Preidimo zdaj k izpeljavi osnovne enačbe kinetične teorije plinov – enačbe, ki določa porazdelitveno funkcijo.

Če bi lahko trke molekul povsem zanemarili, bi vsaka molekula plina predstavljala zaprt podsistem in bi za porazdelitveno funkcijo molekul veljal Liouvillov izrek, po katerem

(glej V, § 3). Skupni derivat tukaj pomeni diferenciacijo vzdolž fazne trajektorije molekule, ki jo določajo njene enačbe gibanja. Spomnimo se, da Liouvillov izrek velja za porazdelitveno funkcijo, natančno definirano kot gostota v faznem prostoru (tj. v prostoru spremenljivk, ki so kanonično konjugirane posplošene koordinate in momenti).

Ta okoliščina ne moti. Seveda dejstvo, da je funkcija f sama potem lahko izražena skozi katero koli drugo spremenljivko.

V odsotnosti zunanjega polja ostanejo količine Γ prosto gibajoče se molekule konstantne in spremenijo se le njene koordinate; hkrati

Če je plin na primer v zunanjem polju, ki deluje na koordinate vztrajnostnega središča molekule (recimo v gravitacijskem polju), potem

kjer je sila, ki na molekulo deluje iz polja.

Upoštevanje kolizij krši enakost (3.1); porazdelitvena funkcija preneha biti konstantna vzdolž faznih trajektorij. Namesto (3.1) moramo napisati

kjer simbol pomeni hitrost spremembe porazdelitvene funkcije zaradi trkov: na enoto časa se zaradi trkov spremeni število molekul v faznem volumnu Zapisano v obliki

enačba (3.4) (iz (3.2)) določa celotno spremembo porazdelitvene funkcije v dani točki v faznem prostoru; izraz je zmanjšanje (v 1 s) števila molekul v danem elementu faznega prostora, povezano z njihovim prostim gibanjem.

Veličino imenujemo trkovni integral, enačbe oblike (3.4) pa na splošno imenujemo kinetične enačbe. Seveda dobi kinetična enačba pravi pomen šele po ugotovitvi oblike trkovnega integrala. Zdaj se bomo posvetili temu vprašanju.

Ko dve molekuli trčita, se vrednosti njunih vrednosti Γ spremenijo. Zato vsak trk, ki ga doživi molekula, jo vzame iz danega intervala; o takšnih trkih govorimo kot o pobegu.

Skupno število kolizij s prehodi z vsemi možnimi vrednostmi; za dano Γ, ki se pojavi na enoto časa v prostornini dV, je enaka integralu

Vendar se zgodijo tudi takšni trki (»prihod«), zaradi katerih molekule, ki so imele prvotno vrednosti vrednosti Γ, ki ležijo izven danega intervala, padejo v ta interval. To so trki s prehodi spet z vsemi možnimi za dano G. Skupno število takih trkov (na enoto časa v volumnu dV) je enako

Če odštejemo število dejanj odhoda od števila dejanj prihoda, ugotovimo, da se zaradi vseh trkov število zadevnih molekul poveča za 1 s

kjer zaradi kratkosti označujemo

Tako najdemo naslednji izraz za integral trka:

V drugem členu v integrandu integracija čez velja le za funkcijo w; faktorji niso odvisni od teh spremenljivk. Zato lahko ta del integrala transformiramo z relacijo unitarnosti (2.9). Posledično dobi integral trkov obliko

v katerega oba člena vstopita z enakim koeficientom.

Ko smo ugotovili obliko trkovnega integrala, smo s tem dobili možnost napisati kinetično enačbo

To integro-diferencialno enačbo imenujemo tudi Boltzmannova enačba. Prvič jo je ustanovil utemeljitelj kinetične teorije Ludwig Boltzmann leta 1872.

Ravnotežna statistična porazdelitev mora identično zadostiti kinetični enačbi. Ta pogoj je dejansko izpolnjen. Ravnotežna porazdelitev je stacionarna in (v odsotnosti zunanjega polja) homogena; zato leva stran enačbe (3.8) identično izgine. Tudi kolizijski integral je enak nič: na podlagi enakosti (2.5) integrand postane nič. Seveda tudi ravnotežna porazdelitev plina v zunanjem polju izpolnjuje kinetično enačbo. Dovolj je, da se spomnimo, da je leva stran kinetične enačbe skupni derivat df/dt, ki identično izgine za katero koli funkcijo, odvisno samo od integralov gibanja; ravnotežna porazdelitev se izrazi samo preko integrala gibanja – celotne energije molekule.

Pri izpeljavi predstavljene kinetične enačbe so bili trki molekul v bistvu obravnavani kot trenutni dogodki, ki se zgodijo na eni točki v prostoru. Zato je jasno, da kinetična enačba načeloma omogoča spremljanje spremembe porazdelitvene funkcije le v časovnih intervalih, ki so veliki v primerjavi s trajanjem trkov, in na razdaljah, ki so velike v primerjavi z velikostjo območja trka. . Slednji so reda velikosti polmera delovanja molekulskih sil d (za nevtralne molekule sovpadajo z njihovimi velikostmi); čas trka je reda velikosti. Te vrednosti določajo spodnjo mejo razdalj in trajanja, katerih upoštevanje dovoljuje kinetična enačba (k izvoru teh omejitev se bomo vrnili v § 16). Toda v resnici običajno ni potrebe (ali celo možnosti) za tako podroben opis obnašanja sistema; to bi zahtevalo zlasti določitev začetnih pogojev (prostorske porazdelitve plinskih molekul) z enako natančnostjo, kar je tako rekoč nemogoče. V realnih fizičnih vprašanjih obstajajo značilni parametri dolžine L in časa T, ki jih sistemu nalagajo pogoji problema (karakteristične dolžine gradientov makroskopskih količin plina, dolžine in obdobja zvočnih valov, ki se širijo v njem itd. ). Pri takšnih problemih je dovolj, da spremljamo obnašanje sistema na razdaljah in časih, ki so majhni le v primerjavi s tema L in T. Z drugimi besedami, fizično neskončno majhni elementi prostornine in časa bi morali biti majhni le v primerjavi z L in T. Začetni pogoji problema so določeni tudi kot povprečje takih elementov.

Za enoatomni plin se količine Γ reducirajo na tri komponente atomske gibalne količine , v skladu z (2.8) pa lahko funkcijo w v trkovnem integralu nadomestimo s funkcijo

Ko smo to funkcijo nato izrazili skozi diferencialni presek trkov v skladu z (2.2)), dobimo

Njegova funkcija in presek, določen po (2.2), vsebujeta -funkcionalne faktorje, ki izražajo zakone ohranitve gibalne količine in energije, zaradi česar spremenljivki (za dano ) dejansko nista neodvisni. Toda potem, ko je kolizijski integral izražen v obliki (3.9), lahko domnevamo, da so bile te -funkcije že izločene z ustreznimi integracijami; takrat bo običajni presek sipanja, odvisen (za dano ir) samo od kota sipanja.

MOSKVSKI ENERGETSKI INŠTITUT

(tehnična univerza)

FAKULTETA ZA ELEKTRONSKO TEHNIKO

POVZETEK NA TEMO

TO INETIČNA ENAČBA B OLTZMAN.

DOKONČANO:

Korkin S.V.

UČITELJICA

Sherkunov Yu.B.

Druga polovica dela je polna precej zapletene matematike. Avtor ( [e-pošta zaščitena], [e-pošta zaščitena]) meni, da ta naloga ni idealna, lahko služi le kot izhodišče za pisanje popolnejšega (in razumljivejšega) dela. Besedilo ni kopija knjige. Glej konec za podporno literaturo.

Naloga je bila sprejeta z oceno »odlično«. (Končna verzija dela je malo izgubljena. Predlagam uporabo predzadnje “verzije”).

Uvod…………………………………………………………………………………3

Simboli…………………………………………………………………………………. 4

§1 Porazdelitvena funkcija.

§2 Trk delcev.

§3 Določitev oblike trkovnega integrala

in Boltzmannove enačbe.

§4. Kinetična enačba za šibko nehomogen plin.

Toplotna prevodnost plina.

Nekatere konvencije:

n - koncentracija delcev;

d povprečna razdalja med delci;

V je določena prostornina sistema;

P je verjetnost nekega dogodka;

f - distribucijska funkcija;

Uvod.

Veje fizike termodinamika, statistična fizika in fizikalna kinetika preučujejo fizične procese, ki se pojavljajo v makroskopskih sistemih - telesih, sestavljenih iz velikega števila mikrodelcev. Odvisno od vrste sistema so takšni mikrodelci lahko atomi, molekule, ioni, elektroni, fotoni ali drugi delci. Danes obstajata dve glavni metodi za preučevanje stanj makroskopskih sistemov - termodinamična, ki karakterizira stanje sistema prek makroskopsko enostavno merljivih parametrov (na primer tlak, prostornina, temperatura, število molov ali koncentracija snovi) in, pravzaprav ne upošteva atomsko-molekularne strukture snovi in ​​statistične metode, ki temelji na atomsko-molekularnem modelu obravnavanega sistema. Termodinamična metoda v tem delu ne bo obravnavana. Na podlagi znanih zakonitosti obnašanja delcev sistema nam statistična metoda omogoča ugotavljanje zakonitosti obnašanja celotnega makrosistema kot celote. Da bi poenostavili problem, ki ga rešujemo, statistični pristop postavlja številne predpostavke (predpostavke) o obnašanju mikrodelcev, zato so rezultati, dobljeni s statistično metodo, veljavni le v mejah postavljenih predpostavk. Statistična metoda uporablja verjetnostni pristop k reševanju problemov; pri tej metodi mora sistem vsebovati dovolj veliko število delcev. Eden od problemov, ki jih rešuje statistična metoda, je izpeljava enačbe stanja makroskopskega sistema. Stanje sistema je lahko v času konstantno (ravnotežni sistem) ali pa se v času spreminja (neravnotežni sistem). Fizikalna kinetika se ukvarja s preučevanjem neravnovesnih stanj sistemov in procesov, ki se v takih sistemih odvijajo.

Enačba stanja sistema, ki se razvija skozi čas, je kinetična enačba, katere rešitev določa stanje sistema v katerem koli trenutku. Zanimanje za kinetične enačbe je povezano z možnostjo njihove uporabe na različnih področjih fizike: v kinetični teoriji plinov, v astrofiziki, fiziki plazme in mehaniki tekočin. Članek preučuje kinetično enačbo, ki jo je leta 1872 izpeljal eden od utemeljiteljev statistične fizike in fizikalne kinetike, avstrijski fizik Ludwig Boltzmann in nosi njegovo ime.

§1 Porazdelitvena funkcija.

Delci plina so neločljivi (identični);

Delci trčijo le v parih (zanemarjamo trk treh ali več delcev hkrati);

Tik pred trkom se delci gibljejo v eni ravni liniji drug proti drugemu;

Trk molekul je neposreden centralni elastični udar;

in. Označimo z

Prenosno gibanje klasičnega delca opisujejo koordinate

MOSKVSKI ENERGETSKI INŠTITUT

(tehnična univerza)

FAKULTETA ZA ELEKTRONSKO TEHNIKO

POVZETEK NA TEMO

BOLZMANNOVA KINETIČNA ENAČBA.

DOKONČANO:

Korkin S.V.

UČITELJICA

Sherkunov Yu.B.

Druga polovica dela je polna precej zapletene matematike. Avtor ( [e-pošta zaščitena], [e-pošta zaščitena]) meni, da ta naloga ni idealna, lahko služi le kot izhodišče za pisanje popolnejšega (in razumljivejšega) dela. Besedilo ni kopija knjige. Glej konec za podporno literaturo.

Naloga je bila sprejeta z oceno »odlično«. (Končna verzija dela je malo izgubljena. Predlagam uporabo predzadnje “verzije”).

Uvod…………………………………………………………………………………3

Simboli…………………………………………………………………………………. 4

§1 Porazdelitvena funkcija.

§2 Trk delcev.

§3 Določitev oblike trkovnega integrala

in Boltzmannove enačbe.

§4. Kinetična enačba za šibko nehomogen plin.

Toplotna prevodnost plina.

Nekatere konvencije:

n - koncentracija delcev;

d povprečna razdalja med delci;

V je določena prostornina sistema;

P je verjetnost nekega dogodka;

f - distribucijska funkcija;

Uvod.

Veje fizike termodinamika, statistična fizika in fizikalna kinetika preučujejo fizične procese, ki se pojavljajo v makroskopskih sistemih - telesih, sestavljenih iz velikega števila mikrodelcev. Odvisno od vrste sistema so takšni mikrodelci lahko atomi, molekule, ioni, elektroni, fotoni ali drugi delci. Danes obstajata dve glavni metodi za preučevanje stanj makroskopskih sistemov - termodinamična, ki karakterizira stanje sistema prek makroskopsko enostavno merljivih parametrov (na primer tlak, prostornina, temperatura, število molov ali koncentracija snovi) in, pravzaprav ne upošteva atomsko-molekularne strukture snovi in ​​statistične metode, ki temelji na atomsko-molekularnem modelu obravnavanega sistema. Termodinamična metoda v tem delu ne bo obravnavana. Na podlagi znanih zakonitosti obnašanja delcev sistema nam statistična metoda omogoča ugotavljanje zakonitosti obnašanja celotnega makrosistema kot celote. Da bi poenostavili problem, ki ga rešujemo, statistični pristop postavlja številne predpostavke (predpostavke) o obnašanju mikrodelcev, zato so rezultati, dobljeni s statistično metodo, veljavni le v mejah postavljenih predpostavk. Statistična metoda uporablja verjetnostni pristop k reševanju problemov; pri tej metodi mora sistem vsebovati dovolj veliko število delcev. Eden od problemov, ki jih rešuje statistična metoda, je izpeljava enačbe stanja makroskopskega sistema. Stanje sistema je lahko v času konstantno (ravnotežni sistem) ali pa se v času spreminja (neravnotežni sistem). Fizikalna kinetika se ukvarja s preučevanjem neravnovesnih stanj sistemov in procesov, ki se v takih sistemih odvijajo.

Enačba stanja sistema, ki se razvija skozi čas, je kinetična enačba, katere rešitev določa stanje sistema v katerem koli trenutku. Zanimanje za kinetične enačbe je povezano z možnostjo njihove uporabe na različnih področjih fizike: v kinetični teoriji plinov, v astrofiziki, fiziki plazme in mehaniki tekočin. Članek preučuje kinetično enačbo, ki jo je leta 1872 izpeljal eden od utemeljiteljev statistične fizike in fizikalne kinetike, avstrijski fizik Ludwig Boltzmann in nosi njegovo ime.

§1 Porazdelitvena funkcija.

Za izpeljavo Boltzmannove kinetične enačbe razmislite o monoatomskem idealnem plinu, tj. dokaj redek plin, sestavljen iz električno nevtralnih atomov ali molekul. Edina vrsta interakcije med delci idealnega plina so trki med molekulami, ki pa se zgodijo tako redko, da se vsaka molekula skoraj ves čas giblje, kot bi bila prosta. Če plinske delce obravnavamo kot klasične, lahko trdimo, da obstaja prostornina na delec. Število delcev na prostorninsko enoto je koncentracija. To pomeni, da obstaja povprečna razdalja med delci (predpostavlja se, da je precej velika v primerjavi s polmerom delovanja medmolekularnih sil d). Pri izpeljavi Boltzmannove enačbe bomo naredili naslednje predpostavke:

Delci plina so neločljivi (identični);

Delci trčijo le v parih (zanemarjamo trk treh ali več delcev hkrati);

Tik pred trkom se delci gibljejo v eni ravni liniji drug proti drugemu;

Trk molekul je neposreden centralni elastični udar;

Statistični opis plina se izvaja s funkcijo porazdelitve verjetnosti (ali gostoto verjetnosti), pri čemer se funkcija porazdelitve ne spremeni na razdaljah reda trka delcev. Gostota verjetnosti določa verjetnost, da ima neka naključna spremenljivka x vrednost znotraj majhnega intervala dx, kot sledi. Verjetnost iskanja x v končnem intervalu je določena z integracijo.

Porazdelitvena funkcija molekul plina je podana v njihovem faznem prostoru.

je niz posplošenih koordinat vseh molekul; - niz generaliziranih molekularnih impulzov. Oziroma

in. Označimo z

volumenski element faznega prostora molekule. V danem elementu faznega prostora je (v povprečju) število delcev, ki je enako (t.j. upoštevajo se molekule, katerih vrednosti q in p ležijo v izbranih intervalih dq in dp). Porazdelitvena funkcija plinskih molekul je bila definirana zgoraj v faznem prostoru, vendar jo je mogoče izraziti z drugimi spremenljivkami, ki niso posplošene koordinate in momenti delca. Izberimo argumente funkcije f.

Če upoštevamo neravnovesni proces spreminjanja stanja sistema, ki se pojavi skozi čas, moramo očitno domnevati, da je porazdelitvena funkcija odvisna od časa. Zadevni plin je niz delcev, za katere smo se strinjali, da jih imamo za klasične.

Prenosno gibanje klasičnega delca opisujejo koordinate

težišče delca in vektor hitrosti ali vektor gibalne količine (, kjer je m masa delca). Za monoatomski plin je translacijsko gibanje edina vrsta gibanja delcev; število prostostnih stopinj je tri. Če je delec poliatomska molekula, se pojavijo dodatne prostostne stopnje, povezane z vrtenjem molekule v prostoru in nihanjem atomov v molekuli. Pogoji za uporabo kvantne mehanike so majhne mase in visoke koncentracije delcev ter nizke temperature. Brez upoštevanja območja nizkih temperatur bomo rotacijsko gibanje molekul plina obravnavali kot klasično. Vsako klasično rotacijsko gibanje je najprej opisano z rotacijskim momentom sil, ki delujejo na telo. Pod vplivom navora se začne dvoatomna molekula vrteti v ravnini, ki je pravokotna na vektor navora. Poleg tega je položaj molekule označen s kotom vrtenja osi molekule v ravnini vrtenja.

Oglejmo si molekulo vodika (ali katero koli drugo dvoatomsko molekulo) pri T = 300 K. V skladu z zakonom o enakomernosti ima vsaka prostostna stopnja (translacijska, rotacijska ali vibracijska) v povprečju enako kinetično energijo, enako.

Naj bo I vztrajnostni moment molekule, m masa, d povprečna razdalja med atomi v molekuli.

Povprečna kinetična energija vrtenja molekule;

V eni sekundi naredi molekula (torej približno) polne vrtljaje. Hitrost spreminjanja kota vrtenja osi dvoatomne molekule je visoka in vse možne orientacije molekule v ravnini vrtenja bodo enako verjetne. Potem, ko obravnavamo resnične fizikalne probleme, lahko distribucijsko funkcijo obravnavamo kot neodvisno od orientacije molekule. Zakon ekviparticije velja tudi za večatomske molekule, kar pomeni, da lahko predpostavko o neodvisnosti porazdelitvene funkcije od orientacije molekul plina v prostoru štejemo za veljavno za večatomske pline.

Nihajno gibanje atomov znotraj molekule je skoraj vedno kvantizirano in stanje molekule kot kvantnega sistema mora biti določeno s kvantnimi parametri. Pri normalnih pogojih (pri ne previsokih temperaturah) je molekula plina v nevzbujenem stanju, ki ustreza osnovnemu (ničelnemu) nivoju nihanja. Zato lahko kvantne učinke v realnih plinih v običajnih pogojih zanemarimo. Posledično porazdelitvena funkcija klasičnega idealnega plina v neravnotežnem stanju ni odvisna samo od časa, temveč tudi od koordinat delcev.

S simbolom G označimo množico vseh spremenljivk, od katerih je odvisna porazdelitvena funkcija, razen koordinat molekule in časa. V elementu faznega volumna izberemo elementarni volumen tridimenzionalnega prostora, njegov preostali del pa označimo s simbolom dГ. Količine dG so integrali gibanja, ki ostanejo konstantni za vsako molekulo med njenim prostim gibanjem med dvema zaporednima trkoma. Prosto gibanje molekule poteka brez zunanjega vpliva zunanjih teles ali polj. Kot posledica interakcije molekul med seboj (v primeru trka) ali pod vplivom polja

te vrednosti se lahko spremenijo. Koordinate molekule kot celote se spreminjajo med njenim prostim gibanjem.

Koncentracijo ali gostoto prostorske porazdelitve delcev plina lahko izrazimo z integralom, povprečno število delcev v prostorninskem elementu pa določimo z zmnožkom. Z volumskim elementom razumemo fizično majhen volumen, tj. območje prostora, katerega dimenzije so majhne v primerjavi z dimenzijami, obravnavanimi v problemu. Hkrati so dimenzije majhne prostornine velike v primerjavi z dimenzijami molekul. Izjava o lokaciji molekule v danem prostorninskem elementu določa položaj molekule v najboljšem primeru le do natančnosti razdalj, ki presegajo velikost same molekule. Natančna določitev koordinat dveh klasičnih delcev omogoča natančno določitev njunih poti pred in po trku, če je do njega prišlo. Negotovost natančnega relativnega položaja delcev omogoča uporabo verjetnostnega pristopa k reševanju problema njihovega trka. Upoštevanje klasičnega plina pomeni, da gostota

je makroskopska količina. Makroskopičnost nastopi le v primeru, ko je v elementarnem volumnu dovolj veliko število delcev (le takrat je sprememba števila delcev v elementarnem volumnu med obravnavanim procesom majhna); v tem primeru morajo biti linearne dimenzije območja, ki ga zaseda plin, znatno večje od povprečne medmolekularne razdalje.

§2 Trk delcev.

Razmislimo o trčenju molekul, od katerih imajo nekatere vrednosti Γ, ki ležijo v danem intervalu, druge pa v intervalu. Zaradi trka molekule pridobijo vrednosti Γ v intervalih oz. Nadalje, za kratkost, bomo govorili o trčenju molekul in s prehodom

Zmnožek števila molekul na prostorninsko enoto z verjetnostjo, da bo vsaka molekula doživela trk z navedenim prehodom, bo dal skupno število takšnih trkov na prostorninsko enoto na časovno enoto. Verjetnost takega dogodka (označujemo ga z določeno funkcijo) je sorazmerna s številom molekul na prostorninsko enoto in intervali vrednosti posamezne molekule po trku. Tako bomo predpostavili, da bo število trkov s prehodom na enoto prostornine na enoto časa v obliki

(pomišljaj označuje končna stanja, brez praštevilke začetna stanja). Verjetnost trka ima pomembno lastnost, ki izhaja iz zakonov mehanike, glede obračanja predznaka časa. Če z nadnapisom T označimo vrednosti vseh količin, ki jih dobimo z obračanjem predznaka časa, potem bo enakost veljala

Obrat časa preuredi stanja »prej« in »potem«, kar pomeni, da je treba preurediti argumente verjetnostne funkcije. Zlasti ta enakost velja v primeru ravnovesja sistema, tj. lahko trdimo, da je v ravnovesju število trkov s prehodom enako številu trkov s prehodom (*). Označimo z ravnotežno porazdelitveno funkcijo in zapišimo

Produkt diferencialov je element faznega prostora, ki se ob obratnem obratu časa ne spremeni (diferenciale na obeh straneh enačbe lahko izpustimo). Prav tako se ne spremeni potencialna energija molekul in posledično ravnotežna (Boltzmannova) porazdelitvena funkcija, ki je odvisna le od energije:

(2)

V je makroskopska hitrost gibanja plina kot celote. Zaradi zakona o ohranitvi energije ob trku dveh molekul. Zato lahko zapišemo (3)

Opozorimo še na dejstvo, da je samo verjetnostno funkcijo načeloma mogoče določiti le z reševanjem mehanskega problema trkov delcev. Zgornje enakosti (1), (2) in (3) bodo podane za okrajšavami v (1)

Predmet odobritve (*)

Z integracijo zadnje enakosti (za nadaljnjo uporabo) dobimo razmerje:

§3 Izpeljava kinetične enačbe.

Oglejmo si odvod funkcije časovne porazdelitve:

Ko se molekule plina premikajo v odsotnosti zunanjega polja, se vrednosti Γ kot integrali gibanja ne spremenijo.

(zadnji člen v izpeljanki se ponastavi na nič, ker)

(operater nabla)

Izraz za odvod bo imel obliko: (6)

Naj bo zdaj plin v zunanjem potencialnem polju, ki deluje na koordinate težišča molekul (na primer v gravitacijskem polju). In naj bo F sila, ki deluje iz polja na delec.

Desno stran enakosti (6) označimo z. Simbol pomeni

hitrost spremembe porazdelitvene funkcije zaradi trkov in velikost

je sprememba na enoto časa zaradi trkov v številu molekul v volumnu faze. Popolna sprememba porazdelitvene funkcije na dani točki v faznem prostoru bo zapisana kot:

(8)

Veličino imenujemo trkovni integral, enačbo oblike (8) pa kinetično enačbo. Kinetična enačba (8) bo dobila pravi pomen šele po določitvi oblike trkovnega integrala.

§3 Določitev oblike trkovnega integrala in Boltzmannove enačbe.

Med trkom molekul pride do spremembe količin, od katerih je odvisna porazdelitvena funkcija. Upoštevajoč dejstvo, da se čas opazovanja stanja sistema in koordinate delcev spremenijo, ne glede na to, ali je prišlo do trka delcev ali ne (kar vpliva le na naravo spremembe koordinat), lahko trdimo, da da se spremenijo vrednosti G trkajočih se molekul. Če upoštevamo dovolj majhen interval, ugotovimo, da se molekule ob trku odstranijo iz tega intervala, tj. potekajo dejanja »negovanja«. Naj dve trčeni molekuli ustrezata, kot prej, vrednostim pred trkom in po trku (zaradi kratkosti govorimo o prehodu).

Skupno število trkov v zgornjem prehodu z vsemi možnimi vrednostmi

Za dani dogodek, ki se zgodi na enoto časa v prostornini, je določen z integralom

Hkrati se pojavijo trki druge vrste (imenovani "prihod"), zaradi česar molekule, ki so imele pred trkom vrednosti zunaj danega intervala, padejo v ta interval. Takšne prehode lahko označimo na naslednji način: (z vsemi podanimi možnimi vrednostmi). Podobno kot pri prvi vrsti prehoda je skupno število takih trkov na enoto časa v prostornini enako:

Zaradi vseh trkov je sprememba števila molekul na časovno enoto v osnovnem volumnu določena z razliko med številom dejanj odhoda in številom dejanj prihoda:

(9), kjer

Integral trkov je mogoče definirati kot:

(sprememba števila delcev na časovno enoto v faznem volumnu dVdГ)

Iz razmerij (8) in (9) dobimo obliko kolizijskega integrala

Upoštevajte, da ima v drugem členu integranda integracija čez

povezana samo s funkcijo. Multiplikatorji in niso odvisni od spremenljivk. Če transformiramo ta del integrala z relacijo (4), dobimo končno obliko kolizijskega integrala

in kinetično enačbo

Nastala integralno-diferencialna enačba se imenuje Boltzmannova enačba.

Razmislimo o časovno neodvisni porazdelitvi v ravnotežnem stanju sistema brez zunanjih vplivov. Ta porazdelitev je stacionarna (ni odvisna od časa) in homogena (ne spreminja se v območju prostora, ki ga sistem zaseda). Vsiljeni pogoji ponastavijo odvod porazdelitvene funkcije glede na čas in tri koordinate; leva stran kinetične enačbe izgine. Integrand gre na nič zaradi enakosti (3). Posledično ravnotežna porazdelitev v odsotnosti zunanjih polj identično izpolnjuje kinetično enačbo. Če je plin v ravnotežnem stanju pod vplivom zunanjega potencialnega (na primer gravitacijskega) polja, potem porazdelitvena funkcija v tem primeru izpolnjuje kinetično enačbo. Pravzaprav je ravnotežna porazdelitev izražena z integralom gibanja – celotno energijo molekule. Leva stran kinetične enačbe je skupni odvod, ki je enak nič kot odvod funkcije, ki je odvisna samo od integralov gibanja. Desna stran enačbe je, kot je bilo že navedeno, nič. Tako porazdelitvena funkcija plina v ravnovesju v zunanjem potencialnem polju prav tako izpolnjuje kinetično enačbo.

Predpostavkam, navedenim v "Uvodu", bomo dodali še eno: trke molekul obravnavamo kot trenutna dejanja, ki se zgodijo na eni "točki" v prostoru. Kinetična enačba opisuje proces, ki poteka v časovnem intervalu, ki je veliko daljši od trajanja trkov. Hkrati mora območje obravnavanega sistema bistveno presegati območje trka delcev, ki ima dimenzije reda polmera delovanja molekulskih sil d. Čas trka po velikosti lahko definiramo kot (je povprečna hitrost molekul v plinu). Dobljene vrednosti predstavljajo spodnjo mejo razdalje in časa, če upoštevamo, katero kinetično enačbo lahko uporabimo. Resnični fizični problemi ne zahtevajo tako podrobnega opisa procesa; Velikost sistema in čas opazovanja znatno presegata zahtevani minimum.

Za kvalitativno obravnavo kinetičnih pojavov, ki se pojavljajo v plinu, se uporabljajo grobe ocene integrala trka prek dveh parametrov: povprečne proste poti in časa prostega potovanja. Naj se molekula giblje skozi enoto dolžine in trči z molekulami, ki se nahajajo v prostornini ravnega valja z enoto dolžine in osnovne površine (efektivni prečni prerez molekule). V tem volumnu so molekule.

- povprečna razdalja med molekulami;

Vrednost je prosti čas delovanja. Za grobo oceno integrala trka lahko uporabite:

Razlika, zapisana v števcu, upošteva dejstvo, da kolizijski integral za ravnotežno porazdelitveno funkcijo izniči, predznak minus pa pomeni, da so trki mehanizem za vzpostavitev statističnega ravnovesja, tj. prizadevati si zmanjšati odstopanje porazdelitvene funkcije od ravnotežne (z drugimi besedami, vsak sistem, vzet iz ravnotežnega stanja, ki ustreza minimalni notranji energiji sistema in prepuščen sam sebi, teži k vrnitvi v ravnovesno stanje).

§3 Prehod na makroskopske enačbe. Enačba hidrodinamične kontinuitete.

Boltzmannova kinetična enačba daje mikroskopski opis razvoja stanja plina. Toda v praksi pogosto ni potrebno tako podrobno opisovati procesov, zato pri obravnavi problemov hidrodinamike, problemov pojavljanja procesov v nehomogenih ali zelo redkih plinih, problemov toplotne prevodnosti in difuzije plinov ter številnih drugih , je smiselno preiti na manj podrobne (in zato enostavnejše) makroskopske enačbe. Ta opis velja za plin, če se njegove makroskopske lastnosti (temperatura, gostota, koncentracija delcev, tlak itd.) spreminjajo dovolj počasi vzdolž katere koli poljubno izbrane smeri v plinu. Razdalje, na katerih pride do pomembne spremembe makroskopskih parametrov, morajo znatno presegati prosto pot molekul.

Kot primer razmislite o metodi za pridobitev hidrodinamične enačbe.

Izraz določa gostoto porazdelitve molekul plina v prostoru (koncentracijo molekul plina). Zmnožek mase ene molekule (predpostavlja se, da je plin sestavljen iz enakih delcev) z gostoto porazdelitve molekul da masno gostoto plina: . Označimo z makroskopsko hitrostjo gibanja plina kot celote in z mikroskopsko hitrostjo molekul. Makroskopsko hitrost (hitrost gibanja središča mase) lahko definiramo kot povprečje mikroskopskih hitrosti molekul

Trki ne spremenijo niti števila trkajočih se delcev niti njihove skupne energije ali gibalne količine (trk molekul velja za absolutno elastičen trk). Trčen del spremembe porazdelitvene funkcije ne more povzročiti spremembe gostote, notranje energije, hitrosti in drugih makroskopskih parametrov plina v vsakem od njegovih prostorninskih elementov. Dejansko je kolizijski del spremembe skupnega števila molekul na prostorninsko enoto plina podan z integralom, ki je enak nič:

Veljavnost te enakosti preverimo na naslednji način:

Integracija se izvede nad vsako od spremenljivk, kar pomeni, da je možno, ne da bi spremenili integral, preoblikovati spremenljivke, na primer v drugi integral:

Zadnji izraz je očitno enak nič in zato velja enakost (14).

Zapišimo kinetično enačbo in jo, ko smo oba dela predhodno pomnožili z maso delca m, integriramo po:

Od tu takoj dobimo enačbo hidrodinamične kontinuitete:

Če določimo spremembo gostote tekočine v tej diferencialni enačbi in upoštevamo, da je tekočina nestisljiva, lahko dobimo vektorsko polje smeri hitrosti na kateri koli točki v tekočini.

§4. Rahlo nehomogen plin. Toplotna prevodnost plina.

Vsi resnični fizikalni procesi nujno potekajo z nekaterimi izgubami energije (tj. Pojavi se disipacija energije - prehod energije urejenega gibanja v energijo kaotičnega gibanja, na primer v toplotno gibanje molekul plina). Za upoštevanje disipativnih procesov (toplotne prevodnosti ali viskoznosti) v šibko nehomogenem plinu je treba uporabiti naslednji približek: porazdelitveno funkcijo v majhnem območju plina je treba obravnavati kot lokalno ravnotežno, kot v primeru homogenega plina , vendar se od ravnotežja razlikuje za neko dovolj majhno (ker je plin šibko nehomogen) vrednost. Distribucijska funkcija bo dobila obliko, sam popravek pa bo zapisan v obliki. Funkcija mora izpolnjevati določene pogoje. Če so podane gostote števila delcev, energija in gibalna količina plina

tiste. integrali ustrezajo ravnotežni funkciji, potem mora neravnotežna funkcija voditi do enakih vrednosti teh količin (integrala z in morata sovpadati), kar se zgodi le, če

Transformirajmo kolizijski integral v kinetični enačbi (13): zamenjava izrazov za porazdelitveno funkcijo in popravke, izničenje trkovnih integralov, ki vsebujejo ravnotežno porazdelitveno funkcijo, redukcija členov, ki ne vsebujejo majhnega popravka. Pogoji prvega reda bodo podani. Simbol je bil uveden za označevanje linearnega integralnega operatorja

Navedeni integral izniči za funkcije oblike

Zapišimo (brez izpeljave) kinetično enačbo za šibko nehomogen plin, pri čemer za obravnavo problema toplotne prevodnosti na levi strani enačbe ohranimo le en člen s temperaturnim gradientom

*************************************************

§4. Izračun koeficienta toplotne prevodnosti enoatomskega plina

Za izračun koeficienta toplotne prevodnosti plina je treba rešiti zgoraj napisano enačbo s temperaturnim gradientom.

Naj bo samo vektorska funkcija količin. Nato bomo poiskali rešitev enačbe () v obliki. Ko to rešitev nadomestimo v enačbo (), dobimo faktor. Enačba () velja za popolnoma poljubne vrednosti vektorja temperaturnega gradienta, potem morajo biti koeficienti na obeh straneh enakosti enaki. Kot rezultat dobimo enačbo

Enačba ne vsebuje temperaturnega gradienta in zato nima eksplicitne odvisnosti od koordinat. Funkcija mora izpolnjevati predhodno določene pogoje (). Prva dva pogoja sta očitno izpolnjena (enačba () ne vsebuje vektorskih parametrov, po katerih bi lahko usmerili konstantne vektorske integrale

IN). Tretji integral je dodaten pogoj za funkcijo g. Če je kinetična enačba rešena in funkcija

definiran, potem je mogoče določiti koeficient toplotne prevodnosti z izračunom energijskega toka oziroma natančneje njegovega disipativnega dela, ki ni povezan s konvektivnim prenosom energije (ta del energijskega toka označujemo z). Če v plinu ni makroskopskega gibanja, Q sovpada s celotnim energijskim tokom Q, ki ga lahko izrazimo z integralom

Če je sistem v ravnotežju, potem je ta integral enak nič zaradi integracije po vseh možnih smereh v plinu. Pri zamenjavi v () ostane

V komponentah

Zaradi izotropnosti ravnotežnega plinskega medija v njem ni izbranih smeri in lahko tenzor izrazimo le z enotskim tenzorjem, tj. reducira na skalar

Tako je pretok energije izražen kot, kjer je količina skalarni koeficient toplotne prevodnosti

Tok Q mora biti usmerjen v smeri, nasprotni temperaturnemu gradientu, zato mora biti vrednost pozitivna, kar samodejno zagotavlja kinetična enačba (). V enoatomskih plinih je hitrost v edini vektor, od katerega je odvisna funkcija g (v večatomskih plinih g ni odvisen le od hitrosti v, ampak tudi od navora M). Za enoatomske pline ima funkcija g obliko:

.

§5. Primer reševanja kinetične enačbe

Molekule plina medsebojno delujejo po precej zapletenih zakonih. To še posebej velja za prave poliatomske pline. Predpostavke o naravi obnašanja molekul plina omogočajo poenostavitev sklepanja (ali ga celo načeloma omogočajo), vendar nas nekoliko odmaknejo od realnosti. Kompleksni zakoni molekularne interakcije, ki določajo funkcijo v integralu trkov, nam niti ne omogočajo, da bi Boltzmannovo enačbo za določene pline zapisali v natančni obliki. Tudi če naravo molekularne interakcije poenostavimo, ostaja matematična struktura kinetične enačbe precej zapletena in težko je najti njeno rešitev v analitični obliki. V kinetični teoriji plinov se uporabljajo posebne metode za približno rešitev Boltzmannove enačbe, učinkovitejše od poskusa analitične rešitve. Kot primer razmislite o enoatomskem plinu in problemu toplotne prevodnosti.

Za enoatomski plin je toplotna kapaciteta. Če postavimo enačbo (), damo obliko

Operator linearnega integrala, ki ustreza integralu trka (), je definiran s formulo

in ravnotežna porazdelitvena funkcija bo imela obliko

Učinkovita metoda za približno rešitev enačbe () temelji na razširitvi želenih funkcij v celoten sistem medsebojno pravokotnih funkcij. Kot take funkcije upoštevajte Soninove polinome, definirane z obrazci:

V tej formuli je r poljuben, s pa pozitivno celo število ali nič. V poštenosti

Lastnost ortogonalnosti teh polinomov za dani indeks r in različne indekse s izgleda takole:

Rešitev enačbe iščemo v obliki naslednje razširitve

Če v razširitvi izpustimo člen s s=0, dobimo zadovoljiv izraz () (integral je nastavljen na nič zaradi ortogonalnosti polinomov z različnimi s). Izraz v oklepaju na levi strani ()

Obstaja. Enačba () ima obliko

Pomnožimo ga na obeh straneh in integrirajmo čez. Dobimo sistem algebrskih enačb, ki ga lahko rešimo na računalniku:

Za zadnji izraz je bil uveden zapis

Enačbe z l=0 ni, saj zaradi ohranitve gibalne količine

Koeficient toplotne prevodnosti se izračuna tako, da se izraz () nadomesti z integralom (). Ob upoštevanju pogoja () lahko integral (c) predstavimo v obliki

Posledično najdemo.

Učinkovitost numerične metode z uporabo Sononove polinomske ekspanzije je mogoče oceniti po preprostosti desne strani () in končnega izraza (). Neskončni sistem linearnih algebrskih enačb, dobljen med reševanjem, se reši po umetnem prirezovanju.

Zaključek.

Obravnavana metoda za izpeljavo Boltzmannove kinetične enačbe je s fizikalnega vidika povsem zadovoljiva. Vendar pa lahko kinetično enačbo dobimo tudi iz matematičnega aparata, ki se uporablja za opis gibanja delcev plina. Leta 1946 je tak zaključek, imenovan dinamičen, podal N. N. Bogolyubov. Metoda Bogolyubova omogoča ne le pridobitev Boltzmannove enačbe, temveč tudi njene popravke, tj. pogojev naslednjih naročil v parametru majhne vsebnosti plina. Na primer, zgornja izpeljava upošteva hkratni trk samo dveh molekul in predpostavlja, da se trki zgodijo na eni točki, tj. so lokalni in ni bolj ali manj očitnega recepta za upoštevanje trkov skupin treh, štirih ali več delcev. Medtem je jasno, da je upoštevanje takšnih trkov bistveno pomembno pri obravnavi gostih plinov. V zvezi s tem je priporočljivo strožje pristopiti k izpeljavi kinetične enačbe in njenih možnih posplošitev. Metoda Bogolyubova nam omogoča, da upoštevamo

»nelokalnost« trkov in trkov več kot dveh delcev s pomočjo določenih korekcijskih členov, ki nastanejo pri izpeljavi. Zanemarjanje popravkov vodi kinetično enačbo do oblike, ki jo dobimo v najpreprostejšem primeru.

Reference.

1. E.M.Lifshits, L.P.Pitaevsky. Fizična kinetika. Nauka, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, statistična fizika in kinetika.

Nauka, M., 1972

Gaza<< 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом». Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1, что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, ...

deska; NA – Avogadrovo število;  reducirana masa molekule elektrolita, g; сi – molska koncentracija ionov (сi= c0); с0 – začetna molska koncentracija elektrolita. 3. Izomorfizem enačb Pri obravnavanju gibanja v polju viskoznih sil je priročno uvesti koncept gibljivosti b. Gibljivost je opredeljena kot največja hitrost, ki jo telo doseže pod vplivom sile, ki je enaka ena, tj.

Intenzivnost električnega polja in velikost temperaturnega gradienta, vključena v nehomogeni izraz na levi strani. Kasneje v tem poglavju bomo poiskali rešitve kinetične enačbe za različne primere po naraščajoči kompleksnosti. § 7. Električna prevodnost Naj na sistem deluje le električno polje E in v »neskončnem« mediju se vzdržuje stalna temperatura. Ob upoštevanju ...

Srebro Baker Železo Kositer Tekočine Živo srebro Voda Aceton 0 0 20 16 22,5 0,1765 0,1411 0,0237 0,0226 403 86,5 68,2 35,6 0,190 0,167 0,158 6 ,9 3. Toplotna prevodnost tekočin in plinov Toplotna prevodnost, ena od vrste prenosa toplote (energija toplotnega gibanja mikrodelcev) iz bolj vročih delov telesa v...

Statistični opis plina se izvede s funkcijo porazdelitve molekul plina v njihovem faznem prostoru, kjer je množica posplošenih koordinat molekule, je množica posplošenih impulzov, ki ustrezajo koordinatam, je čas (porazdelitvena funkcija je odvisna od pravočasno v nestacionarnem stanju). Precej pogosto simbol G označuje množico vseh spremenljivk, od katerih je odvisna porazdelitvena funkcija, razen koordinat molekule in časa. Količine imajo pomembno lastnost: so gibanja, ki ostanejo konstantna za vsako molekulo med njenim prostim gibanjem.

Tako so za monoatomski plin količine tri komponente atoma. Za dvoatomno molekulo to vključuje zagon in navor.

Osnovna kinetična enačba

Osnovna enačba kinetične teorije plinov (ali kinetična enačba) je enačba, ki določa porazdelitveno funkcijo.

Enačba:

kjer je integral trkov, se enačba (1) imenuje kinetična enačba. Simbol pomeni hitrost spreminjanja porazdelitvene funkcije zaradi trkov molekul. Kinetična enačba dobi pravi pomen šele, ko je ugotovljen trkovni integral. Nato ima kinetična enačba obliko (2). Ta integro-diferencialna enačba se imenuje tudi Boltzmannova enačba:

Treba je pojasniti, kaj je desna stran enačbe (2).

Ko dve molekuli trčita, se njuni vrednosti spremenita. Zato vsak trk, ki ga doživi molekula, jo vzame iz danega intervala d. Skupno število trkov s prehodi z vsemi možnimi vrednostmi za dano G, ki se pojavljajo na enoto časa v prostornini dV, je enaka integralu:

(izhodni delci)

Nekatere molekule zaradi trkov padejo v dG interval (trki s prehodi ). Skupno število takšnih trkov (na časovno enoto v volumnu dV) je enako:

(vhodni delci).

Če odštejemo število dejanj odhoda od števila dejanj prihoda, je jasno, da se zaradi vseh trkov število zadevnih molekul poveča za 1c

Za kvalitativno obravnavanje kinetičnih pojavov v plinu se uporablja groba ocena trkovnega integrala z uporabo koncepta povprečne proste poti l (določena povprečna razdalja, ki jo prepotuje molekula med dvema zaporednima trkoma). Razmerje se imenuje čas prostega delovanja. Za grobo oceno integrala trkov predpostavimo:

Razlika v števcu (3) upošteva, da se integral trkov spremeni v 0 za ravnotežno porazdelitveno funkcijo. Predznak minus izraža dejstvo, da so trki mehanizem za vzpostavitev statističnega ravnovesja.

Boltzmannova kinetična enačba

Boltzmannova kinetična enačba daje mikroskopski opis razvoja stanja majhnega plina. Kinetična enačba je časovna enačba prvega reda; opisuje nepovraten prehod sistema iz nekega začetnega neravnotežnega stanja s porazdelitveno funkcijo v končno ravnotežno stanje z najverjetnejšo porazdelitveno funkcijo.

Reševanje kinetične enačbe je z matematičnega vidika zelo težko. Težave pri reševanju so posledica večdimenzionalnosti funkcije, ki je odvisna od sedmih skalarnih spremenljivk, in kompleksne oblike desne strani enačbe.

Če je porazdelitvena funkcija odvisna samo od koordinate x in komponente hitrosti, ima Boltzmannova kinetična enačba obliko:

kjer in so porazdelitvene funkcije molekul pred in po trku; – hitrost molekul; je diferencialni efektivni presek sipanja na prostorski kot dW, odvisen od interakcije molekul. — sprememba porazdelitvene funkcije zaradi trkov. -sprememba gostote števila delcev. je sila, ki deluje na delec.

Če je plin sestavljen iz delcev iste vrste, lahko kinetično enačbo zapišemo kot:

kje – povprečno število delcev v elementu faznega volumna v bližini točke ( - sprememba gostote števila delcev v bližini točke ( v času t na časovno enoto.

Boltzmannova enačba velja, če:

Če je sistem v stanju statističnega ravnotežja, potem integral trkov izgine in rešitev Boltzmannove enačbe je porazdelitev. Reševanje Boltzmannove enačbe za ustrezne pogoje omogoča izračun kinetičnih koeficientov in pridobitev makroskopskih enačb za različne transportne procese ( , viskoznost, ). V gravitacijskem polju Zemlje je rešitev Boltzmannove enačbe dobro znana barometrična formula.

Na podlagi rešitev Boltzmannove enačbe je razloženo makroskopsko obnašanje plina, izračun koeficientov viskoznosti in toplotne prevodnosti.

Kinematična enačba je osnovna enačba za dinamiko redčenih plinov in se uporablja za aerodinamične izračune letal na velikih višinah leta.

Primeri reševanja problemov

PRIMER 1

Kar opisuje sisteme, ki so daleč od termodinamičnega ravnovesja, na primer v prisotnosti temperaturnih gradientov in električnih polj). Boltzmannova enačba se uporablja za preučevanje prenosa toplote in električnega naboja v tekočinah in plinih, iz nje pa izhajajo transportne lastnosti, kot so električna prevodnost, Hallov učinek, viskoznost in toplotna prevodnost. Enačba je uporabna za redke sisteme, kjer je interakcijski čas med delci kratek (hipoteza molekularnega kaosa).

Formulacija

Boltzmannova enačba opisuje razvoj skozi čas ( t) funkcije porazdelitve gostote f(x, str, t) v faznem prostoru enega delca, kjer x in str- koordinata oziroma gibalna količina. Porazdelitev je definirana tako, da

sorazmerno s številom delcev v faznem volumnu d³x d³p v določenem trenutku t. Boltzmannova enačba

Tukaj F(x, t) je polje sil, ki delujejo na delce v tekočini ali plinu, in m- masa delcev. Na desni strani enačbe je bil dodan člen, ki upošteva trke med delci. Če je nič, potem delci sploh ne trčijo. Ta primer se pogosto imenuje Liouvillova enačba. Če polje sil F(x, t) zamenjajte z ustreznim samokonsistentnim poljem glede na porazdelitveno funkcijo f, potem dobimo enačbo Vlasova, ki opisuje dinamiko nabitih delcev plazme v samokonsistentnem polju. Klasična Boltzmannova enačba se uporablja v fiziki plazme, pa tudi v fiziki polprevodnikov in kovin (za opis kinetičnih pojavov, tj. prenosa naboja ali toplote v elektronski tekočini).

Izpeljava Boltzmannove enačbe

Mikroskopska izpeljava Boltzmannove enačbe iz prvih principov (temelji na natančni Liouvillovi enačbi za vse delce medija) je izvedena s prekinitvijo verige enačb Bogoljubova na ravni parne korelacijske funkcije za klasične in kvantne sisteme. Upoštevanje korelacijskih funkcij višjega reda v verigi kinetičnih enačb omogoča iskanje popravkov Boltzmannove enačbe.

Povezave

Fundacija Wikimedia.

2010.

Oglejte si, kaj je "Boltzmannova enačba" v drugih slovarjih: Boltzmannova enačba - - [A.S. Goldberg. Angleško-ruski energetski slovar. 2006] Energetske teme v splošni EN Boltzmannovi enačbi ...

Priročnik za tehnične prevajalce

Boltzmannova enačba (kinetična Boltzmannova enačba) je enačba, poimenovana po Ludwigu Boltzmannu, ki jo je prvi obravnaval in opisuje statistično porazdelitev delcev v plinu ali tekočini. Je ena najpomembnejših... ... Wikipedije Integrodiferencialna enačba, ki ji zadoščajo na primer neravnovesne porazdelitvene funkcije enega delca sistemov, sestavljenih iz velikega števila delcev. funkcija porazdelitve f(v, r, t) molekul plina po hitrostih v in koordinatah r, funkcija porazdelitve elektronov v...

Fizična enciklopedija Integrodiferencialna enačba, ki ji zadoščajo na primer neravnovesne porazdelitvene funkcije enega delca sistemov, sestavljenih iz velikega števila delcev. funkcija porazdelitve f(v, r, t) molekul plina po hitrostih v in koordinatah r, funkcija porazdelitve elektronov v...

Integrodiferencial enačba, poleg tega pa so zadoščene neravnovesne enodelčne porazdelitvene funkcije sistema velikega števila delcev, na primer porazdelitvena funkcija molekul plina po hitrostih in koordinatah r, porazdelitvena funkcija elektronov v kovini,.. ... Enačba za porazdelitveno funkcijo f (ν, r, t) molekul plina po hitrostih ν in koordinatah r (odvisno od časa t), ki opisuje neravnovesne procese v plinih z nizko gostoto. Funkcija f določa povprečno število delcev s hitrostmi... ...

Enačba Vlasova je sistem enačb, ki opisujejo dinamiko plazme nabitih delcev ob upoštevanju Coulombovih sil dolgega dosega skozi samokonsistentno polje. Najprej predlagal A. A. Vlasov v članku in kasneje orisal... ... Wikipedia

Razvoj funkcije gostote verjetnosti po Fokker-Planckovi enačbi. Fokker Planckova enačba je ena od stohastičnih diferencialnih enačb, ki opisuje časovni razvoj funkcije gostote verjetnosti koordinat in... ... Wikipedia

Boltzmannova enačba, znana tudi kot Boltzmannova kinetična enačba, je dobila ime po Ludwigu Boltzmannu, ki jo je prvi obravnaval. Opisuje statistično porazdelitev delcev v plinu ali tekočini in je eden najpomembnejših... ... Wikipedia

V matematični fiziki je Liouvillov izrek, imenovan po francoskem matematiku Josephu Liouvillu, ključni izrek v statistični in Hamiltonovi mehaniki. Pravi, da je distribucijska funkcija v faznem prostoru konstantna... ... Wikipedia