.

I. M. Виноградов.

1977-1985 он.

- (Латин extremum extreme) үргэлжилсэн f (x) функцийн утга нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байна. Илүү нарийвчлалтайгаар: x0 цэг дээр үргэлжилсэн f (x) функц нь энэ цэгийн хөрш (x0 + δ, x0 δ) байвал x0 дээр максимум (хамгийн бага) байна,... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Extremum (утга) харна уу. Математикийн экстремум (лат. extremum extreme) нь тухайн олонлог дээрх функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утга юм. Экстремум хүрэх цэг ... ... Википедиа

Олон хувьсагч ба функциональ функцүүдийн нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг функц. L. f-ийн тусламжтайгаар. нөхцөлт экстремум дээрх асуудлыг оновчтой болгоход шаардлагатай нөхцөлүүдийг бичнэ. Энэ тохиолдолд зөвхөн хувьсагчийг илэрхийлэх шаардлагагүй... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Нэг буюу хэд хэдэн функцийн сонголтоос хамаарах хувьсагчийн функцүүдийн хэт (хамгийн том ба хамгийн жижиг) утгыг олоход зориулагдсан математикийн шинжлэх ухаан. V. ба. Энэ бүлгийн жам ёсны хөгжил юм...... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Нөхцөлт экстремум дээрх асуудлыг судлахдаа Лагранжийн функцийг бүтээдэг хувьсагчид. Шугаман аргууд ба Лагранжийн функцийг ашиглах нь нөхцөлт экстремумтай холбоотой асуудлуудад шаардлагатай оновчтой нөхцлийг нэг төрлийн аргаар олж авах боломжийг олгодог ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Өөрчлөлтийн тооцоо нь функциональ байдлын өөрчлөлтийг судалдаг функциональ шинжилгээний салбар юм. Вариацын тооцооны хамгийн нийтлэг асуудал бол өгөгдсөн функцэд хүрэх функцийг олох явдал юм... ... Википедиа

Эдгээрт ногдуулсан янз бүрийн хязгаарлалтын (фаз, дифференциал, интеграл гэх мэт) дор нэг буюу хэд хэдэн функцийг сонгохоос хамаардаг функцүүдийн экстремумыг олох аргуудыг судлахад зориулагдсан математикийн хэсэг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Вариацын тооцоо бол функционалуудын өөрчлөлтийг судалдаг математикийн салбар юм. Вариацын тооцооллын хамгийн нийтлэг асуудал бол функц нь туйлын утгад хүрэх функцийг олох явдал юм. Арга... ...Википедиа

Номууд

• Хяналтын онолын лекц. Боть 2. Оновчтой хяналт, V. Boss. Оновчтой хяналтын онолын сонгодог асуудлуудыг авч үзсэн. Танилцуулга нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн оновчлолын үндсэн ойлголтуудаас эхэлдэг: нөхцөлт ба болзолгүй экстремум,...

Зарим D мужид z - /(x, y) функцийг тодорхойлж, Mo(xo, Vo) нь энэ домайн дотоод цэг байг. Тодорхойлолт. Нөхцөлүүдийг хангаж байгаа бүх тохиолдолд тэгш бус байдал үнэн байх тоо байвал Mo(xo, y) цэгийг /(x, y) функцийн локал максимум цэг гэнэ; хэрэв бүх Dx, Du, нөхцөлийг хангасан | тэгвэл Mo(xo,yo) цэгийг нимгэн орон нутгийн минимум гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, M0(x0, y0) цэг нь /(x, y) функцийн хамгийн их буюу минимумын цэг бөгөөд хэрэв A/o(x0, y0) цэгийн 6 хөрш байгаа бол огт Үүний M(x, y) цэгүүдийн ойролцоо байх үед функцийн өсөлт нь тэмдгээ хадгална. Жишээ. 1. Функцийн цэгийн хувьд - хамгийн бага цэг (Зураг 17). 2. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь хамгийн их цэг юм (Зураг 18). 3. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг юм. 4 Үнэн хэрэгтээ 0(0, 0) цэгийн хөрш байдаг, жишээлбэл j радиустай тойрог (19-р зургийг үз), түүний аль ч цэг дээр 0(0,0) цэгээс ялгаатай. /(x,y) функцын утга 1-ээс бага = Зарим цоорсон 6-н хөршөөс M(x) y) бүх цэгүүдэд хатуу тэгш бус байдал эсвэл хатуу тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд зөвхөн функцүүдийн хатуу максимум ба хамгийн бага цэгүүдийг авч үзэх болно. цэгийн Mq. Функцийн хамгийн их цэг дэх утгыг максимум, хамгийн бага цэг дэх функцийн утгыг энэ функцийн минимум гэнэ. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, харин функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум гэж нэрлэдэг. 18 Зураг 20 үед тэг болж хувирдаг immt дериватив. Гэхдээ энэ функц нь strum-ийн imvat дээр нимгэн байдаг.< 0. Если же то в точке Мо(жо> f(x, y) функцийн экстремум нь байж болно, байхгүй ч байж болно. Энэ тохиолдолд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. m Бид теоремын 1) ба 2) мэдэгдлийг нотлохоор хязгаарладаг. /(i, y) функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье: энд. Нөхцөлийн дагуу D/ өсөлтийн тэмдэг нь (1)-ийн баруун талын гурвалсан тэмдгийн тэмдгээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь дифференциал d2f-ийн тэмдгээр тодорхойлогддог болохыг харж болно. Үүнийг товчлох үүднээс тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдлыг (l) дараах байдлаар бичиж болно: MQ(тийм, V0) цэг дээр бид байна... Нөхцөлөөр f(s, y) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байх тул тэгш бус байдал (3) нь M0(s0,yo) цэгийн зарим хөршид мөн адил байх болно. Нөхцөл хангагдсан бол (А/0 цэг дээр ба тасралтгүй байдлын ачаар /,z(s,y) дериватив Af0 цэгийн зарим хөршид тэмдэгээ хадгална. А Ф 0 байх бүсэд бид байна. Эндээс харахад M0(x0) y0 цэгийн зарим хөршид ЛС - В2 > 0 байвал AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 гурвалсан тэмдэг нь цэг дээрх А тэмдэгтэй давхцах нь тодорхой байна. , V0) (мөн С тэмдэгтэй, учир нь AC - B2 > 0 A ба C нь өөр өөр тэмдэгтэй байж болохгүй). Цэг дэх (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 нийлбэрийн тэмдэг нь ялгааны тэмдгийг тодорхойлдог тул бид дараах дүгнэлтэд хүрнэ: хэрэв функцийн хувьд /(s,y) үед. хөдөлгөөнгүй цэг (s0, V0) нөхцөл, дараа нь хангалттай бага || тэгш бус байдлыг хангах болно. Тиймээс (sq, V0) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн их утгатай байна. Хэрэв нөхцөл хөдөлгөөнгүй цэг (s0, y0) дээр хангагдсан бол бүх хангалттай жижиг |Dr| болон |Ду| тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь (so,yo) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн багатай байна гэсэн үг юм. Жишээ. 1. Экстремумын функцийг судлах 4 Экстремумд шаардлагатай нөхцлүүдийг ашиглан функцийн суурин цэгүүдийг хайж олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Бид тэгшитгэлийн системийг хаанаас авдаг - суурин цэг. Одоо теорем 12-ыг ашиглая. Бидэнд байна Энэ нь Ml цэг дээр экстремум байна гэсэн үг. Учир нь энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм. Хэрэв бид r функцийг хэлбэрт шилжүүлбэл, энэ функцийн үнэмлэхүй минимум байх үед баруун тал (") хамгийн бага байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг. 2. Функцийг экстремумын хувьд судал. Бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлсэн функцийн хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олно. Теорем 12-ын дагуу М цэгт экстремум байхгүй. * 3. Функцийн экстремумыг судал. Тэгшитгэлийн системээс бид үүнийг олж авдаг тул цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Цаашилбал, 12-р теорем нь экстремум байгаа эсэх эсвэл байхгүй гэсэн асуултад хариулдаггүй. Ингэж хийцгээе. Цэгээс ялгаатай бүх цэгүүдийн тухай функцийн хувьд A/o(0,0) цэгийн тодорхойлолтоор r функц нь үнэмлэхүй минимумтай байна. Үүнтэй төстэй тооцоогоор бид функц нь цэг дээр хамгийн их утгатай, харин функц нь цэг дээр экстремумгүй болохыг тогтооно. n бие даасан хувьсагчтай функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг, хэрэв теорем 13 бол (экстремумын хувьд хангалттай нөхцөл хүртэл) Mo цэгийг функцийн суурин цэг гэнэ. Функц нь тодорхойлогдсон ба нарийн Mt(xi...)-ийн зарим хөршид хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байг, энэ нь квадрат хэлбэр (торгуулийн f функцийн хоёр дахь дифференциал эерэг байвал хөдөлгөөнгүй нарийн функц юм. тодорхой (сөрөг тодорхой), f функцийн хамгийн бага цэг (тус тус, нарийн максимум) нарийн бол квадрат хэлбэр (4) тэмдэг ээлжлэн байвал нарийн LG0-д экстремум байхгүй байна квадрат хэлбэр (4) нь эерэг эсвэл сөрөг тодорхой, жишээлбэл, эерэг (сөрөг) 15.2-ын квадрат хэлбэрийн тодорхой байдлыг бид ашиглаж болно Функцийн аргументууд нь ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдахгүй бол түүний тодорхойлолтын бүх домайн дахь функцийг нөхцөлт экстремум гэж нэрлэдэг. (x, y) нь D мужид тодорхойлогдоно. Энэ мужид L муруй өгөгдсөн гэж үзье, бид f(x> y) функцийн экстремумыг зөвхөн түүний утгуудын дундаас олох хэрэгтэй. муруйн цэгүүдтэй тохирно L. Ижил экстремумуудыг z = f(x) y) муруйн функцийн нөхцөлт экстремум гэнэ L. Тодорхойлолт L муруйн дээр байрлах цэгт /(x) функц гэж хэлдэг. , y) бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал хангагдсан бол нөхцөлт максимум (хамгийн бага) байна M (s, y) y) муруй L, M0(x0, V0) цэгийн зарим хөршид хамаарах ба M0 цэгээс ялгаатай (Хэрэв бол). L муруйг тэгшитгэлээр өгвөл муруй дээрх r - f(x,y) функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудал гарна! дараах байдлаар томьёолж болно: D муж дахь x = /(z, y) функцийн экстремумыг ол, иймээс z = y функцийн нөхцөлт экстремумыг олох үед gnu-ийн аргументууд цаашид боломжгүй болно. бие даасан хувьсагч гэж үзнэ: тэдгээр нь y ) = 0 хамаарлаар өөр хоорондоо хамааралтай бөгөөд үүнийг холболтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Нөхцөлгүй ба нөхцөлт экстремум хоёрын ялгааг тодруулахын тулд функцийн болзолгүй максимум гэсэн жишээг авч үзье (Зураг 1). 23) нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд (0,0) цэг дээр хүрнэ. Энэ нь pvvboloid-ийн орой болох M цэгтэй тохирч y = j холболтын тэгшитгэлийг нэмье. Дараа нь нөхцөлт максимум нь үүнтэй тэнцүү байх болно (o,|) цэгт хүрч, бөмбөгийг y = j хавтгайтай огтлолцох шугам болох бөмбөгний Афж оройтой тохирч байна. Нөхцөлгүй mvximum-ийн хувьд бид гадаргуугийн бүх vpplicvt дунд mvximum програмтай байна * = 1 - l;2 ~ y1; summvv нөхцөлт - зөвхөн pvraboloidv vllikvt цэгүүдийн дунд, шулуун шугамын цэг* харгалзах y = j xOy хавтгай биш. Функцийн оршихуй ба холболтын нөхцөлт экстремумыг олох аргуудын нэг нь дараах байдалтай байна. Нөхцөлт экстремумын оршихуй, мөн чанарын тухай асуудлыг (8) -аас олж авсан x0, V0, A утгуудын авч үзсэн системийн хувьд Лагранжийн функцийн хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судалсны үндсэн дээр шийдвэрлэнэ. , дараа нь (x0, V0) цэг дээр /(x, y ) функц нөхцөлт максимумтай байна; хэрэв d2F > 0 бол нөхцөлт минимум болно. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй цэгт (xo, J/o) F(x, y) функцийн тодорхойлогч D эерэг байвал (®o, V0) цэг дээр f( функцийн нөхцөлт максимум байна. x, y), if ба нөхцөлт минимум функц /(x, y), хэрэв Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөл рүү дахин оръё: x + y = 1 байх нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ. Энэ тохиолдолд Лагранж функц нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олохын тулд системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x = y гэсэн хэлбэртэй байна. Дараа нь системийн гурав дахь тэгшитгэлээс (холболтын тэгшитгэл) бид x - y = j нь боломжит экстремум цэгийн координат болохыг олж мэдэв. Энэ тохиолдолд (A = -1 гэж заажээ. Иймээс Лагранжийн функц. нь * = x2 + y2 нөхцөл дэх функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг юм. Лагранжийн функцэд болзолгүй экстремум байхгүй. P(x, y) ) нь холболт байгаа үед /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум байхгүй гэсэн үг биш юм Жишээ: y 4 нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн функцийг зохиож, системийг бичнэ. А ба боломжит экстремум цэгүүдийн координатыг тодорхойлох: Эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x + y = 0-ийг олж, x = y = A = 0 гэсэн системд очно. Тиймээс харгалзах Лагранж функц нь цэг дээр хэлбэртэй байна. (0,0), F(x, y; 0) функц нь болзолгүй экстремумгүй боловч y = x үед r = xy функцийн нөхцөлт экстремум байдаг. Эндээс (0,0) цэг дээр болзолт минимум байгаа нь тодорхой байна "Лагранжийн үржүүлэгчийн арга нь хэдэн ч тооны аргументтай функцүүдийн тохиолдлуудад өргөтгөгддөг. Байлцуулан функцийн экстремумыг хайцгаая. A|, Az,..., A„, тодорхойгүй тогтмол хүчин зүйл болох Лагранжийн функцийг байгуулъя. F функцийн бүх нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг (9) нэмснээр бид n + m тэгшитгэлийн системийг олж авах бөгөөд үүнээс бид Ab A3|..., At ба координатуудыг тодорхойлно. \) x2). » нөхцөлт экстремумын боломжит цэгүүдийн xn. Лагранжийн аргыг ашиглан олсон цэгүүд нь нөхцөлт экстремумын цэгүүд мөн үү гэсэн асуултыг ихэвчлэн физик эсвэл геометрийн шинж чанаруудын үндсэн дээр шийдэж болно. 15.3. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд Зарим хаалттай хязгаарлагдмал D мужид тасралтгүй z = /(x, y) функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох шаардлагатай болно. Теорем 3-ын дагуу энэ мужид функц хамгийн том (хамгийн бага) утгыг авах цэг (xo, V0) байдаг. Хэрэв (xo, y0) цэг нь D домэйны дотор оршдог бол функц / нь хамгийн их (хамгийн бага) -тай байх тул энэ тохиолдолд бидний сонирхсон цэг нь функцийн чухал цэгүүдийн дунд байрлана. у). Гэсэн хэдий ч /(x, y) функц нь тухайн бүсийн хил дээр хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрч чадна. Иймд хязгаарлагдмал хаалттай талбайд 2) z = /(x, y) функцээр авсан хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд та энэ талбайн дотор хүрсэн функцийн бүх максимумыг (хамгийн бага) олох хэрэгтэй. түүнчлэн энэ хэсгийн хил дэх функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга. Эдгээр бүх тоонуудын хамгийн том (хамгийн бага) нь 27-р муж дахь z = /(x,y) функцийн хүссэн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх болно. Дифференциалагдах функцийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулъя. Пммр. 4-р бүсийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. Бид D муж доторх функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид эндээс x = y « 0-ийг олж авна 0 (0,0) цэг нь х функцийн критик цэг юм. Одоо D домайн Г заагаас функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудыг олъё. Хилийн нэг хэсэгт y = 0 нь эгзэгтэй цэг бөгөөд = үүнээс хойш энэ цэгт z = функц байна. 1 + y2 нь хамгийн багадаа нэгтэй тэнцүү байна. Г сегментийн төгсгөлд, цэгүүдэд (, бид байна. Тэгш хэмийн тооцоог ашиглан бид хилийн бусад хэсгүүдийн хувьд ижил үр дүнг олж авна. Эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна: z = x2+y2 функцийн муж дахь хамгийн бага утгыг. "B нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дотоод цэгийн 0( 0, 0) мужид хүрдэг бөгөөд энэ функцийн хоёртой тэнцүү хамгийн их утга нь хилийн дөрвөн цэгт хүрдэг (Зураг 25) Зураг 25. Дасгал Функцуудын тодорхойлолтын мужийг ол: Функцийн түвшний шугамыг байгуул: 9 Бие даасан гурван хувьсагчийн функцүүдийн түвшний гадаргууг ол: Хязгаарын функцийг тооцоол: Функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба тэдгээрийн нийт дифференциалыг ол: Комплексийн деривативыг ол. функцүүд: 3 J. Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт Экстремумд зайлшгүй шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд 34. Деривативын томъёог ашиглах. хоёр хувьсагч, олох ба функц: 35. Хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн деривативын томъёог ашиглан |J ба функцийг ол: Далдаар өгөгдсөн jj функцийг ол: 40. Шүргэх муруйны налууг ол. түүний x = 3 шулуунтай огтлолцох цэг. 41. Х муруйн шүргэгч Окс тэнхлэгтэй параллель байх цэгүүдийг ол. . Дараах бодлогод Т-г олоорой: Шүргэх хавтгай ба гадаргуугийн нормаль тэгшитгэлийг бич: 49. x+4y хавтгайтай параллель x2 + 2y2 + 3z2 = 21 гадаргуугийн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бич. + 6z = 0. Тейлорын томъёогоор тэлэлтийн эхний гурав, дөрвөн гишүүнийг ол : 50. (0, 0) цэгийн ойролцоох y.

Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадратын арга.

FNP-ийн орон нутгийн экстремум

Функцийг өгье Тэгээд= е(P), РÎDÌR n P 0 цэг ( А 1 , А 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрвээ энэ цэгийн U(P 0) М D хөрш байгаа бол дурын P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)£ е(P 0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дуудна функцийн дээд хэмжээ болон томилогдсон е(P0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрэв энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)³ е(P 0) . Утга е(P 0) хамгийн бага цэг дээрх функцийг дуудна хамгийн бага функц болон томилогдсон е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэгүүд дэх функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P)£ е(P 0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийг тодорхойлох бүх мужид биш, харин зөвхөн P 0 цэгийн тодорхой ойролцоо байх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. . Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1 (FNP-ийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл)

Хэрэв функц Тэгээд= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэгт экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа. P 0 цэг дээр ( А 1 , А 2 , ..., a p) функц Тэгээд= е(P) нь экстремум, жишээлбэл, дээд талтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, тавих X 2 =А 2 ,..., x n = a p. Дараа нь Тэгээд= е(P) = е 1 ((X 1 , А 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм X 1. Энэ функц байгаа тул X 1 = А 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0эсвэл байхгүй үед X 1 =А 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ энэ нь P 0 цэг - экстремум цэг дээр байхгүй эсвэл байхгүй гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн муж дахь цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд чухал цэг бүр нь экстремум цэг биш юм.

Теорем 9.2 (FNP-ийн экстремумын хангалттай нөхцөл).

Функцийн критик цэг P 0 байг Тэгээд= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

а) хэрэв г 2 у(P 0) > 0 at , тэгвэл P 0 цэг болно хамгийн багафункцууд Тэгээд= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд Тэгээд= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үзэх болно.

Теорем нь хэзээ тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэг дээр экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - нэмэлт судалгаа, жишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах шаардлагатай байна.

Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцийн хувьд нотлогдсон z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр юм

P 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэе. Тодорхойлогчийг зохиоё

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 z P 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг нь өөрчлөгдөж, P 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хувьд бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):

1) Тодорхойлолтын домайныг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е), нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) P 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(P 0) ба тооцоолно А(P 0). Дараа нь:

хэрэв D(P 0) >0 бол P 0 цэгт экстремум байх ба хэрэв А(P 0) > 0 – тэгвэл энэ нь хамгийн бага, хэрэв бол А(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(P 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийг тодорхойлох талбар нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Бид олох болно

6X, = -3, = 48цагтТэгээд = 288xy – 9.

Дараа нь D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 цэг дээр экстремум байдаг ба үүнээс хойш А(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P 1) = .

Жишээ 2.

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) =R 2. Чухал цэгүүд: ; хэзээ байдаггүй цагт= 0, энэ нь P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(P 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй юм.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй - г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг авч үзье е(x, y) P 0 цэг дээр. Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг, гэхдээ D бол е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөлийн аль нь ч хангагдахгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) тул P 0 нь хамгийн дээд цэг биш), D нөхцөл биш юм е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь P 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Энэ нь экстремумын тодорхойлолтоор энэ функц нь экстремумгүй гэсэн үг юм.

Нөхцөлт экстремум.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум Тэгээд = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j Т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), дуудсан нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг авч үзье z = f(x,y) хоёр хувьсагч. Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь нэг бол, i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн тодорхойлолтын бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, энэ нь хайсан гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэг биш юм z = f(x,y), мөн энэ гадаргуугийн цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд, Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийн функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичих) ба хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлчийнх нь нэг хувьсагчийн функц гэж бичнэ (харгалзах тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум. Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Нөхцөлт экстремум. Лагранжийн үржүүлэгчийн арга. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох.

Лекц 5.

Тодорхойлолт 5.1.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн дээд цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) > f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у) М 0.

Тодорхойлолт 5.2.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн бага цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) < f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у)нэг цэгийн хөршөөс М 0.

Тайлбар 1. Хамгийн их ба хамгийн бага оноог дуудна экстремум цэгүүдхэд хэдэн хувьсагчийн функцууд.

Тайлбар 2. Дурын тооны хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг ижил төстэй аргаар тодорхойлно.

Теорем 5.1(экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв M 0 (x 0, y 0)– функцийн экстремум цэг z = f (x, y),тэгвэл энэ үед энэ функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй байна.

Баталгаа.

Хувьсагчийн утгыг засъя цагт, тоолох y = y 0. Дараа нь функц f (x, y 0)нэг хувьсагчийн функц байх болно X, үүний төлөө x = x 0туйлын цэг юм. Тиймээс Фермагийн теоремоор, эсвэл байхгүй. Үүнтэй ижил мэдэгдлийг ижил төстэй байдлаар нотолсон.

Тодорхойлолт 5.3.Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн мужид хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг гэнэ. суурин цэгүүдэнэ функц.

Сэтгэгдэл. Тиймээс экстремум нь зөвхөн суурин цэгүүдэд хүрч болох боловч тэдгээр нь тус бүрт ажиглагдах албагүй.

Теорем 5.2(экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл). цэгийн зарим нэг хөрш үзье M 0 (x 0, y 0), энэ нь функцийн суурин цэг юм z = f (x, y),Энэ функц нь 3-р зэрэглэлийг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Дараа нь гэж тэмдэглэе:

1) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн их бол AC–B² > 0, А < 0;

2) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн бага бол AC–B² > 0, А > 0;

3) эгзэгтэй цэгт экстремум байхгүй бол AC–B² < 0;

4) хэрэв AC–B² = 0, нэмэлт судалгаа шаардлагатай.

Баталгаа.

Функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье f(x,y),хөдөлгөөнгүй цэг дээр нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай.

Хаана Хэрэв сегмент хоорондын өнцөг М 0 М, Хаана М (x 0 +Δ x, y 0 +Δ цагт), болон O тэнхлэг Xφ, дараа нь Δ гэж тэмдэглэнэ x =Δ ρ cos φ, Δ у=Δρsinφ. Энэ тохиолдолд Тейлорын томъёо дараах хэлбэртэй байна. Let Дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувааж, үржүүлж болно А. Бид авах:

Одоо дөрвөн боломжит тохиолдлыг авч үзье.

1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и хангалттай бага Δρ үед. Тиймээс зарим хороололд M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ у)< f (x 0 , y 0), тэр нь М 0- хамгийн дээд цэг.

2) зөвшөөр AC–B² > 0, A > 0.Дараа нь , Мөн М 0- хамгийн бага оноо.

3) зөвшөөр AC-B² < 0, А> 0. φ = 0 цацрагийн дагуух аргументуудын өсөлтийг авч үзье.Тэгвэл (5.1)-ээс дараах нь гарна. , өөрөөр хэлбэл, энэ цацрагийн дагуу шилжих үед функц нэмэгддэг. Хэрэв бид ийм туяа дагуу хөдөлвөл tg φ 0 = -A/B,Тэр , тиймээс энэ туяа дагуу хөдөлж байх үед функц буурдаг. Тэгэхээр, хугацаа М 0туйлын цэг биш.

3`) Хэзээ AC–B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

өмнөхтэй төстэй.

3``) Хэрэв AC–B² < 0, А= 0, тэгвэл . Үүний зэрэгцээ. Дараа нь хангалттай бага φ-ийн хувьд 2 илэрхийлэл болно Б cosφ + C sinφ нь 2-той ойролцоо байна IN, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тогтмол тэмдгийг хадгалдаг боловч sinφ нь цэгийн ойролцоо тэмдгийг өөрчилдөг М 0.Энэ нь функцийн өсөлт нь хөдөлгөөнгүй цэгийн ойролцоо тэмдэгийг өөрчилдөг гэсэн үг бөгөөд энэ нь экстремум цэг биш юм.

4) Хэрэв AC–B² = 0, мөн , , өөрөөр хэлбэл өсөлтийн тэмдгийг 2α 0 тэмдгээр тодорхойлно. Үүний зэрэгцээ экстремум байгаа эсэх асуудлыг тодруулахын тулд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Жишээ. Функцийн экстремум цэгүүдийг олъё z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Тогтмол цэгүүдийг олохын тулд бид системийг шийддэг . Тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг нь (-2,-1) байна. Үүний зэрэгцээ A = 2, IN = -2, ХАМТ= 4. Дараа нь AC–B² = 4 > 0, тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг дээр экстремум, тухайлбал, хамгийн багадаа хүрдэг. А > 0).

Тодорхойлолт 5.4.Хэрэв функц аргументтай бол f (x 1 , x 2 ,…, x n)хэлбэрээр нэмэлт нөхцлөөр холбогдсон байна мтэгшитгэл ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ м ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i функцууд нь тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол (5.2) тэгшитгэлийг гэнэ. холболтын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт 5.5.Функцийн экстремум f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд түүнийг дуудна нөхцөлт экстремум.

Сэтгэгдэл. Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумын дараах геометрийн тайлбарыг санал болгож болно: функцийн аргументуудыг үзье. f(x,y)φ тэгшитгэлээр холбогдоно (x,y)= 0, O хавтгайд зарим муруйг тодорхойлох xy. Энэ муруйн цэг бүрээс О хавтгайд перпендикуляруудыг сэргээж байна xyгадаргуутай огтлолцох хүртэл z = f (x,y),бид φ муруйн дээрх гадаргуу дээр байрлах орон зайн муруйг олж авна (x,y)= 0. Үүссэн муруйн экстремум цэгүүдийг олох даалгавар нь мэдээжийн хэрэг ерөнхий тохиолдолд функцийн болзолгүй экстремум цэгүүдтэй давхцахгүй. f(x,y).

Эхлээд дараах тодорхойлолтыг оруулснаар хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумд шаардлагатай нөхцлийг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт 5.6.Чиг үүрэг L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ м φ м (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Хаана λi -зарим нь тогтмол, гэж нэрлэдэг Лагранж функц, болон тоонууд λi– тодорхойгүй Лагранж үржүүлэгч.

Теорем 5.3(нөхцөлт экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Функцийн нөхцөлт экстремум z = f (x, y)холболтын тэгшитгэл байгаа тохиолдолд φ ( x, y)= 0 нь зөвхөн Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдэд хүрч болно L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Баталгаа. Холболтын тэгшитгэл нь далд хамаарлыг тодорхойлдог цагт-аас X, тиймээс бид үүнийг таамаглах болно цагт-аас функц байдаг X: у = у(х).Дараа нь z-аас нарийн төвөгтэй функц байдаг X, түүний эгзэгтэй цэгүүдийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно. . (5.4) Холболтын тэгшитгэлээс дараах нь гарна . (5.5)

Тэгш байдлыг (5.5) λ тоогоор үржүүлээд (5.4) нэмье. Бид авах:

, эсвэл .

Сүүлчийн тэгш байдал нь суурин цэгүүдэд хангагдах ёстой бөгөөд үүнээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

(5.6)

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. x, yба λ, эхний хоёр тэгшитгэл нь Лагранжийн функцийн суурин цэгийн нөхцөл юм. (5.6) системээс үл мэдэгдэх λ туслахыг хассанаар анхны функц нөхцөлт экстремум байж болох цэгүүдийн координатыг олно.

Тайлбар 1. Олдсон цэг дээр нөхцөлт экстремум байгаа эсэхийг 5.2 теоремын аналогиар Лагранжийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг судалж шалгаж болно.

Тайлбар 2. Функцийн нөхцөлт туйлд хүрч болох цэгүүд f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд системийн шийдэл гэж тодорхойлж болно (5.7)

Жишээ. Функцийн нөхцөлт экстремумыг олъё z = xyүүнийг өгсөн x + y= 1. Лагранж функцийг зохиоё L(x, y) = xy + λ (x + y –) 1). Систем (5.6) дараах байдалтай байна.

Энд -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Үүний зэрэгцээ L(x,y)хэлбэрээр төлөөлж болно L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5 тул олсон суурин цэг дээр L(x,y)дээд талтай, мөн z = xy -нөхцөлт дээд.