Parameter ima edinstveno rešitev. "metode za reševanje problemov s parametri"

MKOU "Lodeynopolskaya srednja šola št. 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Govor na srečanju Moskovske regije

Metode reševanja problemov

s parametri

Prokusheva Natalya Gennadievna

Lodeynoye Pole

2013-2014

Težave s parametri

Težave s parametri so med najtežjimi težavami, ki se ponujajo tako na enotnem državnem izpitu kot na dodatnih tekmovalnih izpitih na univerzah.

Imajo pomembno vlogo pri oblikovanju logičnega mišljenja in matematične kulture. Težave, ki nastanejo pri njihovem reševanju, so posledica dejstva, da vsak problem s parametri predstavlja cel razred običajnih problemov, za vsakega pa je treba dobiti rešitev.

Če v enačbi (neenakosti) nekateri koeficienti niso podani s posebnimi številskimi vrednostmi, ampak so označeni s črkami, se imenujejo parametri, enačba (neenakost) pa je parametrična.

Neznanke so praviloma označene z zadnjimi črkami latinice: x, y, z, ..., parametre pa s prvimi: a, b, c, ...

Rešiti enačbo (neenakost) s parametri pomeni navesti, pri katerih vrednostih parametrov obstajajo rešitve in kakšne so. Dve enačbi (neenakosti), ki vsebujeta enake parametre, imenujemo enakovredni, če:

a) so smiselni za enake vrednosti parametrov;

b) vsaka rešitev prve enačbe (neenačbe) je rešitev druge in obratno.

Seveda tako majhen razred problemov mnogim ne omogoča, da bi razumeli glavno stvar: parameter, ki je fiksno, a neznano število, ima dvojno naravo. Prvič, domnevna slava vam omogoča, da "komunicirate" s parametrom kot številko, in drugič, stopnja svobode komunikacije je omejena z njeno nejasnostjo. Tako je za deljenje z izrazom, ki vsebuje parameter, in pridobivanje korena sode stopnje iz takih izrazov potrebna predhodna raziskava. Običajno rezultati teh študij vplivajo na odločitev in odgovor.

Kako začeti reševati tovrstne težave? Ne bojte se težav s parametri. Najprej morate storiti to, kar se naredi pri reševanju katerekoli enačbe ali neenačbe – zmanjšati dano enačbo (neenakost) na enostavnejšo obliko, če je mogoče: faktorizirati racionalni izraz, faktorizirati trigonometrični polinom, znebiti se modulov, logaritmov, in itd.. potem morate nalogo natančno prebrati znova in znova.

Pri reševanju problemov, ki vsebujejo parameter, obstajajo problemi, ki jih lahko razdelimo v dva velika razreda. Prvi razred vključuje probleme, pri katerih je treba rešiti neenačbo ali enačbo za vse možne vrednosti parametra. Drugi razred vključuje naloge, pri katerih ni treba najti vseh možnih rešitev, ampak samo tiste, ki izpolnjujejo nekatere dodatne pogoje.

Šolarjem je najbolj razumljiv način reševanja tovrstnih problemov tako, da najprej poiščejo vse rešitve in nato izberejo tiste, ki izpolnjujejo dodatne pogoje. Vendar to ni vedno mogoče. Obstaja veliko problemov, pri katerih je nemogoče najti vse številne rešitve, pa tudi od nas se to ne zahteva. Zato moramo poiskati način za rešitev problema, ne da bi imeli na voljo celoten nabor rešitev dane enačbe ali neenačbe, na primer, da poiščemo lastnosti funkcij, vključenih v enačbo, ki nam bodo omogočile presoditi obstoj določene množice rešitev.

Glavne vrste nalog s parametri

Vrsta 1. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in nizi, ki jih je treba rešiti za katero koli vrednost parametra (parametrov) ali za vrednosti parametrov, ki pripadajo vnaprej določenemu nizu.

Ta vrsta problema je osnovna pri obvladovanju teme "Problemi s parametri", saj vloženo delo vnaprej določa uspeh pri reševanju problemov vseh drugih osnovnih vrst.

Vrsta 2. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in množice, za katere je potrebno določiti število rešitev glede na vrednost parametra (parametrov).

Opozarjamo vas na dejstvo, da pri reševanju tovrstnih problemov ni treba niti reševati danih enačb, neenačb, njihovih sistemov in kombinacij itd., niti podajati teh rešitev; V večini primerov je tako dodatno delo taktična napaka, ki vodi v nepotrebno izgubo časa. Vendar tega ne smemo absolutizirati, saj je včasih neposredna rešitev v skladu s tipom 1 edini razumen način za pridobitev odgovora pri reševanju problema tipa 2.

Vrsta 3. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in zbirke, za katere je potrebno najti vse tiste vrednosti parametrov, za katere imajo navedene enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in zbirke dano število rešitev (zlasti nimajo ali imajo neskončno število rešitev).

Zlahka je videti, da so problemi tipa 3 v nekem smislu obratni problemom tipa 2.

Vrsta 4. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in množice, pri katerih za zahtevane vrednosti parametra množica rešitev izpolnjuje podane pogoje v domeni definicije.

Na primer, poiščite vrednosti parametrov, pri katerih:

1) enačba je izpolnjena za katero koli vrednost spremenljivke iz danega intervala;
2) množica rešitev prve enačbe je podmnožica množice rešitev druge enačbe itd.

Komentiraj. Raznolikost problemov s parametrom pokriva celoten potek šolske matematike (tako algebre kot geometrije), velika večina pa jih na zaključnih in sprejemnih izpitih sodi v eno od štirih naštetih vrst, ki jih zato imenujemo osnovne.

Najbolj razširjen razred problemov s parametrom so problemi z eno neznanko in enim parametrom. Naslednji odstavek navaja glavne načine reševanja problemov tega razreda.

Osnovne metode reševanja problemov s parametrom

Metoda I(analitično). To je metoda tako imenovane direktne rešitve, ki ponavlja standardne postopke iskanja odgovora v problemih brez parametra. Včasih pravijo, da je to metoda prisilne, v dobrem smislu »arogantne« rešitve.

Metoda II(grafični). Odvisno od naloge (s spremenljivko x in parameter a) so grafi obravnavani ali v koordinatni ravnini ( x; l), ali v koordinatni ravnini ( x; a).

Komentiraj. Izjemna jasnost in lepota grafične metode reševanja problemov s parametrom tako očara študente teme "Problemi s parametrom", da začnejo ignorirati druge metode reševanja in pozabljajo na dobro znano dejstvo: za kateri koli razred problemov , lahko njihovi avtorji oblikujejo tisto, ki je briljantno rešena na ta način in z ogromnimi težavami na druge načine. Zato je na začetni stopnji študija nevarno začeti z grafičnimi tehnikami za reševanje problemov s parametrom.

Metoda III(odločitev glede parametra). Pri reševanju tega načina spremenljivke x in a sprejeti kot enaki in izbrana je spremenljivka, glede na katero se analitična rešitev šteje za preprostejšo. Po naravnih poenostavitvah se vrnemo k prvotnemu pomenu spremenljivk x in a in dokončajte rešitev.

Zdaj pa preidimo na prikaz teh metod za reševanje problemov s parametrom.

1. Linearne enačbe in neenačbe s parametri

Linearna funkcija: – enačba premice s koeficientom naklona . Kotni koeficient je enak tangensu kota naklona premice na pozitivno smer osi .

Linearne enačbe s parametri oblike

če , enačba ima edina stvar rešitev.

če , ta enačba nima rešitev, Kdaj , in enačba ima neskončno veliko rešitev, kdaj .

Primer 1. Reši enačbo | x | = a .

rešitev:

a > 0, => x 1,2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>ni rešitev.

odgovor: x 1,2 = ± a pri a > 0; x= 0 pri a= 0; ni rešitev za a < 0.

Primer 2. Reši enačbo |3 – x | = a .

rešitev:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>ni rešitev.

odgovor: x 1,2 = 3 ± a pri a > 0; x= 3 at a= 0; ni rešitev za a < 0.

Primer 3. Reši enačbo m ² x – m = x + 1.

rešitev:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

odgovor:
pri m ≠ ± 1; x Є R pri m= –1; ni rešitev za m = 1.

Primer 4. A reši enačbo: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

rešitev: Faktorizirajmo koeficient. .

če , enačba ima edina stvar rešitev: .

če , enačba nima rešitev.

če , potem ima enačba neskončno veliko rešitev .

Primer 6. Za vse vrednosti parametrov a reši enačbo:
.

rešitev: ODZ: . Pod tem pogojem je enačba enakovredna naslednjemu: . Preverimo, ali pripadate ODZ: , če . če , potem enačba nima rešitev.

Primer 7. Za vse vrednosti parametrov A reši enačbo: | X + 3| – a | x – 1| = 4.

rešitev: Razdelimo številsko premico na 3 dele po točkah, v katerih izrazi pod znakom modula izničijo in rešimo 3 sisteme:

1) , če . Najdena bo rešitev, če .

2) , če . Najdena izpolnjuje zahtevano neenakost, zato je rešitev za . če , potem je rešitev katera koli .

3) , če . Najdeno ne izpolnjuje zahtevano neenakost, torej ne je rešitev, ko . če , potem je rešitev vsak x > 1.

odgovor: ob ; pri ;

n ri ; je tudi rešitev za vse .

Primer 8. Najdi vse A, za vsako od katerih je vsaj ena od rešitev enačbe 15 x – 7a = 2 – 3sekira + 6a manj 2 .

rešitev: Poiščimo rešitve enačbe za vsako . , Če . Rešimo neenačbo: .

Ko enačba nima rešitev.

Odgovori : AÎ (–5 , 4) .

Linearne neenačbe s parametri

Na primer: Reši neenačbo: kx < b .

če k> 0, torej
. če k < 0, то
. če k= 0, potem ko b> 0 rešitev je katera koli x Є R, in kdaj
ni rešitev.

Na enak način reši preostale neenačbe v okvirčku.

Primer 1. Za vse vrednosti parametra a rešite neenačbo
.

rešitev:

. Če je oklepaj pred x je pozitiven, tj. pri
, To
. Če je oklepaj pred x negativna, tj. pri
, To
. če a= 0 ali a = , potem ni rešitev.

odgovor:
pri
;
pri
;

ni rešitev za a= 0 ali a = .

Primer 2. Za vse vrednosti parametrov A reši neenačbo | X– a| – | x + a| < 2a .

rešitev:

pri a=0 imamo napačno neenakost 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, nato pri x< –a oba modula razširimo z minusom in dobimo napačno neenakost 2 a < 2a, tj. ni rešitev. če x Є [– a ; a] , potem se prvi modul odpre z minusom, drugi pa s plusom in dobimo neenakost –2 x < 2a, tj. x > –a, torej rešitev je katera koli x Є (– a ; a]. če x > a oba modula se odpreta s plusom in dobimo pravilno neenakost –2 a < 2a, tj. , rešitev je katera koli x Є ( a; +∞). Če združimo oba odgovora, dobimo to kdaj a > 0 x Є (– a ; +∞).

Naj a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Tako, z a < 0 решений нет.

odgovor: x Є (– a; +∞) pri a> 0, ni rešitev za
.

Komentiraj. Rešitev tega problema je hitrejša in preprostejša, če uporabimo geometrijsko interpretacijo modula razlike dveh števil kot razdalje med točkama. Potem lahko izraz na levi strani interpretiramo kot razliko v razdaljah od točke X do točk A In - A .

Primer 3. Najdi vse A, za vsako od katerih so vse rešitve neenačbe
zadovoljiti neenakost 2 x – a² + 5< 0.

rešitev:

Rešitev neenačbe |x | ≤ 2 je množica A=[–2; 2] in rešitev neenačbe 2 x – a² + 5< 0 является множество B = (–∞;
) . Da bi izpolnili pogoje problema, je potrebno, da je množica A vključena v množico B (). Ta pogoj bo izpolnjen, če in samo če.

odgovor: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Primer 4. Poiščite vse vrednosti a, za katere velja neenakost
teče za vse x iz segmenta.

rešitev:

Med korenoma je ulomek manjši od nič, zato morate ugotoviti, kateri koren je večji.

–3a + 2 < 2a + 4
in –3 a + 2 > 2a + 4
. Tako, z
xЄ (–3 a + 2; 2a+ 4) in da neenakost velja za vse x iz odseka , je potrebno, da

pri
xЄ (2 a + 4; –3a+ 2) in tako, da neenakost velja za vse x iz segmenta , je nujno, da

Za a = – (ko korenine sovpadajo) ni rešitev, ker v tem primeru ima neenakost obliko: .

odgovor:
.

Primer 5. A neenakost velja za vse negativne vrednosti X?

rešitev:

Funkcija monotono narašča, če je koeficient pri x nenegativen in monotono pada, če je koeficient pri x negativno.

Ugotovimo predznak koeficienta pri

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Naj a≥ 1. Potem funkcija f (x ) ne upada monotono in pogoj problema bo izpolnjen, če f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Skupaj s pogoji a≥ 1; dobimo:

Naj -3< a < 1. Тогда функция f (x ) monotono pada in pogoj problema ne more biti nikoli izpolnjen.

Odgovori:
.

2. Kvadratne enačbe in neenačbe s parametri

Kvadratna funkcija:
.

V nizu realnih števil se ta enačba preučuje z naslednjo shemo.

Primer 1. Pri kakšnih vrednostih a enačbax ² – sekira + 1 = 0 nima pravih korenin?

rešitev:

x ² – sekira + 1 = 0

D = a ² – 4 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Odgovori: pria Є (–2; 2)

Primer 2.Za katere vrednosti a velja enačba A (X ² – X + 1) = 3 X + 5 ima dve različni pravi korenini?

rešitev:

A (X ² – X + 1) = 3 X + 5, A ≠ 0

Oh ² – ah+ a – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( A + 3) X + A – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

odgovor:priaЄ (–1/3; 0)U (0; 9)

Primer 3: Reši enačbo
.

rešitev:

ODZ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

odgovor:
pria Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

ni rešitev zaa = –1; 3.

Primer4 . Reši enačbo | x ²–2 x –3 | = a .

rešitev:

Poglejmo si funkcije l = | x ²–2 x –3 | inl = a .

pri a < 0 brez rešitev;
pri a = 0 in a> 4 dve rešitvi;
ob 0< a < 4 – четыре решения;
pri a= 4 – tri rešitve.

odgovor:

pri a < 0 нет решений;
pri a= 0 in a> 4 dve rešitvi;
ob 0< a < 4 – четыре решения;
pri a= 4 – tri rešitve.

Primer 5.Poiščite vse vrednosti a , za vsako od katerih enačba | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
ima natanko dva korena. Če takšne vrednosti a več kot enega, v odgovoru navedite njihov izdelek.

rešitev:

Razširimo kvadratni trinom x ²–( a +2) x +2 a z množitelji.
;
;
;

Dobimo | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Ta enačba je enakovredna množici

Zato ima ta enačba točno dva korena if a+ 3 = 2 in a – 3 = 2.
Od tu ugotovimo, da so želene vrednosti a so a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

odgovor: –5.

Primer 6.Poiščite vse vrednosti a , za katere so koreni enačbe sekira ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 so pozitivni.

rešitev:

Kontrolna točka a= 0, ker spremeni bistvo enačbe.

1. a = 0 –2x + = 0;

odgovor: a Є U .

Primer 7.prikakšne vrednosti parametrov a enačba | x ² – 4 x + 3 | = sekira ima 3 korenine.

rešitev:

Zgradimo funkcijske grafe l = | x ² – 4 x + 3 | in l = sekira .

Funkcija je grafično prikazana na segmentu
.
Ta enačba bo imela tri korenine, če je graf funkcije l = sekira bo tangentna na graf l = x ²+ 4 x – 3 na
segment

Tangentna enačba ima obliko l = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



Ker tangentna enačba l = a, dobimo sistem enačb

Ker x 0 Є ,

odgovor: pri a = 4 – 2
.

Kvadratne neenačbe s parametri

Primer.Poiščite vse vrednosti parametrov a , za vsako izmed katerih so rešitve neenačb
na daljici ni točk.

rešitev:

Najprej rešimo neenakost za vse vrednosti parametra in nato poiščemo tiste, za katere med rešitvami ni niti ene točke segmenta .
Naj
, sekira = t ²

t ≥ 0

Pri takšni zamenjavi spremenljivk se ODZ neenakosti izvede samodejno. x se lahko izrazi skozi t, Če a≠ 0. Torej primer, ko a = 0, bomo obravnavali ločeno.
1.Pustite a = 0, torej X> 0 in dani segment je rešitev.
2.Pustite a≠ 0, torej
in neenakost
bo dobil obliko
,

Rešitev neenačbe je odvisna od vrednosti a, zato moramo upoštevati dva primera.
1) Če a>0, torej
pri
, ali v starih spremenljivkah,

Rešitev ne vsebuje niti ene točke danega segmenta, če in samo če so izpolnjeni pogoji a ≤ 7,

16a≥ 96. Torej, a Є .
2). če A< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). Ker t≥ 0, potem rešitev ni.

odgovor: .

Iracionalne enačbe s parametri

Pri reševanju iracionalnih enačb in neenačb s parametrom je treba najprej upoštevati obseg sprejemljivih vrednosti. Drugič, če sta obe strani neenakosti nenegativni izrazi, potem lahko takšno neenakost kvadriramo, pri čemer ohranimo predznak neenakosti.
V mnogih primerih se iracionalne enačbe in neenačbe po spremembi spremenljivk reducirajo na kvadratne.

Primer 1. Reši enačbo
.

rešitev:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

če x = a² – 1, potem je pogoj izpolnjen.

odgovor: x = a² – 1 at A≥ 0; ni rešitev za a < 0.

Primer 2: Reši enačbo
.

rešitev:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a–x ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = a–x,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

odgovor:
pri a≥ –3; ni rešitev za a < –3.

Primer 3. Koliko korenin ima enačba?
odvisno od vrednosti parametrov A?

rešitev:

Razpon sprejemljivih vrednosti enačbe: x Є [–2; 2]

Zgradimo grafe funkcij. Graf prve funkcije je zgornja polovica kroga x² + l² = 4. Graf druge funkcije je simetrala prvega in drugega koordinatnega kota. Od grafa prve funkcije odštejemo graf druge in dobimo graf funkcije
. Če zamenjate pri na A, potem je zadnji graf funkcije niz točk (x; a), ki ustrezajo prvotni enačbi.

Glede na graf vidimo odgovor.

odgovor: pri AЄ (–∞; –2) U (1; +∞), brez korenin;

pri AЄ [–2; 2), dve korenini;

pri A= 1, en koren.

Primer 4. Pri katerih vrednostih parametrov A enačba
ima eno samo rešitev?

rešitev:

1. metoda (analitična):

odgovor:

2. način (grafični):

odgovor: za a ≥ –2 ima enačba enolično rešitev

Primer 5. Za katere vrednosti parametra a ima enačba = 2 + x edinstveno rešitev.

rešitev:

Razmislimo o grafični različici rešitve te enačbe, to je, zgradili bomo dve funkciji:
pri 1 = 2 + X in pri 2 =

Prva funkcija je linearna in poteka skozi točki (0; 2) in (–2; 0).
Graf druge funkcije vsebuje parameter. Najprej si oglejmo graf te funkcije pri A= 0 (slika 1). Pri spreminjanju vrednosti parametra se graf premika vzdolž osi OH z ustrezno vrednostjo na levi (za pozitivno A) ali v desno (za negativno A) (slika 2)

Iz slike je razvidno, da kdaj A < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

odgovor: pri a≥ –2 ima enačba edinstveno rešitev.

Trigonometrične enačbe s parametri.

Primer 1.Reši enačbo greh (– x + 2 x – 1) = b + 1.

rešitev:

Glede na nenavadnost funkcije
, reduciramo to enačbo na ekvivalent
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Ni rešitev.

5. bЄ(–1; 0)

6. bЄ(–2; –1)

Primer 2.Poiščite vse vrednosti parametra p, za katere velja enačba
nima rešitev.

rešitev:

Izrazimo cos 2 x skozi sinx.

Naj
potem se je naloga zmanjšala na iskanje vseh vrednosti str, za katere enačba nima rešitev na [–1; 1]. Enačbe ne moremo rešiti algoritemsko, zato bomo problem rešili z grafom. Zapišimo enačbo v obliki , zdaj pa še skico grafa leve strani
enostaven za gradnjo.
Enačba nima rešitev, če je premica l = str+ 9 ne seka grafa na intervalu [–1; 1], tj.

odgovor:str Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Sistemi enačb s parametri

Sistemi dveh linearnih enačb s parametri

Sistem enačb

Rešitve sistema dveh linearnih enačb so presečišča dveh ravnih črt: in .

Možni so 3 primeri:

1. Premice niso vzporedne . Potem njuni normalni vektorji niso vzporedni, tj. . V tem primeru ima sistem edina rešitev.

2. Premice so vzporedne in ne sovpadajo. Tedaj sta njuna normalna vektorja vzporedna, premiki pa so različni, tj. .

V tem primeru sistem nima rešitve .

3. Ravne črte sovpadajo. Potem sta njuna normalna vektorja vzporedna in premiki sovpadajo, tj. . V tem primeru ima sistem neskončno veliko rešitev - vse točke črte .

Poročilo o GSO učitelja matematike na srednji šoli MBOU št. 9

Molchanova Elena Vladimirovna

"Priprava na enotni državni izpit iz matematike: težave s parametri."

Ker v šolskih učbenikih ni definicije parametra, predlagam, da za osnovo vzamemo naslednjo najpreprostejšo različico.

Opredelitev . Parameter je neodvisna spremenljivka, katere vrednost v problemu velja za dano fiksno ali poljubno realno število ali število, ki pripada vnaprej določenemu nizu.

Kaj pomeni "rešiti problem s parametrom"?

Seveda je to odvisno od vprašanja v problemu. Če je na primer treba rešiti enačbo, neenačbo, sistem ali niz le-teh, potem to pomeni predložitev utemeljenega odgovora bodisi za katero koli vrednost parametra bodisi za vrednost parametra, ki pripada vnaprej določenemu nizu. .

Če morate najti vrednosti parametrov, za katere nabor rešitev enačbe, neenakosti itd. Zadovoljuje deklarirani pogoj, potem je očitno rešitev problema sestavljena iz iskanja določenih vrednosti parametrov.

Bralec bo po branju primerov reševanja problemov na naslednjih straneh razvil preglednejše razumevanje tega, kaj pomeni rešiti problem s parametrom.

Katere so glavne vrste težav s parametri?

Vrsta 1. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in nizi, ki jih je treba rešiti za katero koli vrednost parametra (parametrov) ali za vrednosti parametrov, ki pripadajo vnaprej določenemu nizu.

Ta vrsta problema je osnovna pri obvladovanju teme "Problemi s parametri", saj vloženo delo vnaprej določa uspeh pri reševanju problemov vseh drugih osnovnih vrst.

Vrsta 2. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in množice, za katere je potrebno določiti število rešitev glede na vrednost parametra (parametrov).

Opozarjam vas na dejstvo, da pri reševanju tovrstnih problemov ni treba niti reševati danih enačb, neenačb, njihovih sistemov in kombinacij itd., niti podajati teh rešitev; V večini primerov je tako dodatno delo taktična napaka, ki vodi v nepotrebno izgubo časa. Vendar tega ne smemo absolutizirati, saj je včasih neposredna rešitev v skladu s tipom 1 edini razumen način za pridobitev odgovora pri reševanju problema tipa 2.

Vrsta 3. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in zbirke, za katere je potrebno najti vse tiste vrednosti parametrov, za katere imajo navedene enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in zbirke dano število rešitev (zlasti nimajo ali imajo neskončno število rešitev).

Zlahka je videti, da so problemi tipa 3 v nekem smislu obratni problemom tipa 2.

Vrsta 4. Enačbe, neenačbe, njihovi sistemi in množice, pri katerih za zahtevane vrednosti parametra množica rešitev izpolnjuje podane pogoje v domeni definicije.

Na primer, poiščite vrednosti parametrov, pri katerih:

1) enačba je izpolnjena za katero koli vrednost spremenljivke iz danega intervala;
2) množica rešitev prve enačbe je podmnožica množice rešitev druge enačbe itd.

Komentiraj. Raznolikost problemov s parametrom pokriva celoten potek šolske matematike (tako algebre kot geometrije), velika večina pa jih na zaključnih in sprejemnih izpitih sodi v eno od štirih naštetih vrst, ki jih zato imenujemo osnovne.

Najbolj razširjen razred problemov s parametrom so problemi z eno neznanko in enim parametrom. Naslednji odstavek navaja glavne načine reševanja problemov tega razreda.

Kateri so glavni načini (metode) reševanja problemov s parametrom?

Metoda I (analitično). To je metoda tako imenovane direktne rešitve, ki ponavlja standardne postopke iskanja odgovora v problemih brez parametra. Včasih pravijo, da je to metoda prisilne, v dobrem smislu »arogantne« rešitve.

Komentiraj. Analitična metoda reševanja problemov s parametrom je najtežja metoda, ki zahteva visoko pismenost in največ truda za njeno obvladovanje.

Metoda II (grafični). Odvisno od naloge (s spremenljivko x in parametroma ) grafi se obravnavajo v koordinatni ravnini (x; y) ali v koordinatni ravnini (x;a ).

Komentiraj. Izjemna jasnost in lepota grafične metode reševanja problemov s parametrom tako očara študente teme "Problemi s parametrom", da začnejo ignorirati druge metode reševanja in pozabljajo na dobro znano dejstvo: za kateri koli razred problemov , lahko njihovi avtorji oblikujejo tisto, ki je briljantno rešena na ta način in z ogromnimi težavami na druge načine. Zato je na začetni stopnji študija nevarno začeti z grafičnimi tehnikami za reševanje problemov s parametrom.

Metoda III (odločitev glede parametra). Pri takem reševanju se predpostavi, da sta spremenljivki x in a enaki, izbere pa se tista spremenljivka, glede na katero je analitična rešitev enostavnejša. Po naravnih poenostavitvah se vrnemo k prvotnemu pomenu spremenljivk x in a ter dopolnimo rešitev.

Zdaj bom prešel na predstavitev teh metod za reševanje problemov s parametrom, saj je to moja najljubša metoda za reševanje problemov te vrste.

Po analizi vseh nalog s parametri, rešenimi grafično, začnem svoje seznanjanje s parametri z nalogami enotnega državnega izpita B7 2002:

pri kakšna je celoštevilska vrednost za enačbo 45x – 3x 2 - X 3 + 3k = 0 ima točno dva korena?

Te naloge omogočajo, prvič, da se spomnimo, kako zgraditi grafe z uporabo izpeljanke, in drugič, da razložimo pomen ravne črte y = k.

V naslednjih razredih uporabljam izbor lahkih in srednjih tekmovalnih problemov s parametri za pripravo na enotni državni izpit, enačbe z modulom. Te naloge lahko priporočimo učiteljem matematike kot izhodiščni sklop vaj za učenje dela s parametrom pod znakom modula. Večina številk je rešenih grafično in učitelju dajejo pripravljen načrt učne ure (ali dveh učnih ur) z močnim učencem. Začetna priprava na enotni državni izpit iz matematike z uporabo vaj, ki so po kompleksnosti blizu realnim številkam C5. Številne predlagane naloge so vzete iz gradiva za pripravo na enotni državni izpit 2009, nekatere pa iz interneta iz izkušenj kolegov.

1) Določite vse vrednosti parametrovstr , za katero velja enačba ima 4 korenine?
odgovor:

2) Pri katerih vrednostih parametraA enačba nima rešitve?
odgovor:

3) Poiščite vse vrednosti a, za vsako od katerih enačba ima točno 3 korenine?
Odgovor: a=2

4) Pri katerih vrednostih parametrovb enačba ima eno samo rešitev? odgovor:

5) Poiščite vse vrednostim , za katero velja enačba nima rešitev.
odgovor:

6) Poiščite vse vrednosti a, za katere velja enačba ima točno 3 različne korenine. (Če obstaja več kot ena vrednost a, potem v svoj odgovor zapišite njihovo vsoto.)

Odgovor: 3

7) Pri katerih vrednostihb enačba ima točno 2 rešitvi?
odgovor:

8) Določite te parametrek , za katero velja enačba ima vsaj dve rešitvi.
odgovor:

9) Pri katerih vrednostih parametrovstr enačba ima samo eno rešitev?
odgovor:

10) Poiščite vse vrednosti a, za vsako od katerih enačba (x + 1)ima točno 2 korena? Če obstaja več vrednosti a, potem v odgovor zapišite njihovo vsoto.

Odgovor: - 3

11) Poiščite vse vrednosti a, za katere enačba ima točno 3 korenine? (Če obstaja več kot ena vrednost a, potem v odgovor zapišite njihovo vsoto).

Odgovor: 4

12) Pri kateri najmanjši naravni vrednosti parametra a je enačba – = 11 ima samo pozitivne korenine?

Odgovor: 19

13) Poiščite vse vrednosti a, za vsako od katerih enačba = 1 ima točno 3 korenine? (Če obstaja več kot ena vrednost a, potem v svoj odgovor zapišite njihovo vsoto).

Odgovor: - 3

14) Določite naslednje vrednosti parametrovt , za katero velja enačba ima 4 različne rešitve. odgovor:

15) Poiščite te parametrem , za katero velja enačba ima dve različni rešitvi. odgovor:

16) Pri katerih vrednostih parametrastr enačba ima točno 3 ekstreme? odgovor:

17) Navedite vse možne parametre n, za katere je funkcija ima točno eno minimalno točko. odgovor:

Objavljeni komplet redno uporabljam za delo s sposobnim, a ne najmočnejšim študentom, ki si kljub temu prizadeva doseči visoko oceno enotnega državnega izpita z reševanjem številke C5. Učitelj takšnega učenca pripravi v več fazah, pri čemer mu dodeli ločene ure za urjenje posameznih veščin, potrebnih za iskanje in izvajanje dolgoročnih rešitev. Ta izbor je primeren za fazo oblikovanja idej o plavajočih vzorcih, odvisno od parametra. Številki 16 in 17 temeljita na modelu realne enačbe s parametrom na enotnem državnem izpitu 2011. Naloge so razvrščene po naraščajoči zahtevnosti.

Naloga C5 iz matematike Enotni državni izpit 2012

Tukaj imamo tradicionalni problem parametrov, ki zahteva zmerno obvladovanje snovi in ​​uporabo več lastnosti in izrekov. Ta naloga je ena najtežjih nalog na enotnem državnem izpitu iz matematike. Zasnovan je predvsem za tiste, ki nameravajo nadaljevati izobraževanje na univerzah s povečanimi zahtevami za matematično pripravo kandidatov. Za uspešno reševanje problema je pomembno, da svobodno operiramo s preučenimi definicijami, lastnostmi, izreki, jih uporabimo v različnih situacijah, analiziramo stanje in iščemo možne rešitve.

Na spletnem mestu za pripravo na enotni državni izpit Aleksandra Larina od 5. 11. 2012 so bile ponujene možnosti usposabljanja št. 1 - 22 z nalogami na ravni "C", nekatere od njih C5 so bile podobne nalogam, ki so bile na resničnem izpit. Na primer, poiščite vse vrednosti parametra a, za vsako od katerih so grafi funkcijf(x) = ing(x) = a(x + 5) + 2 nimata skupnih točk?

Poglejmo rešitev naloge C5 iz izpita 2012.

Naloga C5 iz Enotnega državnega izpita 2012

Za katere vrednosti parametra a velja enačba ima vsaj dve korenini.

Rešimo ta problem grafično. Narišimo levo stran enačbe: in graf na desni strani:in formulirajte problemsko vprašanje na naslednji način: pri katerih vrednostih parametra a so grafi funkcij inimajo dve ali več skupnih točk.

Na levi strani prvotne enačbe ni nobenega parametra, zato lahko funkcijo narišemo.

Ta graf bomo zgradili z uporabo funkcije:

1. Premakni graf funkcije3 enote navzdol vzdolž osi OY dobimo graf funkcije:

2. Narišimo funkcijo . Če želite to narediti, del grafa funkcije , ki se nahaja pod osjo OX, bo prikazan simetrično glede na to os:

Torej, graf funkcijeima obliko:

Graf funkcije

1. Naloga.
Pri katerih vrednostih parametrov a enačba ( a - 1)x 2 + 2x + a- Ali ima 1 = 0 točno en koren?

1. Rešitev.
pri a= 1 je enačba 2 x= 0 in ima očitno en koren x= 0. Če ašt. 1, potem je ta enačba kvadratna in ima en koren za tiste vrednosti parametrov, pri katerih je diskriminanta kvadratnega trinoma enaka nič. Če diskriminanco izenačimo z nič, dobimo enačbo za parameter a 4a 2 - 8a= 0, od koder a= 0 oz a = 2.

1. Odgovor: enačba ima en sam koren pri a O (0; 1; 2).

2. Naloga.
Poiščite vse vrednosti parametrov a, za katero ima enačba dva različna korena x 2 +4sekira+8a+3 = 0.
2. Rešitev.
Enačba x 2 +4sekira+8a+3 = 0 ima dva različna korena, če in samo če D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Dobimo (po zmanjšanju za skupni faktor 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, od koder

2. Odgovor:

3. Naloga.
Znano je, da
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Narišite graf funkcije f 1 (x) pri a = 1.
b) V kakšni vrednosti a funkcijski grafi f 1 (x) In f 2 (x) imajo eno skupno točko?

3. Rešitev.
3.a. Preobrazimo se f 1 (x), kot sledi
Graf te funkcije pri a= 1 je prikazano na sliki na desni.
3.b. Naj takoj opozorimo, da so grafi funkcij l = kx+b in l = sekira 2 +bx+c (ašt. 0) sekajo v eni sami točki, če in samo če je kvadratna enačba kx+b = sekira 2 +bx+c ima en sam koren. Uporaba Pogleda f 1 od 3.a, izenačimo diskriminanto enačbe a = 6x-x 2-6 proti nič. Iz enačbe 36-24-4 a= 0 dobimo a= 3. Naredite enako z enačbo 2 x-a = 6x-x 2-6 bomo našli a= 2. Preprosto je preveriti, ali te vrednosti parametrov izpolnjujejo pogoje problema. odgovor: a= 2 oz a = 3.

4. Naloga.
Poiščite vse vrednosti a, za katerega je množica rešitev neenačbe x 2 -2sekira-3a i 0 vsebuje segment .

4. Rešitev.
Prva koordinata vrha parabole f(x) = x 2 -2sekira-3a enako x 0 = a. Iz lastnosti kvadratne funkcije pogoj f(x) i 0 na segmentu je enakovreden nizu treh sistemov
ima točno dve rešitvi?

5. Rešitev.
Zapišimo to enačbo v obliki x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. To je kvadratna enačba, ki ima natanko dve rešitvi, če je njena diskriminanta strogo večja od nič. Z izračunom diskriminante ugotovimo, da je pogoj za prisotnost natanko dveh korenin izpolnitev neenakosti a 2 +a-6 > 0. Reševanje neenačbe najdemo a < -3 или a> 2. Prva od neenačb očitno nima rešitev v naravnih številih, najmanjša naravna rešitev druge pa je število 3.

5. Odgovor: 3.

6. Težava (10 tipk)
Poiščite vse vrednosti a, za katerega je graf funkcije ali po očitnih transformacijah a-2 = | 2-a| . Zadnja enačba je enakovredna neenakosti a jaz 2.

6. Odgovor: a O )