Danes se bomo v lekciji naučili najti pogojno ali, kot jih tudi imenujejo, relativni ekstremi funkcije več spremenljivk, najprej pa bomo govorili seveda o pogojnih ekstremih funkcije dveh in tri spremenljivke, ki jih najdemo v veliki večini tematskih problemov.
Kaj morate znati in znati narediti v tem trenutku? Kljub temu, da je ta članek »na obrobju« teme, za uspešno obvladovanje snovi ni potrebno veliko. Na tej točki se morate zavedati osnovnih površine prostora, znajti najti delni derivati (vsaj na povprečni ravni) in, kot narekuje neusmiljena logika, razumeti brezpogojni ekstremi. Toda tudi če imate nizko stopnjo pripravljenosti, ne hitite z odhodom - vsa manjkajoča znanja/veščine lahko resnično »poberete na poti«, in to brez ur mučenja.
Najprej analizirajmo sam koncept in hkrati na hitro ponovimo najpogostejše površine. Torej, kaj je pogojni ekstrem? ...Tukaj ni nič manj neusmiljena logika =) Pogojni ekstrem funkcije je ekstrem v običajnem pomenu besede, ki je dosežen, ko je izpolnjen določen pogoj (ali pogoji).
Predstavljajte si poljubno "poševno" letalo V kartezični sistem. Noben ekstrem tukaj ni sledu o tem. Ampak to je zaenkrat. Razmislimo eliptični valj, za preprostost - neskončna okrogla "cev", vzporedna z osjo. Očitno bo ta "cev" "izrezala" iz našega letala elipsa, zaradi česar bo na njeni zgornji točki maksimum, na spodnji pa minimum. Z drugimi besedami, funkcija, ki določa ravnino, doseže ekstreme glede na to da ga je prečkal dani krožni valj. Točno "priloženo"! Drugi eliptični valj, ki seka to ravnino, bo skoraj zagotovo ustvaril različne najmanjše in največje vrednosti.
Če ni zelo jasno, lahko situacijo realno simuliramo (čeprav v obratnem vrstnem redu): vzemite sekiro, pojdite na ulico in posekajte ... ne, Greenpeace vam kasneje ne bo odpustil - bolje je, da odtočno cev prerežete z brusilko =). Pogojni minimum in pogojni maksimum bosta odvisna od tega, na kateri višini in pod čim (nevodoravno) rez je narejen pod kotom.
Prišel je čas, da računanje oblečemo v matematično obleko. Razmislimo eliptični paraboloid, ki ima absolutni minimum na točki. Zdaj pa poiščimo ekstrem glede na to. to letalo vzporedno z osjo, kar pomeni, da "izreže" iz paraboloida parabola. Vrh te parabole bo pogojni minimum. Poleg tega ravnina ne poteka skozi izhodišče koordinat, zato bo točka ostala nepomembna. Niste posredovali slike? Takoj sledimo povezavam! To bo trajalo še veliko, velikokrat.
Vprašanje: kako najti ta pogojni ekstrem? Najenostavnejši način za rešitev je uporaba enačbe (ki se imenuje - stanje oz povezovalna enačba) izrazite na primer: – in ga nadomestite s funkcijo: 
Rezultat je funkcija ene spremenljivke, ki definira parabolo, katere vrh se »izračuna« z zaprtimi očmi. Najdimo kritične točke:
– kritična točka.
Naslednja najlažja stvar za uporabo je drugi zadostni pogoj za ekstrem:
Zlasti: to pomeni, da funkcija doseže minimum v točki . Lahko se izračuna neposredno: , vendar bomo ubrali bolj akademsko pot. Poiščimo koordinato "igre":
,
zapišite pogojno minimalno točko in se prepričajte, da res leži v ravnini (zadovoljuje sklopitveno enačbo):
in izračunajte pogojni minimum funkcije:
glede na to (“dodatek” je obvezen!!!).
Obravnavana metoda se lahko brez dvoma uporablja v praksi, vendar ima številne pomanjkljivosti. Prvič, geometrija problema ni vedno jasna, in drugič, pogosto je nedonosno izraziti "x" ali "y" iz povezovalne enačbe (če je sploh mogoče kaj izraziti). In zdaj bomo razmislili o univerzalni metodi za iskanje pogojnih ekstremov, imenovani Lagrangeova metoda množitelja:
Primer 1
Poiščite pogojne ekstreme funkcije z navedeno enačbo povezave z argumenti.
Ali prepoznate površine? ;-) ...me veseli, da vidim vaše vesele obraze =)
Mimogrede, iz formulacije tega problema postane jasno, zakaj se stanje imenuje povezovalna enačba– argumenti funkcije povezan dodatni pogoj, to je, da morajo najdene ekstremne točke nujno pripadati krožnemu valju.
rešitev: v prvem koraku morate enačbo povezave predstaviti v obliki in sestaviti Lagrangeova funkcija:
, kjer je tako imenovani Lagrangeov množitelj.
V našem primeru in:
Algoritem za iskanje pogojnih ekstremov je zelo podoben shemi za iskanje "navadnih" skrajnosti. Najdimo delni derivati Lagrangeove funkcije, medtem ko je treba "lambdo" obravnavati kot konstanto:
Sestavimo in rešimo naslednji sistem: 
Zaplet je standardno razpleten:
iz prve enačbe izrazimo 
;
iz druge enačbe izrazimo 
.
Zamenjajmo povezave v enačbo in izvedimo poenostavitve: 
Kot rezultat dobimo dve stacionarni točki. Če , potem: 
če, potem: 
Lahko vidimo, da koordinate obeh točk zadoščajo enačbi 
. Previdni ljudje lahko opravijo tudi popoln pregled: za to morate zamenjati 
v prvo in drugo enačbo sistema, nato pa naredite enako z množico 
. Vse se mora "poklopiti".
Preverimo izpolnjevanje zadostnega ekstremnega pogoja za najdene stacionarne točke. Razpravljal bom o treh pristopih k reševanju tega vprašanja:
1) Prva metoda je geometrijska utemeljitev.
Izračunajmo vrednosti funkcije v stacionarnih točkah:
Nato zapišemo besedno zvezo s približno naslednjo vsebino: presek ravnine s krožnim valjem je elipsa, pri kateri je na zgornjem oglišču dosežen maksimum, na spodnjem oglišču pa minimum. Tako je večja vrednost pogojni maksimum, manjša vrednost pa pogojni minimum.
Če je mogoče, je bolje uporabiti to metodo - je preprosta in to odločitev štejejo učitelji (velik plus je, da ste pokazali razumevanje geometrijskega pomena problema). Vendar, kot že omenjeno, ni vedno jasno, kaj se križa s čim in kje, nato pa na pomoč priskoči analitično preverjanje:
2) Druga metoda temelji na uporabi diferencialnih znakov drugega reda. Če se izkaže, da na stacionarni točki, potem funkcija tam doseže maksimum, če pa že, potem doseže minimum.
Najdimo delni odvodi drugega reda:
in ustvari to razliko:
Ko , to pomeni, da funkcija doseže svoj maksimum v točki ;
pri , kar pomeni, da funkcija doseže minimum v točki 
.
Obravnavana metoda je zelo dobra, vendar ima pomanjkljivost, da je v nekaterih primerih skoraj nemogoče določiti predznak 2. diferenciala. (običajno se to zgodi, če in/ali so različni znaki). In potem na pomoč priskoči "težka artilerija":
3) Razlikujmo enačbo povezave z "X" in "Y": 
in sestavite naslednje simetrično matrica:
Če je na stacionarni točki, potem funkcija doseže tja ( pozor!) minimum, če – potem maksimum.
Zapišimo matriko za vrednost in pripadajočo točko: 
Izračunajmo determinanta:
, torej ima funkcija maksimum v točki .
Enako za vrednost in točko: 
Tako ima funkcija minimum v točki .
Odgovori: glede na to :
Po temeljiti analizi gradiva si preprosto ne morem pomagati, da vam ne ponudim nekaj tipičnih nalog za samotestiranje:
Primer 2
Poiščite pogojni ekstrem funkcije, če so njeni argumenti povezani z enačbo
Primer 3
Poiščite ekstreme funkcije glede na pogoj
In spet toplo priporočam razumevanje geometrijskega bistva nalog, še posebej v zadnjem primeru, kjer analitično preverjanje zadostnega pogoja ni darilo. Zapomni si kaj Vrstica 2. reda postavi enačbo in kaj površino ta linija ustvarja v prostoru. Analizirajte, po kateri krivulji bo valj sekal ravnino in kje na tej krivulji bo minimum in kje maksimum.
Rešitve in odgovori na koncu lekcije.
Obravnavani problem se pogosto uporablja na različnih področjih, zlasti - ne bomo šli daleč - v geometriji. Rešimo vsem najljubši problem o pollitrski steklenici (glej primer 7 člankaEkstremni izzivi ) drugi način:
Primer 4
Kakšne naj bodo mere valjaste pločevinaste pločevinke, da se za izdelavo pločevinke porabi najmanj materiala, če je prostornina pločevinke enaka
rešitev: upoštevajte spremenljivi osnovni radij, spremenljivo višino in sestavite funkcijo površine celotne površine pločevinke: 
(površina dveh platnic + stranska površina)
Lagrangeova metoda množitelja.
Metoda Lagrangeovega množitelja je ena od metod, ki vam omogoča reševanje problemov nelinearnega programiranja.
Nelinearno programiranje je veja matematičnega programiranja, ki preučuje metode za reševanje ekstremnih problemov z nelinearno ciljno funkcijo in območjem izvedljivih rešitev, definiranih z nelinearnimi omejitvami. V ekonomiji to ustreza dejstvu, da se rezultati (učinkovitost) povečujejo ali zmanjšujejo nesorazmerno s spremembami v obsegu uporabe virov (ali, kar je isto, obsegu proizvodnje): na primer zaradi delitve proizvodnih stroškov na podjetja v variabilna in polfiksna; zaradi zasičenosti povpraševanja po blagu, ko je vsako naslednjo enoto težje prodati kot prejšnjo itd.
Problem nelinearnega programiranja je zastavljen kot problem iskanja optimuma določene ciljne funkcije
F(x 1 ,…x n), F (x) → maks
ko so izpolnjeni pogoji
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0
kje x-vektor zahtevanih spremenljivk;
F (x) -objektivna funkcija;
g (x) - funkcija omejitve (zvezno diferencibilna);
b - vektor omejitvenih konstant.
Rešitev problema nelinearnega programiranja (globalni maksimum ali minimum) lahko pripada bodisi meji bodisi notranjosti dopustne množice.
Za razliko od problema linearnega programiranja pri problemu nelinearnega programiranja optimum ne leži nujno na meji območja, ki ga določajo omejitve. Z drugimi besedami, naloga je izbrati takšne nenegativne vrednosti spremenljivk, za katere velja sistem omejitev v obliki neenakosti, pod katerimi je dosežen maksimum (ali minimum) dane funkcije. V tem primeru niti oblike ciljne funkcije niti neenakosti niso določene. Obstajajo lahko različni primeri: ciljna funkcija je nelinearna, vendar so omejitve linearne; ciljna funkcija je linearna, omejitve (vsaj ena od njih) pa nelinearne; tako ciljna funkcija kot omejitve so nelinearne.
Problem nelinearnega programiranja najdemo v naravoslovju, tehniki, ekonomiji, matematiki, poslovnih odnosih in vladi.
Nelinearno programiranje je na primer povezano z osnovnim ekonomskim problemom. Tako je pri problemu dodeljevanja omejenih virov bodisi učinkovitost bodisi, če preučujemo potrošnika, poraba maksimirana ob prisotnosti omejitev, ki izražajo pogoje pomanjkanja virov. V takšni splošni formulaciji je matematična formulacija problema morda nemogoča, vendar je v posebnih aplikacijah kvantitativno obliko vseh funkcij mogoče določiti neposredno. Na primer, industrijsko podjetje proizvaja plastične izdelke. Učinkovitost proizvodnje se tukaj meri z dobičkom, omejitve pa se razlagajo kot razpoložljiva delovna sila, proizvodni prostor, produktivnost opreme itd.
Metoda stroškovne učinkovitosti se prilega tudi shemi nelinearnega programiranja. Ta metoda je bila razvita za uporabo pri odločanju v vladi. Pogosta funkcija učinkovitosti je blaginja. Pri tem se pojavita dva problema nelinearnega programiranja: prvi je maksimiranje učinka pri omejenih stroških, drugi je minimiziranje stroškov, pod pogojem, da je učinek nad določeno minimalno ravnjo. Ta problem je običajno dobro modeliran z uporabo nelinearnega programiranja.
Rezultati reševanja problema nelinearnega programiranja so v pomoč pri sprejemanju vladnih odločitev. Dobljena rešitev je seveda priporočljiva, zato je pred končno odločitvijo potrebno preveriti predpostavke in natančnost problema nelinearnega programiranja.
Nelinearni problemi so zapleteni; pogosto jih poenostavimo tako, da vodimo do linearnih. Da bi to naredili, se običajno domneva, da se na določenem območju ciljna funkcija poveča ali zmanjša sorazmerno s spremembo neodvisnih spremenljivk. Ta pristop se imenuje metoda delno linearnih aproksimacij, vendar je uporaben samo za nekatere vrste nelinearnih problemov.
Nelinearne probleme pod določenimi pogoji rešujemo z uporabo Lagrangeove funkcije: z iskanjem njegove sedla se s tem najde rešitev problema. Med računalniškimi algoritmi za znanstveno raziskovanje zavzemajo gradientne metode veliko mesto. Univerzalne metode za nelinearne probleme ni in očitno morda tudi ne obstaja, saj so izjemno raznoliki. Multiekstremne probleme je še posebej težko rešiti.
Ena od metod, ki vam omogoča zmanjšanje problema nelinearnega programiranja na reševanje sistema enačb, je Lagrangeova metoda nedoločenih množiteljev.
Z uporabo metode Lagrangeovega množitelja so v bistvu vzpostavljeni potrebni pogoji, ki omogočajo identifikacijo optimalnih točk v optimizacijskih problemih z omejitvami enakosti. V tem primeru se omejeni problem pretvori v enakovredni brezpogojni optimizacijski problem, ki vključuje nekaj neznanih parametrov, imenovanih Lagrangeovi množitelji.
Metoda Lagrangeovega množitelja je sestavljena iz redukcije problemov na pogojnem ekstremumu na probleme na brezpogojnem ekstremumu pomožne funkcije - tako imenovani. Lagrangeove funkcije.
Za problem ekstrema funkcije f(x 1, x 2,..., x n) pod pogoji (omejitvenimi enačbami) φ i(x 1, x 2, ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, ima Lagrangeova funkcija obliko
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Množitelji λ 1 , λ 2 , ..., λm klical Lagrangeovi množitelji.
Če vrednosti x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm bistvo rešitev enačb, ki določajo stacionarne točke Lagrangeove funkcije, in sicer so za diferenciabilne funkcije rešitve sistema enačb
potem pod dokaj splošnimi predpostavkami x 1 , x 2 , ..., x n zagotavljajo ekstremum funkcije f.
Razmislite o problemu minimiziranja funkcije n spremenljivk, za katere velja ena omejitev v obliki enakosti:
Zmanjšaj f(x 1, x 2… x n) (1)
pod omejitvami h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
V skladu z metodo Lagrangeovega množitelja se ta problem pretvori v naslednji problem neomejene optimizacije:
minimiziraj L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
kjer se funkcija L(x;λ) imenuje Lagrangeova funkcija,
λ je neznana konstanta, ki se imenuje Lagrangeov množitelj. Za predznak λ ni nobenih zahtev.
Naj bo za dano vrednost λ=λ 0 brezpogojni minimum funkcije L(x,λ) glede na x dosežen v točki x=x 0 in x 0 ustreza enačbi h 1 (x 0)=0 . Potem, kot je enostavno videti, x 0 minimizira (1) ob upoštevanju (2), saj je za vse vrednosti x, ki izpolnjujejo (2), h 1 (x)=0 in L(x,λ)=min f(x).
Seveda je potrebno izbrati vrednost λ=λ 0 tako, da koordinata brezpogojne minimalne točke x 0 zadošča enakosti (2). To lahko storimo, če ob upoštevanju λ kot spremenljivke poiščemo brezpogojni minimum funkcije (3) v obliki funkcije λ in nato izberemo vrednost λ, pri kateri je izpolnjena enakost (2). Naj to ponazorimo s konkretnim primerom.
Minimiziraj f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
pod omejitvijo h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Ustrezen problem neomejene optimizacije je zapisan takole:
minimiziraj L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
rešitev. Če izenačimo obe komponenti gradienta L na nič, dobimo
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Da bi preverili, ali stacionarna točka x° ustreza minimumu, izračunamo elemente Hessove matrike funkcije L(x;u), obravnavane kot funkcija x,
ki se izkaže za pozitivno določeno.
To pomeni, da je L(x,u) konveksna funkcija od x. Posledično koordinate x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 določajo globalno minimalno točko. Optimalno vrednost λ najdemo tako, da vrednosti x 1 0 in x 2 0 nadomestimo v enačbo 2x 1 + x 2 =2, iz katere je 2λ+λ/2=2 ali λ 0 =4/5. Tako je pogojni minimum dosežen pri x 1 0 =4/5 in x 2 0 =2/5 in je enak min f(x) = 4/5.
Pri reševanju problema iz primera smo obravnavali L(x;λ) kot funkcijo dveh spremenljivk x 1 in x 2 in poleg tega predpostavili, da je vrednost parametra λ izbrana tako, da je omejitev izpolnjena. Če je rešitev sistema
J=1,2,3,…,n
λ ni mogoče dobiti v obliki eksplicitnih funkcij, potem se vrednosti x in λ najdejo z reševanjem naslednjega sistema, sestavljenega iz n+1 enačb z n+1 neznankami:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Če želite najti vse možne rešitve danega sistema, lahko uporabite numerične metode iskanja (na primer Newtonovo metodo). Za vsako od rešitev () bi morali izračunati elemente Hessove matrike funkcije L, obravnavane kot funkcija x, in ugotoviti, ali je ta matrika pozitivno določena (lokalni minimum) ali negativno določena (lokalni maksimum). ).
Metodo Lagrangeovega množitelja je mogoče razširiti na primer, ko ima problem več omejitev v obliki enačb. Razmislite o splošnem problemu, ki zahteva
Zmanjšaj f(x)
pri omejitvah h k =0, k=1, 2, ..., K.
Lagrangeova funkcija ima naslednjo obliko:
Tukaj λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrangeovi množitelji, tj. neznani parametri, katerih vrednosti je treba določiti. Če izenačimo parcialne odvode L glede na x na nič, dobimo naslednji sistem n enačb z n neznankami:
Če je težko najti rešitev zgornjega sistema v obliki funkcij vektorja λ, potem lahko sistem razširite z vključitvijo omejitev v obliki enačb
Rešitev razširjenega sistema, sestavljenega iz n + K enačb z n + K neznankami, določi stacionarno točko funkcije L. Nato se izvede postopek preverjanja minimuma ali maksimuma, ki se izvede na podlagi izračuna elemente Hessove matrike funkcije L, obravnavane kot funkcija x, podobno kot smo naredili v primeru problema z eno omejitvijo. Za nekatere težave razširjeni sistem n+K enačb z n+K neznankami morda nima rešitev in metoda Lagrangeovega množitelja se izkaže za neuporabno. Vendar je treba opozoriti, da so tovrstne naloge v praksi precej redke.
Oglejmo si poseben primer splošnega problema nelinearnega programiranja, ob predpostavki, da sistem omejitev vsebuje samo enačbe, ni pogojev za nenegativnost spremenljivk in in in sta zvezni funkciji skupaj s svojimi delnimi odvodi. Zato z reševanjem sistema enačb (7) dobimo vse točke, v katerih ima lahko funkcija (6) ekstremne vrednosti.
Algoritem za metodo Lagrangeovih množiteljev
1. Sestavite Lagrangeovo funkcijo.
2. Poiščite parcialne odvode Lagrangeove funkcije glede na spremenljivke x J ,λ i in jih enačite na nič.
3. Rešimo sistem enačb (7), poiščemo točke, v katerih ima lahko ciljna funkcija problema ekstrem.
4. Med točkami, sumljivimi za ekstrem, poiščemo tiste, v katerih je ekstrem dosežen, in na teh točkah izračunamo vrednosti funkcije (6).
Primer.
Začetni podatki: Po proizvodnem načrtu mora podjetje proizvesti 180 izdelkov. Te izdelke je mogoče izdelati na dva tehnološka načina. Pri izdelavi x 1 izdelkov po 1. metodi so stroški 4x 1 + x 1 2 rubljev, pri proizvodnji x 2 izdelkov po 2. metodi pa 8x 2 + x 2 2 rubljev. Določite, koliko izdelkov je treba proizvesti z vsako metodo, da bodo stroški proizvodnje minimalni.
Ciljna funkcija za navedeni problem ima obliko
® min pod pogoji x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Sestavite Lagrangeovo funkcijo
.
2.
Izračunamo parcialne odvode glede na x 1, x 2, λ in jih enačimo na nič: 
3.
Z reševanjem nastalega sistema enačb dobimo x 1 =91,x 2 =89
4. Po zamenjavi v ciljni funkciji x 2 =180-x 1 dobimo funkcijo ene spremenljivke, in sicer f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Izračunamo ali 4x 1 -364=0 ,
od koder imamo x 1 * =91, x 2 * =89.
Odgovor: Število izdelkov, izdelanih po prvi metodi, je x 1 = 91, po drugi metodi x 2 = 89, medtem ko je vrednost ciljne funkcije enaka 17.278 rubljev.
Opis metode
kje . Utemeljitev
Naslednja utemeljitev metode Lagrangeovih množiteljev ni njen strog dokaz. Vsebuje hevristično razmišljanje, ki pomaga razumeti geometrijski pomen metode.
Dvodimenzionalni primer
Ravne črte in krivulja.
Naj se zahteva najti ekstrem neke funkcije dveh spremenljivk pod pogojem, ki ga določa enačba 
. Predpostavili bomo, da so vse funkcije zvezno diferencibilne in ta enačba določa gladko krivuljo S na letalu. Nato se problem zmanjša na iskanje ekstrema funkcije f na krivulji S. To bomo tudi domnevali S ne poteka skozi točke, kjer je gradient f spremeni v 0.
Na ravnini narišimo črte funkcijskega nivoja f(to je krivulje). Iz geometrijskih premislekov je jasno, da je ekstrem funkcije f na krivulji S obstajajo lahko samo točke, v katerih se tangente na S in ustrezna nivojska črta sovpadata. Dejansko, če krivulja S prečka nivojsko črto f v točki prečno (to je pod nekim neničelnim kotom), nato pa se premika vzdolž krivulje S iz točke lahko pridemo do nivojskih črt, ki ustrezajo večji vrednosti f, in manj. Zato taka točka ne more biti točka ekstrema.
Tako bo nujen pogoj za ekstrem v našem primeru sovpadanje tangent. Če ga želite zapisati v analitični obliki, upoštevajte, da je enakovreden vzporednosti gradientov funkcij f in ψ v dani točki, saj je gradientni vektor pravokoten na tangento nivojske črte. Ta pogoj je izražen v naslednji obliki:
kjer je λ neničelno število, ki je Lagrangeov množitelj.
Zdaj razmislimo Lagrangeova funkcija, odvisno od in λ:
Nujni pogoj za njegov ekstrem je, da je gradient enak nič. V skladu s pravili razlikovanja se zapiše v obrazec
Dobili smo sistem, katerega prvi dve enačbi sta enakovredni nujnemu pogoju za lokalni ekstrem (1), tretja pa je enakovredna enačbi . Najdete ga iz njega. Še več, saj je sicer gradient funkcije f izgine na mestu 
, kar je v nasprotju z našimi predpostavkami. Upoštevati je treba, da tako ugotovljene točke morda niso želene točke pogojnega ekstremuma - obravnavani pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Iskanje pogojnega ekstrema z uporabo pomožne funkcije L in tvori osnovo metode Lagrangeovih množiteljev, ki se tukaj uporablja za najpreprostejši primer dveh spremenljivk. Izkazalo se je, da je zgornje sklepanje mogoče posplošiti na primer poljubnega števila spremenljivk in enačb, ki določajo pogoje.
Na podlagi metode Lagrangeovih množiteljev je mogoče dokazati nekaj zadostnih pogojev za pogojni ekstrem, ki zahtevajo analizo drugih odvodov Lagrangeove funkcije.
Aplikacija
- Lagrangeova metoda množitelja se uporablja za reševanje problemov nelinearnega programiranja, ki se pojavljajo na številnih področjih (na primer v ekonomiji).
- Glavna metoda za rešitev problema optimizacije kakovosti kodiranja avdio in video podatkov pri dani povprečni bitni hitrosti (optimizacija popačenja - angl. Optimizacija Rate-Distortion).
Glej tudi
Povezave
- Zorič V.A. Matematična analiza. 1. del - ur. 2., rev. in dodatno - M.: FAZIS, 1997.
Fundacija Wikimedia.
2010.
Oglejte si, kaj so "Lagrangeovi množitelji" v drugih slovarjih: Lagrangeovi množitelji - dodatni faktorji, ki preoblikujejo ciljno funkcijo ekstremnega problema konveksnega programiranja (zlasti linearnega programiranja) pri reševanju z eno od klasičnih metod, metoda reševanja množiteljev... ...
Ekonomsko-matematični slovar Lagrangeovi množitelji - Dodatni dejavniki, ki preoblikujejo ciljno funkcijo problema ekstremnega konveksnega programiranja (zlasti linearnega programiranja) pri njegovem reševanju z uporabo ene od klasičnih metod, metode reševanja množiteljev (Lagrangeova metoda).... ...
Priročnik za tehnične prevajalce Mehanika. 1) Lagrangeove enačbe 1. vrste, diferencialne enačbe mehanskega gibanja. sistemi, ki so podani v projekcijah na pravokotne koordinatne osi in vsebujejo t.i. Lagrangeovi množitelji. Pridobil J. Lagrange leta 1788. Za holonomski sistem, ... ...
Fizična enciklopedija Mehanika Navadne diferencialne enačbe 2. reda, ki opisujejo mehanska gibanja. sistemov pod vplivom sil, ki delujejo nanje. L.u. določil J. Lag območje v dveh oblikah: L. u. 1. vrste ali enačbe v kartezičnih koordinatah z... ...
1) v hidromehaniki enačba gibanja tekočine (plina) v Lagrangeovih spremenljivkah, ki so koordinate medija. Prejeto francosko znanstvenik J. Lagrange (ok. 1780). Od L. u. zakon gibanja medija je določen v obliki odvisnosti... ... Mehanika. 1) Lagrangeove enačbe 1. vrste, diferencialne enačbe mehanskega gibanja. sistemi, ki so podani v projekcijah na pravokotne koordinatne osi in vsebujejo t.i. Lagrangeovi množitelji. Pridobil J. Lagrange leta 1788. Za holonomski sistem, ... ...
Lagrangeova metoda multiplikatorja, metoda za iskanje pogojnega ekstrema funkcije f(x), kjer se glede na m omejitev i spreminja od ena do m. Vsebina 1 Opis metode ... Wikipedia
Funkcija, ki se uporablja pri reševanju problemov na pogojnem ekstremu funkcij številnih spremenljivk in funkcionalov. S pomočjo L. f. zapisani so potrebni pogoji za optimalnost pri problemih na pogojnem ekstremu. V tem primeru ni treba izraziti samo spremenljivk... Mehanika Navadne diferencialne enačbe 2. reda, ki opisujejo mehanska gibanja. sistemov pod vplivom sil, ki delujejo nanje. L.u. določil J. Lag območje v dveh oblikah: L. u. 1. vrste ali enačbe v kartezičnih koordinatah z... ...
Metoda reševanja problemov na pogojnem ekstremu; L.M.M. je reduciranje teh problemov na probleme na brezpogojnem ekstremu pomožne funkcije, t.i. Lagrangeove funkcije. Za problem ekstrema funkcije f (x1, x2,..., xn) za... ...
Spremenljivke, s pomočjo katerih je konstruirana Lagrangeova funkcija pri proučevanju problemov na pogojnem ekstremumu. Uporaba linearnih metod in Lagrangeove funkcije nam omogoča, da na enoten način pridobimo potrebne pogoje optimalnosti v problemih, ki vključujejo pogojni ekstrem... Mehanika Navadne diferencialne enačbe 2. reda, ki opisujejo mehanska gibanja. sistemov pod vplivom sil, ki delujejo nanje. L.u. določil J. Lag območje v dveh oblikah: L. u. 1. vrste ali enačbe v kartezičnih koordinatah z... ...
1) v hidromehaniki enačbe gibanja tekočega medija, zapisane v Lagrangeovih spremenljivkah, ki so koordinate delcev medija. Od L. u. zakon gibanja delcev medija je določen v obliki odvisnosti koordinat od časa in iz njih ... ... Velika sovjetska enciklopedija
|
Lagrangeova metoda─ je metoda za reševanje problema omejene optimizacije, pri kateri so omejitve, zapisane kot implicitne funkcije, kombinirane s ciljno funkcijo v obliki nove enačbe, imenovane Lagrangian.
Oglejmo si poseben primer splošnega problema nelinearnega programiranja:
Podan je sistem nelinearnih enačb (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Poiščite najmanjšo (ali največjo) vrednost funkcije (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
če ni pogojev, da sta spremenljivki nenegativni in sta f(x1,x2,…,xn) in gi(x1,x2,…,xn) funkciji, ki sta zvezni skupaj s svojimi delnimi odvodi.
Za rešitev tega problema lahko uporabite naslednjo metodo: 1. Vnesite niz spremenljivk λ1, λ2,..., λm, imenovanih Lagrangeovi multiplikatorji, sestavite Lagrangeovo funkcijo (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Poiščite parcialne odvode Lagrangeove funkcije glede na spremenljivki xi in λi in jih enačajte na nič.
3. Reševanje sistema enačb, poiščite točke, v katerih ima lahko ciljna funkcija problema ekstrem.
4. Med točkami, ki so sumljive, da niso ekstrem, poiščite tiste, pri katerih je ekstrem dosežen, in izračunajte vrednosti funkcije na teh točkah .
4. Primerjaj dobljene vrednosti funkcije f in izberi najboljšo.
Po proizvodnem načrtu mora podjetje proizvesti 180 izdelkov. Te izdelke je mogoče izdelati na dva tehnološka načina. Pri proizvodnji izdelkov x1 po metodi I so stroški 4*x1+x1^2 rubljev, pri proizvodnji izdelkov x2 po metodi II pa 8*x2+x2^2 rubljev. Določite, koliko izdelkov je treba proizvesti z vsako metodo, tako da so skupni stroški proizvodnje minimalni.
Rešitev: Matematična formulacija problema je sestavljena iz določitve najmanjše vrednosti funkcije dveh spremenljivk:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, če je x1 +x2 = 180.
Sestavimo Lagrangeovo funkcijo:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Izračunajmo njene parcialne odvode glede na x1, x2, λ in jih enačimo z 0:
Premaknimo λ na desni strani prvih dveh enačb in izenačimo njuni levi strani, dobimo 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 ali x1 − x2 = 2.
Če zadnjo enačbo rešimo skupaj z enačbo x1 + x2 = 180, dobimo x1 = 91, x2 = 89, to pomeni, da smo dobili rešitev, ki izpolnjuje pogoje:
Poiščimo vrednost ciljne funkcije f za te vrednosti spremenljivk:
F(x1, x2) = 17278
Ta točka je sumljiva za skrajno točko. Z uporabo drugih delnih odvodov lahko pokažemo, da ima v točki (91.89) funkcija f minimum.
LAGRANGEEVA METODA
Metoda redukcije kvadratne oblike na vsoto kvadratov, ki jo je leta 1759 navedel J. Lagrange. Naj bo dano
iz spremenljivk x 0 , x 1 ,..., x str.
s koeficienti iz polja k značilnosti To obliko je potrebno pripeljati do kanonične. um
z uporabo nedegenerirane linearne transformacije spremenljivk. L. m. je sestavljen iz naslednjega. Predpostavimo lahko, da niso vsi koeficienti oblike (1) enaki nič.
Zato sta možna dva primera. 1) Za nekatere g,
diagonala Potem kjer oblika f 1 (x) ne vsebuje spremenljivke x g . 
2) Če vse
Ampak
to kjer oblika f 2 (x) ne vsebuje dveh spremenljivk x g in x h .
Oblike pod kvadratnimi znaki v (4) so linearno neodvisne. Z uporabo transformacij oblike (3) in (4) se oblika (1) po končnem številu korakov reducira na vsoto kvadratov linearno neodvisnih linearnih oblik. Z uporabo parcialnih odvodov lahko formuli (3) in (4) zapišemo v obliki Lit. : G a n t m a h e r F. R., Teorija matrik, 2. izd., M., 1966; K u r o sh A. G., Tečaj višje algebre, 11. izd., M., 1975; Aleksandrov P. S., Predavanja o analitični geometriji ..., M., 1968.
I. V. Proskuryakov. Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija
.
I. M. Vinogradov.- Lagrangeova metoda je metoda za reševanje številnih razredov problemov matematičnega programiranja z iskanjem sedla (x*, λ*) Lagrangeove funkcije, ki se doseže z enačenjem na nič parcialnih odvodov te funkcije glede na ... ... - dodatni faktorji, ki preoblikujejo ciljno funkcijo ekstremnega problema konveksnega programiranja (zlasti linearnega programiranja) pri reševanju z eno od klasičnih metod, metoda reševanja množiteljev... ...
I. M. Vinogradov.- Metoda za reševanje številnih razredov problemov matematičnega programiranja z iskanjem sedla (x*, ?*) Lagrangeove funkcije, kar se doseže z enačenjem parcialnih odvodov te funkcije glede na xi in?i na nič. . Glej Lagrangian. )
