Deljenje logaritmov z enakimi osnovami. Logaritmi: primeri in rešitve

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Nadaljujemo s preučevanjem logaritmov. V tem članku bomo govorili o računanje logaritmov, se ta postopek imenuje logaritem. Najprej bomo razumeli izračun logaritmov po definiciji. Nato si poglejmo, kako se vrednosti logaritmov najdejo z uporabo njihovih lastnosti. Po tem se bomo osredotočili na izračun logaritmov skozi prvotno določene vrednosti drugih logaritmov. Na koncu se naučimo uporabljati logaritemske tabele. Celotna teorija je opremljena s primeri s podrobnimi rešitvami.

Navigacija po straneh.

Računanje logaritmov po definiciji

V najpreprostejših primerih je to mogoče izvesti precej hitro in enostavno iskanje logaritma po definiciji. Oglejmo si podrobneje, kako poteka ta proces.

Njegovo bistvo je predstaviti število b v obliki a c, iz katere je po definiciji logaritma število c vrednost logaritma. To pomeni, da po definiciji naslednja veriga enakosti ustreza iskanju logaritma: log a b=log a a c =c.

Torej se izračun logaritma po definiciji zmanjša na iskanje števila c, tako da je a c = b, samo število c pa je želena vrednost logaritma.

Ob upoštevanju informacij iz prejšnjih odstavkov, ko je število pod znakom logaritma podano z določeno potenco osnove logaritma, lahko takoj navedete, čemu je logaritem enak - je enak eksponentu. Pokažimo rešitve na primerih.

Primer.

Poiščite log 2 2 −3 in izračunajte tudi naravni logaritem števila e 5,3.

rešitev.

Definicija logaritma nam omogoča, da takoj rečemo, da je log 2 2 −3 =−3. Dejansko je število pod znakom logaritma enako osnovi 2 na potenco −3.

Podobno najdemo drugi logaritem: lne 5,3 =5,3.

odgovor:

log 2 2 −3 =−3 in lne 5,3 =5,3.

Če število b pod znakom za logaritem ni določeno kot potenca osnove logaritma, potem morate skrbno pogledati, ali je možno priti do predstavitve števila b v obliki a c . Pogosto je ta predstavitev povsem očitna, zlasti kadar je število pod znakom logaritma enako osnovi na potenco 1, ali 2, ali 3, ...

Primer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , in .

rešitev.

Preprosto je videti, da je 25=5 2, kar vam omogoča izračun prvega logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pojdimo k izračunu drugega logaritma. Število je mogoče predstaviti kot potenco števila 7: (poglejte, če je potrebno). torej .

Prepišimo tretji logaritem v naslednji obliki. Zdaj lahko to vidite , iz česar sklepamo, da . Zato po definiciji logaritma .

Rešitev bi lahko na kratko zapisali takole: .

odgovor:

log 5 25=2 , in .

Kadar je pod znakom za logaritem dovolj veliko naravno število, ne škodi, če ga razštejemo na prafaktorje. Pogosto pomaga, če tako število predstavimo kot neko potenco osnove logaritma in zato ta logaritem izračunamo po definiciji.

Primer.

Poiščite vrednost logaritma.

rešitev.

Nekatere lastnosti logaritmov vam omogočajo, da takoj določite vrednost logaritmov. Te lastnosti vključujejo lastnost logaritma ena in lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi: log 1 1=log a a 0 =0 in log a a=log a a 1 =1. To pomeni, da je pod znakom logaritma številka 1 ali številka a, ki je enaka osnovi logaritma, potem sta v teh primerih logaritma enaka 0 oziroma 1.

Primer.

Čemu so enaki logaritmi in log10?

rešitev.

Ker , potem iz definicije logaritma sledi .

V drugem primeru se število 10 pod znakom za logaritem ujema s svojo osnovo, zato je decimalni logaritem desetice enak ena, to je lg10=lg10 1 =1.

odgovor:

IN lg10=1 .

Upoštevajte, da izračun logaritmov po definiciji (o katerem smo govorili v prejšnjem odstavku) implicira uporabo enakosti log a a p =p, kar je ena od lastnosti logaritmov.

V praksi, ko je število pod znakom logaritma in osnova logaritma enostavno predstavljeno kot potenca določenega števila, je zelo priročno uporabiti formulo , kar ustreza eni od lastnosti logaritmov. Oglejmo si primer iskanja logaritma, ki ponazarja uporabo te formule.

Primer.

Izračunaj logaritem.

rešitev.

odgovor:

.

Lastnosti logaritmov, ki niso omenjene zgoraj, se uporabljajo tudi pri izračunih, vendar bomo o tem govorili v naslednjih odstavkih.

Iskanje logaritmov preko drugih znanih logaritmov

Informacije v tem odstavku nadaljujejo temo uporabe lastnosti logaritmov pri njihovem izračunu. Toda tukaj je glavna razlika ta, da se lastnosti logaritmov uporabljajo za izražanje prvotnega logaritma v smislu drugega logaritma, katerega vrednost je znana. Za pojasnilo navedimo primer. Recimo, da vemo, da je log 2 3≈1,584963, potem lahko najdemo na primer log 2 6 z majhno transformacijo z uporabo lastnosti logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

V zgornjem primeru je bilo dovolj, da smo uporabili lastnost logaritma produkta. Vendar pa je veliko pogosteje potrebno uporabiti širši arzenal lastnosti logaritmov, da izračunamo prvotni logaritem preko danih.

Primer.

Izračunajte logaritem 27 na osnovo 60, če veste, da je log 60 2=a in log 60 5=b.

rešitev.

Najti moramo torej dnevnik 60 27 . Lahko vidimo, da je 27 = 3 3 , prvotni logaritem pa lahko zaradi lastnosti logaritma potence prepišemo kot 3·log 60 3 .

Zdaj pa poglejmo, kako izraziti log 60 3 z znanimi logaritmi. Lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi, nam omogoča, da zapisujemo log enakosti 60 60=1. Po drugi strani pa je log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . torej 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. torej log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na koncu izračunamo prvotni logaritem: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ločeno je treba omeniti pomen formule za prehod na novo osnovo logaritma obrazca. Omogoča premik od logaritmov s katero koli osnovo do logaritmov z določeno osnovo, katerih vrednosti so znane ali jih je mogoče najti. Običajno se iz prvotnega logaritma s prehodno formulo premaknejo na logaritme v eni od osnov 2, e ali 10, saj za te baze obstajajo tabele logaritmov, ki omogočajo izračun njihovih vrednosti z določeno stopnjo natančnost. V naslednjem odstavku bomo pokazali, kako se to naredi.

Logaritemske tabele in njihova uporaba

Za približen izračun lahko uporabite vrednosti logaritmov logaritemske tabele. Najpogosteje uporabljena tabela logaritmov z bazo 2, tabela naravnih logaritmov in tabela decimalnih logaritmov. Pri delu v decimalnem številskem sistemu je priročno uporabljati tabelo logaritmov, ki temelji na osnovi deset. Z njegovo pomočjo se bomo naučili poiskati vrednosti logaritmov.

Predstavljena tabela vam omogoča, da poiščete vrednosti decimalnih logaritmov števil od 1.000 do 9.999 (s tremi decimalnimi mesti) z natančnostjo ene desettisočinke. Analizirali bomo načelo iskanja vrednosti logaritma s tabelo decimalnih logaritmov na posebnem primeru - tako je jasnejše. Poiščimo log1.256.

V levem stolpcu tabele decimalnih logaritmov najdemo prvi dve števki števila 1,256, torej najdemo 1,2 (to število je zaradi jasnosti obkroženo z modro barvo). Tretja števka števila 1,256 (številka 5) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici levo od dvojne črte (to število je obkroženo z rdečo barvo). Četrta številka prvotnega števila 1.256 (številka 6) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici desno od dvojne črte (to število je obkroženo z zeleno črto). Sedaj najdemo številke v celicah logaritemske tabele na presečišču označene vrstice in označenih stolpcev (te številke so označene oranžno). Vsota označenih števil daje želeno vrednost decimalnega logaritma natančno na četrto decimalno mesto, to je log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ali je mogoče z uporabo zgornje tabele najti vrednosti decimalnih logaritmov števil, ki imajo več kot tri števke za decimalno vejico, pa tudi tistih, ki presegajo obseg od 1 do 9,999? Da, lahko. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.

Izračunajmo lg102,76332. Najprej morate zapisati številko v standardni obliki: 102,76332=1,0276332·10 2. Po tem je treba mantiso zaokrožiti na tretjo decimalno mesto, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medtem ko je prvotni decimalni logaritem približno enak logaritmu dobljenega števila, to pomeni, da vzamemo log102,76332≈lg1,028·10 2. Zdaj uporabimo lastnosti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nazadnje najdemo vrednost logaritma lg1,028 iz tabele decimalnih logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kot rezultat, celoten postopek izračuna logaritma izgleda takole: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na koncu je treba omeniti, da lahko s tabelo decimalnih logaritmov izračunate približno vrednost katerega koli logaritma. Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite formulo prehoda, da greste na decimalne logaritme, poiščete njihove vrednosti v tabeli in izvedete preostale izračune.

Na primer, izračunajmo log 2 3 . Po formuli za prehod na novo osnovo logaritma imamo . Iz tabele decimalnih logaritmov najdemo log3≈0,4771 in log2≈0,3010. torej .

Reference.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Razpon sprejemljivih vrednosti (APV) logaritma

Zdaj pa se pogovorimo o omejitvah (ODZ - obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk).

Spomnimo se, da na primer kvadratnega korena ni mogoče vzeti iz negativnih števil; ali če imamo ulomek, potem imenovalec ne more biti enak nič. Logaritmi imajo podobne omejitve:

To pomeni, da morata biti argument in osnova večja od nič, vendar osnova še ne more biti enaka.

Zakaj je temu tako?

Začnimo s preprosto stvarjo: recimo to. Potem, na primer, število ne obstaja, saj ne glede na to, na katero moč dvignemo, se vedno izkaže. Še več, za nikogar ne obstaja. Toda hkrati je lahko enaka karkoli (iz istega razloga - enaka kateri koli stopinji). Zato predmet ni zanimiv in je bil preprosto vržen iz matematike.

V primeru imamo podoben problem: na poljubno pozitivno potenco je, vendar ga nikakor ne moremo povzdigniti na negativno potenco, saj bo to povzročilo deljenje z nič (naj vas spomnim).

Ko se soočimo s problemom povišanja na ulomek (ki je predstavljen kot koren: . Na primer, (to je), vendar ne obstaja.

Zato je lažje zavreči negativne razloge, kot pa se ukvarjati z njimi.

No, ker je naša osnova a lahko samo pozitivna, potem ne glede na to, na katero potenco jo dvignemo, bomo vedno dobili strogo pozitivno število. Torej mora biti argument pozitiven. Na primer, ne obstaja, saj ne bo negativno število do nobene stopnje (ali celo nič, torej tudi ne obstaja).

Pri nalogah z logaritmi je treba najprej zapisati ODZ. Naj vam dam primer:

Rešimo enačbo.

Spomnimo se definicije: logaritem je potenca, na katero je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument. In glede na pogoj je ta stopnja enaka: .

Dobimo običajno kvadratno enačbo: . Rešimo ga z uporabo Vietovega izreka: vsota korenin je enaka in produkt. Enostaven za prevzem, to so številke in.

Če pa v odgovor takoj vzamete in zapišete obe številki, lahko za nalogo dobite 0 točk. Zakaj? Pomislimo, kaj se zgodi, če te korene nadomestimo v začetno enačbo?

To očitno ni pravilno, saj osnova ne more biti negativna, to pomeni, da je koren "tretja oseba".

Da bi se izognili tako neprijetnim pastem, morate ODZ zapisati še preden začnete reševati enačbo:

Potem, ko smo prejeli korenine in, takoj zavržemo koren in napišemo pravilen odgovor.

Primer 1(poskusite rešiti sami) :

Poiščite koren enačbe. Če je korenin več, v odgovoru označite najmanjšo izmed njih.

rešitev:

Najprej napišimo ODZ:

Zdaj pa se spomnimo, kaj je logaritem: na kakšno potenco morate dvigniti osnovo, da dobite argument? Na drugo. To je:

Zdi se, da je manjši koren enak. Vendar ni tako: po ODZ je koren tuj, torej sploh ni koren te enačbe. Tako ima enačba samo en koren: .

odgovor: .

Osnovna logaritemska identiteta

Spomnimo se definicije logaritma v splošni obliki:

Nadomestimo logaritem v drugo enakost:

Ta enakost se imenuje osnovna logaritemska identiteta. Čeprav je v bistvu to enakopravnost – le drugače zapisano definicija logaritma:

To je moč, do katere se morate dvigniti, da jo dosežete.

Na primer:

Rešite naslednje primere:

Primer 2.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Spomnimo se pravila iz razdelka:, to je, da se pri potenci potence pomnožijo eksponenti. Uporabimo ga:

Primer 3.

Dokaži to.

rešitev:

Lastnosti logaritmov

Naloge žal niso vedno tako preproste - pogosto morate izraz najprej poenostaviti, ga spraviti v običajno obliko in šele nato bo mogoče izračunati vrednost. To je najlažje narediti, če veš lastnosti logaritmov. Naučimo se torej osnovnih lastnosti logaritmov. Vsakega od njih bom dokazal, kajti vsako pravilo si je lažje zapomniti, če veš, od kod prihaja.

Vse te lastnosti si je treba zapomniti; brez njih večine problemov z logaritmi ni mogoče rešiti.

In zdaj o vseh lastnostih logaritmov podrobneje.

Lastnost 1:

Dokaz:

Naj bo potem.

Imamo: itd.

Lastnost 2: Vsota logaritmov

Vsota logaritmov z enakimi osnovami je enaka logaritmu produkta: .

Dokaz:

Naj bo potem. Naj bo potem.

primer: Poiščite pomen izraza: .

Rešitev: .

Formula, ki ste se jo pravkar naučili, pomaga poenostaviti vsoto logaritmov, ne razlike, zato teh logaritmov ni mogoče takoj združiti. Lahko pa storite nasprotno - "razdelite" prvi logaritem na dva: In tukaj je obljubljena poenostavitev:
.
Zakaj je to potrebno? No, na primer: čemu je enako?

Zdaj je to očitno.

zdaj poenostavite sami:

Naloge:

odgovori:

Lastnost 3: Razlika logaritmov:

Dokaz:

Vse je popolnoma enako kot v 2. točki:

Naj bo potem.

Naj bo potem. Imamo:

Primer iz prejšnjega odstavka postane zdaj še preprostejši:

Bolj zapleten primer: . Ali lahko ugotovite, kako to rešiti sami?

Tukaj je treba opozoriti, da nimamo ene same formule o logaritmih na kvadrat. To je nekaj podobnega izrazu - tega ni mogoče takoj poenostaviti.

Zato si oddahnimo od formul o logaritmih in pomislimo, kakšne formule najpogosteje uporabljamo v matematiki? Od 7. razreda!

Ta - . Morate se navaditi, da so povsod! Pojavijo se pri eksponentnih, trigonometričnih in iracionalnih problemih. Zato si jih je treba zapomniti.

Če natančno pogledate prva dva izraza, postane jasno, da je to razlika kvadratov:

Odgovor za preverjanje:

Poenostavite sami.

Primeri

odgovori.

Lastnost 4: Odvzem eksponenta iz argumenta logaritma:

Dokaz: In tukaj uporabljamo tudi definicijo logaritma: pustimo, torej. Imamo: itd.

To pravilo je mogoče razumeti takole:

To pomeni, da se stopnja argumenta premakne pred logaritem kot koeficient.

primer: Poiščite pomen izraza.

rešitev: .

Odločite se sami:

Primeri:

odgovori:

Lastnost 5: Jemanje eksponenta iz osnove logaritma:

Dokaz: Naj bo potem.

Imamo: itd.
Ne pozabite: od razlogov stopnja je izražena kot nasprotnoštevilo, za razliko od prejšnjega primera!

Lastnost 6: Odstranitev eksponenta iz osnove in argumenta logaritma:

Ali če sta stopnji enaki: .

Lastnost 7: Prehod na novo osnovo:

Dokaz: Naj bo potem.

Imamo: itd.

Lastnost 8: Zamenjaj osnovo in argument logaritma:

Dokaz: To je poseben primer formule 7: če zamenjamo, dobimo: itd.

Poglejmo si še nekaj primerov.

Primer 4.

Poiščite pomen izraza.

Uporabljamo lastnost logaritmov št. 2 - vsota logaritmov z isto osnovo je enaka logaritmu produkta:

Primer 5.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Uporabljamo lastnost logaritmov št. 3 in št. 4:

Primer 6.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Uporabimo lastnost št. 7 - pojdimo na osnovo 2:

Primer 7.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Kako vam je všeč članek?

Če berete te vrstice, ste prebrali celoten članek.

In to je kul!

Zdaj pa nam povejte, kako vam je všeč članek?

Ste se naučili reševati logaritme? Če ne, v čem je problem?

Pišite nam v komentarjih spodaj.

In ja, veliko sreče na izpitih.

Na enotnem državnem izpitu in enotnem državnem izpitu ter v življenju na splošno

glavne lastnosti.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

enake podlage

Log6 4 + log6 9.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo.

Primeri reševanja logaritmov

Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Prehod na novo podlago

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Glej tudi:

Osnovne lastnosti logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovne lastnosti logaritmov

Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

2.

3.

Primer 2. Poiščite x, če

Primer 3. Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem.

Logaritemske formule. Logaritmi primeri rešitve.

Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
2. loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Glej tudi:

Logaritem b na osnovi a označuje izraz. Izračunati logaritem pomeni najti potenco x (), pri kateri je enakost izpolnjena

Osnovne lastnosti logaritma

Zgornje lastnosti je treba poznati, saj so skoraj vsi problemi in primeri, povezani z logaritmi, rešeni na njihovi podlagi. Ostale eksotične lastnosti je mogoče izpeljati z matematičnimi manipulacijami s temi formulami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunu formule za vsoto in razliko logaritmov (3.4) naletite precej pogosto. Ostali so nekoliko zapleteni, vendar so v številnih nalogah nepogrešljivi za poenostavitev kompleksnih izrazov in izračun njihovih vrednosti.

Pogosti primeri logaritmov

Nekateri najpogostejši logaritmi so tisti, pri katerih je osnova enaka deset, eksponentna ali dve.
Logaritemu na osnovi deset se običajno reče decimalni logaritem in ga preprosto označimo z lg(x).

Iz posnetka je razvidno, da v posnetku niso zapisane osnove. Na primer

Naravni logaritem je logaritem, katerega osnova je eksponent (označen z ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja. Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

In še en pomemben logaritem z osnovo dve je označen z

Odvod logaritma funkcije je enak ena deljeno s spremenljivko

Integralni ali antiderivacijski logaritem je določen z razmerjem

Dano gradivo je dovolj za reševanje širokega razreda problemov, povezanih z logaritmi in logaritmi. Za lažje razumevanje gradiva bom navedel le nekaj običajnih primerov iz šolskega kurikuluma in univerz.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

2.
Z lastnostjo razlike logaritmov imamo

3.
Z uporabo lastnosti 3.5 najdemo

Navidezno zapleten izraz je poenostavljen v obliki z uporabo številnih pravil

Iskanje vrednosti logaritmov

Primer 2. Poiščite x, če

rešitev. Za izračun uporabimo zadnji člen 5 in 13 lastnosti

Zabeležimo in žalujemo

Ker sta bazi enaki, izraza enačimo

Logaritmi. Začetna raven.

Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Rešitev: Vzemimo logaritem spremenljivke, da zapišemo logaritem skozi vsoto njenih členov

To je šele začetek našega spoznavanja logaritmov in njihovih lastnosti. Vadite računanje, obogatite svoje praktične spretnosti - pridobljeno znanje boste kmalu potrebovali za reševanje logaritemskih enačb. Ko smo preučili osnovne metode reševanja takšnih enačb, bomo vaše znanje razširili na drugo, enako pomembno temo - logaritemske neenakosti ...

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log6 4 + log6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
2. loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Kot veste, se pri množenju izrazov s potencami njihovi eksponenti vedno seštevajo (a b *a c = a b+c). Ta matematični zakon je izpeljal Arhimed, pozneje, v 8. stoletju, pa je matematik Virasen ustvaril tabelo celih eksponentov. Prav ti so služili za nadaljnje odkrivanje logaritmov. Primere uporabe te funkcije lahko najdemo skoraj povsod, kjer je treba okorno množenje poenostaviti s preprostim seštevanjem. Če porabite 10 minut za branje tega članka, vam bomo razložili, kaj so logaritmi in kako delati z njimi. V preprostem in dostopnem jeziku.

Definicija v matematiki

Logaritem je izraz v naslednji obliki: log a b=c, kar pomeni, da je logaritem katerega koli nenegativnega števila (to je katerega koli pozitivnega) "b" na njegovo osnovo "a" potenca "c". ”, na katero je potrebno dvigniti osnovo “a”, da na koncu dobimo vrednost “b”. Analizirajmo logaritem s primeri, recimo, da obstaja izraz log 2 8. Kako najti odgovor? Zelo preprosto je, najti morate takšno potenco, da od 2 do zahtevane potence dobite 8. Po nekaj izračunih v glavi dobimo številko 3! In to je res, ker 2 na potenco 3 daje odgovor 8.

Vrste logaritmov

Za mnoge učence in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako strašljivi, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in se spomniti njihovih lastnosti in nekaterih pravil. Obstajajo tri ločene vrste logaritemskih izrazov:

1. Naravni logaritem ln a, kjer je osnova Eulerjevo število (e = 2,7).
2. Decimalno a, kjer je osnova 10.
3. Logaritem poljubnega števila b na osnovo a>1.

Vsak od njih je rešen na standarden način, vključno s poenostavitvijo, redukcijo in kasnejšo redukcijo na en sam logaritem z uporabo logaritemskih izrekov. Da bi dobili pravilne vrednosti logaritmov, se morate spomniti njihovih lastnosti in zaporedja dejanj pri njihovem reševanju.

Pravila in nekatere omejitve

V matematiki obstaja več pravil-omejitev, ki so sprejete kot aksiom, to pomeni, da niso predmet razprave in so resnica. Števil je na primer nemogoče deliti z nič, prav tako je nemogoče izluščiti sodi koren negativnih števil. Logaritmi imajo tudi svoja pravila, po katerih se zlahka naučite delati tudi z dolgimi in obsežnimi logaritemskimi izrazi:

• Osnova "a" mora biti vedno večja od nič in ne enaka 1, sicer bo izraz izgubil pomen, ker sta "1" in "0" do katere koli stopnje vedno enaka svojim vrednostim;
• če je a > 0, potem a b >0, se izkaže, da mora biti tudi "c" večji od nič.

Kako rešiti logaritme?

Naloga je na primer najti odgovor na enačbo 10 x = 100. To je zelo enostavno, izbrati morate potenco tako, da povišate število deset, na kar dobimo 100. To je seveda 10 2 = 100.

Zdaj predstavimo ta izraz v logaritemski obliki. Dobimo log 10 100 = 2. Pri reševanju logaritmov se vsa dejanja praktično združijo, da bi našli potenco, na katero je treba vnesti osnovo logaritma, da dobimo dano število.

Če želite natančno določiti vrednost neznane stopnje, se morate naučiti delati s tabelo stopinj. Videti je takole:

Kot lahko vidite, lahko nekatere eksponente ugibate intuitivno, če imate tehnično miselnost in poznavanje tabele množenja. Vendar pa boste za večje vrednosti potrebovali tabelo moči. Uporabljajo ga lahko tudi tisti, ki o kompleksnih matematičnih temah ne vedo prav nič. Levi stolpec vsebuje števila (osnova a), zgornja vrstica števil je vrednost potence c, na katero je povzdignjeno število a. Na presečišču celice vsebujejo številske vrednosti, ki so odgovor (a c =b). Vzemimo na primer prvo celico s številko 10 in jo kvadriramo, dobimo vrednost 100, ki je navedena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo razumel tudi najbolj pravi humanist!

Enačbe in neenačbe

Izkazalo se je, da je pod določenimi pogoji eksponent logaritem. Zato lahko vse matematične numerične izraze zapišemo kot logaritemsko enakost. Na primer, 3 4 =81 lahko zapišemo kot osnovni logaritem 3 od 81, ki je enak štirim (log 3 81 = 4). Za negativne potence so pravila enaka: 2 -5 = 1/32 zapišemo kot logaritem, dobimo log 2 (1/32) = -5. Eden najbolj fascinantnih razdelkov matematike je tema "logaritmov". Spodaj si bomo ogledali primere in rešitve enačb, takoj po študiju njihovih lastnosti. Zdaj pa poglejmo, kako so videti neenakosti in kako jih ločiti od enačb.

Podan je naslednji izraz: log 2 (x-1) > 3 - gre za logaritemsko neenakost, saj je neznana vrednost “x” pod logaritemskim predznakom. In tudi v izrazu se primerjata dve količini: logaritem želenega števila na osnovi dve je večji od števila tri.

Najpomembnejša razlika med logaritemskimi enačbami in neenačbami je v tem, da enačbe z logaritmi (na primer logaritem 2 x = √9) pomenijo eno ali več določenih številskih vrednosti v odgovoru, medtem ko pri reševanju neenačbe oboje obseg sprejemljivih vrednosti in točke so določene s prelomom te funkcije. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih števil, kot pri odgovoru na enačbo, temveč neprekinjen niz ali niz števil.

Osnovni izreki o logaritmih

Pri reševanju primitivnih nalog iskanja vrednosti logaritma njegove lastnosti morda niso znane. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenačbe, je najprej treba jasno razumeti in v praksi uporabiti vse osnovne lastnosti logaritmov. Pozneje si bomo ogledali primere enačb; najprej si podrobneje oglejmo vsako lastnost.

1. Glavna identiteta je videti takole: a logaB =B. Velja le, če je a večje od 0, ni enako ena, in je B večji od nič.
2. Logaritem produkta lahko predstavimo z naslednjo formulo: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tem primeru je obvezen pogoj: d, s 1 in s 2 > 0; a≠1. Za to logaritemsko formulo lahko navedete dokaz s primeri in rešitvijo. Naj bo log a s 1 = f 1 in log a s 2 = f 2, potem je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobimo, da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (lastnosti stopinj ), nato pa po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kar je bilo treba dokazati.
3. Logaritem količnika izgleda takole: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Izrek v obliki formule ima naslednjo obliko: log a q b n = n/q log a b.

Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma." Podobna je lastnostim navadnih stopinj in ni presenetljivo, saj vsa matematika temelji na naravnih postulatih. Poglejmo dokaz.

Naj bo log a b = t, izkaže se, da je a t =b. Če oba dela dvignemo na potenco m: a tn = b n ;

ker pa je a tn = (a q) nt/q = b n, torej log a q b n = (n*t)/t, potem je log a q b n = n/q log a b. Izrek je dokazan.

Primeri problemov in neenakosti

Najpogostejše vrste problemov o logaritmih so primeri enačb in neenačb. Najdemo jih v skoraj vseh učbenikih in so tudi obvezen del izpitov iz matematike. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti sprejemne izpite iz matematike, morate vedeti, kako pravilno rešiti takšne naloge.

Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar je mogoče za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo uporabiti določena pravila. Najprej morate ugotoviti, ali je izraz mogoče poenostaviti ali zmanjšati na splošno obliko. Dolge logaritemske izraze lahko poenostavite, če pravilno uporabite njihove lastnosti. Hitro jih spoznajmo.

Pri reševanju logaritemskih enačb moramo ugotoviti, kakšno vrsto logaritma imamo: primer izraza lahko vsebuje naravni ali decimalni logaritem.

Tukaj sta primera ln100, ln1026. Njihova rešitev se skrči na dejstvo, da morajo določiti potenco, pri kateri bo osnova 10 enaka 100 oziroma 1026. Za reševanje naravnih logaritmov morate uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si primere reševanja logaritemskih problemov različnih vrst.

Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami

Torej, poglejmo primere uporabe osnovnih izrekov o logaritmih.

1. Lastnost logaritma produkta lahko uporabimo pri nalogah, kjer je treba razstaviti veliko vrednost števila b na enostavnejše faktorje. Na primer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kot lahko vidite, nam je z uporabo četrte lastnosti potence logaritma uspelo rešiti na videz zapleten in nerešljiv izraz. Preprosto morate faktorizirati osnovo in nato vzeti vrednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Naloge iz enotnega državnega izpita

Logaritme pogosto najdemo na sprejemnih izpitih, zlasti veliko logaritemskih problemov na Enotnem državnem izpitu (državni izpit za vse maturante). Običajno te naloge niso prisotne le v delu A (najlažji testni del izpita), ampak tudi v delu C (najbolj zapletene in obsežne naloge). Izpit zahteva natančno in popolno poznavanje teme “Naravni logaritmi”.

Primeri in rešitve problemov so vzeti iz uradnih različic enotnega državnega izpita. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.

Podan log 2 (2x-1) = 4. Rešitev:
prepišimo izraz in ga malo poenostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobimo, da je 2x-1 = 2 4, torej 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je reducirati vse logaritme na isto osnovo, da rešitev ne bo okorna in zmedena.
• Vsi izrazi pod znakom za logaritem so označeni kot pozitivni, zato mora biti izraz, ki ostane pod znakom za logaritem, pozitiven, ko je eksponent izraza, ki je pod znakom za logaritem in kot njegova osnova, vzet kot množitelj.