Reševanje enačb z različnimi imenovalci. Enačbe na spletu

Enačbe z ulomki same po sebi niso težke in so zelo zanimive. Oglejmo si vrste ulomkov enačb in kako jih rešiti.

Kako rešiti enačbe z ulomki - x v števcu

Če je podana enačba v ulomku, kjer je neznanka v števcu, rešitev ne zahteva dodatnih pogojev in se reši brez nepotrebnih težav. Splošna oblika takšne enačbe je x/a + b = c, kjer je x neznanka, a, b in c pa navadna števila.

Poiščite x: x/5 + 10 = 70.

Če želite rešiti enačbo, se morate znebiti ulomkov. Vsak člen v enačbi pomnožite s 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x in 5 prekličemo, 10 in 70 pomnožimo s 5 in dobimo: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Poiščite x: x/5 + x/10 = 90.

Ta primer je nekoliko bolj zapletena različica prvega. Tu sta možni dve rešitvi.

1. možnost: Ulomkov se znebimo tako, da vse člene enačbe pomnožimo z večjim imenovalcem, to je z 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
2. možnost: dodajte levo stran enačbe. x/5 + x/10 = 90. Skupni imenovalec je 10. 10 delimo s 5, pomnožimo z x, dobimo 2x. Če delimo 10 z 10, pomnožimo z x, dobimo x: 2x+x/10 = 90. Zato je 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Pogosto se srečujemo z ulomljenimi enačbami, v katerih so x-ji na nasprotnih straneh enačaja. V takšnih situacijah je treba vse ulomke z X premakniti na eno stran, števila pa na drugo stran.

Poiščite x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
Premaknite se 2x/5 v desno z nasprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Zmanjšamo 5x/5 in dobimo: x = 130.

Kako rešiti enačbo z ulomki - x v imenovalcu

Ta vrsta ulomkov enačb zahteva pisanje dodatnih pogojev. Navedba teh pogojev je obvezen in sestavni del pravilne odločitve. Če jih ne dodate, tvegate, saj odgovor (četudi je pravilen) morda preprosto ne bo upoštevan.

Splošna oblika ulomkov enačb, kjer je x v imenovalcu, je: a/x + b = c, kjer je x neznanka, a, b, c so navadna števila. Upoštevajte, da x ne sme biti nobena številka. Na primer, x ne more biti enak nič, ker ga ni mogoče deliti z 0. Ravno to je dodatni pogoj, ki ga moramo navesti. To se imenuje območje dovoljenih vrednosti, skrajšano ODZ.

Poiščite x: 15/x + 18 = 21.

Takoj zapišemo ODZ za x: x ≠ 0. Zdaj, ko je ODZ naveden, rešimo enačbo po standardni shemi in se znebimo ulomkov. Pomnožite vse člene enačbe z x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Pogosto obstajajo enačbe, kjer imenovalec ne vsebuje samo x, ampak tudi kakšno drugo operacijo z njim, na primer seštevanje ali odštevanje.

Poiščite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Vemo že, da imenovalec ne more biti enak nič, kar pomeni x-3 ≠ 0. Premaknemo -3 na desno stran, spremenimo znak »-« v »+« in dobimo, da je x ≠ 3. ODZ je navedeno.

Rešimo enačbo, vse skupaj pomnožimo z x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Premaknite X v desno, številke v levo: 24 = 3x => x = 8.

Za poenostavitev te enačbe se uporabi najmanjši skupni imenovalec. Ta metoda se uporablja, ko dane enačbe ne morete napisati z enim racionalnim izrazom na vsaki strani enačbe (in uporabite navzkrižno metodo množenja). Ta metoda se uporablja, ko vam je podana racionalna enačba s 3 ali več ulomki (v primeru dveh ulomkov je bolje uporabiti navzkrižno množenje).

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov (ali najmanjši skupni večkratnik). NOZ je najmanjše število, ki je enakomerno deljivo z vsakim imenovalcem.

Včasih je NPD očitna številka. Na primer, če je podana enačba: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, potem je očitno, da je najmanjši skupni večkratnik števil 3, 2 in 6 6.
Če NCD ni očiten, zapišite večkratnike največjega imenovalca in med njimi poiščite tistega, ki bo večkratnik ostalih imenovalcev. Pogosto je NOD mogoče najti tako, da preprosto pomnožite dva imenovalca. Na primer, če je enačba podana x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, potem je NOS = 8*9 = 72.
Če en ali več imenovalcev vsebuje spremenljivko, postane postopek nekoliko bolj zapleten (vendar ne nemogoč). V tem primeru je NOC izraz (ki vsebuje spremenljivko), ki je deljen z vsakim imenovalcem. Na primer, v enačbi 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ker je ta izraz deljen z vsakim imenovalcem: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka s številom, ki je enako rezultatu deljenja NOC z ustreznim imenovalcem vsakega ulomka.

V našem primeru torej pomnožite x/3 z 2/2, da dobite 2x/6, in 1/2 pomnožite s 3/3, da dobite 3/6 (ulomka 3x +1/6 ni treba pomnožiti, ker je imenovalec je 6).
Podobno nadaljujte, ko je spremenljivka v imenovalcu. V našem drugem primeru je NOZ = 3x(x-1), torej pomnožite 5/(x-1) s (3x)/(3x), da dobite 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x pomnoženo s 3(x-1)/3(x-1) in dobite 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnoženo z (x-1)/(x-1) in dobite 2(x-1)/3x(x-1).

Poišči x. Zdaj, ko ste ulomke zreducirali na skupni imenovalec, se lahko znebite imenovalca. Če želite to narediti, pomnožite vsako stran enačbe s skupnim imenovalcem. Nato rešite nastalo enačbo, to je, poiščite "x". Če želite to narediti, ločite spremenljivko na eni strani enačbe.

V našem primeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Lahko seštejete 2 ulomka z enakim imenovalcem, zato enačbo zapišite kot: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obe strani enačbe s 6 in se znebite imenovalcev: 2x+3 = 3x +1. Reši in dobiš x = 2.
V našem drugem primeru (s spremenljivko v imenovalcu) enačba izgleda (po redukciji na skupni imenovalec): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Če pomnožite obe strani enačbe z N3, se znebite imenovalca in dobite: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) ali 15x = 3x - 3 + 2x -2, oz. 15x = x - 5 Reši in dobiš: x = -5/14.

Reševanje enačb z ulomki Poglejmo si primere. Primeri so preprosti in nazorni. Z njihovo pomočjo boste lahko razumeli na najbolj razumljiv način.
Na primer, rešiti morate preprosto enačbo x/b + c = d.

Enačba te vrste se imenuje linearna, ker Imenovalec vsebuje samo števila.

Rešitev izvedemo tako, da obe strani enačbe pomnožimo z b, nato dobi enačba obliko x = b*(d – c), tj. imenovalec ulomka na levi strani se izniči.

Na primer, kako rešiti ulomljeno enačbo:
x/5+4=9
Obe strani pomnožimo s 5. Dobimo:
x+20=45
x=45-20=25

Drug primer, ko je neznanka v imenovalcu:

Enačbe te vrste se imenujejo frakcijsko-racionalne ali preprosto frakcijske.

Ulomkovo enačbo bi rešili tako, da bi se znebili ulomkov, nakar se ta enačba največkrat spremeni v linearno ali kvadratno enačbo, ki jo rešujemo na običajen način. Upoštevati morate le naslednje točke:

vrednost spremenljivke, ki spremeni imenovalec v 0, ne more biti koren;
Enačbe ne morete deliti ali pomnožiti z izrazom =0.

Tu začne veljati koncept območja dovoljenih vrednosti (ADV) - to so vrednosti korenin enačbe, za katere je enačba smiselna.

Tako je pri reševanju enačbe potrebno najti korenine in jih nato preveriti glede skladnosti z ODZ. Iz odgovora so izločene tiste korenine, ki ne ustrezajo našemu ODZ.

Na primer, rešiti morate ulomljeno enačbo:

Na podlagi zgornjega pravila x ne more biti = 0, tj. ODZ v tem primeru: x – katera koli vrednost razen nič.

Znebimo se imenovalca tako, da vse člene enačbe pomnožimo z x

In rešimo običajno enačbo

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Rešimo bolj zapleteno enačbo:

ODZ je prisoten tudi tukaj: x -2.

Pri reševanju te enačbe ne bomo vsega premaknili na eno stran in ulomkov spravili na skupni imenovalec. Obe strani enačbe bomo takoj pomnožili z izrazom, ki bo izničil vse imenovalce hkrati.

Če želite zmanjšati imenovalce, morate levo stran pomnožiti z x+2 in desno stran z 2. To pomeni, da je treba obe strani enačbe pomnožiti z 2(x+2):

To je najpogostejše množenje ulomkov, o katerem smo že govorili zgoraj.

Zapišimo isto enačbo, vendar nekoliko drugače

Levo stran zmanjšamo za (x+2), desno pa za 2. Po redukciji dobimo običajno linearno enačbo:

x = 4 – 2 = 2, kar ustreza našemu ODZ

Odgovor: x = 2.

Reševanje enačb z ulomki ni tako težko, kot se morda zdi. V tem članku smo to pokazali s primeri. Če imate kakršne koli težave z kako rešiti enačbe z ulomki, nato pa se odjavite v komentarjih.

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Človek je enačbe uporabljal že v pradavnini, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečala. V 5. razredu učenci matematike preučujejo precej novih tem, ena od njih bodo enačbe v ulomkih. Za mnoge je to precej zapletena tema, ki bi jo morali starši pomagati otrokom razumeti, in če so starši pozabili na matematiko, potem lahko vedno uporabijo spletne programe, ki rešujejo enačbe. Tako lahko z uporabo primera hitro razumete algoritem za reševanje enačb z ulomki in pomagate svojemu otroku.

Spodaj bomo zaradi jasnosti rešili preprosto delno linearno enačbo naslednje oblike:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Za rešitev te vrste enačbe je treba določiti NOS in z njim pomnožiti levo in desno stran enačbe:

\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

To nam daje preprosto linearno enačbo, ker se tako skupni imenovalec kot tudi imenovalec vsakega ulomka izničita:

Premaknimo izraze z neznanko v levo:

Delimo levo in desno stran z -7:

Iz dobljenega rezultata lahko izberemo cel del, ki bo končni rezultat reševanja te ulomljene enačbe:

Kje lahko na spletu rešim enačbe z ulomki?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil reševanje spletnih enačb katere koli zahtevnosti v nekaj sekundah. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite reševati enačbo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Enačba je enačba, ki vsebuje črko, katere vrednost je treba najti.

V enačbah je neznanka običajno predstavljena z malo začetnico. Najpogosteje uporabljeni črki sta "x" [ix] in "y" [y].

Koren enačbe- to je vrednost črke, pri kateri dobimo pravilno številsko enakost iz enačbe.

Reši enačbo- pomeni najti vse njegove korenine ali se prepričati, da ni nobenih korenin.

Po rešitvi enačbe vedno zapišemo ček za odgovorom.

Informacije za starše

Spoštovani starši, opozarjamo vas na dejstvo, da otroci v osnovni šoli in v 5. razredu NE poznajo teme “Negativna števila”.

Zato morajo reševati enačbe samo z uporabo lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Spodaj so podane metode za reševanje enačb za 5. razred.

Ne poskušajte razložiti rešitve enačb s prenosom številk in črk iz enega dela enačbe v drugega s spremembo predznaka.

Pojme, povezane s seštevanjem, odštevanjem, množenjem in deljenjem, lahko obnovite v lekciji "Zakoni aritmetike".

Reševanje enačb seštevanja in odštevanja

Kako najti neznano
termin

Kako najti neznano
minuend

Kako najti neznano
subtrahend

Če želite najti neznani člen, morate znani člen odšteti od vsote.

Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec.

Če želite najti neznani odštevanec, morate razliko odšteti od manjšega.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Pregled

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Pregled

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Pregled

Reševanje enačb množenja in deljenja

Kako najti neznano
faktor

Kako najti neznano
dividenda

Kako najti neznano
delilnik

Če želite najti neznan faktor, morate produkt deliti z znanim faktorjem.

Če želite najti neznano dividendo, morate količnik pomnožiti z deliteljem.

Če želite najti neznani delitelj, morate dividendo deliti s količnikom.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Pregled

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Pregled

8:y=4
y=8:4
y=2
Pregled

Enačba je enačba, ki vsebuje črko, katere predznak je treba najti. Rešitev enačbe je niz vrednosti črk, ki enačbo spremeni v pravo enakost:

Spomnite se, da rešite enačba na en del enakosti morate prenesti člene z neznanko, na drugega pa številske člene, prinesti podobne in dobiti naslednjo enakost:

Iz zadnje enakosti določimo neznanko po pravilu: “eden od faktorjev je enak količniku, deljenemu z drugim faktorjem.”

Ker imata racionalni števili a in b lahko enaka ali različna predznaka, je predznak neznanke določen s pravili za deljenje racionalnih števil.

Postopek reševanja linearnih enačb

Linearno enačbo je treba poenostaviti tako, da odpremo oklepaje in izvedemo operacije drugega koraka (množenje in deljenje).

Neznanke premaknemo na eno stran enačaja, števila pa na drugo stran enačaja, tako da dobimo enakost, ki je enaka dani,

Podobne prinesite levo in desno od znaka enakosti, tako da dobite enakost oblike sekira = b.

Izračunajte koren enačbe (poiščite neznanko X iz enakosti x = b : a),

Preverite tako, da v dano enačbo nadomestite neznanko.

Če v numerični enačbi dobimo identiteto, je enačba pravilno rešena.

Posebni primeri reševanja enačb

če enačbače je produkt enak 0, potem za rešitev uporabimo lastnost množenja: "zmnožek je enak nič, če je eden od faktorjev ali oba faktorja enaka nič."

27 (x - 3) = 0
27 ni enako 0, kar pomeni x - 3 = 0

Drugi primer ima dve rešitvi enačbe, saj
to je enačba druge stopnje:

Če so koeficienti enačbe navadni ulomki, potem se morate najprej znebiti imenovalcev. Če želite to narediti:

Poiščite skupni imenovalec;

Določite dodatne faktorje za vsak člen enačbe;

Števce ulomkov in celih števil pomnožimo z dodatnimi faktorji in zapišemo vse člene enačbe brez imenovalcev (skupni imenovalec lahko zavržemo);

Premakni člene z neznankami na eno stran enačbe, številske člene pa na drugo stran od enačaja, tako da dobiš enakovredno enakost;

Pripeljite podobne člane;

Osnovne lastnosti enačb

V katerem koli delu enačbe lahko dodate podobne člene ali odprete oklepaj.

Vsak člen enačbe lahko prenesemo iz enega dela enačbe v drugega tako, da mu predznak spremenimo v nasprotno.

Obe strani enačbe lahko pomnožimo (delimo) z istim številom, razen z 0.

V zgornjem primeru so bile za rešitev enačbe uporabljene vse njegove lastnosti.

Kako rešiti enačbo z neznanko v ulomku

Včasih imajo linearne enačbe obliko ko neznano se pojavi v števcu enega ali več ulomkov. Kot v spodnji enačbi.

V takšnih primerih lahko takšne enačbe rešimo na dva načina.

I metoda rešitve
Zmanjšanje enačbe na sorazmerje

Pri reševanju enačb z metodo razmerja morate izvesti naslednje korake:

vse ulomke spravi na skupni imenovalec in jih seštej kot algebraične ulomke (na levi in desni strani naj ostane le po en ulomek);

Reši dobljeno enačbo z uporabo pravila sorazmerja.

Torej se vrnimo k naši enačbi. Na levi strani že imamo samo en ulomek, zato v njem niso potrebne nobene transformacije.

Delali bomo z desno stranjo enačbe. Poenostavimo desno stran enačbe, tako da bo ostal samo en ulomek. Če želite to narediti, se spomnite pravil za dodajanje števila z algebraičnim ulomkom.

Zdaj uporabimo pravilo sorazmerja in rešimo enačbo do konca.

II metoda rešitve
Redukcija na linearno enačbo brez ulomkov

Ponovno poglejmo zgornjo enačbo in jo rešimo na drugačen način.

Vidimo, da sta v enačbi dva ulomka "

Kako rešiti enačbe z ulomki. Eksponentno reševanje enačb z ulomki.