Përshkrimi i zgjidhjes. Ekuacioni në diferencialet totale Përkufizimi i ekuacionit në diferencialet totale

disa funksione. Nëse rivendosim një funksion nga diferenciali i tij total, do të gjejmë integralin e përgjithshëm të ekuacionit diferencial. Më poshtë do të flasim për Metoda e rikthimit të një funksioni nga diferenciali i tij total.

Ana e majtë e një ekuacioni diferencial është diferenciali total i disa funksioneve U(x, y) = 0, nëse plotësohet kushti.

Sepse funksioni i plotë diferencial U(x, y) = 0 Kjo , që do të thotë se kur plotësohet kushti thuhet se .

Pastaj, .

Nga ekuacioni i parë i sistemit marrim . Ne gjejmë funksionin duke përdorur ekuacionin e dytë të sistemit:

Në këtë mënyrë do të gjejmë funksionin e kërkuar U(x, y) = 0.

Shembull.

Le të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për DE .

Zgjidhje.

Në shembullin tonë. Kushti plotësohet sepse:

Pastaj, ana e majtë e ekuacionit diferencial fillestar është diferenciali total i disa funksioneve U(x, y) = 0. Duhet ta gjejmë këtë funksion.

Sepse është diferenciali total i funksionit U(x, y) = 0, Do të thotë:

Ne integrohemi nga x Ekuacioni i parë i sistemit dhe diferencimi në lidhje me y rezultat:

Nga ekuacioni i dytë i sistemit marrim . Do të thotë:

Ku ME- konstante arbitrare.

Kështu, integrali i përgjithshëm i ekuacionit të dhënë do të jetë .

Ka një të dytë Metoda e llogaritjes së një funksioni nga diferenciali i tij total. Ai konsiston në marrjen e integralit të drejtëzës së një pike fikse (x 0 , y 0) në një pikë me koordinata të ndryshueshme (x, y): . Në këtë rast, vlera e integralit është e pavarur nga rruga e integrimit. Është i përshtatshëm për të marrë si një rrugë integrimi një vijë të thyer, lidhjet e së cilës janë paralele me boshtet e koordinatave.

Shembull.

Le të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për DE .

Zgjidhje.

Ne kontrollojmë përmbushjen e kushtit:

Kështu, ana e majtë e ekuacionit diferencial është diferenciali i plotë i disa funksioneve U(x, y) = 0. Le ta gjejmë këtë funksion duke llogaritur integralin lakor të pikës (1; 1) para (x, y). Si rrugë integrimi marrim një vijë të thyer: pjesa e parë e vijës së thyer kalohet përgjatë një vije të drejtë y = 1 nga pika (1, 1) para (x, 1), si seksion i dytë i shtegut marrim një segment të drejtë nga pika (x, 1) para (x, y):

Pra, zgjidhja e përgjithshme e telekomandës duket si kjo: .

Shembull.

Le të përcaktojmë zgjidhjen e përgjithshme të DE.

Zgjidhje.

Sepse , që do të thotë se kushti nuk plotësohet, atëherë ana e majtë e ekuacionit diferencial nuk do të jetë një diferencial i plotë i funksionit dhe duhet të përdorni metodën e dytë të zgjidhjes (ky ekuacion është një ekuacion diferencial me ndryshore të ndashme).

Diferenciale quhet ekuacion i formës

P(x, y)dx + P(x, y)dy = 0 ,

ku ana e majtë është diferenciali total i çdo funksioni të dy ndryshoreve.

Le të shënojmë funksionin e panjohur të dy ndryshoreve (kjo është ajo që duhet gjetur kur zgjidhen ekuacionet në diferencialet totale) me F dhe ne do t'i rikthehemi së shpejti.

Gjëja e parë që duhet t'i kushtoni vëmendje është se duhet të ketë një zero në anën e djathtë të ekuacionit, dhe shenja që lidh dy termat në anën e majtë duhet të jetë një plus.

Së dyti, duhet të respektohet njëfarë barazie, e cila konfirmon se ky ekuacion diferencial është një ekuacion në diferencialet totale. Ky kontroll është një pjesë e detyrueshme e algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve në diferencialet totale (është në paragrafin e dytë të këtij mësimi), pra procesi i gjetjes së një funksioni F mjaft punë intensive dhe është e rëndësishme që në fazën fillestare të sigurohemi që të mos humbim kohë.

Pra, funksioni i panjohur që duhet gjetur shënohet me F. Shuma e diferencialeve të pjesshme për të gjitha ndryshoret e pavarura jep diferencialin total. Prandaj, nëse ekuacioni është një ekuacion total diferencial, ana e majtë e ekuacionit është shuma e diferencialeve të pjesshme. Pastaj sipas përkufizimit

dF = P(x, y)dx + P(x, y)dy .

Le të kujtojmë formulën për llogaritjen e diferencialit total të një funksioni me dy ndryshore:

Duke zgjidhur dy barazitë e fundit, mund të shkruajmë

Ne e dallojmë barazinë e parë në lidhje me ndryshoren "y", e dyta - në lidhje me ndryshoren "x":

që është kusht që një ekuacion i caktuar diferencial të jetë me të vërtetë një ekuacion diferencial total.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale në diferencialet totale

Hapi 1. Sigurohuni që ekuacioni të jetë një ekuacion total diferencial. Me qëllim të shprehjes ishte diferenciali total i disa funksioneve F(x, y) është e nevojshme dhe e mjaftueshme në mënyrë që . Me fjalë të tjera, ju duhet të merrni derivatin e pjesshëm në lidhje me x dhe derivatin e pjesshëm në lidhje me y një term tjetër dhe, nëse këto derivate janë të barabartë, atëherë ekuacioni është një ekuacion total diferencial.

Hapi 2. Shkruani një sistem ekuacionesh diferenciale të pjesshme që përbëjnë funksionin F:

Hapi 3. Integroni ekuacionin e parë të sistemit - nga x (y F:

,
y.

Një opsion alternativ (nëse është më e lehtë të gjesh integralin në këtë mënyrë) është të integrosh ekuacionin e dytë të sistemit - duke y (x mbetet konstante dhe nxirret nga shenja integrale). Në këtë mënyrë edhe funksioni rikthehet F:

,
ku është një funksion ende i panjohur i X.

Hapi 4. Rezultati i hapit 3 (integrali i përgjithshëm i gjetur) diferencohet nga y(përndryshe - sipas x) dhe barazohen me ekuacionin e dytë të sistemit:

dhe në një version alternativ - në ekuacionin e parë të sistemit:

Nga ekuacioni që rezulton ne përcaktojmë (në mënyrë alternative)

Hapi 5. Rezultati i hapit 4 është integrimi dhe gjetja (përndryshe, gjeni ).

Hapi 6. Zëvendësoni rezultatin e hapit 5 në rezultatin e hapit 3 - në funksionin e rivendosur nga integrimi i pjesshëm F. Konstante arbitrare C shpesh shkruhet pas shenjës së barabartë - në anën e djathtë të ekuacionit. Kështu marrim një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit diferencial në diferencialet totale. Ajo, siç u përmend tashmë, ka formën F(x, y) = C.

Shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve diferenciale në diferencialet totale

Shembulli 1.

Hapi 1. ekuacioni në diferencialet totale x një term në anën e majtë të shprehjes

dhe derivatin e pjesshëm në lidhje me y një term tjetër
ekuacioni në diferencialet totale .

Hapi 2. F:

Hapi 3. Nga x (y mbetet konstante dhe nxirret nga shenja integrale). Kështu ne rivendosim funksionin F:

ku është një funksion ende i panjohur i y.

Hapi 4. y

Hapi 5.

Hapi 6. F. Konstante arbitrare C :
.

Çfarë gabimi ka më shumë gjasa të ndodhë këtu? Gabimet më të zakonshme janë të marrim një integral të pjesshëm mbi një nga variablat për integralin e zakonshëm të një produkti funksionesh dhe të përpiqemi të integrojmë me pjesë ose një ndryshore zëvendësuese, si dhe të marrim derivatin e pjesshëm të dy faktorëve si derivat të një produkt i funksioneve dhe kërkoni derivatin duke përdorur formulën përkatëse.

Kjo duhet mbajtur mend: kur llogaritet një integral i pjesshëm në lidhje me njërën prej variablave, tjetra është konstante dhe hiqet nga shenja e integralit, dhe kur llogaritet derivati i pjesshëm në lidhje me njërën prej ndryshoreve, tjetra është gjithashtu konstante dhe derivati i shprehjes gjendet si derivat i ndryshores “vepruese” shumëzuar me konstanten.

Ndër ekuacionet në diferencialet totale Nuk është e pazakontë të gjesh shembuj me një funksion eksponencial. Ky është shembulli tjetër. Është gjithashtu e dukshme për faktin se zgjidhja e tij përdor një opsion alternativ.

Shembulli 2. Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Hapi 1. Le të sigurohemi që ekuacioni është ekuacioni në diferencialet totale . Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me x një term në anën e majtë të shprehjes

dhe derivatin e pjesshëm në lidhje me y një term tjetër
. Këto derivate janë të barabarta, që do të thotë se ekuacioni është ekuacioni në diferencialet totale .

Hapi 2. Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh diferenciale të pjesshme që përbëjnë funksionin F:

Hapi 3. Le të integrojmë ekuacionin e dytë të sistemit - nga y (x mbetet konstante dhe nxirret nga shenja integrale). Kështu ne rivendosim funksionin F:

ku është një funksion ende i panjohur i X.

Hapi 4. Ne e dallojmë rezultatin e hapit 3 (integrali i përgjithshëm i gjetur) në lidhje me X

dhe barazohet me ekuacionin e parë të sistemit:

Nga ekuacioni që rezulton ne përcaktojmë:
.

Hapi 5. Ne integrojmë rezultatin e hapit 4 dhe gjejmë:
.

Hapi 6. Ne zëvendësojmë rezultatin e hapit 5 në rezultatin e hapit 3 - në funksionin e rivendosur nga integrimi i pjesshëm F. Konstante arbitrare C shkruani pas shenjës së barazimit. Kështu marrim totalin zgjidhja e një ekuacioni diferencial në diferencialet totale :
.

Në shembullin e mëposhtëm ne kthehemi nga një opsion alternativ në atë kryesor.

Shembulli 3. Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Hapi 1. Le të sigurohemi që ekuacioni është ekuacioni në diferencialet totale . Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me y një term në anën e majtë të shprehjes

dhe derivatin e pjesshëm në lidhje me x një term tjetër
. Këto derivate janë të barabarta, që do të thotë se ekuacioni është ekuacioni në diferencialet totale .

Hapi 2. Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh diferenciale të pjesshme që përbëjnë funksionin F:

Hapi 3. Le të integrojmë ekuacionin e parë të sistemit - Nga x (y mbetet konstante dhe nxirret nga shenja integrale). Kështu ne rivendosim funksionin F:

ku është një funksion ende i panjohur i y.

Hapi 4. Ne e dallojmë rezultatin e hapit 3 (integrali i përgjithshëm i gjetur) në lidhje me y

dhe barazohet me ekuacionin e dytë të sistemit:

Nga ekuacioni që rezulton ne përcaktojmë:
.

Hapi 5. Ne integrojmë rezultatin e hapit 4 dhe gjejmë:

Shembulli 4. Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Hapi 2. Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh diferenciale të pjesshme që përbëjnë funksionin F:

Hapi 3. Le të integrojmë ekuacionin e parë të sistemit - Nga x (y mbetet konstante dhe nxirret nga shenja integrale). Kështu ne rivendosim funksionin F:

ku është një funksion ende i panjohur i y.

Hapi 4. Ne e dallojmë rezultatin e hapit 3 (integrali i përgjithshëm i gjetur) në lidhje me y

dhe barazohet me ekuacionin e dytë të sistemit:

Nga ekuacioni që rezulton ne përcaktojmë:
.

Hapi 5. Ne integrojmë rezultatin e hapit 4 dhe gjejmë:

Shembulli 5. Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Tregon se si të njohim një ekuacion diferencial në diferencialet totale. Janë dhënë metodat për zgjidhjen e tij. Jepet një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni në diferenciale totale në dy mënyra.

përmbajtja

Prezantimi

Një ekuacion diferencial i rendit të parë në diferencialet totale është një ekuacion i formës:
(1) ,
ku ana e majtë e ekuacionit është diferenciali total i disa funksioneve U (x, y) nga ndryshoret x, y:
.
Ku .

Nëse gjendet një funksion i tillë U (x, y), atëherë ekuacioni merr formën:
dU (x, y) = 0.
Integrali i përgjithshëm i tij është:
U (x, y) = C,
ku C është një konstante.

Nëse një ekuacion diferencial i rendit të parë shkruhet në termat e derivatit të tij:
,
atëherë është e lehtë për ta sjellë atë në formë (1) . Për ta bërë këtë, shumëzojeni ekuacionin me dx.
(1) .

Pastaj . Si rezultat, marrim një ekuacion të shprehur në terma të diferencialeve:

Vetia e një ekuacioni diferencial në diferencialet totale (1) Në mënyrë që ekuacioni
(2) .

ishte një ekuacion në diferencialet totale, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që relacioni të mbajë:

Dëshmi Më tej supozojmë se të gjitha funksionet e përdorura në vërtetim janë të përcaktuara dhe kanë derivate përkatëse në një gamë të vlerave të variablave x dhe y. Pika x

0, y 0.
gjithashtu i përket kësaj zone. (1) Le të vërtetojmë domosdoshmërinë e kushtit (2) (x, y):
.
Lëreni anën e majtë të ekuacionit
;
.
është diferenciali i disa funksioneve U
;
.
Pastaj (2) Meqenëse derivati i dytë nuk varet nga rendi i diferencimit, atëherë

Nga kjo rrjedh se..
Kushti i domosdoshmërisë (2) :
(2) .
e provuar. (x, y) Le të vërtetojmë mjaftueshmërinë e kushtit (2)
.
Le të plotësohet kushti (x, y) Le të tregojmë se është e mundur të gjesh një funksion të tillë U
(3) ;
(4) .
se diferenciali i tij është: (3) Kjo do të thotë se ekziston një funksion i tillë U 0 , e cila plotëson ekuacionet:
;
;
(5) .
Le të gjejmë një funksion të tillë. Le të integrojmë ekuacionin (2) :

.
nga x nga x (4) në x, duke supozuar se y është një konstante:
.
Ne dallojmë në lidhje me y, duke supozuar se x është një konstante dhe zbatohet 0 Ekuacioni
;
;
.
do të ekzekutohet nëse (5) :
(6) .
Integroni mbi y nga y
.
lodër:

Zëvendësoni në (6) Pra, kemi gjetur një funksion diferencialin e të cilit Mjaftueshmëria është vërtetuar. Në formulë (x, y), U Më tej supozojmë se të gjitha funksionet e përdorura në vërtetim janë të përcaktuara dhe kanë derivate përkatëse në një gamë të vlerave të variablave x dhe y.(x 0 , y 0)

është një konstante - vlera e funksionit U

në pikën x
(1) .
. (2) :
(2) .
Mund t'i caktohet çdo vlerë.

Si të njohim një ekuacion diferencial në diferencialet totale

Kontrolloni nëse ekuacioni është në diferenciale totale:
.

Këtu
, .
Dallojmë në lidhje me y, duke marrë parasysh x konstante:

.
Le të dallojmë

.
Sepse:
,
atëherë ekuacioni i dhënë është në diferenciale totale.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale në diferencialet totale

Metoda e nxjerrjes diferenciale sekuenciale

Metoda më e thjeshtë për zgjidhjen e një ekuacioni në diferencialet totale është metoda e izolimit sekuencial të diferencialit. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulat e diferencimit të shkruara në formë diferenciale:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Në këto formula, u dhe v janë shprehje arbitrare të përbëra nga çdo kombinim variablash.

Shembulli 1

Zgjidhe ekuacionin:
.

Më parë kemi gjetur se ky ekuacion është në diferencialet totale. Le ta transformojmë atë:
(P1) .
E zgjidhim ekuacionin duke izoluar në mënyrë sekuenciale diferencialin.
;
;
;
;

.
do të ekzekutohet nëse (P1):
;
.

Metoda e njëpasnjëshme e integrimit

Në këtë metodë ne kërkojmë funksionin U (x, y), duke plotësuar ekuacionet:
(3) ;
(4) .

Le të integrojmë ekuacionin (3) në x, duke marrë parasysh y konstante:
.
Këtu φ (y)- një funksion arbitrar i y që duhet të përcaktohet. Është konstanta e integrimit. Zëvendësoni në ekuacion (4) :
.
Nga këtu:
.
Duke integruar, gjejmë φ (y) dhe, kështu, U (x, y).

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin në diferenciale totale:
.

Më parë kemi gjetur se ky ekuacion është në diferencialet totale. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:
, .
Duke kërkuar për funksionin U (x, y), diferenciali i të cilit është ana e majtë e ekuacionit:
.
Pastaj:
(3) ;
(4) .
Le të integrojmë ekuacionin (3) në x, duke marrë parasysh y konstante:
(P2)
.
Diferenconi në lidhje me y:

.
Le të zëvendësojmë (4) :
;
.
Le të integrojmë:
.
Le të zëvendësojmë (P2):

.
Integrali i përgjithshëm i ekuacionit:
U (x, y) = konst.
Ne bashkojmë dy konstante në një.

Metoda e integrimit përgjatë një kurbë

Funksioni U i përcaktuar nga relacioni:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
mund të gjendet duke integruar këtë ekuacion përgjatë lakores që lidh pikat Mjaftueshmëria është vërtetuar. Dhe (x, y):
(7) .
Sepse
(8) ,
atëherë integrali varet vetëm nga koordinatat e inicialit Mjaftueshmëria është vërtetuar. dhe përfundimtare (x, y) pikë dhe nuk varet nga forma e kurbës. Nga (7) Dhe (8) ne gjejme:
(9) .
Këtu x 0 dhe y 0 - e përhershme. Prandaj U Mjaftueshmëria është vërtetuar.- gjithashtu konstante.

Një shembull i një përkufizimi të tillë të U është marrë në provë:
(6) .
Këtu integrimi kryhet së pari përgjatë një segmenti paralel me boshtin y nga pika (x 0 , y 0 ) drejt e në temë (x 0 , y). (x 0 , y) drejt e në temë (x, y) .

Pastaj integrimi kryhet përgjatë një segmenti paralel me boshtin x nga pika (x 0 , y 0 ) Dhe (x, y) Në përgjithësi, ju duhet të përfaqësoni ekuacionin e pikave lidhëse të kurbës
në formë parametrike: x 1 = s(t 1) ;;
në formë parametrike: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

dhe integrohen mbi t (x 0 , y 0 ) Dhe (x, y) nga t
në formë parametrike: te t. 1 = s(t 1) Mënyra më e lehtë për të kryer integrimin është përmes një segmenti pikash lidhëse;
. 0 = 0 Në këtë rast: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = (x - x 0) dt 1; dy.
1 = (y - y 0) dt 1 0 para 1 .
Pas zëvendësimit, marrim integralin mbi t të

Sidoqoftë, kjo metodë çon në llogaritje mjaft të vështira.
Referencat:

V.V. Stepanov, Kursi i ekuacioneve diferenciale, "LKI", 2015. Përkufizimi 8.4.

Ekuacioni diferencial i formës
Ku

quhet ekuacion diferencial total.
.

Vini re se ana e majtë e një ekuacioni të tillë është diferenciali total i disa funksioneve

Në përgjithësi, ekuacioni (8.4) mund të paraqitet si

Në vend të ekuacionit (8.5), mund të marrim parasysh ekuacionin
zgjidhja e të cilit është integrali i përgjithshëm i ekuacionit (8.4). Kështu, për të zgjidhur ekuacionin (8.4) është e nevojshme të gjendet funksioni

(8.6)

. Në përputhje me përkufizimin e ekuacionit (8.4), kemi
Funksioni

Ekuacioni diferencial i formës ne do të kërkojmë një funksion që plotëson një nga këto kushte (8.6): .

- një funksion arbitrar i pavarur nga
Funksioni

(8.7)

përkufizohet ashtu që të plotësohet kushti i dytë i shprehjes (8.6).
Nga shprehja (8.7) përcaktohet funksioni
. Duke e zëvendësuar në shprehjen për

dhe merrni integralin e përgjithshëm të ekuacionit origjinal. Problemi 8.3.

Integro ekuacionin
.

Këtu
Prandaj, ky ekuacion i përket llojit të ekuacioneve diferenciale në diferencialet totale. Funksioni

do ta kërkojmë në formë

Ne anen tjeter,
Në disa raste gjendja

mund të mos përmbushet. Pastaj ekuacione të tilla reduktohen në llojin në shqyrtim duke shumëzuar me të ashtuquajturin faktor integrues, i cili, në rastin e përgjithshëm, është vetëm një funksion. .

ose Nëse një ekuacion ka një faktor integrues që varet vetëm nga

, atëherë përcaktohet nga formula ku është marrëdhënia .

duhet të jetë vetëm një funksion Në mënyrë të ngjashme, faktori integrues varet vetëm nga

, përcaktohet nga formula
ku është marrëdhënia .

ku është marrëdhënia Mungesa në relacionet e dhëna, në rastin e parë, e ndryshores , dhe në të dytën - ndryshorja

, janë shenjë e ekzistencës së një faktori integrues për një ekuacion të caktuar. Problemi 8.4.

Reduktojeni këtë ekuacion në një ekuacion në diferencialet totale.

Merrni parasysh lidhjen:

Tema 8.2. Ekuacionet diferenciale lineare Përkufizimi 8.5
. Ekuacioni diferencial quhet linear nëse është linear në lidhje me funksionin e dëshiruar , derivati i tij

dhe nuk përmban produktin e funksionit të dëshiruar dhe derivatin e tij.

(8.8)

Forma e përgjithshme e një ekuacioni diferencial linear përfaqësohet nga relacioni i mëposhtëm:
Nëse në relacionin (8.8) ana e djathtë
, atëherë një ekuacion i tillë quhet homogjen linear. Në rastin kur ana e djathtë

Le të tregojmë se ekuacioni (8.8) mund të integrohet në kuadratura.

Në fazën e parë, ne konsiderojmë një ekuacion linear homogjen.

Një ekuacion i tillë është një ekuacion me ndryshore të ndashme. Vërtet,

;

Lidhja e fundit përcakton zgjidhjen e përgjithshme të një ekuacioni linear homogjen.

Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për një ekuacion linear johomogjen, përdoret metoda e ndryshimit të derivatit të një konstante. Ideja e metodës është që zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear johomogjen është në të njëjtën formë si zgjidhja e ekuacionit homogjen përkatës, por një konstante arbitrare. zëvendësohet nga disa funksione
te jesh i vendosur. Pra kemi:

(8.9)

Duke zëvendësuar në relacionin (8.8) shprehjet përkatëse
Dhe
, marrim

Duke zëvendësuar shprehjen e fundit në relacionin (8.9), marrim integralin e përgjithshëm të ekuacionit linear johomogjen.

Kështu, zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear johomogjen përcaktohet nga dy kuadratura: zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear homogjen dhe një zgjidhje e veçantë e një ekuacioni linear johomogjen.

Problemi 8.5. Integro ekuacionin

Kështu, ekuacioni origjinal i përket llojit të ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare.

Në fazën e parë, do të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për një ekuacion linear homogjen.

;

Në fazën e dytë, ne përcaktojmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit linear johomogjen, i cili gjendet në formën

Ekuacioni diferencial i formës
- funksioni që do të përcaktohet.

Pra kemi:

Zëvendësimi i marrëdhënieve për Dhe në ekuacionin origjinal linear johomogjen fitojmë:

;

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear johomogjen do të ketë formën:

Duke pasur formën standarde $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, në të cilën ana e majtë është diferenciali total i disa funksioneve $F \left( x,y\right)$ quhet ekuacion total diferencial.

Ekuacioni në diferencialet totale mund të rishkruhet gjithmonë si $dF\left(x,y\right)=0$, ku $F\left(x,y\right)$ është një funksion i tillë që $dF\left(x, y\djathtas)=P\majtas(x,y\djathtas)\cdot dx+Q\left(x,y\djathtas)\cdot dy$.

Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrali i anës së djathtë zero është i barabartë me një konstante arbitrare $C$. Kështu, zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni në formë të nënkuptuar është $F\left(x,y\right)=C$.

Në mënyrë që një ekuacion diferencial i dhënë të jetë një ekuacion në diferencialet totale, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kushti $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ Ji i kenaqur. Nëse kushti i specifikuar plotësohet, atëherë ekziston një funksion $F\left(x,y\right)$, për të cilin mund të shkruajmë: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, nga i cili fitojmë dy relacione : $\frac(\ e pjesshme F)(\ e pjesshme x) =P\majtas(x,y\djathtas)$ dhe $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\majtas(x,y\djathtas ) $.

Ne integrojmë relacionin e parë $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ mbi $x$ dhe marrim $F\left(x,y\right)=\int P\ majtas(x,y\djathtas)\cdot dx +U\left(y\djathtas)$, ku $U\left(y\djathtas)$ është një funksion arbitrar i $y$.

Le ta zgjedhim atë në mënyrë që relacioni i dytë $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ të jetë i kënaqur. Për ta bërë këtë, ne dallojmë relacionin që rezulton për $F\left(x,y\right)$ në lidhje me $y$ dhe e barazojmë rezultatin me $Q\left(x,y\right)$. Ne marrim: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\djathtas)=Q\majtas (x,y\djathtas)$.

Zgjidhja e mëtejshme është:

nga barazia e fundit gjejmë $U"\left(y\right)$;
integroni $U"\left(y\right)$ dhe gjeni $U\left(y\djathtas)$;
zëvendëso $U\left(y\djathtas)$ në barazinë $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\djathtas)\cdot dx +U\majtas(y\djathtas) $ dhe në fund marrim funksionin $F\left(x,y\right)$.

Ne gjejmë ndryshimin:

Ne integrojmë $U"\left(y\right)$ mbi $y$ dhe gjejmë $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Gjeni rezultatin: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Zgjidhjen e përgjithshme e shkruajmë në formën $F\left(x,y\right)=C$, përkatësisht:

Gjeni një zgjidhje të veçantë $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, ku $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Zgjidhja e pjesshme ka formën: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.