Podana so razmerja med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami - sinus, kosinus, tangens in kotangens. trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo zmanjšanje stopnje, četrte - izražajo vse funkcije skozi tangento polovice kota itd.
V tem članku bomo po vrsti našteli vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za rešitev velike večine trigonometričnih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili po namenu in vnesli v tabele.
Navigacija po straneh.
Osnovne trigonometrične identitete
Osnovne trigonometrične identitete določi razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ter koncepta enotskega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo v smislu katere koli druge.
Za podroben opis teh trigonometričnih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek.
Redukcijske formule
Redukcijske formule izhajajo iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa, to pomeni, da odražajo lastnost periodičnosti trigonometričnih funkcij, lastnost simetrije, pa tudi lastnost premika za danim kotom. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti v razponu od nič do 90 stopinj.
Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe lahko preučite v članku.
Adicijske formule
Trigonometrične adicijske formule pokazati, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul.
Formule za dvojno, trojno itd. kota
Formule za dvojno, trojno itd. kot (imenujejo jih tudi formule več kotov) prikazujejo, kako trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na adicijskih formulah.
Podrobnejše informacije so zbrane v članku formule za dvojno, trojno itd. kota
Formule polovičnega kota
Formule polovičnega kota pokažite, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota.
Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku.
Formule za zmanjšanje stopnje
Trigonometrične formule za zmanjševanje stopinj so oblikovani tako, da olajšajo prehod od naravnih potenc trigonometričnih funkcij do sinusov in kosinusov na prvi stopnji, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo vam zmanjšanje moči trigonometričnih funkcij na prvo.
Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij
Glavni namen formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij je preiti na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavljanju trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometričnih enačb, saj omogočajo faktorizacijo vsote in razlike sinusov in kosinusov.
Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus za kosinus
Prehod od zmnožka trigonometričnih funkcij na vsoto ali razliko se izvede z uporabo formul za zmnožek sinusov, kosinusov in sinusa za kosinusom.
Avtorske pravice cleverstudents
Vse pravice pridržane.
Zaščiten z zakonom o avtorskih pravicah. Nobenega dela www.site, vključno z notranjimi materiali in videzom, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.
Ja seveda. Sinus, kosinus, tangens in kotangens istega kota so med seboj povezani. Vsaka povezava med izrazi je v matematiki podana s formulami. V trigonometriji obstaja ogromno formul. Tukaj pa si bomo ogledali najosnovnejše. Te formule se imenujejo: osnovne trigonometrične identitete. Tukaj so:
Te formule morate temeljito poznati. Brez njih v trigonometriji na splošno ni mogoče narediti ničesar. Iz teh osnovnih identitet sledijo še tri pomožne identitete:
Pri katerih nalogah in kako se uporabljajo osnovne trigonometrične identitete? Najbolj priljubljena naloga je najti neko kotno funkcijo, če je dana druga. V Enotnem državnem izpitu je taka naloga prisotna iz leta v leto.) Na primer:
Poiščite vrednost sinx, če je x oster kot in cosx=0,8.
Naloga je skoraj elementarna. Iščemo formulo, ki vsebuje sinus in kosinus. Tukaj je formula:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Tukaj nadomestimo znano vrednost, in sicer 0,8 namesto kosinusa:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
No, štejemo kot običajno:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
To je praktično vse. Kvadrat sinusa smo izračunali, ostane nam le še izluščiti kvadratni koren in odgovor je pripravljen! Koren iz 0,36 je 0,6.
Naloga je skoraj elementarna. Toda beseda “skoraj” je tu z razlogom ... Dejstvo je, da je primeren tudi odgovor sinx= - 0,6 ... (-0,6) 2 bo tudi 0,36.
Obstajata dva različna odgovora. In potrebujete eno. Drugi je napačen. Kako biti!? Ja, kot ponavadi.) Pozorno preberi nalogo. Iz nekega razloga piše: ... če je x oster kot... In pri nalogah ima vsaka beseda pomen, ja... Ta fraza je dodatna informacija za rešitev.
Ostri kot je kot, manjši od 90°. In na takih kotih Vse trigonometrične funkcije - sinus, kosinus in tangens s kotangensom - pozitivno. Tisti. Negalni odgovor tukaj preprosto zavržemo. Imamo pravico.
Pravzaprav osmošolci ne potrebujejo takšnih razlik. Delajo samo s pravokotnimi trikotniki, kjer so vogali lahko samo ostri. In ne vedo, srečni, da obstajajo tako negativni koti kot koti 1000° ... In vsi ti strašni koti imajo svoje trigonometrične funkcije, tako plus kot minus ...
Toda za srednješolce, ne da bi upoštevali znak - nikakor. Veliko znanja pomnoži žalost, ja ...) In za pravilno rešitev so v nalogi nujno prisotne dodatne informacije (če so potrebne). Podan je lahko na primer z naslednjim vnosom:
Ali kako drugače. Videli boste v spodnjih primerih.) Če želite rešiti takšne primere, morate vedeti V katero četrtino spada dani kot x in kakšen predznak ima v tej četrtini želena trigonometrična funkcija?
Te osnove trigonometrije so obravnavane v lekcijah o tem, kaj je trigonometrični krog, merjenje kotov na tem krogu, radianska mera kota. Včasih morate poznati tabelo sinusov, kosinusov tangentov in kotangensov.
Torej, zapomnimo si najpomembnejše:
Praktični nasveti:
1. Zapomnite si definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Zelo bo koristno.
2. Jasno razumemo: sinus, kosinus, tangens in kotangens so tesno povezani s koti. Vemo eno, kar pomeni, da vemo drugo.
3. Jasno razumemo: sinus, kosinus, tangens in kotangens enega kota so med seboj povezani z osnovnimi trigonometričnimi identitetami. Poznamo eno funkcijo, kar pomeni, da lahko (če imamo potrebne dodatne informacije) izračunamo vse ostale.
Zdaj pa se odločimo, kot običajno. Najprej naloge v obsegu 8. razreda. Zmorejo pa tudi srednješolci ...)
1. Izračunajte vrednost tgA, če je ctgA = 0,4.
2. β je kot v pravokotnem trikotniku. Poiščite vrednost tanβ, če je sinβ = 12/13.
3. Poiščite pomen izraza:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
4. Poiščite pomen izraza:
(1-cosx)(1+cosx), če je sinx = 0,3
5. Določite sinus ostrega kota x, če je tgх = 4/3.
Odgovori (ločeni s podpičji, v neredu):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Je uspelo? odlično! Osmošolci že lahko gredo po petice.)
To so bile težave, kot je enotni državni izpit, vendar v skrajšani različici. Enotni državni izpit - lahek). In zdaj skoraj enake naloge, vendar v polnopravni obliki. Za z znanjem obremenjene srednješolce.)
6. Poiščite vrednost tanβ, če je sinβ = 12/13, in
7. Določite sinх, če je tgх = 4/3 in x pripada intervalu (- 540°; - 450°).
8. Poiščite vrednost izraza sinβ cosβ, če je ctgβ = 1.
Odgovori (v neredu):
0,8; 0,5; -2,4.
Tukaj v nalogi 6 kot ni natančno določen ... Toda v nalogi 8 sploh ni določen! To je namenoma). Dodatne informacije se vzamejo ne le iz naloge, ampak tudi iz glave.) Če pa se odločite, je ena pravilna naloga "B" zagotovljena!
Ta lekcija nudi zelo omejeno razumevanje trigonometričnih funkcij. V 8. razredu. In starejši imajo še vedno vprašanja ...
Na primer, če je kot X(poglejte drugo sliko na tej strani) - naj bo neumno!? Trikotnik bo popolnoma razpadel! Torej, kaj naj storimo? Ne bo ne noge ne hipotenuze... Sinus je izginil...
Če starodavni ljudje ne bi našli izhoda iz te situacije, zdaj ne bi imeli mobilnih telefonov, televizije ali elektrike. ja, ja! Teoretična osnova za vse te stvari brez trigonometričnih funkcij je nič brez palice. Toda stari ljudje niso razočarali. Kako so prišli ven, pa v naslednji lekciji.
1. Izražanje sinusa skozi kosinus
Opomba: Predznak pred radikalom na desni strani je odvisen od tega, v katerem kvadrantu je kot α . Predznak trigonometrične funkcije na levi strani se mora ujemati s predznakom na desni strani. To pravilo velja tudi za druge spodaj navedene formule.
2. Izražanje sinusa s tangensom
3. Izražanje sinusa skozi kotangens
4. Izražanje kosinusa skozi sinus
5. Izražanje kosinusa s tangensom
6. Izražanje kosinusa skozi kotangens
7. Izražanje tangente skozi sinus
8. Izražanje tangensa skozi kosinus
9. Izražanje tangensa s kotangensom
10. Izražanje kotangensa skozi sinus
11. Izražanje kotangensa skozi kosinus
12. Izražanje kotangensa s tangensom
21. Trigonometrične funkcije y=sin x, y=cos x, njihove lastnosti in grafi.
Y = sin(x)
Graf funkcije y=sin(x).
Glavne lastnosti:
3. Funkcija je liha.
Graf funkcije y=cos(x).
Glavne lastnosti:
1. Področje definicije je celotna numerična os.
2. Funkcija omejena. Niz vrednosti je segment [-1;1].
3. Funkcija je enakomerna.
4. Funkcija je periodična z najmanjšo pozitivno periodo, ki je enaka 2*π.
22. Trigonometrične funkcije y=tg x, y=ctg x, njihove lastnosti in grafi.
Graf funkcije y=tg(x).
Glavne lastnosti:
1. Definirno področje je celotna numerična os, z izjemo točk oblike x=π/2 +π*k, kjer je k celo število.
3. Funkcija je liha.
Y = ctg(x)
Graf funkcije y=ctg(x).
Glavne lastnosti:
1. Definirno področje je celotna numerična os, z izjemo točk oblike x=π*k, kjer je k celo število.
2. Neomejeno delovanje. Niz vrednosti je celotna številska premica.
3. Funkcija je liha.
4. Funkcija je periodična z najmanjšo pozitivno periodo, ki je enaka π.
23. Osnovne lastnosti trigonometričnih funkcij: parnost, lihost, periodičnost. Znaki vrednosti trigonometričnih funkcij po četrtinah.
Sinusštevilke A se imenuje ordinata točke, ki predstavlja to število na številskem krogu. Sinus kota v A radian imenujemo sinus števila A.
Sinus- funkcija števila x. Njo domena definicije- množica vseh števil, saj lahko za vsako število najdete ordinato točke, ki jo predstavlja.
Območje sinusa- segment iz -1 do 1 , saj je katero koli število tega segmenta na ordinatni osi projekcija katere koli točke na krogu, vendar nobena točka zunaj tega segmenta ni projekcija katere koli od teh točk.
Sinusna doba enako . Navsezadnje se vsakič natančno ponovi položaj točke, ki predstavlja število.
Sinusni znak:
1. sinus je enak nič pri , kjer je n- poljubno celo število;
2. sinus je pozitiven pri , kjer je n- poljubno celo število;
3. sinus je negativen, ko
Poskusimo najti razmerje med glavnima trigonometričnima funkcijama istega kota.
Razmerje med kosinusom in sinusom istega kota
Naslednja slika prikazuje koordinatni sistem Oxy in v njem upodobljen del enotskega polkroga ACB s središčem v točki O. Ta del je lok enotskega kroga. Enotski krog je opisan z enačbo
- x 2 +y 2 =1.
Kot je že znano, lahko ordinato y in absciso x predstavimo kot sinus in kosinus kota z uporabo naslednjih formul:
- sin(a) = y,
- cos(a) = x.
Če nadomestimo te vrednosti v enačbe enotskega kroga, dobimo naslednjo enakost
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Ta enakost velja za vsako vrednost kota a. Imenuje se osnovna trigonometrična identiteta.
Iz osnovne trigonometrične identitete je mogoče eno funkcijo izraziti z drugo.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Predznak na desni strani te formule je določen s predznakom izraza na levi strani te formule.
Na primer.
Izračunajte sin(a), če je cos(a)=-3/5 in pi Uporabimo zgornjo formulo: Od pi Zdaj pa poskusimo najti razmerje med tangensom in kotangensom. Po definiciji je tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Pomnožimo te enačbe in dobimo tg(a)*ctg(a) =1. Iz te enakosti lahko izrazimo eno funkcijo skozi drugo. Dobimo: Treba je razumeti, da so te enakosti veljavne le, če obstajata tg in ctg, to je za kateri koli a, razen a = k*pi/2, za katero koli celo število k. Zdaj pa poskusimo z uporabo osnovne trigonometrične identitete najti razmerje med tangensom in kosinusom. Razdelimo glavno trigonometrično identiteto s (cos(a)) 2. (cos(a) ni enak nič, sicer tangens ne bi obstajal. Dobimo naslednjo enakost ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2. Če razdelimo izraz na izraz, dobimo: Kot je navedeno zgoraj, je ta formula pravilna, če cos(a) ni enak nič, to je za vse kote a, razen a=pi/2 +pi*k, za katero koli celo število k.Razmerje med tangensom in kotangensom istega kota
