Vzporednost dveh premic lahko dokažemo na podlagi izreka, po katerem bosta dve navpičnici, narisani na eno premico, vzporedni. Obstajajo določeni znaki vzporednosti črt - trije so in vse bomo podrobneje obravnavali.
Prvi znak paralelizma
Črte so vzporedne, če bodo notranji koti, ki nastanejo navzkrižno, enaki, ko sekajo tretjo črto.
Recimo, da ko se premice AB in CD sekata s premico EF, nastaneta kota /1 in /2. Enaki sta, saj premica EF poteka pod enim naklonom glede na drugi dve premici. Kjer se črte sekajo, postavimo točke Ki L - imamo sekantni segment EF. Poiščemo njegovo sredino in postavimo točko O (slika 189).
Iz točke O spustimo navpično na premico AB. Navpičnico nadaljujemo, dokler ne preseka premice CD. Posledično je prvotna premica AB strogo pravokotna na MN, kar pomeni, da je tudi CD_|_MN, vendar ta trditev zahteva dokaz. Kot rezultat risanja pravokotnice in presečišča smo oblikovali dva trikotnika. Eden od njih je MOJ, drugi je NOK. Oglejmo si jih podrobneje. znaki vzporednih daljic 7. razred
Ti trikotniki so enaki, saj je v skladu s pogoji izreka /1 =/2 in v skladu s konstrukcijo trikotnikov stranica OK = stranica OL. Kot MOL =/NOK, saj so to navpični koti. Iz tega sledi, da so stranica in oba kota enega od trikotnikov enaki strani in kotoma drugega trikotnika. Tako je trikotnik MOL = trikotnik NOK in torej kot LMO = kot KNO, vemo pa, da je /LMO ravna, kar pomeni, da je tudi ustrezni kot KNO pravi. To pomeni, da smo lahko dokazali, da sta premica AB in premica CD pravokotni na premico MN. To pomeni, da sta AB in CD vzporedna. To smo morali dokazati. Razmislimo o preostalih znakih vzporednosti premic (7. razred), ki se od prvega znaka razlikujejo po načinu dokazovanja.
Drugi znak paralelizma
Po drugem kriteriju vzporednosti premic moramo dokazati, da bodo koti, dobljeni v procesu preseka vzporednih premic AB in CD premice EF, enaki. Tako znaki vzporednosti dveh črt, tako prve kot druge, temeljijo na enakosti kotov, ki jih dobimo, ko ju seka tretja črta. Predpostavimo, da je /3 = /2 in kot 1 = /3, ker je navpičen nanj. Tako bosta in /2 enaka kotu 1, vendar je treba upoštevati, da sta tako kot 1 kot 2 notranja, navzkrižno ležeča kota. Posledično nam preostane le, da uporabimo svoje znanje, in sicer, da bosta dva odseka vzporedna, če sta, ko sekata tretjo premico, nastala navzkrižna kota enaka. Tako smo ugotovili, da je AB || CD.
Uspelo nam je dokazati, da je pod pogojem, da sta dve navpičnici na eno premico vzporedni, po ustreznem izreku predznak vzporednosti premic očiten.
Tretji znak vzporednosti
Obstaja še tretje znamenje vzporednosti, ki ga dokazuje vsota enakostranskih notranjih kotov. Ta dokaz znaka vzporednosti premic nam omogoča, da sklepamo, da bosta premici vzporedni, če bo vsota dobljenih enostranskih notranjih kotov, ko sekata tretjo premico, enaka 2d. Glej sliko 192.
Najprej si poglejmo razliko med pojmi znak, lastnost in aksiom.
Definicija 1
Podpis imenujejo določeno dejstvo, s katerim je mogoče ugotoviti resničnost sodbe o predmetu zanimanja.
Primer 1
Premice so vzporedne, če tvorijo njihove prečnice enake navzkrižne kote.
Definicija 2
Lastnina se oblikuje v primeru, ko obstaja zaupanje v pravičnost sodbe.
Primer 2
Kadar sta vzporednici vzporedni, tvorita njuni prečnici enake navzkrižne kote.
Definicija 3
Aksiom imenujejo izjavo, ki ne zahteva dokaza in je brez njega sprejeta kot resnica.
Vsaka znanost ima aksiome, na katerih temeljijo kasnejše sodbe in njihovi dokazi.
Aksiom vzporednih premic
Včasih je aksiom o vzporednih premicah sprejet kot ena od lastnosti vzporednih premic, hkrati pa na njegovi veljavnosti temeljijo drugi geometrijski dokazi.
1. izrek
Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko na ravnini potegnemo samo eno premico, ki bo vzporedna z dano.
Aksiom ne zahteva dokaza.
Lastnosti vzporednih premic
2. izrek
Lastnina1. Lastnost tranzitivnosti vzporednih premic:
Ko je ena od dveh vzporednih premic vzporedna s tretjo, bo druga premica vzporedna z njo.
Lastnosti zahtevajo dokazilo.
Dokaz:
Naj obstajata dve vzporedni premici $a$ in $b$. Premica $c$ je vzporedna s premico $a$. Preverimo, ali bo v tem primeru tudi premica $c$ vzporedna s premico $b$.
Da bi to dokazali, bomo uporabili nasprotni predlog:
Predstavljajmo si, da je možno, da je premica $c$ vzporedna z eno od premic, na primer premico $a$, in seka drugo premico, premico $b$, v neki točki $K$.
Dobimo protislovje po aksiomu vzporednih premic. Posledica tega je situacija, v kateri se dve premici sekata v eni točki, poleg tega vzporedno z isto premico $a$. Ta situacija je nemogoča, zato se premice $b$ in $c$ ne moreta sekati.
Tako je bilo dokazano, da če je ena od dveh vzporednih premic vzporedna s tretjo premico, potem je druga premica vzporedna s tretjo premico.
Izrek 3
Lastnost 2.
Če eno od dveh vzporednih premic seka tretja, jo bo sekala tudi druga premica.
Dokaz:
Naj obstajata dve vzporedni premici $a$ in $b$. Naj obstaja tudi neka premica $c$, ki seka eno od vzporednih premic, na primer premica $a$. Pokazati je treba, da premica $c$ seka tudi drugo premico, premico $b$.
Konstruirajmo dokaz s protislovjem.
Predstavljajmo si, da premica $c$ ne seka premice $b$. Skozi točko $K$ potekata premici $a$ in $c$, ki ne sekata premice $b$, tj. sta z njo vzporedni. Toda ta situacija je v nasprotju z aksiomom vzporednih črt. To pomeni, da je bila predpostavka napačna in bo premica $c$ sekala premico $b$.
Izrek je dokazan.
Lastnosti vogalov, ki tvorita dve vzporedni premici in sekanto: nasprotna kota sta enaka, ustrezna kota enaka, * je vsota enostranskih kotov $180^(\circ)$.
Primer 3
Dani sta dve vzporedni premici in tretja premica, pravokotna na eno od njiju. Dokaži, da je ta premica pravokotna na drugo od vzporednih premic.
Dokaz.
Imejmo premici $a \parallel b$ in $c \perp a$.
Ker premica $c$ seka premico $a$, potem bo po lastnosti vzporednosti sekala tudi premico $b$.
Sekanta $c$, ki seka vzporednici $a$ in $b$, tvori z njima navzkrižno enake notranje kote.
Ker $c \perp a$, potem bosta kota $90^(\circ)$.
Zato je $c \perp b$.
Dokaz je popoln.
AB in ZD prečka tretja ravna črta MN, potem koti, ki nastanejo v tem primeru, dobijo naslednja imena v parih:ustreznih kotov: 1 in 5, 4 in 8, 2 in 6, 3 in 7;
notranji navzkrižni koti: 3 in 5, 4 in 6;
zunanji navzkrižni koti: 1 in 7, 2 in 8;
notranji enostranski koti: 3 in 6, 4 in 5;
zunanji enostranski vogali: 1 in 8, 2 in 7.
Torej, ∠ 2 = ∠ 4 in ∠ 8 = ∠ 6, vendar glede na to, kar je bilo dokazano, ∠ 4 = ∠ 6.
Zato je ∠ 2 = ∠ 8.
3. Ustrezni koti 2 in 6 sta enaka, saj je ∠ 2 = ∠ 4 in ∠ 4 = ∠ 6. Prepričajmo se tudi, da so ostali ustrezni koti enaki.
4. vsota notranji enostranski koti 3 in 6 bosta 2d, ker je vsota sosednji vogali 3 in 4 je enako 2d = 180 0, ∠ 4 pa lahko nadomestimo z enakim ∠ 6. Prepričamo se tudi, da vsota kotov 4 in 5 je enako 2d.
5. vsota zunanji enostranski vogali bo 2d, ker sta ta kota enaka notranji enostranski koti kot vogali navpično.
Iz zgornje dokazane utemeljitve dobimo nasprotni izreki.
Ko na presečišču dveh premic s poljubno tretjo premico dobimo, da:
1. Notranji navzkrižni koti so enaki;
ali 2. Zunanji navzkrižni koti so enaki;
ali 3. Ustrezna kota sta enaka;
ali 4. Vsota notranjih enostranskih kotov je 2d = 180 0;
ali 5. Vsota zunanjih enostranskih je 2d = 180 0 ,
potem sta prvi dve črti vzporedni.
Znaki vzporednosti dveh premic
Izrek 1. Če se dve premici sekata s sekanto:
prekrižani koti enaki, oz
ustrezna kota enaka oz
vsota enostranskih kotov je 180°, torej
črte so vzporedne(slika 1).
Dokaz. Omejili smo se na dokazovanje primera 1.
Naj bosta presečni premici a in b navzkrižni in kota AB enaka. Na primer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo, da je a || b.
Recimo, da premici a in b nista vzporedni. Nato se sekata v neki točki M in zato bo eden od kotov 4 ali 6 zunanji kot trikotnika ABM. Za določnost naj bo ∠ 4 zunanji kot trikotnika ABM, ∠ 6 pa notranji. Iz izreka o zunanjem kotu trikotnika sledi, da je ∠ 4 večji od ∠ 6, to pa je v nasprotju s pogojem, kar pomeni, da se premici a in 6 ne moreta sekat, torej sta vzporedni.
Posledica 1. Dve različni premici v ravnini, pravokotni na isto premico, sta vzporedni(slika 2).
Komentiraj. Način, kako smo pravkar dokazali primer 1 izreka 1, se imenuje metoda dokaza s protislovjem ali redukcija na absurd. Ta metoda je dobila svoje prvo ime, ker je na začetku argumenta postavljena predpostavka, ki je v nasprotju (nasprotju) s tem, kar je treba dokazati. Imenuje se privedba do absurda zaradi dejstva, da z razmišljanjem na podlagi postavljene predpostavke pridemo do absurdnega zaključka (do absurda). Prejem takega sklepa nas prisili, da zavrnemo prvotno predpostavko in sprejmemo tisto, ki jo je bilo treba dokazati.
Naloga 1. Konstruirajte premico, ki poteka skozi dano točko M in je vzporedna z dano premico a, ne pa skozi točko M.
rešitev. Skozi točko M narišemo premico p pravokotno na premico a (slika 3).
Nato skozi točko M narišemo premico b pravokotno na premico p. Premica b je vzporedna s premico a glede na posledico izreka 1.
Iz obravnavanega problema sledi pomemben sklep:
skozi točko, ki ne leži na dani premici, je vedno mogoče narisati premico, ki je vzporedna z dano.
Glavna lastnost vzporednih črt je naslednja.
Aksiom vzporednih premic. Skozi dano točko, ki ne leži na dani premici, teče le ena premica, vzporedna z dano premico.
Oglejmo si nekaj lastnosti vzporednih premic, ki izhajajo iz tega aksioma.
1) Če premica seka eno od dveh vzporednih premic, potem seka tudi drugo (slika 4).
2) Če sta dve različni premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni (slika 5).
Prav tako velja naslednji izrek.
Izrek 2. Če dve vzporedni premici seka prečnica, velja:
navzkrižni koti so enaki;
ustrezna kota sta enaka;
vsota enostranskih kotov je 180°.
Posledica 2. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo(glej sliko 2).
Komentiraj. Izrek 2 se imenuje inverz izreka 1. Zaključek izreka 1 je pogoj izreka 2. In pogoj izreka 1 je sklep izreka 2. Vsak izrek nima inverza, to je, če je dani izrek res, potem je inverzni izrek lahko napačen.
Razložimo to na primeru izreka o navpičnih kotih. Ta izrek je mogoče formulirati na naslednji način: če sta dva kota navpična, potem sta enaka. Obratni izrek bi bil: če sta dva kota enaka, potem sta navpična. In to seveda ne drži. Ni nujno, da sta dva enaka kota navpična.
Primer 1. Dve vzporedni črti seka tretja. Znano je, da je razlika med dvema notranjima enostranskima kotoma 30°. Poišči te kote.
rešitev. Naj slika 6 izpolnjuje pogoj.
Video lekcija "Znaki za vzporednost dveh premic" vsebuje dokaz izrekov, ki opisujejo znake, ki označujejo vzporednost premic. Hkrati video opisuje 1) izrek o vzporednosti premic, pri katerem enake kote tvori prečnica, 2) znak, ki pomeni vzporednost dveh premic - pri enakih tvorjenih ustreznih kotih, 3) a znak, ki pomeni vzporednost dveh premic v primeru, ko se sekanta s sekanto seštejeta kota 180°. Namen te video lekcije je seznaniti učence z znaki, ki pomenijo vzporednost dveh premic, katerih poznavanje je potrebno za reševanje številnih praktičnih problemov, nazorno predstaviti dokaz teh izrekov in razviti spretnosti pri dokazovanju geometrijskih trditev.
Prednosti video lekcije so povezane z dejstvom, da s pomočjo animacije, glasovne spremljave in zmožnosti barvnega poudarjanja zagotavlja visoko stopnjo jasnosti in lahko služi kot nadomestilo za predstavitev standardnega bloka. novo učno gradivo učitelja.
Video lekcija se začne z naslovom, prikazanim na zaslonu. Pred opisom znakov vzporednih premic se učenci seznanijo s pojmom sekante. Sekant je definiran kot premica, ki seka druge premice. Na zaslonu sta prikazani dve premici a in b, ki se sekata s premico c. Konstruirana premica c je označena z modro, kar poudari dejstvo, da je sekans danih premic a in b. Da bi upoštevali znake vzporednosti črt, se je treba bolje seznaniti z območjem presečišča črt. Sekans na presečiščih s premicami tvori 8 kotov ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, z analizo razmerij katerih je mogoče izpeljati znake vzporednost teh vrstic. Upoštevajte, da se koti ∠3 in ∠5 ter ∠2 in ∠4 imenujejo navzkrižni. Podana je podrobna razlaga z uporabo animacije razporeditve navzkrižnih kotov kot kotov, ki ležijo med vzporednimi premicami in navzkrižno ležečimi premicami. Nato se uvede pojem enostranskih kotov, ki vključuje para ∠4 in ∠5 ter ∠3 in ∠6. Navedeni so tudi pari ustreznih kotov, od katerih so na konstruirani sliki 4 pari - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
Naslednji del video lekcije obravnava tri znake vzporednosti poljubnih dveh premic. Na zaslonu se prikaže prvi opis. Izrek pravi, da če so navzkrižni koti, ki jih tvori transverzala, enaki, bodo dane premice vzporedne. Izjavo spremlja risba, ki prikazuje dve premici a in b ter sekanto AB. Upoštevajte, da sta navzkrižno oblikovana kota ∠1 in ∠2 med seboj enaka. Ta izjava zahteva dokaz.
Poseben primer je najlažje dokazati, ko so podani navzkrižni koti pravi koti. To pomeni, da je sekans pravokoten na premici in po že dokazanem izreku se v tem primeru premici a in b ne bosta sekali, torej sta vzporedni. Dokaz za ta konkreten primer je opisan na primeru slike, zgrajene ob prvi sliki, pri čemer so pomembne podrobnosti dokaza poudarjene z animacijo.
Da bi to dokazali v splošnem primeru, je treba iz sredine segmenta AB potegniti dodatno navpičnico na premico a. Nato je segment BH 1, ki je enak segmentu AN, položen na ravni črti b. Iz nastale točke H 1 se nariše segment, ki povezuje točki O in H 1. Nato obravnavamo dva trikotnika ΔОНА in ΔОВН 1, katerih enakost dokazuje prvi kriterij za enakost dveh trikotnikov. Stranici OA in OB sta konstrukcijsko enaki, saj smo točko O označili kot sredino odseka AB. Stranici HA in H 1 B sta tudi konstrukcijsko enaki, saj smo odložili segment H 1 B, enak HA. In koti so ∠1=∠2 glede na pogoje problema. Ker so nastali trikotniki med seboj enaki, so med seboj enaki tudi pripadajoči preostali pari kotov in stranic. Iz tega sledi, da je segment OH 1 nadaljevanje segmenta OH, ki sestavlja en segment HH 1. Opozoriti je treba, da ker je konstruirani segment OH pravokoten na ravno črto a, potem je v skladu s tem segment HH 1 pravokoten na ravni črti a in b. To dejstvo pomeni z uporabo izreka o vzporednosti premic, na katere je zgrajena ena pravokotnica, da sta dani premici a in b vzporedni.
Naslednji izrek, ki zahteva dokaz, je znak enakosti vzporednih premic z enakostjo ustreznih kotov, ki nastanejo pri sekanju prečnice. Trditev tega izreka je prikazana na zaslonu in jo učenci lahko predlagajo v zapis. Dokaz se začne s konstrukcijo na zaslonu dveh vzporednih premic a in b, na kateri je sekanta c. Na sliki označeno modro. Sekanta tvori ustrezna kota ∠1 in ∠2, ki sta po pogoju med seboj enaka. Označena sta tudi sosednja kota ∠3 in ∠4. ∠2 glede na kot ∠3 je navpični kot. In navpični koti so vedno enaki. Poleg tega sta kota ∠1 in ∠3 navzkrižno med seboj ležena - njuna enakost (po že dokazani trditvi) pomeni, da sta premici a in b vzporedni. Izrek je dokazan.
Zadnji del video lekcije je namenjen dokazovanju trditve, da če je vsota enostranskih kotov, ki nastanejo, ko se dve premici sekata s prečno premico, enaka 180°, bosta v tem primeru premici med seboj vzporedni. Dokaz je prikazan s sliko, ki prikazuje premici a in b, ki sekata sekanto c. Kote, ki jih tvori presečišče, označimo podobno kot prejšnji dokaz. Po pogoju je vsota kotov ∠1 in ∠4 enaka 180°. Poleg tega je znano, da je vsota kotov ∠3 in ∠4 enaka 180°, saj sta sosednja. To pomeni, da sta kota ∠1 in ∠3 med seboj enaka. Ta sklep daje pravico trditi, da sta premici a in b vzporedni. Izrek je dokazan.
Video lekcijo "Znaki vzporednosti dveh črt" lahko učitelj uporabi kot samostojen blok, ki prikazuje dokaze teh izrekov, nadomešča učiteljevo razlago ali jo spremlja. Natančna razlaga študentom omogoča uporabo gradiva za samostojno učenje in bo v pomoč pri razlagi snovi pri pouku na daljavo.
