Webstránka " profesionálny tútor v matematike“ pokračuje cyklus metodické články o vyučovaní. Uverejňujem popisy metód mojej práce s najzložitejšími a najproblematickejšími témami školského kurikula. Tento materiál bude užitočný pre učiteľov a tútorov matematiky, ktorí pracujú so žiakmi v ročníkoch 8-11 v bežnom programe aj v programe hodín matematiky.
Doučovateľ matematiky nemôže vždy vysvetliť látku, ktorá je v učebnici zle prezentovaná. Žiaľ, takýchto tém je čoraz viac a masovo sa vyskytujú prezentačné chyby podľa autorov manuálov. Týka sa to nielen začínajúcich lektorov matematiky a lektorov na čiastočný úväzok (tútormi sú študenti a vysokoškolskí lektori), ale aj skúsených pedagógov, odborných lektorov, lektorov s praxou a kvalifikáciou. Talent kompetentného korektora drsnosti školské učebnice Nie všetci učitelia matematiky to majú. Nie každý tiež chápe, že tieto opravy (alebo doplnenia) sú potrebné. Len málo detí sa podieľa na prispôsobovaní materiálu pre jeho kvalitatívne vnímanie deťmi. Žiaľ, pominula doba, keď učitelia matematiky spolu s metodikmi a autormi publikácií hromadne rozoberali každé písmeno učebnice. Predtým, pred vydaním učebnice do škôl, sa vykonali seriózne analýzy a štúdie výsledkov vzdelávania. Nastal čas pre amatérov, ktorí sa snažia urobiť učebnice univerzálnymi a prispôsobiť ich štandardom silných tried matematiky.
Závod o zvýšenie množstva informácií vedie len k zníženiu kvality ich asimilácie a v dôsledku toho k zníženiu úrovne skutočných vedomostí v matematike. Tomu však nikto nevenuje pozornosť. A naše deti sú nútené, už v 8. ročníku, študovať to, čo sme študovali na ústave: teóriu pravdepodobnosti, riešenie rovníc vysokých stupňov a niečo iné. Prispôsobenie materiálu v knihách pre úplné vnímanie dieťaťa ponecháva veľa túžob a učiteľ matematiky je nútený sa s tým nejako vysporiadať.
Poďme sa porozprávať o metodológii výučby takej špecifickej témy, ako je „delenie polynómu polynómom rohom“, známej v matematike pre dospelých ako „Bezoutova veta a Hornerova schéma“. Len pred pár rokmi nebola táto otázka pre učiteľa matematiky taká naliehavá, pretože nebola súčasťou školské osnovy. Teraz uznávaní autori učebnice, ktorú redigoval Teljakovskij, urobili zmeny v najnovšom vydaní, podľa môjho názoru, najlepšej učebnice, a tým, že ju úplne pokazili, pridali lektorovi len zbytočné starosti. Učitelia škôl a tried, ktoré nemajú štatút matematiky, so zameraním na inovácie autorov, začali do svojich hodín častejšie zaraďovať ďalšie odseky a zvedavé deti, ktoré si prezerajú krásne stránky svojej učebnice matematiky, sa čoraz častejšie pýtajú, učiteľ: „Čo je to za roh? Ideme cez to? Ako zdieľať kútik? Pred takýmito priamymi otázkami sa už nedá skryť. Doučovateľ bude musieť dieťaťu niečo povedať.
Ale ako? Spôsob práce s témou by som asi neopísal, keby to kompetentní prezentovali v učebniciach. Ako to všetko u nás ide? Učebnice treba tlačiť a predávať. A preto je potrebné ich pravidelne aktualizovať. Vysokoškolskí učitelia sa sťažujú, že k nim chodia deti s prázdne hlavy bez vedomostí a zručností? Požiadavky na matematické znalosti rastie? Skvelé! Odstránime niektoré cvičenia a namiesto nich vložíme témy, ktoré sa študujú v iných programoch. Prečo je naša učebnica horšia? Zahrnieme niekoľko ďalších kapitol. Školáci nepoznajú pravidlo rozdelenia rohu? To isté elementárna matematika. Tento odsek by mal byť nepovinný s názvom „pre tých, ktorí chcú vedieť viac“. Sú lektori proti? Prečo sa vo všeobecnosti staráme o tútorov? Proti sú aj metodici a učitelia škôl? Nebudeme komplikovať materiál a zvážime jeho najjednoduchšiu časť.
A tu to začína. Jednoduchosť témy a kvalita jej asimilácie spočíva predovšetkým v pochopení jej logiky, a nie v vykonávaní určitého súboru operácií, ktoré spolu jasne nesúvisia, v súlade s pokynmi autorov učebnice. . V opačnom prípade bude v hlave študenta hmla. Ak sa autori zameriavajú na pomerne silných študentov (ale študujúcich v bežnom programe), nemali by ste tému prezentovať príkazovou formou. Čo vidíme v učebnici? Deti, musíme rozdeliť podľa tohto pravidla. Získajte polynóm pod uhlom. Pôvodný polynóm bude teda faktorizovaný. Nie je však jasné, prečo sa výrazy pod rohom vyberajú presne týmto spôsobom, prečo ich treba vynásobiť polynómom nad rohom a potom odpočítať od aktuálneho zvyšku. A čo je najdôležitejšie, nie je jasné, prečo musia byť vybrané monoméry nakoniec pridané a prečo budú výsledné zátvorky rozšírením pôvodného polynómu. Každý kompetentný matematik dá nad vysvetlenia uvedené v učebnici tučný otáznik.
Do pozornosti tútorov a učiteľov matematiky dávam svoje riešenie úlohy, ktoré prakticky dáva študentovi najavo všetko, čo je v učebnici uvedené. V skutočnosti dokážeme Bezoutovu vetu: ak je číslo a koreňom polynómu, potom tento polynóm možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden je x-a a druhý sa získa z pôvodného jedným z troch spôsobov: izoláciou lineárneho činiteľa pomocou transformácií, delením rohom alebo Hornerovou schémou. Práve s touto formuláciou sa bude učiteľom matematiky pracovať ľahšie.
Čo je metodika výučby? V prvom rade ide o jasné poradie v postupnosti vysvetlení a príkladov, na základe ktorých sa vyvodzujú matematické závery. Táto téma nie výnimkou. Pre učiteľa matematiky je veľmi dôležité oboznámiť dieťa s Bezoutovou vetou pred rozdelením rohom. Je to veľmi dôležité! Najlepší spôsob, ako dosiahnuť porozumenie, je konkrétny príklad. Vezmime si polynóm s vybraným koreňom a ukážeme si techniku jeho rozkladu metódou známou školákom od 7. ročníka. transformácie identity. S príslušnými sprievodnými vysvetleniami, dôrazom a tipmi od učiteľa matematiky je celkom možné sprostredkovať materiál bez akýchkoľvek všeobecných matematických výpočtov, ľubovoľných koeficientov a stupňov.
Dôležitá rada pre učiteľa matematiky- postupujte podľa pokynov od začiatku do konca a nemeňte túto postupnosť.
Povedzme teda, že máme polynóm. Ak namiesto jeho X dosadíme číslo 1, potom sa hodnota polynómu bude rovnať nule. Preto x=1 je jeho koreň. Skúsme to rozložiť na dva členy tak, že jeden z nich je súčinom lineárneho výrazu a nejakého monomilu a druhý má o jeden stupeň menej ako . To znamená, predstavme si to vo forme
Monomil do červeného poľa vyberieme tak, aby sa po vynásobení vedúcim členom úplne zhodoval s vedúcim členom pôvodného polynómu. Ak študent nie je najslabší, potom bude celkom schopný povedať učiteľovi matematiky požadovaný výraz: . Tútor by mal byť okamžite požiadaný, aby ho vložil do červeného poľa a ukázal, čo sa stane, keď sa otvoria. Najlepšie je podpísať tento virtuálny dočasný polynóm pod šípky (pod malou fotografiou) a zvýrazniť ho nejakou farbou, napríklad modrou. To vám pomôže vybrať výraz pre červené pole, ktoré sa nazýva zvyšok výberu. Odporúčam tútorom, aby tu poukázali na to, že tento zvyšok možno nájsť odčítaním. Vykonaním tejto operácie dostaneme:
Učiteľ matematiky by mal upozorniť študenta na skutočnosť, že dosadením jednotky do tejto rovnosti zaručene dostaneme nulu na jej ľavej strane (keďže 1 je koreň pôvodného polynómu) a na pravej strane samozrejme vynuluje aj prvý termín. To znamená, že bez akéhokoľvek overenia môžeme povedať, že jeden je koreňom „zeleného zvyšku“.
Zaobchádzajme s ním rovnakým spôsobom ako s pôvodným polynómom, izolujme od neho rovnako lineárny multiplikátor. Učiteľ matematiky nakreslí pred študenta dva rámčeky a požiada ich, aby ich vyplnili zľava doprava.
Študent vyberie pre tútora jednočlen pre červené pole tak, aby po vynásobení vedúcim členom lineárneho výrazu dostal vedúci člen rozširujúceho sa mnohočlenu. Napasujeme ho do rámu, hneď otvoríme držiak a modrou zvýrazníme výraz, ktorý treba od toho skladacieho ubrať. Vykonaním tejto operácie dostaneme
A nakoniec urobte to isté s posledným zvyškom
konečne to dostaneme
Teraz vyberieme výraz zo zátvorky a uvidíme rozklad pôvodného polynómu na faktory, z ktorých jeden je „x mínus vybraný koreň“.
Aby si študent nemyslel, že posledný „zelený zvyšok“ bol náhodne rozložený na požadované faktory, učiteľ matematiky by mal upozorniť dôležitý majetok zo všetkých zelených zvyškov – každý z nich má koreň 1. Keďže stupne týchto zvyškov klesajú, potom akýkoľvek stupeň počiatočného polynómu dostaneme skôr či neskôr, dostaneme lineárny „zelený zvyšok“ s odmocninou 1 a preto nevyhnutne rozloží na súčin nejaké číslo a výraz.
Po tomto prípravné práce Pre učiteľa matematiky nebude ťažké vysvetliť študentovi, čo sa stane pri delení rohom. Ide o rovnaký proces, len v kratšej a kompaktnejšej forme, bez rovnakých znakov a bez prepisovania rovnakých zvýraznených výrazov. Polynóm, z ktorého je lineárny faktor extrahovaný, je napísaný naľavo od rohu, vybrané červené monomály sú zhromaždené pod uhlom (teraz je jasné, prečo by sa mali sčítať), aby sa získali „modré polynómy“, „červené“ ” jedničky musia byť vynásobené x-1 a potom odčítané od aktuálne zvoleného spôsobu, akým sa to kedy robí pravidelné deleniečísla v stĺpci (tu je analógia s tým, čo bolo predtým študované). Výsledné „zelené zvyšky“ podliehajú novej izolácii a selekcii „červených monomilov“. A tak ďalej, kým nedosiahnete nulový „zelený zostatok“. Najdôležitejšie je, že študent rozumie ďalší osud písané polynómy nad a pod uhlom. Je zrejmé, že ide o zátvorky, ktorých súčin sa rovná pôvodnému polynómu.
Ďalšou etapou práce učiteľa matematiky je formulácia Bezoutovej vety. V skutočnosti je jeho formulácia s týmto prístupom tútora zrejmá: ak je číslo a koreňom polynómu, potom ho možno faktorizovať, z ktorých jeden je , a druhý sa získa z pôvodného jedným z troch spôsobov :
- priamy rozklad (podobne ako pri metóde zoskupovania)
- delenie rohom (v stĺpci)
- cez Hornerov okruh
Treba povedať, že nie všetci učitelia matematiky ukazujú žiakom hornerov diagram a nie všetci učitelia školy(našťastie pre samotných lektorov) na hodinách idú tak hlboko do témy. Avšak pre študenta trieda matematiky Nevidím dôvod prestať pri dlhom delení. Navyše, najpohodlnejšie a rýchlo Technika rozkladu je založená presne na Hornerovej schéme. Aby sme dieťaťu vysvetlili, odkiaľ pochádza, stačí na príklade delenia rohom vysledovať výskyt vyšších koeficientov v zelených zvyškoch. Je zrejmé, že vedúci koeficient počiatočného polynómu sa prenesie do koeficientu prvého „červeného monomiu“ a ďalej od druhého koeficientu súčasného horného polynómu. odpočítané výsledok vynásobenia aktuálneho koeficientu „červeného monomiálu“ číslom . Preto je to možné pridať výsledok vynásobenia . Po zameraní pozornosti študenta na špecifiká akcií s koeficientmi môže učiteľ matematiky ukázať, ako sa tieto akcie zvyčajne vykonávajú, bez zaznamenania samotných premenných. Na tento účel je vhodné zadať koreň a koeficienty pôvodného polynómu v poradí priority v nasledujúcej tabuľke:
Ak v polynóme chýba akýkoľvek stupeň, do tabuľky sa vnúti jeho nulový koeficient. Koeficienty „červených polynómov“ sa postupne zapisujú do spodného riadku podľa pravidla „háčika“: 
Koreň sa vynásobí posledným červeným koeficientom, pripočíta sa k ďalšiemu koeficientu v hornom riadku a výsledok sa zapíše do spodného riadku. V poslednom stĺpci zaručene dostaneme najvyšší koeficient posledného „zeleného zvyšku“, teda nulu. Po dokončení procesu čísla vložené medzi zhodný koreň a nulový zvyšok sa ukážu ako koeficienty druhého (nelineárneho) faktora.
Keďže koreň a dáva na konci spodného riadku nulu, Hornerovu schému možno použiť na kontrolu čísel pre názov koreňa polynómu. Ak špeciálna veta o výbere racionálneho koreňa. Všetci kandidáti na tento titul získaní s jeho pomocou sa jednoducho postupne zľava vkladajú do Hornerovho diagramu. Akonáhle dostaneme nulu, testované číslo bude odmocninou a zároveň dostaneme koeficienty rozkladu pôvodného polynómu na jeho priamke. Veľmi pohodlne.
Na záver by som rád poznamenal, že na presné predstavenie Hornerovej schémy, ako aj na praktické upevnenie témy, by mal mať učiteľ matematiky k dispozícii dostatočné množstvo hodiny. Tútor pracujúci v režime „raz týždenne“ by sa nemal zapájať do delenia rohov. Na Jednotnej štátnej skúške z matematiky a na Štátnej akadémii matematiky v matematike je nepravdepodobné, že sa v prvej časti niekedy stretnete s rovnicou tretieho stupňa, ktorú je možné takýmto spôsobom vyriešiť. Ak učiteľ pripravuje dieťa na skúšku z matematiky na Moskovskej štátnej univerzite, štúdium témy sa stáva povinným. Vysokoškolskí učitelia, na rozdiel od zostavovateľov Jednotnej štátnej skúšky, naozaj radi testujú hĺbku vedomostí uchádzača.
Kolpakov Alexander Nikolaevič, učiteľ matematiky Moskva, Strogino
Späť dopredu
Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak máš záujem táto práca, stiahnite si plnú verziu.
Typ lekcie: Lekcia osvojovania a upevňovania základných vedomostí.
Účel lekcie:
- Oboznámiť žiakov s pojmom korene polynómu a naučiť ich, ako ich nájsť. Zdokonaľte sa v používaní Hornerovej schémy na rozšírenie polynómu mocninou a delenie polynómu binómom.
- Naučte sa nájsť korene rovnice pomocou Hornerovho diagramu.
- Rozvíjajte abstraktné myslenie.
- Podporujte výpočtovú kultúru.
- Rozvoj interdisciplinárnych prepojení.
Počas vyučovania
1. Organizačný moment.
Informujte o téme hodiny, formulujte ciele.
2. Kontrola domácich úloh.
3. Štúdium nového materiálu.
Nech Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polynóm pre x stupňa n, kde a 0 , a 1 ,...,a n sú dané čísla a a 0 sa nerovná 0. Ak polynóm F n (x) delíme zvyškom číslom binomické x-a, potom kvocient (neúplný kvocient) je polynóm Q n-1 (x) stupňa n-1, zvyšok R je číslo a rovnosť platí Fn (x) = (x-a) Qn-1 (x) +R. Polynóm F n (x) je deliteľný binómom (x-a) len v prípade R=0.
Bezoutova veta: Zvyšok R pri delení polynómu F n (x) binomom (x-a) rovná hodnote polynóm F n (x) pre x=a, t.j. R = Pn(a).
Trochu histórie. Bezoutova veta, napriek svojej zjavnej jednoduchosti a samozrejmosti, je jednou zo základných teorém teórie polynómov. Táto veta spája algebraické vlastnosti polynómov (ktoré umožňujú, aby sa polynómy považovali za celé čísla) s ich funkčnými vlastnosťami (ktoré umožňujú, aby sa s polynómami zaobchádzalo ako s funkciami). Jedným zo spôsobov riešenia rovníc vyššieho stupňa je faktor polynómu na ľavej strane rovnice. Výpočet koeficientov polynómu a zvyšku je zapísaný vo forme tabuľky s názvom Hornerova schéma.
Hornerova schéma je algoritmus na delenie polynómov, napísaný pre špeciálny prípad, keď sa podiel rovná binomu. x–a.
Horner William George (1786 - 1837), anglický matematik. Základný výskum sa týka teórie algebraické rovnice. Vyvinul metódu na približné riešenie rovníc ľubovoľného stupňa. V roku 1819 zaviedol pre algebru dôležitú metódu delenia polynómu binómom x - a (Hornerova schéma).
Záver všeobecný vzorec pre Hornerovu schému.
Delenie polynómu f(x) so zvyškom binómom (x-c) znamená nájsť polynóm q(x) a číslo r také, že f(x)=(x-c)q(x)+r
Napíšme túto rovnosť podrobne:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Dajme rovnítko medzi koeficienty v rovnakých stupňoch:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Ukážka Hornerovho okruhu na príklade.
Cvičenie 1. Pomocou Hornerovej schémy delíme polynóm f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 so zvyškom binómom x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5 x 2 + 8 = (x - 2) ( x 2 - 3 x - 6) -4, kde g (x) = (x 2 - 3 x - 6), r = -4 zvyšok.
Rozšírenie mnohočlenu v mocninách dvojčlenu.
Pomocou Hornerovej schémy rozšírime polynóm f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 v mocninách binomu (x+2).
V dôsledku toho by sme mali dostať expanziu f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3-3( x+2)2-2(x+2)+12
Hornerova schéma sa často používa pri riešení rovníc tretieho, štvrtého a vyššieho stupňa, kedy je vhodné polynóm rozšíriť na binom x-a. číslo a volal koreň polynómu F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ak pri x=a hodnota polynómu F n (x) sa rovná nule: F n (a)=0, t.j. ak je mnohočlen deliteľný dvojčlenom x-a.
Napríklad číslo 2 je koreňom polynómu F 3 (x)=3x 3 -2x-20, keďže F 3 (2)=0. to znamená. Že faktorizácia tohto polynómu obsahuje faktor x-2.
F3 (x)=3x3-2x-20=(x-2)(3x2 +6x+10).
Ľubovoľný polynóm F n(x) stupňa n 1 nemôže mať viac n skutočné korene.
akýkoľvek celý koreň rovnica s celočíselnými koeficientmi je jej deliteľom voľný člen.
Ak je vedúci koeficient rovnice 1, potom všetky racionálne korene rovnice, ak existujú, sú celé čísla.
Konsolidácia študovaného materiálu.
Na upevnenie nového učiva sú žiaci vyzvaní, aby doplnili čísla z učebnice 2.41 a 2.42 (s. 65).
(2 študenti riešia na tabuli a ostatní po rozhodnutí skontrolujú zadania v zošite s odpoveďami na tabuli).
Zhrnutie.
Po pochopení štruktúry a princípu fungovania Hornerovej schémy je možné ju použiť aj na hodinách informatiky, kde sa uvažuje o prevode celých čísel z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej sústavy a naopak. Základom pre prechod z jednej číselnej sústavy do druhej je nasledujúca všeobecná veta
Veta. Ak chcete previesť celé číslo Ap od p-árna číselná sústava na základnú číselnú sústavu d nevyhnutné Ap postupne deliť so zvyškom číslom d, napísané v tom istom p-árny systém, kým sa výsledný kvocient nerovná nule. Zvyšky z rozdelenia budú d- numerické číslice Ad, začínajúc od najmladšej kategórie až po tú najstaršiu. Všetky akcie sa musia vykonávať v p-árna číselná sústava. Pre muža toto pravidlo pohodlné len vtedy p= 10, t.j. pri prekladaní od desiatková sústava. Pokiaľ ide o počítač, naopak, je pre neho „pohodlnejšie“ vykonávať výpočty v binárnom systéme. Preto sa na prevod „2 na 10“ používa postupné delenie desiatimi v binárnom systéme a „10 na 2“ je sčítanie mocnín desiatich. Na optimalizáciu výpočtov postupu „10 v 2“ používa počítač Hornerovu ekonomickú výpočtovú schému.
Domáca úloha. Navrhuje sa splniť dve úlohy.
1. Pomocou Hornerovej schémy rozdeľte polynóm f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 binómom (x-3).
2. Nájdite celočíselné korene polynómu f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (ak vezmeme do úvahy, že akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena)
Literatúra.
- Kurosh A.G. "Kurz vyššej algebry."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. a ďalšie 10. ročník „Algebra a začiatky matematickej analýzy“.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Ciele lekcie:
- naučiť žiakov riešiť rovnice vyššie stupne pomocou Hornerovej schémy;
- rozvíjať schopnosť pracovať vo dvojiciach;
- vytvoriť v spojení s hlavnými časťami kurzu základ pre rozvoj schopností študentov;
- pomôcť študentovi posúdiť jeho potenciál, rozvíjať záujem o matematiku, schopnosť myslieť a vyjadrovať sa k téme.
Vybavenie: karty pre skupinovú prácu, plagát s Hornerovým diagramom.
Vyučovacia metóda: prednáška, príbeh, vysvetlenie, vykonávanie tréningových cvičení.
Forma kontroly: kontrola úloh nezávislé rozhodnutie, samostatná práca.
Počas vyučovania
1. Organizačný moment
2. Aktualizácia vedomostí žiakov
Ktorá veta vám umožňuje určiť, či je číslo koreňom? daná rovnica(formulovať vetu)?
Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu P(x) binomom x-c sa rovná P(c), číslo c sa nazýva koreň polynómu P(x), ak P(c)=0. Veta umožňuje bez vykonania operácie delenia určiť, či dané číslo koreň polynómu.
Aké výroky uľahčujú hľadanie koreňov?
a) Ak vodiaci koeficient polynómu rovný jednej, potom korene polynómu treba hľadať medzi deliteľmi voľného člena.
b) Ak je súčet koeficientov polynómu 0, potom jeden z koreňov je 1.
c) Ak sa súčet koeficientov na párnych miestach rovná súčtu koeficientov na nepárnych miestach, potom sa jeden z koreňov rovná -1.
d) Ak sú všetky koeficienty kladné, potom korene polynómu sú záporné čísla.
e) Polynóm nepárny stupeň má aspoň jeden skutočný koreň.
3. Učenie sa nového materiálu
Pri riešení celých algebraických rovníc musíte nájsť hodnoty koreňov polynómov. Táto operácia môže byť výrazne zjednodušená, ak sa výpočty vykonávajú pomocou špeciálneho algoritmu nazývaného Hornerova schéma. Tento okruh je pomenovaný po anglickom vedcovi Williamovi Georgeovi Hornerovi. Hornerova schéma je algoritmus na výpočet kvocientu a zvyšku delenia polynómu P(x) x-c. Stručne ako to funguje.
Nech je daný ľubovoľný polynóm P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Delením tohto polynómu x-c dostaneme jeho zobrazenie v tvare P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Čiastkové g(x)=v 0 x n-1 + v n x n-2 +...+v n-2 x + v n-1, kde v 0 =a 0, v n =st n-1 +a n , n=1,2,3,...n-1. Zvyšok r(x)= st n-1 +a n. Táto metóda výpočtu sa nazýva Hornerova schéma. Slovo „schéma“ v názve algoritmu je spôsobené tým, že jeho implementácia je zvyčajne formátovaná nasledovne. Najprv nakreslite tabuľku 2 (n+2). Do ľavej dolnej bunky napíšte číslo c a do horného riadku koeficienty polynómu P(x). V tomto prípade zostane ľavá horná bunka prázdna.
v 0 = a 0 |
v 1 = st 1 + a 1 |
v 2 = sv 1 + A 2 |
v n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 + a n |
Číslo, ktoré sa po vykonaní algoritmu ukáže ako zapísané v pravej dolnej bunke, je zvyšok delenia polynómu P(x) x-c. Ostatné čísla v 0, v 1, v 2,... v spodnom riadku sú koeficienty kvocientu.
Napríklad: Rozdeľte polynóm P(x)= x 3 -2x+3 x-2.
Dostaneme, že x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Konsolidácia študovaného materiálu
Príklad 1: Rozložte polynóm P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 do faktorov s celočíselnými koeficientmi.
Hľadáme celé korene medzi deliteľmi voľného termínu -1: 1; -1. Urobme si tabuľku:
X = -1 – koreň
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Skontrolujeme 1/2.
X = 1/2 - koreň |
Preto môže byť polynóm P(x) reprezentovaný v tvare
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Príklad 2: Vyriešte rovnicu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Keďže súčet koeficientov polynómu napísaného na ľavej strane rovnice je rovný nule, potom jeden z koreňov je 1. Použijeme Hornerovu schému:
X = 1 - koreň |
Dostaneme P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Budeme hľadať korene medzi deliteľmi voľného termínu 2.
Zistili sme, že tam už nie sú neporušené korene. Skontrolujeme 1/2; -1/2.
X= -1/2 - koreň |
Odpoveď: 1; -1/2.
Príklad 3: Vyriešte rovnicu 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Korene tejto rovnice budeme hľadať medzi deliteľmi voľného člena 5: 1;-1;5;-5. x=1 je koreň rovnice, pretože súčet koeficientov je nula. Použime Hornerovu schému:
Uveďme rovnicu ako súčin troch faktorov: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Rozhodovanie kvadratická rovnica 5x 2 -7x+5=0, dostali sme D=49-100=-51, nie sú tam žiadne korene.
Karta 1
- Faktor polynómu: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Vyriešte rovnicu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
karta 2
- Faktor polynómu: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Vyriešte rovnicu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
karta 3
- Započítajte: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Riešte rovnicu: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Karta 4
- Faktor: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Riešte rovnicu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Zhrnutie
Testovanie vedomostí pri riešení vo dvojiciach prebieha na hodine rozpoznávaním spôsobu akcie a názvu odpovede.
Domáca úloha:
Riešte rovnice:
a) x 4 - 3 x 3 + 4 x 2 - 3 x + 1 = 0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4 x 2
d) x 4 + 2 x 3 - x - 2 = 0
Literatúra
- N.Ya. Vilenkin a kol., Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 (hĺbkové štúdium matematiky): Osvietenie, 2005.
- U.I. Sacharčuk, L.S. Sagatelova, Riešenie rovníc vyšších stupňov: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Číselné sústavy a ich aplikácia.
Snímka 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) – anglický matematik. Narodený v Bristole. Študoval a pracoval tam, potom na školách v Bathe. Základné práce z algebry. V roku 1819 publikoval metódu na približný výpočet skutočných koreňov polynómu, ktorá sa dnes nazýva Ruffini-Hornerova metóda (túto metódu poznali Číňania ešte v 13. storočí Schéma delenia polynómu binómom x-a je pomenovaná). po Hornerovi.
Snímka 4
HORNEROVÁ SCHÉMA
Metóda delenia n-tý polynóm stupňa na lineárnom dvojčlene - a, na základe skutočnosti, že koeficienty neúplného kvocientu a zvyšku súvisia s koeficientmi deliteľného polynómu a so vzorcami:
Snímka 5
Výpočty podľa Hornerovej schémy sú uvedené v tabuľke:
Príklad 1. Delenie Čiastočný podiel je x3-x2+3x - 13 a zvyšok je 42=f(-3).
Snímka 6
Hlavnou výhodou tejto metódy je kompaktnosť záznamu a schopnosť rýchle rozdelenie polynóm k binomu. V skutočnosti je Hornerova schéma ďalšou formou zaznamenávania metódy zoskupovania, hoci na rozdiel od druhej je úplne nevizuálna. Odpoveď (faktorizácia) sa tu získava sama od seba a my nevidíme proces jej získavania. Nebudeme sa púšťať do rigorózneho zdôvodňovania Hornerovej schémy, ale len ukážeme, ako to funguje.
Snímka 7
Príklad 2
Dokážme, že polynóm P(x)=x4-6x3+7x-392 je deliteľný x-7 a nájdite podiel delenia. Riešenie. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme P(7): Odtiaľ dostaneme P(7)=0, t.j. zvyšok pri delení polynómu x-7 rovná nule a preto je polynóm P(x) násobkom (x-7). Navyše čísla v druhom riadku tabuľky sú koeficienty podielu P(x) delené (x-7). preto P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Snímka 8
Vynásobte polynóm x3 – 5x2 – 2x + 16.
Tento polynóm má celočíselné koeficienty. Ak je celé číslo koreňom tohto polynómu, potom je to deliteľ čísla 16. Ak teda daný polynóm má celé korene, potom to môžu byť len čísla ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Priamym overením sme presvedčení, že číslo 2 je koreňom tohto polynómu, teda x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kde Q(x) je polynóm druhého stupňa.
Snímka 9
Výsledné čísla 1, −3, −8 sú koeficienty polynómu, ktorý získame delením pôvodného polynómu x – 2. To znamená, že výsledkom delenia je: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Stupeň polynómu vzniknutý delením je vždy o 1 menší ako stupeň pôvodného. Takže: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Hornerova schéma – spôsob delenia polynómu
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
na dvojčlene $x-a$. Budete musieť pracovať s tabuľkou, ktorej prvý riadok obsahuje koeficienty daného polynómu. Prvým prvkom druhého riadku bude číslo $a$, prevzaté z dvojčlenu $x-a$:
Po vydelení polynómu n-tého stupňa binómom $x-a$ dostaneme polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako pôvodný, t.j. sa rovná $n-1$. Priamu aplikáciu Hornerovej schémy je najjednoduchšie demonštrovať na príkladoch.
Príklad č.1
Vydeľte $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$ pomocou Hornerovej schémy.
Urobme si tabuľku dvoch riadkov: do prvého riadku zapíšeme koeficienty polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ zoradené v zostupnom poradí mocnín premennej $x$. Všimnite si, že tento polynóm neobsahuje $x$ do prvého stupňa, t.j. koeficient $x$ k prvej mocnine je 0. Keďže delíme $x-1$, napíšeme do druhého riadku jednotku:
Začnime vypĺňať prázdne bunky v druhom riadku. Do druhej bunky druhého riadku napíšeme číslo $5$, jednoducho ho presunieme zo zodpovedajúcej bunky prvého riadku:
Vyplňte nasledujúcu bunku podľa tohto princípu: $1\cdot 5+5=10$:
Rovnakým spôsobom vyplníme štvrtú bunku druhého riadku: $1\cdot 10+1=11$:
Pre piatu bunku dostaneme: $1\cdot 11+0=11$:
A nakoniec, pre poslednú, šiestu bunku, máme: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problém je vyriešený, zostáva už len zapísať odpoveď:
Ako vidíte, čísla nachádzajúce sa v druhom riadku (medzi jedným a nulou) sú koeficienty polynómu získané po vydelení $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$. Prirodzene, keďže stupeň pôvodného polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ bol rovný štyrom, stupeň výsledného polynómu $5x^3+10x^2+11x+11$ je jedna menej, t.j. rovná sa trom. Posledné číslo v druhom riadku (nula) znamená zvyšok pri delení polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$. V našom prípade je zvyšok nula, t.j. polynómy sú rovnomerne deliteľné. Tento výsledok možno charakterizovať aj takto: hodnota polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ pre $x=1$ sa rovná nule.
Záver možno formulovať aj takto: keďže hodnota polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ pri $x=1$ sa rovná nule, potom je koreňom polynómu jednota. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Príklad č.2
Vydeľte polynóm $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$ pomocou Hornerovej schémy.
Okamžite stanovme, že výraz $x+3$ musí byť reprezentovaný v tvare $x-(-3)$. Hornerova schéma bude zahŕňať presne -3 $. Keďže stupeň pôvodného polynómu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ sa rovná štyrom, potom ako výsledok delenia dostaneme polynóm tretieho stupňa:
Výsledok to znamená
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
V tejto situácii je zvyšok pri delení $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$ $4$. Alebo, čo je to isté, hodnota polynómu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pre $x=-3$ sa rovná $4$. Mimochodom, toto je ľahké skontrolovať priamym dosadením $x=-3$ do daného polynómu:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4,$$
Tie. Hornerovu schému možno použiť, ak je potrebné nájsť hodnotu polynómu at nastavená hodnota premenlivý. Ak je naším cieľom nájsť všetky korene polynómu, potom Hornerovu schému môžeme použiť niekoľkokrát za sebou, kým nevyčerpáme všetky korene, ako je to uvedené v príklade č.3.
Príklad č.3
Nájdite všetky celé korene polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pomocou Hornerovej schémy.
Koeficienty daného polynómu sú celé čísla a koeficient najvyššej mocniny premennej (t. j. $x^6$) sa rovná jednej. V tomto prípade treba celočíselné korene polynómu hľadať medzi deliteľmi voľného člena, t.j. medzi deliteľmi čísla 45. Pre daný polynóm môžu byť takéto korene čísla $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ a -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 dolár. Pozrime sa napríklad na číslo $1$:
Ako vidíte, hodnota polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ s $x=1$ sa rovná $192$ ( posledné číslo v druhom riadku), a nie $0$, preto jednota nie je koreňom tohto polynómu. Keďže kontrola jedného zlyhala, skontrolujme hodnotu $x=-1$. Nový stôl Na tento účel nebudeme zostavovať, ale budeme naďalej používať tabuľku. č. 1, pridávajúc k nemu nový (tretí) riadok. Druhý riadok, v ktorom bola zaškrtnutá hodnota $1$, bude zvýraznený červenou farbou a nebude použitý v ďalších diskusiách.
Tabuľku môžete samozrejme jednoducho znova prepísať, no manuálne vyplnenie zaberie veľa času. Okrem toho môže existovať niekoľko čísel, ktorých overenie zlyhá, a je ťažké zakaždým napísať novú tabuľku. Pri výpočte „na papieri“ možno červené čiary jednoducho prečiarknuť.
Takže hodnota polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pri $x=-1$ sa rovná nule, t.j. číslo $-1$ je koreň tohto polynómu. Po delení polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ dvojčlenom $x-(-1)=x+1$ dostaneme polynóm $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, ktorých koeficienty sú prevzaté z tretieho riadku tabuľky. č. 2 (pozri príklad č. 1). Výsledok výpočtov možno prezentovať aj v tejto forme:
\začiatok(rovnica)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(rovnica)
Pokračujme v hľadaní koreňov celého čísla. Teraz musíme hľadať korene polynómu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Opäť sa celočíselné korene tohto polynómu hľadajú medzi deliteľmi jeho voľného termínu, teda číslami $45$. Skúsme ešte raz skontrolovať číslo $-1$. Nevytvoríme novú tabuľku, ale budeme naďalej používať predchádzajúcu tabuľku. č.2, t.j. Pridajme k tomu ešte jeden riadok:
Takže číslo $-1$ je koreňom polynómu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Tento výsledok možno zapísať takto:
\začiatok(rovnica)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(rovnica)
Berúc do úvahy rovnosť (2), rovnosť (1) možno prepísať do nasledujúcej podoby:
\začiatok(rovnica)\začiatok(zarovnané) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\koniec (zarovnané)\koniec (rovnica)
Teraz musíme hľadať korene polynómu $x^4-22x^2+24x+45$ - prirodzene, medzi deliteľmi jeho voľného člena (čísla $45$). Pozrime sa znova na číslo $-1$:
Číslo $-1$ je koreňom polynómu $x^4-22x^2+24x+45$. Tento výsledok možno zapísať takto:
\začiatok(rovnica)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(rovnica)
Berúc do úvahy rovnosť (4), prepíšeme rovnosť (3) v nasledujúcom tvare:
\začiatok(rovnica)\začiatok(zarovnané) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\koniec (zarovnané)\koniec (rovnica)
Teraz hľadáme korene polynómu $x^3-x^2-21x+45$. Pozrime sa znova na číslo $-1$:
Kontrola skončila neúspešne. Zvýraznime šiesty riadok červenou farbou a skúsme skontrolovať iné číslo, napríklad číslo $3$:
Zvyšok je nula, preto číslo $3$ je koreňom príslušného polynómu. Takže $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Teraz možno rovnosť (5) prepísať nasledovne.
