Ktoré sú už dosť nudné. A mám pocit, že nastala chvíľa, keď je čas vyťažiť zo strategických zásob teórie nové konzervy. Je možné rozšíriť funkciu do série nejakým iným spôsobom? Vyjadrite napríklad priamku pomocou sínusov a kosínusov? Zdá sa to neuveriteľné, ale také zdanlivo vzdialené funkcie môžu byť
„znovu zjednotenie“. Okrem známych titulov v teórii a praxi existujú aj iné prístupy k rozšíreniu funkcie do série.
Zapnuté túto lekciu Zoznámime sa s trigonometrickým Fourierovým radom, dotkneme sa problematiky jeho konvergencie a súčtu a samozrejme rozoberieme početné príklady expanzie funkcií vo Fourierových radoch. Úprimne som chcel tento článok nazvať „Fourierova séria pre figuríny“, ale bolo by to neúprimné, pretože riešenie problémov by si vyžadovalo znalosť iných odvetví matematickej analýzy a určité praktické skúsenosti. Preto bude preambula pripomínať výcvik astronautov =)
Po prvé, mali by ste pristupovať k štúdiu materiálov stránky vo vynikajúcej forme. Ospalý, oddýchnutý a triezvy. Bez silné emócie o zlomenú labku škrečka a obsedantné myšlienky o ťažkostiach života akvarijné ryby. Fourierov rad však nie je ťažké pochopiť praktické úlohy jednoducho vyžadujú zvýšená koncentrácia pozornosť – v ideálnom prípade by ste sa mali úplne odpútať od vonkajších podnetov. Situáciu zhoršuje skutočnosť, že neexistuje jednoduchý spôsob, ako skontrolovať riešenie a odpoveď. Ak je teda vaše zdravie podpriemerné, je lepšie urobiť niečo jednoduchšie. Je to pravda.
Po druhé, pred letom do vesmíru si musíte preštudovať prístrojovú dosku vesmírna loď. Začnime s hodnotami funkcií, na ktoré treba kliknúť na stroji:
Pre akékoľvek prírodná hodnota :
1). V skutočnosti sínusoida „prešíva“ os x cez každé „pí“:
. Kedy záporné hodnoty argument, výsledok bude samozrejme rovnaký: .
2). Ale nie každý to vedel. Kosínus „pí“ je ekvivalentom „blikača“:
Negatívny argument na veci nič nemení: 
.
Snáď to stačí.
A do tretice, milý kozmonautský zbor, musíte byť schopný... integrovať.
Najmä sebavedomo priraďte funkciu pod diferenciálne znamienko, integrovať po kúskoch a byť v pokoji s Newtonov-Leibnizov vzorec. Začnime s dôležitými predletovými cvičeniami. Kategoricky neodporúčam preskočiť, aby som sa neskôr nezmlátil v stave beztiaže:
Príklad 1
Vypočítajte určité integrály
kde berie prírodné hodnoty.
Riešenie: integrácia sa vykonáva nad premennou „x“ av tomto štádiu sa diskrétna premenná „en“ považuje za konštantu. Vo všetkých integráloch dajte funkciu pod diferenciálne znamienko:
Krátka verzia riešenia, na ktorú by bolo dobré zacieliť, vyzerá takto:
Zvykajme si:
Zostávajúce štyri body sú na vás. Skúste pristupovať k úlohe svedomito a integrály píšte v skratke. Vzorové riešenia na konci lekcie.
Po vykonaní cvikov KVALITA si oblečieme skafandre
a pripravte sa na štart!
Rozšírenie funkcie do Fourierovho radu na intervale
Uvažujme o nejakej funkcii určený aspoň na určitý čas (a možno aj na dlhšie obdobie). Ak je táto funkcia integrovateľná na intervale, môže sa rozšíriť na trigonometrické Fourierov rad:
, kde sú tzv Fourierove koeficienty.
V tomto prípade sa volá číslo obdobie rozkladu, a číslo je polčas rozpadu.
Je zrejmé, že v všeobecný prípad Fourierov rad pozostáva zo sínusov a kosínusov: 
Skutočne, napíšme si to podrobne:
Nultý člen radu sa zvyčajne píše v tvare .
Fourierove koeficienty sa vypočítajú pomocou nasledujúce vzorce:
Veľmi dobre chápem, že tým, ktorí začínajú študovať túto tému, stále nie sú jasné nové pojmy: obdobie rozkladu, polovičný cyklus, Fourierove koeficienty atď. Neprepadajte panike, toto sa nedá porovnať so vzrušením pred odchodom von otvorený priestor. Poďme na to všetko v nasledujúcom príklade, pred vykonaním ktorého je logické položiť si niekoľko dôležitých otázok: praktické otázky:
Čo musíte urobiť v nasledujúcich úlohách?
Rozšírte funkciu do Fourierovho radu. Okrem toho je často potrebné zobraziť graf funkcie, graf súčtu radu, čiastkovú sumu a v prípade sofistikovaných profesorských fantázií urobte niečo iné.
Ako rozšíriť funkciu do Fourierovho radu?
V podstate musíte nájsť Fourierove koeficienty, teda zložiť a vypočítať tri určitý integrál.
Prepíšte si prosím všeobecný tvar Fourierovho radu a tri pracovné vzorce do zošita. Som veľmi rád, že niektorí návštevníci stránky realizujú svoj detský sen stať sa astronautom priamo pred mojimi očami =)
Príklad 2
Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale. Zostrojte graf, graf súčtu radu a čiastkového súčtu.
Riešenie: Prvou časťou úlohy je rozšírenie funkcie do Fourierovho radu.
Začiatok je štandardný, nezabudnite si zapísať, že:
V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné.
Rozšírme funkciu na Fourierov rad na intervale: 
Použitím zodpovedajúce vzorce, poďme nájsť Fourierove koeficienty. Teraz musíme zložiť a vypočítať tri určitý integrál. Pre pohodlie očíslujem body:
1) Prvý integrál je najjednoduchší, vyžaduje si však aj oči: 
2) Použite druhý vzorec:
Tento integrál je dobre známy a berie to kus po kuse: 
Používa sa pri nájdení metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko.
V posudzovanej úlohe je vhodnejšie okamžite použiť vzorec na integráciu po častiach do určitého integrálu 
:
Pár technických poznámok. Po prvé, po aplikácii vzorca celý výraz musí byť uzavretý vo veľkých zátvorkách, keďže pred pôvodným integrálom je konštanta. Nestraťme ju! Zátvorky je možné rozšíriť v akomkoľvek ďalšom kroku. Urobil som to ako poslednú možnosť. V prvom "kúsku" 
Pri substitúcii prejavujeme mimoriadnu starostlivosť, ako môžete vidieť, konštanta sa nepoužíva a limity integrácie sú nahradené do produktu. Táto akcia zvýraznené v hranatých zátvorkách. Nuž, integrál druhého „kúsku“ vzorca poznáte z tréningovej úlohy ;-)
A najdôležitejšia vec - limitná koncentrácia pozor!
3) Hľadáme tretí Fourierov koeficient:
Získa sa relatívna hodnota predchádzajúceho integrálu, čo je tiež integruje po kúskoch:
Tento prípad je trochu komplikovanejší, ďalšie kroky budem komentovať krok za krokom: 
(1) Výraz je úplne uzavretý vo veľkých zátvorkách. Nechcel som pôsobiť nudne, príliš často strácajú konštantu.
(2) V v tomto prípade Okamžite som otvoril tie veľké zátvorky. Osobitná pozornosť
Venujeme sa prvému „kúsku“: neustále fajčí bokom a nepodieľa sa na nahradzovaní hraníc integrácie (a ) do produktu. Kvôli neprehľadnosti nahrávky je opäť vhodné tento úkon zvýrazniť hranatými zátvorkami. S druhým "kúskom" 
všetko je jednoduchšie: tu sa zlomok objavil po otvorení veľkých zátvoriek a konštanta - ako výsledok integrácie známeho integrálu;-)
(3) Transformácie vykonávame v hranatých zátvorkách a do pravého integrálu dosadíme hranice integrácie.
(4) Vyberte „blikajúce svetlo“. hranaté zátvorky: , po ktorom otvoríme vnútorné zátvorky: .
(5) Rušíme 1 a –1 v zátvorkách a robíme konečné zjednodušenia.
Nakoniec sa našli všetky tri Fourierove koeficienty: 
Dosadíme ich do vzorca 
:
Zároveň nezabudnite rozdeliť na polovicu. V poslednom kroku sa konštanta („mínus dva“), ktorá nezávisí od „en“, dostane mimo súčtu.
Takto sme získali rozšírenie funkcie do Fourierovho radu na intervale: 
Pozrime sa na problematiku konvergencie Fourierovho radu. Vysvetlím najmä teóriu Dirichletova veta, doslova "na prstoch", takže ak potrebujete prísne formulácie, pozrite si učebnicu na matematická analýza (napríklad 2. diel Bohana; alebo 3. diel Fichtenholtza, ale je to ťažšie).
Druhá časť úlohy vyžaduje nakresliť graf, graf súčtu radu a graf čiastočného súčtu.
Graf funkcie je obvyklý priamka na rovine, ktorý je nakreslený čiernou bodkovanou čiarou: 
Poďme zistiť súčet série. Ako vieš, funkčná séria konvergovať k funkciám. V našom prípade skonštruovaný Fourierov rad 
pre akúkoľvek hodnotu "x" bude konvergovať k funkcii, ktorá je znázornená červenou farbou. Táto funkcia vydrží prietrže 1. druhu v bodoch, ale je v nich aj definovaný (červené bodky na výkrese)
takto: 
. Je ľahké vidieť, že sa výrazne líši od pôvodnej funkcie, preto v položke 
Namiesto znamienka rovnosti sa používa vlnovka.
Poďme študovať algoritmus, ktorý je vhodný na zostavenie súčtu radu.
Na centrálnom intervale Fourierov rad konverguje k samotnej funkcii (stredný červený segment sa zhoduje s čiernou bodkovanou čiarou lineárnej funkcie).
Teraz si povedzme trochu o povahe uvažovanej trigonometrickej expanzie. Fourierov rad 
zahŕňa iba periodické funkcie (konštanta, sínus a kosínus), teda súčet radu 
tiež predstavuje periodická funkcia
.
Čo to znamená v našom konkrétny príklad? A to znamená, že súčet série 
–nevyhnutne periodické a červený segment intervalu sa musí donekonečna opakovať vľavo a vpravo.
Myslím, že význam slovného spojenia „obdobie rozkladu“ je teraz konečne jasný. Zjednodušene povedané, zakaždým sa situácia opakuje znova a znova.
V praxi zvyčajne stačí znázorniť tri obdobia rozkladu, ako je to na výkrese. No a tiež „pahýly“ susedných období - aby bolo jasné, že graf pokračuje.
Zvláštny záujem prítomný body diskontinuity 1. druhu. V takýchto bodoch Fourierov rad konverguje k izolovaným hodnotám, ktoré sa nachádzajú presne v strede „skoku“ diskontinuity (červené bodky na výkrese). Ako zistiť súradnicu týchto bodov? Najprv nájdime súradnicu „najvyššieho poschodia“: aby sme to urobili, vypočítame hodnotu funkcie v bode úplne vpravo centrálne obdobie rozklad: . Ak chcete vypočítať ordinátu „dolného poschodia“, najjednoduchším spôsobom je vziať hodnotu úplne vľavo za rovnaké obdobie: 
. Ordináta priemeru je priemer aritmetický súčet"vrchol a úplný spodok": . Príjemným faktom je, že pri konštrukcii výkresu hneď uvidíte, či je stred vypočítaný správne alebo nesprávne.
Zostrojme čiastočný súčet radu a zároveň zopakujme význam pojmu „konvergencia“. Motív je známy aj z lekcie o súčet číselného radu. Opíšme naše bohatstvo podrobne:
Ak chcete zostaviť čiastkový súčet, musíte napísať nulu + ďalšie dva členy radu. teda
Na výkrese je znázornený graf funkcie zelená, a ako vidíte, celú sumu celkom pevne „obalí“. Ak vezmeme do úvahy čiastočný súčet piatich členov radu, potom graf tejto funkcie aproximuje červené čiary ešte presnejšie, ak existuje sto členov, potom sa „zelený had“ v skutočnosti úplne spojí s červenými segmentmi; atď. Fourierov rad teda konverguje k svojmu súčtu.
Je zaujímavé poznamenať, že akákoľvek čiastková suma je nepretržitá funkcia, avšak celkový súčet série je stále nesúvislý.
V praxi nie je také zriedkavé zostrojiť graf čiastočného súčtu. Ako to spraviť? V našom prípade je potrebné zvážiť funkciu na segmente, vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v medziľahlých bodoch (čím viac bodov zohľadníte, tým presnejší bude graf). Potom by ste mali označiť tieto body na výkrese a starostlivo nakresliť graf obdobia a potom ho „replikovať“ do susedných intervalov. Ako inak? Koniec koncov, aproximácia je tiež periodická funkcia... ...niektorým spôsobom mi jej graf pripomína plynulý srdcový rytmus na displeji lekárskeho zariadenia.
Uskutočnenie konštrukcie, samozrejme, nie je príliš pohodlné, pretože musíte byť veľmi opatrní a udržiavať presnosť nie menšiu ako pol milimetra. Poteším však čitateľov, ktorým kreslenie nevyhovuje - v „reálnom“ probléme nie je vždy potrebné vykonávať kreslenie asi v 50% prípadov je potrebné funkciu rozšíriť do Fourierovho radu a je to .
Po dokončení výkresu dokončíme úlohu:
Odpoveď: 
Pri mnohých úlohách funkcia trpí prietrž 1. druhu práve počas obdobia rozkladu:
Príklad 3
Rozšírte funkciu uvedenú na intervale do Fourierovho radu. Nakreslite graf funkcie a celkového súčtu radu.
Navrhovaná funkcia je špecifikovaná po častiach (a pozor, iba v segmente) a vydrží prietrž 1. druhu v bode . Je možné vypočítať Fourierove koeficienty? Žiaden problém. Ľavá aj pravá strana funkcie sú integrovateľné na svojich intervaloch, preto by integrály v každom z troch vzorcov mali byť reprezentované ako súčet dvoch integrálov. Pozrime sa napríklad, ako sa to robí pre nulový koeficient:
Druhý integrál sa ukázal byť rovná nule, čo znížilo prácu, no nie vždy to tak je.
Ďalšie dva Fourierove koeficienty sú opísané podobne.
Ako zobraziť súčet série? Na ľavom intervale nakreslíme priamku a na intervale priamku (časť osi zvýrazníme tučným písmom). To znamená, že na intervale rozšírenia sa súčet radu zhoduje s funkciou všade okrem troch „zlých“ bodov. V bode diskontinuity funkcie bude Fourierov rad konvergovať k izolovanej hodnote, ktorá sa nachádza presne v strede „skoku“ diskontinuity. Nie je ťažké to vidieť orálne: ľavostranný limit: , pravostranný limit: 
a samozrejme, ordináta stredu je 0,5.
Vzhľadom na periodicitu súčtu je potrebné obrázok „rozmnožiť“ do susedných období, najmä to isté musí byť znázornené na intervaloch a . Súčasne sa v bodoch Fourierov rad bude približovať k stredným hodnotám.
V skutočnosti tu nie je nič nové.
Skúste sa s touto úlohou vyrovnať sami. Približná vzorka konečný návrh a kresba na konci hodiny.
Rozšírenie funkcie do Fourierovho radu počas ľubovoľného obdobia
Pre ľubovoľnú dobu rozkladu, kde „el“ je ľubovoľné kladné číslo, vzorce Fourierovho radu a Fourierových koeficientov sa líšia v trochu komplikovanom argumente pre sínus a kosínus:
Ak , potom dostaneme intervalové vzorce, s ktorými sme začali.
Algoritmus a princípy riešenia problému sú úplne zachované, ale zvyšuje sa technická zložitosť výpočtov:
Príklad 4
Rozšírte funkciu na Fourierov rad a vykreslite súčet. 
Riešenie: vlastne analóg príkladu č. 3 s prietrž 1. druhu v bode . V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné. Funkcia je definovaná iba na polovičnom intervale, ale to nič nemení na veci - dôležité je, aby boli obe časti funkcie integrovateľné.
Rozšírme funkciu na Fourierov rad:
Keďže funkcia je na začiatku nespojitá, každý Fourierov koeficient by sa mal samozrejme zapísať ako súčet dvoch integrálov:
1) Prvý integrál napíšem čo najpodrobnejšie:
2) Pozorne sa pozrieme na povrch Mesiaca:
Druhý integrál ber to kus po kuse:
Čo hľadať venujte pozornosť, po tom, čo otvoríme pokračovanie riešenia hviezdičkou?
Po prvé, nestrácame prvý integrál 
, kde okamžite vykonáme prihlásenie k rozdielovému znamienku. Po druhé, nezabudnite na nešťastnú konštantu pred veľkými zátvorkami a nenechajte sa zmiasť znakmi pri použití vzorca 
. Veľké konzoly je stále pohodlnejšie otvárať hneď v ďalšom kroku.
Ostatné je vecou techniky, ťažkosti môžu spôsobiť len nedostatočné skúsenosti s riešením integrálov.
Áno, nie nadarmo známi kolegovia francúzsky matematik Fourier bol rozhorčený - ako sa opovažuje usporiadať funkcie trigonometrický rad?! =) Mimochodom, každého asi zaujíma praktický význam predmetnej úlohy. Pracoval na ňom sám Fourier matematický model tepelnej vodivosti a následne sa po ňom pomenovaná séria začala využívať na štúdium mnohých periodických procesov, ktoré sú v okolitom svete viditeľné i neviditeľné. Teraz, mimochodom, som sa pristihla pri myšlienke, že nie náhodou som porovnala graf druhého príkladu s periodickým rytmom srdca. Záujemcovia sa môžu zoznámiť praktické uplatnenie Fourierova transformácia v zdrojoch tretích strán. ...Aj keď je lepšie nie - bude si to pamätať ako Prvá láska =)
3) Vzhľadom na viackrát spomínané slabé odkazy pozrime sa na tretí koeficient:
Poďme integrovať po častiach: 
Nájdené Fourierove koeficienty dosadíme do vzorca 
, nezabudnite rozdeliť nulový koeficient na polovicu:
Nakreslíme súčet série. Stručne zopakujeme postup: na intervale zostrojíme priamku a na intervale priamku. Ak je hodnota „x“ nula, umiestnime bod do stredu „skoku“ medzery a „replikujeme“ graf pre susedné obdobia: 
Na „spojení“ období sa súčet bude rovnať aj stredom „skoku“ medzery.
Pripravený. Dovoľte mi pripomenúť, že samotná funkcia je podmienkou definovaná len na polovičnom intervale a samozrejme sa zhoduje so súčtom radov na intervaloch
Odpoveď:
Niekedy po častiach prebieha a prebieha nepretržite počas obdobia rozkladu. Najjednoduchší príklad: 
. Riešenie (pozri Bohan zväzok 2) rovnako ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch: napriek kontinuita funkcie v bode je každý Fourierov koeficient vyjadrený ako súčet dvoch integrálov.
Na intervale rozkladu body diskontinuity 1. druhu a/alebo v grafe môže byť viac „priečnych“ bodov (dva, tri a vo všeobecnosti akékoľvek Konečný množstvo). Ak je funkcia integrovateľná na každej časti, potom je tiež rozšíriteľná vo Fourierovom rade. Ale od praktická skúsenosť Takú krutosť si nepamätám. Existujú však aj náročnejšie úlohy, ako sú práve zvažované, a na konci článku sú odkazy na Fourierove série so zvýšenou komplexnosťou pre každého.
Medzitým sa uvoľnime, oprime sa o stoličky a rozjímajme nad nekonečným hviezdne rozlohy:
Príklad 5
Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale a vykreslite súčet radu.
V tomto probléme funkcia nepretržitý na expanznom polintervale, čo zjednodušuje riešenie. Všetko je veľmi podobné príkladu č.2. Z vesmírnej lode niet úniku - budete sa musieť rozhodnúť =) Približná vzorka dizajnu na konci hodiny, rozvrh je v prílohe.
Rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií
Pri párnych a nepárnych funkciách je proces riešenia problému výrazne zjednodušený. A preto. Vráťme sa k expanzii funkcie vo Fourierovom rade s periódou „dva pi“ 
A ľubovoľné obdobie"dva el" 
.
Predpokladajme, že naša funkcia je párna. Ako vidíte, všeobecný pojem série obsahuje párne kosínusy a nepárne sínusy. A ak rozširujeme párnu funkciu, tak prečo potrebujeme nepárne sínusy?! Vynulujme zbytočný koeficient: .
teda párna funkcia môže byť rozšírená vo Fourierovom rade iba v kosínoch:
Pretože integrály párnych funkcií pozdĺž integračného segmentu, ktorý je symetrický vzhľadom na nulu, možno zdvojnásobiť, potom sa zostávajúce Fourierove koeficienty zjednodušia.
Pre medzeru: 
Pre ľubovoľný interval: 
Príklady učebnice, ktoré možno nájsť v takmer každej učebnici matematickej analýzy, zahŕňajú rozšírenia párnych funkcií 
. Okrem toho som sa s nimi niekoľkokrát stretol v mojej osobnej praxi:
Príklad 6
Funkcia je daná. Požadovaný:
1) rozšírte funkciu na Fourierov rad s bodkou , kde je ľubovoľné kladné číslo;
2) zapíšte expanziu na intervale, zostrojte funkciu a nakreslite graf celkového súčtu radu.
Riešenie: v prvom odseku sa navrhuje riešiť problém v všeobecný pohľad, a je to veľmi pohodlné! Ak je to potrebné, jednoducho nahraďte svoju hodnotu.
1) V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné. Počas ďalšie akcie, najmä počas integrácie sa "el" považuje za konštantu
Funkcia je párna, čo znamená, že ju možno rozšíriť do Fourierovho radu iba v kosínoch: 
.
Fourierove koeficienty hľadáme pomocou vzorcov 
. Venujte pozornosť ich bezpodmienečným výhodám. Po prvé, integrácia sa vykonáva cez pozitívny segment rozšírenia, čo znamená, že sa modulu bezpečne zbavíme 
berúc do úvahy iba „X“ z dvoch kusov. A po druhé, integrácia je výrazne zjednodušená.
Dva: 
Poďme integrovať po častiach:
takto:
, zatiaľ čo konštanta , ktorá nezávisí od „en“, sa berie mimo súčtu.
Odpoveď: 
2) Napíšme expanziu na intervale, na tento účel v všeobecný vzorec náhrada požadovanú hodnotu polovičný cyklus:
Jeden zo silných prostriedkov na výskum problému matematická fyzika je metóda integrálnych transformácií. Nech je funkcia f(x) daná na intervale (a, 6), konečnom alebo nekonečnom. Integrálna transformácia funkcie f(x) je funkcia, kde K(x, w) je funkcia fixná pre danú transformáciu, nazývaná jadro transformácie (predpokladá sa, že integrál (*) existuje vo svojom vlastnom, resp. nesprávny zmysel). §1. Fourierov integrál Akákoľvek funkcia f(x), ktorá na intervale [-f, I] spĺňa podmienky rozšírenia do Fourierovho radu, môže byť na tomto intervale reprezentovaná goniometrickým radom a* a 6„ radu (. 1) sú určené Eulerovým-Fourierovým vzorcom: FOURIEROVÁ TRANSFORMÁCIA Fourierov integrál Komplexná forma integrálna Fourierova transformácia Kosínusová a sínusová transformácia Amplitúda a fázové spektrá Vlastnosti Aplikácie Séria na pravej strane rovnosti (1) môže byť napísaná v inej forme. Na tento účel do neho vložíme zo vzorcov (2) hodnoty koeficientov a" a op a dáme pod znamienka integrálov cos ^ x a sin x (čo je možné, pretože integračná premenná je m) O) a použite vzorec pre kosínus rozdielu. Budeme mať Ak funkcia /(g) bola pôvodne definovaná na intervale číselná os, väčší ako segment [-1,1] (napríklad na celej osi), potom expanzia (3) bude reprodukovať hodnoty tejto funkcie iba na segmente [-1,1] a bude pokračovať v celej číselná os ako periodická funkcia s periódou 21 (obr. 1). Ak je teda funkcia f(x) (všeobecne povedané, neperiodická) definovaná na celej číselnej osi, vo vzorci (3) možno skúsiť ísť do limity v I +oo. V tomto prípade je prirodzené vyžadovať splnenie nasledujúcich podmienok: 1. f(x) spĺňa podmienky rozložiteľnosti vo Fourierovom rade pri akomkoľvek záverečný segment os Ox\ 2. Funkcia f(x) je absolútne integrovateľná na celej číselnej osi Ak je splnená podmienka 2, prvý člen na pravej strane rovnosti (3) má tendenciu k nule ako I -* +oo. V skutočnosti sa pokúsme zistiť, na čo sa súčet na pravej strane (3) zmení v limite pri I +oo. Predpokladajme, že potom má súčet na pravej strane (3) tvar Due to absolútna konvergencia integrál, tento súčet pre veľké I sa len málo líši od výrazu, ktorý sa podobá integrálnemu súčtu pre funkciu premennej £ zloženej pre interval (0, +oo) zmeny. Preto je prirodzené očakávať, že pre súčet (5) bude ísť do integrálu Na druhej strane, pre pevný) zo vzorca ( 3) vyplýva, že dostaneme aj rovnosť Dostatočnú podmienku platnosti vzorca (7) vyjadruje nasledujúca veta. Veta 1. Ak je funkcia f(x) absolútne integrovateľná na celej reálnej čiare a má spolu s jej deriváciou, konečné číslo body nespojitosti prvého druhu na ľubovoľnom intervale [a, 6], potom platí rovnosť Navyše v ľubovoľnom bode xq, ktorý je bodom nespojitosti prvého druhu funkcie /(x), platí hodnota integrálu na. pravá strana (7) sa rovná Vzorcu (7) sa nazýva Fourierovým integrálnym vzorcom a integrál na jeho pravej strane je Fourierovým integrálom. Ak použijeme vzorec pre kosínus rozdielu, potom vzorec (7) môžeme zapísať v tvare Funkcie a(ξ), b(ζ) sú analógmi zodpovedajúcich Fourierových koeficientov an a bn 2m-periodickej funkcie , ale posledné sú definované pre diskrétne hodnoty n, pričom a(0> ALE sú definované pre spojité hodnoty£ G (-oo, +oo). Komplexný tvar Fourierovho integrálu Za predpokladu, že /(x) je absolútne integrovateľný na celej osi Ox, uvažujme integrál Tento integrál konverguje rovnomerne pre, pretože a preto predstavuje spojitú a samozrejme nepárnu funkciu Ale potom Na druhej strane, integrál je dokonca funkciu premenlivé tak preto integrálny vzorec Fouriera možno zapísať takto: Vynásobte rovnosť o pomyselná jednotka i a pridajte k rovnosti (10). Dostaneme sa tam, kde na základe Eulerovho vzorca budeme mať Toto je komplexný tvar Fourierovho integrálu. Vonkajšia integrácia nad £ sa tu chápe v zmysle Cauchyovej hodnoty: §2. Fourierova transformácia. Kosínusová a sínusová Fourierova transformácia Nech je funkcia f(x) po častiach hladká na ľubovoľnom konečnom segmente osi Ox a absolútne integrovateľná na celej osi. Definícia. Funkcia, z ktorej na základe Eulerovho vzorca budeme mať, sa nazýva Fourierova transformácia funkcie /(r) (spektrálna funkcia). Ide o integrálnu transformáciu funkcie f(r) na intervale (-oo,+oo) s jadrom Pomocou Fourierovho integrálneho vzorca získame Ide o tzv inverzná konverzia Fourier, ktorý dáva prechod z F(ξ) na f(x). Niekedy priama konverzia Fourierova transformácia je definovaná nasledovne: Potom je inverzná Fourierova transformácia určená vzorcom Fourierova transformácia funkcie /(x) je tiež definovaná nasledovne: FOURIEROVÁ TRANSFORMÁCIA Fourierov integrál Komplexný tvar integrálnej Fourierovej transformácie Kosínusová a sínusová transformácia Amplitúda a fázové spektrá Vlastnosti Aplikácie Potom, v tejto polohe Faktor ^ je celkom ľubovoľný: môže byť zahrnutý buď vo vzorci (1") alebo vo vzorci (2"). Príklad 1. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie -4 Máme Táto rovnosť umožňuje diferenciáciu vzhľadom na £ pod znamienkom integrálu (integrál získaný po derivácii konverguje rovnomerne, keď ( patrí do ľubovoľného konečného segmentu): Integrovaním po častiach budeme mať Člen mimo integrálu zmizne a získame odkiaľ (C je konštanta integrácie Nastavenie £ = 0 v (4), zistíme, že C = F(0) máme Je známe, že najmä pre) sme získali príklad 2 (vypúšťanie kodekometora cez kopropylén). Uvažujme funkciu 4 Pre spektrá funkcie F(ξ) dostaneme Preto (obr. 2). Podmienka absolútnej integrovateľnosti funkcie f(x) na celej číselnej osi je veľmi prísna. Vylučuje napr elementárne funkcie, as) = cos x, f(x) = e1, pre ktoré Fourierova transformácia (v klasickej forme, o ktorej sa tu uvažuje) neexistuje. Fourierovu transformáciu majú len tie funkcie, ktoré rýchlo inklinujú k nule ako |x|. -+ +oo (ako v príkladoch 1 a 2). 2.1. Kosínusové a sínusové Fourierove transformácie Pomocou kosínusového a diferenčného vzorca prepíšeme Fourierov integrálny vzorec do nasledujúceho tvaru: Nech f(x) je párna funkcia. Potom máme rovnosť (5) V prípade nepárneho f(x) podobne dostaneme Ak je f(x) dané len na (0, -foo), potom vzorec (6) rozširuje f(x) na celé. Ox os párnym spôsobom a vzorec (7) - nepárny. (7) Definícia. Funkcia sa nazýva Fourierova kosínusová transformácia f(x). Z (6) vyplýva, že pre párnu funkciu f(x) To znamená, že f(x) je kosínusová transformácia pre Fc(£). Inými slovami, funkcie / a Fc sú vzájomné kosínusové transformácie. Definícia. Funkcia sa nazýva Fourierova sínusová transformácia f(x). Z (7) získame, že pre nepárna funkcia f(x) t.j. f a Fs sú vzájomné sínusové transformácie. Príklad 3 (obdĺžnikový impulz). Nech f(t) je párna funkcia definovaná takto: (obr. 3). Získaný výsledok použijeme na výpočet integrálu Podľa vzorca (9) máme Obr. 3 0 0 V bode t = 0 je funkcia f(t) spojitá a rovná sa jednotke. Preto z (12") dostaneme 2.2. Amplitúdové a fázové spektrá Fourierovho integrálu Periodickú funkciu /(x) s periódou 2m rozšírime do Fourierovho radu. Túto rovnosť môžeme zapísať v tvare kde je amplitúda kmitania s frekvenciou n, je fáza Na tejto dráhe sa dostávame k pojmom amplitúdové a fázové spektrá periodickej funkcie Pre neperiodickú funkciu f(x), danú na (-oo, +oo ), za určitých podmienok sa ukazuje, že je možné ju reprezentovať Fourierovým integrálom, ktorý rozširuje túto funkciu na všetky frekvencie (rozšírenie cez spojité frekvenčné spektrum). Spektrálna funkcia, alebo spektrálna hustota Fourierovho integrálu, sa nazýva výraz (priama Fourierova transformácia funkcie f sa nazýva amplitúdové spektrum a funkcia Ф«) = -аggSfc) sa nazýva fázové spektrum funkcie f(«). Amplitúdové spektrum A(ξ) slúži ako miera príspevku frekvencie ζ k funkcii f(x). Príklad 4. Nájdite amplitúdové a fázové spektrá funkcie 4 Nájdite spektrálnu funkciu Odtiaľ Grafy týchto funkcií sú znázornené na obr. 4. §3. Vlastnosti Fourierovej transformácie 1. Linearita. Ak a G(0) sú Fourierove transformácie funkcií f(x) a d(x), potom pre akúkoľvek konštantu a a p bude Fourierova transformácia funkcie af(x) + p d(x) funkcia a Pomocou vlastnosti linearity integrálu máme teda Fourierova transformácia je lineárny operátor. Označením to napíšeme. Ak F(ξ) je Fourierova transformácia funkcie f(x), ktorá je absolútne integrovateľná na celej reálnej osi, potom je F(()) ohraničená pre všetky os - Fourierova transformácia funkcie f(x) Potom 3«fltsJ Nech je f(x) funkciou tolerancie Fourierovej transformácie, funkcia fh(x) = f (z-h) sa nazýva posun funkcie f(x) Pomocou definície Fourierovej transformácie ukážte, že funkcia f(z) má Fourierovu transformáciu F(0> h -). Reálne číslo. Ukážte, že 3. Fourierova transformácia a procesy diferenciácie. Nech má absolútne integrovateľná funkcia f(x) deriváciu f"(x), ktorá je tiež absolútne integrovateľná na celej osi Ox, takže f(x) má tendenciu k nule ako |x| -» +oo. Ak vezmeme do úvahy f" (X) hladká funkcia, napíšeme Integrácia po častiach, zanikne nám mimointegrálny člen (keďže a dostaneme Diferenciácia funkcie f(x) teda zodpovedá vynásobeniu jej Fourierovho obrazu ^Π/] faktorom Ak funkcia f(x) má plynulé absolútne nevýslovné derivácie až do rádu m vrátane a všetky, podobne ako samotná funkcia f(x), majú tendenciu k nule, potom integrovaním po častiach v požadovanom počte krát získame Fourierovu transformáciu; je veľmi užitočná práve preto, že nahrádza operáciu diferenciácie operáciou násobenia hodnotou a tým zjednodušuje problém integrácie určitých typov diferenciálnych rovníc, keďže Fourierova transformácia absolútne integrovateľnej funkcie f^k\x) je. obmedzená funkcia z (vlastnosti 2), potom zo vzťahu (2) získame nasledovný odhad pre: FOURIEROVU TRANSFORMU Fourierov integrál Komplexný tvar integrálu Fourierovu transformáciu Kosínusové a sínusové transformácie Amplitúdové a fázové spektrá Vlastnosti Aplikácie Z tohto odhadu vyplýva: než viac funkcií f(x) má absolútne integrovateľné derivácie, čím rýchlejšie má Fourierova transformácia tendenciu k nule. Komentujte. Podmienka je celkom prirodzená, keďže obvyklá teória Fourierových integrálov sa zaoberá procesmi, ktoré v tom či onom zmysle majú začiatok a koniec, no nepokračujú donekonečna s približne rovnakou intenzitou. 4. Vzťah medzi rýchlosťou poklesu funkcie f(x) ako |z| -» -f oo a plynulosť jeho Fourmovej premeny. Predpokladajme, že nielen f(x), ale aj jej súčin xf(x) je absolútne integrovateľná funkcia na celej osi Ox. Potom bude Fourierova transformácia diferencovateľnou funkciou. Formálna diferenciácia vzhľadom na parameter £ integrandu skutočne vedie k integrálu, ktorý je absolútne a rovnomerne konvergentný vzhľadom na parameter, a preto je možná diferenciácia, t. j. operácia násobenia f(x) hodnotou argument x ide po Fourierovej transformácii na operáciu t . Ak sú spolu s funkciou f(x) funkcie absolútne integrovateľné na celej osi Ox, potom môže proces diferenciácie pokračovať. Dostaneme, že funkcia má derivácie až do rádu m vrátane, a teda čím rýchlejšie funkcia f(x) klesá, tým je funkcia hladšia (o cvičení). Nech sú Fourierove transformácie funkcií f,(x) a f2(x). Tak kde potom dvojitý integrál konverguje úplne na pravej strane. Dajme - x. Potom budeme mať alebo, pri zmene poradia integrácie, Funkcia sa nazýva konvolúcia funkcií a označuje sa symbolom Vzorec (1) teraz môžeme napísať takto: To ukazuje, že Fourierova transformácia konvolúcie funkcií f \(x) a f2(x) sa rovná y/2x vynásobenému súčinom Fourierových transformácií konvolvovateľných funkcií. Jednoduchá inštalácia nasledujúce vlastnosti konvolúcia: 1) linearita: 2) komutivita: §4. Aplikácie Fourierovej transformácie 1. Nech P(^) je lineárna diferenciálny operátor objednať m s konštantné koeficienty, Pomocou vzorca pre Fourierovu transformáciu derivácií funkcie y(x) zistíme: "Uvažujme diferenciálnu rovnicu, kde P je diferenciálny operátor uvedený vyššie. Predpokladajme, že požadované riešenie y(x) má Fourierovu transformáciu y (O. a funkcia f(x) má transformáciu /(£) Aplikovaním Fourierovej transformácie na rovnicu (1) dostaneme namiesto diferenciálu algebraická rovnica na osi vzhľadom na miesto, kde je to formálne, kde symbol označuje inverznú Fourierovu transformáciu. Hlavným obmedzením použiteľnosti tejto metódy je nasledujúca skutočnosť. Obyčajné riešenie Diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi obsahuje funkcie tvaru eL*, eaz cos fix, eax hriech px. Nie sú absolútne integrovateľné na osi -oo< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о voľné vibrácie nekonečnej homogénnej struny, keď je daná počiatočná odchýlka<р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
4. INTEGRÁL
Kontinuálny analóg Fourierov rad. Pre funkciu definovanú na konečnom intervale reálnej osi je dôležitá jej reprezentácia ako Fourierov rad. Pre funkciu f(x) . na celej osi, podobnú úlohu zohráva Fourierova expanzia f:
Kde 
Rozšírenie (1) môže byť formálne skonštruované za predpokladov, ktoré zabezpečujú existenciu zapísaných integrálov. Platí to napríklad pre hladkú konečnú funkciu f(x) . Existuje mnoho funkcií, ktoré zabezpečujú rovnosť (1) v tom či onom zmysle. Nahradením (2) za (1) vzniká tzv. Fourierov integrálny vzorec
opodstatnenosť rezu vedie k uvedeným charakteristikám. V tomto prípade je reprezentácia f(x) jednoduchým Fourierovým integrálom veľkým prínosom
ktorý dostaneme z (3), ak vonkajší integrál napíšeme ako cez interval (0, N) a zmeníme integrácie. V aplikovaných vedách sa reprezentácia (1) často interpretuje ako harmonická expanzia: ak
potom (1) má tvar:
a teda f je reprezentované ako superpozícia harmonických, ktorých frekvencie plynule vypĺňajú skutočnú poloos a amplitúda D a počiatočná fáza závisia od
V mnohých prípadoch (najmä pre funkcie s komplexnou hodnotou f) je výhodnejšie reprezentovať expanziu (1) v exponenciálnej forme:
Kde
Funkcia sa volá Fourierova transformácia funkcie f(v aplikovaných vedách S(l)
volal Za predpokladu, že f (x) je sčítateľné: funkcia je ohraničená, rovnomerne spojitá na osi a na 
Funkcia sa môže ukázať ako nesčítateľná a integrálna (4) neexistujúca. Rovnosť (4) však umožňuje rozumnú interpretáciu, ak použijeme metódy sčítania integrálov [v tomto prípade môžeme uvažovať nielen bodovú, ale aj priemernú konvergenciu]. Napríklad aritmetické priemery skrátených f a.
sčítateľná funkcia f(x) konverguje k f(x) av priemere pri V prítomnosti ďalších obmedzení funkcie f(x) sa získajú konkrétnejšie výroky. Napríklad, ak u má obmedzenú variáciu v okolí X, To
Aplikácie často využívajú rozklad
platí pre absolútne integrovateľnú funkciu f(x), ktorá je po častiach hladká v každom konečnom intervale, kde integrál vpravo sa chápe v zmysle hlavnej hodnoty (6). F. a. sa študuje aj za predpokladu lokálnej sčítateľnosti funkcie f a za určitých požiadaviek, ktoré kladú obmedzenia na správanie funkcie f napr.
Kde sa limita chápe v zmysle konvergencie v priemere poriadku 
[limita v (7) však tiež existuje v zmysle konvergencie takmer všade]. Tento výsledok má jednoduchšiu formu pri p = 2 (pozri. Plancherelova veta).
Viaceré funkcie sú konštruované podobným spôsobom, pokiaľ ide o expanziu funkcie definovanej v n-rozmernom priestore. Pojem F. a. platí aj pre generické funkcie.
Lit.: Titchmarsh E., Úvod do teórie Fourierových integrálov, prel. English, M.-L., 1948; Bochner S., Prednášky o Fourierových integráloch, prel. z angličtiny, M., 1962; 3igmund A., Trigonometrický rad, prekl. z angličtiny, zv. 2, M., 1965.
P. I. Lizorkin.
Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Pozrite sa, čo je „FOURIER INTEGRAL“ v iných slovníkoch:
Fourierov integrál, Fourierov integrál (ale: Fourierov integrál) ... Slovník pravopisu-príručka
- (Fourierov integrál) rozklad funkcie f(x), špecifikovanej na celej osi x alebo na poloosiach na superpozíciu harmonických s frekvenciami vypĺňajúcimi celú poloos l fl, čím vzniká rozklad ne - periodicky. funguje harmonicky zložky, ktorých frekvencie tvoria súvislý súbor hodnôt... Veľký encyklopedický polytechnický slovník
Metóda riešenia problémov matematickej fyziky založená na separácii premenných. Na riešenie problémov v teórii vedenia tepla navrhol J. Fourier a v plnej všeobecnosti sformuloval M. V. Ostrogradsky (Pozri Ostrogradsky) v roku 1828. Riešenie... ... Veľká sovietska encyklopédia
Jedna z integrálnych transformácií, lineárny operátor F, pôsobiaci v priestore, ktorého prvkami sú funkcie f(x) reálnych premenných. Minimálna doména definície F sa považuje za množinu nekonečne diferencovateľných... ... Matematická encyklopédia
Hankelov integrál, analóg Fourierovho integrálu pre Besselove funkcie, majúci tvar Vzorec (*) možno získať z Fourierovho Besselovho radu pre interval (0, l) prechodom na limitu u G. Hankela (N. Hankel , 1875) stanovil vetu: ak funkcia f (x) po častiach... ... Matematická encyklopédia
Kurzweil Henstockov integrál, zovšeobecnenie Riemannovho integrálu, vám umožňuje úplne vyriešiť problém obnovenia diferencovateľnej funkcie z jej derivácie. Ani Riemannov integrál (vrátane nevlastného) ani Lebesgueov integrál nedávajú... ... Wikipedia
Fourierov integrál-- [L.G. Anglicko-ruský slovník o informačných technológiách. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Témy informačné technológie vo všeobecnosti EN Fourierov integrál ... Technická príručka prekladateľa
Integrálna transformácia pôsobiaca v priestore funkcií n reálnych premenných: Pre funkcie Φ L1(Rn) sčítateľné cez celý priestor Rn integrál (*) správne určuje určitú funkciu F (x) = y(x) Fourierov obraz funkcie j. Spätne...... Fyzická encyklopédia
knihy
- Zábavná matematika. Fourierova analýza. Manga, Shibuya Mikio. Dievčatá Rika, Fumika a Erina zorganizovali rockovú kapelu a chcú vystúpiť na festivale, no nevedia nájsť speváka. A potom je tu test z matematiky, s ktorým má Fumika problémy. Múdre dievča...
I. Fourierove transformácie.
Definícia 1. Funkcia
Volaný Fourierova transformácia funkcie
Integrál sa tu chápe v zmysle hlavnej hodnoty
a verí sa, že existuje.
Ak je absolútne integrovateľná funkcia na ℝ, potom, od 
at , pre každú takúto funkciu má Fourierova transformácia (1) zmysel a integrál (1) konverguje absolútne a rovnomerne pozdĺž celej priamky ℝ.
Definícia 2. Ak 
– Fourierova transformácia funkcie
, potom porovnateľný integrál
Chápané v zmysle hlavného významu je tzv Fourierov integrál funkcie .
Príklad 1 Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie
Daná funkcia je absolútne integrovateľná na, skutočne,
Definícia 3. Integrály chápané v zmysle hlavnej hodnoty
Podľa toho sa volajú kosínus- A sínusové-4-fourierove transformácie funkcie .
Veriaci , 
, 
, získame čiastočne vzťah už známy z Fourierovho radu
Ako je možné vidieť zo vzťahov (3), (4),
Vzorce (5), (6) ukazujú, že Fourierove transformácie sú úplne definované na celom riadku, ak sú známe len pre nezáporné hodnoty argumentu.
Príklad 2 Nájdite kosínusové a sínusové Fourierove transformácie funkcií
Ako je uvedené v príklade 1, daná funkcia je absolútne integrovateľná na .
Nájdite jeho kosínus - Fourierovu transformáciu pomocou vzorca (3):
Podobne nie je ťažké nájsť sínusovú - Fourierovu transformáciu funkcie f(X) podľa vzorca (4):
Pomocou príkladov 1 a 2 je ľahké priamou substitúciou overiť, že za f(X) vzťah (5) je splnený.
Ak je funkcia reálna, potom zo vzorcov (5), (6) v tomto prípade vyplýva
Keďže v tomto prípade ide o reálne funkcie na R, ako je možné vidieť z ich definícií (3), (4). Rovnosť (7) však za predpokladu 
sa tiež získa priamo z definície (1) Fourierovej transformácie, pričom sa berie do úvahy, že znamienko konjugácie možno zaviesť pod znamienko integrálu. Najnovšie pozorovanie nám umožňuje dospieť k záveru, že pre akúkoľvek funkciu platí rovnosť
Je tiež užitočné poznamenať, že ak je skutočná a párna funkcia, t.j. , To
ak je skutočná a nepárna funkcia, t.j. , To
A ak ide o čisto imaginárnu funkciu, t.j. . 
, To
Všimnite si, že ak je funkcia skutočnej hodnoty, potom Fourierov integrál môže byť tiež zapísaný vo forme
Kde 
Príklad 3 
(počítanie 
)
keďže poznáme hodnotu Dirichletovho integrálu
Funkcia uvažovaná v príklade nie je absolútne integrovateľná a jej Fourierova transformácia má diskontinuity. Nasledujúce ukazuje, že Fourierova transformácia absolútne integrovateľných funkcií nemá žiadne diskontinuity:
Lema 1. Ak je funkcia lokálne integrovateľné a absolútne integrovateľné na , To
a) jeho Fourierova transformácia definované pre akúkoľvek hodnotu
b) 
Pripomeňme, že ak– reálna alebo komplexná funkcia definovaná na otvorenej množine, potom funkcia volal lokálne integrovateľné na, Ak nejaký bodka má okolie, v ktorom je funkcia integrovateľná. Najmä, ak je podmienka lokálnej integrovateľnosti funkcie zjavne ekvivalentná skutočnosti, že 
pre ktorýkoľvek segment.
Príklad 4. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie 
:
Zistíme to tak, že diferencujeme posledný integrál vzhľadom na parameter a potom integrujeme po častiach
alebo
znamená, 
, kde je konštanta, ktorú pomocou Euler-Poissonovho integrálu zistíme zo vzťahu
Takže sme zistili, že , a zároveň ukázali, že , a 
.
Definícia 4. Hovoria, že funkcia 
, definovaný v punktovanom okolí bodu , spĺňa podmienky Dini v bode if
a) obe jednostranné limity existujú v jednom bode
b) oba integrály
Absolútne súhlasia.
Absolútna konvergencia integrálu 
znamená absolútnu konvergenciu integrálu aspoň pre nejakú hodnotu.
Dostatočné podmienky na to, aby bola funkcia reprezentovateľná Fourierovým integrálom.
Veta 1.Ak je absolútne integrovateľný na a lokálne po kúskoch nepretržitá funkcia v bode uspokojuje Dini podmienky, potom jeho Fourierov integrál konverguje v tomto bode a k hodnote
rovná polovici súčtu ľavého a pravého limitu funkčných hodnôt v tomto bode.
Dôsledok 1.Ak je funkcia nepretržitý, má v každom bode konečné jednostranné derivácie a absolútne integrovateľné na , potom sa objaví na svojim Fourierovým integrálom
Kde 
Fourierova transformácia funkcie .
Reprezentáciu funkcie Fourierovým integrálom možno prepísať ako:
Komentujte. Podmienky na funkcii formulované vo vete 1 a v dôsledku 1 sú dostatočné, ale nie sú potrebné pre možnosť takejto reprezentácie.
Príklad 5. Predstavte funkciu ako Fourierov integrál, ak
Táto funkcia je nepárna a spojitá na ℝ, okrem bodov , , .
Vzhľadom na skutočnosť, že funkcia je nepárna a skutočná, máme:
a z rovnosti (5) a (10) vyplýva, že
V bodoch spojitosti funkcie máme:
Ale funkcia je zvláštna, takže
keďže integrál sa počíta v zmysle hlavnej hodnoty.
Funkcia je rovnomerná, takže
Ak , . Keď musí byť splnená rovnosť
Za predpokladu, že odtiaľto nájdeme
Ak vložíme posledný výraz pre , potom
Za predpokladu, že tu nájdeme
Ak je funkcia s reálnou hodnotou po častiach spojitá na akomkoľvek segmente reálnej priamky, je absolútne integrovateľná a má konečné jednostranné derivácie v každom bode, potom v bodoch spojitosti je funkcia reprezentovaná ako Fourierov integrál.
a v bodoch diskontinuity funkcie by mala byť ľavá strana rovnosti (1) nahradená
Ak má spojitá, absolútne integrovateľná funkcia v každom bode konečné jednostranné derivácie, potom v prípade, keď je táto funkcia párna, platí rovnosť
a v prípade, že ide o nepárnu funkciu, rovnosť
Príklad 5'. Predstavte funkciu ako Fourierov integrál, ak:
Keďže ide o spojitú párnu funkciu, potom pomocou vzorcov (13.2), (13.2’) máme
Označme symbolom integrál chápaný v zmysle hlavnej hodnoty
Dôsledok 2.Pre akúkoľvek funkciu , spĺňajúce podmienky Dôsledku 1, existujú všetky transformácie , , , a dochádza k rovnosti
S ohľadom na tieto vzťahy sa často nazýva transformácia (14). inverzná Fourierova transformácia a namiesto toho napíšte , a samotné rovnosti (15) sa nazývajú vzorec na invertovanie Fourierovej transformácie.
Príklad 6. Nechaj to tak
Všimnite si, že ak 
, potom pre akúkoľvek funkciu
Zoberme si teraz funkciu. Potom
Ak vezmeme funkciu, ktorá je nepárnym pokračovaním funkcie 
, teda na celej číselnej osi
Pomocou vety 1 to dostaneme
Všetky integrály sa tu chápu v zmysle hlavnej hodnoty,
Oddelením reálnej a imaginárnej časti v posledných dvoch integráloch nájdeme Laplaceove integrály
Definícia . Funkcia
budeme ju nazývať normalizovaná Fourierova transformácia.
Definícia . Ak je normalizovaná Fourierova transformácia funkcie, potom porovnateľný integrál
Funkciu budeme nazývať normalizovaný Fourierov integrál.
Budeme uvažovať o normalizovanej Fourierovej transformácii (16).
Pre pohodlie uvádzame nasledujúci zápis:
(tie. 
).
V porovnaní s predchádzajúcim zápisom ide len o renormalizáciu: To znamená, že najmä vzťahy (15) nám umožňujú dospieť k záveru, že
alebo kratšie povedané,
Definícia 5. Operátor budeme nazývať normalizovaná Fourierova transformácia a operátor sa bude nazývať inverzná normalizovaná Fourierova transformácia.
V Leme 1 bolo zaznamenané, že Fourierova transformácia akejkoľvek absolútne integrovateľnej funkcie má tendenciu k nule v nekonečne. Nasledujúce dva výroky uvádzajú, že podobne ako Fourierove koeficienty, Fourierova transformácia má tendenciu nulovať sa rýchlejšie, čím je funkcia, z ktorej je prevzatá, hladšia (v prvom výroku); Súvisiacim faktom bude, že čím rýchlejšie má funkcia, z ktorej je Fourierova transformácia prevzatá, tendenciu k nule, tým je jej Fourierova transformácia hladšia (druhý výrok).
Vyhlásenie 1(o súvislosti medzi hladkosťou funkcie a rýchlosťou poklesu jej Fourierovej transformácie). Ak a všetky funkcie 
absolútne integrovateľné na , To:
A) pri akomkoľvek 
b) 
Vyhlásenie 2(o súvislosti medzi rýchlosťou poklesu funkcie a plynulosťou jej Fourierovej transformácie). Ak ide o lokálne integrovateľnú funkciu : je taká, že funkcia absolútne integrovateľné A , To:
A) Fourierova transformácia funkcie patrí do triedy 
b) existuje nerovnosť
Uveďme hlavné hardvérové vlastnosti Fourierovej transformácie.
Lema 2. Nech existuje Fourierova transformácia pre funkcie (respektíve inverzná Fourierova transformácia), potom bez ohľadu na čísla a , existuje Fourierova transformácia (respektíve inverzná Fourierova transformácia) pre funkciu 
, a
(respektíve).
Táto vlastnosť sa nazýva linearita Fourierovej transformácie (resp. inverzná Fourierova transformácia).
Dôsledok. 
.
Lema 3. Fourierova transformácia, podobne ako inverzná transformácia, je transformácia jedna ku jednej na množine spojitých funkcií, ktoré sú absolútne integrovateľné na celej osi a majú jednostranné derivácie v každom bode.
To znamená, že ak a sú dve funkcie zadaného typu a ak 
(resp. ak 
), potom na celej osi.
Z výroku Lemy 1 môžeme získať nasledujúcu lemu.
Lema 4. Ak postupnosť absolútne integrovateľných funkcií 
a absolútne integrovateľná funkcia sú také, že
potom postupnosť konverguje rovnomerne na celej osi k funkcii .
Pozrime sa teraz na Fourierovu transformáciu konvolúcií dvoch funkcií. Pre pohodlie upravme definíciu konvolúcie pridaním ďalšieho faktora
Veta 2. Nech sú teda funkcie ohraničené, spojité a absolútne integrovateľné na reálnej osi
tie. Fourierova transformácia konvolúcie dvoch funkcií sa rovná súčinu Fourierových transformácií týchto funkcií.
Zostavme si súhrnnú tabuľku č. 1 vlastností normalizovanej Fourierovej transformácie, užitočnú pri riešení nižšie uvedených úloh.
Tabuľka č.1
| Funkcia | Normalizovaná Fourierova transformácia |
 |
|
 | |
 |
|
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 | |
 | |
 |
Pomocou vlastností 1-4 a 6 dostaneme
Príklad 7. Nájdite normalizovanú Fourierovu transformáciu funkcie
V príklade 4 sa ukázalo, že
pretože ak
Preto podľa vlastnosti 3 máme:
Podobne môžete vytvoriť tabuľku č. 2 pre normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu:
Tabuľka č.2
| Funkcia | Normalizovaná inverzná Fourierova transformácia |
 |
|
| | |
 |
|
 |
|
| |  |
| |  |
| |  |
| | |
| | |
| | |
 |
Rovnako ako predtým, pomocou vlastností 1-4 a 6 to dostaneme
Príklad 8. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
Ako vyplýva z príkladu 6
Keď máme:
Predstavuje funkciu ako
použiť vlastnosť 6 kedy
Možnosti úloh pre výpočty a grafické práce
1. Nájdite sínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
2. Nájdite sínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
3. Nájdite kosínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
4. Nájdite kosínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
5. Nájdite sínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
6. Nájdite kosínusovú - Fourierovu transformáciu funkcie
7. Nájdite sínusovú - Fourierovu transformáciu funkcie
8. Nájdite kosínus – Fourierova transformácia funkcie
9. Nájdite kosínus – Fourierova transformácia funkcie
10. Nájdite sínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
11. Nájdite sínusovú – Fourierovu transformáciu funkcie
12. Nájdite sínus - transformácia funkcie
13. Nájdite sínus - transformácia funkcie
14. Nájdite kosínus - transformácia funkcie
15. Nájdite kosínus - transformácia funkcie
16. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie, ak:
17. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie, ak:
18. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie, ak:
19. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie, ak:
20. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie, ak:
21. Nájdite Fourierovu transformáciu funkcie, ak:
22. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
24. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
26. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
28. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
30. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
23. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
25. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
27. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
29. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
31. Nájdite normalizovanú inverznú Fourierovu transformáciu funkcie
pomocou vzorca
32. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
33. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
34. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
35. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
36. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
37. Reprezentujte funkciu Fourierovým integrálom
38. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
39. Reprezentujte funkciu Fourierovým integrálom
40. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
41. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
42. Predstavte funkciu Fourierovým integrálom
43. Predstavte funkciu ako Fourierov integrál, rozšírte ju nepárnym spôsobom na interval, ak:
44. Predstavte funkciu ako Fourierov integrál, rozšírte ju nepárnym spôsobom na interval, ak:
