Деятельностная цель : формирование у обучающихся способностей к обобщению, структурированию и систематизации материала по теме урока.

Образовательная цель: систематизировать учебный материал и выявить логику развития содержательной линии предмета, укрепить связи между основным и дополнительным образованием на базе факультатива ЗФТШ при МФТИ, подготовить учащихся к решению задач высокого уровня сложности на ЕГЭ.

Воспитательная цель: пробудить интерес к самостоятельному решению задач, побудить учащихся к активному поиску рациональных путей решения задач, развить умение выразить собственную позицию в дискуссии, развить умение формулировать и аргументировать предложения по продвижению к достижению результата.

Образовательные задачи: преодоление барьера перед необходимостью решения нестандартных задач; формирование базы способов алгоритмизации решения задач с параметром, отбор методов решения задач на основе обобщения ранее изученного материала, оценка своих достижений на данном этапе и формирование планов по дальнейшему самообразованию, оптимизация системы домашних заданий, ознакомление с возможностями дистанционного обучения по теме урока.

Развивающие задачи: развитие логического мышления, памяти, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы, содействие развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях, развития умений устанавливать причинно-следственные связи, развитие критического мышления.

Воспитательные задачи: воспитание положительного интереса к изучаемому предмету, обеспечение условий для овладения учащимися алгоритмом решения проблемных и исследовательских задач, укрепление коллективно-творческой среды, обеспечение условий для развития умений высказывать свою точку зрения.

Формы, методы и педагогические приемы.

• Методы обучения: проблемного изложения, исследовательский.
• Выделение гипотезы, проектирование результата, планирование работы.
• Основное внимание – мотивации деятельности учащихся.
• Методика коллективной творческой деятельности, информационно-коммуникативная методика, проблемно – поисковая методика.
• Фронтальная проверка готовности к уроку – подготовь каверзный вопрос.
• Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения.
• Построение проекта выхода из затруднения.
• Рефлексия учебной деятельности.

Модели обучения.

• Коммуникативная, дискуссионная модель обучения
• Информационно – коммуникативная (использование информационных ресурсов).
• Групповое и межгрупповое взаимодействие, смена видов деятельности учащихся

Развитие критического мышления: вызов, осмысление, рефлексия.

Возможности выполнения домашнего задания после завершения обсуждения:

• Полное решение предложенных задач.
• Создание кластеров по отдельным заданиям группы и выбор критериев для его оценивания.

Возможные изменения домашнего задания зависят от хода проведения урока. Фактически, учащиеся имеют опережающее домашнее задание для самостоятельной работы.

Прием “Проблемная ситуация”

Обучение в данном классе курсу “Алгебра и начала анализа” происходит по УМК С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина. В данном курсе не выделяется времени для изучения темы “Решение тригонометрических уравнений с параметрами”. Для многих учащихся класса набор соответствующих задач является весьма сложным, и они не предполагают решать такие задачи в ходе итоговой аттестации. Однако, при подготовке к участию в олимпиадах вузов избегать этой темы нельзя. Данный урок является одним из связующих этапов изучения таких основных тем курса, как графики элементарных функций, решение квадратных уравнений и неравенств и задач, сводящихся к ним, использование метода интервалов, составление схем равносильных переходов.

Учащимся заранее (за неделю до проведения занятия) предлагается набор из 10 заданий, которые они выполняют дома, разбившись на группы по 5-6 человек. Каждой группе предлагается выбрать три задачи, решение которых они могли бы показать одноклассникам (оформление данных задач необходимо представить в виде презентации), одно из решений должно обязательно быть неверным.

Реализация данного приема предполагает:

• создание ситуации противоречия между известным и неизвестным. Известным являются все отдельные возможные этапы исследования и решения. Неизвестным является возможность установления связей между этими этапами для формирования алгоритма решения.
• самостоятельный выбор для решения и презентации отдельных задач внутри мини-групп;
• коллективная проверка результатов;
• выявление причин разногласий результатов или затруднений выполнения заданий;
• рефлексия с самооценкой уровня готовности к решению заданий по данной теме.

Сформулированная цель урока – “Обобщение методов и приемов решения тригонометрических уравнений и исследования тригонометрических функций”.

Возможный вопрос со стороны учащихся: “А при чем здесь параметры?”. Желательно подвести учеников к выводу: “Если ты можешь решить не одну задачу, а целый блок задач, то твои возможности в будущей деятельности существенно расширяются”.

Проверка готовности к уроку.

Учащиеся рассаживаются по группам, в составе которых они готовились к представлению результатов домашней работы.

Для того чтобы оценить исходные условия, учитель раздает группам таблицы и предлагает разнести номера задач в соответствии с предложенной классификацией.

Предлагаемые задания.

Задание 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos 3 x –(4a+1)cos 2 x+(3a 2 +4a)cosx-3a 2 = 0 имеет на отрезке четное число корней.

Задание 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения (a+1)cos4x -26acos 2 x +14a +1= 0, 4sin 3 x +6sin 2 x – 2sinx -3 = 0 равносильны.

Задание 3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.

Задание 4. Решите уравнение x 2 -2xcosa+1=0 при всех значениях параметра а.

Задание 5. Решите уравнение 9cos4x -12acos2x +2a 2 +9= при всех значениях параметра а.

Задание 6. Решите неравенство sin 4 x + cos 4 x a при всех значениях параметра а.

Задание 7. При каких значениях параметра а уравнение cos 2 2x - (a 2 – 3)cos2x +a 2 – 4 =0 имеет ровно два корня на промежутке

Задание 8. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок .

Задание 9. При каких значениях параметра t уравнение sinx + cosx –sinxcosx =t имеет решение?

Задание 10. Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке

Задание для классификации - классифицируйте предлагаемые задания:

1) по уровню сложности

2) по используемым приемам преобразования тригонометрических выражений

3) использующие при своем решении информацию об области определения тригонометрических выражений

4) использующие при своем решении информацию о множестве значений тригонометрических функций

5) сводящиеся к исследованию множества решений квадратного уравнения или неравенства

6) требующие умения выполнять разложение выражений на множители

7) предполагающие аналитический способ решения

8) предполагающие координатно – параметрический способ решения

9) предполагающие использование геометрической интерпретации с использованием плоскости “переменная – значение”.

Примечание: одно и то же задание может попасть в несколько классификационных рубрик.

• Выберите те задачи, которые, с Вашей точки зрения, Вы сможете решить.
• Выберите те задачи, которые, с Вашей точки зрения, Вам понравилось бы решать.
• Попробуйте подобрать аргументы для обоснования Вашего выбора.

Перед выполнением классификации можно задать те “каверзные” вопросы, которые группы подготовили заранее.

Совместно формируется порядок представления заданий учащимися из пяти групп.

Поскольку учащиеся выбрали для решения задачи 2, 3, 4, 5, 7, 9 по жребию выбирался группой номер задачи и представлялся алгоритм её решения (для того чтобы не распылять внимание учащихся, детали решения не проверялись, если ответы групп учащихся совпадали).

Презентации решений учащихся выводятся на экран с помощью АРМ учителя.

Краткие комментарии к обсуждению решений.

Противоречия в ответах к задаче 2, дискуссия по поводу включения – исключения точек (-1) и (0). Учитель обращает внимание учащихся на необходимость отслеживать все разветвления алгоритма.

Одна из групп представляет неверное решение задачи 3 . Способ решения отличается от предполагаемого учителем и состоит в избавлении от иррациональности. Учащиеся при этом забывают о требовании не отрицательности правой части уравнения.

В качестве вызова учитель предлагает решить вместо уравнения неравенства, заменив знак “=” на “” или “”. Приветствуется указание учащихся на уже изученные схемы равносильных переходов при решении иррациональных неравенств.

Анализируется ошибочный случай включения значений параметра в ответ в задании 7. Совпадения решений двух ветвей рассматривается как одно решение. В качестве информации к размышлению можно представить неравенство (сos2x-1)(cos2x-a 2 +4) 0 и инициировать обсуждение темы кратных корней уравнений.

Бурное обсуждение вызвало решение задания 9. Одна из групп учащихся представила график, полученный в программе Advanced Grapher для функции, стоящей в левой части исходного уравнения, и получила вывод, что множеством её значений является отрезок [-2;1]. Конкурирующая группа учащихся построила тут же этот график с соответствующими горизонтальными направляющими, и, увеличив масштаб, продемонстрировала, что касания с линией t = -2 нет. Поскольку увеличение масштаба не привело к изменению ситуации с касанием с верхней горизонтальной линией, первая группа настаивала на том, чтобы решение задачи было зачтено хотя бы частично.

Единственным значимым аргументом конкурентов стало отсутствие возможности на ЕГЭ воспользоваться какими-либо графопостроителями. Тем не менее, остался открытым вопрос, при каких реальных обстоятельствах можно опираться на результаты численных расчетов и почему по большей части на экзаменах не допускаются в ответах округления числовых величин.

Рисунок 1

Рисунок 2

Верного решения задания 9 нет. Поступает предложение выполнить замену переменных sinx + cosx = p, учащиеся озвучивают “противоречие”: 1 +sin2x = p 2 .

t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, построенный график t(x) дает совершенно иное множество значений функции t.

Рисунок 3

Противоречие снимается требованием аккуратной замены: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 только при sinx +cosx 0

Полосы, внутри которых координаты точек удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой.

Рисунок 4

При sinx +cosx <0:

t(x) = -sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

Полосы, внутри которых координаты точек к удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой

Рисунок 5

Урок стремительно близится к окончанию . Задачи 1, 6, 8, 10 не нашли своих почитателей. Во время представления алгоритмов решения задач, выбранных группами, учитель просмотрел классификацию заданий, проведенную учащимися в начале урока. Судя по информации в таблицах, задания 1, 8, 10 оцениваются учащимися как особо сложные и идей по их решению не возникает. Задание 6 вызвало на предварительном этапе расхождение в ответах, потому его для презентации учащиеся не выбирали.

Домашнее задание: модифицируйте рассмотренные задачи и предложите свой вариант их решения. Возможные пути модификации: превратите заданные уравнения в неравенства; измените числовые коэффициенты, сформулируйте иные вопросы к условию задачи.

Учитель также предлагает рассмотреть его аналитическое решение выбранных учащимися задач и к следующему занятию прокомментировать достоинства и недостатки решений.

Рефлексия.

Учащиеся требуют в качестве внешнего атрибута рефлексии “ШЕСТЬ ШЛЯП”.

Поскольку их в наличии нет, договариваемся, что каждая из 5 групп мысленно выбирает цвет шляпы, любой, за исключением красного (так как эмоций хватало во время споров), и высказывает свое отношение к прошедшему занятию.

“Белая шляпа”: из предложенных десяти заданий успели рассмотреть только 6. Во многих задачах были недочеты в решениях. Использование компьютера в качестве помощника на стадии подготовки переросло в неверное доказательство. Тригонометрические неравенства мы решать не умеем.

“Черная шляпа”: уровень задач явно превышает наши возможности. На ЕГЭ тригонометрия только в простейшей задаче с полным решением, нам не нужны подобные модели к задаче ЕГЭ с параметром. У нас есть ошибки в отборах корней тригонометрических уравнений на промежутках, этому надо уделять время учебных занятий. Состав групп неравноценен. Жребий позволял первым группам выбирать более простые задания, это никак не учитывалось в оценках. Можно было не предлагать специально ошибиться в решениях, и без этого ошибок хватало.

“Желтая шляпа” Хорошо, что сейчас, а не в конце 11 класса мы увидели сложные задачи. У рассмотренных задач есть алгоритмы решения, просто к ним нужно приучить свои мозги. В учебнике все подпункты параграф 11 представляют собой семейства “задач с параметрами”, так как их решение строится по похожим алгоритмам.

Есть время определиться с “потолком” компетентностей. А может кто-то захочет принять участие в конкурсах или олимпиадах? Можно считать, что начало дорожки к ним мы уже увидели.

“Зеленая шляпа” Мне представляется, что решение подобных задач более всего подходит программистам. Им необходимо делать условные переходы, обходить критические значения, чтобы программы не повисли, наверняка, существует банк программ, рассматривающих вопросы тригонометрии. Нужно только принять позицию программиста, и дело стронется.

“Синяя шляпа” - учитель. Хочется согласиться со всеми замечаниями и высказываниями, кроме совсем уж прагматических. Да и прагматикам, стоит иметь ввиду, что никогда не можешь знать, что от тебя потребует жизнь в той или иной ситуации.

Есть предложение провести консультацию по решению оставшихся нерешенными задач, участие в консультации добровольное, задач подобного уровня сложности в ближайшее время на контрольных и диагностических работах не будет.

Подведение итогов.

Ребята, сегодня мы вместе сделали шаг, пусть небольшой, на пути творческого поиска решений в тригонометрии. Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения.

При выполнении письменной зачетной работы вы будете иметь возможность выбора определенного типа заданий. Я надеюсь, что и задачи с параметрами не будут обойдены Вашим вниманием.

Спасибо вам за активную работу на уроке. Занятие окончено. До свидания!

В Приложении 1 содержатся комментарии и краткое решение предложенных задач.

В Приложении 2 приведен список литературы, использованной при построении занятия и необходимое материально – техническое оборудование.

В Приложении 3 представлены графики, использованные при подготовке к уроку, построенные в программе Advanced Grapher.

Сергиев-Посад, 2012 год

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По итогам ЕГЭ-2011 (таблица 1) можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшую трудность у учащихся. Около 87,9% не приступают к выполнению данного типа заданий, а максимальный балл получают только 0,87 %. Это связано с тем, что программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Таблица 1. Средние результаты выполнения заданий С1-С6

Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о тригонометрических уравнениях с параметрами, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассмативаются тригонометрические уравнения с параметрами и определенные алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелегких заданий.

Итак, рассмотрим уравнение

F (х, у, ..., z; α,β, ..., γ ) = 0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ...,γ ; при всякой допустимой системе значений параметров α 0 ,β 0 , ..., γ 0 уравнение (F) обращается в уравнение F(х, у, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащему параметры, и устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F ), Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (Ф )

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

1. Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Имеет решение.

Решение .

Введем новую переменную: x, t . Тогда данное уравнение принимает вид: t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t 1,2 = = ;

t 1 =

t 2 =

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение имеет решение при а .

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin 3 x = p – 10cos2x не имеет корней.

Решение:

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Введем новую переменную: , t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t 3 – 20t 2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Находим производную:

Определяем критические точки функции:

Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6sin 3 x=p–10Cos2x не имеет корней при р

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )

При каких значениях параметра а выражение 2 + cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение:

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 не имеет корней.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы cosx = 0, то и sinx = 0, что невозможно, так как cos 2 x + sin 2 х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на .

Получим уравнение вида 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, t тогда 2t 2 + at + 5 = 0.

Способ 1.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а 2 – 40, а 2 – 40 ≥ 0, а 2 ≥ 40,

а ] ; ).

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a 2 – 40, a 2 – 40 а 2 40,

A ; ).

Ответ. Выражение 2+cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если a ; ).

Пример 4. (Функция задана в виде )

При каких значениях a и b уравнение

Имеет единственное решение?

Решение:

Решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством , то условия A=B, C=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы:

Из первого уравнения системы находим, что

А так как

то приходим к рассмотрению систем

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством

Что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда с учетом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы:

Ответ здесь очевиден:

Пример 5. (Применение классических формул)

Найти наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение

cos2x + asinx = 2 a – 7 имеет решение.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 х + asinx = 2 a – 7;

sin 2 х - a sinx + a – 4 = 0;

Решение уравнения
дает:

1. (sinх – 2) = 0;

sinx=2;

Решений нет, или .

При ≤ 1.

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

Пример 6. Применение классических формул

Решить уравнение

Решение:

Уравнение легко преобразуется к виду:

Если то и уравнение корней не имеет.

Если Последнее уравнение имеет корни, если

тогда

Ответ: при

при корней нет.

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решение:

При уравнение решений не имеет.

При

Ответ:

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решить уравнение

Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений

дипломная работа

2.4 Тригонометрические уравнения с параметрами

Тригонометрическое уравнение - уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного аргумента.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

При решении тригонометрических уравнений удобно использовать следующие принципы:

1. При решении простейшего тригонометрического уравнения удобно понизить его степень за счет изменения его аргумента.

2. В случае необходимости проверки удобно подставлять в уравнение не значение найденного аргумента, а значения используемых в решении тригонометрических функций .

Пример 1. Для всех допустимых значений параметра a решить уравнение

Преобразуем уравнение.

Согласно выше указанному принципу 1, преобразуем первое уравнение системы:

Отметим, что.

Таким образом, уравнение (1) равносильно системе:

В результате, чтобы уравнение (1) не имело решений, достаточно выполнения неравенства.

Теперь, когда первое уравнение системы (2) всегда имеет решения, нужно позаботиться о выполнении ее второго словия.

На основании вышеизложенного принципа 2 равносильными преобразованиями:

приведем систему (2) к виду:

Таким образом, при ограничении на параметр возникают следующие дополнительные условия: для того, чтобы уравнение (1) НЕ имело решений необходимо и достаточно, чтобы любое значение переменной x, для которой

удовлетворяло совокупности уравнений:

1) Если, то.

Однако при таких a уравнение (3) принимает вид и не всякое его решение удовлетворяет совокупности (4).

Таким образом, при уравнение (1) имеет решениями те значения переменной x, для которой, т. е. .

2) Если, то, т. е.

При таких значениях параметра a уравнение (3) принимает вид:

Чтобы уравнение (1) имело, решения нужно, чтобы.

Тогда остается, что.

При остальных уравнение имеет решение вида

Ответ: при уравнение решений не имеет; при; при; при .

Пример 2. Определить количество корней уравнения

на отрезке.

Преобразуем левую часть.

Тогда исходное уравнение примет вид

Перенесем все слагаемые в левую часть и снова преобразуем уравнение.

Первое уравнение на отрезке имеет четыре корня:

Второе уравнение при корней не имеет. Если, то очевидно, на рассматриваемом отрезке уравнение имеет единственное решение. Если, то, т.е. на отрезке уравнение имеет два корня.

Заметим, что при корни второго уравнения совокупности содержатся среди корней первого уравнения.

Ответ: при уравнение имеет ыетыре корня; при уравнение имеет пять корней; при уравнение имеет шесть корней .

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно семь решений.

На координатной плоскости cOb построим множество всех точек, удовлетворяющих системе (2).

Первое уравнение задает семейство прямых, параллельных прямой.

Второе уравнение - семейство окружностей радиуса с центром в начале координат.

Но при выполнении условий второе уравнение есть четверть окружности, расположенная в первой координатной четверти. c и b одновременно не могут равняться нулю, иначе окружность вырождается в точку.Т. к. количество корней должно быть нечетно, то одна из прямых

должна касаться окружности в точку Mn.

Найдем радиус такой окружности.

Таким образом, (3)

выражает зависимость параметра a от n, где.

Из рисунка видно, что с увеличением радиуса четверти окружности растет число решений системы (2), а значит, и число корней исходного уравнения. Их будет ровно 7, когда четверть окружности касается прямых. При этом, исходя из формулы (3)

Ответ: уравнение имеет семь решений при

Примечание. На первый взгляд может показаться, что четверть окружности, касающаяся прямой, заданной уравнением пройдет четез точки и. В действительности это не так, так как радиус такой окружности

Аналогично четверть окружности, касающаяся прямой не пройдет через точки и, так как радиус этой окружности

Пример 4. Найдите все значения параметра a, при которых число 2 является корнем уравнения

Поставим в уравнение Получим уравнение относительно параметра a:

Ответ: при корнем уравнения является .

Пример 5. Для всех допустимых значений параметра a решите уравнение

Рассмотрим функцию. Очевидно, .

Рассмотрим функцию.

Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел (), а также свойство нечетности функции g(x), получим

Таким образом, имеем

Тогда, по теореме 7, исходное уравнение равносильно совокупности двух систем

Ответ: при, ; при; при решений нет .

Помимо тригонометрических уравнений среди задач с параметрами встречаются и задачи с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции.

Напомним определения обратных тригонометрических функций:

1. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции. Таким образом,

2. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции. Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

3. - это функция, определенная на интервале, обратная функции. Таким образом,

Для любого x имеем:

4. - это функция, определенная на интервале, обратная функции. Таким образом,

Для любого x имеем:

Функции называются обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями. Отметим некоторые важные тождества

Пример 6. Для каждого допустимого значения параметра a решить уравнение

Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись тождеством

На координатной плоскости tOb (рис. 12) множество всех точек (t;b), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют смешанной системе (2), (3), представляет собой часть параболы расположенной в области задаваемой неравенствами системы (2), (3).

Следовательно, если

Ответ: если, то;

если, то решений нет .

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три решения.

Перепишем исходное уравнение в виде

Поскольку равенство равносильно тому, что и, исходное уравнение равносильно тригонометрическому уравнению

Решим уравнение (1).

При совокупность, а значит и уравнение (1), имеет бесконечно много корней вида: , которые удовлетворяют условию (2). Т. е. не удовлетворяет требованию задачи.

При уравнение (1) имеет бесконечно много корней вида: .

Для них условие (2) превращается в неравенство

Параметр a включается в ответ тогда и только тогда, когда это неравенство имеет ровно три целочисленных решения. Используя геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, видно, что это равносильно неравенству

Учитывая условие, получаем

Если решением уравнения (1) являются все действительные числа, условие же (2) принимает вид: , так что множество решений исходного уравнение - это интервал. Поскольку это множество бесконечно, значение не входит в ответ.

Ответ: при уравнение имеет ровно три решения .

Исходя из всех рассмотренных задач, можно сделать вывод, что решать трансцендентные уравнения с параметрами первого и четвертого типов лучше всего методом «ветвления», т. к. требуется найти все значения переменной при каждом возможном значении параметра (или при значениях параметра из заданного промежутка) или же при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям. Однако такой метод не всегда надежен, поскольку ход решения достаточно длителен и сложен, поэтому изначально целесообразно определить, возможно ли применить к заданному уравнению функциональный подход, который значительно упрощает решение.

А вот решать трансцендентные уравнения с параметрами второго и третьего типов значительно проще, используя графический метод, поскольку в условии всего лишь требуется определить либо количество решений в зависимости от значения параметра, либо, наоборот, значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений. Из построенных графиков наглядно видно, когда выполняются заданные условия.

Однако не всегда возможно применение того или иного метода, иногда встречаются и такие задачи, для решения которых нужно применить не один, а несколько методов решения.

Графики и их функции

По причине того, что тригонометрические функции изучаются в школьной программе, в реферате на них уделено минимум внимания. Все основные положения указанны в таблице (см. приложение 12), а их графики приведены далее (см. приложение 13)...

Интегрирование иррациональных функций

Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида. Такие интегралы можно находить с помощью тригонометрических подстановок. Выделим полный квадрат под знаком радикала: , а затем сделаем замену...

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа: 1. подготовительный, 2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, 3...

Рассмотрим уравнение F(х,у,...,z;б,в,...,г)=0 (1) с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами б,в, ..., г;при всякой допустимой системе значений параметров б0,в0, ..., г0 уравнение (1) обращается в уравнение F(х,у,...,z;б0,в0,...,г0)=0 (2) с неизвестными х, у,..., z...

Пример 1: Определить при каких значениях параметра а уравнение (а 2 -4) соsх=а+2 имеет решения. Решение: а 2 -4=0 а 2 =4.а=±2. а) Если а=2, то данное уравнение имеет вид: 0 cos=4 0=4 – не имеет решений. б) Если а=-2,то то данное уравнение имеет вид: 0 cos=0 0=0 – верно при х R. Следовательно при а = -2, х - любое. в) Если а ±2, то запишем уравнение в виде Так как, то уравнение имеет решения, если Ответ: а (- ;1] }