Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Pri reševanju nekaterih matematičnih problemov morate delovati s kvadratnimi koreni. Zato je pomembno poznati pravila delovanja s kvadratnimi koreni in se naučiti transformirati izraze, ki jih vsebujejo. Cilj je preučiti pravila delovanja s kvadratnimi koreni in načine preoblikovanja izrazov s kvadratnimi koreni.

Vemo, da so nekatera racionalna števila izražena kot neskončni periodični decimalni ulomki, na primer število 1/1998=0,000500500500 ... Toda nič nam ne preprečuje, da bi si zamislili število, katerega decimalna ekspanzija ne razkrije nobene periode. Takšna števila se imenujejo iracionalna.

Zgodovina iracionalnih števil sega v osupljivo odkritje Pitagorejcev v 6. stoletju. pr. n. št e. Vse se je začelo z na videz preprostim vprašanjem: katero število izraža dolžino diagonale kvadrata s stranico 1?

Diagonala deli kvadrat na 2 enaka pravokotna trikotnika, v vsakem od njih pa deluje kot hipotenuza. Zato je, kot sledi iz Pitagorovega izreka, dolžina diagonale kvadrata enaka

In čeprav Pitagora in njegovi učenci niso imeli računalnika, so bili oni tisti, ki so to dejstvo utemeljili. Pitagorejci so dokazali, da diagonala kvadrata in njegova stranica nimata skupne mere (tj. odseka, ki bi bil narisan celo število krat tako na diagonali kot na stranici). Zato je razmerje med njihovimi dolžinami število

Po odkritju pitagorejcev

Kako dokazati to številko

Še vedno je treba ugotoviti, da je naša predpostavka napačna in je racionalno število m/n enako

1. Kvadratni koren števila

Poznavanje časa t , lahko najdete pot v prostem padu z uporabo formule:

Naloga . Koliko sekund bo trajalo, da bo padel kamen, vržen z višine 122,5 m?

Če želite najti odgovor, morate rešiti enačbo

Pozitivno število po njegovem kvadratu morate iskati tudi pri reševanju drugih nalog, na primer pri iskanju dolžine stranice kvadrata po njegovi ploščini. Predstavimo naslednjo definicijo.

Opredelitev . Nenegativno število, katerega kvadrat je enak nenegativnemu številu a, se imenuje kvadratni koren iz a. Ta številka pomeni

torej

Primer . Ker

Iz negativnih števil ne morete jemati kvadratnih korenov, saj je kvadrat katerega koli števila pozitiven ali enak nič. Na primer, izraz

ničle: = 10…0

2n ničel n ničel

2n ničel n ničel

na primer

2. Računanje kvadratnih korenov

. Z nadaljevanjem tega procesa dobimo eno za drugo števke neskončnega decimalnega ulomka, ki je enak .

in pritisnite tipko - na zaslonu se prikaže 8-mestna vrednost. V nekaterih primerih je treba uporabiti lastnosti kvadratnih korenin, ki jih bomo navedli spodaj.

Če natančnost, ki jo zagotavlja mikrokalkulator, ni zadostna, lahko uporabite metodo za prečiščevanje vrednosti korena, podano z naslednjim izrekom. Izrek.

Če je a pozitivno število in je približna vrednost za presežek, potem

Korenske formule. Lastnosti kvadratnih korenov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."

In za tiste, ki "zelo ...") V prejšnji lekciji smo ugotovili, kaj je kvadratni koren. Čas je, da ugotovimo, kateri obstajajo formule za korenine kaj so lastnosti korenin

, in kaj se da narediti z vsem tem.- to je v bistvu ista stvar. Obstaja presenetljivo malo formul za kvadratne korene. Kar me zagotovo veseli! Oziroma lahko napišete veliko različnih formul, a za praktično in samozavestno delo s koreninami so dovolj le tri. Vse ostalo izhaja iz teh treh. Čeprav se mnogi zmedejo v formulah treh korenin, ja...

Začnimo z najpreprostejšim. Tukaj je:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Kaj je kvadratni koren?

Korenske formule. Lastnosti kvadratnih korenov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."

Ta koncept je zelo preprost. Naravno, bi rekel. Matematiki poskušajo najti reakcijo za vsako dejanje. Obstaja seštevanje - obstaja tudi odštevanje. Obstaja množenje - obstaja tudi deljenje. Kvadratura je ... Torej tudi obstaja izvleči kvadratni koren! To je to. To dejanje ( kvadratni koren) v matematiki je označen s to ikono:

Sama ikona se imenuje lepa beseda " radikalen".

Kako izvleči korenino? Bolje je pogledati primeri.

Kaj je kvadratni koren iz 9? Katero število na kvadrat nam bo dalo 9? 3 na kvadrat nam da 9! Tisti:

Toda kaj je kvadratni koren iz nič? Brez vprašanja! Katero število na kvadrat je ničla? Da, daje nič! Pomeni:

Razumem, kaj je kvadratni koren? Potem razmislimo primeri:

Odgovori (v razsulu): 6; 1; 4; 9; 5.

Odločen? Res, koliko lažje je to?!

Ampak ... Kaj človek naredi, ko vidi neko nalogo s koreninami?

Človek začne biti žalosten ... Ne verjame v preprostost in lahkotnost svojih korenin. Čeprav se zdi, da ve kaj je kvadratni koren...

To je zato, ker je oseba pri preučevanju korenin zanemarila več pomembnih točk. Potem se te modne muhe kruto maščujejo na testih in izpitih ...

Točka ena. Korenine je treba prepoznati na pogled!

Kaj je kvadratni koren iz 49? sedem? prav! Kako si vedel, da je sedem? Na kvadrat sedem in dobil 49? prav! Upoštevajte to izvlecite korenino od 49 smo morali narediti obratno operacijo - kvadrat 7! In poskrbi, da ne zgrešimo. Lahko pa so spregledali...

To je težava pridobivanje korenin. kvadrat Brez težav lahko uporabite katero koli številko. Pomnožite število samo s stolpcem - to je vse. Ampak za pridobivanje korenin Tako preproste in varne tehnologije ni. Moramo pobrati odgovorite in preverite, ali je pravilen, tako da ga kvadrirate.

Ta zapleten ustvarjalni proces – izbiranje odgovora – je zelo poenostavljen, če zapomni si kvadrati priljubljenih števil. Kot tabela množenja. Če morate, recimo, pomnožiti 4 s 6, ne dodate štiri 6-krat, kajne? Odgovor 24 se pojavi takoj, čeprav ga ne razumejo vsi, ja ...

Za svobodno in uspešno delo s koreninami je dovolj poznati kvadrate števil od 1 do 20. Poleg tega tam in nazaj. Tisti. morali bi biti sposobni z lahkoto recitirati tako, recimo, 11 na kvadrat kot kvadratni koren iz 121. Da bi si to zapomnili, obstajata dva načina. Prvi je, da se naučite tabele kvadratov. To bo v veliko pomoč pri reševanju primerov. Drugi je rešiti več primerov. To vam bo zelo pomagalo zapomniti tabelo kvadratov.

In brez kalkulatorjev! Samo za namene testiranja. V nasprotnem primeru se boste med izpitom neusmiljeno upočasnili ...

Torej, kaj je kvadratni koren in kako izvleček korenin- Mislim, da je jasno. Zdaj pa ugotovimo, iz ČESA jih lahko pridobimo.

Točka dve. Root, ne poznam te!

Iz katerih števil lahko vzamete kvadratne korenine? Da, skoraj vsak izmed njih. Lažje je razumeti, iz česa je je prepovedano izvlecite jih.

Poskusimo izračunati ta koren:

Da bi to naredili, moramo izbrati število, ki nam bo na kvadrat dalo -4. Izberemo.

Kaj, ne ustreza? 2 2 daje +4. (-2) 2 daje spet +4! To je to... Ni števil, ki bi nam, če jih kvadriramo, dala negativno število! Čeprav poznam te številke. Ampak ne bom vam povedal). Pojdite na fakulteto in sami boste ugotovili.

Ista zgodba se bo zgodila s katerim koli negativnim številom. Od tod sklep:

Izraz, v katerem je pod znakom kvadratnega korena negativno število - nima smisla! To je prepovedana operacija. To je enako prepovedano kot deljenje z ničlo. To dejstvo si trdno zapomnite! Ali z drugimi besedami:

Ne morete izluščiti kvadratnih korenov iz negativnih števil!

Toda od vseh drugih je to mogoče. Na primer, povsem mogoče je izračunati

Na prvi pogled je to zelo težko. Izbiranje ulomkov in njihovo kvadriranje ... Brez skrbi. Ko razumemo lastnosti korenin, se bodo takšni primeri zmanjšali na isto tabelo kvadratov. Življenje bo postalo lažje!

V redu, ulomki. Še vedno pa naletimo na izraze, kot so:

V redu je. Vse je isto. Kvadratni koren iz dve je število, ki nam, če ga kvadriramo, da dve. Samo ta številka je popolnoma neenakomerna... Tukaj je:

Zanimivo je, da se ta ulomek nikoli ne konča ... Takšna števila imenujemo iracionalna. Pri kvadratnih korenih je to najpogostejša stvar. Mimogrede, zato se imenujejo izrazi s koreni neracionalno. Jasno je, da je pisanje tako neskončnega ulomka ves čas neprijetno. Zato namesto neskončnega ulomka pustijo takole:

Če pri reševanju primera končate z nečim, česar ni mogoče ekstrahirati, na primer:

potem pustimo tako. To bo odgovor.

Jasno morate razumeti, kaj pomenijo ikone

Seveda, če se vzame koren števila gladka, to moraš storiti. Odgovor na nalogo je v obliki npr

Precej popoln odgovor.

In seveda morate vedeti približne vrednosti iz spomina:

To znanje zelo pomaga pri oceni situacije pri kompleksnih nalogah.

Točka tri. Najbolj zvit.

Glavna zmeda pri delu s koreninami je posledica te točke. On je tisti, ki daje zaupanje v svoje sposobnosti ... Ukvarjajmo se s to točko pravilno!

Najprej povzemimo kvadratni koren iz štirih izmed njih. Sem vas že motil s to korenino?) Ni važno, zdaj bo zanimivo!

Katero število je 4 na kvadrat? No, dva, dva - slišim nezadovoljne odgovore ...

Prav. Dva. Ampak tudi minus dva bo dal 4 na kvadrat ... Medtem pa odgovor

pravilno in odgovor

huda napaka. Takole.

Torej, kaj je narobe?

Dejansko je (-2) 2 = 4. In po definiciji kvadratnega korena iz štirih minus dva povsem primerno... To je tudi kvadratni koren iz štirih.

Ampak! V šolskem tečaju matematike je običajno upoštevati kvadratne korenine samo nenegativna števila! Se pravi nič in vse pozitivno. Izumili so celo poseben izraz: izmed znak se imenuje radikalni znak (iz latinskega "radix" - koren) in število- To nenegativnoštevilo, katerega kvadrat je znak se imenuje radikalni znak (iz latinskega "radix" - koren) in število. Negativni rezultati pri pridobivanju aritmetičnega kvadratnega korena se preprosto zavržejo. V šoli je vse kvadratni koren - aritmetika. Čeprav to ni posebej omenjeno.

V redu, to je razumljivo. Še bolje je, da se ne obremenjujete z negativnimi izvidi... To še ni zmeda.

Zmeda se začne pri reševanju kvadratnih enačb. Na primer, rešiti morate naslednjo enačbo.

Enačba je preprosta, odgovor zapišemo (kot je naučeno):

Ta odgovor (mimogrede, popolnoma pravilen) je le skrajšana različica dva odgovori:

Nehaj, nehaj! Tik zgoraj sem napisal, da je kvadratni koren število Vedno nenegativno! In tukaj je eden od odgovorov - negativno! Motnja. To je prvi (vendar ne zadnji) problem, ki povzroča nezaupanje do korenin ... Rešimo ta problem. Zapišimo odgovore (za razumevanje!) takole:

Oklepaj ne spremeni bistva odgovora. Samo ločil sem ga z oklepaji znaki od korenina. Zdaj lahko jasno vidite, da je sam koren (v oklepaju) še vedno nenegativno število! In znaki so rezultat reševanja enačbe. Navsezadnje moramo pri reševanju katere koli enačbe pisati Vse X-ji, ki bodo, ko jih zamenjamo v prvotno enačbo, dali pravilen rezultat. Koren iz pet (pozitiven!) s plusom in minusom ustreza naši enačbi.

Takole. če ti samo vzemite kvadratni koren od česar koli, ti Vedno dobiš ena nenegativna rezultat. Na primer:

Ker je - aritmetični kvadratni koren.

Če pa rešujete neko kvadratno enačbo, na primer:

to Vedno se izkaže dva odgovor (s plusom in minusom):

Ker je to rešitev enačbe.

upam, kaj je kvadratni koren Jasni ste. Zdaj je treba ugotoviti, kaj je mogoče storiti s koreninami, kakšne so njihove lastnosti. In kakšne so točke in pasti ... oprostite, kamni!)

Vse to je v naslednjih lekcijah.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Čestitamo: danes si bomo ogledali korenine - eno najbolj osupljivih tem v 8. razredu. :)

Marsikdo se zmede glede korenin, ne zato, ker so zapletene (kaj je tako zapletenega - par definicij in še par lastnosti), ampak zato, ker so v večini šolskih učbenikov korenine definirane skozi tako džunglo, da le avtorji učbenikov sami lahko razume to pisanje. Pa še to samo s steklenico dobrega viskija. :)

Zato bom zdaj podal najbolj pravilno in najbolj kompetentno definicijo korena - edino, ki bi si jo res morali zapomniti. In potem bom razložil: zakaj je vse to potrebno in kako to uporabiti v praksi.

Toda najprej si zapomnite eno pomembno točko, ki jo mnogi prevajalci učbenikov iz nekega razloga "pozabijo":

Koreni so lahko sode stopnje (naš najljubši $\sqrt(a)$, pa tudi vse vrste $\sqrt(a)$ in sodo $\sqrt(a)$) in lihe stopnje (vse vrste $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). In definicija korena lihe stopnje je nekoliko drugačna od sode.

Verjetno se 95% vseh napak in nesporazumov, povezanih s koreninami, skriva v tem presneto "nekoliko drugače". Zato enkrat za vselej razčistimo terminologijo:

Opredelitev. Celo koren ničle, je enako številu, ki ga piše ena in iz števila $a$ je katerikoli nenegativnoštevilo $b$ je takšno, da je $((b)^(n))=a$. In lihi koren istega števila $a$ je na splošno poljubno število $b$, za katerega velja enaka enakost: $((b)^(n))=a$.

V vsakem primeru je koren označen takole:

\(a)\]

Število $n$ v takem zapisu imenujemo korenski eksponent, število $a$ pa radikalni izraz. Zlasti za $n=2$ dobimo naš najljubši kvadratni koren (mimogrede, to je koren sode stopnje), za $n=3$ pa dobimo kubični koren (liho stopnjo), ki je pogosto najdemo tudi v problemih in enačbah.

Primeri. Klasični primeri kvadratnih korenov:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Mimogrede, $\sqrt(0)=0$ in $\sqrt(1)=1$. To je povsem logično, saj je $((0)^(2))=0$ in $((1)^(2))=1$.

Pogosti so tudi kockasti koreni - ni se jih treba bati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

No, nekaj "eksotičnih primerov":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Če ne razumete, kakšna je razlika med sodo in liho stopnjo, še enkrat preberite definicijo. To je zelo pomembno!

Medtem pa bomo razmislili o eni neprijetni lastnosti korenov, zaradi katere smo morali uvesti ločeno definicijo za sode in lihe eksponente.

Zakaj so korenine sploh potrebne?

Po branju definicije se bo marsikateri študent vprašal: "Kaj so matematiki kadili, ko so se tega domislili?" In res: zakaj so vse te korenine sploh potrebne?

Za odgovor na to vprašanje se za trenutek vrnimo v osnovno šolo. Ne pozabite: v tistih daljnih časih, ko so bila drevesa bolj zelena in cmoki okusnejši, je bila naša glavna skrb pravilno pomnožiti števila. No, nekaj takega kot "pet po pet - petindvajset", to je vse. Toda številke lahko pomnožite ne v parih, ampak v trojčkih, četvericah in na splošno v celih nizih:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Vendar to ni bistvo. Trik je drugačen: matematiki so leni ljudje, zato so težko zapisali množenje desetih petic takole:

Zato so si izmislili diplome. Zakaj ne bi zapisali števila faktorjev kot nadnapis namesto dolgega niza? Nekaj ​​takega:

To je zelo priročno! Vsi izračuni so znatno zmanjšani in ni vam treba zapraviti kup listov pergamenta in zvezkov, da bi zapisali približno 5183. Ta zapis so poimenovali potenca števila, v njem so našli kup lastnosti, a sreča se je izkazala za kratkotrajno.

Po veličastnem pijančevanju, ki je bilo organizirano prav zaradi »odkritja« stopinj, je neki posebej trmasti matematik nenadoma vprašal: »Kaj pa, če poznamo stopnjo števila, samo število pa ni znano?« Zdaj pa res, če vemo, da določeno število $b$, recimo na 5. potenco, daje 243, kako potem lahko ugibamo, čemu je enako število $b$?

Ta problem se je izkazal za veliko bolj globalnega, kot se morda zdi na prvi pogled. Ker se je izkazalo, da za večino "gotovih" moči ni takih "začetnih" številk. Presodite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Desna puščica b=4\cdot 4\cdot 4\Desna puščica b=4. \\ \end(align)\]

Kaj pa, če $((b)^(3))=50$? Izkazalo se je, da moramo najti določeno število, ki nam bo, če ga trikrat pomnožimo, dalo 50. Toda kaj je to število? Očitno je večje od 3, saj je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To je to število je nekje med tri in štiri, vendar ne boste razumeli, čemu je enako.

Ravno zato so matematiki prišli do $n$-tih korenin. Ravno zato je bil uveden radikalni simbol $\sqrt(*)$. Označimo prav tisto število $b$, ki nam bo do navedene stopnje dalo vnaprej znano vrednost

\[\sqrt[n](a)=b\desna puščica ((b)^(n))=a\]

Ne trdim: te korenine je pogosto enostavno izračunati - zgoraj smo videli več takih primerov. A še vedno, če si v večini primerov zamislite poljubno število in nato iz njega poskušate izluščiti koren poljubne stopnje, vas čaka strašna težava.

Kaj je tam! Tudi najpreprostejšega in najbolj znanega $\sqrt(2)$ ni mogoče predstaviti v naši običajni obliki - kot celo število ali ulomek. In če to številko vnesete v kalkulator, boste videli tole:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kot lahko vidite, je za decimalno vejico neskončno zaporedje števil, ki ne sledijo nobeni logiki. To številko lahko seveda zaokrožite, da jo hitro primerjate z drugimi številkami. Na primer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ali pa je tukaj še en primer:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Toda vse te zaokrožitve so, prvič, precej grobe; in drugič, prav tako morate biti sposobni delati s približnimi vrednostmi, sicer lahko ujamete kup neočitnih napak (mimogrede, spretnost primerjave in zaokroževanja je treba preveriti na profilu Enotnega državnega izpita).

Zato v resni matematiki ne morete brez korenin - so enaki enaki predstavniki množice vseh realnih števil $\mathbb(R)$, tako kot ulomki in cela števila, ki so nam že dolgo znani.

Nezmožnost predstavitve korena kot ulomka oblike $\frac(p)(q)$ pomeni, da ta koren ni racionalno število. Takšna števila se imenujejo iracionalna in jih ni mogoče natančno predstaviti, razen s pomočjo radikala ali drugih konstrukcij, posebej zasnovanih za to (logaritmi, potence, meje itd.). A o tem kdaj drugič.

Oglejmo si več primerov, kjer bodo po vseh izračunih v odgovoru še vedno ostala iracionalna števila.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236 ... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Seveda je po videzu korena skoraj nemogoče uganiti, katera števila bodo prišla za decimalno vejico. Vendar se lahko zanesete na kalkulator, vendar nam tudi najnaprednejši kalkulator datumov ponudi le prvih nekaj števk iracionalnega števila. Zato je veliko pravilneje odgovore zapisati v obliki $\sqrt(5)$ in $\sqrt(-2)$.

Prav zaradi tega so bili izumljeni. Za priročno snemanje odgovorov.

Zakaj sta potrebni dve definiciji?

Pozorni bralec je verjetno že opazil, da so vsi kvadratni koreni, navedeni v primerih, vzeti iz pozitivnih števil. No, vsaj iz nič. Toda kubične korene je mogoče mirno izluščiti iz popolnoma katerega koli števila - naj bo pozitivno ali negativno.

Zakaj se to dogaja? Oglejte si graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Poskusimo izračunati $\sqrt(4)$ z uporabo tega grafa. V ta namen na grafu narišemo vodoravno črto $y=4$ (označeno z rdečo), ki seka parabolo v dveh točkah: $((x)_(1))=2$ in $((x )_(2)) =-2$. To je povsem logično, saj

S prvo številko je vse jasno - pozitivna je, torej je koren:

Toda kaj potem storiti z drugo točko? Na primer, štiri ima dve korenini hkrati? Konec koncev, če kvadriramo število −2, dobimo tudi 4. Zakaj potem ne bi zapisali $\sqrt(4)=-2$? In zakaj učitelji gledajo na take objave, kot da te hočejo pojesti? :)

Težava je v tem, da če ne naložite dodatnih pogojev, bo štirikolesnik imel dva kvadratna korena - pozitivno in negativno. In vsako pozitivno število jih bo imelo tudi dva. Toda negativna števila sploh ne bodo imela korenin - to je razvidno iz istega grafa, saj parabola nikoli ne pade pod os l, tj. ne sprejema negativnih vrednosti.

Podoben problem se pojavi pri vseh korenih s sodim eksponentom:

1. Strogo gledano bo imelo vsako pozitivno število dva korena s sodim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih števil se koren s parimi $n$ sploh ne izlušči.

Zato je v definiciji korena sode stopnje $n$ posebej določeno, da mora biti odgovor nenegativno število. Tako se znebimo dvoumnosti.

Toda za lihih $n$ te težave ni. Da bi to videli, si oglejmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Iz tega grafa lahko potegnemo dva zaključka:

1. Veje kubične parabole, za razliko od navadne, gredo v neskončnost v obe smeri - tako navzgor kot navzdol. Torej, ne glede na to, na kateri višini narišemo vodoravno črto, se bo ta črta zagotovo sekala z našim grafom. Posledično je kubični koren vedno mogoče izluščiti iz absolutno katerega koli števila;
2. Poleg tega bo takšno presečišče vedno edinstveno, zato vam ni treba razmišljati o tem, katera številka velja za "pravilen" koren in katero prezreti. Zato je določanje korenov za liho stopnjo preprostejše kot za sodo stopnjo (ni zahteve po nenegativnosti).

Škoda, da te preproste stvari v večini učbenikov niso razložene. Namesto tega se naši možgani začnejo dvigovati z vsemi vrstami aritmetičnih korenov in njihovih lastnosti.

Da, ne trdim: tudi vedeti morate, kaj je aritmetični koren. In o tem bom podrobno govoril v ločeni lekciji. Danes bomo govorili tudi o tem, saj bi brez tega vse misli o korenih $n$-te množice bile nepopolne.

Toda najprej morate jasno razumeti definicijo, ki sem jo dal zgoraj. V nasprotnem primeru se bo zaradi obilice izrazov v vaši glavi začela taka zmešnjava, da na koncu ne boste razumeli čisto nič.

Vse, kar morate storiti, je razumeti razliko med sodimi in lihimi indikatorji. Zato še enkrat zberimo vse, kar resnično morate vedeti o koreninah:

1. Koren sode stopnje obstaja le iz nenegativnega števila in je sam vedno nenegativno število. Za negativna števila je tak koren nedefiniran.
2. Toda koren lihe stopnje obstaja iz katerega koli števila in je sam lahko poljubno število: za pozitivna števila je pozitiven, za negativna števila pa, kot namiguje kapica, negativen.

Je težko? Ne, ni težko. Je jasno? Da, popolnoma je očitno! Zdaj bomo malo vadili z izračuni.

Osnovne lastnosti in omejitve

Korenine imajo veliko čudnih lastnosti in omejitev - o tem bomo razpravljali v ločeni lekciji. Zato bomo zdaj upoštevali le najpomembnejši "trik", ki velja samo za korenine s sodim indeksom. Zapišimo to lastnost kot formulo:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\levo| x\desno|\]

Z drugimi besedami, če dvignemo število na sodo potenco in nato izvlečemo koren iste potence, ne bomo dobili prvotnega števila, ampak njegov modul. To je preprost izrek, ki ga je enostavno dokazati (dovolj je, da ločeno obravnavamo nenegativne $x$ in nato ločeno negativne). Učitelji nenehno govorijo o tem, podano je v vsakem šolskem učbeniku. Čim pa gre za reševanje iracionalnih enačb (tj. enačb z radikalnim predznakom), učenci soglasno pozabijo na to formulo.

Da bi podrobno razumeli težavo, za trenutek pozabimo na vse formule in poskusimo izračunati dve številki neposredno naprej:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=?\]

To so zelo preprosti primeri. Večina ljudi bo rešila prvi primer, marsikomu pa se zatakne pri drugem. Če želite takšno sranje rešiti brez težav, vedno upoštevajte postopek:

1. Najprej se število dvigne na četrto potenco. No, nekako je enostavno. Dobili boste novo številko, ki jo najdete celo v tabeli množenja;
2. In zdaj je treba iz te nove številke izluščiti četrti koren. Tisti. ne pride do "zmanjšanja" korenin in moči - to so zaporedna dejanja.

Poglejmo prvi izraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očitno morate najprej izračunati izraz pod korenom:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Nato izvlečemo četrti koren števila 81:

Sedaj naredimo isto z drugim izrazom. Najprej dvignemo število −3 na četrto potenco, kar zahteva, da ga pomnožimo s samim seboj 4-krat:

\[((\levo(-3 \desno))^(4))=\levo(-3 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \ levo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivno število, saj je skupno število minusov v produktu 4 in vsi se bodo izničili (navsezadnje minus za minus daje plus). Nato znova izvlečemo koren:

Ta vrstica načeloma ne bi mogla biti zapisana, saj ni pametno, da bi bil odgovor enak. Tisti. sodi koren iste sode moči "sežge" minuse in v tem smislu se rezultat ne razlikuje od običajnega modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \desno|=3; \\ & \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=\levo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]

Ti izračuni se dobro ujemajo z definicijo korena sode stopnje: rezultat je vedno nenegativen in predznak radikala prav tako vedno vsebuje nenegativno število. V nasprotnem primeru je koren nedefiniran.

Opomba o postopku

1. Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ pomeni, da najprej kvadriramo število $a$ in nato vzamemo kvadratni koren dobljene vrednosti. Zato smo lahko prepričani, da je pod korenom vedno nenegativno število, saj je $((a)^(2))\ge v vsakem primeru 0$;
2. Toda zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, nasprotno, pomeni, da najprej vzamemo koren določenega števila $a$ in šele nato kvadriramo rezultat. Zato število $a$ v nobenem primeru ne more biti negativno - to je obvezna zahteva, vključena v definicijo.

Tako v nobenem primeru ne bi smeli nepremišljeno zmanjševati korenin in stopenj, s čimer naj bi "poenostavili" prvotni izraz. Kajti če ima koren negativno število in je njegov eksponent sod, dobimo kup težav.

Vendar pa so vse te težave pomembne samo za sode kazalnike.

Odstranitev znaka minus izpod znaka korena

Seveda imajo tudi koreni z lihimi eksponenti svojo lastnost, ki je pri sodih načeloma ni. namreč:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Skratka, lahko odstranite minus izpod znaka korenov lihe stopnje. To je zelo uporabna lastnost, ki vam omogoča, da "odvržete" vse pomanjkljivosti:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ta preprosta lastnost močno poenostavi številne izračune. Zdaj vam ni treba skrbeti: kaj če je bil pod korenom skrit negativni izraz, vendar se je stopnja v korenu izkazala za enakomerno? Dovolj je le, da vse minuse "vržemo ven" zunaj korenin, nato pa jih lahko med seboj pomnožimo, razdelimo in na splošno naredimo veliko sumljivih stvari, ki nas v primeru "klasičnih" korenin zagotovo pripeljejo do napaka.

In tu pride na sceno druga definicija - ista, s katero v večini šol začnejo študij iracionalnih izrazov. In brez katerega bi bilo naše sklepanje nepopolno. Spoznajte nas!

Aritmetični koren

Za trenutek predpostavimo, da so pod korenom lahko samo pozitivna števila ali v skrajnem primeru nič. Pozabimo na sodo/liho indikatorje, pozabimo na vse zgoraj navedene definicije - delali bomo samo z nenegativnimi števili. Kaj potem?

In potem bomo dobili aritmetični koren - delno se prekriva z našimi "standardnimi" definicijami, vendar se še vedno razlikuje od njih.

Opredelitev. Aritmetični koren $n$te stopnje nenegativnega števila $a$ je nenegativno število $b$, tako da je $((b)^(n))=a$.

Kot vidimo, nas pariteta ne zanima več. Namesto tega se je pojavila nova omejitev: radikalni izraz je zdaj vedno nenegativen in sam koren je prav tako nenegativen.

Da bi bolje razumeli, kako se aritmetični koren razlikuje od običajnega, si oglejte grafe kvadratne in kubične parabole, ki ju že poznamo:

Kot lahko vidite, nas od zdaj naprej zanimajo samo tisti deli grafov, ki se nahajajo v prvi koordinatni četrtini - kjer sta koordinati $x$ in $y$ pozitivni (ali vsaj nič). Ni vam več treba pogledati indikatorja, da bi razumeli, ali imamo pravico postaviti negativno število pod koren ali ne. Ker se negativna števila načeloma ne upoštevajo več.

Lahko se vprašate: "No, zakaj potrebujemo tako kastrirano definicijo?" Ali: "Zakaj se ne moremo sprijazniti z zgoraj navedeno standardno definicijo?"

No, navedel bom samo eno lastnost, zaradi katere postane nova definicija ustrezna. Na primer, pravilo za potenciranje:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Upoštevajte: radikalni izraz lahko dvignemo na poljubno potenco in hkrati pomnožimo korenski eksponent z isto potenco - in rezultat bo isto število! Tu so primeri:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Torej, kaj je tako pomembno? Zakaj tega nismo mogli narediti prej? Evo zakaj. Razmislimo o preprostem izrazu: $\sqrt(-2)$ - to število je povsem običajno v našem klasičnem razumevanju, vendar popolnoma nesprejemljivo z vidika aritmetičnega korena. Poskusimo ga pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kot lahko vidite, smo v prvem primeru odstranili minus izpod radikala (imamo vso pravico, saj je eksponent lih), v drugem primeru pa smo uporabili zgornjo formulo. Tisti. Z matematičnega vidika je vse narejeno po pravilih.

WTF?! Kako je lahko isto število hkrati pozitivno in negativno? Ni šans. Samo formula za potenciranje, ki odlično deluje pri pozitivnih številih in ničli, začne proizvajati popolno herezijo v primeru negativnih števil.

Da bi se znebili takšne dvoumnosti, so izumili aritmetične korene. Posvečena jim je posebna velika lekcija, kjer podrobno obravnavamo vse njihove lastnosti. Zato se zdaj ne bomo ukvarjali z njimi - lekcija se je že izkazala za predolgo.

Algebrski koren: za tiste, ki želijo vedeti več

Dolgo sem razmišljal, ali naj to temo dam v ločen odstavek ali ne. Na koncu sem se odločil, da ga pustim tukaj. To gradivo je namenjeno tistim, ki želijo še bolje razumeti korenine - ne več na povprečni "šolski" ravni, ampak na ravni, ki je blizu olimpijade.

Torej: poleg "klasične" definicije $n$-tega korena števila in s tem povezane delitve na sode in lihe eksponente, obstaja bolj "odrasla" definicija, ki sploh ni odvisna od paritete in drugih tankosti. To se imenuje algebraični koren.

Opredelitev. Algebrski $n$-ti koren poljubnega $a$ je množica vseh števil $b$, tako da je $((b)^(n))=a$. Za takšne korenine ni uveljavljenega poimenovanja, zato bomo na vrh postavili pomišljaj:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\levo\( b\levo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Bistvena razlika od standardne definicije, podane na začetku lekcije, je v tem, da algebraični koren ni določeno število, ampak niz. In ker delamo z realnimi števili, je ta komplet na voljo samo v treh vrstah:

1. Prazen komplet. Pojavi se, ko morate najti algebraični koren sode stopnje iz negativnega števila;
2. Komplet, sestavljen iz enega samega elementa. Vsi koreni lihih potenc, kot tudi koreni sodih potenc nič, spadajo v to kategorijo;
3. Končno lahko nabor vključuje dve števili - isto $((x)_(1))$ in $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ki smo ju videli na graf kvadratne funkcije. Skladno s tem je takšna ureditev možna le pri izločanju korena sode stopnje iz pozitivnega števila.

Zadnji primer si zasluži podrobnejšo obravnavo. Preštejmo nekaj primerov, da bomo razumeli razliko.

Primer. Ocenite izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

rešitev. Prvi izraz je preprost:

\[\overline(\sqrt(4))=\levo\( 2;-2 \desno\)\]

To sta dve številki, ki sta del niza. Ker vsak od njih na kvadrat daje štirico.

\[\overline(\sqrt(-27))=\levo\( -3 \desno\)\]

Tukaj vidimo niz, sestavljen iz samo ene številke. To je povsem logično, saj je korenski eksponent lih.

Na koncu še zadnji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnič \]

Prejeli smo prazen komplet. Ker ne obstaja niti eno realno število, ki bi nam, če bi ga dvignili na četrto (torej sodo!) potenco, dalo negativno število −16.

Končna opomba. Pozor: nisem slučajno povsod zapisal, da delamo z realnimi številkami. Ker obstajajo tudi kompleksna števila - tam je povsem mogoče izračunati $\sqrt(-16)$ in še marsikaj čudnega.

Vendar se kompleksna števila skoraj nikoli ne pojavljajo v sodobnih šolskih tečajih matematike. Odstranjeni so bili iz večine učbenikov, ker naši uradniki menijo, da je tema »pretežka za razumevanje«.