Enačbe z izpitnimi parametri, primeri rešitev grafično. Problemi s parametrom (grafična rešitev) Uvod

TO naloge s parametrom To lahko vključuje na primer iskanje rešitev linearnih in kvadratnih enačb v splošni obliki, preučevanje enačbe za število razpoložljivih korenin glede na vrednost parametra.

Brez podajanja podrobnih definicij upoštevajte naslednje enačbe kot primere:

y = kx, kjer sta x, y spremenljivki, k je parameter;

y = kx + b, kjer sta x, y spremenljivki, k in b sta parametra;

ax 2 + bx + c = 0, kjer so x spremenljivke, a, b in c pa parameter.

Reševanje enačbe (neenačbe, sistema) s parametrom praviloma pomeni reševanje neskončne množice enačb (neenačb, sistemov).

Naloge s parametrom lahko razdelimo na dve vrsti:

A) pogoj pravi: reši enačbo (neenakost, sistem) - to pomeni, da za vse vrednosti parametra najdeš vse rešitve. Če vsaj en primer ostane nepreiskan, se taka rešitev ne more šteti za zadovoljivo.

b) potrebno je navesti možne vrednosti parametra, pri katerih ima enačba (neenakost, sistem) določene lastnosti. Na primer, ima eno rešitev, nima nobene rešitve, ima rešitve, ki pripadajo intervalu itd. Pri takih nalogah je treba jasno navesti, pri kateri vrednosti parametra je zahtevani pogoj izpolnjen.

Parameter, ki je neznano fiksno število, ima nekakšno posebno dvojnost. Najprej je treba upoštevati, da domnevna priljubljenost kaže, da je treba parameter zaznati kot številko. Drugič, svoboda manipulacije parametra je omejena z njegovo nejasnostjo. Na primer, operacije deljenja z izrazom, ki vsebuje parameter, ali pridobivanje korena sode stopnje iz takega izraza zahtevajo predhodno raziskavo. Zato je pri ravnanju s parametrom potrebna previdnost.

Če želite na primer primerjati dve števili -6a in 3a, morate upoštevati tri primere:

1) -6a bo večje od 3a, če je a negativno število;

2) -6a = 3a v primeru, ko je a = 0;

3) -6a bo manjše od 3a, če je a pozitivno število 0.

Rešitev bo odgovor.

Naj bo podana enačba kx = b. Ta enačba je kratka oblika za neskončno število enačb z eno spremenljivko.

Pri reševanju takih enačb so lahko primeri:

1. Naj bo k poljubno realno število, ki ni enako nič, in b poljubno število iz R, potem je x = b/k.

2. Naj bo k = 0 in b ≠ 0, izvirna enačba bo imela obliko 0 x = b. Očitno je, da ta enačba nima rešitev.

3. Naj sta k in b števili enaki nič, potem velja enačba 0 x = 0. Njena rešitev je poljubno realno število.

Algoritem za reševanje te vrste enačbe:

1. Določite "kontrolne" vrednosti parametra.

2. Rešite prvotno enačbo za x za vrednosti parametrov, ki so bile določene v prvem odstavku.

3. Rešite prvotno enačbo za x za vrednosti parametrov, ki se razlikujejo od tistih, izbranih v prvem odstavku.

4. Odgovor lahko zapišete v naslednji obliki:

1) za ... (vrednosti parametrov) ima enačba korenine ...;

2) za ... (vrednosti parametrov), v enačbi ni korenin.

Primer 1.

Rešite enačbo s parametrom |6 – x| = a.

rešitev.

Lahko vidimo, da je tukaj a ≥ 0.

V skladu s pravilom modula 6 – x = ±a izrazimo x:

Odgovor: x = 6 ± a, kjer je a ≥ 0.

Primer 2.

Rešite enačbo a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 glede na spremenljivko x.

rešitev.

Odprimo oklepaje: aх – а + 2х – 2 = 0

Zapišimo enačbo v standardni obliki: x(a + 2) = a + 2.

Če izraz a + 2 ni nič, tj. če je a ≠ -2, imamo rešitev x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), tj. x = 1.

Če je a + 2 enako nič, tj. a = -2, potem imamo pravilno enakost 0 x = 0, torej je x poljubno realno število.

Odgovor: x = 1 za a ≠ -2 in x € R za a = -2.

Primer 3.

Rešite enačbo x/a + 1 = a + x glede na spremenljivko x.

rešitev.

Če je a = 0, potem enačbo pretvorimo v obliko a + x = a 2 + ax ali (a – 1)x = -a(a – 1). Zadnja enačba za a = 1 ima obliko 0 x = 0, torej je x poljubno število.

Če je a ≠ 1, bo zadnja enačba v obliki x = -a.

To rešitev lahko ponazorimo na koordinatni premici (slika 1)

Odgovor: za a = 0 ni rešitev; x – poljubno število z a = 1; x = -a za a ≠ 0 in a ≠ 1.

Grafična metoda

Razmislimo o drugem načinu reševanja enačb s parametrom - grafično. Ta metoda se uporablja precej pogosto.

Primer 4.

Od parametra a je odvisno, koliko korenin ima enačba ||x| – 2| = a?

rešitev.

Za reševanje z grafično metodo sestavimo grafe funkcij y = ||x| – 2| in y = a (slika 2).

Risba jasno prikazuje možne primere lokacije ravne črte y = a in število korenin v vsaki od njih.

Odgovor: enačba ne bo imela korenov, če a< 0; два корня будет в случае, если a >2 in a = 0; enačba bo imela tri korene v primeru a = 2; štiri korenine - pri 0< a < 2.

Primer 5.

Pri kolikšnem je enačba 2|x| + |x – 1| = ima en sam koren?

rešitev.

Upodabljajmo grafe funkcij y = 2|x| + |x – 1| in y = a. Za y = 2|x| + |x – 1|, razširimo module z intervalno metodo, dobimo:

(-3x + 1, pri x< 0,

y = (x + 1, za 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, za x > 1.

Vklopljeno Slika 3 Jasno je razvidno, da bo imela enačba en sam koren le, če je a = 1.

Odgovor: a = 1.

Primer 6.

Določite število rešitev enačbe |x + 1| + |x + 2| = a odvisno od parametra a?

rešitev.

Graf funkcije y = |x + 1| + |x + 2| bo prekinjena črta. Njegova oglišča se bodo nahajala na točkah (-2; 1) in (-1; 1) (slika 4).

Odgovor: če je parameter a manjši od ena, enačba ne bo imela korenov; če je a = 1, potem je rešitev enačbe neskončna množica števil iz intervala [-2; -1]; če so vrednosti parametra a večje od ena, bo enačba imela dva korena.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti enačbe s parametrom?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Olga Otdelkina, učenka 9. razreda

Ta tema je sestavni del šolskega tečaja algebre. Namen tega dela je poglobljeno preučiti to tematiko, najti najbolj racionalno rešitev, ki hitro pripelje do odgovora. Ta esej bo drugim študentom pomagal razumeti uporabo grafične metode za reševanje enačb s parametri, spoznati izvor in razvoj te metode.

Prenos:

Predogled:

Uvod2

Poglavje 1. Enačbe s parametrom

Zgodovina nastanka enačb s parametrom3

Vietov izrek4

Osnovni pojmi5

Poglavje 2. Vrste enačb s parametri.

Linearne enačbe6

Kvadratne enačbe……………………………………………………………......7

Poglavje 3. Metode za reševanje enačb s parametrom

Analitska metoda……………………………………………......8

Grafična metoda. Zgodovina izvora………………………………9

Algoritem za reševanje grafične metode..…………….....…………….10

Rešitev enačbe z modulom………………...…………………………….11

Praktični del…………………………………………………………12

Zaključek………………………………………………………………………………….19

Reference………………………………………………………………20

Uvod.

Za to temo sem se odločil, ker je sestavni del šolskega tečaja algebre. Pri pripravi tega dela sem si zadal cilj poglobljene študije te tematike, pri čemer najdem najbolj racionalno rešitev, ki hitro pripelje do odgovora. Moj esej bo drugim študentom pomagal razumeti uporabo grafične metode za reševanje enačb s parametri, spoznati izvor in razvoj te metode.

V sodobnem življenju proučevanje številnih fizičnih procesov in geometrijskih vzorcev pogosto vodi do reševanja problemov s parametri.

Za reševanje takih enačb je grafična metoda zelo učinkovita, ko je treba določiti, koliko korenov ima enačba glede na parameter α.

Problemi s parametri so povsem matematičnega pomena, prispevajo k intelektualnemu razvoju učencev in služijo kot dober material za vadbo spretnosti. Imajo diagnostično vrednost, saj se lahko uporabljajo za preverjanje znanja glavnih vej matematike, stopnje matematičnega in logičnega mišljenja, začetnih raziskovalnih veščin in obetavnih možnosti za uspešno obvladovanje predmeta matematike v visokošolskih ustanovah.

Moj esej obravnava pogoste vrste enačb in upam, da mi bo znanje, ki sem ga pridobil v procesu dela, pomagalo pri opravljanju šolskih izpitov, sajenačbe s parametriupravičeno veljajo za enega najtežjih problemov šolske matematike. Prav te naloge so vključene v seznam nalog enotnega državnega izpita.

Zgodovina nastanka enačb s parametrom

S problemi enačb s parametrom smo se srečevali že v astronomski razpravi »Aryabhattiam«, ki jo je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoletje), je orisal splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

αx 2 + bx = c, α>0

Koeficienti v enačbi, razen parametra, lahko tudi negativno.

Kvadratne enačbe al-Khwarizmija.

V algebraični razpravi al-Khwarizmi podaja klasifikacijo linearnih in kvadratnih enačb s parametrom a. Avtor šteje 6 vrst enačb, ki jih izrazi na naslednji način:

1) »Kvadrati so enaki korenom«, tj. αx 2 = bx.

2) »Kvadrati so enaki številom«, tj. αx 2 = c.

3) "Korenine so enake številu", tj. αx = c.

4) »Kvadrati in števila so enaki korenom«, tj. αx 2 + c = bx.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", tj. αx 2 + bx = c.

6) »Koreni in števila so enaki kvadratom«, tj. bx + c = αx 2 .

Formule za reševanje kvadratnih enačb po al-Khwarizmiju v Evropi so bile prvič navedene v »Knjigi o abaku«, ki jo je leta 1202 napisal italijanski matematik Leonardo Fibonacci.

Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe s parametrom v splošni obliki je na voljo pri Vieti, vendar je Vieta priznaval samo pozitivne korene. Med prvimi v 12. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli. Poleg pozitivnih se upoštevajo tudi negativni koreni. Šele v 17. stol. Zahvaljujoč delom Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov je metoda reševanja kvadratnih enačb dobila sodobno obliko.

Vietov izrek

Izrek, ki izraža razmerje med parametri, koeficienti kvadratne enačbe in njenimi koreni, poimenovan po Vieti, je prvič formuliral leta 1591 kot sledi: »Če b + d pomnožimo z α minus α 2 , je enako bc, potem je α enako b in enako d.«

Da bi razumeli Vieto, se moramo spomniti, da je α kot vsak samoglasnik pomenil neznano (naš x), samoglasnika b, d pa sta koeficienta za neznano. V jeziku sodobne algebre zgornja Vieta formulacija pomeni:

Če obstaja

(α + b)x - x 2 = αb,

To je x 2 - (α -b)x + αb =0,

potem je x 1 = α, x 2 = b.

Z izražanjem razmerja med koreni in koeficienti enačb s splošnimi formulami, zapisanimi s simboli, je Vieta vzpostavil enotnost v metodah za reševanje enačb. Vendar je simbolika Vieta še vedno daleč od svoje sodobne oblike. Negativnih števil ni poznal in je zato pri reševanju enačb upošteval le primere, ko so bile vse korenine pozitivne.

Osnovni pojmi

Parameter - neodvisna spremenljivka, katere vrednost se šteje za fiksno ali poljubno število ali število, ki pripada intervalu, določenem s pogojem problema.

Enačba s parametrom— matematičnienačba, katerega videz in rešitev sta odvisna od vrednosti enega ali več parametrov.

Odločite se enačba s sredstvi parametrov za vsako vrednostpoiščite vrednosti x, ki ustrezajo tej enačbi, in tudi:

1. 1. Raziščite, pri katerih vrednostih parametrov ima enačba korenine in koliko jih je za različne vrednosti parametrov.
2. 2. Poiščite vse izraze za korenine in za vsakega od njih navedite tiste vrednosti parametrov, pri katerih ta izraz dejansko določa koren enačbe.

Razmislite o enačbi α(x+k)= α +c, kjer so α, c, k, x spremenljive količine.

Sistem sprejemljive vrednosti spremenljivke α, c, k, xje vsak sistem spremenljivih vrednosti, v katerem imata tako leva kot desna stran te enačbe realne vrednosti.

Naj bo A množica vseh dopustnih vrednosti α, K množica vseh dopustnih vrednosti k, X množica vseh dopustnih vrednosti x, C množica vseh dopustnih vrednosti c. Če za vsako od množic A, K, C, X izberemo in fiksiramo po eno vrednost α, k, c in jih nadomestimo v enačbo, dobimo enačbo za x, tj. enačba z eno neznanko.

Spremenljivke α, k, c, ki pri reševanju enačbe veljajo za konstante, imenujemo parametri, enačba sama pa enačba s parametri.

Parametri so označeni s prvimi črkami latinice: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, neznanke pa s črkami x, y, z.

Pokličemo dve enačbi, ki vsebujeta enake parametre enakovredno, če:

a) so smiselni za enake vrednosti parametrov;

b) vsaka rešitev prve enačbe je rešitev druge in obratno.

Vrste enačb s parametri

Enačbe s parametri so: linearne in kvadrat.

1) Linearna enačba. Splošni pogled:

α x = b, kjer x ni znan;α, b - parametri.

Za to enačbo je posebna ali kontrolna vrednost parametra tista, pri kateri koeficient neznanke postane nič.

Pri reševanju linearne enačbe s parametrom se upoštevajo primeri, ko je parameter enak svoji posebni vrednosti in se od nje razlikuje.

Posebna vrednost parametra α je vrednostα = 0.

1.Če in ≠0, potem za kateri koli par parametrovα in b ima edinstveno rešitev x = .

2.Če in =0, potem ima enačba obliko:0 x = b . V tem primeru vrednost b = 0 je posebna vrednost parametra b.

2.1. Pri b ≠ 0 enačba nima rešitev.

2.2. Pri b =0 bo enačba dobila obliko:0 x =0.

Rešitev te enačbe je poljubno realno število.

Kvadratna enačba s parametrom.

Splošni pogled:

α x 2 + bx + c = 0

kjer je parameter α ≠0, b in c - poljubna števila

Če je α =1, potem se enačba imenuje reducirana kvadratna enačba.

Korenine kvadratne enačbe najdemo s pomočjo formul

Izraz D = b 2 - 4 α c se imenuje diskriminant.

1. Če je D> 0, ima enačba dva različna korena.

2. Če D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Če je D = 0, ima enačba dva enaka korena.

Metode za reševanje enačb s parametrom:

1. Analitično – metoda neposrednega reševanja, ponavljanje standardnih postopkov za iskanje odgovora v enačbi brez parametrov.
2. Grafični - glede na pogoje problema se upošteva položaj grafa ustrezne kvadratne funkcije v koordinatnem sistemu.

Analitična metoda

Algoritem rešitve:

1. Preden začnete reševati problem s parametri z analitično metodo, morate razumeti situacijo za določeno številčno vrednost parametra. Na primer, vzemite vrednost parametra α =1 in odgovorite na vprašanje: ali je za to nalogo potrebna vrednost parametra α =1.

Primer 1. Reši relativno X linearna enačba s parametrom m:

Glede na pomen problema je (m-1)(x+3) = 0, torej m= 1, x = -3.

Če pomnožimo obe strani enačbe z (m-1)(x+3), dobimo enačbo

Dobimo

Zato je pri m = 2,25.

Zdaj moramo preveriti, ali obstajajo vrednosti m, za katere

ugotovljena vrednost x je -3.

pri reševanju te enačbe ugotovimo, da je x enak -3 z m = -0,4.

Odgovor: pri m=1, m=2,25.

Grafična metoda. Zgodovina izvora

Preučevanje skupnih odvisnosti se je začelo v 14. stoletju. Srednjeveška znanost je bila šolska. S to naravo ni bilo več prostora za preučevanje kvantitativnih odvisnosti; šlo je le za lastnosti predmetov in njihove medsebojne povezave. Toda med sholastiki se je pojavila šola, ki je trdila, da so lastnosti lahko bolj ali manj intenzivne (obleka osebe, ki je padla v reko, je bolj mokra kot obleka nekoga, ki ga je pravkar ujel dež).

Francoski znanstvenik Nikolai Oresme je intenzivnost začel upodabljati z dolžinami segmentov. Ko je te segmente postavil pravokotno na določeno ravno črto, so njihovi konci oblikovali črto, ki jo je poimenoval "linija intenzivnosti" ali "linija zgornjega roba" (graf ustrezne funkcionalne odvisnosti je preučeval celo "planarno". ” in “fizične” lastnosti, tj. funkcije, odvisno od dveh ali treh spremenljivk.

Oresmejev pomemben dosežek je bil njegov poskus razvrstitve nastalih grafov. Identificiral je tri vrste kvalitet: Enakomerne (s konstantno intenzivnostjo), enakomerno-neenakomerne (s konstantno hitrostjo spreminjanja intenzivnosti) in neenakomerno-neenake (vse ostale), ter značilne lastnosti grafov takšnih kvalitet.

Za ustvarjanje matematičnega aparata za preučevanje grafov funkcij je bil potreben koncept spremenljivke. Ta koncept je v znanost uvedel francoski filozof in matematik Rene Descartes (1596-1650). Descartes je bil tisti, ki je prišel do idej o enotnosti algebre in geometrije ter o vlogi spremenljivk; Descartes je uvedel segment fiksne enote in začel razmišljati o razmerju drugih segmentov do njega.

Tako so grafi funkcij v celotnem obdobju svojega obstoja šli skozi številne temeljne transformacije, ki so jih pripeljale do oblike, ki smo je navajeni. Vsaka stopnja ali faza v razvoju grafov funkcij je sestavni del zgodovine sodobne algebre in geometrije.

Grafična metoda določanja števila korenin enačbe glede na parameter, ki je v njej vključen, je bolj priročna kot analitična.

Algoritem reševanja z grafično metodo

Graf funkcije - niz točk, na katerihabscisaso veljavne vrednosti argumentov, A ordinate- ustrezne vrednostifunkcije.

Algoritem za grafično reševanje enačb s parametrom:

1. Poiščite domeno definicije enačbe.
2. Izrazimo α kot funkcija x.
3. V koordinatnem sistemu zgradimo graf funkcijeα (x) za tiste vrednosti x, ki so vključene v domeno definicije te enačbe.
4. Iskanje presečišč črteα =с, z grafom funkcije

α(x). Če je premica α =с prečka grafα (x), nato določimo abscise presečišč. Če želite to narediti, je dovolj, da rešite enačbo c = α (x) glede na x.

1. Zapiši odgovor

Reševanje enačb z modulom

Pri grafičnem reševanju enačb z modulom, ki vsebuje parameter, je treba zgraditi grafe funkcij in upoštevati vse možne primere za različne vrednosti parametra.

Na primer │х│= a,

Odgovor: če a < 0, то нет корней, a > 0, potem je x = a, x = - a, če je a = 0, potem je x = 0.

Reševanje problemov.

Problem 1. Koliko korenov ima enačba?| | x | - 2 | =a odvisno od parametra a?

rešitev. V koordinatnem sistemu (x; y) bomo zgradili grafe funkcij y = | | x | - 2 | in y = a . Graf funkcije y = | | x | - 2 | prikazano na sliki.

Graf funkcije y =α a = 0).

Iz grafa je razvidno, da:

Če je a = 0, potem je premica y = a sovpada z osjo Ox in ima graf funkcije y = | | x | - 2 | dve skupni točki; to pomeni, da ima prvotna enačba dva korena (v tem primeru lahko najdemo korenine: x 1,2 = + 2).
Če je 0< a < 2, то прямая y = α ima z grafom funkcije y = | | x | - 2 | štiri skupne točke in zato ima izvirna enačba štiri korenine.
če a = 2, potem ima premica y = 2 tri skupne točke z grafom funkcije. Potem ima prvotna enačba tri korene.
če a > 2, potem je premica y = a bo imela dve točki z grafom prvotne funkcije, kar pomeni, da bo imela ta enačba dva korena.

Odgovor: če a < 0, то корней нет;
če je a = 0, a > 2, potem obstajata dva korena;
če je a = 2, potem obstajajo trije koreni;
če 0< a < 2, то четыре корня.

Problem 2. Koliko korenov ima enačba?| x 2 - 2| x | - 3 | =a odvisno od parametra a?

rešitev. V koordinatnem sistemu (x; y) bomo zgradili grafe funkcij y = | x 2 - 2| x | - 3 | in y = a.

Graf funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 | prikazano na sliki. Graf funkcije y =α je ravna črta, vzporedna z Ox ali sovpada z njim (kadar a = 0).

Iz grafa lahko vidite:

Če je a = 0, potem je premica y = a sovpada z osjo Ox in ima graf funkcije y = | x2 - 2| x | - 3 | dve skupni točki, kot tudi premica y = a bo imel z grafom funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 | dve skupni točki pri a > 4. Torej, za a = 0 in a > 4 izvirna enačba ima dva korena.
Če je 0< a< 3, то прямая y = a ima z grafom funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 | štiri skupne točke, kot tudi premico y= a bo imela štiri skupne točke z grafom konstruirane funkcije pri a = 4. Torej, pri 0< a < 3, a = 4 izvirna enačba ima štiri korene.
če a = 3, potem je premica y = a seka graf funkcije v petih točkah; zato ima enačba pet korenov.
Če 3< a< 4, прямая y = α seka graf konstruirane funkcije v šestih točkah; To pomeni, da ima za te vrednosti parametrov prvotna enačba šest korenin.
če a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ne seka grafa funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Odgovor: če a < 0, то корней нет;
če je a = 0, a > 4, potem obstajata dva korena;
če 0< a < 3, a = 4, potem štiri korenine;

če a = 3, potem pet korenin;
če 3< a < 4, то шесть корней.

Problem 3. Koliko korenov ima enačba?

odvisno od parametra a?

rešitev. Zgradimo graf funkcije v koordinatnem sistemu (x; y)

ampak najprej ga predstavimo v obliki:

Premici x = 1, y = 1 sta asimptoti grafa funkcije. Graf funkcije y = | x | + a dobimo iz grafa funkcije y = | x | premik za enote vzdolž osi Oy.

Funkcijski grafi sekajo v eni točki na a > - 1; To pomeni, da ima enačba (1) za te vrednosti parametrov eno rešitev.

Ko je a = - 1, a = - 2 grafa se sekata v dveh točkah; To pomeni, da ima enačba (1) za te vrednosti parametrov dva korena.
Pri - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Odgovor: če a > - 1, nato ena rešitev;
če je a = - 1, a = - 2, potem obstajata dve rešitvi;
če - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Komentiraj. Pri reševanju problemske enačbe je treba posebno pozornost posvetiti primeru, ko a = - 2, saj točka (- 1; - 1) ne pripada grafu funkcijeampak pripada grafu funkcije y = | x | + a.

Problem 4. Koliko korenov ima enačba?

x + 2 = a | x - 1 |

odvisno od parametra a?

rešitev. Upoštevajte, da x = 1 ni koren te enačbe, saj je enakost 3 = a 0 ne more biti res za nobeno vrednost parametra a . Delimo obe strani enačbe z | x - 1 |(| x - 1 |0), potem ima enačba oblikoV koordinatni sistem xOy bomo izrisali funkcijo

Graf te funkcije je prikazan na sliki. Graf funkcije y = a je ravna črta, ki je vzporedna z osjo Ox ali sovpada z njo (če a = 0).

Enačbe s parametri upravičeno veljajo za enega najtežjih problemov šolske matematike. Prav te naloge so iz leta v leto vključene v seznam nalog tipa B in C v enotnem državnem izpitu Enotnega državnega izpita. Vendar pa so med velikim številom enačb s parametri tudi takšne, ki jih je enostavno rešiti grafično. Razmislimo o tej metodi na primeru reševanja več problemov.

Poiščite vsoto celih vrednosti števila a, za katere velja enačba |x 2 – 2x – 3| = a ima štiri korene.

rešitev.

Da bi odgovorili na vprašanje problema, zgradimo grafe funkcij na eni koordinatni ravnini

y = |x 2 – 2x – 3| in y = a.

Graf prve funkcije y = |x 2 – 2x – 3| dobimo iz grafa parabole y = x 2 – 2x – 3 tako, da simetrično prikažemo glede na x-os tisti del grafa, ki je pod Ox-osjo. Del grafa, ki se nahaja nad osjo x, bo ostal nespremenjen.

Naredimo to korak za korakom. Graf funkcije y = x 2 – 2x – 3 je parabola, katere veje so obrnjene navzgor. Za izgradnjo njegovega grafa poiščemo koordinate oglišča. To lahko storite s formulo x 0 = -b/2a. Tako je x 0 = 2/2 = 1. Da bi našli koordinato vrha parabole vzdolž ordinatne osi, nadomestimo dobljeno vrednost za x 0 v enačbo zadevne funkcije. Dobimo, da je y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. To pomeni, da ima vrh parabole koordinate (1; -4).

Nato morate najti presečišča vej parabole s koordinatnimi osemi. V točkah presečišča vej parabole z abscisno osjo je vrednost funkcije enaka nič. Zato rešimo kvadratno enačbo x 2 – 2x – 3 = 0. Njene korenine bodo iskane točke. Po Vietovem izreku imamo x 1 = -1, x 2 = 3.

V točkah presečišča vej parabole z ordinatno osjo je vrednost argumenta enaka nič. Tako je točka y = -3 točka presečišča vej parabole z osjo y. Nastali graf je prikazan na sliki 1.

Da dobimo graf funkcije y = |x 2 – 2x – 3|, prikažemo del grafa, ki se nahaja pod absciso simetrično glede na os x. Nastali graf je prikazan na sliki 2.

Graf funkcije y = a je premica, vzporedna z abscisno osjo. Upodobljen je na sliki 3. S pomočjo slike ugotovimo, da imata grafa štiri skupne točke (in enačba štiri korenine), če a pripada intervalu (0; 4).

Cele vrednosti števila a iz nastalega intervala: 1; 2; 3. Za odgovor na vprašanje naloge poiščimo vsoto teh števil: 1 + 2 + 3 = 6.

Odgovor: 6.

Poiščite aritmetično sredino celih vrednosti števila a, za katero velja enačba |x 2 – 4|x| – 1| = a ima šest korenin.

Začnimo z risanjem funkcije y = |x 2 – 4|x| – 1|. Za to uporabimo enakost a 2 = |a| 2 in izberite celoten kvadrat v submodularnem izrazu, ki je zapisan na desni strani funkcije:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Potem bo imela prvotna funkcija obliko y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Za sestavo grafa te funkcije sestavimo zaporedne grafe funkcij:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabola z vrhom v točki s koordinatami (2; -5); (slika 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – del parabole, konstruirane v koraku 1, ki se nahaja desno od ordinatne osi, je simetrično prikazan levo od osi Oy; (slika 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – del grafa, zgrajen v točki 2, ki se nahaja pod osjo x, je prikazan simetrično glede na os x navzgor. (slika 3).

Poglejmo nastale risbe:

Graf funkcije y = a je premica, vzporedna z abscisno osjo.

S pomočjo slike sklepamo, da imajo grafi funkcij šest skupnih točk (enačba ima šest korenin), če a pripada intervalu (1; 5).

To je razvidno iz naslednje slike:

Poiščimo aritmetično sredino celih vrednosti parametra a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Odgovor: 3.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

2. Določitev neznanih porazdelitvenih parametrov.

S pomočjo histograma lahko približno narišemo gostoto porazdelitve naključne spremenljivke. Videz tega grafa nam pogosto omogoča predpostavko o porazdelitvi gostote verjetnosti naključne spremenljivke. Izraz te gostote porazdelitve običajno vključuje nekatere parametre, ki jih je treba določiti iz eksperimentalnih podatkov.
Oglejmo si poseben primer, ko je gostota porazdelitve odvisna od dveh parametrov.
Torej naj x 1, x 2, ..., x n- opazovane vrednosti zvezne naključne spremenljivke in naj bo njena verjetnostna gostota porazdelitve odvisna od dveh neznanih parametrov A in B, tj. izgleda kot . Ena od metod za iskanje neznanih parametrov A in B sestoji iz dejstva, da so izbrani tako, da matematično pričakovanje in varianca teoretične porazdelitve sovpadata z vzorčnimi sredinami in varianco:

(66)

(67)

Iz dveh dobljenih enačb () se najdejo neznani parametri A in B. Torej, na primer, če naključna spremenljivka upošteva normalni zakon porazdelitve verjetnosti, potem njena gostota porazdelitve verjetnosti

odvisno od dveh parametrov a In . Ti parametri, kot vemo, so matematično pričakovanje oziroma standardni odklon naključne spremenljivke; zato bodo enakosti () zapisane takole:

Zato ima gostota porazdelitve verjetnosti obliko

Opomba 1. Ta problem smo že rešili v . Rezultat meritve je naključna spremenljivka, ki upošteva normalni porazdelitveni zakon s parametri a In . Za okvirno vrednost a izbrali smo vrednost , za okvirno vrednost pa - vrednost .

Opomba 2. Z velikim številom poskusov sta iskanje količin in uporaba formul () povezana z okornimi izračuni. Zato naredijo to: vsaka od opazovanih vrednosti količine , ki spadajo v i th interval ] X i-1 , X i [ statistične serije, velja za približno enako sredini c i ta interval, tj. c i =(X i-1 +X i)/2. Razmislite o prvem intervalu ] X 0 , X 1 [. Zadelo ga je m 1 opazovane vrednosti naključne spremenljivke, od katerih vsako nadomestimo s številom od 1. Zato je vsota teh vrednosti približno enaka m 1 s 1. Podobno je vsota vrednosti, ki spadajo v drugi interval, približno enaka m 2 z 2 itd. zato

Na podoben način dobimo približno enakost

Torej, pokažimo to

(71)