IN predchádzajúca kapitola ukázalo sa, že výberom určitého súradnicového systému v rovine môžeme geometrické vlastnosti, ktorá charakterizuje body uvažovanej priamky, je vyjadrená analyticky rovnicou medzi aktuálnymi súradnicami. Tak dostaneme rovnicu priamky. Táto kapitola sa bude zaoberať rovnicami s priamkou.
Napísať rovnicu priamky Kartézske súradnice, musíte nejako nastaviť podmienky, ktoré určujú jeho polohu vzhľadom na súradnicové osi.
Najprv si predstavíme pojem uhlový koeficient priamky, ktorý je jednou z veličín charakterizujúcich polohu priamky v rovine.
Uhol sklonu priamky k osi Ox nazvime uhol, o ktorý je potrebné os Ox pootočiť tak, aby sa zhodovala s danou priamkou (alebo bola s ňou rovnobežná). Ako obvykle budeme uvažovať uhol s prihliadnutím na znamienko (znamienko je určené smerom otáčania: proti alebo v smere hodinových ručičiek). Pretože dodatočné otočenie osi Ox o uhol 180° ju opäť vyrovná s priamkou, uhol sklonu priamky k osi nemožno zvoliť jednoznačne (v rámci jedného členu, násobok ).
Tangent tohto uhla je určený jednoznačne (keďže zmenou uhla sa nemení jeho dotyčnica).
Tangenta uhla sklonu priamky k osi Ox sa nazýva uhlový koeficient priamky.
Uhlový koeficient charakterizuje smer priamky (vzájomne ich nerozlišujeme opačných smeroch rovné). Ak sklon rovno rovná nule, potom je priamka rovnobežná s osou x. Pri kladnom uhlovom koeficiente bude uhol sklonu priamky k osi Ox ostrý (tu uvažujeme o najmenšom kladná hodnota uhol sklonu) (obr. 39); Navyše, čím väčší je uhlový koeficient, tým väčší uhol jeho sklon k osi Ox. Ak je uhlový koeficient záporný, potom bude uhol sklonu priamky k osi Ox tupý (obr. 40). Všimnite si, že priamka kolmá na os Ox nemá uhlový koeficient (tangens uhla neexistuje).
Pokračovanie témy, rovnica priamky v rovine je založená na štúdiu priamky z hodín algebry. Tento článok poskytuje všeobecné informácie o téme rovnice priamky so sklonom. Uvažujme o definíciách, získajme samotnú rovnicu a identifikujme spojenie s inými typmi rovníc. Všetko sa bude diskutovať na príkladoch riešenia problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pred napísaním takejto rovnice je potrebné definovať uhol sklonu priamky k osi O x s ich uhlovým koeficientom. Predpokladajme, že je daný kartézsky súradnicový systém O x v rovine.
Definícia 1
uhol sklonu priamky k osi O x, nachádza sa v karteziánsky systém súradnice O x y v rovine, je to uhol, ktorý sa meria od kladného smeru O x k priamke proti smeru hodinových ručičiek.
Keď je čiara rovnobežná s Ox alebo sa v nej zhoduje, uhol sklonu je 0. Potom sa určí uhol sklonu danej priamky α na intervale [ 0 , π) .
Definícia 2
Priamy svah je dotyčnica uhla sklonu danej priamky.
Štandardné označenie je k. Z definície dostaneme, že k = t g α . Keď je čiara rovnobežná s Oxom, hovoria, že sklon neexistuje, pretože ide do nekonečna.
Sklon je kladný, keď sa graf funkcie zvyšuje a naopak. Obrázok ukazuje rôzne varianty umiestnenia pravý uhol vzhľadom na súradnicový systém s hodnotou koeficientu.
Nájsť daný uhol je potrebné aplikovať definíciu uhlového koeficientu a vypočítať tangentu uhla sklonu v rovine.
Riešenie
Z podmienky máme, že α = 120°. Podľa definície sa musí vypočítať sklon. Zistime to zo vzorca k = t g α = 120 = - 3.
odpoveď: k = - 3 .
Ak je známy uhlový koeficient a je potrebné nájsť uhol sklonu k osi x, potom by sa mala brať do úvahy hodnota uhlového koeficientu. Ak k > 0, potom je pravý uhol ostrý a nájdeme ho podľa vzorca α = a r c t g k. Ak k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Príklad 2
Určte uhol sklonu danej priamky k O x s uhlovým koeficientom 3.
Riešenie
Z podmienky máme, že uhlový koeficient je kladný, čo znamená, že uhol sklonu k O x je menší ako 90 stupňov. Výpočty sa robia pomocou vzorca α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odpoveď: α = a r c t g 3 .
Príklad 3
Nájdite uhol sklonu priamky k osi O x, ak sklon = -1 3.
Riešenie
Ak zoberieme písmeno k ako označenie uhlového koeficientu, tak α je uhol sklonu k danej priamke v kladnom smere O x. Preto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odpoveď: 5 π 6 .
Rovnica v tvare y = k x + b, kde k je sklon a b je nejaké reálne číslo, sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Rovnica je typická pre akúkoľvek priamku, ktorá nie je rovnobežná s osou O y.
Ak podrobne zvážime priamku v rovine v pevnom súradnicovom systéme, ktorá je určená rovnicou s uhlovým koeficientom, ktorá má tvar y = k x + b. IN v tomto prípade znamená, že rovnica zodpovedá súradniciam ktoréhokoľvek bodu na priamke. Ak dosadíme súradnice bodu M, M 1 (x 1, y 1) do rovnice y = k x + b, tak v tomto prípade bude priamka prechádzať týmto bodom, inak bod do priamky nepatrí.
Príklad 4
Je daná priamka so sklonom y = 1 3 x - 1. Vypočítajte, či body M 1 (3, 0) a M 2 (2, - 2) patria danej priamke.
Riešenie
Do danej rovnice je potrebné dosadiť súradnice bodu M 1 (3, 0), potom dostaneme 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Rovnosť je pravdivá, čo znamená, že bod patrí k čiare.
Ak dosadíme súradnice bodu M 2 (2, - 2), dostaneme nesprávnu rovnosť tvaru - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Môžeme konštatovať, že bod M 2 nepatrí do priamky.
odpoveď: M 1 patrí do radu, ale M 2 nie.
Je známe, že priamka je definovaná rovnicou y = k · x + b, prechádzajúcou cez M 1 (0, b), pri dosadení dostaneme rovnosť tvaru b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z toho môžeme usúdiť, že rovnica priamky s uhlovým koeficientom y = k x + b v rovine definuje priamku, ktorá prechádza bodom 0, b. S kladným smerom osi O x zviera uhol α, kde k = t g α.
Uvažujme ako príklad priamku definovanú pomocou uhlového koeficientu špecifikovaného v tvare y = 3 x - 1. Dostaneme, že priamka bude prechádzať bodom so súradnicou 0, - 1 so sklonom α = a r c t g 3 = π 3 radiánov v kladnom smere osi O x. To ukazuje, že koeficient je 3.
Rovnica priamky so sklonom prechádzajúcim daným bodom
Je potrebné vyriešiť úlohu, kde je potrebné získať rovnicu priamky s daným sklonom prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1).
Rovnosť y 1 = k · x + b môžeme považovať za platnú, keďže priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1). Na odstránenie čísla b je potrebné zľava a pravé časti odpočítajte sklonovú rovnicu. Z toho vyplýva, že y - y 1 = k · (x - x 1) . Táto rovnosť sa nazýva rovnica priamky s daným sklonom k, prechádzajúcej súradnicami bodu M 1 (x 1, y 1).
Príklad 5
Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M 1 so súradnicami (4, - 1), s uhlovým koeficientom rovným - 2.
Riešenie
Podľa podmienky máme, že x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odtiaľ bude rovnica priamky napísaná takto: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odpoveď: y = -2 x + 7.
Príklad 6
Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom, ktorá prechádza bodom M 1 so súradnicami (3, 5), rovnobežnou s priamkou y = 2 x - 2.
Riešenie
Podmienkou máme, že rovnobežné čiary majú rovnaké uhly sklonu, čo znamená, že uhlové koeficienty sú rovnaké. Ak chcete nájsť svah z daná rovnica, treba si to zapamätať základný vzorec y = 2 x - 2, z toho vyplýva, že k = 2. Vytvoríme rovnicu s koeficientom sklonu a dostaneme:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odpoveď: y = 2 x - 1 .
Prechod z rovnej priamky so sklonom k iným typom rovníc priamky a späť
Táto rovnica nie je vždy použiteľná na riešenie problémov, pretože nie je príliš vhodne napísaná. Ak to chcete urobiť, musíte ho prezentovať v inej forme. Napríklad rovnica tvaru y = k · x + b nám neumožňuje zapísať súradnice smerového vektora priamky ani súradnice normálového vektora. Aby ste to dosiahli, musíte sa naučiť reprezentovať pomocou rovníc iného typu.
Môžeme dostať kanonická rovnica priamka na rovine pomocou rovnice priamky s koeficientom sklonu. Dostaneme x - x 1 a x = y - y 1 a y . Je potrebné presunúť termín b na ľavá strana a vydeliť vyjadrením výslednej nerovnosti. Potom dostaneme rovnicu v tvare y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Rovnica priamky so sklonom sa stala kanonickou rovnicou tejto priamky.
Príklad 7
Uveďte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom y = - 3 x + 12 do kanonickej podoby.
Riešenie
Vypočítajme a prezentujme ju vo forme kanonickej rovnice priamky. Dostaneme rovnicu v tvare:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpoveď: x 1 = y - 12 - 3.
Všeobecnú rovnicu priamky je najjednoduchšie získať z y = k · x + b, ale na to je potrebné vykonať transformácie: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Prechod je vytvorený z všeobecná rovnica priamka na rovnice iného typu.
Príklad 8
Daná priama rovnica tvaru y = 1 7 x - 2 . Zistite, či vektor so súradnicami a → = (- 1, 7) je normálny čiarový vektor?
Riešenie
Na vyriešenie je potrebné prejsť na inú formu tejto rovnice, preto píšeme:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficienty pred premennými sú súradnice normálového vektora priamky. Zapíšme si to takto: n → = 1 7, - 1, teda 1 7 x - y - 2 = 0. Je jasné, že vektor a → = (- 1, 7) je kolineárny s vektorom n → = 1 7, - 1, keďže máme spravodlivý vzťah a → = - 7 · n →. Z toho vyplýva, že pôvodný vektor a → = - 1, 7 je normálový vektor priamky 1 7 x - y - 2 = 0, čo znamená, že sa považuje za normálový vektor pre priamku y = 1 7 x - 2.
odpoveď: Je
Poďme vyriešiť inverzný problém tohto.
Je potrebné prejsť od všeobecného tvaru rovnice A x + B y + C = 0, kde B ≠ 0, k rovnici s uhlovým koeficientom. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu pre y. Dostaneme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .
Výsledkom je rovnica so sklonom rovným -A B.
Príklad 9
Je daná priama rovnica v tvare 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Získajte rovnicu danej priamky s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Na základe podmienky je potrebné vyriešiť pre y, potom dostaneme rovnicu v tvare:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpoveď: y = 1 6 x + 1 4 .
Podobným spôsobom sa rieši rovnica tvaru x a + y b = 1, ktorá sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, príp. kanonický typ x - x 1 a x = y - y 1 a y . Musíme to vyriešiť pre y, až potom dostaneme rovnicu so sklonom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonická rovnica môže byť zredukovaná na formu s uhlovým koeficientom. Pre to:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x x x - a y a x x x 1 + y 1
Príklad 10
Existuje priamka daná rovnicou x 2 + y - 3 = 1. Redukujte na formu rovnice s uhlovým koeficientom.
Riešenie.
Na základe podmienky je potrebné transformovať, potom dostaneme rovnicu v tvare _vzorec_. Obidve strany rovnice sa musia vynásobiť -3, aby sa získala požadovaná rovnica sklonu. Transformáciou dostaneme:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odpoveď: y = 3 2 x - 3.
Príklad 11
Rovnicu priamky tvaru x - 2 2 = y + 1 5 zredukujte na tvar s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Je potrebné vypočítať výraz x - 2 2 = y + 1 5 ako podiel. Dostaneme, že 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz ho musíte úplne povoliť, aby ste to urobili:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 r + 2 ⇔ 2 r = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpoveď: y = 5 2 x - 6 .
Na vyriešenie takýchto problémov by sa parametrické rovnice priamky v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ mali zredukovať na kanonickú rovnicu priamky, až potom možno prejsť na rovnicu s sklonový koeficient.
Príklad 12
Nájdite sklon čiary, ak je daný parametrické rovnice x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Riešenie
Musíte prejsť z parametrický typ na svah. Na tento účel nájdeme kanonickú rovnicu z danej parametrickej rovnice:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz je potrebné vyriešiť túto rovnosť vzhľadom na y, aby sme dostali rovnicu priamky s uhlovým koeficientom. Ak to chcete urobiť, napíšme to takto:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Z toho vyplýva, že sklon čiary je 2. Toto je napísané ako k = 2.
odpoveď: k = 2.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Priamka y=f(x) sa bude dotýkať grafu znázorneného na obrázku v bode x0, ak prechádza bodom so súradnicami (x0; f(x0)) a má uhlový koeficient f"(x0). Nájdite takýto koeficient, Poznať vlastnosti dotyčnice, nie je to ťažké.
Budete potrebovať
- - matematická referenčná kniha;
- - jednoduchá ceruzka;
- - notebook;
- - uhlomer;
- - kompas;
- - pero.
Inštrukcie
Ak hodnota f‘(x0) neexistuje, potom buď neexistuje dotyčnica, alebo prebieha vertikálne. Z tohto hľadiska je prítomnosť derivácie funkcie v bode x0 spôsobená existenciou nevertikálnej dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x0, f(x0)). V tomto prípade bude uhlový koeficient dotyčnice rovný f "(x0). Je teda jasné geometrický význam derivácia – výpočet sklonu dotyčnice.
Nakreslite ďalšie dotyčnice, ktoré by boli v kontakte s grafom funkcie v bodoch x1, x2 a x3, a tiež označte uhly, ktoré tieto dotyčnice zvierajú s osou x (tento uhol sa počíta v kladnom smere od osi k dotyčnica). Napríklad uhol, to znamená a1, bude ostrý, druhý (a2) bude tupý a tretí (a3) bude nula, pretože dotyčnica je rovnobežná s osou OX. V tomto prípade dotyčnica Tupý uhol– zápor, dotyčnica ostrý uhol je kladné a pri tg0 je výsledok nula.
Poznámka
Správne určte uhol, ktorý tvorí dotyčnica. Ak to chcete urobiť, použite uhlomer.
Dve naklonené čiary budú rovnobežné, ak sa ich uhlové koeficienty navzájom rovnajú; kolmá, ak sa súčin uhlových koeficientov týchto dotyčníc rovná -1.
Zdroje:
- Tangenta ku grafu funkcie
Kosínus, podobne ako sínus, je klasifikovaný ako „priama“ goniometrická funkcia. Tangenta (spolu s kotangensom) je klasifikovaná ako ďalší pár nazývaný „deriváty“. Existuje niekoľko definícií týchto funkcií, ktoré umožňujú nájsť dotyčnicu danú pomocou známa hodnota kosínus rovnakej hodnoty.
Inštrukcie
Odčítajte kvocient jednej od kosínusu daný uhol, a extrahujte druhú odmocninu z výsledku - to bude tangensová hodnota uhla vyjadrená jeho kosínusom: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Upozorňujeme, že vo vzorci je kosínus v menovateli zlomku. Nemožnosť delenia nulou vylučuje použitie tohto výrazu pre uhly rovné 90°, ako aj tie, ktoré sa od tejto hodnoty líšia číslami, ktoré sú násobkami 180° (270°, 450°, -90° atď.).
Existuje alternatívny spôsob výpočtu dotyčnice zo známej hodnoty kosínusu. Môže sa použiť, ak neexistujú žiadne obmedzenia na používanie iných. Ak chcete implementovať túto metódu, najskôr určte hodnotu uhla zo známej hodnoty kosínusu - to je možné vykonať pomocou funkcie arc cosine. Potom jednoducho vypočítajte dotyčnicu pre uhol výslednej hodnoty. IN všeobecný pohľad tento algoritmus možno napísať takto: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
Existuje aj exotická možnosť využívajúca definíciu kosínusu a dotyčnice cez ostré uhly pravouhlého trojuholníka. V tejto definícii kosínus zodpovedá pomeru dĺžky nohy susediacej s uvažovaným uhlom k dĺžke prepony. Keď poznáte hodnotu kosínusu, môžete vybrať zodpovedajúce dĺžky týchto dvoch strán. Napríklad, ak cos(α) = 0,5, potom susedná môže byť považovaná za rovnú 10 cm a prepona - 20 cm. Na konkrétnych číslach tu nezáleží - dostanete rovnaké a správne čísla s akýmikoľvek hodnotami, ktoré majú rovnaké. Potom pomocou Pytagorovej vety určite dĺžku chýbajúcej strany - opačná noha. Bude to rovné odmocnina z rozdielu dĺžok druhej mocniny prepony a slávna noha: √(20²-10²)=√300. Podľa definície dotyčnica zodpovedá pomeru dĺžok protiľahlých a susedných ramien (√300/10) - vypočítajte to a získajte hodnotu dotyčnice zistenú pomocou klasická definícia kosínus.
Zdroje:
- kosínus cez tangentový vzorec
Jeden z goniometrické funkcie, najčastejšie sa označuje písmenami tg, hoci sa vyskytujú aj označenia tan. Najjednoduchší spôsob vyjadrenia dotyčnice je sínusový pomer uhol na jeho kosínus. Je to zvláštne periodické a nie nepretržitá funkcia, ktorých každý cyklus rovná sa číslu Pi a bod zlomu zodpovedá polovici tohto čísla.
V matematike jeden z parametrov popisujúcich polohu priamky na Kartézska rovina súradnice je sklon tejto čiary. Tento parameter charakterizuje sklon priamky k osi x. Aby ste pochopili, ako nájsť sklon, najprv si spomeňte na všeobecný tvar rovnice priamky v súradnicovom systéme XY.
Vo všeobecnosti môže byť akákoľvek priamka reprezentovaná výrazom ax+by=c, kde a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla, ale nevyhnutne a 2 + b 2 ≠ 0.
Pomocou jednoduchých transformácií možno takúto rovnicu dostať do tvaru y=kx+d, v ktorom k a d sú reálne čísla. Číslo k je sklon a rovnica priamky tohto typu sa nazýva rovnica so sklonom. Ukazuje sa, že na nájdenie uhlového koeficientu stačí priniesť pôvodná rovnica k vyššie uvedenému typu. Pre lepšie pochopenie zvážte konkrétny príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 36x - 18y = 108
Riešenie: Transformujme pôvodnú rovnicu.
Odpoveď: Požadovaný sklon tejto čiary je 2.
Ak sme pri transformácii rovnice dostali výraz ako x = const a v dôsledku toho nemôžeme reprezentovať y ako funkciu x, potom máme čo do činenia s priamkou rovnobežnou s osou X priamka sa rovná nekonečnu.
Pre priamky vyjadrené rovnicou ako y = const je sklon nulový. To je typické pre priame čiary rovnobežné s osou x. Napríklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Riešenie: Uveďme pôvodnú rovnicu do jej všeobecného tvaru
24x + 12r - 12r + 28 = 4
Z výsledného výrazu nie je možné vyjadriť y, preto sa uhlový koeficient tejto priamky rovná nekonečnu a priamka samotná bude rovnobežná s osou Y.
Geometrický význam
Pre lepšie pochopenie sa pozrime na obrázok:
Na obrázku vidíme graf funkcie ako y = kx. Pre zjednodušenie zoberme koeficient c = 0. V trojuholníku OAB bude pomer strany BA k AO rovný uhlovému koeficientu k. Pomer VA/AO je zároveň tangensom ostrého uhla α in správny trojuholník OAV. Ukazuje sa, že uhlový koeficient priamky sa rovná dotyčnici uhla, ktorý táto priamka zviera so súradnicovou osou súradnicovej siete.
Pri riešení problému, ako nájsť uhlový koeficient priamky, nájdeme dotyčnicu uhla medzi ňou a osou X súradnicovej siete. Hraničné prípady, keď je príslušná čiara rovnobežná so súradnicovými osami, potvrdzujú vyššie uvedené. Skutočne, pre priamku opísanú rovnicou y=const je uhol medzi ňou a osou x nula. Tangenta nulového uhla je tiež nula a sklon je tiež nulový.
Pre priamky kolmé na os x a opísané rovnicou x=konšt. je uhol medzi nimi a osou X 90 stupňov. Tangenta pravého uhla sa rovná nekonečnu a uhlový koeficient podobných priamok je tiež rovný nekonečnu, čo potvrdzuje to, čo bolo napísané vyššie.
Tangentový sklon
Častou úlohou, s ktorou sa v praxi často stretávame, je tiež nájsť sklon dotyčnice ku grafu funkcie v určitom bode. Dotyčnica je priamka, preto sa na ňu vzťahuje aj pojem sklon.
Aby sme zistili, ako nájsť sklon dotyčnice, budeme si musieť pripomenúť pojem derivácie. Derivácia ľubovoľnej funkcie v určitom bode je konštanta, ktorá sa číselne rovná dotyčnici uhla, ktorý je vytvorený medzi dotyčnicou v zadanom bode ku grafu tejto funkcie a osou x. Ukazuje sa, že na určenie uhlového koeficientu dotyčnice v bode x 0 musíme vypočítať hodnotu derivácie pôvodnej funkcie v tomto bode k = f"(x 0). Pozrime sa na príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky dotyčnice k funkcii y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.
Riešenie: Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie vo všeobecnom tvare
y"(0,1) = 24, 0,1 + 2, 0,1. e 0,1 + 2, e 0,1
Odpoveď: Požadovaný sklon v bode x = 0,1 je 4,831
Svah je rovný. V tomto článku sa pozrieme na problémy súvisiace so súradnicovou rovinou zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Sú to úlohy pre:
— určenie uhlového koeficientu priamky, keď sú známe dva body, ktorými prechádza;
— určenie úsečky alebo ordináty priesečníka dvoch priamok v rovine.
Aká je os a ordináta bodu, bolo popísané v tejto časti. V ňom sme už uvažovali o niekoľkých problémoch súvisiacich so súradnicovou rovinou. Čomu musíte rozumieť pre daný typ problému? Trochu teórie.
Rovnica priamky na súradnicová rovina má tvar:
Kde k – toto je sklon čiary.
Ďalší moment! Priamy svah rovná sa dotyčnici uhol sklonu priamky. Toto je uhol medzi danou čiarou a osouOh.
Pohybuje sa od 0 do 180 stupňov.
Teda ak rovnicu priamky zredukujeme na tvar r = kx + b, potom vždy vieme určiť koeficient k (koeficient sklonu).
Taktiež, ak na základe podmienky vieme určiť tangens uhla sklonu priamky, tak tým nájdeme jej uhlový koeficient.
Ďalší teoretický bod!Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body.Vzorec vyzerá takto:
Pozrime sa na problémy (podobné problémom z otvorená bankaúlohy):
Nájdite sklon priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami (–6;0) a (0;6).
V tomto probléme najviac racionálnym spôsobom Riešením je nájsť dotyčnicu uhla medzi osou x a danou priamkou. Je známe, že sa rovná sklonu. Uvažujme pravouhlý trojuholník tvorený priamkou a osami x a oy:
Tangenta uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane:
*Obe nohy sa rovnajú šiestim (toto sú ich dĺžky).
určite, túto úlohu možno vyriešiť pomocou vzorca na nájdenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Ale toto bude dlhšie riešenie.
odpoveď: 1
Nájdite sklon priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami (5;0) a (0;5).
Naše body majú súradnice (5;0) a (0;5). znamená,
Prenesieme vzorec do formulára r = kx + b
Zistili sme, že svah k = – 1.
Odpoveď: -1
Rovno a prechádza bodmi so súradnicami (0;6) a (8;0). Rovno b prechádza bodom so súradnicami (0;10) a je rovnobežná s priamkou a b s nápravou oh.
V tejto úlohe môžete nájsť rovnicu priamky a, určiť pre to sklon. Na priamke b sklon bude rovnaký, keďže sú rovnobežné. Ďalej nájdete rovnicu priamky b. A potom dosadením hodnoty y = 0 nájdite úsečku. ALE!
V tomto prípade je jednoduchšie použiť vlastnosť podobnosti trojuholníkov.
Pravouhlé trojuholníky tvorené týmito (rovnobežnými) čiarami a súradnicovými osami sú podobné, čo znamená, že pomery ich zodpovedajúcich strán sú rovnaké.
Požadovaná úsečka je 40/3.
Odpoveď: 40/3
Rovno a prechádza bodmi so súradnicami (0;8) a (–12;0). Rovno b prechádza bodom so súradnicami (0; –12) a je rovnobežná s priamkou a. Nájdite úsečku priesečníka priamky b s nápravou oh.
Pre tento problém je najracionálnejším spôsobom jeho riešenia použiť vlastnosť podobnosti trojuholníkov. My to ale vyriešime inak.
Poznáme body, ktorými úsečka prechádza A. Môžeme napísať rovnicu pre priamku. Vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi má tvar:
Podľa podmienky majú body súradnice (0;8) a (–12;0). znamená,
Pripomeňme si to r = kx + b:
Mám ten roh k = 2/3.
*Koeficient uhla možno nájsť prostredníctvom dotyčnice uhla v pravouhlom trojuholníku s nohami 8 a 12.
Je známe, že rovnobežné čiary majú rovnaké uhlové koeficienty. To znamená, že rovnica priamky prechádzajúcej bodom (0;-12) má tvar:
Nájdite hodnotu b môžeme dosadiť úsečku a ordinátu do rovnice:
Priama čiara teda vyzerá takto:
Teraz, aby ste našli požadovanú úsečku priesečníka priamky s osou x, musíte nahradiť y = 0:
odpoveď: 18
Nájdite súradnicu priesečníka osi oh a priamka prechádzajúca bodom B(10;12) a rovnobežná s priamkou prechádzajúcou počiatkom a bodom A(10;24).
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami (0;0) a (10;24).
Vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi má tvar:
Naše body majú súradnice (0;0) a (10;24). znamená,
Pripomeňme si to r = kx + b
Uhlové koeficienty rovnobežných čiar sú rovnaké. To znamená, že rovnica priamky prechádzajúcej bodom B(10;12) má tvar:
Význam b Nájdeme dosadením súradníc bodu B(10;12) do tejto rovnice:
Dostali sme rovnicu priamky:
Ak chcete nájsť ordinátu priesečníka tejto priamky s osou OU treba dosadiť do nájdenej rovnice X= 0:
*Najjednoduchšie riešenie. S pomocou paralelný prenos posuňte túto čiaru nadol pozdĺž osi OU k bodu (10;12). Posun nastáva o 12 jednotiek, čiže bod A(10;24) sa „presunul“ do bodu B(10;12) a bod O(0;0) sa „presunul“ do bodu (0;–12). To znamená, že výsledná priamka bude pretínať os OU v bode (0;–12).
Požadovaná súradnica je –12.
Odpoveď: -12
Nájdite súradnicu priesečníka priamky, daný rovnicou
3x + 2u = 6, s os Oj.
Súradnica priesečníka danej priamky s osou OU má tvar (0; pri). Dosadíme do rovnice úsečku X= 0 a nájdite súradnicu:
Ordináta priesečníka priamky a osi OU rovná sa 3.
* Systém je vyriešený:
odpoveď: 3
Nájdite súradnicu priesečníka priamok daných rovnicami
3x + 2 roky = 6 A y = – x.
Keď sú zadané dve čiary a otázkou je nájsť súradnice priesečníka týchto čiar, je vyriešený systém týchto rovníc:
V prvej rovnici dosadíme - X namiesto pri:
Súradnica sa rovná mínus šesť.
odpoveď: – 6
Nájdite sklon priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami (–2;0) a (0;2).
Nájdite sklon priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami (2;0) a (0;2).
Čiara a prechádza bodmi so súradnicami (0;4) a (6;0). Priamka b prechádza bodom so súradnicami (0;8) a je rovnobežná s priamkou a. Nájdite úsečku priesečníka priamky b s osou Ox.
Nájdite súradnicu priesečníka osi oy a priamky prechádzajúcej bodom B (6;4) a rovnobežnej s priamkou prechádzajúcou počiatkom a bodom A (6;8).
1. Je potrebné jasne pochopiť, že uhlový koeficient priamky sa rovná dotyčnici uhla sklonu priamky. To vám pomôže pri riešení mnohých problémov tohto typu.
2. Treba pochopiť vzorec na nájdenie priamky prechádzajúcej cez dva dané body. S jeho pomocou vždy nájdete rovnicu priamky, ak sú uvedené súradnice jej dvoch bodov.
3. Pamätajte, že sklony rovnobežných čiar sú rovnaké.
4. Ako viete, v niektorých problémoch je vhodné použiť test podobnosti trojuholníkov. Problémy sa riešia prakticky ústne.
5. Je možné vyriešiť úlohy, v ktorých sú dané dve priamky a je potrebné nájsť úsečku alebo ordinátu ich priesečníka. graficky. To znamená, že ich postavte na súradnicovú rovinu (na hárku papiera vo štvorci) a vizuálne určte priesečník. *Táto metóda však nie je vždy použiteľná.
6. A naposledy. Ak je uvedená priamka a súradnice jej priesečníkov so súradnicovými osami, potom je v takýchto problémoch vhodné nájsť uhlový koeficient nájdením tangens uhla vo vytvorenom pravouhlom trojuholníku. Ako „vidieť“ tento trojuholník, keď rôzne lokality priame čiary v rovine sú schematicky znázornené nižšie:
>> Priamy uhol od 0 do 90 stupňov<<
>> Priamy uhol sklonu od 90 do 180 stupňov<<
To je všetko. Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.
