувьд бид n → = (2, - 3) шугамын чиглэлийн векторыг авна: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Одоо бид шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгоход шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэдэж байна.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 у - 5 = 0

Хариулт: 2 х - 3 у - 5 = 0.

Жишээ 12

Өгөгдсөн шулуун нь x - 2 3 = y + 4 5 шулуунтай перпендикуляр эхийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн шугамын хэвийн вектор нь х - 2 3 = у + 4 5 шугамын чиглэлийн вектор байх болно.

Дараа нь n → = (3, 5) . Шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг, өөрөөр хэлбэл. O цэгээр (0, 0). Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулъя:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Хариулт: 3 x + 5 y = 0.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу