Tento článok poskytuje predstavu o tom, ako napísať rovnicu prechádzajúcej roviny tento bod trojrozmerný priestor kolmý na danú priamku. Analyzujme daný algoritmus na príklade riešenia typických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom v priestore kolmo na danú priamku

Nech je daný trojrozmerný priestor a pravouhlý systém súradnice O x y z v ňom. Daný je aj bod M 1 (x 1, y 1, z 1), priamka a a rovina α prechádzajúca bodom M 1 kolmá na priamku a. Je potrebné zapísať rovnicu roviny α.

Skôr ako začneme riešiť tento problém, spomeňme si na geometrickú vetu z učebných osnov pre ročníky 10-11, ktorá hovorí:

Definícia 1

Cez daný bod trojrozmerný priestor existuje jedna rovina kolmá na danú priamku.

Teraz sa pozrime na to, ako nájsť rovnicu tejto jedinej roviny prechádzajúcej počiatočným bodom a kolmej na danú priamku.

Je možné zapísať všeobecná rovnica rovine, ak sú známe súradnice bodu prislúchajúceho tejto rovine, ako aj súradnice normálového vektora roviny.

Podmienky úlohy nám dávajú súradnice x 1, y 1, z 1 bodu M 1, ktorým prechádza rovina α. Ak určíme súradnice normálového vektora roviny α, potom budeme vedieť zapísať požadovanú rovnicu.

Normálny vektor roviny α, keďže je nenulový a leží na priamke a, kolmo na rovinuα bude ľubovoľný smerový vektor priamky a. Problém hľadania súradníc normálového vektora roviny α sa teda transformuje na problém určenia súradníc smerového vektora priamky a.

Je možné určiť súradnice smerového vektora priamky a rôzne metódy: závisí od možnosti zadať priamku a v počiatočných podmienkach. Napríklad, ak je priamka a v probléme daná kanonickými rovnicami formulára

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

alebo parametrické rovnice typ:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

potom smerový vektor priamky bude mať súradnice a x, a y a a z. V prípade, že priamku a predstavujú dva body M 2 (x 2, y 2, z 2) a M 3 (x 3, y 3, z 3), súradnice smerového vektora budú určené ako ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definícia 2

Algoritmus na nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na danú priamku:

Určíme súradnice smerového vektora priamky a: a → = (a x, a y, a z) ;

Súradnice normálového vektora roviny α definujeme ako súradnice smerového vektora priamky a:

n → = (A, B, C), kde A = ax, B = ay, C = az;

Napíšeme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a majúcej normálový vektor n → = (A, B, C) v tvare A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Toto bude požadovaná rovnica roviny, ktorá prechádza daným bodom v priestore a je kolmá na danú priamku.

Výsledná všeobecná rovnica roviny je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 umožňuje získať rovnicu roviny v segmentoch alebo normálnu rovnicu roviny.

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov pomocou algoritmu získaného vyššie.

Príklad 1

Je daný bod M 1 (3, - 4, 5), ktorým rovina prechádza a táto rovina je kolmá na súradnicu O z.

Riešenie

smerový vektor súradnicovej priamky O z bude súradnicový vektor k = (0, 0, 1). Preto má normálový vektor roviny súradnice (0, 0, 1). Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom M 1 (3, - 4, 5), ktorej normálový vektor má súradnice (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odpoveď: z – 5 = 0 .

Uvažujme o inom spôsobe riešenia tohto problému:

Príklad 2

Rovina, ktorá je kolmá na priamku O z, bude daná neúplnou všeobecnou rovinnou rovnicou v tvare C z + D = 0, C ≠ 0. Určme hodnoty C a D: tie, pri ktorých rovina prechádza daným bodom. Dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice C z + D = 0, dostaneme: C · 5 + D = 0. Tie. čísla, C a D súvisia vzťahom - D C = 5. Ak vezmeme C = 1, dostaneme D = - 5.

Dosadme tieto hodnoty do rovnice C z + D = 0 a získame požadovanú rovnicu roviny kolmej na priamku O z a prechádzajúcej bodom M 1 (3, - 4, 5).

Bude to vyzerať takto: z – 5 = 0.

odpoveď: z – 5 = 0 .

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu počiatkom a kolmú na priamku x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riešenie

Na základe podmienok úlohy možno tvrdiť, že smerový vektor danej priamky možno brať ako normálový vektor n → danej roviny. Teda: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom O (0, 0, 0) s normálovým vektorom n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Získali sme požadovanú rovnicu roviny prechádzajúcej počiatkom súradníc kolmých na danú priamku.

odpoveď:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Príklad 4

Je daný pravouhlý súradnicový systém O x y z trojrozmerný priestor, obsahuje dva body A (2, - 1, - 2) a B (3, - 2, 4). Rovina α prechádza bodom A kolmým na priamku A B. Pre rovinu α je potrebné vytvoriť rovnicu v segmentoch.

Riešenie

Rovina α je kolmá na priamku A B, potom vektor A B → bude normálovým vektorom roviny α. Súradnice tohto vektora sú definované ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami bodov B (3, - 2, 4) a A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Všeobecná rovnica roviny bude napísaná takto:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz zostavme požadovanú rovnicu roviny v segmentoch:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odpoveď:x - 9 + y9 + z - 32 = 1

Treba tiež poznamenať, že existujú problémy, ktorých požiadavkou je napísať rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom a kolmej na dva dané lietadlá. Vo všeobecnosti je riešením tohto problému zostrojiť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom kolmým na danú priamku, pretože dve pretínajúce sa roviny vymedzujú priamku.

Príklad 5

Je daný pravouhlý súradnicový systém O x y z, v ňom je bod M 1 (2, 0, - 5). Sú uvedené aj rovnice dvoch rovín 3 x + 2 y + 1 = 0 a x + 2 z – 1 = 0, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky a. Je potrebné vytvoriť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom M 1 kolmou na priamku a.

Riešenie

Určme súradnice smerového vektora priamky a. Je kolmý na normálový vektor n 1 → (3, 2, 0) roviny n → (1, 0, 2) aj na normálový vektor 3 x + 2 y + 1 = 0 z x + 2 z - 1 = 0 rovina.

Potom ako smerový vektor α → priamka a vezmeme vektorový súčin vektorov n 1 → a n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Vektor n → = (4, - 6, - 2) bude teda normálovým vektorom roviny kolmej na priamku a. Zapíšme si požadovanú rovnicu roviny:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prvá úroveň

Súradnice a vektory. Komplexný sprievodca (2019)

V tomto článku začneme diskutovať o jednej „kúzelnej palici“, ktorá vám umožní zredukovať mnohé geometrické problémy na jednoduchú aritmetiku. Táto „palica“ vám môže výrazne uľahčiť život, najmä keď sa cítite neistí pri vytváraní priestorových obrazcov, rezov atď. To všetko si vyžaduje určitú predstavivosť a praktické zručnosti. Metóda, ktorú tu začneme uvažovať, vám umožní takmer úplne abstrahovať od akéhokoľvek druhu geometrické konštrukcie a uvažovanie. Metóda sa volá "súradnicová metóda". V tomto článku sa budeme zaoberať nasledujúcimi otázkami:

1. Súradnicová rovina
2. Body a vektory v rovine
3. Zostrojenie vektora z dvoch bodov
4. Dĺžka vektora (vzdialenosť medzi dvoma bodmi).
5. Súradnice stredu segmentu
6. Skalárny súčin vektory
7. Uhol medzi dvoma vektormi

Myslím, že ste už uhádli, prečo sa tak nazýva súradnicová metóda? To je pravda, dostal to meno, pretože nepracuje s geometrickými objektmi, ale s ich číselné charakteristiky(súradnice). A samotná transformácia, ktorá nám umožňuje prejsť od geometrie k algebre, spočíva v zavedení súradnicového systému. Ak bol pôvodný obrazec plochý, súradnice sú dvojrozmerné a ak je obrazec trojrozmerný, súradnice sú trojrozmerné. V tomto článku sa budeme zaoberať iba dvojrozmerným prípadom. A hlavným cieľom článku je naučiť vás, ako niektoré používať základné techniky súradnicová metóda (niekedy sa ukážu ako užitočné pri riešení úloh z planimetrie v časti B jednotnej štátnej skúšky). Ďalšie dve časti na túto tému sú venované diskusii o metódach riešenia úloh C2 (problém stereometrie).

Kde by bolo logické začať diskutovať o metóde súradníc? Pravdepodobne z konceptu súradnicového systému. Pamätajte si, kedy ste sa s ňou prvýkrát stretli. Zdá sa mi, že v 7. ročníku, keď ste sa dozvedeli o existencii lineárna funkcia, Napríklad. Dovoľte mi pripomenúť, že ste to postavili bod po bode. Pamätáš si? Vybral si si ľubovoľné číslo, dosadil do vzorca a vypočítal takto. Napríklad, ak, potom, ak, potom atď. Čo ste nakoniec dostali? A dostali ste body so súradnicami: a. Ďalej ste nakreslili „kríž“ (súradnicový systém), vybrali na ňom mierku (koľko buniek budete mať jeden segment) a označili ste na ňom body, ktoré ste získali, ktoré ste potom spojili priamkou, výsledná čiara je grafom funkcie.

Tu je niekoľko bodov, ktoré by vám mali byť vysvetlené trochu podrobnejšie:

1. Z dôvodu pohodlia si vyberiete jeden segment, aby všetko krásne a kompaktne zapadalo do výkresu.

2. Je akceptované, že os ide zľava doprava a os ide zdola nahor

3. Pretínajú sa v pravom uhle a ich priesečník sa nazýva počiatok. Označuje sa písmenom.

4. Pri písaní súradníc bodu je napríklad vľavo v zátvorke súradnica bodu pozdĺž osi a vpravo pozdĺž osi. Najmä to jednoducho znamená, že v bode

5. Ak chcete určiť ľubovoľný bod na osi súradníc, musíte uviesť jeho súradnice (2 čísla)

6. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

7. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

8. Os sa nazýva os x

9. Os sa nazýva os y

Teraz urobme ďalší krok: označte dva body. Spojme tieto dva body segmentom. A šípku umiestnime tak, ako keby sme kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nasmerujeme!

Pamätáte si, ako sa nazýva ďalší smerový segment? Presne tak, volá sa to vektor!

Takže ak spojíme bodku s bodkou, a začiatok bude bod A a koniec bude bod B, potom dostaneme vektor. Túto stavbu ste robili aj v 8. ročníku, pamätáte?

Ukazuje sa, že vektory, podobne ako body, môžu byť označené dvoma číslami: tieto čísla sa nazývajú vektorové súradnice. Otázka: Myslíte si, že nám stačí poznať súradnice začiatku a konca vektora, aby sme našli jeho súradnice? Ukazuje sa, že áno! A to sa robí veľmi jednoducho:

Pretože vo vektore je bod začiatkom a bod je koncom, vektor má nasledujúce súradnice:

Napríklad ak, tak súradnice vektora

Teraz urobme opak, nájdime súradnice vektora. Čo k tomu musíme zmeniť? Áno, musíte vymeniť začiatok a koniec: teraz bude začiatok vektora v bode a koniec bude v bode. potom:

Pozrite sa pozorne, aký je rozdiel medzi vektormi a? Ich jediným rozdielom sú znaky v súradniciach. Sú protiklady. Táto skutočnosť sa zvyčajne píše takto:

Niekedy, ak nie je konkrétne uvedené, ktorý bod je začiatok vektora a ktorý koniec, vektory sú označené viac ako dvoma veľkými písmenami, a jedno malé písmeno, napríklad: , atď.

Teraz trochu prax a nájdite súradnice nasledujúcich vektorov:

Vyšetrenie:

Teraz vyriešte trochu zložitejší problém:

Vektor so začiatkom v bode má co-or-di-na-you. Nájdite body abs-cis-su.

To isté je celkom prozaické: Nech sú súradnice bodu. Potom

Systém som zostavil na základe definície toho, čo sú vektorové súradnice. Potom má bod súradnice. Nás zaujíma abscisa. Potom

odpoveď:

Čo ešte môžete robiť s vektormi? Áno, takmer všetko je rovnaké ako s bežné čísla(okrem toho, že nemôžete deliť, ale môžete násobiť dvoma spôsobmi, o jednom z nich tu budeme diskutovať o niečo neskôr)

1. Vektory sa môžu navzájom pridávať
2. Vektory je možné od seba odčítať
3. Vektory je možné násobiť (alebo deliť) ľubovoľným nenulovým číslom
4. Vektory sa môžu navzájom násobiť

Všetky tieto operácie majú veľmi jasné geometrické znázornenie. Napríklad pravidlo trojuholníka (alebo rovnobežníka) na sčítanie a odčítanie:

Vektor sa pri vynásobení alebo delení číslom natiahne, zmrští alebo zmení smer:

Tu nás však bude zaujímať otázka, čo sa stane so súradnicami.

1. Pri sčítaní (odčítaní) dvoch vektorov pripočítavame (odčítame) ich súradnice prvok po prvku. To je:

2. Pri násobení (delení) vektora číslom sa všetky jeho súradnice vynásobia (delia) týmto číslom:

Napríklad:

· Nájdite množstvo co-or-di-nat storočia-k-ra.

Najprv nájdime súradnice každého z vektorov. Obaja majú rovnaký pôvod - východiskový bod. Ich konce sú rôzne. Potom, . Teraz vypočítajme súradnice vektora, potom sa súčet súradníc výsledného vektora rovná.

odpoveď:

Teraz vyriešte nasledujúci problém sami:

· Nájdite súčet vektorových súradníc

Kontrolujeme:

Uvažujme teraz o nasledujúcom probléme: máme dva body súradnicová rovina. Ako zistiť vzdialenosť medzi nimi? Nech je prvý bod a druhý. Označme vzdialenosť medzi nimi. Pre prehľadnosť urobme nasledujúci nákres:

Čo som urobil? V prvom rade som sa pripojil bodky a,a tiež z bodu som nakreslil priamku rovnobežnú s osou a z bodu som nakreslil priamku rovnobežnú s osou. Pretínali sa v určitom bode a vytvorili pozoruhodnú postavu? Čo je na nej také zvláštne? Áno, vy a ja vieme takmer všetko správny trojuholník. No určite Pytagorova veta. Požadovaný segment je prepona tohto trojuholníka a segmenty sú nohy. Aké sú súradnice bodu? Áno, dajú sa ľahko nájsť z obrázku: Keďže segmenty sú rovnobežné s osami, respektíve ich dĺžky sa dajú ľahko nájsť: ak dĺžky segmentov označíme, resp.

Teraz použijeme Pytagorovu vetu. Poznáme dĺžky nôh, nájdeme preponu:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je teda odmocninou zo súčtu umocnených rozdielov od súradníc. Alebo - vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka segmentu, ktorý ich spája. Je ľahké vidieť, že vzdialenosť medzi bodmi nezávisí od smeru. potom:

Z toho vyvodíme tri závery:

Poďme si trochu precvičiť výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi:

Napríklad, ak, potom vzdialenosť medzi a je rovná

Alebo poďme inak: nájdite súradnice vektora

A nájdite dĺžku vektora:

Ako vidíte, je to to isté!

Teraz si trochu zacvičte:

Úloha: nájdite vzdialenosť medzi označenými bodmi:

Kontrolujeme:

Tu je niekoľko ďalších problémov s použitím rovnakého vzorca, aj keď znejú trochu inak:

1. Nájdite druhú mocninu dĺžky očného viečka.

2. Nájdite druhú mocninu dĺžky očného viečka

Myslím, že ste si s nimi poradili bez problémov? Kontrolujeme:

1. A to je pre pozornosť) Súradnice vektorov sme už našli skôr: . Potom má vektor súradnice. Druhá mocnina jeho dĺžky sa bude rovnať:

2. Nájdite súradnice vektora

Potom je štvorec jeho dĺžky

Nič zložité, však? Jednoduchá aritmetika, nič viac.

Nasledujúce problémy nemožno jednoznačne klasifikovať, skôr sú všeobecná erudícia a schopnosť kresliť jednoduché obrázky.

1. Nájdite sínus uhla rezu spájajúceho bod s osou x.

A

Ako tu budeme postupovať? Musíme nájsť sínus uhla medzi a osou. Kde môžeme hľadať sínus? Presne tak, v pravouhlom trojuholníku. Čo teda musíme urobiť? Postavte tento trojuholník!

Keďže súradnice bodu sú a, potom sa segment rovná a segment. Musíme nájsť sínus uhla. Dovoľte mi pripomenúť, že sínus je pomer opačná noha do prepony teda

Čo nám ostáva robiť? Nájdite preponu. Môžete to urobiť dvoma spôsobmi: pomocou Pytagorovej vety (nohy sú známe!) alebo pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi (v skutočnosti to isté ako prvá metóda!). Idem druhou cestou:

odpoveď:

Ďalšia úloha sa vám bude zdať ešte jednoduchšia. Je na súradniciach bodu.

Úloha 2. Z tohto bodu sa per-pen-di-ku-lyar spustí na os ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Urobme si kresbu:

Základňa kolmice je bod, v ktorom pretína os x (os), pre mňa je to bod. Obrázok ukazuje, že má súradnice: . Zaujíma nás abscisa - teda zložka „x“. Je rovnocenná.

odpoveď: .

Úloha 3. V podmienkach predchádzajúcej úlohy nájdite súčet vzdialeností od bodu k súradnicovým osám.

Úloha je vo všeobecnosti elementárna, ak viete, aká je vzdialenosť od bodu k osám. Vieš? Dúfam, ale aj tak ti pripomeniem:

Nakreslil som teda na svojom výkrese tesne vyššie už jednu takúto kolmicu? Na ktorej osi je? Do osi. A aká je potom jeho dĺžka? Je rovnocenná. Teraz sami nakreslite kolmicu na os a nájdite jej dĺžku. Bude to rovnaké, však? Potom sa ich súčet rovná.

odpoveď: .

Úloha 4. V podmienkach úlohy 2 nájdite súradnicu bodu, symetrický bod vzhľadom na os x.

Myslím, že je vám intuitívne jasné, čo je symetria? Má to veľa predmetov: veľa budov, stolov, lietadiel, veľa geometrické obrazce: guľa, valec, štvorec, kosoštvorec atď. Zhruba povedané, symetriu možno chápať takto: obrazec sa skladá z dvoch (alebo viacerých) rovnakých polovíc. Táto symetria sa nazýva osová symetria. Čo je potom os? Toto je presne čiara, pozdĺž ktorej sa dá postava relatívne vzaté „rozrezať“ na rovnaké polovice (na tomto obrázku je os symetrie rovná):

Teraz sa vráťme k našej úlohe. Vieme, že hľadáme bod, ktorý je symetrický okolo osi. Potom je táto os osou symetrie. To znamená, že musíme označiť bod tak, že os rozdelí segment na dve rovnaké časti. Skúste si sami vyznačiť takýto bod. Teraz porovnajte s mojím riešením:

Vyšlo vám to rovnako? Dobre! Zaujíma nás ordináta nájdeného bodu. Je to rovné

odpoveď:

Teraz mi povedzte, po pár sekundách premýšľania, aká bude úsečka bodu súmerného k bodu A vzhľadom na súradnicu? Aká je vaša odpoveď? Správna odpoveď: .

IN všeobecný prípad pravidlo sa dá napísať takto:

Bod symetrický k bodu vzhľadom na os x má súradnice:

Bod symetrický k bodu vzhľadom na zvislú os má súradnice:

No teraz je to úplne strašidelné úloha: nájsť súradnice bodu symetrického k bodu vzhľadom na počiatok. Najprv premýšľajte o sebe a potom sa pozrite na moju kresbu!

odpoveď:

Teraz Problém s paralelogramom:

Úloha 5: Body sa objavia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite alebo-di-na-tomto bode.

Tento problém môžete vyriešiť dvoma spôsobmi: logikou a súradnicovou metódou. Najprv použijem súradnicovú metódu a potom vám poviem, ako to môžete vyriešiť inak.

Je celkom jasné, že úsečka bodu je rovná. (leží na kolmici vedenej od bodu k osi x). Musíme nájsť súradnicu. Využime skutočnosť, že náš obrazec je rovnobežník, to znamená. Nájdite dĺžku segmentu pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

Znížime kolmicu spájajúcu bod s osou. Priesečník označím písmenom.

Dĺžka segmentu je rovnaká. (nájdite si problém, kde sme diskutovali o tomto bode), potom zistíme dĺžku segmentu pomocou Pytagorovej vety:

Dĺžka segmentu sa presne zhoduje s jeho ordinátou.

odpoveď: .

Iné riešenie (uvediem len obrázok, ktorý to ilustruje)

Priebeh riešenia:

1. Správanie

2. Nájdite súradnice bodu a dĺžku

3. Dokážte to.

Ďalší problém s dĺžkou segmentu:

Body sa zobrazia v hornej časti trojuholníka. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary, rovnobežnú.

Pamätáš si, čo to je? stredná čiara trojuholník? Potom je táto úloha pre vás základná. Ak si nepamätáte, potom vám pripomeniem: stredná čiara trojuholníka je čiara, ktorá spája stredy protiľahlé strany. Je rovnobežná so základňou a rovná sa jej polovici.

Základom je segment. Jeho dĺžku sme museli hľadať skôr, je rovnaká. Potom je dĺžka strednej čiary polovičná a rovnaká.

odpoveď: .

Komentár: tento problém možno vyriešiť iným spôsobom, na ktorý sa pozrieme o niečo neskôr.

Medzitým je tu pre vás niekoľko problémov, cvičte na nich, sú veľmi jednoduché, ale pomôžu vám zlepšiť sa v používaní súradnicovej metódy!

1. Body sú vrcholom tra-pécií. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary.

2. Body a vystúpenia ver-shi-na-mi par-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite alebo-di-na-tomto bode.

3. Nájdite dĺžku od rezu, spojte bod a

4. Nájdite oblasť za farebným obrazcom na rovine súradnice.

5. Bodom prechádza kružnica so stredom v na-cha-le ko-or-di-nat. Nájdite jej ra-di-us.

6. Nájdi-di-te ra-di-us kruhu, popíš-san-noy o pravý-uhol-no-ka, vrcholy niečoho majú ko-alebo -di-na-si tak-zodpovedný

Riešenia:

1. Je známe, že stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu jeho základov. Základ je rovnaký a základňa. Potom

odpoveď:

2. Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť tento problém, je poznamenať si to (pravidlo rovnobežnosti). Výpočet súradníc vektorov nie je náročný: . Pri pridávaní vektorov sa súradnice pridávajú. Potom má súradnice. Bod má tiež tieto súradnice, keďže počiatkom vektora je bod so súradnicami. Zaujíma nás ordinát. Je rovnocenná.

odpoveď:

3. Okamžite konáme podľa vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

odpoveď:

4. Pozrite sa na obrázok a povedzte mi, medzi ktorými dvoma postavami je tieňovaná oblasť „vložená“? Je vložený medzi dva štvorce. Potom sa plocha požadovaného čísla rovná ploche veľkého štvorca mínus plocha malého. Side malé námestie je segment spájajúci body a Jeho dĺžka je

Potom je plocha malého námestia

To isté robíme s veľkým štvorcom: jeho strana je segment spájajúci body a jeho dĺžka je

Potom je plocha veľkého námestia

Nájdeme oblasť požadovaného obrázku pomocou vzorca:

odpoveď:

5. Ak má kružnica počiatok ako svoj stred a prechádza bodom, potom jej polomer bude presne rovná dĺžke segment (urobte si kresbu a pochopíte, prečo je to zrejmé). Poďme zistiť dĺžku tohto segmentu:

odpoveď:

6. Je známe, že polomer kružnice opísanej okolo obdĺžnika rovná polovici jeho uhlopriečky. Nájdite dĺžku ktorejkoľvek z dvoch uhlopriečok (napokon, v obdĺžniku sú rovnaké!)

odpoveď:

No vyrovnali ste sa so všetkým? Nebolo veľmi ťažké na to prísť, však? Platí tu len jedno pravidlo – vedieť si urobiť vizuálny obraz a jednoducho z neho „prečítať“ všetky údaje.

Zostáva nám veľmi málo. Sú tu doslova dva ďalšie body, o ktorých by som chcel diskutovať.

Pokúsme sa vyriešiť tento jednoduchý problém. Nechajte dva body a budú dané. Nájdite súradnice stredu segmentu. Riešenie tohto problému je nasledovné: nech je bod požadovaný stred, potom má súradnice:

To je: súradnice stredu segmentu = aritmetický priemer zodpovedajúcich súradníc koncov segmentu.

Toto pravidlo je veľmi jednoduché a študentom zvyčajne nespôsobuje ťažkosti. Pozrime sa, v akých problémoch a ako sa používa:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Zdá sa, že body sú vrcholom sveta. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu body za-re-se-che-niya jeho dia-go-na-ley.

3. Nájdite-di-te abs-cis-su stred kruhu, popíšte-san-noy o obdĺžnikovom-no-ka, vrcholy niečoho majú co-alebo-di-na-si tak-zodpovedne-ale.

Riešenia:

1. Prvý problém je jednoducho klasika. Okamžite pristúpime k určeniu stredu segmentu. Má súradnice. Súradnica je rovnaká.

odpoveď:

2. Je ľahké vidieť, že tento štvoruholník je rovnobežník (dokonca aj kosoštvorec!). Môžete to dokázať sami vypočítaním dĺžok strán a ich vzájomným porovnaním. Čo viem o rovnobežkách? Jeho uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom! Áno! Aký je teda priesečník uhlopriečok? Toto je stred ktorejkoľvek z uhlopriečok! Vyberiem si najmä uhlopriečku. Potom má bod súradnice Súradnica bodu sa rovná.

odpoveď:

3. S čím sa zhoduje stred kružnice opísanej okolo obdĺžnika? Zhoduje sa s priesečníkom jej uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika? Sú si rovné a priesečník ich rozdeľuje na polovicu. Úloha bola zredukovaná na predchádzajúcu. Vezmime si napríklad uhlopriečku. Potom, ak je stred opísanej kružnice, potom je stred. Hľadám súradnice: Úsečka sa rovná.

odpoveď:

Teraz si trochu zacvičte sami, dám vám odpovede na každý problém, aby ste sa mohli otestovať.

1. Nájsť-di-te ra-di-us kruhu, popísať-san-noy o tri-uhol-no-ka, vrcholy niečoho majú ko-alebo-di -no misters

2. Nájdite-di-te alebo-di-na-tom strede kruhu, popíšte-san-noy o trojuholníku-no-ka, ktorého vrcholy majú súradnice

3. Aký druh ra-di-u-sa by mal byť kruh so stredom v bode, aby sa dotýkal osi ab-ciss?

4. Nájdite-di-ty alebo-di-na tom bode re-se-ce-tion osi a od-rez, spoj-the-bod a

Odpovede:

Bolo všetko úspešné? Naozaj v to dúfam! Teraz - posledné stlačenie. Teraz buďte obzvlášť opatrní. Materiál, ktorý teraz vysvetlím, priamo súvisí nielen s jednoduché úlohy na súradnicovú metódu z časti B, ale nachádza sa všade aj v úlohe C2.

Ktorý z mojich sľubov som ešte nedodržal? Pamätáte si, aké operácie s vektormi som sľúbil zaviesť a ktoré som nakoniec zaviedol? Si si istý, že som na nič nezabudol? Zabudol! Zabudol som vysvetliť, čo znamená vektorové násobenie.

Existujú dva spôsoby, ako vynásobiť vektor vektorom. V závislosti od zvolenej metódy získame predmety rôznej povahy:

Vektorové umelecké dielo Je to urobené celkom šikovne. Ako to urobiť a prečo je to potrebné, si povieme v nasledujúcom článku. A v tomto sa zameriame na skalárny súčin.

Existujú dva spôsoby, ako to vypočítať:

Ako ste uhádli, výsledok by mal byť rovnaký! Pozrime sa teda najprv na prvú metódu:

Bodový produkt cez súradnice

Nájsť: - všeobecne akceptovaný zápis pre skalárny súčin

Vzorec na výpočet je nasledujúci:

To znamená, že skalárny súčin = súčet súčinov vektorových súradníc!

Príklad:

Nájsť-di-te

Riešenie:

Nájdite súradnice každého z vektorov:

Skalárny súčin vypočítame pomocou vzorca:

odpoveď:

Vidíte, absolútne nič zložité!

No a teraz to skúste sami:

· Nájdite skalárneho pro-iz-ve-de-nie storočí a

Zvládli ste to? Možno ste si všimli malý háčik? Skontrolujme to:

Vektorové súradnice, ako v predchádzajúcom probléme! Odpoveď: .

Okrem súradnicového existuje ďalší spôsob, ako vypočítať skalárny súčin, a to prostredníctvom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Označuje uhol medzi vektormi a.

To znamená, že skalárny súčin sa rovná súčinu dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Prečo potrebujeme tento druhý vzorec, ak máme prvý, ktorý je oveľa jednoduchší, aspoň v ňom nie sú žiadne kosínusy. A je to potrebné, aby sme z prvého a druhého vzorca vy a ja odvodili, ako nájsť uhol medzi vektormi!

Nech Potom si zapamätajte vzorec pre dĺžku vektora!

Potom, ak tieto údaje nahradím do vzorca skalárneho produktu, dostanem:

Ale inak:

Čo sme teda dostali vy a ja? Teraz máme vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať uhol medzi dvoma vektormi! Niekedy sa to pre stručnosť píše aj takto:

To znamená, že algoritmus na výpočet uhla medzi vektormi je nasledujúci:

1. Vypočítajte skalárny súčin pomocou súradníc
2. Nájdite dĺžky vektorov a vynásobte ich
3. Výsledok z bodu 1 vydeľte výsledkom z bodu 2

Precvičme si na príkladoch:

1. Nájdite uhol medzi viečkami a. Uveďte odpoveď v grad-du-sah.

2. V podmienkach predchádzajúcej úlohy nájdite kosínus medzi vektormi

Poďme na to: Pomôžem vám vyriešiť prvý problém a druhý sa pokúste vyriešiť sami! súhlasíte? Potom začnime!

1. Tieto vektory sú naši starí priatelia. Už sme vypočítali ich skalárny súčin a bol rovný. Ich súradnice sú: , . Potom zistíme ich dĺžky:

Potom hľadáme kosínus medzi vektormi:

Aký je kosínus uhla? Toto je roh.

odpoveď:

No a teraz vyriešte druhý problém sami a potom porovnajte! Dám len veľmi krátke riešenie:

2. má súradnice, má súradnice.

Dovoliť je uhol medzi vektormi a, potom

odpoveď:

Treba poznamenať, že problémy priamo na vektoroch a súradnicovej metóde v časti B skúškový papier dosť zriedkavé. Prevažná väčšina problémov C2 sa však dá jednoducho vyriešiť zavedením súradnicového systému. Tento článok teda môžete považovať za základ, na základe ktorého vyrobíme celkom šikovné stavby, ktoré budeme potrebovať vyriešiť komplexné úlohy.

SÚRADNICE A VEKTORY. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Vy a ja pokračujeme v štúdiu súradnicovej metódy. V poslednej časti sme odvodili sériu dôležité vzorce, ktoré umožňujú:

1. Nájdite vektorové súradnice
2. Nájdite dĺžku vektora (alternatívne: vzdialenosť medzi dvoma bodmi)
3. Sčítanie a odčítanie vektorov. Vynásobte ich Reálne číslo
4. Nájdite stred segmentu
5. Vypočítajte bodový súčin vektorov
6. Nájdite uhol medzi vektormi

Samozrejme, celá súradnicová metóda sa do týchto 6 bodov nezmestí. Je základom takej vedy, ako je analytická geometria, s ktorou sa zoznámite na vysokej škole. Chcem len vybudovať základ, ktorý vám umožní riešiť problémy v jedinom štáte. skúška. Zaoberali sme sa úlohami časti B. Teraz je čas prejsť na vysokú kvalitu nová úroveň! Tento článok bude venovaný metóde riešenia tých problémov C2, pri ktorých by bolo rozumné prejsť na súradnicovú metódu. Táto primeranosť je určená tým, čo je potrebné nájsť v probléme a aký údaj je uvedený. Použil by som teda metódu súradníc, ak sú otázky:

1. Nájdite uhol medzi dvoma rovinami
2. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou
3. Nájdite uhol medzi dvoma priamymi čiarami
4. Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine
5. Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare
6. Nájdite vzdialenosť od priamky k rovine
7. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma čiarami

Ak je údaj uvedený v zadaní problému rotačným telesom (guľa, valec, kužeľ...)

Vhodné obrázky pre súradnicovú metódu sú:

1. Obdĺžnikový rovnobežnosten
2. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková)

Aj z mojej skúsenosti je nevhodné použiť súradnicovú metódu na:

1. Hľadanie prierezových plôch
2. Výpočet objemov telies

Ihneď však treba poznamenať, že tri „nepriaznivé“ situácie pre súradnicovú metódu sú v praxi pomerne zriedkavé. Vo väčšine úloh sa môže stať vaším záchrancom, najmä ak nie ste príliš silní trojrozmerné konštrukcie(čo môže byť niekedy dosť zložité).

Aké sú všetky čísla, ktoré som uviedol vyššie? Už nie sú ploché, ako napríklad štvorec, trojuholník, kruh, ale objemné! V súlade s tým musíme zvážiť nie dvojrozmerné, ale trojrozmerný systém súradnice Je to celkom jednoduché zostrojiť: len okrem úsečky a osi y zavedieme ďalšiu os, aplikačnú os. Obrázok schematicky znázorňuje ich relatívnu polohu:

Všetky sú navzájom kolmé a pretínajú sa v jednom bode, ktorý budeme nazývať počiatok súradníc. Rovnako ako predtým budeme označovať os x, ordinátnu os - a zavedenú aplikačnú os - .

Ak bol predtým každý bod v rovine charakterizovaný dvoma číslami - úsečkou a ordinátou, potom je každý bod v priestore už opísaný tromi číslami - úsečka, ordináta a aplikácia. Napríklad:

V súlade s tým je úsečka bodu rovná, ordináta je , a aplikácia je .

Niekedy sa úsečka bodu nazýva aj priemet bodu na súradnicovú os, ordináta - priemet bodu na súradnicovú os a applicát - priemet bodu na os aplikácie. Ak je teda daný bod, potom bod so súradnicami:

sa nazýva premietanie bodu do roviny

sa nazýva premietanie bodu do roviny

Vynára sa prirodzená otázka: sú všetky vzorce odvodené pre dvojrozmerný prípad platné v priestore? Odpoveď je áno, sú spravodliví a majú rovnaký vzhľad. Pre malý detail. Myslím, že ste už uhádli, ktorý to je. Vo všetkých vzorcoch budeme musieť pridať ešte jeden výraz zodpovedný za os aplikácie. Totiž.

1. Ak sú dané dva body: , potom:

• Vektorové súradnice:
• Vzdialenosť medzi dvoma bodmi (alebo dĺžka vektora)
• Stred segmentu má súradnice

2. Ak sú dané dva vektory: a, potom:

• Ich skalárny súčin sa rovná:
• Kosínus uhla medzi vektormi sa rovná:

Priestor však nie je taký jednoduchý. Ako ste pochopili, pridanie jednej ďalšej súradnice zavádza významnú rozmanitosť do spektra postáv „žijúcich“ v tomto priestore. A pre ďalšie rozprávanie budem musieť zaviesť nejaké, zhruba povedané, „zovšeobecnenie“ priamej línie. Toto „zovšeobecnenie“ bude rovinou. Čo viete o lietadle? Skúste si odpovedať na otázku, čo je lietadlo? Je to veľmi ťažké povedať. Všetci si však intuitívne predstavujeme, ako to vyzerá:

Zhruba povedané, ide o akýsi nekonečný „list“ uviaznutý v priestore. „Nekonečno“ by sa malo chápať tak, že rovina sa rozprestiera vo všetkých smeroch, to znamená, že jej plocha sa rovná nekonečnu. Toto „praktické“ vysvetlenie však nedáva ani najmenšiu predstavu o štruktúre lietadla. A práve ona sa o nás bude zaujímať.

Pripomeňme si jednu zo základných axióm geometrie:

• priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi v rovine a iba jedným:

Alebo jeho analóg vo vesmíre:

Samozrejme si pamätáte, ako odvodiť rovnicu priamky z dvoch daných bodov; nie je to vôbec ťažké: ak má prvý bod súradnice: a druhý, potom rovnica priamky bude nasledovná:

Toto si bral v siedmej triede. V priestore vyzerá rovnica priamky takto: dajme nám dva body so súradnicami: , potom rovnica priamky, ktorá cez ne prechádza, má tvar:

Napríklad čiara prechádza bodmi:

Ako tomu treba rozumieť? Malo by sa to chápať takto: bod leží na priamke, ak jeho súradnice spĺňajú nasledujúci systém:

Rovnica priamky nás nebude veľmi zaujímať, ale treba venovať pozornosť samotnej dôležitý koncept smerovanie vektorovej priamky. - ľubovoľný nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo rovnobežne s ňou.

Napríklad oba vektory sú smerové vektory priamky. Nech je bod ležiaci na priamke a nech je jeho smerový vektor. Potom môže byť rovnica priamky napísaná v nasledujúcom tvare:

Ešte raz, nebudem sa veľmi zaujímať o rovnicu priamky, ale naozaj potrebujem, aby ste si zapamätali, čo je smerový vektor! znova: toto je AKÝKOĽVEK nenulový vektor ležiaci na priamke alebo rovnobežne s ňou.

Odstúpiť rovnica roviny založená na troch daných bodoch už nie je taká triviálna a väčšinou sa táto problematika v kurze nerieši stredná škola. Ale márne! Táto technika je životne dôležitá, keď sa pri riešení zložitých problémov uchýlime k metóde súradníc. Predpokladám však, že máte chuť naučiť sa niečo nové? Okrem toho budete môcť zapôsobiť na svojho učiteľa na univerzite, keď sa ukáže, že už môžete používať techniku, ktorá sa zvyčajne študuje v kurze analytická geometria. Tak poďme na to.

Rovnica roviny sa príliš nelíši od rovnice priamky v rovine, konkrétne má tvar:

niektoré čísla (nie všetky sa rovnajú nule), ale premenné, napríklad: atď. Ako vidíte, rovnica roviny sa veľmi nelíši od rovnice priamky (lineárna funkcia). Pamätáš si však, čo sme sa hádali? Povedali sme, že ak máme tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, potom sa z nich dá jednoznačne zrekonštruovať rovnica roviny. Ale ako? Pokúsim sa ti to vysvetliť.

Pretože rovnica roviny je:

A body patria do tejto roviny, potom pri dosadení súradníc každého bodu do rovnice roviny by sme mali získať správnu identitu:

Preto je potrebné vyriešiť tri rovnice s neznámymi! Dilema! Vždy to však môžete predpokladať (na to je potrebné rozdeliť). Dostaneme teda tri rovnice s tromi neznámymi:

My však takýto systém nevyriešime, ale vypíšeme záhadný výraz, ktorý z neho vyplýva:

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(pole)) \vpravo| = 0\]

Stop! Čo to je? Veľmi neobvyklý modul! Objekt, ktorý vidíte pred sebou, však nemá s modulom nič spoločné. Tento objekt sa nazýva determinant tretieho rádu. Odteraz, keď sa budete zaoberať metódou súradníc v rovine, budete sa veľmi často stretávať s rovnakými determinantmi. Čo je determinant tretieho rádu? Napodiv je to len číslo. Zostáva pochopiť, aké konkrétne číslo budeme porovnávať s determinantom.

Najprv napíšme determinant tretieho rádu viac všeobecný pohľad:

Kde sú nejaké čísla. Navyše prvým indexom rozumieme číslo riadku a indexom číslo stĺpca. Napríklad to znamená dané číslo stojí na priesečníku druhého radu a tretieho stĺpca. Oblečme si to ďalšia otázka: Ako presne vypočítame takýto determinant? Teda aké konkrétne číslo k nemu prirovnáme? Pre determinant tretieho rádu existuje heuristické (vizuálne) pravidlo trojuholníka, vyzerá takto:

1. Súčin prvkov hlavnej uhlopriečky (z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník „kolmý“ na hlavnú uhlopriečku súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmý“ na hlavná uhlopriečka
2. Súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky (z pravého horného rohu do ľavého dolného rohu) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník „kolmý“ na vedľajšiu uhlopriečku súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmý“ na sekundárna uhlopriečka
3. Potom determinant rovná rozdielu hodnoty získané v kroku a

Ak to všetko zapíšeme číslami, dostaneme nasledujúci výraz:

Metódu výpočtu v tejto forme si však nemusíte pamätať, stačí mať v hlave trojuholníky a samotnú predstavu o tom, čo sa k čomu pripočítava a čo sa potom od čoho odpočítava).

Ukážme si trojuholníkovú metódu na príklade:

1. Vypočítajte determinant:

Poďme zistiť, čo pridáme a čo odpočítame:

Podmienky, ktoré prichádzajú s plusom:

Toto je hlavná uhlopriečka: súčin prvkov sa rovná

Prvý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov sa rovná

Druhý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov sa rovná

Pridajte tri čísla:

Výrazy s mínusom

Toto je bočná uhlopriečka: súčin prvkov sa rovná

Prvý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov sa rovná

Druhý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov sa rovná

Pridajte tri čísla:

Zostáva len odpočítať súčet „plusových“ výrazov od súčtu „mínusových“ výrazov:

teda

Ako vidíte, pri výpočte determinantov tretieho rádu nie je nič zložité ani nadprirodzené. Je dôležité pamätať na trojuholníky a nerobiť aritmetické chyby. Teraz si to skúste vypočítať sami:

Kontrolujeme:

1. Prvý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
2. Druhý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
3. Súčet výrazov s plusom:
4. Prvý trojuholník kolmý na sekundárnu uhlopriečku:
5. Druhý trojuholník kolmý na bočnú uhlopriečku:
6. Súčet výrazov s mínusom:
7. Súčet výrazov so znamienkom plus mínus súčet výrazov so mínusom:

Tu je niekoľko ďalších determinantov, vypočítajte ich hodnoty sami a porovnajte ich s odpoveďami:

Odpovede:

No, všetko sa zhodovalo? Skvelé, potom môžete pokračovať! Ak existujú ťažkosti, moja rada je takáto: na internete existuje veľa programov na výpočet determinantu online. Všetko, čo potrebujete, je prísť s vlastným determinantom, vypočítať si ho a potom porovnať s tým, čo vypočíta program. A tak ďalej, kým sa výsledky nezačnú zhodovať. Som si istý, že táto chvíľa na seba nenechá dlho čakať!

Teraz sa vráťme k determinantu, ktorý som napísal, keď som hovoril o rovnici roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi:

Všetko, čo potrebujete, je priamo vypočítať jeho hodnotu (metódou trojuholníka) a nastaviť výsledok na nulu. Prirodzene, keďže ide o premenné, dostanete nejaký výraz, ktorý od nich závisí. Práve tento výraz bude rovnicou roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke!

Ilustrujme si to na jednoduchom príklade:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Zostavíme determinant pre tieto tri body:

Zjednodušme si to:

Teraz to vypočítame priamo pomocou trojuholníkového pravidla:

\[(\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\koniec(pole)) \ vpravo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Takže rovnica roviny prechádzajúcej bodmi je:

Teraz sa pokúste vyriešiť jeden problém sami a potom o ňom budeme diskutovať:

2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

No, poďme teraz diskutovať o riešení:

Vytvorme determinant:

A vypočítajte jeho hodnotu:

Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo znížením o dostaneme:

Teraz dve úlohy na sebaovládanie:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Odpovede:

Všetko sa zhodovalo? Opäť, ak existujú určité ťažkosti, moja rada je takáto: vezmite si z hlavy tri body (s do značnej miery je pravdepodobné, že nebudú ležať na rovnakej priamke), postavíte na nich rovinu. A potom sa skontrolujete online. Napríklad na stránke:

Pomocou determinantov však zostrojíme nielen rovnicu roviny. Pamätajte, že som vám povedal, že pre vektory nie je definovaný len bodový súčin. Existuje aj vektor, ako aj zmiešaná práca. A ak je skalárny súčin dvoch vektorov číslo, potom vektorový súčin dvoch vektorov bude vektor a daný vektor budú kolmé na uvedené:

Navyše jeho modul bude rovná ploche rovnobežník zostrojený na vektoroch a. Tento vektor budeme potrebovať na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke. Ako môžeme vypočítať vektorový súčin vektorov a ak sú uvedené ich súradnice? Na pomoc nám opäť prichádza determinant tretieho rádu. Avšak predtým, ako prejdem k algoritmu na výpočet vektorového súčinu, musím urobiť malú odbočku.

Táto odchýlka sa týka základných vektorov.

Schematicky sú znázornené na obrázku:

Prečo si myslíte, že sa nazývajú základné? Faktom je, že:

Alebo na obrázku:

Platnosť tohto vzorca je zrejmá, pretože:

Vektorové umelecké dielo

Teraz môžem začať predstavovať krížový produkt:

Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, ktorý sa vypočíta podľa nasledujúceho pravidla:

Teraz uveďme niekoľko príkladov výpočtu krížového produktu:

Príklad 1: Nájdite krížový súčin vektorov:

Riešenie: Vytváram determinant:

A počítam to:

Teraz od písania cez základné vektory sa vrátim k obvyklému vektorovému zápisu:

Takto:

Teraz to skúste.

pripravený? Kontrolujeme:

A tradične dve úlohy na kontrolu:

1. Nájdite vektorový súčin nasledujúcich vektorov:
2. Nájdite vektorový súčin nasledujúcich vektorov:

Odpovede:

Zmiešaný súčin troch vektorov

Posledná konštrukcia, ktorú budem potrebovať, je zmiešaný súčin troch vektorov. Je to ako skalár číslo. Existujú dva spôsoby, ako to vypočítať. - prostredníctvom determinantu, - prostredníctvom zmiešaného produktu.

Konkrétne, dajme nám tri vektory:

Potom sa zmiešaný produkt troch vektorov, označený ako, môže vypočítať ako:

1. - to znamená, že zmiešaný súčin je skalárny súčin vektora a vektorový súčin dvoch ďalších vektorov

Napríklad zmiešaný produkt troch vektorov je:

Skúste si to vypočítať sami pomocou vektorového súčinu a uistite sa, že sa výsledky zhodujú!

A opäť - dva príklady pre nezávislé rozhodnutie:

Odpovede:

Výber súradnicového systému

Teraz máme všetky potrebné základy vedomostí na riešenie zložitých problémov stereometrickej geometrie. Predtým, ako pristúpim priamo k príkladom a algoritmom na ich riešenie, verím, že bude užitočné pozastaviť sa nad nasledujúcou otázkou: ako presne vyberte súradnicový systém pre konkrétnu postavu. Koniec koncov, je to voľba relatívnej polohy súradnicového systému a obrazca v priestore, ktorý v konečnom dôsledku určí, aké ťažkopádne budú výpočty.

Dovoľte mi pripomenúť, že v tejto časti uvažujeme o nasledujúcich číslach:

1. Obdĺžnikový rovnobežnosten
2. Priamy hranol (trojuholníkový, šesťhranný...)
3. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková)
4. Tetrahedron (rovnaký ako trojuholníková pyramída)

Pre obdĺžnikový hranol alebo kocku vám odporúčam nasledujúcu konštrukciu:

To znamená, že postavím postavu „do rohu“. Kocka a hranol sú veľmi dobré figúrky. U nich vždy ľahko nájdete súradnice jej vrcholov. Napríklad, ak (ako je znázornené na obrázku)

potom sú súradnice vrcholov nasledovné:

Samozrejme, nemusíte si to pamätať, ale nezabudnite, ako najlepšie umiestniť kocku alebo kváder- žiaduci.

Priamy hranol

Hranol je škodlivejšia postava. Dá sa umiestniť do priestoru rôznymi spôsobmi. Ako najprijateľnejšia sa mi však zdá nasledujúca možnosť:

Trojuholníkový hranol:

To znamená, že jednu zo strán trojuholníka umiestnime úplne na os a jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom súradníc.

Šesťhranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom a jedna zo strán leží na osi.

Štvorhranná a šesťhranná pyramída:

Situácia je podobná kocke: dve strany základne zarovnáme so súradnicovými osami a jeden z vrcholov zarovnáme so začiatkom súradníc. Jediným miernym problémom bude výpočet súradníc bodu.

Pre šesťhrannú pyramídu - podobne ako pre šesťhranný hranol. Hlavnou úlohou bude opäť nájsť súradnice vrcholu.

Tetrahedron (trojuholníková pyramída)

Situácia je veľmi podobná tej, ktorú som uviedol pre trojuholníkový hranol: jeden vrchol sa zhoduje s počiatkom, jedna strana leží na súradnicovej osi.

Teraz sme konečne blízko k tomu, aby sme začali riešiť problémy. Z toho, čo som povedal na samom začiatku článku, môžete vyvodiť nasledujúci záver: väčšina problémov C2 je rozdelená do 2 kategórií: problémy s uhlom a problémy so vzdialenosťou. Najprv sa pozrieme na problémy s nájdením uhla. Sú rozdelené do nasledujúcich kategórií (ako sa zložitosť zvyšuje):

Problémy pri hľadaní uhlov

1. Nájdenie uhla medzi dvoma priamkami
2. Nájdenie uhla medzi dvoma rovinami

Pozrime sa na tieto problémy postupne: začnime nájdením uhla medzi dvoma priamkami. Pamätaj, nerozhodli sme sa ty a ja? podobné príklady skôr? Pamätáte si, niečo podobné sme už mali... Hľadali sme uhol medzi dvoma vektormi. Dovoľte mi pripomenúť, že ak sú dané dva vektory: a potom uhol medzi nimi nájdeme zo vzťahu:

Teraz je naším cieľom nájsť uhol medzi dvoma priamkami. Pozrime sa na „plochý obrázok“:

Koľko uhlov sme získali, keď sa pretli dve priame čiary? Len pár vecí. Je pravda, že iba dve z nich nie sú rovnaké, zatiaľ čo ostatné sú k nim vertikálne (a preto sa s nimi zhodujú). Aký uhol by sme teda mali považovať za uhol medzi dvoma priamkami: alebo? Tu je pravidlo: uhol medzi dvoma priamkami nie je vždy väčší ako stupne. To znamená, že z dvoch uhlov vždy vyberieme uhol s najmenším miera stupňa. To znamená, že na tomto obrázku je uhol medzi dvoma priamkami rovnaký. Aby sme sa zakaždým neobťažovali hľadaním najmenšieho z dvoch uhlov, prefíkaní matematici navrhli použiť modul. Uhol medzi dvoma priamkami je teda určený vzorcom:

Vy, ako pozorný čitateľ, by ste si mali položiť otázku: odkiaľ presne máme tieto čísla, ktoré potrebujeme na výpočet kosínusu uhla? Odpoveď: vezmeme ich zo smerových vektorov čiar! Algoritmus na nájdenie uhla medzi dvoma priamkami je teda nasledujúci:

1. Aplikujeme vzorec 1.

Alebo podrobnejšie:

1. Hľadáme súradnice smerového vektora prvej priamky
2. Hľadáme súradnice smerového vektora druhej priamky
3. Vypočítame modul ich skalárneho súčinu
4. Hľadáme dĺžku prvého vektora
5. Hľadáme dĺžku druhého vektora
6. Vynásobte výsledky z bodu 4 výsledkami z bodu 5
7. Výsledok bodu 3 vydelíme výsledkom bodu 6. Dostaneme kosínus uhla medzi priamkami
8. Ak nám tento výsledok umožňuje presne vypočítať uhol, hľadáme ho
9. Inak píšeme cez oblúkový kosínus

Teraz je čas prejsť k problémom: riešenie prvých dvoch predvediem podrobne, riešenie predstavím ďalšiemu v v skratke, a na posledné dva problémy dám len odpovede; všetky výpočty pre ne musíte vykonať sami.

Úlohy:

1. V pravom tet-ra-ed-re nájdite uhol medzi výškou tet-ra-ed-ra a strednou stranou.

2. V pravom šesťhrannom pi-ra-mi-de je sto os-no-va-nija rovnakých a bočné okraje sú rovnaké, nájdite uhol medzi čiarami a.

3. Dĺžky všetkých hrán pravého štvoruhlíka pi-ra-mi-dy sú si navzájom rovné. Nájdite uhol medzi priamkami a ak z rezu - ste s daným pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jeho bo-co- druhé rebrá.

4. Na hrane kocky je bod tak, že Nájdite uhol medzi priamkami a

5. Bod - na hranách kocky Nájdite uhol medzi priamkami a.

Nie je náhoda, že som úlohy zoradil v tomto poradí. Zatiaľ čo ste sa ešte nezačali orientovať v metóde súradníc, sám analyzujem „najproblémovejšie“ postavy a nechám vás, aby ste sa zaoberali najjednoduchšou kockou! Postupne sa budete musieť naučiť pracovať so všetkými figúrkami, náročnosť úloh budem zvyšovať z témy na tému.

Začnime riešiť problémy:

1. Nakreslite štvorsten, umiestnite ho do súradnicového systému, ako som navrhol predtým. Keďže štvorsten je pravidelný, všetky jeho steny (vrátane základne) sú pravidelné trojuholníky. Keďže nám nie je daná dĺžka strany, môžem ju považovať za rovnakú. Myslím, že chápete, že uhol v skutočnosti nebude závisieť od toho, do akej miery je náš štvorsten „natiahnutý“?. V štvorstene nakreslím aj výšku a medián. Cestou si nakreslím jej základ (tiež sa nám bude hodiť).

Potrebujem nájsť uhol medzi a. čo my vieme? Poznáme iba súradnicu bodu. To znamená, že musíme nájsť súradnice bodov. Teraz si myslíme: bod je priesečník nadmorských výšok (alebo osi alebo stredov) trojuholníka. A bod je vyvýšený bod. Bod je stred segmentu. Potom musíme konečne nájsť: súradnice bodov: .

Začnime tou najjednoduchšou vecou: súradnicami bodu. Pozrite sa na obrázok: Je jasné, že aplikácia bodu sa rovná nule (bod leží v rovine). Jeho ordináta je rovná (keďže je to medián). Je ťažšie nájsť jeho úsečku. To sa však dá ľahko urobiť na základe Pytagorovej vety: Uvažujme trojuholník. Jeho prepona je rovnaká a jedna z jeho nôh je rovnaká Potom:

Nakoniec tu máme: .

Teraz nájdime súradnice bodu. Je jasné, že jeho aplikácia sa opäť rovná nule a jeho ordináta je rovnaká ako ordináta bodu, tj. Nájdime jej úsečku. Toto sa robí celkom triviálne, ak si to pamätáte výšky rovnostranný trojuholník priesečník je rozdelený v pomere, počítajúc od vrchu. Pretože: , potom požadovaná úsečka bodu je rovná dĺžke segment sa rovná: . Súradnice bodu sú teda:

Nájdeme súradnice bodu. Je zrejmé, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. A aplikácia sa rovná dĺžke segmentu. - toto je jedna z nôh trojuholníka. Prepona trojuholníka je segment - noha. Hľadá sa z dôvodov, ktoré som zvýraznil tučným písmom:

Bod je stred segmentu. Potom si musíme zapamätať vzorec pre súradnice stredu segmentu:

To je všetko, teraz môžeme hľadať súradnice smerových vektorov:

Všetko je pripravené: dosadíme všetky údaje do vzorca:

teda

odpoveď:

Nemali by ste sa báť takýchto „strašidelných“ odpovedí: pre úlohy C2 je to bežná prax. Skôr by ma prekvapila „krásna“ odpoveď v tejto časti. Taktiež, ako ste si všimli, prakticky som sa neuchýlil k ničomu inému ako k Pytagorovej vete a vlastnosti nadmorských výšok rovnostranného trojuholníka. To znamená, že na vyriešenie stereometrického problému som použil minimum stereometrie. Zisk v tomto je čiastočne „uhasený“ pomerne ťažkopádnymi výpočtami. Ale sú dosť algoritmické!

2. Nakreslíme ten správny šesťhranná pyramída spolu so súradnicovým systémom, ako aj jeho základňou:

Musíme nájsť uhol medzi čiarami a. Našou úlohou je teda nájsť súradnice bodov: . Súradnice posledných troch zistíme pomocou malého nákresu a súradnicu vrcholu nájdeme cez súradnicu bodu. Je pred nami veľa práce, ale musíme začať!

a) Súradnica: je jasné, že jej aplikácia a súradnica sú rovné nule. Nájdeme úsečku. Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník. Bohužiaľ, v ňom poznáme iba preponu, ktorá sa rovná. Pokúsime sa nájsť nohu (pretože je jasné, že dvojnásobná dĺžka nohy nám dá úsečku bodu). Ako to môžeme hľadať? Spomeňme si, akú postavu máme na základni pyramídy? Toto je pravidelný šesťuholník. Čo to znamená? To znamená, že všetky strany a všetky uhly sú rovnaké. Musíme nájsť jeden takýto uhol. Nejaké nápady? Existuje veľa nápadov, ale existuje vzorec:

Súčet uhlov pravidelného n-uholníka je .

Súčet uhlov pravidelného šesťuholníka sa teda rovná stupňom. Potom sa každý z uhlov rovná:

Pozrime sa ešte raz na obrázok. Je jasné, že segment je osou uhla. Potom sa uhol rovná stupňom. potom:

Odkiaľ potom.

Má teda súradnice

b) Teraz už ľahko nájdeme súradnicu bodu: .

c) Nájdite súradnice bodu. Keďže jej úsečka sa zhoduje s dĺžkou úsečky, je rovnaká. Nájdenie súradnice tiež nie je veľmi ťažké: ak spojíme bodky a označíme priesečník priamky ako povedzme . (urob si sám jednoduchá konštrukcia). Potom sa teda súradnica bodu B rovná súčtu dĺžok úsečiek. Pozrime sa znova na trojuholník. Potom

Potom od Potom má bod súradnice

d) Teraz nájdime súradnice bodu. Zvážte obdĺžnik a dokážte, že súradnice bodu sú teda:

e) Zostáva nájsť súradnice vrcholu. Je zrejmé, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. Poďme nájsť aplikáciu. Odvtedy. Predstavte si pravouhlý trojuholník. Podľa podmienok problému bočné rebro. Toto je prepona môjho trojuholníka. Potom je výška pyramídy noha.

Potom má bod súradnice:

No a to je všetko, mám súradnice všetkých bodov, ktoré ma zaujímajú. Hľadám súradnice smerových vektorov priamych čiar:

Hľadáme uhol medzi týmito vektormi:

odpoveď:

Opäť som pri riešení tohto problému nepoužil žiadne sofistikované techniky okrem vzorca pre súčet uhlov pravidelného n-uholníka, ako aj definíciu kosínusu a sínusu pravouhlého trojuholníka.

3. Keďže v pyramíde nám opäť nie sú dané dĺžky hrán, spočítam ich rovný jednej. Keďže teda VŠETKY hrany, nielen bočné, sú si navzájom rovné, potom na základni pyramídy a mne je štvorec a bočné steny- pravidelné trojuholníky. Nakreslite takúto pyramídu, ako aj jej základňu na rovine, pričom si všimnime všetky údaje uvedené v texte úlohy:

Hľadáme uhol medzi a. Keď budem hľadať súradnice bodov, urobím veľmi stručné výpočty. Budete ich musieť „dešifrovať“:

b) - stred segmentu. Jeho súradnice:

c) Dĺžku úsečky zistím pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Môžem to nájsť pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku.

súradnice:

d) - stred segmentu. Jeho súradnice sú

e) Súradnice vektora

f) Vektorové súradnice

g) Hľadanie uhla:

kocka - najjednoduchšia postava. Som si istý, že na to prídeš sám. Odpovede na problémy 4 a 5 sú nasledovné:

Nájdenie uhla medzi priamkou a rovinou

Čas jednoduchých hádaniek sa skončil! Teraz budú príklady ešte komplikovanejšie. Aby sme našli uhol medzi priamkou a rovinou, budeme postupovať takto:

1. Pomocou troch bodov zostrojíme rovnicu roviny
   ,
   pomocou determinantu tretieho rádu.
2. Pomocou dvoch bodov hľadáme súradnice smerového vektora priamky:
3. Na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou použijeme vzorec:

Ako vidíte, tento vzorec je veľmi podobný tomu, ktorý sme použili na nájdenie uhlov medzi dvoma priamkami. Štruktúra na pravej strane je jednoducho rovnaká a na ľavej teraz hľadáme sínus, nie kosínus ako predtým. No a pribudla jedna nepríjemná akcia – hľadanie rovnice lietadla.

Neodkladajme to príklady riešenia:

1. Hlavný-ale-va-ni-em priamy hranol-sme rovný-k-chudobnému trojuholníku. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou

2. V pravouhlom par-ral-le-le-pi-pe-de zo západu Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou

3. V pravom šesťhrannom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou.

4. V pravom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em známych rebier Nájdite roh, ob-ra-zo-van -plochý v základni a rovný, prechádzajúci sivou. rebrá a

5. Dĺžky všetkých hrán pravého štvoruholníka pi-ra-mi-dy s vrcholom sú si navzájom rovné. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou, ak je bod na strane okraja pi-ra-mi-dy.

Opäť prvé dva problémy vyriešim podrobne, tretí stručne a posledné dva nechám na vaše riešenie. Okrem toho ste sa už museli vysporiadať s trojuholníkovými a štvoruholníkové pyramídy, ale s hranolmi - zatiaľ nie.

Riešenia:

1. Znázornime hranol, ako aj jeho základňu. Skombinujme to so súradnicovým systémom a všimnime si všetky údaje, ktoré sú uvedené v probléme:

Ospravedlňujem sa za určité nedodržanie proporcií, ale pre vyriešenie problému to v skutočnosti nie je také dôležité. Lietadlo je jednoducho „zadná stena“ môjho hranola. Stačí jednoducho uhádnuť, že rovnica takejto roviny má tvar:

Dá sa to však ukázať priamo:

Vyberme si ľubovoľné tri body na tejto rovine: napríklad .

Vytvorme rovnicu roviny:

Cvičenie pre vás: vypočítajte si tento determinant sami. Podarilo sa ti to? Potom rovnica roviny vyzerá takto:

Alebo jednoducho

teda

Na vyriešenie príkladu potrebujem nájsť súradnice smerového vektora priamky. Keďže bod sa zhoduje s počiatkom súradníc, súradnice vektora sa jednoducho zhodujú so súradnicami bodu. Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme súradnice bodu.

Ak to chcete urobiť, zvážte trojuholník. Nakreslíme výšku (známu aj ako medián a stred) z vrcholu. Keďže ordináta bodu sa rovná. Aby sme našli úsečku tohto bodu, musíme vypočítať dĺžku segmentu. Podľa Pytagorovej vety máme:

Potom má bod súradnice:

Bodka je „vyvýšená“ bodka:

Potom vektorové súradnice sú:

odpoveď:

Ako vidíte, pri riešení takýchto problémov nie je nič zásadne ťažké. V skutočnosti je tento proces o niečo viac zjednodušený „priamosťou“ figúry, ako je hranol. Teraz prejdime k ďalšiemu príkladu:

2. Nakreslite rovnobežnosten, nakreslite do neho rovinu a priamku a tiež samostatne nakreslite jeho spodnú základňu:

Najprv nájdeme rovnicu roviny: Súradnice troch bodov, ktoré v nej ležia:

(prvé dve súradnice sa získajú zrejmým spôsobom a poslednú súradnicu môžete ľahko nájsť z obrázka z bodu). Potom zostavíme rovnicu roviny:

Vypočítame:

Hľadáme súradnice vodiaceho vektora: Je jasné, že jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu, však? Ako nájsť súradnice? Toto sú súradnice bodu, zvýšené pozdĺž osi aplikácie o jednu! . Potom hľadáme požadovaný uhol:

odpoveď:

3. Nakreslite pravidelnú šesťhrannú pyramídu a potom do nej nakreslite rovinu a priamku.

Tu je dokonca problematické nakresliť rovinu, nehovoriac o riešení tohto problému, ale súradnicová metóda sa nestará! Jeho všestrannosť je jeho hlavnou výhodou!

Rovina prechádza tromi bodmi: . Hľadáme ich súradnice:

1). Súradnice posledných dvoch bodov si zistite sami. Na to budete musieť vyriešiť problém so šesťhrannou pyramídou!

2) Zostrojíme rovnicu roviny:

Hľadáme súradnice vektora: . (Znova si pozrite problém s trojuholníkovou pyramídou!)

3) Hľadanie uhla:

odpoveď:

Ako vidíte, v týchto úlohách nie je nič nadprirodzene ťažké. Len musíte byť veľmi opatrní s koreňmi. Dám odpovede len na posledné dva problémy:

Ako vidíte, technika riešenia problémov je všade rovnaká: hlavnou úlohou je nájsť súradnice vrcholov a dosadiť ich do určitých vzorcov. Stále musíme zvážiť ešte jednu triedu problémov na výpočet uhlov, a to:

Výpočet uhlov medzi dvoma rovinami

Algoritmus riešenia bude nasledovný:

1. Pomocou troch bodov hľadáme rovnicu prvej roviny:
2. Pomocou ďalších troch bodov hľadáme rovnicu druhej roviny:
3. Aplikujeme vzorec:

Ako vidíte, vzorec je veľmi podobný dvom predchádzajúcim, pomocou ktorých sme hľadali uhly medzi priamkami a medzi priamkou a rovinou. Takže pre vás nebude ťažké si to zapamätať. Prejdime k analýze úloh:

1. Strana základne pravého trojuholníkového hranola je rovnaká a uhlopriečka bočnej steny je rovnaká. Nájdite uhol medzi rovinou a rovinou osi hranola.

2. V pravom štvoruhlovom pi-ra-mi-de, ktorého všetky hrany sú rovnaké, nájdite sínus uhla medzi rovinou a rovinnou kosťou, prechádzajúci bodom per-pen-di-ku- lyar-ale rovno.

3. V bežnom štvorhrannom hranole sú strany základne rovnaké a bočné hrany sú rovnaké. Na okraji je bod od-me-che-on tak, že. Nájdite uhol medzi rovinami a

4. V pravom štvorhrannom hranole sú strany základne rovnaké a bočné hrany sú rovnaké. Na hrane je bod od bodu tak, že Nájdite uhol medzi rovinami a.

5. V kocke nájdite ko-sinus uhla medzi rovinami a

Riešenia problémov:

1. Nakreslím ten správny (na základni je rovnostranný trojuholník) trojboký hranol a označte na ňom roviny, ktoré sa objavujú v probléme:

Potrebujeme nájsť rovnice dvoch rovín: Rovnica základne je triviálna: príslušný determinant môžete zostaviť pomocou troch bodov, ale rovnicu zostavím hneď:

Teraz nájdime rovnicu Bod má súradnice Bod - Keďže je stredná a nadmorská výška trojuholníka, dá sa ľahko nájsť pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Potom má bod súradnice: Nájdite aplikáciu bodu, zvážte pravouhlý trojuholník

Potom dostaneme tieto súradnice: Zostavíme rovnicu roviny.

Vypočítame uhol medzi rovinami:

odpoveď:

2. Vytvorenie výkresu:

Najťažšie je pochopiť, aká je to tajomná rovina, ktorá kolmo prechádza bodom. No, hlavné je, čo to je? Hlavná vec je pozornosť! V skutočnosti je čiara kolmá. Rovná čiara je tiež kolmá. Potom bude rovina prechádzajúca týmito dvoma čiarami kolmá na čiaru a mimochodom bude prechádzať bodom. Táto rovina prechádza aj vrcholom pyramídy. Potom požadované lietadlo - A lietadlo nám už bolo dané. Hľadáme súradnice bodov.

Cez bod nájdeme súradnicu bodu. Od malá kresba Je ľahké odvodiť, že súradnice bodu budú nasledovné: Čo teraz zostáva nájsť na nájdenie súradníc vrcholu pyramídy? Musíte tiež vypočítať jeho výšku. To sa robí pomocou rovnakej Pytagorovej vety: najprv to dokážte (triviálne z malých trojuholníkov tvoriacich štvorec na základni). Keďže podľa podmienok máme:

Teraz je všetko pripravené: súradnice vrcholov:

Zostavíme rovnicu roviny:

Už ste odborníkom na výpočet determinantov. Bez problémov dostanete:

Alebo inak (ak obe strany vynásobíme odmocninou z dvoch)

Teraz nájdime rovnicu roviny:

(Nezabudli ste, ako dostaneme rovnicu roviny, však? Ak nerozumiete, kde sa vzalo toto mínus, vráťte sa k definícii roviny! Pred tým to vždy vyšlo moje lietadlo patrilo k pôvodu súradníc!)

Vypočítame determinant:

(Môžete si všimnúť, že rovnica roviny sa zhoduje s rovnicou priamky prechádzajúcej bodmi a! Zamyslite sa prečo!)

Teraz vypočítajme uhol:

Musíme nájsť sínus:

odpoveď:

3. Záludná otázka: čo to je? pravouhlý hranol, Ako si myslíte, že? Toto je len rovnobežnosten, ktorý dobre poznáte! Okamžite urobme kresbu! Základ ani nemusíte znázorňovať samostatne; tu je to málo užitočné:

Rovina, ako sme už uviedli, je napísaná vo forme rovnice:

Teraz vytvoríme rovinu

Okamžite vytvoríme rovnicu roviny:

Hľadá sa uhol:

Teraz odpovede na posledné dva problémy:

Teraz je čas dať si malú prestávku, pretože ty a ja sme skvelí a odviedli sme skvelú prácu!

Súradnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vami budeme diskutovať o ďalšej triede problémov, ktoré možno vyriešiť pomocou súradnicovej metódy: problémy s výpočtom vzdialenosti. Konkrétne budeme uvažovať o nasledujúcich prípadoch:

1. Výpočet vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Tieto úlohy som zoradil podľa narastajúcej náročnosti. Ukazuje sa, že je najjednoduchšie nájsť vzdialenosť od bodu k rovine a najťažšie je nájsť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami. Aj keď, samozrejme, nič nie je nemožné! Neotáľajme a okamžite pristúpme k prvej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti od bodu k rovine

Čo potrebujeme na vyriešenie tohto problému?

1. Súradnice bodu

Takže hneď ako dostaneme všetky potrebné údaje, použijeme vzorec:

Už by ste mali vedieť, z čoho zostavujeme rovnicu roviny predchádzajúce úlohy, o ktorej som hovoril v minulej časti. Poďme rovno k úlohám. Schéma je nasledovná: 1, 2 - pomôžem vám rozhodnúť sa a podrobne 3, 4 - iba odpoveď, riešenie si sami vykonáte a porovnáte. Začnime!

Úlohy:

1. Daná kocka. Dĺžka hrany kocky je rovnaká. Nájdite vzdialenosť od se-re-di-na od rezu k rovine

2. Vzhľadom na správne štvoruhlíkové pi-ra-mi-áno, strana strany sa rovná základni. Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine, kde - se-re-di-na okrajoch.

3. V pravom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em je bočný okraj rovný a sto-ro-na os-no-va- nia je rovný. Nájdite vzdialenosť od vrcholu k rovine.

4. V pravom šesťhrannom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine.

Riešenia:

1. Nakreslite kocku s jednoduchými hranami, zostrojte úsečku a rovinu, stred úsečky označte písmenom

.

Najprv začnime tým jednoduchým: nájdite súradnice bodu. Odvtedy (zapamätajte si súradnice stredu segmentu!)

Teraz zostavíme rovnicu roviny pomocou troch bodov

\[\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\koniec(pole)) \vpravo| = 0\]

Teraz môžem začať hľadať vzdialenosť:

2. Opäť začíname výkresom, na ktorom si označíme všetky údaje!

Pre pyramídu by bolo užitočné nakresliť jej základňu samostatne.

Ani to, že kreslím labkou ako kura, nám nezabráni vyriešiť tento problém s ľahkosťou!

Teraz je ľahké nájsť súradnice bodu

Od súradníc bodu teda

2. Keďže súradnice bodu a sú stredom segmentu, potom

Bez problémov nájdeme súradnice ďalších dvoch bodov v rovine, vytvoríme rovnicu pre rovinu a zjednodušíme ju:

\[\left| (\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(pole)) \right|) \right| = 0\]

Keďže bod má súradnice: , vypočítame vzdialenosť:

Odpoveď (veľmi zriedkavé!):

No, prišli ste na to? Zdá sa mi, že všetko je tu rovnako technické ako v príkladoch, na ktoré sme sa pozreli v predchádzajúcej časti. Som si teda istý, že ak ste tento materiál zvládli, nebude pre vás ťažké vyriešiť zvyšné dva problémy. Dám vám len odpovede:

Výpočet vzdialenosti od priamky k rovine

V skutočnosti tu nie je nič nové. Ako je možné vzájomne umiestniť priamku a rovinu? Majú len jednu možnosť: pretínať sa, alebo je priamka rovnobežná s rovinou. Aká je podľa vás vzdialenosť od priamky k rovine, s ktorou sa táto priamka pretína? Zdá sa mi, že tu je jasné, že takáto vzdialenosť sa rovná nule. Nie je to zaujímavý prípad.

Druhý prípad je zložitejší: tu je vzdialenosť už nenulová. Keďže je však priamka rovnobežná s rovinou, potom je každý bod priamky od tejto roviny rovnako vzdialený:

Takto:

To znamená, že moja úloha bola zredukovaná na predchádzajúcu: hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, hľadáme rovnicu roviny a počítame vzdialenosť od bodu k rovine. V skutočnosti sú takéto úlohy v rámci jednotnej štátnej skúšky mimoriadne zriedkavé. Podarilo sa mi nájsť len jeden problém a údaje v ňom boli také, že súradnicová metóda sa naň veľmi nehodila!

Teraz prejdime k niečomu inému, oveľa viac dôležitá triedaúlohy:

Výpočet vzdialenosti bodu od priamky

Čo potrebujeme?

1. Súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke

3. Súradnice smerového vektora priamky

Aký vzorec používame?

Čo znamená menovateľ tohto zlomku, by vám malo byť jasné: toto je dĺžka smerového vektora priamky. Toto je veľmi zložitý čitateľ! Výraz znamená modul (dĺžku) vektorového súčinu vektorov a Ako vypočítať vektorový súčin sme študovali v predchádzajúcej časti práce. Osviežte si svoje vedomosti, teraz ich budeme veľmi potrebovať!

Algoritmus na riešenie problémov bude teda nasledujúci:

1. Hľadáme súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, ku ktorému hľadáme vzdialenosť:

3. Zostrojte vektor

4. Zostrojte smerový vektor priamky

5. Vypočítajte vektorový súčin

6. Hľadáme dĺžku výsledného vektora:

7. Vypočítajte vzdialenosť:

Máme pred sebou veľa práce a príklady budú dosť zložité! Takže teraz sústreďte všetku svoju pozornosť!

1. Daný pravý trojuholníkový pi-ra-mi-da s vrcholom. Sto-ro-na základe pi-ra-mi-dy je rovné, ste si rovní. Nájdite vzdialenosť od sivého okraja k priamke, kde sú body a sú sivé okraje a od veterinára.

2. Dĺžky rebier a rovný-uhol-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da sú podľa toho rovnaké a Nájdite vzdialenosť od vrcholu k priamke

3. V pravom šesťhrannom hranole sú všetky hrany rovnaké, nájdite vzdialenosť od bodu k priamke

Riešenia:

1. Urobíme úhľadný výkres, na ktorom zaznačíme všetky údaje:

Čaká nás veľa práce! Najprv by som chcel slovami opísať, čo budeme hľadať a v akom poradí:

1. Súradnice bodov a

2. Súradnice bodu

3. Súradnice bodov a

4. Súradnice vektorov a

5. Ich krížový produkt

6. Dĺžka vektora

7. Dĺžka vektorového súčinu

8. Vzdialenosť od do

No máme pred sebou veľa práce! Poďme na to s vyhrnutými rukávmi!

1. Aby sme našli súradnice výšky pyramídy, potrebujeme poznať súradnice bodu. Jeho aplikácia je nula a jeho ordináta sa rovná jeho úsečke sa rovná dĺžke úsečky. Pretože je výška rovnostranný trojuholník, delí sa v pomere, počítajúc od vrcholu, odtiaľto. Nakoniec sme dostali súradnice:

Súradnice bodu

2. - stred segmentu

3. - stred segmentu

Stred segmentu

4.Súradnice

Vektorové súradnice

5. Vypočítajte vektorový súčin:

6. Dĺžka vektora: najjednoduchší spôsob, ako nahradiť, je, že segment je strednou čiarou trojuholníka, čo znamená, že sa rovná polovici základne. Takže.

7. Vypočítajte dĺžku vektorového súčinu:

8. Nakoniec zistíme vzdialenosť:

Uf, to je všetko! Poviem vám úprimne: riešenie tohto problému je tradičné metódy(cez výstavbu), bolo by to oveľa rýchlejšie. Ale tu som to všetko zavaril hotový algoritmus! Myslím, že algoritmus riešenia je vám jasný? Preto vás požiadam, aby ste zvyšné dva problémy vyriešili sami. Porovnajme odpovede?

Znova opakujem: je jednoduchšie (rýchlejšie) vyriešiť tieto problémy pomocou konštrukcií, ako sa k nim uchýliť súradnicová metóda. Túto metódu riešenia som demonštroval len preto, aby som vám ukázal univerzálnu metódu, ktorá vám umožňuje „nič nedostavať“.

Nakoniec zvážte poslednú triedu problémov:

Výpočet vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami

Tu bude algoritmus na riešenie problémov podobný predchádzajúcemu. Čo máme:

3. Akýkoľvek vektor spájajúci body prvého a druhého riadku:

Ako zistíme vzdialenosť medzi čiarami?

Vzorec je nasledovný:

Čitateľom je modul zmiešaného súčinu (uviedli sme ho v predchádzajúcej časti) a menovateľom je rovnako ako v predchádzajúcom vzorci (modul vektorového súčinu smerových vektorov priamok, vzdialenosť medzi ktorými sme hľadajú).

Pripomeniem ti to

Potom vzorec pre vzdialenosť možno prepísať ako:

Toto je determinant delený determinantom! Aj keď, úprimne povedané, tu nemám čas na vtipy! Tento vzorec, v skutočnosti je veľmi ťažkopádny a vedie k celkom zložité výpočty. Na tvojom mieste by som sa k tomu uchýlil len v krajnom prípade!

Pokúsme sa vyriešiť niekoľko problémov pomocou vyššie uvedenej metódy:

1. V pravom trojuholníkovom hranole, ktorého všetky hrany sú rovnaké, nájdite vzdialenosť medzi priamkami a.

2. Vzhľadom na pravý trojuholníkový hranol sú všetky okraje základne rovné rezu prechádzajúcemu rebrom telesa a rebrá se-re-di-well sú štvorcové. Nájdite vzdialenosť medzi priamymi čiarami a

Ja rozhodujem o prvom a na základe toho sa ty rozhoduješ o druhom!

1. Nakreslím hranol a vyznačím rovné čiary a

Súradnice bodu C: potom

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Vektorové súradnice

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\začiatok(pole)(*(20)(l))(\začiatok(pole)(*(20)(c))0&1&0\koniec(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20) (c))0&0&1\end(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\koniec(pole))\koniec(pole)) \vpravo| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vypočítame vektorový súčin medzi vektormi a

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(pole)(l)\begin(pole)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(pole)\\\begin(pole )(*(20)(c))0&0&1\end(pole)\\\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(pole)\end(pole) \vpravo| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\šípka vpravo k + \frac(1)(2)\šípka vpravo i \]

Teraz vypočítame jeho dĺžku:

odpoveď:

Teraz sa snažte pozorne dokončiť druhú úlohu. Odpoveď na ňu bude: .

Súradnice a vektory. Stručný popis a základné vzorce

Vektor je riadený segment. - začiatok vektora, - koniec vektora.
Vektor je označený alebo.

Absolútna hodnota vektor - dĺžka segmentu reprezentujúceho vektor. Označené ako.

Vektorové súradnice:

,
kde sú konce vektora \displaystyle a .

Súčet vektorov: .

Súčin vektorov:

Bodový súčin vektorov:

Rovnica roviny. Ako napísať rovnicu roviny?
Vzájomné usporiadanie lietadlá. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety vo vesmíre začínajú týmto článkom. Na zvládnutie témy je potrebné, aby ste jej dobre rozumeli vektory Okrem toho je vhodné poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, mnoho analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman opustil plochú televíznu obrazovku a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená vo forme rovnobežníka, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Nestarám sa technické dôvody je pohodlnejšie znázorniť rovinu presne týmto spôsobom a presne v tejto polohe. Skutočné roviny, v ktorých budeme uvažovať praktické príklady, dá sa umiestniť ľubovoľným spôsobom - mentálne vezmite kresbu do rúk a otáčajte ju v priestore, čím dáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Označenia: lietadlá sa zvyčajne označujú malými gréckymi písmenami, zrejme preto, aby si ich nepomýlili priamka na rovine alebo s priamka v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno „sigma“ a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo je určite celkom vtipné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké symboly na označenie rovín. grécke písmená s dolnými indexmi, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne definovaná tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke. Preto sú pomerne populárne trojpísmenové označenia lietadiel - napríklad bodmi, ktoré k nim patria atď. Často sú písmená uzavreté v okrúhle zátvorky: , aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu rýchleho prístupu:

• Ako vytvoriť rovnicu roviny pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako vytvoriť rovnicu roviny pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme chradnúť dlhé čakanie:

Všeobecná rovinná rovnica

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sa zároveň nerovnajú nule.

Množstvo teoretických výpočtov a praktické problémy platí tak pre obvyklý ortonormálny základ, ako aj pre afinný základ priestor (ak je olej olej, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Základy vektorov). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

Teraz si trochu precvičíme priestorovú predstavivosť. Je v poriadku, ak je ten váš zlý, teraz ho trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje tréning.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zoberme si najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ sa VŽDY rovná nule pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ jasne vidíte, že je nám jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ majú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
– rovnica súradnicovej roviny;
– rovnica súradnicovej roviny.

Poďme si problém trochu skomplikovať, uvažujme o rovine (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné kurzy sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? „X“ sa VŽDY pre akékoľvek hodnoty „Y“ a „Z“ rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridajme členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „zet“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? „X“ a „Y“ sú spojené vzťahom, ktorý kreslí určitú priamku v rovine (zistíte rovnica priamky v rovine?). Keďže „z“ môže byť čokoľvek, táto priamka sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak voľných členov nula, potom budú roviny priamo prechádzať príslušnými osami. Napríklad klasická „priama úmernosť“: . Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „Z“ je ľubovoľné). Záver: lietadlo, daný rovnicou, prechádza cez súradnicovú os.

Dokončujeme prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. Tu je celkom zrejmé, že bod spĺňa túto rovnicu.

A nakoniec prípad znázornený na výkrese: - lietadlo sa kamaráti s každým súradnicové osi, pričom vždy „odstrihne“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Aby ste porozumeli informáciám, musíte sa dobre naštudovať lineárne nerovnosti v rovine, pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude mať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

Riešenie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je úplne jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Aby ste našli jednotkový vektor, potrebujete každý vydeľte súradnicu vektora dĺžkou vektora.

Prepíšeme normálny vektor do formulára a zistíme jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Overenie: čo bolo potrebné overiť.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Poďme si oddýchnuť od daného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (viď. najnovšie úlohy lekciu Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete jednotkový vektor kolineárny s týmto. Vlastne dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na to, ako vyloviť normálny vektor, teraz odpovedzme na opačnú otázku:

Ako vytvoriť rovnicu roviny pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je terčom dobre známa. Natiahnite ruku dopredu a v duchu si vyberte ľubovoľný bod priestor, napríklad malá mačka v príborníku. Je zrejmé, že cez tento bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom:

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť rovnicu roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke. Označením ich vektorov polomerov a aktuálneho vektora polomerov ľahko získame požadovanú rovnicu v vektorová forma. V skutočnosti musia byť vektory koplanárne (všetky ležia v požadovanej rovine). teda vektorový bodkový produkt z týchto vektorov sa musí rovnať nule:

Toto je rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi vo vektorovej forme.

Ak prejdeme na súradnice, dostaneme rovnicu v súradniciach:

Ak by tri dané body ležali na tej istej priamke, potom by vektory boli kolineárne. Preto zodpovedajúce prvky dvoch posledné riadky determinantu v rovnici (18) by bol úmerný a determinant by bol zhodne rovný nule. V dôsledku toho by sa rovnica (18) stala identickou pre všetky hodnoty x, y a z. Geometricky to znamená, že každým bodom v priestore prechádza rovina, v ktorej ležia tri dané body.

Poznámka 1. Rovnaký problém možno vyriešiť bez použitia vektorov.

Označením súradníc troch daných bodov napíšeme rovnicu ktorejkoľvek roviny prechádzajúcej prvým bodom:

Na získanie rovnice požadovanej roviny je potrebné vyžadovať, aby rovnica (17) bola splnená súradnicami dvoch ďalších bodov:

Z rovníc (19) je potrebné určiť pomer dvoch koeficientov k tretiemu a zistené hodnoty zadať do rovnice (17).

Príklad 1. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi.

Rovnica roviny prechádzajúcej prvým z týchto bodov bude:

Podmienky, aby rovina (17) prešla cez dva ďalšie body a prvý bod, sú:

Pridaním druhej rovnice k prvej zistíme:

Dosadením do druhej rovnice dostaneme:

Dosadením do rovnice (17) namiesto A, B, C, respektíve 1, 5, -4 (čísla im úmerné), dostaneme:

Príklad 2. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Rovnica akejkoľvek roviny prechádzajúcej bodom (0, 0, 0) bude]

Podmienky prechodu tejto roviny cez body (1, 1, 1) a (2, 2, 2) sú:

Znížením druhej rovnice o 2 vidíme, že na určenie dvoch neznámych existuje jedna rovnica s

Odtiaľto sa dostávame. Teraz dosadením hodnoty roviny do rovnice nájdeme:

Toto je rovnica požadovanej roviny; záleží na ľubovôli

veličiny B, C (totiž zo vzťahu t.j. cez tri dané body prechádza nekonečný počet rovín (tri dané body ležia na tej istej priamke).

Poznámka 2. Problém nakreslenia roviny cez tri dané body, ktoré neležia na tej istej priamke, možno ľahko vyriešiť vo všeobecnej forme, ak použijeme determinanty. V skutočnosti, keďže v rovniciach (17) a (19) koeficienty A, B, C nemôžu byť súčasne rovné nule, potom tieto rovnice považujú za homogénny systém s tromi neznámymi A, B, C napíšte potrebné a dostatočný stav existencia iného ako nulového riešenia tohto systému (1. časť, kapitola VI, § 6):

Po rozšírení tohto determinantu na prvky prvého radu dostaneme rovnicu prvého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice, ktorým budú vyhovovať najmä súradnice troch daných bodov.

Toto si môžete overiť aj priamo nahradením súradníc ktoréhokoľvek z týchto bodov namiesto . Na ľavej strane dostaneme determinant, v ktorom sú buď prvky prvého riadku nuly, alebo sú tam dva rovnaké riadky. Zostavená rovnica teda predstavuje rovinu prechádzajúcu cez tri dané body.

V tomto materiáli sa pozrieme na to, ako nájsť rovnicu roviny, ak poznáme súradnice troch rôznych bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke. Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať, čo je pravouhlý súradnicový systém v trojrozmernom priestore. Na začiatok si predstavíme základný princíp daná rovnica a presne vám ukáže, ako ho použiť na riešenie konkrétnych problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprv si musíme zapamätať jednu axiómu, ktorá znie takto:

Definícia 1

Ak sa tri body navzájom nezhodujú a neležia na tej istej priamke, tak v trojrozmernom priestore nimi prechádza iba jedna rovina.

Inými slovami, ak máme tri rôzne body, ktorého súradnice sa nezhodujú a ktoré nemožno spojiť priamkou, potom vieme určiť rovinu, ktorá ním prechádza.

Povedzme, že máme pravouhlý súradnicový systém. Označme to O x y z. Obsahuje tri body M so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ktoré nemožno spojiť. priamka. Na základe týchto podmienok môžeme zapísať rovnicu roviny, ktorú potrebujeme. Existujú dva prístupy k riešeniu tohto problému.

1. Prvý prístup používa všeobecnú rovinnú rovnicu. V listovej forme sa píše ako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. S jeho pomocou môžete definovať v pravouhlom súradnicovom systéme určitú alfa rovinu, ktorá prechádza prvým daným bodom M 1 (x 1, y 1, z 1). Ukazuje sa, že normálny vektor roviny α bude mať súradnice A, B, C.

Definícia N

Keď poznáme súradnice normálového vektora a súradnice bodu, ktorým rovina prechádza, môžeme zapísať všeobecnú rovnicu tejto roviny.

Z toho budeme v budúcnosti vychádzať.

Teda podľa podmienok úlohy máme súradnice požadovaného bodu (aj troch), ktorým rovina prechádza. Ak chcete nájsť rovnicu, musíte vypočítať súradnice jej normálneho vektora. Označme to n → .

Pamätajme na pravidlo: ktokoľvek rovná nule vektor danej roviny je kolmý na normálový vektor tej istej roviny. Potom máme, že n → bude kolmé na vektory zložené z pôvodných bodov M 1 M 2 → a M 1 M 3 → . Potom môžeme označiť n → ako vektorový súčin tvaru M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Pretože M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dôkazy týchto rovnosti sú uvedené v článku venovanom výpočtu súradníc vektora zo súradníc bodov), potom sa ukazuje, že:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ak vypočítame determinant, získame súradnice normálového vektora n → potrebujeme. Teraz môžeme napísať rovnicu, ktorú potrebujeme pre rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi.

2. Druhý prístup k hľadaniu rovnice prechádzajúcej cez M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), je založený na takom koncepte, ako je koplanarita vektorov.

Ak máme množinu bodov M (x, y, z), tak v pravouhlom súradnicovom systéme definujú rovinu pre dané body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) len v prípade, že vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a M 1 M 3  → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) budú koplanárne .

V diagrame to bude vyzerať takto:

To bude znamenať, že zmiešaný súčin vektorov M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sa bude rovnať nule: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , keďže toto je hlavná podmienka koplanarity: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 z2 - zi) a M1M3 -> = (x3 - x 1, y3 - y1, z3 - zi).

Napíšme výslednú rovnicu v súradnicovom tvare:

Po vypočítaní determinantu môžeme získať rovinnú rovnicu, ktorú potrebujeme pre tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M3 (x3, y3, z3).

Z výslednej rovnice možno prejsť na rovnicu roviny v segmentoch alebo do normálna rovnica rovine, ak si to podmienky problému vyžadujú.

V nasledujúcom odseku uvedieme príklady, ako sa v praxi nami uvedené prístupy implementujú.

Príklady úloh na zostavenie rovnice roviny prechádzajúcej 3 bodmi

Predtým sme identifikovali dva prístupy, ktoré možno použiť na nájdenie požadovanej rovnice. Pozrime sa, ako sa používajú na riešenie problémov a kedy by ste si mali vybrať jednotlivé.

Príklad 1

Existujú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, so súradnicami M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napíšte rovnicu pre rovinu, ktorá nimi prechádza.

Riešenie

Striedavo používame oba spôsoby.

1. Nájdite súradnice dvoch vektorov, ktoré potrebujeme M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 -- 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Teraz vypočítajme ich vektorový súčin. Nebudeme popisovať výpočty determinantu:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Máme normálový vektor roviny, ktorý prechádza cez tri požadované body: n → = (- 5, 30, 2) . Ďalej musíme vziať jeden z bodov, napríklad M 1 (- 3, 2, - 1), a zapísať rovnicu pre rovinu s vektorom n → = (- 5, 30, 2). Dostaneme, že: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Toto je rovnica, ktorú potrebujeme pre rovinu, ktorá prechádza tromi bodmi.

2. Zoberme si iný prístup. Napíšme rovnicu pre rovinu s tromi bodmi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v nasledujúci formulár:

x - x 1 r - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tu môžete nahradiť údaje z výpisu problému. Pretože x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, v dôsledku toho dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 r + 2 z - 73

Dostali sme rovnicu, ktorú sme potrebovali.

odpoveď:- 5 x + 30 y + 2 z - 73.

Čo ak však dané body stále ležia na tej istej priamke a potrebujeme pre ne vytvoriť rovinnú rovnicu? Tu treba hneď povedať, že táto podmienka nebude úplne správna. Takýmito bodmi môže prechádzať nekonečné množstvo rovín, preto nie je možné vypočítať jednu odpoveď. Uvažujme nad takýmto problémom, aby sme dokázali nesprávnosť takejto formulácie otázky.

Príklad 2

Máme pravouhlý súradnicový systém v trojrozmernom priestore, v ktorom sú umiestnené tri body so súradnicami M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Pre rovinu, ktorá cez ňu prechádza, je potrebné napísať rovnicu.

Riešenie

Využime prvý spôsob a začnime výpočtom súradníc dvoch vektorov M 1 M 2 → a M 1 M 3 →. Vypočítajme ich súradnice: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Krížový produkt sa bude rovnať:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Keďže M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, potom budú naše vektory kolineárne (ak ste zabudli na definíciu tohto pojmu, prečítajte si o nich znova článok). Počiatočné body M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sú teda na jednej priamke a náš problém má nekonečne veľa možnosti odpoveď.

Ak použijeme druhú metódu, dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 r - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 r. + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z výslednej rovnosti tiež vyplýva, že dané body M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sú na tej istej priamke.

Ak chcete nájsť aspoň jednu odpoveď na tento problém z nekonečné číslo jeho možnosti, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1. Napíšte rovnicu priamky M 1 M 2, M 1 M 3 alebo M 2 M 3 (v prípade potreby si pozrite materiál o tomto úkone).

2. Vezmite bod M 4 (x 4, y 4, z 4), ktorý neleží na priamke M 1 M 2.

3. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza tromi rôznymi bodmi M 1, M 2 a M 4, ktoré neležia na tej istej priamke.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter