Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей
многочлен степени n. Дробно – рациональная функция Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Дробно – рациональная функция Привести неправильную дробь к правильному виду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида: Называются простейшими рациональными дробями типов. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Теорема: Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители: можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Приравняем числители получившейся и исходной дробей Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
Интегрирование простейших дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей: Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k
Интегрирование простейших дробейdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln
Интегрирование простейших дробей Интеграл данного типа с помощью подстановки: приводится к сумме двух интегралов: Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала. Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Интегрирование простейших дробей a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1(4)1(
Общее правило интегрирования рациональных дробей Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример Приведем дробь к правильному виду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx
Пример Разложим знаменатель правильной дроби на множители Представим дробь в виде суммы простейших дробей Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.
Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .
Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) .
Выясним, каким образом они интегрируются.
3) (изучен ранее).
Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
Пример 1.
Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:
Пример 2.
Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:
Пример 3.
Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:
1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.
2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.
3. комбинированный метод.
Пример 5. Разложить дробь на простейшие.
Решение:
Найдем коэффициенты А и В.
1 способ - метод частных значений:
2 способ – метод неопределенных коэффициентов:
Ответ:
Интегрирование рациональных дробей.
Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример 1. Найти интеграл
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn -кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов
,
,
.
В интегралах 4-6 при дифференцировании
упроститься трансцендентный множитель
,
или
,
который следует принять заu
.
Вычислить следующие интегралы.
Пример 7.
Пример 8.
Приведение интегралов к самому себе
Если подынтегральная функция
имеет
вид:
,
,
и так далее,
то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :
,
где
- некоторая постоянная.
Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:
.
Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе ».
Пример 9.
Вычислить интеграл
.
В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:
.
Пример 10.
Вычислить интеграл
.
4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
Определение. Простейшими правильными дробями I , II и III типов называются следующие дроби:
I . ;
II
.
;
(
- целое положительное число);
III
.
;
(корни знаменателя комплексные, то
есть:
.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей.
I
.
;
(20)
II . ; (21)
III
.
;
Преобразуем числитель дроби таким
образом, чтобы выделить в числителе
слагаемое
,
равное производной знаменателя.
Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:
Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:
Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:
=
+
.
(22)
Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.
4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.
Всякая рациональная функция
может
быть представлена в виде отношения двух
многочленов
и
:
. (23)
Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.
Дробь вида (23) называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m < n . В противном случае –неправильной .
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
, (24)
где
- многочлен,- правильная дробь, причем степень
многочлена
- не выше степени (n
-1).
Пример.
Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
В алгебре доказано, что всякая правильная
дробь
разлагается
на сумму рассмотренных вышепростейших
дробей, вид которых определяется корнями
знаменателя
.
Рассмотрим три частных случая. Здесь
и далее будем считать, что коэффициент
при старшей степени знаменателя
равен
единице=1,
то есть
многочлен приведенный
.
Случай 1.
Корни знаменателя, то есть,
корни
уравнения
=0,
действительны и различны. Тогда
знаменатель представим в виде произведения
линейных множителей:
а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:
, (26)
где
–
некоторые постоянные числа, которые
находятся методом неопределенных
коэффициентов.
Для этого необходимо:
1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.
2. Приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях тождественных многочленов,
стоящих в числителе левой и правой
частей. Получим систему линейных
уравнений для определения
.
3. Решить полученную систему и найти
неопределенные коэффициенты
.
Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:
Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:
.
х :
Запишем систему трех уравнений для
нахождения
х
в левой и
правой частях:
.
Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений .
Полагая в равенстве (27)
получим
,
откуда
.
Полагая
получим
.
Наконец, полагая
получим
.
.
Случай 2.
Корня знаменателя
действительны,но среди них есть кратные (равные)
корни. Тогда знаменатель представим в
виде произведения линейных множителей,
входящих в произведение в той степени,
какова кратность соответствующего
корня:
где
.
Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk , а все остальные (n - k ) корней различны.
Тогда разложение будет иметь вид:
Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:
В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х :
Запишем систему четырех уравнений для
нахождения
и.
Для этого приравняем коэффициенты при
одинаковых степеняхх
в левой и
правой части
.
Случай 3.
Среди корней знаменателя
есть
комплексные однократные корни. То есть,
в разложение знаменателя входят множители
второй степени
,
не разложимые на действительные линейные
множители, причем они не повторяются.
Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
.
.
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где – действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) , б) .
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
3) , |
4) , |
где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или .
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) , б) .
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение . Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:
Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами
Одним из важнейших классов функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций.
Определение 1.
Функция вида
где
-
многочлены степеней
n
и
m
называется рациональной. Целая
рациональная функция, т.е. многочлен,
интегрируется непосредственно. Интеграл
от дробно-рациональной функции можно
найти путем разложения на слагаемые,
которые стандартным образом преобразуются
к основным табличным интегралам.
Определение 2.
Дробь
называется
правильной, если степень числителя
n
меньше степени знаменателя
m
.
Дробь, у которой степень числителя
больше или равна степени знаменателя,
называется неправильной.
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления многочлена на многочлен «столбиком», подобно делению чисел.
Пример.
Представим дробь
в виде суммы многочлена и правильной
дроби:
x - 1
3
3
3
Первое слагаемое
в частном получается как результат
деления старшего члена
,
делимого на старший членх
делителя. Затем умножаем
на делительх-1
и полученный результат вычитаем из
делимого; аналогично находятся остальные
слагаемые неполного частного.
Выполнив деление многочленов, получим:
Это действие называется выделением целой части.
Определение 3. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:
I.
II.
(K=2,
3, …).
III.
где квадратный трехчлен
IV.
где К=2, 3, …; квадратный трехчлен
не имеет действительных корней.
а) разложить
знаменатель
на простейшие действительные множители
(согласно основной теореме алгебры это
разложение может содержать линейные
двучлены вида
и квадратные трехчлены
,
не имеющие корней);
б) написать схему
разложения данной дроби на сумму
простейших дробей. При этом каждому
сомножителю вида
соответствуетk
слагаемых видов I
и II:
каждому сомножителю
вида
соответствует
е слагаемых видовIII
и IV:
Пример.
Записать схему
разложения дроби
в сумму простейших.
в) выполнить сложение полученных простейших дробей. Записать равенство числителей полученной и исходной дробей;
г) найти коэффициенты
соответствующего разложения:
(методы решения будут рассмотрены
ниже);
д) найденные значения коэффициентов подставить в схему разложения.
Интегрирование всякой правильной рациональной дроби после разложения на простейшие слагаемые сводится к нахождению интегралов одного из типов:
(k и e =2, 3, …).
Вычисление интеграла сводится к формулеIII:
интеграла - к формулеII:
интеграл можно найти по правилу, указанному в теории интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен;- путем преобразований, показанных ниже в примере 4.
Пример 1.
а) разложим знаменатель на множители:
б) напишем схему разложения подынтегральной функции на слагаемые:
в) выполним сложение простейших дробей:
Запишем равенство числителей дробей:
г) для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C существуют два метода.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х , поэтому можно составить соответствующую систему уравнений. В этом заключается один из методов решения.
Коэффициенты
при
свободные члены (коэф. при ):4А=8.
Решив систему, получим А=2 , В=1 , С= - 10 .
Другой метод - частных значений будет рассмотрен в следующем примере;
д) подставим найденные значения в схему разложения:
Подставляя под знак интеграла полученную сумму, и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем:
Пример 2.
Тождество есть равенство, справедливое при любых значениях входящих в него неизвестных. На этом основан метод частных значений. Можно придавать х любые значения. Удобнее для вычислений брать те значения, которые обращают в нуль какие-либо слагаемые в правой части равенства.
Пусть х = 0 . Тогда 1 = А 0(0+2)+В 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).
Аналогично при х = - 2 имеем 1= - 2В*(-3 ), при х = 1 имеем 1 = 3А .
Следовательно,
Пример 3.
г) сначала воспользуемся методом частных значений.
Пусть х = 0 , тогда 1 = А 1, А = 1 .
При х = - 1 имеем - 1+4+2+1 = - В(1+1+1) или 6 = - 3В , В = - 2 .
Для нахождения коэффициентов С и D нужно составить еще два уравнения. Для этого можно взять любые другие значения х , например х = 1 и х = 2 . Можно воспользоваться первым методом, т.е. приравнять коэффициенты при каких-либо одинаковых степенях х , например при и. Получим
1 = А+В+С и 4 = С + D – В.
Зная А = 1 , В = -2 , найдем С = 2 , D = 0 .
Таким образом, при вычислении коэффициентов можно сочетать оба метода.
Последний интеграл находим отдельно по правилу, указанному в методе веления новой переменной. Выделим полный квадрат в знаменателе:
положим,
тогда
Получим:
=
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
Пример 4.
Найти
б)
д)
Интегрируя, имеем:
Первый интеграл преобразуем к формуле III:
Второй интеграл преобразуем к формуле II:
В третьем интеграле
заменим переменную:
(При выполнении
преобразований воспользовались формулой
тригонометрии
Найти интегралы:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Вопросы для самопроверки.
Какие из данных рациональных дробей являются правильными:
2. Верно ли записана схема разложения дроби на сумму простейших дробей?