Наиболее удобно представлять трехмерные объекты для метода обратного трассирования лучей в виде отдельных строительных блоков, поверхности которых обычно описываются функциями первого и второго порядка. Выбор таких функций обусловлен необходимостью аналитического, а не численного решения уравнений пересечения светового луча с поверхностями. Описание бикубических поверхностей представлено в §3.4.4.

Будем называть функциональным объемом некоторую часть пространства (необязательно конечную), которая охватывается поверхностью одной функции. Для того чтобы однозначно определить, какой участок полупространства относится к телу объекта, а какой вне его, установим следующее правило: принадлежащим телу объекта считается подпространство, выделяемое поверхностью , в любой точке которого значение скалярного поля . Назовем такое подпространство положительным, а смежное с ним и лежащее по другую сторону от поверхности функции – отрицательным. При соблюдении этой договоренности, автоматически выполняется условие направленности вектора нормали внутрь тела, т. е. в сторону положительного подпространства, так как градиент скалярного поля описываемых классов направлен нормально от поверхности в сторону возрастания значения .

Объемными примитивами будем называть конечные участки пространства, ограниченные одной или несколькими функционально описанными поверхностями. Очень часто в качестве примитива используют функциональный объем, ограниченный плоскостями – многогранник. Примитивы, естественно, должны обеспечивать удобство конструирования из них производных тел и обладать относительной математической простотой.

Плоским примитивом будем называть часть плоскости, ограниченную замкнутой линией, состоящей из конечного числа прямолинейных или криволинейных участков.

Для одного и того же примитива характерны неизменное количество ограничивающих его тело поверхностей и стандартный вид функций, описывающих эти поверхности. Параметры функций являются варьируемыми, этим достигается изменение формы примитива (например из эллипсоида в шар), их пространственного положения и ориентации. Наиболее употребительные типы примитивов показаны на рис.3.2.1: а – тетраэдр, б – параллелепипед, в – цилиндр, г – эллипсоид, д – конус, е – часть плоскости.

Рис. 3.2.1. Типичные примитивы

Изображения некоторых примитивов, полученные методом машинной графики, показаны на рис.3.2.2 - 3.2.6.

Рис. 3.2.2. Сцена, составленная из эллипсоидов

Рис. 3.2.3. Цилиндр

Рис. 3.2.4. Параллелепипед

Рис. 3.2.5. Конус двухсторонний (а) и односторонний (б)

Приведем пример математического описания цилиндрического примитива в виде кругового цилиндра с плоскими торцами, перпендикулярными оси. Математическая модель примитива состоит из уравнения цилиндра

где – координаты любой точки на оси цилиндра; – компоненты направляющего вектора оси цилиндра, и уравнений торцевых поверхностей , , где , – координаты осевых точек первом и втором торце соответственно.

Для всех поверхностей примитива сохраним правило размещения положительных подпространств внутри тела примитива. Так, если в состав примитива входят уравнений вида , где , то на этапе конструирования примитива устанавливают состояние.

Построение тел

Моделирование с помощью тел – это самый простой способ трехмерного моделирования. Средства AutoCAD позволяют создавать трехмерные объекты на основе базовых пространственных форм: параллелепипедов, конусов, цилиндров, сфер, клинов и торов(колец). Из этих форм путем их объединения, вычитания и пересечения строятся более сложные пространственные тела. Кроме того, тела можно строить, сдвигая плоский объект вдоль заданного вектора или вращая его вокруг оси.

Модификация тел осуществляется путем сопряжения их граней и снятия фасок. В AutoCAD имеются также команды, с помощью которых тело можно разрезать на две части или получить его двумерное сечение.

Как и сети, тела выглядят аналогично проволочным моделям, до тех пор пока к ним не применены операции подавления скрытых линий, раскрашивания и тонирования.

Ниже приведены некоторые понятия и определения, принятые в трехмерном твердотельном моделировании:

· Грань – ограниченная часть поверхности. Грани образуют твердотельную модель;

· Ребро – элемент, ограничивающий грань. Например, грань куба ограничена четырьмя прямолинейными ребрами, а коническая – в основании одним эллиптическим или круговым ребром;

· Полупространство – часть трехмерного пространства, лежащая по одну сторону от поверхности;

· Тело – часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью и имеющая определенный объем;

· Тело (примитив) – наипростейший (основной, базовый) твердотельный объект, который можно создать и строить из него более сложные твердотельные модели;

· Область – часть плоскости, ограниченная одной или несколькими планарными гранями, которые называются границами;

· Область (примитив) – замкнутая двумерная область, которая получена путем преобразования существующих двумерных примитивов AutoCAD, имеющих нулевую высоту (кругов, фигур, двумерных полилиний, многоугольников, эллипсов, колец и полос), и описана как тело без высоты;

· Составная область – единая область, получаемая в результате выполнения логических операций объединения, вычитания или пересечения нескольких областей;

· Объект – общее наименование области или тел, причем тип объекта не имеет значения: это может быть область, тело или составная модель (группа объектов, связанных в единое целое);

· Пустой объект – составное тело, не имеющее объема, или составная область, не имеющая площади.

Простейшие составные части, из которых строятся сложные трехмерные объекты, называют твердотельными примитивами. К ним относятся ящик (параллелепипед, куб), цилиндр (круговой, эллиптический), шар, тор. С помощью команд BOX (ЯЩИК), WEDGE(КЛИН), CONE(КОНУС), CYLINDER(ЦИЛИНДР), SPHERE(ШАР), TORUS(ТОР) можно создать модели любого из этих тел заданных размеров, введя требуемые значения.

Примитивы заданной формы создаются также путем выдавливания, осуществляемого командой EXTRUDE, или вращения двумерного объекта – командой REVOLVE. Из примитивов получают более сложные объемные модели объектов.

1. Создание элементов модели. Общие понятия и терминология

Термином «Элемент» в системе обычно называется геометрический объект, который име­ет родителей. Элементы включают в себя все твердые тела, примитивы (типовые тела) и не­которые объекты, представляющие из себя каркас кривых. Геометрия, которая используется для построения элемента, является «родителем» операции. Сама операция считается «дочер­ним» объектом, т.е. зависящим от родителей элементом построения. Между дочерними и ро­дительскими элементами устанавливается ассоциативная связь. Изменение родителей приво­дит к автоматическому обновлению дочерних элементов. Рассмотрим наиболее часто встре­чающиеся термины, используемые при создании элементов:

Тело: совокупность граней и ребер, которые могут замыкать объем либо не замыкать объ­ем, но, тем не менее, являться односвязной областью. Включает в себя как твердые, так и ли­стовые тела;

Твердое тело: совокупность граней и ребер, замыкающих объем. Содержит внутри объе­ма «материал» (solid);

Листовое тело: тело, состоящее из граней и ребер, которые вместе не создают замкнуто­го объема. Его можно считать телом с «нулевой» толщиной;

Грань: часть поверхности тела, отделенная от других поверхностей замкнутой цепочкой ребер;

Кривые сечения: цепочка кривых, которая, перемещаясь, заметает тело;

Направляющие кривые: цепочка кривых, вдоль которой перемещается задающее сечение.

Элемент: любой из ниже перечисленных методов построения твердого тела и связанный с ним геометрический примитив.

Тело может быть создано двумя основными способами:

1. Вытягиванием эскиза или любых кривых. Во время перемещения кривые “заметают” объ­ем, моделируя твердое тело, позволяя сразу получить сложную геометрию. Редактирование тела осуществляется либо изменением параметров самой функции вытягивания, либо редак­тированием эскиза.

2. Созданием примитивных (параллелепипед, конус, цилиндр, и т.д.) элементов формы и их объединением, вычитанием или пересечением и последующим добавлением к детали. При работе с примитивами каждая отдельная операция порождает достаточно простую геоме­трию, в принципе вы можете построить такое же тело, что и в первом случае, однако его ре­дактирование может оказаться более трудоемким, но и более гибким и предсказуемым.

Создание элементов модели имеет некоторые общие действия и параметры, такие как:

Выбор объектов (работая с твердым телом, вам часто приходится указывать ту или иную геометрию);

Задание точек (все точки, включая концы и середины кривых (ребер) или позицию на экране, задаются в команде «Конструктор точки»);

Определение вектора (все вектора задаются с использованием команды “Конструктор вектора”);

Тело построения (Элемент модели - результат построения, называется ”Телом построе­ния”. Если в модели присутствует только одно тело, то система принимает его по умолчанию. Если тел больше , чем одно, вы должны указать, с каким телом вы собираетесь работать);

Булевы операции (когда вы создаете геометрические примитивы и элементы построения типа заметания, вы можете выбрать логическую операцию объединения, вычитания или пере­сечения, которая может быть применена к только что построенной геометрии и существую­щим в части твердым телам);

Отказ или отмена действий (в любой момент построения вы можете вернуться на шаг на­зад, выполнив команду “Отмена”).

2. Моделирование тел с помощью примитивов

Примитивы - это конструктивные элементы, имеющие простые аналитические формы, на­пример: блок (параллелепипед), цилиндр, конус, сфера. Примитивы ассоциативны точке привязки, вектору и кривым, которые использовались во время их построения для позициониро­вания и ориентации. Если вы в дальнейшем переместите объект привязки, то и примитив так­же переместится. Для создания примитива необходимо:

Выбрать тип примитива, который вы хотите построить (блок, цилиндр, конус, сфера);

Выбрать метод задания примитива;

Задать параметры примитива в соответствии с выбранным методом построения;

Выбрать булевы опции.

Использование примитивов рассмотрим на примере создания следующей детали:

Создайте новый файл. Вызовите диалог создания бло­ка, воспользовавшись иконкой на панели инструментов “Элемент”.

Установите тип задания “Начало и длины ребер”, задайте точку начала блока в начале системы коор­динат (для задания точки откройте диалог “Конструктор точки” - ). В разделе “Размеры” введите значения: длина (ХС) = 60; ширина (YC) = 50; высота (ZC) = 40, и заверши­те построение (ОК). Вновь вызовите диалог создания блока и постройте блок с разме­рами: длина (ХС) = 60; ширина (YC) = 50; высота (ZC) = 40, в точке со смещением от начала системы координат: приращение ХС = 10; приращение YC = 1 0; приращение ZC = 5, в разделе булевых опций установите значение «Вычитание», при этом первый блок будет выбран автоматически, т.к. это единственное твердое тело в части. Если в рабочей части одно тело, то NX на шаге задания булевых опций выберет его автома­тически, если более одного, то вам будет предложено указать необходимое тело. За­вершите операцию (ОК).

Теперь создайте цилиндр ( , установив тип «Ось, диаметр и высота», с размерами: диаметр = 30; высота = 5. Для задания вектора направле­ния оси цилиндра выберите ось Z. C рабочей системы координат, для задания точки вызовите диалоговое окно конструктора точек, выберите в нем тип “Контекстная точ­ка”, установите значения координат по всем осям, равное нулю, в разделе «Смеще­ние» установите значение «Прямоугольный» и введите приращения: ХС = 45; YC = 35 ZC = 5. Подтвердите (ОК) задание точки, в разделе булевых опций установите значе­ние «Объединение» (NX автоматически выбирает основное тело), завершите опера­цию (ОК). Создайте еще один цилиндр с размерами: диаметр = 1 5; высота = 15, по­местив его в центре верхней грани предыдущего цилиндра с направлением оси -ZC и опцией «Вычитание» в разделе булевых операций.

Теперь нам нужно создать гладкое отверстие диаметром 20 мм на боковой вертикальной стенке детали. Для этого соз­дадим еще один цилиндр с параметрами: диаметр = 20; высота = 15, поместив его не наружной грани стенки с направлением оси ХС, смещением от начала системы коор­динат: ХС = 0; YC = 30; ZC = 20. Для создания прямоугольного выреза на другой стенке построим блок с размерами: длина (ХС) = 20; ширина (YC) = 20; высота (ZC) = 20 установив точку привязки блока в координаты: ХС = 20; YC = 0; ZC = 20 и указав оп­цию «Вычитание» для булевой операции.

Вызовите диалог создания радиуса скругления ребра из панели «Элемент» либо из меню Вставить - Конструктивный элемент - Скругление ребра, установите необходимые значения радиусов для ребер, поочередно добавляя их в деталь.

Затем, используя операции Зеркальное тело и Объединение , придайте детали требуемый вид.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРнАЯ ГРАФИКА

Основой начертательной геометрии и инженерной графики является наука геометрия.

Геометрия изучает геометрические свойства геометрических примитивов, функциональные при геометрических преобразованиях.

Геометрические примитивы:

2. Отрезок прямой линии (прямая)

3. Отсек плоскости (плоскость)

4. Тело (простые геометрические тела)

Геометрические преобразования:

1. Перенос (параллельный)

2. Поворот

3. Масштабирование

4. Проецирование

Свойства геометрических примитивов:

– координаты х, y , z

Прямая – длина, углы наклона – α , β,γ

Плоскость – площадь, длина периметра, координаты центра тяжести, углы наклона плоскости к плоскостям проекций - α , β,γ и пр.

Тело – объём, площадь поверхности, координаты центра тяжести и др.

Это собственные (абсолютные свойства), есть еще вторая группа свойств – свойства положения (относительные) -параллельность, перпендикулярность и пр.

Основной научный метод – метод моделей.

Метод моделей

Типовые задачи геометрии

ТЗ-8 – точка + плоскость

Типовая задача № 1 («задача штирлица»)

Рис.1. Рис.2.

Точность построения на рис.1. максимальна, поэтому применяют прямоугольную

(ортогональную) систему координат. Поскольку ПОВОРОТ является инвариантным преобразованием, разворачивание всех трех плоскостей в одну плоскость образует т.н. комплексный чертеж.

Точность пеленгации места выхода в эфир передатчика разведчика выше на рис.1. (отсюда – «задача Штирлица»).

Первое правило Берикова – если в задаче участвуют примитивы «соседних» размерностей, размерность одного из них понижается (повышается) до размерности второго (как правило, с помощью двукратной (однократной) замены плоскости проекции)

Второе правило Берикова – если в задаче участвуют примитивы «не соседних» размерностей, задача решается с помощью примитива-посредника промежуточной размерности.

Типовая задача № 2 (точка в системе плоскостей проекций)

Рис.3. Типовая задача № 2

Для определения координат точки – достаточно двух проекций

Типовая задача № 3 «Прямая в системе плоскостей проекций»

Прямые разделяются на три типа – два типа прямых частного положения (проецирующие и прямые уровня) и прямые частного положения.

Прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекции, называются проецирующими. Например – горизонтально-проецирующая прямая – это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции.

А 1

В 1

А 2 =В 2

Рис.4. Горизонтально-проецирующая прямая

Поскольку отрезок прямой перпендикулярен одной плоскости проекций, он автоматически параллелен двум другим плоскостям проекций и на них проецируется в натуральную величину. Углы наклона в данном случае равны:

α = 0 o

β = 90 0

γ = 0 o

Отрезок прямой линии параллельный какой-либо плоскости проекции, называется прямой уровня и имеет название такое же как и плоскость, которой он параллелен. На ту плоскость, которой отрезок параллелен, он проецируется в натуральную величину. Углы наклона отрезка ко всем плоскостям проекций легко измеряются на чертеже (модели) без каких-либо преобразований.

Рис.4. Горизонтальная прямая

Прямая, расположенная в пространстве под произвольными углами к плоскостям проекций называется прямой общего положения и для измерения длины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций требуются преобразования чертежа (модели). Для определения натуральной величины отрезка прямой применяются несколько методов преобразования чертежа:

1. Метод вращения;

2. Метод прямоугольного треугольника;

3. Метод замены плоскости проекции.

Практически все эти методы являются модификациями использования преобразования – «ВРАЩЕНИЕ». Так, например, вращение отрезка вокруг оси Z не изменяет длину отрезка L и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекции β . Поэтому, для определения длины отрезка и угла наклона β используют вращение отрезка вокруг вертикальной оси. Углы наклона к другим плоскостям проекций определяют вращением отрезка прямой вокруг осей, параллельных другим осям координат. При вращении отрезка вокруг оси, параллельной оси Х не меняется (инвариантен) угол γ - угол наклона к профильной плоскости проекции. При вращении отрезка вокруг оси, параллельной оси Y не меняется угол наклона к фронтальной плоскости проекции α . Пример решения такой задачи приведен на рис.5.

Рис.5. Определение длины отрезка и угла наклона α

методом вращения

Рис.8. Построение горизонтального следа прямой линии.

Аналогично выглядят построения при определении фронтального следа

прямой линии.

Рис. 9. Построение фронтального следа прямой линии

(подписать след и его проекции самостоятельно).

ТИПОВАЯ ЗАДАЧА № 4 «Плоскость в системе плоскостей проекций»

Плоскости, как и отрезки прямых линий, могут занимать как частное

(проецирующие и уровня), так и общее положение.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ:

1. Тремя точками;

2. Плоской фигурой;

3. Двумя параллельными прямыми;

4. Двумя пересекающимися прямыми;

5. Следами.

Первые четыре способа легко перезадаются из одного способа в другой. Несколько особняком стоит вопрос перезадания следами.

Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций. Чтобы построить след плоскости, нужно построить одноименные следы двух пересекающихся или параллельных прямых, лежащих в этой плоскости и соединить их прямой линией. При правильном построении следы плоскости пересекаются на оси Х в одной точке (!)

К 1

К 2

Рис. 10. Плоскость К, заданная следами. Точка А принадлежит плоскости

В чертеже на рис.10. ясно видно, что горизонтальный след плоскости К 2 и горизонтальная проекция горизонтальной линии (горизонтали) ПАРАЛЛЕЛЬНЫ!!! Аналогично – параллельны фронтальный след плоскости К 1 и фронтальная проекция фронтали.

В решении типовой задачи № 4 обычно преобразуют чертеж для:

· Получения натуральной величины плоской фигуры;

· Измерения углов наклона плоскости к плоскостям проекций α,β,γ;

В числе способов преобразования чертежа используют:

· Замену плоскости проекции;

· Вращение геометрического примитива.

Чертежи вариантов решения типовой задачи № 4 выполнить самостоятельно.

Типовая задача № 5 «Тело в системе плоскостей проекций»

Каждое элементарное тело проецируется на комплексном чертеже в одной (нескольких) проекциях в зависимости от решаемой задачи, но как правило, в таких проекциях, которые позволяют проставить поэлементные размеры (размеры, задающие само элементарное геометрическое тело).

Цилиндр

Рис.11. Изображение цилиндра

Задача 2. Составить матрицу смежности

3.2.1. Алгоритм составления матрицы смежности

Для полного, непротиворечивого и независимого задания геометрической модели составного тела необходимо использовать матрицу смежности. Это связано с тем, что она обеспечивает возможность организации и воспроизведения процесса моделирования, а также анализа и корректировки модели тела.

Заполнение матрицы смежности осуществляется в порядке формообразования составного геометрического тела и будет, осуществляется в следующей последовательности:

Записывается присвоенный порядковый номер составляющих тел-примитивов порядке возрастания (придерживаются правила; от внешних к внутренним и от больших к меньшим см. ранее);

Записывается наименование составляющих тел-примитивов;

Выявляется число и геометрический смысл параметров формы составляющих тел-примитивов Pф;

Определяется число и геометрический смысл параметров положения составляющих тел Pп;

Выявляется число и геометрический смысл совпадения параметров формы с параметрами формы или положения других составляющих тел-примитивов, рассмотренных перед ними в матрице смежности Кф;

Выявляется число и геометрический смысл совпадения параметров положения с параметрами положения или формы других составляющих тел-примитивов, рассмотренных перед ними в матрице смежности ранее Кп;

Подсчитывается и записывается итоговое число параметров для каждого тела-примитива, а так же обозначение параметров. Например, для тела примитива № 1 запишем: 3 (b1, c1, h1);

Определяется логическая взаимосвязь составляющих тел-примитивов. Для этого используют булевы операции: объединения (È) и вычитания (/).

Следует помнить, что тела-примитивы, полученные в результате операции вычитания, между собой не взаимодействуют, и соответствующая ячейка матрицы для них не заполняется (пустота не может взаимодействовать с пустотой). Например, считается, что цилиндрическое отверстие 6 не взаимодействует с призматическим отверстием 7, хотя из рисунка видно, что они пересекаются.

Параметры формы и положения (размеры) вытекают непосредственно из задания. Параметры формы Pф тел-примитивов были определены ранее и указаны на эскизах тел примитивов см. рис. 3.

В соответствии с возможными шестью параметрами положения (три переноса и три поворота относительно осей КСК) выявляются параметры положения заданных тел-примитивов Pп относительно КСК заданного составного геометрического тела.

На рис. 4 указаны параметры положения некоторых составляющих тел относительно выбранной системы координат.

Рассмотрим более конкретно некоторые этапы данного алгоритма.

3.2.2. Заполнение матрицы смежности осуществляется в порядке распознавания, то есть согласно присвоенным номерам тел-примитивов (рис. 4 в Приложении). Например, в рассматриваемом задании призма 1 объединяется с цилиндром 2. Для призмы 1: h1 - высота, c1 - ширина и b1 – длина. У неё отсутствуют параметры положения Рп, так как начало её КСК совпадает началом КСК всего тела. Поскольку призма была принята за базовое тело, то у неё отсутствуют коэффициенты совпадения Кф и Кп. Для цилиндра 2 имеем параметры формы Æ2 - диаметр и h2 – высота. У него отсутствуют параметры положения Рп, так как начало его КСК совпадает началом КСК всего тела, но поскольку его параметр формы Æ2 (диаметр) совпадает с параметром базового тела призмы (с её шириной c1), то появляется коэффициент формы Кф, который записывается в соответствующую графу как Æ2 = c1 и т. д. Так для параллелепипеда (7) параметром положения будет перенос по оси OZ. Для сферы (3) - перенос по оси OZ и т.п.

При определении коэффициентов совпадения и последующей записи их в матицу смежности следует придерживаться правила: Записывается совпадение “текущего” с ”более ранним”. Например, как было отмечено, у цилиндра 2 его диаметр совпадает с шириной призмы 1, записанной ранее. Поэтому во второй строчке матрицы смежности, относящейся к этому цилиндру, в графе Кф записали Æ2 = c1, т. е. совпадение “текущего” параметра (в данном случае параметра второго тела-примитива) с ”более ранним” параметром (в данном случае с параметром первого тела-примитива). Справедливости ради следует отметить, что если бы мы в первой строчке, относящейся к призме записали в графе Кф зависимость с1 = Æ2, то во второй строчке (для цилиндра), Кф не надо было указывать и тогда общее количество размеров для простановки осталось бы прежним. Однако в этом случае можно запутаться и несколько раз учесть один и тот же коэффициент. По этому при определении и записи коэффициентов настоятельно рекомендуется придерживаться того правила, что записывается совпадение “текущего” с ”более ранним”.

Матрица смежности выполняется на отдельном формате А4 или А3. Пример заполнения представлен в Приложении (см. рис. 4).

Проверьте, все ли распознанные тела-примитивы включены в матрицу смежности. Убедитесь, что между телами-примитивами полученными операцией “вычитание”, отсутствуют какие-либо взаимосвязи.

3.2.3. Контрольные вопросы

1. Для чего служит операция вычитание? Приведите примеры.

2. Для чего служит операция объединения? Приведите примеры.

3. Какие Вы знаете параметры тел-примитивов? Приведите примеры.

4. В какой последовательности заполняется матрица смежности? Приведите примеры.

5. Какими параметрами в пространстве характеризуются тела-примитивы? Поясните на примере.

6. Какое максимальное количество степеней свободы имеет геометрическое тело в трёхмерном пространстве? Поясните на примере.

7. Что означают Pф и Pп и в каких случаях они появляются? Поясните на примере.

8. Что означают Кф и Кп и в каких случаях они появляются? Поясните на примере.

3.3. Построение трехпроекционного комплексного чертежа отсеков геометрических тел

Задача 3. Построить трехпроекционный комплексный чертеж отсеков геометрических тел в масштабе 1:1.

3.3.1. Алгоритм выполнения построения отсеков

В результате выполнения логических операций (È, и /), формируется геометрическое тело как неделимая совокупность тел-примитивов, ограниченная линиями пересечения.

Среди линий пересечения пар геометрических тел-примитивов необходимо выделить линии пересечения, которые не требуют специального построения при формообразовании заданного составного геометрического тела на чертеже. К ним относятся линии, полученные на собирательных изображениях проецирующих поверхностей. Рассмотрим их более подробно. Анализ линий пересечения основан на свойствах пересекающихся тел. В некоторых случаях имеет место использование свойств проецирующих поверхностей. Проецирующими поверхностями называются поверхности, у которых образующие прямые совпадают с направлением проецирующих прямых (лучей). К таким поверхностям относятся поверхности первого порядка (плоскость, призма) и поверхности второго порядка (цилиндры). Эти поверхности могут отображаться как отрезки прямых (плоскости, призмы) или окружность (цилиндр) на ту плоскость проекции, которой перпендикулярны их образующие прямые. Такие проекции поверхностей - прямые и окружности, называются «вырожденными». «Вырожденная» проекция обладает «собирательным» свойством, так как она является областью существования всех точек проецирующей поверхности на плоскости проекций. Линия пересечения поверхностей строится в том случае, если хотя бы одно её изображение не расположено на проецирующей поверхности. Не строят линии пересечения, представляющие из себя окружности, или составные, состоящие из отрезков прямых, если они расположены в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекции. В общем случае порядок линии пересечения равен произведению порядков пересекающихся поверхностей.

Проведем анализ линий пересечения заданного геометрического тела и выделим;

а) пересекающиеся пары тел, линии пересечения которых не надо строить:

1. Призма 4 и призма 1;

2. Цилиндр 2 и сфера 3;

3. Цилиндр 2 и призма 1;

4. Цилиндр 2 и цилиндр 6;

б) пересекающиеся пары тел, линии пересечения которых требуют построения только на одной плоскости проекции:

1. Цилиндр 2 и призма 7;

2. Цилиндр 6 и цилиндр 5;

3. Цилиндр 2 и призма 4;

4. Цилиндр 2 и цилиндр 5;

5. Призма 7 и цилиндр 6;

в) пересекающиеся пары тел, линии пересечения которых требуют построения на двух плоскостях проекций:

1. Сфера 3 и призма 7 (результат пересечения – окружности, проецирующиеся в эллипсы).

Поскольку пары поверхностей, отмеченные в пункте а) не требуют специального построения линии пересечения, то её и не строим. Не надо строить линию пересечения для пары пересекающихся поверхностей, если у неё имеется подобная пара. Например, когда имеются две пары пересекающихся, одинаково сориентированных в пространстве поверхностей предположим цилиндров. При этом диаметры цилиндров одной пары отличаются от диаметров другой пары. В рассматриваемом примере это пары 2-5, 6-5 и 7-2, 7-6. Поэтому строим не четыре, а две пары пересекающихся поверхностей. При выборе пары, которую предстоит строить, руководствуются размерами пересекающихся поверхностей. Предпочтение следует отдавать парам с большими линейными размерами, так как линия пересечения в этом случае получается более наглядной и не приходится применять дополнительное масштабирование (увеличение). Для остальных пар отмеченных в пунктах б) и в), построим трехпроекционные комплексные чертежи линий пересечения с использованием «собирательного» свойства «вырожденной» проекции рис. 5.

Применяя булевы операции вычитания (/), получаем отсеки составляющих тел-примитивов рис. 6.

3.3.2. Построение линии пересечения отсеков поверхностей

Построение начинают с анализа свойств пересекающихся отсеков – их взаиморасположения и положения относительно плоскостей проекций. В соответствии с логикой формообразования и как следствие с логикой простановки размеров строятся составляющие тела-примитивы в порядке распознавания (рис. 5) одновременно на трех проекциях тонкими линиями толщиной S/2 … S/3. Для видимого контура – сплошной линией, а для невидимого - штриховой. Выявляют пары поверхностей ограничивающих тела-примитивы, и строят их линии пересечения последовательно на трех проекциях (см. матрицу смежности). В пояснительной записке описывают все пары пересекающихся поверхностей имеющихся в конкретном варианте. Дают их характеристики и обосновывают необходимость построения на трёхпроекционном комплексном чертеже их линий пересечения. Приводят описание полученных линий пересечения в пространстве и их отображение на чертеже (например, при пересечении пары 3 и 7 получаются окружности, которые на виде сверху и слева отображаются в виде эллипсов). Затем на формате А3 выполняют построение линий пересечения (см. рис. 5 Приложения).

Проверьте, для всех ли пар отмеченных в матрице смежности, построены соответствующие линии пересечения. Если не для всех, то проверьте, нужно ли их строить.

3.3.3. Контрольные вопросы

1. Какие поверхности обладают собирательным свойством? Поясните на примере.

2. Какие поверхности называются проецирующими? Поясните на примере.

3. Как определить порядок линии пересечения поверхностей?

4. В каких случаях линию пересечения следует строить на двух проекциях? Поясните на примере.

3.4. Определение габаритных размеров заданного геометрического тела и компоновка изображений

Задача 4. Определить, габаритные размеры заданного геометрического тела и выполнить компоновку изображений.

3.4.1. Алгоритм выполнения компоновки

Количество изображений в задании определено. Третье изображение (на месте вида слева) выполняется для отработки алгоритма распознавания и построения изображений. Четвертое изображение (вынесенное сечение заданной проецирующей наклонной плоскостью) выполняется для отработки алгоритма определения натуральной величины плоских сечений на основании преобразования комплексного чертежа методом проецирования на новую (дополнительную) плоскость проекции. Для выделения формы внутреннего контура предмета необходимо выполнить на главном изображении сложный фронтальный ступенчатый или ломаный разрез. На изображении слева в задании, как правило, выполняется простой профильный разрез, либо вид слева, совмещенный с простым профильным разрезом.

Компоновка изображений геометрического тела обеспечивает их рациональное размещение на поле формата для нанесения размеров и обозначений рис. 7. Задание выполняется на формате А3 (420 х 297). По габаритным размерам определяют габаритные прямоугольники изображений: для главного изображения - это габаритный прямоугольник со сторонами Н и L, - для вида сверху - L и S, для вида слева - S и Н. Для вынесенного сечения строится габаритный прямоугольник со сторонами N и S, где N - длина секущей плоскости в области геометрического тела. Расположение габаритного прямоугольника вынесенного сечения определяется проекционной связью секущей плоскости и дополнительной плоскости проекции, на которую отображается натуральная величина сечения. Такое положение габаритного прямоугольника является предпочтительным. При построении изображения вынесенного сечения геометрического тела допускается применять также другие преобразования, позволяющие рационально разместить изображение сечения на поле чертежа - это плоскопараллельный перенос и вращение (поворот). В рассматриваемом примере задания выбрано положение, полученное плоскопараллельным переносом и вращением, на что указывается дополнительным знаком рядом с обозначением сечения.

3.4.2. Выполнение компоновки

После определения габаритных размеров прямоугольников необходимо вычислить величины А и В, где А - расстояние от верхней и нижней сторон рамки формата, а В - расстояние от и левой и правой сторон формата и между изображениям. Формулы для вычисления: A = (297-10-H-S)/3 (мм) и В=(425-25-L-S)/3(мм).

Если вынесенное сечение не помещается на поле чертежа, то поскольку оно симметричное, допускается изображать только половину относительно его оси симметрии.

Правильно скомпонованный чертеж должен отвечать следующим основным требованиям:

Равномерное чередование областей изображения и свободных частей поля чертежа

Не допускается «наложение» изображений друг на друга, кроме случаев, предусмотренных стандартами.

Результатом выполнения компоновки является построение габаритных прямоугольников изображения в масштабе 1:1 (строятся тонкими линиями на формате A3, на котором впоследствии будет выполняться основное изображение, оформленное рамкой и основной надписью).

Проверьте, хватит ли места для нанесения обозначений разрезов и сечений согласно ГОСТ 2.305-68. Хватает ли места для нанесения размеров. Расстояние между размерными линиями и контуром должно быть не менее 10 мм, а между размерными линиями не менее 7 мм. Более подробно о нанесении размеров см. далее. (ГОСТ 2.307-68). Проверьте, не «накладываются» ли изображения друг на друга, или на рамку чертежа. Если нет, то компоновку следует считать законченной.

3.4.3. Контрольные вопросы

1. Каким требованиям должен отвечать правильно скомпонованный чертёж?

2. Какие Вы знаете способы компоновки? Приведите примеры.