Fraktály jednoduché vysvetlenie. Záhadná porucha: história fraktálov a oblasti ich použitia

Fraktály sú známe už takmer storočie, sú dobre študované a majú množstvo aplikácií v živote. Tento jav je založený na veľmi jednoduchej myšlienke: nekonečné množstvo tvarov v kráse a rozmanitosti je možné získať z relatívne jednoduchých návrhov pomocou iba dvoch operácií - kopírovania a škálovania.

Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Toto je zvyčajne názov pre geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností:

má zložitú štruktúru pri akomkoľvek zväčšení;
je (približne) sebepodobný;
má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická;
môžu byť konštruované rekurzívnymi postupmi.

Na prelome 19. a 20. storočia bolo štúdium fraktálov skôr epizodické ako systematické, pretože predtým matematici študovali najmä „dobré“ objekty, ktoré bolo možné študovať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 skonštruoval nemecký matematik Karl Weierstrass príklad nepretržitá funkcia, ktorý nie je nikde rozlíšiteľný. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a dá sa celkom ľahko nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jeden variant tejto krivky sa nazýva „Kochova snehová vločka“.

Myšlienky sebapodobnosti postáv zachytil Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a plochy pozostávajúce z častí podobných celku“, ktorý popisoval ďalší fraktál – Lévyho C-krivku. Všetky tieto fraktály uvedené vyššie možno podmienečne klasifikovať ako jednu triedu konštruktívnych (geometrických) fraktálov.

Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvý výskum v tomto smere sa datuje na začiatok 20. storočia a spája sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vydala Julia takmer dvestostranovú prácu venovanú iteráciám komplexu racionálne funkcie, ktorý popisuje množiny Julia, celú rodinu fraktálov úzko súvisiacich s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, ale neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu otvorených predmetov. Napriek tomu, že táto práca preslávila Juliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa na ňu zabudlo.

Pozornosť na prácu Julie a Fatou sa opäť obrátila až o polstoročie neskôr, s príchodom počítačov: práve oni zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov. Koniec koncov, Fatou sa nikdy nemohol pozerať na obrázky, ktoré teraz poznáme ako obrázky Mandelbrotovej sady, pretože požadované množstvo výpočty sa nedajú robiť ručne. Prvý človek, ktorý na to použil počítač, bol Benoit Mandelbrot.

V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot kládol vo svojej prezentácii hlavný dôraz nie na ťažké vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka ilustráciám získaným pomocou počítača a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je do značnej miery spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduchých konštrukcií a vzorcov, ktorým rozumie aj stredoškolák, sa získavajú obrazy úžasnej zložitosti a krásy. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý smer v umení - fraktálna maľba a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.

Fraktál

Fraktál (lat. fractus- rozdrvený, zlomený, zlomený) je geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celému útvaru. V matematike sa fraktály v euklidovskom jazyku chápu ako množiny bodov priestoru, ktoré majú zlomkový metrický rozmer (v zmysle Minkowského alebo Hausdorffa), alebo metrický rozmer odlišný od topologického. Fraktasmus je nezávislá exaktná veda o štúdiu a skladaní fraktálov.

Inými slovami, fraktály sú geometrické objekty so zlomkovým rozmerom. Napríklad rozmer čiary je 1, plocha je 2 a objem je 3. Pre fraktál môže byť hodnota rozmeru medzi 1 a 2 alebo medzi 2 a 3. Napríklad fraktálny rozmer pokrčeného papierová guľa je približne 2,5. V matematike existuje špeciálny zložitý vzorec na výpočet dimenzie fraktálov. Vetvy tracheálnych trubíc, listy na stromoch, žily v ruke, rieka - to sú fraktály. Zjednodušene povedané, fraktál je geometrický útvar, ktorého určitá časť sa znova a znova opakuje a mení veľkosť – to je princíp sebapodobnosti. Fraktály sú si podobné, sú si podobné na všetkých úrovniach (t.j. v akejkoľvek mierke). Existuje mnoho rôznych typov fraktálov. V zásade možno tvrdiť, že všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál, či už je to oblak alebo molekula kyslíka.

Slovo „chaos“ núti človeka myslieť na niečo nepredvídateľné, ale v skutočnosti je chaos celkom usporiadaný a riadi sa určitými zákonmi. Cieľom štúdia chaosu a fraktálov je predpovedať vzory, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať nepredvídateľné a úplne chaotické.

Priekopníkom v tejto oblasti poznania bol francúzsko-americký matematik, profesor Benoit B. Mandelbrot. V polovici 60. rokov vyvinul fraktálnu geometriu, ktorej účelom bolo analyzovať zlomené, zvrásnené a neostré tvary. Mandelbrotova množina (zobrazená na obrázku) je prvou asociáciou, ktorá sa v človeku objaví, keď počuje slovo „fraktál“. Mimochodom, Mandelbrot určil, že fraktálny rozmer anglického pobrežia je 1,25.

Fraktály sa vo vede stále viac využívajú. Opisujú skutočný svet ešte lepšie ako tradičná fyzika či matematika. Brownov pohyb je napríklad náhodný a chaotický pohyb prachových častíc suspendovaných vo vode. Tento typ pohybu je možno aspektom fraktálnej geometrie, ktorý má najpraktickejšie využitie. Náhodný Brownov pohyb má frekvenčnú odozvu, ktorú možno použiť na predpovedanie javov zahŕňajúcich veľké množstvo údajov a štatistík. Napríklad Mandelbrot predpovedal zmeny cien vlny pomocou Brownovho pohybu.

Slovo „fraktál“ možno použiť nielen ako matematický výraz. V tlači a populárnej vedeckej literatúre možno fraktál nazvať postavou, ktorá má niektorú z nasledujúcich vlastností:

Má netriviálnu štruktúru vo všetkých mierkach. Toto je na rozdiel od pravidelných útvarov (ako je kruh, elipsa, graf hladkej funkcie): ak vezmeme do úvahy malý fragment pravidelného útvaru vo veľmi veľkej mierke, bude to vyzerať ako fragment priamky. Pre fraktál nevedie zväčšenie mierky k zjednodušeniu štruktúry, na všetkých mierkach uvidíme rovnako zložitý obraz.

Je sebepodobný alebo približne sebepodobný.

Má zlomkový metrický rozmer alebo metrický rozmer, ktorý presahuje topologický rozmer.

Najužitočnejšie využitie fraktálov vo výpočtovej technike je kompresia fraktálnych dát. Zároveň sú obrázky komprimované oveľa lepšie, ako sa to robí konvenčnými metódami - až 600:1. Ďalšou výhodou fraktálnej kompresie je, že pri zväčšení nedochádza k efektu pixelizácie, čo dramaticky zhoršuje obraz. Navyše fraktálne komprimovaný obrázok po zväčšení často vyzerá ešte lepšie ako predtým. Počítačoví vedci tiež vedia, že fraktály nekonečnej zložitosti a krásy môžu byť generované jednoduchými vzorcami. Filmový priemysel vo veľkej miere využíva technológiu fraktálnej grafiky na vytváranie realistických prvkov krajiny (oblaky, skaly a tiene).

Štúdium turbulencie v tokoch sa veľmi dobre prispôsobuje fraktálom. To nám umožňuje lepšie pochopiť dynamiku zložitých tokov. Pomocou fraktálov môžete tiež simulovať plamene. Porézne materiály sú dobre zastúpené vo fraktálnej forme vďaka tomu, že majú veľmi zložitú geometriu. Na prenos dát na veľké vzdialenosti sa používajú antény s fraktálnymi tvarmi, čo výrazne znižuje ich veľkosť a hmotnosť. Fraktály sa používajú na opis zakrivenia povrchov. Nerovný povrch je charakterizovaný kombináciou dvoch rôznych fraktálov.

Mnohé objekty v prírode majú fraktálne vlastnosti, napríklad pobrežia, oblaky, koruny stromov, snehové vločky, obehový systém a alveolárny systém ľudí alebo zvierat.

Fraktály, najmä v lietadle, sú obľúbené vďaka kombinácii krásy s jednoduchosťou konštrukcie pomocou počítača.

Prvé príklady sebepodobných množín s neobvyklými vlastnosťami sa objavili v 19. storočí (napr. Bolzanova funkcia, Weierstrassova funkcia, Cantorova množina). Termín „fraktál“ zaviedol Benoit Mandelbrot v roku 1975 a získal si širokú popularitu vydaním svojej knihy „Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977.

Obrázok vľavo ukazuje jednoduchý príklad fraktálu Darer Pentagon, ktorý vyzerá ako zhluk päťuholníkov stlačených dohromady. V skutočnosti je tvorený použitím päťuholníka ako iniciátora a rovnoramenných trojuholníkov, v ktorých sa pomer väčšej strany k menšej presne rovná takzvanému zlatému rezu (1,618033989 alebo 1/(2cos72°)). generátor. Tieto trojuholníky sú vyrezané zo stredu každého päťuholníka, výsledkom čoho je tvar, ktorý vyzerá ako 5 malých päťuholníkov prilepených k jednému veľkému.

Teória chaosu hovorí, že zložité nelineárne systémy sú dedične nepredvídateľné, no zároveň tvrdí, že spôsob vyjadrenia takýchto nepredvídateľných systémov sa ukazuje ako správny nie v presných rovnosti, ale v znázorneniach správania systému – v grafoch podivných atraktory, ktoré majú formu fraktálov. Teória chaosu, ktorú mnohí považujú za nepredvídateľnosť, sa teda ukazuje ako veda o predvídateľnosti aj v tých najnestabilnejších systémoch. Štúdium dynamických systémov ukazuje, že jednoduché rovnice môžu viesť k chaotickému správaniu, v ktorom sa systém nikdy nevráti do stabilného stavu a neobjaví sa žiadny vzor. Často sa takéto systémy do určitej hodnoty kľúčového parametra správajú celkom normálne, potom zažijú prechod, v ktorom sú dve možnosti ďalšieho vývoja, potom štyri a nakoniec chaotická množina možností.

Schémy procesov vyskytujúcich sa v technických objektoch majú jasne definovanú fraktálnu štruktúru. Zo štruktúry minimálneho technického systému (TS) vyplýva, že v rámci TS sa vyskytujú dva typy procesov - hlavný a podporný, pričom toto rozdelenie je podmienené a relatívne. Každý proces môže byť hlavným vo vzťahu k podporným procesom a ktorýkoľvek z podporných procesov môže byť považovaný za hlavný vo vzťahu k „svojim“ podporným procesom. Kruhy v diagrame označujú fyzikálne efekty, ktoré zabezpečujú výskyt tých procesov, pre ktoré nie je potrebné špeciálne vytvárať „svoje“ vozidlá. Tieto procesy sú výsledkom interakcií medzi látkami, poľami, látkami a poľami. Presnejšie povedané, fyzikálny efekt je vozidlo, ktorého princíp fungovania nevieme ovplyvniť a nechceme ani nemáme možnosť zasahovať do jeho dizajnu.

Tok hlavného procesu znázorneného v diagrame je zabezpečený existenciou troch podporných procesov, ktoré sú hlavné pre TS, ktoré ich generujú. Aby sme boli féroví, podotýkame, že na fungovanie aj minimálneho TS jednoznačne nestačia tri procesy, t.j. Schéma je veľmi, veľmi prehnaná.

Všetko zďaleka nie je také jednoduché, ako je znázornené na obrázku. Užitočné ( potrebné pre človeka) proces nie je možné vykonať so 100% účinnosťou. Rozptýlená energia sa vynakladá na vytváranie škodlivých procesov - zahrievanie, vibrácie atď. V dôsledku toho vznikajú škodlivé súbežne s prospešným procesom. Nie vždy je možné nahradiť „zlý“ proces „dobrým“, preto je potrebné organizovať nové procesy zamerané na kompenzáciu následkov škodlivých pre systém. Typickým príkladom je potreba bojovať proti treniu, ktorá núti organizovať dômyselné mazacie schémy, používať drahé antifrikčné materiály alebo tráviť čas mazaním komponentov a dielov alebo ich pravidelnou výmenou.

Kvôli nevyhnutnému vplyvu premenlivého prostredia môže byť potrebné riadiť užitočný proces. Ovládanie môže byť vykonávané buď pomocou automatických zariadení alebo priamo osobou. Procesná schéma je vlastne súbor špeciálnych príkazov, t.j. algoritmu. Podstatou (popisom) každého príkazu je súhrn jedného užitočného procesu, škodlivých procesov, ktoré ho sprevádzajú, a súboru nevyhnutných riadiacich procesov. V takomto algoritme je súbor podporných procesov regulárnym podprogramom – a tu objavíme aj fraktál. Metóda R. Kollera, ktorá vznikla pred štvrťstoročím, umožňuje vytvárať systémy s pomerne obmedzenou množinou iba 12 párov funkcií (procesov).

Sebepodobné množiny s neobvyklými vlastnosťami v matematike

Počnúc koniec XIX storočia sa v matematike objavujú príklady sebepodobných objektov s vlastnosťami, ktoré sú z pohľadu klasickej analýzy patologické. Patria sem nasledujúce položky:

Súprava Cantor je nikde hustá nespočetná dokonalá súprava. Úpravou postupu je možné získať aj nikde hustú množinu kladnej dĺžky.

Sierpinského trojuholník („obrus“) a Sierpinského koberec sú analógmi Cantorovho setu v lietadle.

Mengerova špongia je analógom Cantora zasadeného do trojrozmerného priestoru;

príklady Weierstrassovej a Van der Waerdenovej nikde nediferencovateľnej spojitej funkcie.

Kochova krivka je nepretínajúca sa súvislá krivka nekonečnej dĺžky, ktorá nemá v žiadnom bode dotyčnicu;

Peanova krivka je súvislá krivka prechádzajúca všetkými bodmi štvorca.

dráha Brownovej častice tiež nie je nikde diferencovateľná s pravdepodobnosťou 1. Jeho Hausdorffov rozmer je dva

Rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek

Konštrukcia Kochovej krivky

Na získanie fraktálnych kriviek v rovine existuje jednoduchý rekurzívny postup. Definujme ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb, nazývanú generátor. Ďalej nahradíme každý segment v ňom generátorom (presnejšie prerušovanou čiarou podobnou generátoru). Vo výslednej prerušovanej čiare opäť nahradíme každý segment generátorom. Pokračujúc do nekonečna, v limite dostaneme fraktálnu krivku. Obrázok vpravo ukazuje prvé štyri kroky tohto postupu pre Kochovu krivku.

Príklady takýchto kriviek sú:

Dračia krivka,

Kochova krivka (Kochova snehová vločka),

Lewyho krivka,

Minkowského krivka,

Hilbertova krivka,

Zlomená (krivka) draka (Fraktál Harter-Haithway),

Peanova krivka.

Podobným postupom sa získa pytagorovský strom.

Fraktály ako pevné body kompresných zobrazení

Vlastnosť sebapodobnosti môže byť vyjadrená matematicky striktne nasledovne. Nech sú kontrakčné zobrazenia roviny. Zvážte nasledujúce zobrazenie na množine všetkých kompaktných (uzavretých a ohraničených) podmnožín roviny:

Dá sa ukázať, že mapovanie je kontrakčné mapovanie na množine kompaktov s Hausdorffovou metrikou. Preto podľa Banachovej vety má toto zobrazenie jedinečný pevný bod. Tento pevný bod bude naším fraktálom.

Vyššie opísaný rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek je špeciálnym prípadom tejto konštrukcie. Všetky mapovania v nej sú mapovania podobnosti a - počet odkazov generátora.

Pre Sierpinského trojuholník a mapu , , sú homotecie so stredmi vo vrcholoch pravidelného trojuholníka a koeficient 1/2. Je ľahké vidieť, že Sierpinského trojuholník sa pri zobrazení premení na seba.

V prípade, že zobrazenia sú transformáciami podobnosti s koeficientmi, možno rozmer fraktálu (za určitých dodatočných technických podmienok) vypočítať ako riešenie rovnice. Pre Sierpinského trojuholník teda získame .

Tou istou Banachovou vetou, počnúc akoukoľvek kompaktnou množinou a aplikovaním iterácií mapy na ňu, získame postupnosť kompaktných množín konvergujúcich (v zmysle Hausdorffovej metriky) k nášmu fraktálu.

Fraktály v komplexnej dynamike

Julia sada

Ďalší set Julia

Fraktály vznikajú prirodzene pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov. Najviac skúmaný je prípad, keď je dynamický systém špecifikovaný iteráciami polynómu alebo holomorfnej funkcie komplexnej premennej v rovine. Prvé štúdie v tejto oblasti pochádzajú zo začiatku 20. storočia a sú spojené s menami Fatou a Julia.

Nechaj F(z) - polynóm, z 0 je komplexné číslo. Zvážte nasledujúcu postupnosť: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zaujíma nás správanie sa tejto postupnosti, ako má tendenciu n do nekonečna. Táto sekvencia môže:

usilovať sa o nekonečno,

usilovať sa o konečný limit

prejavujú cyklické správanie v limite, napríklad: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

správať sa chaoticky, teda nepreukazovať žiadny z troch spomínaných typov správania.

Súbory hodnôt z 0, pre ktorú sekvencia vykazuje jeden konkrétny typ správania, ako aj viaceré bifurkačné body medzi rôznymi typmi, majú často fraktálne vlastnosti.

Množina Júlia je teda množinou bodov rozvetvenia polynómu F(z)=z 2 +c(alebo iná podobná funkcia), teda tie hodnoty z 0, pre ktoré správanie sekvencie ( z n) sa môže dramaticky meniť s ľubovoľne malými zmenami z 0 .

Ďalšou možnosťou získania fraktálnych množín je zavedenie parametra do polynómu F(z) a zváženie množiny tých hodnôt parametrov, pre ktoré sekvencia ( z n) vykazuje určité správanie pri pevnom z 0 Mandelbrotova množina je teda množinou všetkých , pre ktoré ( z n) Pre F(z)=z 2 +c A z 0 nejde do nekonečna.

Ďalší slávny príklad Newtonove bazény sú tohto druhu.

Je populárne vytvárať nádherné grafické obrázky založené na komplexnej dynamike farbením rovinných bodov v závislosti od správania zodpovedajúcich dynamických systémov. Napríklad na dokončenie sady Mandelbrot môžete body zafarbiť v závislosti od rýchlosti aspirácie ( z n) do nekonečna (definované povedzme ako najmenšie číslo n, pri ktorej | z n| prekročí pevnú veľkú hodnotu A.

Biomorfy sú fraktály postavené na základe komplexnej dynamiky a pripomínajúce živé organizmy.

Stochastické fraktály

Randomizovaný fraktál založený na Julii

Prírodné objekty majú často fraktálny tvar. Na ich modelovanie je možné použiť stochastické (náhodné) fraktály. Príklady stochastických fraktálov:

dráha Brownovho pohybu v rovine a v priestore;

hranica dráhy Brownovho pohybu v rovine. V roku 2001 Lawler, Schramm a Werner dokázali Mandelbrotovu hypotézu, že jej rozmer je 4/3.

Schramm-Löwnerove evolúcie sú konformne invariantné fraktálne krivky, ktoré vznikajú v kritických dvojrozmerných modeloch štatistickej mechaniky, napríklad v Isingovom modeli a perkolácii.

rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, do ktorej sa v každom kroku zavedie náhodný parameter. Plazma je príkladom použitia takéhoto fraktálu v počítačovej grafike.

V prírode

Pohľad spredu na priedušnicu a priedušky

Bronchiálny strom

Sieť krvných ciev

Aplikácia

Prírodné vedy

Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na opis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev).

Rádiotechnika

Fraktálne antény

Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát použil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Nathan vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a prilepil ho na kus papiera a potom ho pripojil k prijímaču. Cohen založil vlastnú spoločnosť a rozbehol ich sériovú výrobu.

Počítačová veda

Kompresia obrazu

Hlavný článok: Algoritmus fraktálnej kompresie

Fraktálny strom

Existujú algoritmy kompresie obrázkov pomocou fraktálov. Sú založené na myšlienke, že namiesto samotného obrázku je možné uložiť kompresnú mapu, pre ktorú je tento obrázok (alebo nejaký blízky) pevným bodom. Použil sa jeden z variantov tohto algoritmu [ zdroj neuvedený 895 dní] spoločnosťou Microsoft pri vydávaní svojej encyklopédie, ale rozšírené tieto algoritmy neboli prijaté.

Počítačová grafika

Ďalší fraktálny strom

Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov prírodných objektov, ako sú stromy, kríky, horské krajiny, morské povrchy atď. Na generovanie fraktálových obrázkov sa používa veľa programov, pozri Fractal Generator (program).

Decentralizované siete

Systém prideľovania IP adries v sieti Netsukuku využíva princíp kompresie fraktálnych informácií na kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch. Každý uzol v sieti Netsukuku uchováva len 4 KB informácií o stave susedných uzlov, pričom každý nový uzol sa pripája do spoločnej siete bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries, čo je napríklad typické pre tzv. Internet. Princíp kompresie fraktálnych informácií teda zaručuje úplne decentralizovanú, a teda najstabilnejšiu prevádzku celej siete.

Fraktál je teda matematická množina pozostávajúca z objektov podobných tejto množine. Inými slovami, ak sa pozrieme na malý fragment fraktálnej postavy pod zväčšením, bude to vyzerať ako väčšia časť tejto postavy alebo dokonca postava ako celok. Pre fraktál však zväčšenie mierky neznamená zjednodušenie štruktúry. Preto na všetkých úrovniach uvidíme rovnako zložitý obraz.

Vlastnosti fraktálu

Na základe vyššie uvedenej definície je fraktál zvyčajne reprezentovaný ako geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností:

Má zložitú štruktúru pri akomkoľvek zväčšení;

Približne sebepodobné (časti sú podobné celku);

Má zlomkovú dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická;

Dá sa postaviť rekurzívne.

Fraktály vo svete okolo nás

Napriek tomu, že pojem „fraktál“ sa zdá byť extrémne abstraktný, v živote sa môžete stretnúť s mnohými skutočnými a dokonca praktickými príkladmi tohto javu. Navyše, z okolitého sveta určite treba brať do úvahy, pretože dajú lepšie pochopenie fraktálu a jeho vlastností.

Napríklad antény pre rôzne zariadenia, ktorých návrhy sú vyrobené fraktálovou metódou, vykazujú o 20% vyššiu prevádzkovú účinnosť ako antény tradičnej konštrukcie. Okrem toho môže fraktálna anténa súčasne pracovať s vynikajúcim výkonom na širokej škále frekvencií. Moderné mobilné telefóny preto už prakticky nemajú vo svojej konštrukcii externé antény klasického zariadenia - tie boli nahradené vnútornými fraktálmi, ktoré sa montujú priamo na plošný spoj telefónu.

Fraktály si získali veľkú pozornosť s rozvojom informačných technológií. V súčasnosti boli vyvinuté kompresné algoritmy rôzne obrázky pomocou fraktálov existujú spôsoby konštrukcie objektov počítačová grafika(stromy, horské a morské povrchy) fraktálovým spôsobom, ako aj fraktálny systém na prideľovanie IP adries v niektorých sieťach.

V ekonómii existuje spôsob, ako použiť fraktály pri analýze kotácií akcií a mien. Možno čitateľ, ktorý obchoduje na Forexovom trhu, videl fraktálnu analýzu v akcii v obchodnom termináli alebo ju dokonca použil v praxi.

Taktiež okrem umelo vytvorených objektov s fraktálnymi vlastnosťami, v prirodzená príroda Podobných predmetov môže byť tiež veľa. Dobrými príkladmi fraktálov sú koraly, morské mušle, niektoré kvety a rastliny (brokolica, karfiol), obehový systém a priedušky ľudí a zvierat, vzory vytvorené na skle a prírodné kryštály. Tieto a mnohé ďalšie objekty majú výrazný fraktálny tvar.

Najviac brilantné objavy vo vede môže radikálne zmeniť ľudský život. Vynájdená vakcína môže zachrániť milióny ľudí, výroba zbraní, naopak, tieto životy berie. Nedávno (v mierke evolúcia človeka) naučili sme sa „skrotiť“ elektrinu - a teraz si nevieme predstaviť život bez všetkých týchto pohodlných zariadení, ktoré využívajú elektrinu. No sú aj objavy, ktorým málokto pripisuje dôležitosť, hoci aj ony vo veľkej miere ovplyvňujú náš život.

Jedným z týchto „nenápadných“ objavov sú fraktály. Toto chytľavé slovo ste už určite počuli, no viete, čo znamená a koľko zaujímavých informácií sa v tomto termíne skrýva?

Každý človek má prirodzenú zvedavosť, túžbu porozumieť svetu okolo seba. A pri tomto snažení sa človek snaží pri úsudkoch držať logiky. Analyzuje procesy, ktoré sa okolo neho odohrávajú, snaží sa nájsť logiku toho, čo sa deje, a odvodiť nejaký vzorec. Najviac skvelé mysle na planéte sú zaneprázdnení touto úlohou. Zhruba povedané, vedci hľadajú vzor tam, kde by nemal byť. Napriek tomu aj v chaose je možné nájsť súvislosti medzi udalosťami. A toto spojenie je fraktál.

Naša malá dcérka, štyri a pol ročná, je teraz v takom úžasnom veku, keď množstvo otázok "Prečo?" mnohonásobne prevyšuje počet odpovedí, ktoré dospelí dokážu dať. Nie je to tak dávno, keď si moja dcéra pri skúmaní konára zdvihnutého zo zeme zrazu všimla, že tento konár so svojimi vetvičkami a konármi sám vyzerá ako strom. A, samozrejme, nasledovala zvyčajná otázka „Prečo?“, na ktorú rodičia museli hľadať jednoduché vysvetlenie, ktorému by dieťa rozumelo.

Dieťaťom objavená podobnosť jedinej vetvy s celým stromom je veľmi presným postrehom, ktorý opäť svedčí o princípe rekurzívnej sebapodobnosti v prírode. Mnoho organických a anorganických foriem v prírode vzniká podobným spôsobom. Mraky, morské mušle, „domček slimáka“, kôra a koruna stromov, obehový systém atď. – náhodné tvary všetkých týchto objektov možno opísať fraktálnym algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: otec fraktálnej geometrie

Samotné slovo „fraktál“ sa objavilo vďaka skvelému vedcovi Benoitovi B. Mandelbrotovi.

Sám tento termín vymyslel v 70. rokoch 20. storočia, pričom slovo fractus prevzal z latinčiny, kde doslova znamená „zlomený“ alebo „rozdrvený“. Čo je to? Slovo fraktál dnes najčastejšie znamená grafické znázornenie štruktúry, ktorá je vo väčšom meradle sama sebe podobná.

Matematický základ pre vznik teórie fraktálov bol položený mnoho rokov pred narodením Benoita Mandelbrota, no rozvinúť sa mohol až s príchodom výpočtových zariadení. Na začiatku svojej vedeckej kariéry pôsobil Benoit v r výskumné stredisko Spoločnosť IBM. V tom čase pracovníci centra pracovali na prenose dát na diaľku. Vedci počas výskumu čelili problému veľkých strát vznikajúcich v dôsledku rušenia hlukom. Benoit čelil ťažkému a veľmi dôležitá úloha— pochopiť, ako predpovedať výskyt rušenia šumom v elektronických obvodoch, keď štatistická metóda sa ukáže ako neúčinné.

Pri pohľade na výsledky meraní hluku si Mandelbrot všimol jeden zvláštny vzor - grafy hluku v rôznych mierkach vyzerali rovnako. Identický vzor bol pozorovaný bez ohľadu na to, či išlo o hlukový graf za jeden deň, týždeň alebo hodinu. Bolo potrebné zmeniť mierku grafu a obrázok sa zakaždým opakoval.

Počas svojho života Benoit Mandelbrot opakovane povedal, že neštudoval vzorce, ale jednoducho sa hral s obrázkami. Tento človek uvažoval veľmi obrazne a akýkoľvek algebraický problém preložil do oblasti geometrie, kde je podľa neho vždy zrejmá správna odpoveď.

Nie je prekvapujúce, že otcom fraktálnej geometrie sa stal práve muž s takou bohatou priestorovou predstavivosťou. Koniec koncov, uvedomenie si podstaty fraktálov prichádza práve vtedy, keď začnete študovať kresby a premýšľate o význame zvláštnych vírivých vzorov.

Fraktálny vzor nemá identické prvky, ale je podobný v akejkoľvek mierke. Zostavte takýto obrázok pomocou vysoký stupeň manuálne detailovanie bolo predtým jednoducho nemožné, vyžadovalo si to obrovské množstvo výpočtov. Napríklad francúzsky matematik Pierre Joseph Louis Fatou opísal tento súbor viac ako sedemdesiat rokov pred objavom Benoita Mandelbrota. Ak hovoríme o princípoch sebapodobnosti, boli spomenuté v prácach Leibniza a Georga Cantora.

Jednou z prvých fraktálových kresieb bola grafická interpretácia Mandelbrotovej množiny, ktorá sa zrodila vďaka výskumu Gastona Mauricea Juliu.

Gaston Julia (vždy v maske - zranenie z prvej svetovej vojny)

Tento francúzsky matematik premýšľal, ako by vyzerala množina, keby bola zostavená z jednoduchého vzorca iterovaného cez slučku spätná väzba. Ak si to vysvetlíme „na prstoch“, znamená to, že pre konkrétne číslo nájdeme pomocou vzorca novú hodnotu, potom ju opäť dosadíme do vzorca a získame inú hodnotu. Výsledkom je veľká postupnosť čísel.

Ak chcete získať úplný obraz o takomto súbore, musíte urobiť obrovské množstvo výpočtov - stovky, tisíce, milióny. Bolo to jednoducho nemožné urobiť ručne. Keď sa však matematikom sprístupnili výkonné výpočtové zariadenia, mohli sa nanovo pozrieť na vzorce a výrazy, ktoré boli už dlho zaujímavé. Mandelbrot ako prvý použil počítač na výpočet klasického fraktálu. Po spracovaní sekvencie pozostávajúcej z veľkého počtu hodnôt Benoit vykreslil výsledky do grafu. To je to, čo dostal.

Následne bol tento obrázok vyfarbený (napríklad jeden zo spôsobov farbenia je podľa počtu opakovaní) a stal sa jedným z najpopulárnejších obrázkov, aké kedy človek vytvoril.

Ako sa hovorí starodávne príslovie, ktorý sa pripisuje Herakleitovi z Efezu: „Nemôžeš dvakrát vstúpiť do tej istej rieky. Dokonale sa hodí na interpretáciu geometrie fraktálov. Bez ohľadu na to, ako detailne sa pozrieme na fraktálny obrázok, vždy uvidíme podobný vzor.

Tí, ktorí chcú vidieť, ako by vyzeral obraz Mandelbrotovho priestoru pri mnohonásobnom priblížení, si tak môžu stiahnuť animovaný GIF.

⇡ Lauren Carpenter: umenie vytvorené prírodou

Teória fraktálov čoskoro našla praktické uplatnenie. Keďže to úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, nie je prekvapujúce, že ako prví si osvojili algoritmy a konštrukčné princípy nezvyčajné tvary, boli tam umelci.

Budúci spoluzakladateľ legendárneho štúdia Pixar, Loren C. Carpenter, začal pracovať v roku 1967 v spoločnosti Boeing Computer Services, ktorá bola jednou z divízií slávnej korporácie vyvíjajúcej nové lietadlá.

V roku 1977 vytvoril prezentácie s prototypmi lietajúcich modelov. Lorenove povinnosti zahŕňali vytváranie obrázkov navrhovaného lietadla. Musel vytvoriť obrázky nových modelov zobrazujúcich budúce lietadlá z rôznych uhlov. V určitom okamihu prišiel budúci zakladateľ Pixar Animation Studios s kreatívnym nápadom použiť obrázok hôr ako pozadie. Dnes môže takýto problém vyriešiť každý školák, ale na konci sedemdesiatych rokov minulého storočia sa počítače s takouto úlohou nedokázali vyrovnať. zložité výpočty— chýbali grafické editory, nehovoriac o aplikáciách pre 3D grafiku. V roku 1978 Lauren náhodou uvidela v obchode knihu Benoita Mandelbrota Fraktály: Forma, šanca a dimenzia. V tejto knihe ho zaujalo to, že Benoit uviedol veľa príkladov fraktálnych tvarov v reálnom živote a tvrdil, že ich možno opísať matematickým výrazom.

Toto prirovnanie si matematik nevybral náhodou. Faktom je, že len čo zverejnil svoj výskum, musel čeliť celej záplave kritiky. To hlavné, čo mu kolegovia vyčítali, bola zbytočnosť rozpracovanej teórie. „Áno,“ povedali, „sú to krásne obrázky, ale nič viac. Teória fraktálov nemá žiadnu praktickú hodnotu.“ Boli aj takí, ktorí vo všeobecnosti verili, že fraktálne vzory sú jednoducho vedľajším produktom práce „diabolských strojov“, ktoré sa na konci sedemdesiatych rokov mnohým zdali byť niečím príliš zložitým a neprebádaným na to, aby sa im dalo úplne dôverovať. Mandelbrot sa pokúsil nájsť zjavné aplikácie pre teóriu fraktálov, ale vo veľkej schéme vecí to nepotreboval. V priebehu nasledujúcich 25 rokov nasledovníci Benoita Mandelbrota dokázali obrovské výhody takejto „matematickej zvedavosti“ a Lauren Carpenter bola jednou z prvých, ktorá fraktálnu metódu vyskúšala v praxi.

Po preštudovaní knihy budúci animátor vážne študoval princípy fraktálnej geometrie a začal hľadať spôsob, ako ju implementovať do počítačovej grafiky. Len za tri dni práce bola Lauren schopná vykresliť realistický obraz horský systém na vašom počítači. Inými slovami, pomocou vzorcov namaľoval úplne rozpoznateľnú horskú krajinu.

Princíp, ktorý Lauren použila na dosiahnutie svojho cieľa, bol veľmi jednoduchý. Pozostávalo z rozdelenia väčšej geometrickej postavy na malé prvky a tie sa zase rozdelili na podobné postavy menšej veľkosti.

Pomocou väčších trojuholníkov ich Carpenter rozdelil na štyri menšie a potom tento proces opakoval znova a znova, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Tak sa mu podarilo stať sa prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus na vytváranie obrázkov v počítačovej grafike. Hneď ako sa o práci dozvedeli, nadšenci z celého sveta sa chopili tejto myšlienky a začali používať fraktálny algoritmus na napodobňovanie realistických prírodných tvarov.

Jedna z prvých 3D vizualizácií s použitím fraktálneho algoritmu

Len o niekoľko rokov neskôr bola Lauren Carpenter schopná aplikovať svoj vývoj na oveľa viac rozsiahly projekt. Animátor z nich vytvoril dvojminútové demo Vol Libre, ktoré bolo v roku 1980 uvedené na Siggraph. Toto video šokovalo všetkých, ktorí ho videli, a Lauren dostala pozvanie od Lucasfilmu.

Animácia bola vykreslená na počítači VAX-11/780 od Digital Equipment Corporation s rýchlosťou päť megahertzov a vykreslenie každej snímky trvalo približne pol hodiny.

Animátor, ktorý pracoval pre Lucasfilm Limited, vytvoril 3D krajiny pomocou rovnakej schémy pre druhý celovečerný film ságy Star Trek. V hre The Wrath of Khan bol Carpenter schopný vytvoriť celú planétu pomocou rovnakého princípu fraktálneho modelovania povrchu.

V súčasnosti všetky populárne aplikácie na vytváranie 3D krajiny používajú podobný princíp na generovanie prírodných objektov. Terragen, Bryce, Vue a ďalšie 3D editory sa pri modelovaní povrchov a textúr spoliehajú na fraktálny algoritmus.

⇡ Fraktálne antény: menej je viac

Za posledné polstoročie sa život začal rýchlo meniť. Väčšina z nás akceptuje úspechy moderné technológie za samozrejmosť. Veľmi rýchlo si zvyknete na všetko, čo robí život pohodlnejším. Málokedy si niekto kladie otázku „Odkiaľ to prišlo? a "Ako to funguje?" Mikrovlnná rúra ohrieva raňajky – skvelé, smartfón vám dáva možnosť rozprávať sa s inou osobou – skvelé. Zdá sa nám to ako jasná možnosť.

Ale život mohol byť úplne iný, keby človek nehľadal vysvetlenie udalostí, ktoré sa dejú. Vezmite si napríklad mobilné telefóny. Pamätáte si vysúvacie antény na prvých modeloch? Prekážali, zväčšovali zariadenie a nakoniec sa často rozbili. Veríme, že navždy upadli do zabudnutia a jedným z dôvodov sú... fraktály.

Fraktálne vzory fascinujú svojimi vzormi. Určite sa podobajú na obrázky vesmírne objekty- hmloviny, kopy galaxií a pod. Je preto celkom prirodzené, že keď Mandelbrot vyjadril svoju teóriu fraktálov, jeho výskum vzbudil zvýšený záujem medzi tými, ktorí študovali astronómiu. Jeden z týchto amatérov menom Nathan Cohen sa po návšteve prednášky Benoita Mandelbrota v Budapešti inšpiroval myšlienkou praktickej aplikácie získaných vedomostí. Je pravda, že to urobil intuitívne a náhoda zohrala v jeho objave dôležitú úlohu. Ako rádioamatér sa Nathan snažil vytvoriť anténu s čo najvyššou citlivosťou.

Jediným spôsobom, ako zlepšiť parametre antény, ktorá bola v tom čase známa, bolo zväčšenie jej geometrických rozmerov. Majiteľ nehnuteľnosti v centre Bostonu, ktorú si Nathan prenajal, bol však kategoricky proti inštalácii veľkých zariadení na strechu. Potom Nathan začal experimentovať rôzne formy antény, snaží sa dostať maximálny výsledok s minimálnymi rozmermi. Inšpirovaný myšlienkou fraktálnych foriem, Cohen, ako sa hovorí, náhodne vyrobil jeden z najznámejších fraktálov z drôtu - „Kochovu snehovú vločku“. S touto krivkou prišiel už v roku 1904 švédsky matematik Helge von Koch. Získa sa rozdelením segmentu na tri časti a nahradením stredného segmentu rovnostranným trojuholníkom bez toho, aby sa strana zhodovala s týmto segmentom. Definícia je trochu náročná na pochopenie, ale na obrázku je všetko jasné a jednoduché.

Existujú aj iné variácie Kochovej krivky, ale približná forma krivka zostáva podobná

Keď Nathan pripojil anténu k rádiovému prijímaču, bol veľmi prekvapený – citlivosť sa dramaticky zvýšila. Po sérii experimentov si budúci profesor na Bostonskej univerzite uvedomil, že anténa vyrobená podľa fraktálneho vzoru má vysokú účinnosť a pokrýva oveľa širší frekvenčný rozsah v porovnaní s klasické riešenia. Navyše tvar antény vo forme fraktálnej krivky umožňuje výrazne zmenšiť geometrické rozmery. Nathan Cohen dokonca prišiel s vetou dokazujúcou, že na vytvorenie širokopásmovej antény stačí dať jej tvar sebepodobnej fraktálnej krivky.

Autor si svoj objav nechal patentovať a založil spoločnosť na vývoj a dizajn fraktálnych antén Fractal Antenna Systems, oprávnene veril, že v budúcnosti sa vďaka jeho objavu budú môcť mobilné telefóny zbaviť objemných antén a stať sa kompaktnejšími.

V zásade sa tak stalo. Pravda, Nathan dodnes vedie právnu bitku s veľkými korporáciami, ktoré nelegálne využívajú jeho objav na výrobu kompaktných komunikačných zariadení. Niektorí známi výrobcovia mobilné zariadenia, ako napríklad Motorola, už uzavreli mierovú dohodu s vynálezcom fraktálnej antény.

⇡ Fraktálne dimenzie: nemôžete to pochopiť svojou mysľou

Túto otázku si Benoit požičal od slávneho amerického vedca Edwarda Kasnera.

Posledný, ako mnoho iných slávnych matematikov, rád komunikoval s deťmi, kládol im otázky a dostával nečakané odpovede. Niekedy to viedlo k prekvapivým následkom. Napríklad deväťročný synovec Edwarda Kasnera prišiel s dnes už dobre známym slovom „googol“, čo znamená jedna, za ktorou nasleduje sto núl. Ale vráťme sa k fraktálom. Americký matematik rád položil otázku, aké dlhé je pobrežie USA. Po vypočutí názoru svojho partnera Edward sám povedal správnu odpoveď. Ak zmeriate dĺžku na mape pomocou zlomených segmentov, výsledok bude nepresný, pretože pobrežie má veľké množstvo nepravidelností. Čo sa stane, ak meriame čo najpresnejšie? Budete musieť brať do úvahy dĺžku každej nerovnosti – budete musieť zmerať každý mys, každý záliv, skalu, dĺžku skalnej rímsy, kameň na nej, zrnko piesku, atóm atď. Keďže počet nepravidelností má tendenciu k nekonečnu, nameraná dĺžka pobrežia sa pri meraní každej novej nepravidelnosti zvýši do nekonečna.

Čím menšia miera pri meraní, tým dlhšia je nameraná dĺžka

Je zaujímavé, že podľa Edwardových pokynov deti hovorili oveľa rýchlejšie ako dospelí. správne riešenie, zatiaľ čo ten druhý mal problém prijať takú neuveriteľnú odpoveď.

Pomocou tohto problému ako príkladu Mandelbrot navrhol použiť nový prístup k meraniam. Keďže pobrežie je blízko fraktálnej krivky, znamená to, že sa na ňu dá aplikovať charakterizujúci parameter – takzvaná fraktálna dimenzia.

Čo je to pravidelný rozmer, je každému jasné. Ak sa rozmer rovná jednej, dostaneme priamku, ak dve - plochá postava, trojobjemový. Toto chápanie dimenzie v matematike však nefunguje s fraktálovými krivkami, kde má tento parameter zlomkovú hodnotu. Fraktálnu dimenziu v matematike možno konvenčne považovať za „hrubosť“. Čím vyššia je drsnosť krivky, tým väčší je jej fraktálny rozmer. Krivka, ktorá má podľa Mandelbrota fraktálny rozmer vyšší ako jej topologický rozmer, má približnú dĺžku, ktorá nezávisí od počtu rozmerov.

V súčasnosti vedci nachádzajú stále viac oblastí na uplatnenie teórie fraktálov. Pomocou fraktálov môžete analyzovať kolísanie cien na burze, študovať všetky druhy prírodných procesov, ako napríklad kolísanie počtu druhov, alebo simulovať dynamiku tokov. Fraktálne algoritmy možno použiť na kompresiu údajov, ako je kompresia obrázkov. A mimochodom, ak chcete získať krásny fraktál na obrazovke počítača, nemusíte mať doktorát.

⇡ Fraktál v prehliadači

Možno jedným z najjednoduchších spôsobov, ako získať fraktálny vzor, je použiť online vektorový editor od mladého talentovaného programátora Tobyho Schachmana. Nástroje tohto jednoduchého grafického editora sú založené na rovnakom princípe sebapodobnosti.

K dispozícii máte len dva najjednoduchšie tvary - štvoruholník a kruh. Môžete ich pridať na plátno, zmeniť ich mierku (ak chcete zmeniť mierku pozdĺž jednej z osí, podržte stlačený kláves Shift) a otáčajte ich. Tieto najjednoduchšie prvky, ktoré sa prekrývajú podľa princípu booleovských operácií sčítania, tvoria nové, menej triviálne formy. Tieto nové tvary potom možno pridať do projektu a program bude opakovať generovanie týchto obrázkov donekonečna. V ktorejkoľvek fáze práce na fraktále sa môžete vrátiť k akémukoľvek komponentu zložitý tvar a upravte jeho polohu a geometriu. Zábavná aktivita, najmä keď si uvedomíte, že jediným nástrojom, ktorý musíte vytvoriť, je prehliadač. Ak nerozumiete princípu práce s týmto rekurzívnym vektorovým editorom, odporúčame vám pozrieť si video na oficiálnej stránke projektu, ktoré podrobne zobrazuje celý proces vytvárania fraktálu.

⇡ XaoS: fraktály pre každý vkus

Mnoho grafických editorov má vstavané nástroje na vytváranie fraktálnych vzorov. Tieto nástroje sú však zvyčajne sekundárne a neumožňujú jemné doladenie vygenerovaného fraktálneho vzoru. V prípadoch, keď je potrebné skonštruovať matematicky presný fraktál, príde na pomoc multiplatformový editor XaoS. Tento program umožňuje nielen vytvoriť podobný obraz, ale tiež s ním vykonávať rôzne manipulácie. Napríklad v reálnom čase si môžete urobiť „prechádzku“ po fraktále zmenou jeho mierky. Animovaný pohyb pozdĺž fraktálu možno uložiť ako súbor XAF a potom reprodukovať v samotnom programe.

XaoS dokáže načítať náhodnú množinu parametrov a tiež použiť rôzne filtre na následné spracovanie obrazu – pridať efekt rozmazaného pohybu, vyhladiť ostré prechody medzi fraktálnymi bodmi, simulovať 3D obraz atď.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktný generátor fraktálov

V porovnaní s inými generátormi fraktálnych obrázkov má niekoľko výhod. Po prvé, má veľmi malú veľkosť a nevyžaduje inštaláciu. Po druhé, implementuje schopnosť určiť farebnú paletu obrázka. Môžete si vybrať odtiene v farebné modely RGB, CMYK, HVS a HSL.

Veľmi pohodlné je aj využitie možnosti náhodného výberu farebných odtieňov a funkcie invertovania všetkých farieb na obrázku. Na úpravu farby existuje funkcia cyklického výberu odtieňov - keď zapnete príslušný režim, program oživí obrázok a cyklicky na ňom zmení farby.

Fractal Zoomer dokáže vizualizovať 85 rôznych fraktálových funkcií a vzorce sú jasne zobrazené v ponuke programu. V programe sú však filtre na následné spracovanie obrazu malé množstvo. Každý priradený filter je možné kedykoľvek zrušiť.

⇡ Mandelbulb3D: editor 3D fraktálov

Keď sa používa výraz „fraktál“, najčastejšie sa ním označuje plochý, dvojrozmerný obrázok. Fraktálna geometria však presahuje 2D dimenziu. V prírode môžete nájsť príklady plochých fraktálových foriem, povedzme geometrie blesku, aj trojrozmerné objemové čísla. Fraktálne povrchy môžu byť trojrozmerné a sú jednou z veľmi jasných ilustrácií 3D fraktálov Každodenný život- hlávka kapusty. Snáď najlepší spôsob, ako vidieť fraktály, je odroda Romanesco, kríženec karfiolu a brokolice.

Tento fraktál môžete aj zjesť

Program Mandelbulb3D dokáže vytvárať trojrozmerné objekty s podobným tvarom. Na získanie 3D povrchu pomocou fraktálneho algoritmu autori túto aplikáciu, Daniel White a Paul Nylander, previedli Mandelbrotovu množinu na sférické súradnice. Program Mandelbulb3D, ktorý vytvorili, je skutočný trojrozmerný editor, ktorý modeluje fraktálne povrchy rôzne formy. Keďže v prírode často pozorujeme fraktálne vzory, umelo vytvorený fraktálny trojrozmerný objekt sa zdá byť neuveriteľne realistický a dokonca „živý“.

Môže pripomínať rastlinu, môže pripomínať zvláštne zviera, planétu alebo niečo iné. Tento efekt je umocnený pokročilým vykresľovacím algoritmom, ktorý umožňuje získať realistické odrazy, vypočítať priehľadnosť a tiene, simulovať vplyv hĺbky ostrosti atď. Mandelbulb3D má obrovské množstvo nastavení a možností vykresľovania. Môžete ovládať odtiene svetelných zdrojov, vybrať pozadie a úroveň detailov simulovaného objektu.

Editor fraktálov Incendia podporuje dvojité vyhladzovanie obrázkov, obsahuje knižnicu päťdesiatich rôznych trojrozmerných fraktálov a má samostatný modul na úpravu základných tvarov.

Aplikácia využíva fraktálne skriptovanie, pomocou ktorého môžete nezávisle popisovať nové typy fraktálových vzorov. Incendia má editory textúr a materiálov a renderovací engine umožňuje využívať efekty volumetrickej hmly a rôzne shadery. Program implementuje možnosť uloženia vyrovnávacej pamäte pri dlhodobom vykresľovaní a podporuje tvorbu animácií.

Incendia umožňuje exportovať fraktálny model do obľúbených 3D grafických formátov – OBJ a STL. Incendia obsahuje malý nástroj s názvom Geometrica - špeciálny nástroj na konfiguráciu exportu fraktálneho povrchu do 3D modelu. Pomocou tejto pomôcky môžete určiť rozlíšenie 3D povrchu a určiť počet fraktálových iterácií. Exportované modely je možné použiť v 3D projektoch pri práci s 3D editormi ako Blender, 3ds max a inými.

IN V poslednej dobe práce na projekte Incendia sa trochu spomalili. Zapnuté tento moment autor hľadá sponzorov, ktorí by mu pomohli program rozvíjať.

Ak nemáte dostatok fantázie na to, aby ste v tomto programe nakreslili krásny trojrozmerný fraktál, nevadí. Použite knižnicu parametrov, ktorá sa nachádza v priečinku INCENDIA_EX\parameters. Pomocou súborov PAR môžete rýchlo nájsť najneobvyklejšie fraktálne tvary vrátane animovaných.

⇡ Sluchové: ako spievajú fraktály

Zvyčajne nehovoríme o projektoch, na ktorých sa práve pracuje, ale v v tomto prípade musíme urobiť výnimku, toto je veľmi neobvyklá aplikácia. Projekt s názvom Aural vymyslel ten istý človek, ktorý vytvoril Incendiu. Tentoraz však program fraktálovú množinu nevizualizuje, ale ozvučí, čím sa zmení na elektronickú hudbu. Myšlienka je to veľmi zaujímavá, najmä ak vezmeme do úvahy nezvyčajné vlastnosti fraktálov. Aural je zvukový editor, ktorý generuje melódie pomocou fraktálnych algoritmov, to znamená, že je to v podstate zvukový syntetizátor-sekvenátor.

Postupnosť zvukov produkovaných týmto programom je nezvyčajná a... krásna. Môže byť užitočný pri písaní moderných rytmov a zdá sa nám, že je obzvlášť vhodný na vytváranie zvukových stôp pre šetriče obrazovky televíznych a rozhlasových programov, ako aj „slučky“ hudby na pozadí pre počítačové hry. Ramiro zatiaľ neposkytol demo svojho programu, ale sľubuje, že keď to urobí, na prácu s Auralom nebudete musieť študovať teóriu fraktálov - budete sa musieť pohrať s parametrami algoritmu na generovanie sekvencie. poznámok. Vypočujte si, ako znejú fraktály a.

Fraktály: hudobná prestávka

V skutočnosti vám fraktály môžu pomôcť pri písaní hudby aj bez softvéru. To však môže urobiť len niekto, kto je skutočne preniknutý myšlienkou prirodzenej harmónie a kto sa nepremenil na nešťastného „nerda“. Má zmysel brať si príklad z hudobníka menom Jonathan Coulton, ktorý okrem iného píše skladby pre časopis Popular Science. A na rozdiel od iných interpretov, Colton zverejňuje všetky svoje diela pod licenciou Creative Commons Attribution-Nonkomerčná licencia, ktorá (pri použití na nekomerčné účely) umožňuje bezplatné kopírovanie, distribúciu, prenos diela iným osobám, ako aj jeho úpravu ( vytváranie odvodených diel), aby ste ho prispôsobili svojim úlohám.

Jonathan Colton má samozrejme pieseň o fraktáloch.

⇡ Záver

Vo všetkom, čo nás obklopuje, často vidíme chaos, ale v skutočnosti to nie je náhoda, ale perfektný tvar, ktoré nám fraktály pomáhajú rozlíšiť. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je štruktúrovaný veľmi logicky a ak niekde nevidíme vzor, musíme ho hľadať v inej mierke. Ľudia tomu stále lepšie rozumejú a snažia sa v mnohých smeroch napodobňovať prírodné formy. Inžinieri navrhujú reproduktorové systémy v tvare mušle, vytvárajú antény v tvare snehových vločiek atď. Sme si istí, že fraktály stále obsahujú veľa tajomstiev a mnohé z nich ľudia ešte len musia objaviť.

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

„Siverskaya priemer všeobecná školač. 3"

Výskum

matematiky.

Hotovo

Žiak 8.-1. ročníka

Emelin Pavel

Vedecký riaditeľ

učiteľ matematiky

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Siverská dedina

rok 2014

Celá matematika je preniknutá krásou a harmóniou,

Túto krásu jednoducho musíte vidieť.

B. Mandelbrot

Úvod___________________________________________3-4pp.

Kapitola 1.história vzniku fraktálov._______5-6s.

Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov ______6-10pp.

Geometrické fraktály

Algebraické fraktály

Stochastické fraktály

Kapitola 3. "Fraktálna geometria prírody"______11-13s.

Kapitola 4. Aplikácia fraktálov________________13-15pp.

Kapitola 5 Praktická práca___________________16-24pp.

Záver__________________________________25.strana

Zoznam referencií a internetových zdrojov________26 stránok.

Úvod

matematika,

ak sa na to pozries spravne,

odráža nielen pravdu,

ale aj neporovnateľná krása.

Bertrand Russell

Slovo „fraktál“ je niečo, o čom v súčasnosti hovorí veľa ľudí, od vedcov až po stredoškolákov. Objavuje sa na obálkach mnohých učebníc matematiky, vedeckých časopisov a počítačových škatúľ. softvér. Farebné obrázky fraktálov dnes nájdete všade: od pohľadníc, tričiek až po obrázky na ploche osobného počítača. Takže, aké sú tieto farebné tvary, ktoré vidíme okolo?

matematika - staroveká veda. Väčšine ľudí sa zdalo, že geometria v prírode je obmedzená len na niečo také jednoduché figúrky ako čiara, kruh, mnohouholník, guľa atď. Ako sa ukazuje, mnohé prírodné systémy sú také zložité, že používanie iba známych objektov bežnej geometrie na ich modelovanie sa zdá byť beznádejné. Ako sa dá napríklad z geometrie postaviť model pohoria alebo koruny stromu? Ako opísať diverzitu biologickej diverzity, ktorú pozorujeme vo svete rastlín a živočíchov? Ako si predstaviť zložitosť obehového systému, ktorý pozostáva z mnohých kapilár a ciev a dodáva krv do každej bunky Ľudské telo? Predstavte si štruktúru pľúc a obličiek, ktorá svojou štruktúrou pripomína stromy s rozvetvenou korunou?

Fraktály sú vhodné nástroje na skúmanie týchto otázok. To, čo vidíme v prírode, nás často zaujme nekonečným opakovaním toho istého vzoru, niekoľkokrát zvýšeného alebo zníženého. Napríklad strom má konáre. Na týchto konároch sú menšie konáre atď. Teoreticky sa prvok vetvenia opakuje donekonečna a je stále menší. To isté možno vidieť pri pohľade na fotografiu horského terénu. Skúste sa priblížiť trochu bližšie k pohoriu --- opäť uvidíte hory. Takto sa prejavuje vlastnosť sebapodobnosti charakteristická pre fraktály.

Štúdium fraktálov otvára úžasné možnosti, ako pri štúdiu nekonečné číslo aplikácií a v oblasti matematiky. Aplikácie fraktálov sú veľmi rozsiahle! Koniec koncov, tieto objekty sú také krásne, že ich používajú dizajnéri, umelci, pomocou ktorých sú v grafike nakreslené mnohé prvky: stromy, oblaky, hory atď. Ale fraktály sa dokonca používajú ako antény v mnohých mobilných telefónoch.

Pre mnohých chaológov (vedcov, ktorí študujú fraktály a chaos) to nie je jednoduché nová oblasť vedomosti, ktoré spájajú matematiku, teoretickú fyziku, umenie a výpočtovú techniku, sú revolúciou. Toto je objav nového typu geometrie, geometrie, ktorá opisuje svet okolo nás a ktorú možno vidieť nielen v učebniciach, ale aj v prírode a všade v bezhraničnom vesmíre..

Vo svojej práci som sa tiež rozhodla „dotknúť sa“ sveta krásy a odhodlaná...

Cieľ práce: vytváranie objektov, ktorých obrazy sú veľmi podobné prírodným.

Výskumné metódy: komparatívna analýza, syntéza, modelovanie.

Úlohy:

oboznámenie sa s pojmom, históriou vzniku a výskumom B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky a ďalší;

zoznámenie sa s rôznymi typmi fraktálových množín;

štúdium populárno-vedeckej literatúry o táto záležitosť, zoznámenie sa s

vedecké hypotézy;

nájdenie potvrdenia teórie fraktality okolitého sveta;

štúdium používania fraktálov v iných vedách av praxi;

vykonaním experimentu na vytvorenie vlastných fraktálových obrázkov.

Základná otázka práce:

Ukázať, že matematika nie je suchý, bezduchý predmet, dokáže vyjadrovať duchovný svet človeka jednotlivo aj v spoločnosti ako celku.

Predmet štúdia: Fraktálna geometria.

Predmet štúdia: fraktály v matematike a v reálnom svete.

Hypotéza: Všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál.

Výskumné metódy: analytické, vyhľadávanie.

Relevantnosť Uvedená téma je daná predovšetkým predmetom skúmania, ktorým je fraktálna geometria.

Očakávané výsledky: V priebehu práce si budem môcť rozšíriť svoje znalosti v oblasti matematiky, vidieť krásu fraktálnej geometrie a začať pracovať na tvorbe vlastných fraktálov.

Výsledkom práce bude tvorba počítačová prezentácia, bulletin a brožúra.

Kapitola 1. História

B keď Mandelbrot

Koncept „fraktálu“ vynašiel Benoit Mandelbrot. Slovo pochádza z latinského „fractus“, čo znamená „zlomený, zlomený“.

Fraktál (lat. fractus - rozdrvený, zlomený, zlomený) je pojem označujúci zložitý geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, teda zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave.

Pre matematické objekty, ku ktorým patrí, sa vyznačujú mimoriadne zaujímavými vlastnosťami. V bežnej geometrii má čiara jeden rozmer, plocha má dva rozmery a priestorový obrazec má tri rozmery. Fraktály nie sú čiary ani plochy, ale, ak si to viete predstaviť, niečo medzi tým. S rastúcou veľkosťou sa zväčšuje aj objem fraktálu, ale jeho rozmer (exponent) nie je celok, ale zlomková hodnota, a preto hranicou fraktálového útvaru nie je čiara: pri veľkom zväčšení je zrejmé, že je rozmazaný a pozostáva zo špirál a kučier, opakujúcich sa pri malom zväčšení samotnej postavy. Táto geometrická pravidelnosť sa nazýva mierková invariancia alebo sebepodobnosť. To je to, čo určuje zlomkovú dimenziu fraktálov.

Pred príchodom fraktálnej geometrie sa veda zaoberala systémami obsiahnutými v troch priestorových dimenziách. Vďaka Einsteinovi sa to ukázalo trojrozmerný priestor- iba model reality, a nie realita samotná. V skutočnosti sa náš svet nachádza v štvorrozmernom časopriestorovom kontinuu.
Vďaka Mandelbrotovi sa ukázalo, ako to vyzerá štvorrozmerný priestor, obrazne povedané, fraktálna tvár Chaosu. Benoit Mandelbrot zistil, že štvrtá dimenzia zahŕňa nielen prvé tri dimenzie, ale aj (to je veľmi dôležité!) intervaly medzi nimi.

Rekurzívna (alebo fraktálna) geometria nahrádza euklidovskú geometriu. Nová veda je schopná opísať skutočnú povahu telies a javov. Euklidovská geometria sa zaoberala iba umelými, imaginárnymi objektmi patriacimi do troch dimenzií. Len štvrtá dimenzia ich dokáže premeniť na realitu.

Kvapalina, plyn, pevná látka - tri známe fyzická kondícia substancia, ktorá existuje v trojrozmernom svete. Aký je však rozmer oblaku dymu, oblaku, alebo presnejšie ich hraníc, neustále erodovaných turbulentným pohybom vzduchu?

V zásade sú fraktály rozdelené do troch skupín:

Algebraické fraktály

Stochastické fraktály

Geometrické fraktály

Pozrime sa bližšie na každý z nich.

Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov

Geometrické fraktály

Benoit Mandelbrot navrhol fraktálový model, ktorý sa už stal klasikou a často sa používa na demonštráciu typického príkladu samotného fraktálu a na demonštráciu krásy fraktálov, čo priťahuje aj výskumníkov, umelcov a jednoducho záujemcov.

Tu sa začala história fraktálov. Tento typ fraktálov sa získava jednoduchými geometrickými konštrukciami. Zvyčajne pri konštrukcii týchto fraktálov robia toto: berú „semeno“ - axiómu - množinu segmentov, na základe ktorých bude fraktál zostavený. Ďalej sa na toto „semeno“ aplikuje súbor pravidiel, ktoré ho premenia na nejaký druh geometrického útvaru. Potom sa rovnaký súbor pravidiel znova použije na každú časť tohto obrázku. S každým krokom bude postava čoraz zložitejšia a ak vykonáme (aspoň v našich mysliach) nekonečné číslo transformácií – dostaneme geometrický fraktál.

Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie, pretože sebapodobnosť je v nich okamžite viditeľná v akejkoľvek mierke pozorovania. V dvojrozmernom prípade sa takéto fraktály dajú získať špecifikovaním prerušovanej čiary nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu sa každý zo segmentov, ktoré tvoria lomenú čiaru, nahradí generátorovou líniou vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu (alebo presnejšie pri prechode na limit) sa získa fraktálna krivka. Napriek zjavnej zložitosti výslednej krivky je jej celkový vzhľad určený iba tvarom generátora. Príklady takýchto kriviek sú: Kochova krivka (obr. 7), Peanova krivka (obr. 8), Minkowského krivka.

Na začiatku dvadsiateho storočia hľadali matematici krivky, ktoré v žiadnom bode nemajú dotyčnicu. To znamenalo, že krivka náhle zmenila svoj smer a navyše kolosálne vysoká rýchlosť(derivát sa rovná nekonečnu). Hľadanie týchto kriviek nebolo spôsobené len nečinným záujmom matematikov. Faktom je, že na začiatku dvadsiateho storočia nastal veľmi prudký rozvoj kvantová mechanika. Výskumník M. Brown načrtol trajektóriu pohybu suspendovaných častíc vo vode a vysvetlil tento jav nasledovne: náhodne sa pohybujúce atómy kvapaliny narážajú na suspendované častice a tým ich uvádzajú do pohybu. Po tomto vysvetlení Brownovho pohybu stáli vedci pred úlohou nájsť krivku, ktorá by najlepšia cesta ukázal pohyb Brownových častíc. Aby to bolo možné, krivka musela spĺňať nasledujúce vlastnosti: nemať v žiadnom bode dotyčnicu. Matematik Koch navrhol jednu takúto krivku.

TO Kochova krivka je typický geometrický fraktál. Proces jeho konštrukcie je nasledovný: vezmeme jeden segment, rozdelíme ho na tri rovnaké časti a vymeníme priemerný interval rovnostranný trojuholník bez tohto segmentu. V dôsledku toho sa vytvorí prerušovaná čiara pozostávajúca zo štyroch článkov dĺžky 1/3. V ďalšom kroku operáciu zopakujeme pre každý zo štyroch výsledných odkazov atď...

Limitná krivka je Kochova krivka.

Snehová vločka Koch. Vykonaním podobných transformácií po stranách rovnostranný trojuholník môžete získať fraktálny obrázok snehovej vločky Koch.

T
Ďalším jednoduchým predstaviteľom geometrického fraktálu je Námestie Sierpinski. Je skonštruovaný celkom jednoducho: Štvorec je rozdelený rovnými čiarami rovnobežnými s jeho stranami na 9 rovnakých štvorcov. Centrálne námestie je odstránené z námestia. Výsledkom je sada pozostávajúca z 8 zostávajúcich polí „prvej hodnosti“. Ak urobíme presne to isté s každým zo štvorcov prvého radu, získame súbor pozostávajúci zo 64 políčok druhého radu. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, získame nekonečnú postupnosť alebo Sierpinského štvorec.

Algebraické fraktály

Toto je najväčšia skupina fraktálov. Algebraické fraktály dostali svoje meno, pretože sú konštruované pomocou jednoduchých algebraické vzorce.

Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom som sa ocitla dynamický systém po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. teda fázový priestor systém je rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s bizarnými viacfarebnými vzormi. Čo bolo pre matematikov prekvapením, bola schopnosť pomocou primitívnych algoritmov generovať veľmi zložité štruktúry.

Ako príklad uveďme Mandelbrotovu sadu. Stavajú ho pomocou komplexných čísel.

Časť hranice Mandelbrotovej množiny, zväčšená 200-krát.

Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počasnekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body, ktoré sú čierne). Body patriace k hranici množiny(tu vznikajú zložité štruktúry) idú do nekonečna v konečnom počte iterácií a body ležiace mimo množiny idú po niekoľkých iteráciách do nekonečna (biele pozadie).

P

Príkladom iného algebraického fraktálu je množina Julia. Existujú 2 odrody tohto fraktálu. Prekvapivo sú množiny Julia tvorené pomocou rovnakého vzorca ako množina Mandelbrot. Súprava Julia bola vynájdená francúzsky matematik Gaston Julia, po ktorom boli mnohí pomenovaní.

A
zaujímavý fakt, niektoré algebraické fraktály nápadne pripomínajú obrazy zvierat, rastlín a iných biologických objektov, v dôsledku čoho sa nazývajú biomorfy.

Stochastické fraktály

Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektoré jeho parametre náhodne zmenia v iteratívnom procese. V tomto prípade sú výsledné objekty veľmi podobné prírodným - asymetrické stromy, členité pobrežia atď.

Typickým predstaviteľom tejto skupiny fraktálov je „plazma“.

D
Ak ho chcete zostrojiť, vezmite obdĺžnik a každému z jeho rohov priraďte farbu. Potom sa nájde stredový bod obdĺžnika a vyfarbí sa farbou rovnajúcou sa aritmetickému priemeru farieb v rohoch obdĺžnika plus niekoľko farieb. náhodné číslo. Čím väčšie je náhodné číslo, tým bude kresba „roztrhanejšia“. Ak predpokladáme, že farba bodu je nadmorská výška, namiesto plazmy dostaneme pohorie. Práve na tomto princípe sú hory modelované vo väčšine programov. Pomocou algoritmu podobného plazme sa zostaví výšková mapa, aplikujú sa na ňu rôzne filtre, aplikuje sa textúra a sú pripravené fotorealistické hory

E
Ak sa pozrieme na tento fraktál v priereze, uvidíme, že tento fraktál je objemový a má „drsnosť“, práve kvôli tejto „drsnosti“ je veľmi dôležité použitie tohto fraktálu.

Povedzme, že potrebujete opísať tvar hory. Tu nepomôžu obyčajné obrazce z euklidovskej geometrie, pretože neberú do úvahy topografiu povrchu. Ale keď skombinujete konvenčnú geometriu s fraktálnou geometriou, môžete získať „hrubosť“ hory. Potrebujeme naniesť plazmu na pravidelný kužeľ a získame reliéf hory. Takéto operácie je možné vykonávať s mnohými inými objektmi v prírode, vďaka stochastickým fraktálom možno popísať samotnú prírodu.

Teraz si povedzme niečo o geometrických fraktáloch.

Kapitola 3 "Fraktálna geometria prírody"

" Prečo sa geometria často nazýva "studená" a "suchá"? Jedným z dôvodov je, že nedokáže opísať tvar oblaku, hory, pobrežia alebo stromu. Mraky nie sú gule, hory nie sú kužele, pobrežia nie sú kruhy, kôra stromov nie je plynulý, blesky sa nešíria priamočiaro. Vo všeobecnosti tvrdím, že mnohé objekty v prírode sú tak nepravidelné a roztrieštené, že v porovnaní s Euklidom – termín, ktorý v tejto práci znamená všetku štandardnú geometriu – príroda nemá len väčšiu zložitosť , ale zložitosť na úplne inej úrovni. Množstvo rôznych dĺžkových mierok prírodných objektov je pre všetky praktické účely nekonečné.“

(Benoit Mandelbrot "Fraktálna geometria prírody" ).

TO Krása fraktálov je dvojaká: lahodí oku, o čom svedčí celosvetová výstava fraktálových obrázkov, ktorú zorganizovala skupina brémskych matematikov pod vedením Peitgena a Richtera. Neskôr boli exponáty tejto veľkolepej výstavy zachytené v ilustráciách ku knihe od tých istých autorov „Krása fraktálov“. Existuje však aj iný, abstraktnejší alebo vznešenejší aspekt krásy fraktálov, ktorý je podľa R. Feynmana otvorený iba mentálnemu pohľadu teoretika; v tomto zmysle sú fraktály krásne kvôli kráse zložitého matematického problému. . Benoit Mandelbrot upozornil svojich súčasníkov (a pravdepodobne aj jeho potomkov) na nepríjemnú medzeru v Euklidových prvkoch, cez ktorú bez povšimnutia tohto vynechania takmer dve tisícročia ľudstva pochopilo geometriu okolitého sveta a naučilo sa matematickej náročnosti prezentácie. Samozrejme, oba aspekty krásy fraktálov spolu úzko súvisia a nevylučujú sa, ale dopĺňajú, hoci každý z nich je sebestačný.

Fraktálna geometria prírody podľa Mandelbrota je skutočnou geometriou, ktorá spĺňa definíciu geometrie navrhnutú v Erlangenovom programe F. Kleinom. Faktom je, že pred príchodom neeuklidovskej geometrie N.I. Lobačevskij – L. Bolyai, existovala len jedna geometria – tá, ktorá bola stanovená v „Princípoch“ a otázka, čo je geometria a ktorá z geometrií je geometriou skutočného sveta, nevznikla a ani nemohla. vznikajú. S príchodom ďalšej geometrie však vyvstala otázka, čo je geometria vo všeobecnosti a ktorá z mnohých geometrií zodpovedá skutočnému svetu. Geometria sa podľa F. Kleina zaoberá štúdiom takých vlastností objektov, ktoré sú pri transformáciách invariantné: Euklidovské - invarianty skupiny pohybov (premeny, ktoré nemenia vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi, t. j. predstavujú superpozíciu paralelných translácií). a rotácie so zmenou orientácie alebo bez nej), geometria Lobačevského-Bolyaiho - invarianty Lorentzovej skupiny. Fraktálna geometria sa zaoberá štúdiom invariantov skupiny sebaafinných transformácií, t.j. vlastnosti vyjadrené mocenskými zákonmi.

Čo sa týka zhody s reálnym svetom, fraktálna geometria popisuje veľmi širokú triedu prírodných procesov a javov, a preto môžeme podľa B. Mandelbrota právom hovoriť o fraktálnej geometrii prírody. Nové - fraktálne objekty majú nezvyčajné vlastnosti. Dĺžky, plochy a objemy niektorých fraktálov sú nulové, zatiaľ čo iné sa otáčajú do nekonečna.

Príroda často vytvára úžasné a nádherné fraktály, s ideálnou geometriou a takou harmóniou, že vás jednoducho mrazí od obdivu. A tu sú ich príklady:

Morské mušle

Blesk obdivovať ich krásou. Fraktály vytvorené bleskom nie sú ľubovoľné ani pravidelné

Fraktálny tvar poddruh karfiolu(Brassica cauliflora). Toto zvláštny druh je obzvlášť symetrický fraktál.

P papraď je tiež dobrým príkladom fraktálu medzi flórou.

Pávy každý je známy svojim farebným perím, v ktorom sú ukryté pevné fraktály.

Ľadové, mrazivé vzory na oknách sú to tiež fraktály

O
t zväčšený obrázok list, predtým konáre stromu- fraktály sa dajú nájsť vo všetkom

Fraktály sú všade a všade v prírode okolo nás. Celý vesmír je postavený podľa úžasne harmonických zákonov s matematickou presnosťou. Je možné si potom myslieť, že naša planéta je náhodným zreťazením častíc? Sotva.

Kapitola 4. Aplikácia fraktálov

Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede. Hlavným dôvodom je to, že opisujú skutočný svet niekedy dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Tu je niekoľko príkladov:

O
dni najvýkonnejších aplikácií fraktálov ležia v počítačová grafika. Toto je kompresia fraktálnych obrázkov. Moderná fyzika a mechanika práve začínajú študovať správanie fraktálnych objektov.

Výhody algoritmov kompresie fraktálov sú veľmi malá veľkosť zabalený súbor a krátky čas obnovy obrázka. Fraktálne zabalené obrázky je možné zmenšiť bez toho, aby sa objavili pixelácie (zlá kvalita obrazu – veľké štvorce). Proces kompresie však trvá dlho a niekedy trvá aj hodiny. Algoritmus stratového balenia fraktálov vám umožňuje nastaviť úroveň kompresie podobne ako vo formáte jpeg. Algoritmus je založený na hľadaní veľkých častí obrazu, ktoré sú podobné niektorým malým častiam. A do výstupného súboru sa zapíše len to, ktorý kus je tomu podobný. Pri kompresii sa zvyčajne používa štvorcová mriežka (kusy sú štvorce), čo vedie k miernemu hranatosti pri obnove obrazu, šesťuholníková mriežka túto nevýhodu nemá.

Iterated vyvinul nový obrazový formát „Sting“, ktorý kombinuje fraktálovú a „vlnovú“ (napríklad jpeg) bezstratovú kompresiu. Nový formát umožňuje vytvárať obrázky s možnosťou následného kvalitného škálovania a objem grafických súborov je 15-20% objemu nekomprimovaných obrázkov.

V mechanike a fyzike Fraktály sa používajú kvôli ich jedinečnej vlastnosti opakovania obrysov mnohých prírodných objektov. Fraktály vám umožňujú aproximovať stromy, horské povrchy a trhliny s vyššou presnosťou ako aproximácie pomocou množín segmentov alebo polygónov (s rovnakým množstvom uložených údajov). Fraktálne modely, podobne ako prírodné objekty, majú „drsnosť“ a táto vlastnosť je zachovaná bez ohľadu na to, aké veľké je zväčšenie modelu. Prítomnosť jednotnej miery na fraktáloch umožňuje aplikovať integráciu, teóriu potenciálu a použiť ich namiesto štandardných objektov v už študovaných rovniciach.

T
Používa sa aj fraktálna geometria navrhovanie anténnych zariadení. Prvýkrát to využil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Cohen vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a potom ho nalepil na kus papiera a potom ho pripevnil k prijímaču. Ukázalo sa, že takáto anténa nefunguje horšie ako bežná. A hoci fyzikálne princípy takejto antény ešte neboli preskúmané, Cohenovi to nezabránilo v založení vlastnej spoločnosti a spustení ich sériovej výroby. V súčasnosti americká spoločnosť „Fractal Antenna System“ vyvinula nový typ antény. Teraz môžete prestať používať mobilné telefóny vyčnievajúce externé antény. Takzvaná fraktálna anténa je umiestnená priamo na hlavnej doske vo vnútri zariadenia.

Existuje aj veľa hypotéz o využití fraktálov – fraktálne vlastnosti má napríklad aj lymfatický a obehový systém, pľúca a mnohé ďalšie.

Kapitola 5. Praktická práca.

Najprv sa pozrime na fraktály „Náhrdelník“, „Víťazstvo“ a „Štvorec“.

Najprv - "náhrdelník"(obr. 7). Iniciátorom tohto fraktálu je kruh. Tento kruh pozostáva z určitého počtu rovnakých kruhov, ale menších veľkostí, a sám je jedným z niekoľkých kruhov, ktoré sú rovnaké, ale väčších veľkostí. Vzdelávací proces je teda nekonečný a môže sa vykonávať v jednom aj v opačnom smere. Tie. postavu je možné zväčšiť zobratím len jedného malého oblúka alebo ju zmenšiť tak, že zvažujeme jej konštrukciu z menších.

ryža. 7.

Fraktálny "Náhrdelník"

Druhý fraktál je "víťazstvo"(obr. 8). Dostalo toto meno, pretože vyzerá ako latinské písmeno „V“, teda „víťazstvo“. Tento fraktál pozostáva z určitého počtu malých „vs“, ktoré tvoria jedno veľké „V“ a v ľavej polovici, v ktorej sú malé umiestnené tak, že ich ľavé polovice tvoria jednu priamku, pravá časť je postavený rovnakým spôsobom. Každé z týchto „v“ je zostavené rovnakým spôsobom a pokračuje v tomto donekonečna.

Obr.8. Fraktálne "víťazstvo"

Tretí fraktál je "Štvorec" (obr. 9). Každá jeho strana pozostáva z jedného radu buniek v tvare štvorcov, ktorých strany tiež predstavujú rady buniek atď.

Obr. 9. Fraktál „Štvorec“

Fraktál bol nazvaný „Ruža“ (obr. 10), kvôli jeho vonkajšej podobnosti s týmto kvetom. Konštrukcia fraktálu zahŕňa konštrukciu série sústredných kružníc, ktorých polomer sa mení v pomere k danému pomeru (v tomto prípade R m / R b = ¾ = 0,75.). Potom je do každého kruhu vpísaný pravidelný šesťuholník, ktorého strana sa rovná polomeru kruhu opísaného okolo neho.

Ryža. 11. Fraktál "Ruža *"

Ďalej sa obrátime na pravidelný päťuholník, v ktorom nakreslíme jeho uhlopriečky. Potom vo výslednom päťuholníku na priesečníku zodpovedajúcich segmentov opäť nakreslíme uhlopriečky. Pokračujme tento proces do nekonečna a dostaneme fraktál „Pentagram“ (obr. 12).

Zavedieme prvok kreativity a náš fraktál bude mať podobu viac vizuálneho objektu (obr. 13).

R
je. 12. Fraktál „Pentagram“.

Ryža. 13. Fraktál "Pentagram *"

Ryža. 14 fraktálov „Čierna diera“

Experiment č. 1 „Strom“

Teraz, keď som pochopil, čo je fraktál a ako ho zostaviť, som sa pokúsil vytvoriť si vlastné obrázky fraktálov. V Adobe Photoshop som vytvoril malý podprogram alebo akciu, zvláštnosťou tejto akcie je, že opakuje akcie, ktoré robím, a takto získam fraktál.

Na začiatok som vytvoril pozadie pre náš budúci fraktál s rozlíšením 600 x 600. Potom som na toto pozadie nakreslil 3 čiary - základ nášho budúceho fraktálu.

SĎalším krokom je napísanie skriptu.

duplikovať vrstvu ( vrstva > duplikát) a zmeňte typ miešania na " Obrazovka" .

Zavolajme mu" fr1". Skopírujte túto vrstvu (" fr1") ešte 2 krát.

Teraz musíme prejsť na poslednú vrstvu (fr3) a dvakrát ho zlúčte s predchádzajúcim ( Ctrl+E). Znížte jas vrstvy ( Obrázok > Úpravy > Jas/Kontrast , nastavený jas 50% ). Opäť sa spojte s predchádzajúcou vrstvou a orežte okraje celého výkresu, aby ste odstránili neviditeľné časti.

Posledným krokom bolo skopírovať tento obrázok a vložiť ho menší a otočený. Toto je konečný výsledok.

Záver

Táto práca je úvodom do sveta fraktálov. Uvažovali sme len o najmenšej časti toho, čo sú fraktály a na základe akých princípov sú postavené.

Fraktálna grafika nie je len súborom samoopakujúcich sa obrázkov, je to model štruktúry a princípu akejkoľvek existujúcej veci. Celý náš život predstavujú fraktály. Z nich pozostáva celá príroda okolo nás. Treba poznamenať, že fraktály sú široko používané v počítačových hrách, kde reliéfy terénu sú často fraktálne obrázky založené na trojrozmerné modely komplexné zostavy. Fraktály výrazne uľahčujú kreslenie počítačovej grafiky, pomocou fraktálov sa vytvára množstvo špeciálnych efektov, rôzne rozprávkové a neuveriteľné obrázky atď. Tiež stromy, oblaky, pobrežia a všetka iná príroda sú nakreslené pomocou fraktálnej geometrie. Fraktálna grafika je potrebná všade a vývoj „fraktálnych technológií“ je dnes jednou z dôležitých úloh.

V budúcnosti sa plánujem naučiť zostavovať algebraické fraktály, keď budem podrobnejšie študovať komplexné čísla. Chcem sa tiež pokúsiť vytvoriť si vlastné fraktálne obrázky v programovacom jazyku Pascal pomocou slučiek.

Treba poznamenať použitie fraktálov v počítačových technológií, nad rámec vytvárania krásnych obrázkov na obrazovke počítača. Fraktály vo výpočtovej technike sa používajú v nasledujúcich oblastiach:

1. Kompresia obrázkov a informácií

2. Skrytie informácií v obraze, zvuku,…

3. Šifrovanie údajov pomocou fraktálových algoritmov

4. Tvorba fraktálnej hudby

5. Modelovanie systému

Naša práca neuvádza všetky oblasti ľudského poznania, kde našla teória fraktálov svoje uplatnenie. Chceme len povedať, že od vzniku teórie neuplynulo viac ako tretina storočia, no počas tejto doby sa fraktály stali pre mnohých výskumníkov náhlym fenoménom. jasné svetlo v nociach, ktoré osvetľovali doteraz neznáme skutočnosti a vzorce v konkrétnych oblastiach údajov. Pomocou teórie fraktálov začali vysvetľovať vývoj galaxií a vývoj buniek, vznik hôr a vznik oblakov, pohyb cien na burze a vývoj spoločnosti a rodiny. Možno, že spočiatku bola táto vášeň pre fraktály až príliš intenzívna a pokusy vysvetliť všetko pomocou teórie fraktálov boli neopodstatnené. Ale táto teória má bezpochyby právo na existenciu a ľutujeme, že sa na ňu v poslednom čase akosi zabudlo a zostala súčasťou elity. Pri príprave tejto práce bolo pre nás veľmi zaujímavé nájsť aplikácie TEÓRIE v PRAXI. Pretože veľmi často existuje pocit, že teoretické vedomosti stoja mimo životnej reality.

Koncept fraktálov sa tak stáva nielen súčasťou „čistej“ vedy, ale aj prvkom univerzálnej ľudskej kultúry. Fraktálna veda je stále veľmi mladá a má pred sebou veľkú budúcnosť. Krása fraktálov nie je ani zďaleka vyčerpaná a stále nám poskytne mnoho majstrovských diel – tých, ktoré lahodia oku, aj tých, ktoré prinášajú skutočné potešenie do mysle.

10. Referencie

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktály a multifraktály. RHD 2001 .

Vitolin D. Aplikácia fraktálov v počítačovej grafike. // Počítačový svet-Rusko.-1995

Mandelbrot B. Sebaafinné sady fraktálov, „Fractals in Physics“. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody. - M.: "Ústav počítačového výskumu", 2002.

Morozov A.D. Úvod do teórie fraktálov. N. Novgorod: Vydavateľstvo Nižný Novgorod. Univerzita 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. - M.: "Mir", 1993.

Internetové zdroje

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html