Për të faktorizuar, është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet. Kjo është e nevojshme në mënyrë që të mund të reduktohet më tej. Zgjerimi i një polinomi ka kuptim kur shkalla e tij nuk është më e ulët se dy. Një polinom me shkallën e parë quhet linear.
Artikulli do të mbulojë të gjitha konceptet e dekompozimit, bazat teorike dhe metodat e faktorizimit të një polinomi.
Teoria
Teorema 1Kur çdo polinom me shkallë n, që ka formën P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, përfaqësohen si një produkt me një faktor konstant me shkallën më të lartë a n dhe n faktorë linearë (x - x i), i = 1, 2, ..., n, pastaj P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , ku x i, i = 1, 2, …, n janë rrënjët e polinomit.
Teorema është menduar për rrënjët e tipit kompleks x i, i = 1, 2, ..., n dhe për koeficientët kompleks a k, k = 0, 1, 2, ..., n. Kjo është baza e çdo dekompozimi.
Kur koeficientët e formës a k, k = 0, 1, 2, …, n janë numra realë, atëherë rrënjët komplekse që do të ndodhin në çifte të konjuguara. Për shembull, rrënjët x 1 dhe x 2 lidhen me një polinom të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 konsiderohen të konjuguara komplekse, atëherë rrënjët e tjera janë reale, nga të cilat marrim se polinomi merr formën P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, ku x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Koment
Rrënjët e një polinomi mund të përsëriten. Le të shqyrtojmë vërtetimin e teoremës së algjebrës, pasojë e teoremës së Bezout.
Teorema themelore e algjebrës
Teorema 2Çdo polinom me shkallë n ka të paktën një rrënjë.
Teorema e Bezout
Pas pjesëtimit të një polinomi të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s), atëherë marrim mbetjen, e cila është e barabartë me polinomin në pikën s, atëherë marrim
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , ku Q n - 1 (x) është një polinom me shkallë n - 1.
Përfundim i teoremës së Bezout
Kur rrënja e polinomit P n (x) konsiderohet të jetë s, atëherë P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Kjo përfundim është e mjaftueshme kur përdoret për të përshkruar zgjidhjen.
Faktorizimi i një trinomi kuadratik
Një trinom katror i formës a x 2 + b x + c mund të faktorizohet në faktorë linearë. atëherë marrim se a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , ku x 1 dhe x 2 janë rrënjë (komplekse ose reale).
Kjo tregon se vetë zgjerimi reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik më pas.
Shembulli 1
Faktoroni trinomin kuadratik.
Zgjidhje
Është e nevojshme të gjenden rrënjët e ekuacionit 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e diskriminuesit duke përdorur formulën, atëherë marrim D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Nga këtu e kemi atë
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Nga kjo marrim se 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Për të kryer kontrollin, duhet të hapni kllapat. Pastaj marrim një shprehje të formës:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Pas kontrollit, arrijmë në shprehjen origjinale. Kjo do të thotë, mund të konkludojmë se dekompozimi është kryer në mënyrë korrekte.
Shembulli 2
Faktoroni trinomin kuadratik të formës 3 x 2 - 7 x - 11 .
Zgjidhje
Ne konstatojmë se është e nevojshme të llogaritet ekuacioni kuadratik që rezulton i formës 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Për të gjetur rrënjët, duhet të përcaktoni vlerën e diskriminuesit. Ne e kuptojmë atë
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Nga kjo marrim se 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Shembulli 3
Faktoroni polinomin 2 x 2 + 1.
Zgjidhje
Tani duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik 2 x 2 + 1 = 0 dhe të gjejmë rrënjët e tij. Ne e kuptojmë atë
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Këto rrënjë quhen konjugate komplekse, që do të thotë se vetë zgjerimi mund të përshkruhet si 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Shembulli 4
Zbërthehet trinomi kuadratik x 2 + 1 3 x + 1 .
Zgjidhje
Së pari ju duhet të zgjidhni një ekuacion kuadratik të formës x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dhe të gjeni rrënjët e tij.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Pasi kemi marrë rrënjët, ne shkruajmë
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Koment
Nëse vlera diskriminuese është negative, atëherë polinomet do të mbeten polinome të rendit të dytë. Nga kjo rezulton se ne nuk do t'i zgjerojmë ato në faktorë linearë.
Metodat për faktorizimin e një polinomi me shkallë më të lartë se dy
Kur dekompozohet, supozohet një metodë universale. Shumica e të gjitha rasteve bazohen në një përfundim të teoremës së Bezout. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni vlerën e rrënjës x 1 dhe të zvogëloni shkallën e saj duke e ndarë me një polinom me 1 duke e ndarë me (x - x 1). Polinomi që rezulton duhet të gjejë rrënjën x 2 dhe procesi i kërkimit është ciklik derisa të marrim një zgjerim të plotë.
Nëse rrënja nuk gjendet, atëherë përdoren metoda të tjera të faktorizimit: grupimi, termat shtesë. Kjo temë përfshin zgjidhjen e ekuacioneve me fuqi më të larta dhe koeficientë të plotë.
Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave
Shqyrtoni rastin kur termi i lirë është i barabartë me zero, atëherë forma e polinomit bëhet P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Mund të shihet se rrënja e një polinomi të tillë do të jetë e barabartë me x 1 = 0, atëherë polinomi mund të përfaqësohet si shprehja P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Kjo metodë konsiderohet se po nxjerr nga kllapat faktorin e përbashkët.
Shembulli 5
Faktoroni polinomin e shkallës së tretë 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Zgjidhje
Shohim se x 1 = 0 është rrënja e polinomit të dhënë, atëherë mund të heqim x nga kllapat e të gjithë shprehjes. Ne marrim:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Le të kalojmë në gjetjen e rrënjëve të trinomit katror 4 x 2 + 8 x - 1. Le të gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Pastaj rrjedh se
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Për të filluar, le të marrim në konsideratë një metodë dekompozimi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, ku koeficienti i shkallës më të lartë është 1.
Kur një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato konsiderohen pjesëtues të termit të lirë.
Shembulli 6
Zbërthe shprehjen f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Zgjidhje
Le të shqyrtojmë nëse ka rrënjë të plota. Është e nevojshme të shkruani pjesëtuesit e numrit - 18. Marrim se ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Nga kjo rezulton se ky polinom ka rrënjë të plota. Ju mund të kontrolloni duke përdorur skemën e Horner. Është shumë i përshtatshëm dhe ju lejon të merrni shpejt koeficientët e zgjerimit të një polinomi:
Nga kjo rrjedh se x = 2 dhe x = - 3 janë rrënjët e polinomit origjinal, i cili mund të përfaqësohet si produkt i formës:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Ne vazhdojmë me zgjerimin e një trinomi kuadratik të formës x 2 + 2 x + 3.
Meqenëse diskriminuesi është negativ, do të thotë se nuk ka rrënjë të vërteta.
Përgjigje: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Koment
Lejohet të përdoret zgjedhja e rrënjës dhe ndarja e një polinomi me një polinom në vend të skemës së Hornerit. Le të kalojmë në shqyrtimin e zgjerimit të një polinomi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, më e larta prej të cilave është e barabartë me një.
Ky rast ndodh për thyesat racionale.
Shembulli 7
Faktorizoni f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Zgjidhje
Është e nevojshme të zëvendësohet ndryshorja y = 2 x, duhet të kaloni në një polinom me koeficientë të barabartë me 1 në shkallën më të lartë. Ju duhet të filloni duke shumëzuar shprehjen me 4. Ne e kuptojmë atë
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kur funksioni rezultues i formës g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ka rrënjë të plota, atëherë vendndodhja e tyre është ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Hyrja do të duket si kjo:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Le të kalojmë në llogaritjen e funksionit g (y) në këto pika në mënyrë që të marrim zero si rezultat. Ne e kuptojmë atë
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Gjejmë se y = - 5 është rrënja e një ekuacioni të formës y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, që do të thotë x = y 2 = - 5 2 është rrënja e funksionit origjinal.
Shembulli 8
Është e nevojshme të ndahet me një kolonë 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 me x + 5 2.
Zgjidhje
Le ta shkruajmë dhe të marrim:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrollimi i pjesëtuesve do të marrë shumë kohë, kështu që është më e dobishme të faktorizoni trinomin kuadratik që rezulton i formës x 2 + 7 x + 3. Duke barazuar me zero gjejmë diskriminuesin.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Nga kjo rrjedh se
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Teknika artificiale për faktorizimin e një polinomi
Rrënjët racionale nuk janë të natyrshme në të gjitha polinomet. Për ta bërë këtë, duhet të përdorni metoda speciale për të gjetur faktorë. Por jo të gjithë polinomet mund të zgjerohen ose paraqiten si produkt.
Metoda e grupimit
Ka raste kur mund të gruponi termat e një polinomi për të gjetur një faktor të përbashkët dhe për ta vendosur atë jashtë kllapave.
Shembulli 9
Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Zgjidhje
Për shkak se koeficientët janë numra të plotë, atëherë rrënjët me sa duket mund të jenë gjithashtu numra të plotë. Për të kontrolluar, merrni vlerat 1, - 1, 2 dhe - 2 për të llogaritur vlerën e polinomit në këto pika. Ne e kuptojmë atë
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Kjo tregon se nuk ka rrënjë është e nevojshme të përdoret një metodë tjetër e zgjerimit dhe zgjidhjes.
Është e nevojshme të grupohen:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Pas grupimit të polinomit origjinal, duhet ta përfaqësoni atë si produkt i dy trinomeve katrore. Për ta bërë këtë, ne duhet të faktorizojmë. ne e marrim atë
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Koment
Thjeshtësia e grupimit nuk do të thotë se zgjedhja e termave është mjaft e lehtë. Nuk ka një metodë specifike zgjidhjeje, prandaj është e nevojshme të përdoren teorema dhe rregulla të veçanta.
Shembulli 10
Faktoroni polinomin x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Zgjidhje
Polinomi i dhënë nuk ka rrënjë numër të plotë. Termat duhet të grupohen. Ne e kuptojmë atë
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Pas faktorizimit e marrim atë
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe binomit të Njutonit për të faktorizuar një polinom
Pamja shpesh nuk e bën të qartë se cila metodë duhet të përdoret gjatë dekompozimit. Pasi të jenë bërë transformimet, mund të ndërtoni një vijë të përbërë nga trekëndëshi i Paskalit, përndryshe ato quhen binomi i Njutonit.
Shembulli 11
Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Zgjidhje
Është e nevojshme të konvertohet shprehja në formë
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Sekuenca e koeficientëve të shumës në kllapa tregohet me shprehjen x + 1 4 .
Kjo do të thotë se kemi x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Pas aplikimit të diferencës së katrorëve, marrim
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Merrni parasysh shprehjen që është në kllapa e dytë. Është e qartë se atje nuk ka kalorës, ndaj duhet të aplikojmë sërish formulën e diferencës së katrorëve. Marrim një shprehje të formës
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Shembulli 12
Faktorizo x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Zgjidhje
Le të fillojmë të transformojmë shprehjen. Ne e kuptojmë atë
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të diferencës së kubeve. Ne marrim:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Një metodë për zëvendësimin e një ndryshoreje kur faktorizoni një polinom
Kur zëvendësohet një ndryshore, shkalla zvogëlohet dhe polinomi faktorizohet.
Shembulli 13
Faktoroni polinomin e trajtës x 6 + 5 x 3 + 6 .
Zgjidhje
Sipas kushtit, është e qartë se është e nevojshme të bëhet zëvendësimi y = x 3. Ne marrim:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton janë y = - 2 dhe y = - 3, atëherë
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të shumës së kubeve. Marrim shprehje të formës:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Kjo do të thotë, ne morëm dekompozimin e dëshiruar.
Rastet e diskutuara më sipër do të ndihmojnë në shqyrtimin dhe faktorizimin e një polinomi në mënyra të ndryshme.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Është e nevojshme të faktorizohen polinomet kur thjeshtohen shprehjet (në mënyrë që të mund të kryhet reduktimi), kur zgjidhen ekuacionet ose kur zbërthehet një funksion racional fraksional në thyesa të thjeshta.
Ka kuptim të flasim për faktorizimin e një polinomi nëse shkalla e tij nuk është më e ulët se dy.
Një polinom i shkallës së parë quhet lineare.
Le të shqyrtojmë së pari bazat teorike, pastaj të kalojmë drejtpërdrejt në metodat e faktorizimit të një polinomi.
Navigimi i faqes.
Teori e nevojshme.
Teorema.
Çdo polinom i shkallës n lloji përfaqësohet nga produkti i një faktori konstant në fuqinë më të lartë dhe n shumëzues linearë, i=1, 2, …, n, domethënë, dhe, i=1, 2, …, n janë rrënjët e polinomit.
Kjo teoremë është formuluar për rrënjët komplekse, i=1, 2, …, n dhe koeficientët kompleks, k=0, 1, 2, …, n. Është baza për faktorizimin e çdo polinomi.
Nëse koeficientët k=0, 1, 2, …, n janë numra realë, atëherë rrënjët komplekse të polinomit DUHET të ndodhin në çifte komplekse të konjuguara.
Për shembull, nëse rrënjët e polinomit janë të konjuguara komplekse, dhe rrënjët e mbetura janë reale, atëherë polinomi do të paraqitet në formën , ku
Koment.
Ndër rrënjët e një polinomi mund të ketë edhe ato që përsëriten.
Vërtetimi i teoremës kryhet duke përdorur teorema themelore e algjebrës Dhe përfundimet e teoremës së Bezout.
Teorema themelore e algjebrës.
Çdo polinom i shkallës n ka të paktën një rrënjë (komplekse ose reale).
Teorema e Bezout.
Kur një polinom pjesëtohet me (x-s) pjesa e mbetur është e barabartë me vlerën e polinomit në pikë s, pra ku ka një polinom të shkallës n-1.
Përfundim i teoremës së Bezout.
Nëse sështë rrënja e polinomit, atëherë .
Ne do ta përdorim këtë përfundim mjaft shpesh kur përshkruajmë zgjidhje për shembuj.
Faktorizimi i një trinomi kuadratik.
Trinomi katror zbërthehet në dy faktorë linearë: , ku dhe janë rrënjët (komplekse ose reale).
Kështu, faktorizimi i një trinomi kuadratik reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.
Shembull.
Faktori i një trinomi kuadratik.
Zgjidhje.
Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik 
.
Diskriminuesi i ekuacionit është i barabartë, pra, 
Kështu, 
.
Për të kontrolluar, mund të zgjeroni kllapat: . Kur kontrolluam, arritëm në trinomin origjinal, kështu që zbërthimi ishte i saktë.
Shembull.
Zgjidhje.
Ekuacioni përkatës kuadratik është 
.
Le të gjejmë rrënjët e saj. 
Prandaj, 
.
Shembull.
Faktoroni polinomin.
Zgjidhje.
Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik. 
Ne morëm një palë rrënjë komplekse të konjuguara.
Zgjerimi i polinomit do të ketë formën 
.
Shembull.
Faktoroni trinomin kuadratik.
Zgjidhje.
Le të zgjidhim një ekuacion kuadratik 
.
Prandaj, 
Koment:
Në vijim, me një diskriminues negativ, do t'i lëmë polinomet e rendit të dytë në formën e tyre origjinale, domethënë nuk do t'i zbërthejmë në faktorë linearë me terma të lirë kompleksë.
Metodat për faktorizimin e një polinomi me shkallë më të lartë se dy.
Në përgjithësi, kjo detyrë kërkon një qasje krijuese, pasi nuk ka asnjë metodë universale për zgjidhjen e saj. Por le të përpiqemi të japim disa këshilla.
Në shumicën dërrmuese të rasteve, faktorizimi i një polinomi bazohet në një përfundim të teoremës së Bezout, domethënë, rrënja gjendet ose zgjidhet dhe shkalla e polinomit zvogëlohet me një duke e pjesëtuar me . Kërkohet rrënja e polinomit që rezulton dhe procesi përsëritet deri në zgjerimin e plotë.
Nëse rrënja nuk mund të gjendet, atëherë përdoren metoda specifike të zgjerimit: nga grupimi deri te futja e termave shtesë reciprokisht ekskluzive.
Paraqitja e mëtejshme bazohet në aftësitë me koeficientë të plotë.
Përmbledhja e faktorit të përbashkët.
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur termi i lirë është i barabartë me zero, domethënë, polinomi ka formën .
Natyrisht, rrënja e një polinomi të tillë është , domethënë ne mund ta përfaqësojmë polinomin në formën .
Kjo metodë nuk është asgjë më shumë se duke vënë faktorin e përbashkët jashtë kllapave.
Shembull.
Faktoroni një polinom të shkallës së tretë.
Zgjidhje.
Është e qartë se cila është rrënja e polinomit, d.m.th X mund të hiqet nga kllapat:
Le të gjejmë rrënjët e trinomit kuadratik 
Kështu, 
Faktorizimi i një polinomi me rrënjë racionale.
Së pari, le të shqyrtojmë një metodë për zgjerimin e një polinomi me koeficientë të plotë të formës , koeficienti i shkallës më të lartë është i barabartë me një.
Në këtë rast, nëse një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato janë pjesëtues të termit të lirë.
Shembull.
Zgjidhje.
Le të kontrollojmë nëse ka rrënjë të paprekura. Për ta bërë këtë, shkruani pjesëtuesit e numrit -18
: . Kjo do të thotë, nëse një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër numrat e shkruar. Le t'i kontrollojmë këta numra në mënyrë sekuenciale duke përdorur skemën e Hornerit. Komoditeti i tij qëndron gjithashtu në faktin se në fund marrim koeficientët e zgjerimit të polinomit: 
Kjo është, x=2 Dhe x=-3 janë rrënjët e polinomit origjinal dhe ne mund ta përfaqësojmë atë si produkt:
Mbetet të zgjerohet trinomi kuadratik.
Diskriminuesi i këtij trinomi është negativ, prandaj nuk ka rrënjë reale.
Përgjigje:
Koment:
në vend të skemës së Horner-it, mund të përdoret zgjedhja e rrënjës dhe ndarja pasuese e polinomit me një polinom.
Tani konsideroni zgjerimin e një polinomi me koeficientë të plotë të formës , dhe koeficienti i shkallës më të lartë nuk është i barabartë me një.
Në këtë rast, polinomi mund të ketë rrënjë fraksionale racionale.
Shembull.
Faktoroni shprehjen.
Zgjidhje.
Duke kryer një ndryshim variabël y=2x, le të kalojmë në një polinom me një koeficient të barabartë me një në shkallën më të lartë. Për ta bërë këtë, së pari shumëzojeni shprehjen me 4
.
Nëse funksioni që rezulton ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Le t'i shkruajmë ato:
Le të llogarisim në mënyrë sekuenciale vlerat e funksionit g(y) në këto pika derisa të arrihet zero. 
Kjo është, y=-5është rrënja 
, pra, është rrënja e funksionit origjinal. Le ta ndajmë polinomin me një kolonë (kënd) në një binom. 
Kështu, 
Nuk këshillohet të vazhdoni të kontrolloni pjesëtuesit e mbetur, pasi është më e lehtë të faktorizohet trinomi kuadratik që rezulton 
Prandaj, 
Teknika artificiale për faktorizimin e një polinomi.
Jo gjithmonë polinomet kanë rrënjë racionale. Në këtë rast, kur faktorizoni, duhet të kërkoni metoda të veçanta. Por, pavarësisht se sa do të donim, disa polinome (ose më mirë shumica dërrmuese) nuk mund të përfaqësohen si produkt.
Metoda e grupimit.
Ndonjëherë rezulton të gruponi termat e një polinomi, i cili ju lejon të gjeni një faktor të përbashkët dhe ta hiqni atë nga kllapat.
Shembull.
Zgjero polinomin 
nga shumëzuesit.
Zgjidhje.
Meqenëse koeficientët janë numra të plotë, mund të ketë rrënjë të plota midis pjesëtuesve të termit të lirë. Le të kontrollojmë vlerat 1
, -1
, 2
Dhe -2
, duke llogaritur vlerën e polinomit në këto pika. 
Kjo do të thotë, nuk ka rrënjë të tëra. Le të kërkojmë një mënyrë tjetër dekompozimi.
Le të grupojmë: 
Pas grupimit, polinomi origjinal u paraqit si prodhim i dy trinomeve katrore. Le t'i faktorizojmë ato. 
SHESHI TRESHI III
§ 54. Zbërthimi i një trinomi kuadratik në faktorë linearë
Në këtë pjesë do të shqyrtojmë pyetjen e mëposhtme: në cilin rast është trinomi kuadratik sëpatë 2 + bx + c mund të përfaqësohet si produkt
(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)
dy të afërm linearë X shumëzuesit me koeficientë realë a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Supozojmë se trinomi kuadratik i dhënë sëpatë 2 + bx + c le ta paraqesim në formë
sëpatë 2 + bx + c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)
Ana e djathtë e formulës (1) zhduket kur X = - b 1 / a 1 dhe X = - b 2 / a 2 (a 1 dhe a 2 nuk janë të barabarta me zero sipas kushtit). Por në këtë rast numrat janë b 1 / a 1 dhe - b 2 / a 2 janë rrënjët e ekuacionit
sëpatë 2 + bx + c = 0.
Prandaj, diskriminuesi i trinomit kuadratik sëpatë 2 + bx + c duhet të jetë jo negative.
2. Anasjelltas, supozojmë se diskriminuesi D = b 2 - 4ac trinom kuadratik sëpatë 2 + bx + c jo negative. Atëherë ky trinom ka rrënjë reale x 1 dhe x 2. Duke përdorur teoremën e Vieta-s, marrim:
sëpatë 2 + bx + c =A (x 2 + b / a X + c / a ) = A [x 2 - (x 1 + x 2) X + x 1 x 2 ] =
= A [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = A [X (X - x 1) - x 2 (X - x 1) =
=a (X - x 1)(X - x 2).
sëpatë 2 + bx + c = a (X - x 1)(X - x 2), (2)
Ku x 1 dhe x 2 - rrënjët e trinomit sëpatë 2 + bx + c . Koeficienti A mund t'i atribuohet njërit prej dy faktorëve linearë, për shembull,
a (X - x 1)(X - x 2) = (ah - sëpatë 1)(X - x 2).
Por kjo do të thotë se në rastin në shqyrtim trinomi katror sëpatë 2 + bx + c Le ta paraqesim si prodhim të dy faktorëve linearë me koeficientë realë.
Duke kombinuar rezultatet e marra në paragrafët 1 dhe 2, arrijmë në teoremën e mëposhtme.
Teorema. Trinomi katror sëpatë 2 + bx + c atëherë dhe vetëm atëherë mund të paraqitet si produkt i dy faktorëve linearë me koeficientë realë,
sëpatë 2 + bx + c = (ah - sëpatë 1)(X - x 2),
kur diskriminuesi i këtij trinomi kuadratik është jonegativ (pra kur ky trinom ka rrënjë reale).
Shembulli 1. Faktorizimi linear 6 x 2 - X -1.
Rrënjët e këtij trinomi kuadratik janë të barabarta x 1 = 1/2 dhe x 2 = - 1 / 3 .
Prandaj, sipas formulës (2)
6x 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3x + 1).
Shembulli 2. Faktorizimi linear x 2 + X + 1. Diskriminuesi i këtij trinomi kuadratik është negativ:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Prandaj, ky trinom kuadratik nuk mund të zgjerohet në faktorë linearë me koeficientë realë.
Ushtrime
Faktoroni shprehjet e mëposhtme në faktorë linearë (Nr. 403 - 406):
403. 6x 2 - 7X + 2. 405. x 2 - X + 1.
404. 2x 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. x 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - b 2 .
Zvogëloni thyesat (Nr. 407, 408):
Zgjidh ekuacionet:
Para së gjithash, le të theksojmë disa emra të zakonshëm. Le të shqyrtojmë polinomet që përmbajnë vetëm një shkronjë, për shembull, shkronjën x. Atëherë më i thjeshti është një polinom në të cilin ka dy terma, dhe njëri prej tyre përmban shkronjën x në shkallën e parë, dhe tjetri nuk e ka fare shkronjën x, për shembull, 3x - 5 ose 15 - 7x ose 8z. + 7 (këtu në vend të shkronjës x merret shkronja z), etj. Polinome të tilla quhen binomet lineare .
3x² – 5x + 7 ose x² + 2x – 1
ose 5y² + 7y + 8 ose z² – 5z – 2, etj.
Polinome të tilla quhen trinomet katrore.
Pastaj, ne mund të formojmë një kuadrinom kub, për shembull:
x³ + 2x² – x + 1 ose 3x³ – 5x² – 2x – 3 etj.,
polinomi i shkallës së katërt, për shembull:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5, etj.
Është e mundur të shënojmë koeficientët në x, në x², në x³, etj. gjithashtu me shkronja, për shembull, me shkronjat a, b, c, etj. Pastaj marrim:
1) forma e përgjithshme e binomit sëpatë + b, lineare në lidhje me x,
2) forma e përgjithshme e trinomit kuadratik (në lidhje me x): ax² + bx + c,
3) forma e përgjithshme e trinomit kub (në lidhje me x): ax³ + bx² + cx + d, etj.
Duke zëvendësuar shkronjat a, b, c, d... në këto formula me numra të ndryshëm, fitojmë të gjitha llojet e binomeve lineare, trinomeve katrore etj. Për shembull, në formulën ax² + bx + c, e cila shpreh të përgjithshmen. në formën e një trinomi kuadratik, shkronjën a e zëvendësojmë me numrin + 3, shkronjën b me numrin –2 dhe shkronjën me numrin –1, marrim trinomin katror 3x² – 2x – 1. Në një rast të veçantë, është gjithashtu e mundur të merret një binom duke zëvendësuar një nga shkronjat me zero, për shembull, nëse a = +1, b = 0 dhe c = –3, atëherë marrim binomin kuadratik x² – 3.
Ju mund të mësoni të faktorizoni disa trinome kuadratike mjaft shpejt në faktorë linearë. Sidoqoftë, do të kufizohemi në marrjen në konsideratë vetëm të atyre trinomeve kuadratike që plotësojnë kushtet e mëposhtme:
1) koeficienti për termin kryesor (për x²) është +1,
2) ju mund të gjeni dy numra të plotë (me shenja, ose dy numra të plotë relative) të tillë që shuma e tyre të jetë e barabartë me koeficientin e x të fuqisë së parë dhe produkti i tyre është i barabartë me termin pa x (ku nuk ka shkronjë x në të gjitha).
Shembuj. 1. x² + 5x + 6; Është e lehtë të gjesh mendërisht dy numra (me shenja) në mënyrë që shuma e tyre të jetë e barabartë me +5 (koeficienti i x) dhe në mënyrë që produkti i tyre = +6 (termi pa x) - këta numra janë: +2 dhe + 3 [në fakt, +2 + 3 = +5 dhe (+2) ∙ (+3) = +6]. Duke përdorur këta dy numra, ne zëvendësojmë termin +5x me dy terma, përkatësisht: +2x + 3x (natyrisht, +2x + 3x = +5x); atëherë termi ynë teknik do të shndërrohet artificialisht në një x² + 2x + 3x + 6 me katër terma. Le të zbatojmë tani teknikën e grupimit në të, duke i caktuar dy termat e parë një grupi dhe dy të fundit një tjetër:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
Në grupin e parë hoqëm x nga kllapa dhe në të dytin +3, morëm dy terma që kishin një faktor të përbashkët (x + 2), të cilin gjithashtu e hoqëm nga kllapa dhe trinomi ynë x² + 5x + 6 zbërthehet në 2 faktorë linearë: x + 2 dhe x + 3.
2. x² – x – 12. Këtu duhet të gjeni dy numra (relativë) që shuma e tyre të jetë e barabartë me –1 dhe që produkti i tyre të jetë i barabartë me –12. Këta numra janë: –4 dhe +3.
Kontrollo: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. Duke përdorur këta numra, ne zëvendësojmë termin –x me dy terma: –x = –4x + 3x, – marrim:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² – 7x + 6; këtu numrat e kërkuar janë: –6 dhe –1. [Kontrollo: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Këtu anëtarët e grupit të dytë –x + 6 duhej të mbylleshin në kllapa, me shenjën minus përpara tyre.
4. x² + 8x – 48. Këtu duhet të gjeni dy numra në mënyrë që shuma e tyre të jetë +8 dhe prodhimi i tyre të jetë –48. Meqenëse prodhimi duhet të ketë një shenjë minus, numrat e kërkuar duhet të kenë shenja të ndryshme, pasi shuma e numrave tanë ka një shenjë +, atëherë vlera absolute e numrit pozitiv duhet të jetë më e madhe. Duke e zgjeruar numrin aritmetik 48 në dy faktorë (dhe kjo mund të bëhet në mënyra të ndryshme), marrim: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Nga këto zgjerime është e lehtë të zgjedhim atë që i përshtatet kërkesave tona, përkatësisht: 48 = 4 ∙ 12. Atëherë numrat tanë janë: +12 dhe –4. Pjesa tjetër është e thjeshtë:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Këtu duhet të gjeni 2 numra në mënyrë që shuma e tyre të jetë +7 dhe prodhimi = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Me sa duket, numrat e përshtatshëm do të ishin 3 dhe 4, por ata duhet të merren me shenja të ndryshme në mënyrë që produkti i tyre të jetë i barabartë me –12, dhe pastaj shuma e tyre në asnjë rast nuk mund të të jetë +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Faktorizimet e tjera gjithashtu nuk japin numrat e kërkuar; Prandaj, arrijmë në përfundimin se nuk jemi ende në gjendje t'i zbërthejmë këto trinome kuadratike në faktorë linearë, pasi teknika jonë nuk është e zbatueshme për të (nuk plotëson të dytin nga kushtet që u vendosën në fillim).
Në këtë mësim do të mësojmë se si t'i faktorizojmë trinomet kuadratike në faktorë linearë. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë teoremën e Vietës dhe të kundërtën e saj. Kjo aftësi do të na ndihmojë të zgjerojmë shpejt dhe me lehtësi trinomet kuadratike në faktorë linearë, dhe gjithashtu do të thjeshtojë reduktimin e thyesave që përbëhen nga shprehje.
Pra, le të kthehemi te ekuacioni kuadratik, ku .
Ajo që kemi në anën e majtë quhet trinom kuadratik.
Teorema është e vërtetë: Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik, atëherë identiteti qëndron
Ku është koeficienti kryesor, janë rrënjët e ekuacionit.
Pra, kemi një ekuacion kuadratik - një trinom kuadratik, ku rrënjët e ekuacionit kuadratik quhen edhe rrënjët e trinomit kuadratik. Prandaj, nëse kemi rrënjët e një trinomi katror, atëherë ky trinom zbërthehet në faktorë linearë.
Dëshmi:
Vërtetimi i këtij fakti kryhet duke përdorur teoremën e Vieta, të cilën e diskutuam në mësimet e mëparshme.
Le të kujtojmë se çfarë na thotë teorema e Vietës:
Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik për të cilin , atëherë .
Pohimi i mëposhtëm rrjedh nga kjo teoremë:
Shohim që, sipas teoremës së Vietës, d.m.th., duke i zëvendësuar këto vlera në formulën e mësipërme, marrim shprehjen e mëposhtme
Q.E.D.
Kujtojmë që vërtetuam teoremën se nëse janë rrënjët e një trinomi katror, atëherë zgjerimi është i vlefshëm.
Tani le të kujtojmë një shembull të një ekuacioni kuadratik, të cilit i kemi zgjedhur rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s. Nga ky fakt mund të marrim barazinë e mëposhtme falë teoremës së provuar:
Tani le të kontrollojmë korrektësinë e këtij fakti thjesht duke hapur kllapat:
Shohim që faktorizuam saktë dhe çdo trinom, nëse ka rrënjë, mund të faktorizohet sipas kësaj teoreme në faktorë linearë sipas formulës.
Sidoqoftë, le të kontrollojmë nëse një faktorizim i tillë është i mundur për ndonjë ekuacion:
Merrni, për shembull, ekuacionin . Së pari, le të kontrollojmë shenjën diskriminuese
Dhe kujtojmë se për të përmbushur teoremën që mësuam, D duhet të jetë më i madh se 0, kështu që në këtë rast faktorizimi sipas teoremës që mësuam është i pamundur.
Prandaj, ne formulojmë një teoremë të re: nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë ai nuk mund të zbërthehet në faktorë linearë.
Pra, ne kemi parë teoremën e Vietës, mundësinë e zbërthimit të një trinomi kuadratik në faktorë linearë, dhe tani do të zgjidhim disa probleme.
Detyra nr. 1
Në këtë grup ne do ta zgjidhim problemin në të kundërt me atë të shtruar. Ne kishim një ekuacion dhe gjetëm rrënjët e tij duke e faktorizuar atë. Këtu do të bëjmë të kundërtën. Le të themi se kemi rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Problemi i anasjelltë është ky: shkruani një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij.
Ka 2 mënyra për të zgjidhur këtë problem.
Meqenëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë 
është një ekuacion kuadratik rrënjëve të të cilit janë dhënë numra. Tani le të hapim kllapat dhe të kontrollojmë:
Kjo ishte mënyra e parë me të cilën krijuam një ekuacion kuadratik me rrënjë të dhëna, i cili nuk ka rrënjë të tjera, pasi çdo ekuacion kuadratik ka më së shumti dy rrënjë.
Kjo metodë përfshin përdorimin e teoremës së kundërt Vieta.
Nëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë ato plotësojnë kushtin që .
Për ekuacionin kuadratik të reduktuar 
, , dmth në këtë rast, dhe .
Kështu, ne kemi krijuar një ekuacion kuadratik që ka rrënjët e dhëna.
Detyra nr. 2
Është e nevojshme të zvogëlohet fraksioni.
Kemi një trinom në numërues dhe një trinom në emërues, dhe trinomët mund të faktorizohen ose jo. Nëse faktorizohen edhe numëruesi edhe emëruesi, atëherë midis tyre mund të ketë faktorë të barabartë që mund të reduktohen.
Para së gjithash, duhet të faktorizoni numëruesin.
Së pari, duhet të kontrolloni nëse ky ekuacion mund të faktorizohet, le të gjejmë diskriminuesin. Meqenëse , shenja varet nga produkti (duhet të jetë më i vogël se 0), në këtë shembull, d.m.th., ekuacioni i dhënë ka rrënjë.
Për të zgjidhur, ne përdorim teoremën e Vieta:
Në këtë rast, duke qenë se kemi të bëjmë me rrënjë, do të jetë mjaft e vështirë të zgjedhim thjesht rrënjët. Por ne shohim që koeficientët janë të balancuar, domethënë, nëse supozojmë se , dhe e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacion, marrim sistemin e mëposhtëm: , d.m.th. 5-5=0. Kështu, ne kemi zgjedhur një nga rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
Ne do të kërkojmë rrënjën e dytë duke zëvendësuar atë që tashmë dihet në sistemin e ekuacioneve, për shembull, , d.m.th. .
Kështu, ne kemi gjetur të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik dhe mund t'i zëvendësojmë vlerat e tyre në ekuacionin origjinal për ta faktorizuar atë:
Le të kujtojmë problemin fillestar, na duhej të reduktonim thyesën .
Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin duke zëvendësuar .
Është e nevojshme të mos harrohet se në këtë rast emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me 0, d.m.th., .
Nëse plotësohen këto kushte, atëherë ne kemi reduktuar thyesën origjinale në formën .
Problemi nr. 3 (detyrë me një parametër)
Në cilat vlera të parametrit është shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik
Nëse rrënjët e këtij ekuacioni ekzistojnë, atëherë 
, pyetja: kur.
