Vektori i kërkuar 
Nëse , atëherë sistemi (1) quhet i kushtëzuar keq. Në këtë rast, gabimet në koeficientët e matricës dhe anët e djathta ose gabimet e rrumbullakosjes në llogaritje mund të shtrembërojnë shumë zgjidhjen.
Kur zgjidhen shumë probleme, ana e djathtë e sistemit (1) dhe koeficientët e matricës A njihen afërsisht. Në këtë rast, në vend të sistemit ekzakt (1) kemi një sistem tjetër
sikurse
Supozojmë se sasitë dhe d janë të njohura.
Meqenëse në vend të sistemit (1) kemi sistemin (2), mund të gjejmë vetëm një zgjidhje të përafërt për sistemin (1). Metoda për ndërtimin e një zgjidhjeje të përafërt të sistemit (1) duhet të jetë e qëndrueshme ndaj ndryshimeve të vogla në të dhënat fillestare.
Një pseudozgjidhje e sistemit (1) është një vektor që minimizon mospërputhjen në të gjithë hapësirën.
Le të jetë x 1 një vektor fiks nga , zakonisht i përcaktuar nga deklarata e problemit.
Një zgjidhje e sistemit (1) normale në lidhje me vektorin x 1 është një pseudozgjidhje x 0 me një normë minimale, d.m.th.
ku F është bashkësia e të gjitha pseudozgjidhjeve të sistemit (1).
Për më tepër 
ku ¾ janë përbërësit e vektorit x.
Për çdo sistem të tipit (1), një zgjidhje normale ekziston dhe është unike. Problemi i gjetjes së një zgjidhjeje normale për një sistem të pakushtëzuar (1) është i shtruar keq.
Për të gjetur një zgjidhje normale të përafërt për sistemin (1), ne përdorim metodën e rregullimit.
Sipas kësaj metode, ne ndërtojmë një funksional zbutës të formës
dhe gjeni vektorin që e minimizon këtë funksional. Për më tepër, parametri i rregullimit a përcaktohet në mënyrë unike nga gjendja
Ku 
.
Sistemet e degjeneruara dhe të pakushtëzuara mund të jenë të padallueshme brenda një saktësie të caktuar. Por nëse ka informacion për zgjidhshmërinë e sistemit (1), atëherë në vend të kushtit (5) duhet të përdoret kushti i mëposhtëm:
Komponentët 
vektorët janë zgjidhje të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare, i cili merret nga kushti për minimumin e funksionalit (4)
dhe duket si
ku E është matrica e identitetit,
¾Matrica e konjuguar hermitiane.
Në praktikë, zgjedhja e një vektori kërkon konsiderata shtesë. Nëse ato nuk janë të pranishme, atëherë supozoni =0.
Për =0, ne shkruajmë sistemin (7) në formë
Ku 
Vektori i gjetur do të jetë një zgjidhje normale e përafërt e sistemit (1).
Le të përqendrohemi në zgjedhjen e parametrit a. Nëse a=0, atëherë sistemi (7) kthehet në një sistem të pakushtëzuar. Nëse a është i madh, atëherë sistemi (7) do të jetë i kondicionuar mirë, por zgjidhja e rregulluar nuk do të jetë afër zgjidhjes së dëshiruar të sistemit (1). Prandaj, a shumë e madhe ose shumë e vogël nuk është e përshtatshme.
Zakonisht në praktikë, llogaritjet kryhen me një numër vlerash të parametrit a. Për shembull,
Për çdo vlerë të a, gjeni elementin që minimizon funksionalin (4). Vlera e dëshiruar e parametrit të rregullimit merret si numri a për të cilin barazia (5) ose (6) plotësohet me saktësinë e kërkuar.
III. USHTRIMI
1. Ndërtoni një sistem ekuacionesh algjebrike lineare, i përbërë nga tre ekuacione me tre të panjohura, me një përcaktor, vlera e së cilës është e rendit 10 -6.
2. Ndërtoni një sistem të dytë, të ngjashëm me të parin, por me terma të tjerë të lirë që ndryshojnë nga termat e lirë të sistemit të parë me 0,00006.
3. Zgjidhini sistemet e ndërtuara duke përdorur metodën e rregullimit (duke supozuar =0 dhe d=10 -4) dhe ndonjë metodë tjetër (për shembull, metoda Gaussian).
4. Krahasoni rezultatet e marra dhe nxirrni përfundime rreth zbatueshmërisë së metodave të përdorura.
IV. FORMULARI I RAPORTIT
Raporti duhet të paraqesë:
1. Titulli i veprës.
2. Deklarata e problemit.
3. Përshkrimi i algoritmit të zgjidhjes (metodës).
4. Teksti i programit me një përshkrim.
5. Rezultatet e programit.
LISTA BIBLIOGRAFIKE
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metodat për zgjidhjen e problemeve të shtruara keq. - M.: Nauka, 1979. 286 f.
2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Metodat numerike. - M.: BINOM. Laboratori i Dijes, 2007 636 f.
Punë laboratori nr 23
Transkripti
1 6. SLAE të degjeneruara dhe të pakushtëzuara 1 6. SLAE të degjeneruara dhe të pakushtëzuara Le të shqyrtojmë tani dy lloje të SLAE-ve (27) me një matricë katrore A me madhësi MxM: sistemi i degjeneruar (me përcaktuesin zero A =0); sistem i pakushtëzuar (përcaktori A nuk është i barabartë me zero, por numri i kushtit është shumë i madh). Përkundër faktit se këto lloj sistemesh ekuacionesh ndryshojnë ndjeshëm nga njëri-tjetri (për të parën nuk ka zgjidhje, por për të dytën ka vetëm një), nga pikëpamja praktike e kompjuterit, ka shumë të përbashkëta midis ato. Një sistem i degjeneruar është një sistem i përshkruar nga një matricë me një përcaktues zero A =0 (matricë njëjës). Meqenëse disa ekuacione të përfshira në një sistem të tillë përfaqësohen nga një kombinim linear i ekuacioneve të tjera, atëherë, në fakt, vetë sistemi është i nënpërcaktuar. Është e lehtë të kuptohet se, në varësi të llojit specifik të vektorit të djathtë b, ka ose një numër të pafund zgjidhjesh ose nuk ka fare. Le të shqyrtojmë rastin e parë, kur SLAE A x=b me një matricë katrore njëjës A nuk ka një zgjidhje të vetme. Ky opsion zbret në ndërtimin e një pseudozgjidhjeje normale (d.m.th., duke zgjedhur nga një grup i pafund zgjidhjesh atë që është më afër një vektori të caktuar, për shembull, zero). Le të japim një shembull të një problemi të tillë (për një sistem me dy ekuacione) A= , b= (37) SLAE (37) është ilustruar në Fig. 19, e cila tregon se dy ekuacionet që përcaktojnë sistemin përcaktojnë dy drejtëza paralele në rrafsh (x 1, x 2). Vijat nuk kryqëzohen në asnjë pikë
2 2 6. SLAE të degjeneruara dhe të pakushtëzuara në një pikë të planit koordinativ, dhe, në përputhje me rrethanat, nuk ekziston asnjë zgjidhje për sistemin. Vini re se SLAE, e përcaktuar nga një matricë katrore jo-singulare me madhësi 2x2, përcakton një palë linjash ndërprerëse në rrafsh (shih figurën më poshtë). Vlen gjithashtu të thuhet se nëse sistemi do të ishte konsistent, atëherë paraqitja gjeometrike e ekuacioneve do të ishte dy linja që përputhen që përshkruajnë një numër të pafund zgjidhjesh. Oriz. 19. Paraqitja grafike e një SLAE të papajtueshme Fig. 20. Grafiku i seksioneve të mbetjes f(x)= A x b në varësi të x 1 Është e lehtë të merret me mend se në rastin njëjës në shqyrtim, do të ketë pafundësisht shumë pseudozgjidhje të sistemit (37) duke minimizuar mbetjen A x b. , dhe do të shtrihen në vijën e tretë të drejtë paralele me dy të paraqitura në Fig. 19 dhe ndodhet në mes ndërmjet tyre. Kjo është ilustruar në Fig. 20, i cili tregon disa seksione të funksionit të mbetur f(x) = A x b, të cilat tregojnë praninë e një familje minimale me të njëjtën thellësi. Për të përcaktuar një zgjidhje unike, duhet zgjedhur nga i gjithë grupi i pseudo-zgjidhjeve atë që ka
3 6. SLAE të degjeneruara dhe të pakushtëzuara 3 sipas normës më të vogël. Kështu, në rastin njëjës, për të marrë një zgjidhje të dallueshme, është e nevojshme të zgjidhet numerikisht një problem minimizimi shumëdimensional. Megjithatë, siç do të shohim më vonë, një mënyrë më efikase është përdorimi i rregullimit ose zbërthimit të matricës ortogonale (shih përkatësisht 7 dhe 10). Le t'i drejtohemi tani sistemeve të pakushtëzuara, d.m.th. SLAE me matricën A, përcaktorja e së cilës nuk është e barabartë me zero, por kushti numër A -1 A është i madh. Përkundër faktit se sistemet e pakushtëzuara kanë një zgjidhje unike, në praktikë shpesh nuk ka kuptim të kërkosh këtë zgjidhje. Le të shqyrtojmë vetitë e SLAE-ve të pakushtëzuara duke përdorur dy shembuj specifikë të SLAE-ve shumë të afërta të pakushtëzuara me të njëjtën anën e djathtë b dhe matrica paksa të ndryshme A dhe B: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Pavarësisht afërsisë së këtyre sistemeve, zgjidhjet e sakta të tyre rezultojnë të jenë shumë larg njëra-tjetrës, përkatësisht: y A = , y B = (39) Nëse kujtojmë praninë e zhurmës, d.m.th. në lidhje me gabimin gjithmonë të pranishëm në të dhënat hyrëse, bëhet e qartë se zgjidhja e sistemeve të pakushtëzuara duke përdorur metoda standarde nuk ka fare kuptim. Kujtojmë se problemet për të cilat gabimet e vogla të modelit (matrica A dhe vektori b) çojnë në gabime të mëdha zgjidhjeje quhen të pasakta. Kështu, SLAE-të e pakushtëzuara janë një shembull tipik i problemeve të shtruara keq. Për më tepër, duhet të theksohet se për një sistem me dy ekuacione është e lehtë të merret një zgjidhje e saktë, por kur zgjidhet një SLAE me dimensione të larta (përfshirë me algoritmin "e saktë"
4 4 6. SLAE Gaussian të degjeneruara dhe të pakushtëzuara) edhe gabime të vogla rrumbullakimi që grumbullohen në mënyrë të pashmangshme gjatë llogaritjeve çojnë në gabime të mëdha në rezultate. Shtrohet pyetja: a ka kuptim të kërkosh një zgjidhje numerike nëse dihet paraprakisht se, për shkak të paqëndrueshmërisë së vetë problemit, mund të rezultojë krejtësisht e pasaktë? Për të kuptuar më tej arsyen e pasaktësisë, është e dobishme të krahasohet interpretimi grafik i një sistemi të kushtëzuar pusi (Fig. 21) dhe i dobët (Fig. 22) i dy ekuacioneve. Zgjidhja e sistemit vizualizohet nga pika e kryqëzimit të dy vijave të drejta që përfaqësojnë secilin prej ekuacioneve. Oriz. 21. Grafiku i një SLAE të kondicionuar mirë Fig. 22. Grafiku i SLAE të keq-kushtëzuar Nga Fig. 22 mund të shihet se linjat e drejta që korrespondojnë me SLAE të pakushtëzuara janë të vendosura në afërsi me njëra-tjetrën (pothuajse paralele). Në këtë drejtim, gabimet e vogla në vendndodhjen e secilës prej linjave mund të çojnë në gabime të rëndësishme në lokalizimin e pikës së kryqëzimit të tyre (zgjidhjet e SLAE), në krahasim me rastin e një sistemi të mirëkushtëzuar, kur gabime të vogla në pjerrësia e vijave kanë pak efekt në vendndodhjen e pikës së tyre të kryqëzimit (Fig. 21).
5 6. SLAE të degjeneruara dhe të pakushtëzuara 5 Vini re se matrica e pakushtëzuar është gjithashtu tipike kur rindërtoni të dhëna eksperimentale të dhëna nga SLAE të mbipërcaktuara (të papajtueshme) (për shembull, në problemet e tomografisë). Për të zgjidhur problemet e shtruara keq, në veçanti, SLAE të degjeneruara dhe të pakushtëzuara, është zhvilluar një metodë shumë efektive e quajtur rregullimi. Ai bazohet në marrjen parasysh të informacionit shtesë a priori rreth strukturës së zgjidhjes, i cili është shumë shpesh i disponueshëm në raste praktike.
10. Zbërthimet QR- dhe SVD: SLAE-të “të këqija” 1 10. Zbërthimet QR- dhe SVD: SLAE-të “të këqija” Ndër zbërthimet e matricës, një rol të veçantë luajnë ato ortogonale, të cilat kanë vetinë të ruajnë normën e vektor. Le t'ju kujtojmë
7. Rregullimi 1 7. Rregullimi Për të zgjidhur problemet e shtruara keq, matematikani sovjetik Tikhonov propozoi një metodë të thjeshtë por jashtëzakonisht efektive të quajtur rregullim dhe të bazuar në përfshirjen
Shembull: peshimi 1 Shembull: peshimi Le të japim një interpretim edhe më të thjeshtë të problemit të anasjelltë që lidhet me përpunimin e rezultateve të një eksperimenti, për shembull, peshimi i objekteve të dy llojeve
Tema Metodat numerike të algjebrës lineare - - Tema Metodat numerike të algjebrës lineare Klasifikimi Ka katër seksione kryesore të algjebrës lineare: Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU me emrin KTynystanov RRETH NJË ZGJIDHJE TË PËRAFARSHME TË SISTEMEVE TË KUSHTETuara TË EKUACIONET LINEARE ALGEBRIK Ky artikull paraqet algoritme për dy metoda për zgjidhjen e dobët
Punëtori speciale kompjuterike me kërkime shkencore Nikolai Matveevich Andrushevsky, Fakulteti i Shkencave Kompjuterike, Universiteti Shtetëror i Moskës Abstrakt Punëtoria bazohet në një studim të detajuar të metodës së zbërthimit të vlerave njëjës të matricave dhe aplikimit të saj
Sisteme të mbipërcaktuara të ekuacioneve lineare Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander SLAE të mbipërcaktuara SLAE të mbipërcaktuara Konsideroni SLAE Ax = b, por në rastin kur ka më shumë ekuacione,
Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare Konceptet themelore Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (SLAE) është një sistem i formës a a, a a a, a a Mund të paraqitet si një ekuacion matricë
Provimi Ne LA për bachelor të ekonomisë në vitin akademik 04-0, Gjeni vektorin Ne (6 4; 6 8) dhe Ne DEMO opsionin 0 (x; y) (për të cilin Ne dhe x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Ekuacioni i një drejtëze në hapësirë 1 Një drejtëz është kryqëzimi i dy rrafsheve. Një sistem me dy ekuacione lineare me tre të panjohura. Një vijë e drejtë në hapësirë mund të përkufizohet si kryqëzimi i dy planeve. Le
LEKTURA 6 DETYRA SPEKTRALE. Metodat e zbritjes Në leksionin e fundit u morën parasysh metoda përsëritëse të tipit variacional. Për sistemin Au = f, për të cilin A = A, u prezantua funksioni Φ(u, u).
11. Reduktimi linear 1 11. Reduktimi linear Le ta përfundojmë bisedën tonë për problemet e anasjellta lineare duke paraqitur një qasje tjetër të quajtur reduktim. Në fakt, është shumë afër rregullimit (në disa
01 1. Gjeni zgjidhjet e përgjithshme dhe themelore të sistemit të ekuacioneve: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, duke zgjedhur x dhe x si variabla bazë. Përgjigje: Nëse zgjedhim si variabla bazë
Demo 01 1. Gjeni zgjidhjet e përgjithshme dhe themelore të sistemit të ekuacioneve: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, duke zgjedhur x dhe x si variabla bazë. 2. Gjeni bazën e sistemit
Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin NE Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore, Departamenti i Modelimit Matematik ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V., Kandidat i Shkencave Sociologjike, Profesor i Asociuar, Profesor i Asociuar i Departamentit të Sistemeve të Informacionit Rusi, Belgorod Kichigina A.K. Student i vitit të 4-të, Instituti i Teknologjive Inxhinierike dhe Shkencave të Natyrës
6 Metodat e përafrimit të funksionit. Përafrimi më i mirë. Metodat e përafrimit të diskutuara në kapitullin e fundit kërkojnë që nyjet e funksionit të rrjetit t'i përkasin rreptësisht interpolantit që rezulton. Nëse nuk kërkon
ELEMENTET E ALGJEBRËS LINEARE KLASIFIKIMI I MATRIKËVE DHE VEPRIMET MBI TO Përcaktoni një matricë Klasifikimi i matricave sipas madhësisë Çfarë janë matricat zero dhe identitare? Në cilat kushte matricat konsiderohen të barabarta?
) Koncepti i SLAE) Rregulli i Kramerit për zgjidhjen e SLAE) Metoda e Gaussian 4) Rangu i matricës, teorema Kronecker-Capelli 5) Zgjidhja e SLAE me inversion matricë, koncepti i kushtëzimit të matricave) Koncepti i SLAE O. Sistemi SLAE
Llogaritjet paralele në tomografi Metodat algjebrike të tomografisë kompjuterike. Problemi i tomografisë kompjuterike në formë diskrete Problemi i tomografisë kompjuterike në formë diskrete. Në të kundërt
LEKTURA 2 ZGJIDHJA NUMERIKE E SLAE Si rregull, gjatë zgjidhjes së shumicës së problemeve praktike, problemi i zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) paraqitet në formën e disa nëndetyrave ndihmëse.
Shembuj të problemeve themelore në metodën LA Gaussian Sisteme të caktuara ekuacionesh lineare Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Gaussian x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Gaussian 6
Përkufizimi i Kërkimit të Operacioneve Një operacion është një ngjarje që synon arritjen e një qëllimi të caktuar, duke lejuar disa mundësi dhe menaxhimin e tyre Përkufizimi Kërkimi operacional një grup matematikor
Leksioni 3. 3. Metoda e Njutonit (tangjentet. Le të vendosim një përafrim fillestar [,b] dhe të linearizojmë funksionin f(në fqinjësi duke përdorur një segment të serisë Taylor f(= f(+ f "((-. (5 në vend të ekuacionit (ne zgjidhim
Ekuacionet e drejtëzës dhe rrafshit Ekuacioni i drejtëzës në rrafsh.. Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës. Një shenjë e paralelizmit dhe pingulitetit të vijave. Në koordinatat karteziane, çdo vijë e drejtë në rrafshin Oxy përcaktohet
Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik A.N. Kasikov,
Shembuj të plotësimit të fletëve testuese gjatë mësimit në distancë Punimi i testit 1 (CR-1) Tema 1. Algjebër lineare Detyra 1 Është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve të paraqitur në detyrë në formën Parametrat konstante
Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin. N.E. Fakulteti Bauman Departamenti i Shkencave Themelore të Matematikës së Lartë Gjeometria analitike Moduli 1. Algjebra matricore. Ligjërata e algjebrës vektoriale
Biletë. Matricat, veprimet mbi to.. Ekuacioni i një parabole në sistemin koordinativ kanonik. Biletë. Vetitë e veprimeve të matricës Pozicioni relativ i një linje dhe një rrafshi. Këndi ndërmjet tyre, kushtet e paralelizmit
3 PËRMBAJTJA 1. Qëllimet dhe objektivat e disiplinës 4. Vendi i disiplinës në strukturën e BOP 4 3. Struktura dhe përmbajtja e disiplinës 5 3.1. Struktura e disiplinës 5 3.. Përmbajtja e disiplinës 6 4. Lista e materialeve edukative dhe metodologjike
MËSIMET PRAKTIKE Mësimi KUSHTET E NEVOJSHME DHE KUSHTET E MJAFTUESHME PËR NJË EKSTREM TË PAKUSHTËZUAR Paraqitja e problemit Duke pasur parasysh një funksion dy herë vazhdimisht të diferencueshëm f (), të përcaktuar në grupin X R Kërkohet të hetohet
Zgjidhje të problemeve në algjebër për semestrin e dytë D.V. Gorkovets, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 Hapësirat lineare vektoriale Problemi 1. A janë të varur linearisht vektorët në R4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Institucioni Buxhetor Arsimor Federal Shtetëror i Arsimit të Lartë Profesional "Universiteti Financiar nën Qeverinë e Federatës Ruse" (Universiteti Financiar) DEPARTAMENTI I "MATEMATIKËS"
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Trego se vektori;;) ;;) ; ;) formoni bazën e vektorit dhe shkruani një kombinim linear të vektorit Nëse;;) në këta vektorë gjeni X nga ekuacioni Tregoni se vektori;)
Teorema Kronecker-Capelli. Zgjidhja e SLAE-ve duke përdorur metodën Gaussian. Rangu i matricës. Konsideroni një matricë drejtkëndore me m rreshta dhe kolona: A. m m m Le të zgjedhim rreshta dhe kolona arbitrare në këtë matricë. Elementet
Sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore Një sistem ekuacionesh të formës quhet sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh në dy ndryshore është një çift vlerash
ALGJEBRA LINEARE Ligjërata Vija dhe rrafshi në hapësirë Përmbajtja: Ekuacioni i një plani Rregullimi i ndërsjellë i rrafsheve Ekuacioni vektor-parametrik i një drejtëze Ekuacionet e një drejtëze nga dy pika Drejtëza
UNIVERSITETI SHTETËROR I ST PETERSBURG Fakulteti i Matematikës së Aplikuar të Proceseve të Kontrollit A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY PRAKTIKU MBI METODAT NUMERIKE MINIMIZIMI I FUNKSIONIT KUADRATIK Metodike.
0 g 6 Procedura FORA GJENDJA NUMRI I NJË MATRICË SI TREGUES I STABILITETIT NË ZGJIDHJEN E PROBLEMEVE TË APLIKUARA R Tsey, MM Shumafov Adygea State University, Maikop Numri i gjendjes së një matrice
MATRICAT, PËRCAKTORËT, SISTEMET E EKUACIONET LINEARE Metoda e kufirit të minorave për gjetjen e renditjes së një matrice A = m m m minor K i vogël i rendit k të një matrice A është çdo përcaktues i rendit kth të kësaj matrice,
LEKTURA 4 METODAT ITERATIVE PËR ZGJIDHJEN E SLAE Për të reduktuar gabimin e lidhur me rrumbullakimin, përdorni algoritmin e mëposhtëm Le të jetë një zgjidhje e saktë e sistemit, u një zgjidhje numerike Më pas prezantojmë
1. Sistemet lineare dhe matricat 1. Përcaktoni shumëzimin e matricës. A është ky operacion komutativ? Shpjegoni përgjigjen. Prodhimi C i matricave A dhe B përcaktohet si m p m p A B ij = A ik B kj. Operacioni nuk është komutativ.
MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS SË FEDERATËS RUSE UNIVERSITETI SHTETËROR TOMSK I SISTEMEVE TË KONTROLLIT DHE RADIO ELEKTRONIKËS (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikov A.A. Mitzel PROBLEME MATEMATIKE TË PASAKTA
METODAT NUMERIKE TË ALGJEBRËS LINEARE Seksioni "Metodat numerike të algjebrës lineare" diskuton metodat numerike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) dhe metodat numerike për zgjidhjen e problemeve
GJEOMETRI ANALITIKE 3 RRUGË Ligjërues P. V. Golubtsov 1.1. Vektorët. Lista e pyetjeve për pjesën e parë të provimit 1. Formuloni përkufizimin e veprimeve lineare mbi vektorët. Listoni vetitë e operacioneve lineare
Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare Konsideroni një sistem m ekuacionesh algjebrike lineare me të panjohura b b () m m m bm Sistemi () quhet homogjen nëse të gjithë termat e tij të lirë b b b m janë të barabartë
4. Sistemet e ekuacioneve lineare. Konceptet themelore Një ekuacion quhet linear nëse përmban të panjohura vetëm në shkallën e parë dhe nuk përmban produkte të të panjohurave, d.m.th. nëse ka formën + + +
Algjebra lineare Leksioni 7 Vektorët Hyrje Në matematikë ekzistojnë dy lloje madhësish: skalarët dhe vektorët Një skalar është një numër dhe një vektor kuptohet intuitivisht si një objekt që ka madhësi dhe drejtim Njehsimi vektorial.
Lista e pyetjeve për provimin e metodave numerike (28 maj 2018) 0.1 Integrimi numerik 1. Listoni metodat për llogaritjen e integraleve jo të duhura. Ndërtoni një formulë kuadratike për të llogaritur integralin
Llogaritjet paralele në tomografi Metoda e thjeshtë e përsëritjes. Metoda e zbritjes së shpejtë. Metoda ART. Metoda SIRT. Në metodën e përsëritjes së thjeshtë, faktorët e relaksimit τ k dhe matricat H k nuk varen nga numri
Hyrje në Algjebrën e Matricës Lineare. Përkufizimi. Një tabelë me m n numra të formës m m n n mn e përbërë nga m rreshta dhe n kolona quhet matricë. Elementet e matricës numërohen në mënyrë të ngjashme me elementet e përcaktorit
LEKTURA 7 INTERPOLIMI Në ligjëratën e fundit u shqyrtua problemi i zgjidhjes së një sistemi të mbipërcaktuar. Një sistem i tillë ka formën: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
PYETJE TEORIKE I. MATRICAT, PËRCAKTORËT 1) Jepni një përkufizim të një matrice. Cilat janë matricat zero dhe identiteti? Në cilat kushte matricat konsiderohen të barabarta? Si kryhet operacioni i transpozimit? Kur
Leksioni 7 REDULIMI I KORVE TË RENDIT TË DYTË NË FORMË KANONIKE. Shndërrimi i bazave dhe koordinatave në rrafsh Le të jepen në rrafsh dy sisteme koordinative karteziane drejtkëndëshe me një origjinë të përbashkët:
Algjebër lineare Moduli 1. Hapësirat lineare dhe Euklidiane. Operatorët linearë në hapësirën lineare Leksion 1.4 Abstrakt Eigenvectors dhe eigenvalues të një operatori linear, vetitë e tyre.
UDC. SINTEZA E FILTRAVE DIGJITALE REKURSIVE NGA KARAKTERISTIKAT E IMPULSIT TË PËRCAKTUARA NGA NJË FUNKSION MATEMATIK KONTROLLOR Nikitin D.A., Khanov V.Kh. Hyrje Në arsenalin modern të metodave për sintetizimin e rekursive
Kapitulli 8 Funksionet dhe grafikët Variablat dhe varësitë ndërmjet tyre. Dy madhësi quhen drejtpërdrejt proporcionale nëse raporti i tyre është konstant, domethënë nëse =, ku është një numër konstant që nuk ndryshon me ndryshimet
Metoda e Gausit (metoda e eliminimit të të panjohurave) Dy sisteme quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse zgjidhjet e tyre përputhen. Mund të shkoni në një sistem ekuivalent duke përdorur transformime elementare
Puna laboratorike nr.3
Zgjidhja e sistemeve të pakushtëzuara të ekuacioneve algjebrike lineare
Metoda e rregullimit
Parametrat hyrës: n-numër i plotë pozitiv i barabartë me rendin n të sistemit; a është një grup prej n x n numrash realë që përmbajnë matricën e koeficientëve të sistemit; b - një grup prej n numrash realë që përmbajnë një kolonë termash të lirë të sistemit (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Parametrat e daljes: x – zgjidhja e sistemit; p-numri i përsëritjeve.
Diagrami i algoritmit është paraqitur në Figurën 18.
Teksti i programit:
procedura regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektor; alfa,s1,s:real; max,eps:real; i,j,k,l:numër i plotë;
Jashtë_Slau_T(n,a,b);
Për I:=1 Për n Do (duke marrë A T A)
Për K:=1 Për N Do
Për J:=1 Për N Bëj S:=S+A*A;
Për I:=1 Për N Bëj (duke marrë A T B)
Për J:=1 Për N Do
Fillimi S:=S+A*B[j];
alfa:=0; (vlera fillestare alfa)
k:=0; (numri i përsëritjeve)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;
për i:=1 deri në N bëj a2:=a1+alfa; (duke marrë A T A+alfa)
për i:=1 deri në N bëj b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (duke marrë A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
për i:=2 deri në n bëj
nëse abs(b2[i]-X[i])>max atëherë max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Figura 18 - Skema e algoritmit të metodës së rregullimit
Variantet e detyrave për zgjidhjen e sistemeve të pakushtëzuara duke përdorur metodën e rregullimit janë dhënë në Tabelën 3.
Metoda e rrotullimit (Givens)
Diagrami i algoritmit është paraqitur në figurën 19.
Shembull. Zgjidh sistemin e ekuacioneve
Teksti i programit:
PROCEDURA Vrash;
Var I,J,K: Integer; M,L,R: Real; F1:TEXT; Etiketa M1,M2;
Jashtë_Slau_T(nn,aa,b);
për i:=1 deri në Nn bëj
Për I:=1 Për Nn-1 Do Filloni
Për K:=I+1 Për Nn Do Filloni
Nëse (Aa0.0) Pastaj Shkoni M1; Nëse (Aa0.0) Pastaj Shkoni M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1.0*Aa/M;
M2:Për J:=1 Për Nn Do Filloni
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
Për I:=Nn Downto 1 Do Fillo
Për K:=0 Për Nn-I-1 Do Filloni M:=M+Aa*Aa; Fundi;
Aa:=(Aa-M)/Aa; Fundi;
për i:=1 deri në Nn bëj x[i]:=Aa;Fund;
Llogaritjet sipas programit çuan në rezultatet e mëposhtme:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Figura 19 - Skema e algoritmit të metodës Givens (rotacioni)
Opsionet e detyrave
Tabela 3
|
Matrica A |
Matrica A |
||||||
Tema e punës laboratorike nr.3 për kontrollin e njohurive është ilustruar me një program kontrolli dhe trajnimi.
Puna laboratorike nr.4
Zgjidhja e ekuacioneve jolineare dhe sistemeve të ekuacioneve jolineare
Metoda e thjeshtë e përsëritjes
Procedura për kryerjen e punës laboratorike:
Gjeni përafrimin zero të zgjidhjes;
Shndërroje sistemin f(x) = 0 në formën x = Ф(x);
Kontrolloni gjendjen e konvergjencës së metodës.
Diagrami i algoritmit është paraqitur në Figurën 20.
Shembull. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e thjeshtë të përsëritjes
Si një përafrim zero, zgjedhim pikën x = 1, y = 2,2, z = 2. Le ta transformojmë sistemin në formën
Teksti i programit:
PROCEDURA Iteraz;
Var I,J,K,J1: Integer;
X2,X3,Eps: Real;
Eps:=0.01; X2:=0.0; K:=1;
Për J:=1 Për Nn Do Filloni
Për I:=1 Për Nn Do Filloni S:=S+Aa*Xx[i]; Fundi;
Për J1:=1 Për Nn Do Filloni Xx:=R; Fundi; X3:=Xx;
Për I:=1 Për Nn Do Filloni Nëse (Xx[i]>=X3) Pastaj X3:=Xx[i]; Fundi;
Për I:=1 Për Nn Do Filloni Xx[i]:=Xx[i]/X3; Fundi;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Nëse (U1>=Eps) Atëherë X2:=X1;
Deri në ((K>=50) ose (U1
Llogaritjet sipas programit çuan në rezultatet e mëposhtme:
X(1) = 1,1132 X(2) = 2,3718 X(3) = 2,1365
Numri i përsëritjeve: 5
Figura 20 - Skema e algoritmit të metodës së përsëritjes së thjeshtë
Metoda e Njutonit
Programi mund të përdoret për të zgjidhur sisteme të rendit jo më të lartë se të dhjetën.
Parametrat e hyrjes: n - numri i ekuacioneve të sistemit (përkon me numrin e të panjohurave), n £ 10; x-varg me n numra realë që përmbajnë supozimin fillestar të zgjidhjes; f është emri i procedurës së jashtme f(n, x, y), e cila llogarit vlerat aktuale të funksionit f nga vlerat e dhëna x të vendosura në elementet e grupit x dhe i vendos ato në elementet i grupit y; g - emri i procedurës së jashtme g(n, x, d), e cila llogarit elementet e matricës nga vlerat e dhëna x nga grupi x 
, i cili ndodhet në një grup d me dimension n x n; eps - vlera e kushtit për përfundimin e procesit iterativ.
Parametrat e daljes: x - një grup prej n numrash realë (i njohur edhe si hyrje) përmban vlerën e përafërt të zgjidhjes kur del nga nënprogrami; k është numri i përsëritjeve.
UDC 519.61:621.3
V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*
RRETH NJË QASJE TË ZGJIDHJES SË NJË SISTEMI TË PAKUNDIZUAR TË EKUACIONET ALGJEBRIK LINEAR QË PËRSHKRUAJNË NJË OBJEKT FIZIK
Instituti për Problemet e Makinave dhe Sistemeve Matematikore të Akademisë Kombëtare të Shkencave të Ukrainës, Kiev, Ukrainë
Abstrakt. Është treguar se gjasat e rezultateve të modelimit të objekteve fizike, një model diskret i të cilit përshkruhet nga një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (SLAR), nuk qëndron si rezultat i dizajnit të dobët të matricës, por si rezultat i përzgjedhje e gabuar SLAR e ndryshueshme në fazën e niveleve të palosura duke përdorur metodën e potencialeve të nyjeve ose analogëve të saj, dhe vetë metodës Kjo është një largim i madh nga metoda e vendosjes së saktë të detyrës Një metodë për kontrollimin e korrektësisë së SLAR, e formuar nga Është propozuar metoda e potencialeve të nyjeve, e cila ka një matricë simetrike të pagjeneruar, dhe është e nevojshme të shndërrohet në formën e duhur.
Fjalët kyçe: sistem, modelim, vendosje e gabuar, arsyetim i keq, sistem ekuacionesh algjebrike lineare, metodë e potencialeve të nyjeve, metodë e vendosjes së saktë të detyrës, kontroll i saktësisë.
Shënim. Është treguar se besueshmëria e rezultateve të modelimit të objekteve fizike, modeli diskret i të cilave përshkruhet nga një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (SLAE), varet jo nga kushtëzimi i dobët i matricës, por nga zgjedhja e gabuar e variablave SLAE. në fazën e përpilimit të ekuacioneve duke përdorur metodën e potencialeve nodale ose analoge të saj, dhe vetë metoda është një rast i veçantë i metodës së formulimit të saktë të problemit. Propozohet një teknikë për kontrollimin e korrektësisë së një SLAE të përpiluar me metodën e potencialeve nodale, me një matricë jo të degjeneruar dhe simetrike, dhe nëse është e nevojshme, konvertimin e saj në një formë të saktë.
Fjalët kyçe: sistem, modelim, problem i shtruar keq, kushte jo të mira, sistem ekuacionesh algjebrike lineare, metoda e potencialeve nyjore, metoda e formulimit të saktë të problemit, kontrolli i saktësisë.
Abstrakt. Punimi tregon se besueshmëria e rezultateve të simulimit të objekteve fizike, i cili model diskret përshkruhet nga një sistem i ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) nuk varet nga matrica me kushte të dobëta, por nga një zgjedhje e gabuar e ndryshores SLAE në fazën e gjenerimit të ekuacioneve. nga një metodë potenciale nyje ose analoge të saj, dhe metoda është një rast i veçantë i një metode të deklarimit të saktë të një problemi. U sugjerua metoda e check-out mbi një korrektësi të SLAE, e bërë me metodën e potencialit nyjor, me matricë josingulare dhe simetrike dhe nëse është e nevojshme shndërrimi i saj në një formë të saktë.
Fjalë kyçe: sistem, simulim, problem i gabuar, i kushtëzuar keq, sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare, metoda e potencialit të nyjeve, metoda e deklarimit të saktë të një problemi, kontrolli i një korrektësie.
1. Hyrje
Shumë probleme të modelimit të objekteve fizike (teknike) vijnë në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE). Meqenëse të gjitha llogaritjet gjatë zgjidhjes së sistemeve të tilla kryhen me një numër të kufizuar shifrash domethënëse, saktësia mund të humbet ndjeshëm për shkak të gabimeve të rrumbullakosjes. Një sistem i kushtëzuar dobët (i paqëndrueshëm) ose, në një formulim më të përgjithshëm, një problem i shtruar gabimisht konsiderohet të jetë një problem që, duke pasur parasysh një nivel fiks të gabimeve të të dhënave hyrëse dhe saktësisë së llogaritjes, nuk garanton ndonjë saktësi në zgjidhje. Numri i kushtit përdoret si një vlerësim a priori më i keq i gabimeve të mundshme në zgjidhjen e SLAE. Siç del nga literatura, zhvillimi i metodave për zgjidhjen e problemeve të shtruara keq konsiderohet si një problem thjesht matematikor, në të cilin veçoritë e objekteve fizike (teknike) nuk merren parasysh, pavarësisht se zgjidhja numerike e shumë problemeve. të fizikës matematikore dhe modelimit matematik të proceseve komplekse fizike
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014
bufat dhe sistemet teknike është një burim i pashtershëm i problemeve lineare të algjebrës. Për klasën e listuar të problemeve, kur zhvillohen metoda zgjidhjeje, nuk merret parasysh faza e përpilimit të një SLAE, në të cilën në një mënyrë ose në një tjetër është e mundur të merren parasysh tiparet e një problemi specifik. Fakti që kjo fazë duhet të merret parasysh konfirmohet nga rezultatet e punimeve të mëposhtme.
Para së gjithash, vlen të përmendet puna, e cila ofron shembuj të matricave për të cilat humbja e saktësisë gjatë zgjidhjes së SLAE është e vogël, dhe vlera e numrit të kushtit është e madhe, domethënë tregohet se kriteri i pranuar përgjithësisht për Një vlerësim apriori i saktësisë së zgjidhjes së SLAE bazuar në numrin e kushtit është i nevojshëm, por jo i mjaftueshëm. Një qasje krejtësisht e re për zgjidhjen e një problemi të shtruar keq u propozua në punë. Ai qëndron në faktin se për të rritur saktësinë e zgjidhjes së SLAE-ve, qoftë edhe me një vlerë të madhe të numrit të kushtit, në fazën e përshkrimit të një modeli diskret të një objekti fizik, propozohet të hartohen saktë SLAE-të. Kjo do të thotë jo vetëm që ekzistojnë matrica të tilla, siç raportohet në punim, por gjithashtu se është propozuar një metodë për përpilimin e saktë të një matrice SLAE që përshkruan një model diskret të një objekti. Metoda për përpilimin e një matrice të SLAE-ve konsiderohet në lidhje me problemet e modelimit të sjelljes së qarqeve elektrike, sistemeve të energjisë, sistemeve me shufra të mekanikës dhe ekuacioneve eliptike të fizikës matematikore.
Thelbi i kësaj metode është se, ndryshe nga metodat ekzistuese, kur formohet një SLAE, parametrat e një modeli diskret të një objekti fizik merren parasysh nga një zgjedhje e synuar e variablave. Duhet të theksohet se metoda është e zbatueshme vetëm për ato objekte, topologjia diskrete e modelit të të cilëve përfaqësohet nga një grafik.
Kjo kërkesë plotësohet nga modeli i projektimit të qarkut elektrik dhe sistemit të energjisë. Për shumë probleme të modelimit matematik të proceseve komplekse fizike, sistemeve teknike dhe fizikës matematikore, nuk përdoret paraqitja e topologjisë së një modeli diskret në formën e një grafiku. Punimet tregojnë se kufizimi i mësipërm hiqet duke paraqitur topologjinë e elementeve të skemave llogaritëse të një modeli diskret të një objekti fizik në formën e një grafiku. Ekziston edhe një metodë për paraqitjen e topologjisë së elementeve në formën e grafikëve.
Në këtë punim, ne do të propozojmë një metodë për korrigjimin e një problemi të shtruar gabimisht për rastin kur topologjia e një modeli diskret nuk paraqitet në formën e një grafiku. Kur zhvillojmë metodën, marrim parasysh faktin se metoda e pranuar përgjithësisht për përshkrimin e modeleve diskrete të problemeve në fizikën matematikore dhe proceseve komplekse fizike dhe sistemeve teknike (metoda e potencialit nodal) është një rast i veçantë i metodës për përpilimin e saktë të matricës SLAE. .
2. Marrëdhënia midis saktësisë së zgjidhjes së SLAE që përshkruan një model diskret të objektit dhe metodës së kompozimit të ekuacioneve
Akademiku Voevodin V.V. tregoi në punën e tij se saktësia më e lartë e rezultateve të zgjidhjes së SLAE-ve duke përdorur metodën Gaussian arrihet kur përdoret metoda me zgjedhjen e elementit kryesor. Mbi këtë ide janë botuar një numër i madh veprash. Megjithatë, zgjidhja e problemeve praktike ka treguar se saktësia e zgjidhjes së SLAE-ve, veçanërisht në rastin e matricave të pakushtëzuara, humbet ndjeshëm për shkak të gabimeve të rrumbullakosjes, domethënë për të përmirësuar saktësinë e rezultateve në fazën e zgjidhjes, nuk mjafton. për të përdorur thjesht metodën Gaussian me zgjedhjen e elementeve kryesore.
Një zhvillim i mëtejshëm i kësaj ideje është metoda e propozuar në vepër, ku propozohet që në fazën e përpilimit të një përshkrimi të një modeli diskret të një objekti, të formohen elementet diagonale të matricës si ato kryesore. Për ta bërë këtë, kur përpiloni një përshkrim, përdoren informacione shtesë, përkatësisht parametrat e modelit diskret. Efektiviteti i kësaj qasjeje, përkatësisht, varësia e saktësisë së zgjidhjes së SLAE që përshkruan diskrete
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
Një model i ri i objektit, nga metoda e kompozimit të ekuacioneve, do të demonstrohet duke përdorur një shembull model. Më poshtë do të shqyrtojmë përpilimin e një përshkrimi të një shembulli modeli duke përdorur metodën e përshkruar në, me dhe pa zgjedhur elementin kryesor dhe zgjidhjen e tij.
Qarku elektrik i paraqitur në Fig. 1 u zgjodh si shembull model. 1.
Oriz. 1. Qarku elektrik
Dihet se kushtëzimi i SLAE që përshkruan një qark elektrik varet nga diapazoni i përhapjes së vlerave të përçueshmërisë (rezistencës) të përbërësve të qarkut. Gama e zgjedhur e ndryshimeve në përçueshmërinë e përbërësve të qarkut elektrik, e barabartë me 15 rend, siguron kushtëzimin e dobët të SLAE dhe kështu, siç besohet zakonisht, pasaktësinë e problemit. Duke përdorur shembullin e llogaritjes së potencialit të nyjës 2 (tensioni në komponentin G2), do të analizohet varësia e besueshmërisë së rezultateve të llogaritjes nga mënyra e formimit të elementit diagonal gjatë përpilimit të një përshkrimi të qarkut elektrik.
Më poshtë janë dispozitat kryesore të nevojshme për zgjidhjen e një shembulli model duke përdorur metodën e formulimit të saktë të problemit. Ndërtimi i një modeli matematikor të një qarku elektrik duke përdorur këtë metodë bazohet në sistemin bazë të ekuacioneve të qarkut elektrik, i cili përfshin ekuacionet përbërëse dhe ekuacionet e përpiluara në bazë të ligjeve të Kirchhoff. Për shembullin e modelit, ekuacioni i komponentit ka formën
ku U i është voltazhi i rënë në të gjithë komponentin, I është rryma që rrjedh nëpër komponent, Gt është përçueshmëria e komponentit.
Për të përshkruar grafikun e një qarku elektrik dhe, në përputhje me rrethanat, ekuacionet e bazuara në ligjet e Kirchhoff, përdoren matricat topologjike të kontureve dhe seksioneve. Grafiku i qarkut përkon me qarkun elektrik. Përpilimi i matricave topologjike të kontureve dhe seksioneve përfshin zgjedhjen e një peme të grafikut të qarkut dhe vizatimin e kontureve për pemën e zgjedhur. Pema e grafikut të qarkut elektrik zgjidhet në atë mënyrë që të gjitha burimet e tensionit të përfshihen në pemë, dhe të gjitha burimet e rrymës përfshihen në korda. Elementet në vektorët e tensionit U dhe rrymat I të përbërësve të qarkut grupohen në ato të përfshira në pemë (indeksi D), domethënë degët dhe kordat (indeksi X), kështu:
Konturet formohen duke bashkuar kordat me pemën e grafikut të qarkut. Në këtë rast
matrica topologjike e kontureve ka formën
ku 1 është nënmatrica njësi e kordave, t
Tregon transpozimin e matricës, dhe matrica topologjike e seksioneve është e formës |1 -F, ku 1 është nënmatrica njësi e degëve. Siç vijon nga , termat diagonale të matricës
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
do të jenë kryesoret në rastin kur përçueshmëritë e përbërësve të pemës në qarqe kanë përçueshmëri maksimale. Duke marrë parasysh llojin e matricave topologjike, ekuacionet e qarkut të përpiluara në bazë të ligjeve të Kirchhoff mund të shkruhen në formën e matricës si më poshtë:
=-ґid i tyre, (3)
Variablat e sistemit të përpiluar të ekuacioneve zgjidhen nga tensionet dhe/ose rrymat e komponentëve si rezultat i analizës së sistemit kryesor të ekuacioneve. Nëse komponentët e përfshirë në degët e pemës zgjidhen si tensione të ndryshueshme, ekuacionet përbërëse (1) dhe ekuacionet (3), (4) mund të transformohen në formën e mëposhtme:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
Më poshtë do të paraqesim përmbledhjen e ekuacioneve për një shembull model. Së pari, hartohet një përshkrim i qarkut elektrik në mënyrë që termat diagonale të matricës të jenë ato kryesore. Kjo kërkesë plotësohet nga grupi i përbërësve E1, G6, G3, G2 të përfshirë në pemë (në figurën 1, degët e pemës janë theksuar me një vijë të trashë). Vektorët e mëposhtëm të tensioneve dhe rrymave të komponentëve korrespondojnë me pemën e zgjedhur:
dhe matricat topologjike
Ekuacioni (5), duke marrë parasysh (6), (7) dhe ekuacionet përbërëse pas transformimeve, ka formën e mëposhtme:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) është i pakushtëzuar, pasi vlerat vetjake të matricës \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. Për të përcaktuar se si varet saktësia e rezultateve të zgjidhjes së sistemit nga zgjedhja e opsionit për kompozimin e ekuacioneve, llogaritja e potencialit Uq të nyjës 2 do të kryhet në formën e përgjithshme:
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
(g1+g2 +g4 +g5)-
Nga analiza e procesit llogaritës (9-11) rezulton se, megjithë gamën e madhe të ndryshimeve në vlerat e përçueshmërisë (15 rend të madhësisë), nuk ka kërkesa strikte për saktësinë përfundimtare të paraqitjes së numrave si kur kompozimi i ekuacioneve dhe gjatë zgjidhjes së tyre. Për të marrë një rezultat të besueshëm, mjafton të kryhet procesi llogaritës i përpilimit dhe zgjidhjes së SLAE me saktësinë e paraqitjes së numrave në dy shifra domethënëse.
Duhet të theksohet se në SLAE (8) elementi diagonal i rreshtit të dytë (kolona) të matricës G+G4+G5I është dukshëm më i madh (me 15 rend të madhësisë) se shuma e termave të mbetur.
rreshta (kolona) | G4 + 2G51. Kjo do të thotë që duke marrë UG = 0, ne mund të thjeshtojmë SLAE
(8), duke ruajtur besueshmërinë e rezultateve. Në epokën e numërimit manual, kjo teknikë korrespondonte me kombinimin e nyjës 2 me 3 (Fig. 1).
Në rastin e dytë (pa zgjedhur elementin diagonal si kryesor), mjafton që në pemë të zgjidhni komponentët Ex, G6, G4, G2 (në figurën 1, degët e pemës janë shënuar me vija të ndërprera.
linjë). Rënia e tensionit në këto komponentë korrespondon me potencialet e nyjeve 1, 4, 3, 2, të numëruara nga nyja zero. Kjo do të thotë se me një zgjedhje të tillë të komponentëve në pemë, metoda për kompozimin e saktë të matricës SLAE përkon me metodën e potencialeve nodale. Vektorët e mëposhtëm të tensioneve dhe rrymave të komponentëve korrespondojnë me pemën dhe kordat e zgjedhura:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
dhe matricat topologjike
Ekuacioni (5), duke marrë parasysh (12), (13) dhe ekuacionet përbërëse, do të marrë sa vijon
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Sistemi i ekuacioneve (14) është i pakushtëzuar, pasi ka eigenvlerat e mëposhtme të matricës: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Ashtu si në versionin e parë të shembullit, UG potencial i nyjës 2 do të llogaritet në formë të përgjithshme:
(G + G + G)------------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
Nga analiza e procesit llogaritës të zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve (15-17) rezulton se besueshmëria e rezultateve varet si gjatë kompozimit ashtu edhe në zgjidhjen e ekuacioneve nga saktësia përfundimtare e paraqitjes së numrave. Pra, nëse procesi llogaritës i zgjidhjes së sistemit (15-17) kryhet me një saktësi prej më pak se 15 shifra të rëndësishme, atëherë rezultati do të jetë
1015 +1015 ~ o,
dhe në rastin kur saktësia është më shumë se 15 shifra domethënëse, do të jetë
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
Nga krahasimi i matricave (8) dhe (14), si dhe i proceseve llogaritëse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve, vijojnë përfundimet e mëposhtme.
Metoda e potencialeve nodale është një rast i veçantë i metodës së propozuar në , domethënë, në metodën e potencialeve nodale, skajet e grafikut që lidhin nyjen bazë me pjesën tjetër zgjidhen gjithmonë në pemë.
Elementet diagonale të një matrice janë më të mëdhenj në modul se elementët e tjerë, si në rreshta ashtu edhe në kolona, pavarësisht nëse matrica është e përbërë me ose pa zgjedhjen e diagonaleve maksimale. Dallimi i vetëm është se sa më të mëdhenj janë elementët diagonale se sa ato jo diagonale. Kjo do të thotë se zgjidhja e këtij lloji SLAE duke përdorur metodën Gaussian me zgjedhjen e elementit kryesor nuk rrit saktësinë e rezultateve për këtë klasë problemesh.
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
Numri përfundimtar i shifrave domethënëse të përdorura në zgjidhjen Gaussian varet ndjeshëm nëse matrica është ndërtuar me ose pa përzgjedhjen e elementeve maksimale diagonale. Dallimi midis një versioni të problemit dhe një tjetri është vetëm se në fazën e kompozimit të ekuacioneve, në një rast përbërësi me përçueshmëri maksimale zgjidhet në pemë dhe kështu tensioni i këtij komponenti vepron si variabël në SLAE. Përçueshmëria e këtij komponenti përfshihet vetëm në formimin e elementit diagonal të matricës. Në një rast tjetër, ky komponent bie në akorde. Siç vijon nga ekuacioni (3), stresi i komponentit përcaktohet përmes stresit të përbërësve të pemës. Nga ekuacioni (4) del se përçueshmëria e komponentit merr pjesë në formimin e elementeve të rreshtave dhe kolonave, dhe kështu përçueshmëria e kordës përcakton madhësinë e këtyre elementeve të matricës.
3. Transformimi i matricës SLAE të përpiluar me metodën e potencialeve nodale në një formë që korrespondon me formulimin e saktë
Kur zgjidhen numerikisht problemet e fizikës matematikore dhe modelimi matematik i proceseve komplekse fizike dhe sistemeve teknike për përpilimin e SLAE-ve që përshkruajnë modele diskrete të këtyre problemeve, përdoret kryesisht metoda e potencialeve nodale ose analoge të saj. Një tipar dallues i kësaj metode është se si variabla SLAE përdoren potencialet e skemës së projektimit të modelit diskret, të numëruara nga nyja bazë në nyjet e mbetura, një algoritëm i thjeshtë për kompozimin e ekuacioneve dhe një matricë e mbushur dobët e SLAE. Çmimi për një efikasitet të tillë mund të jetë pasaktësia e detyrës. Duke marrë parasysh se metoda e potencialeve nodale është vetëm një nga variantet e metodës për shtrimin e saktë të problemit, një problem i paraqitur gabimisht mund të korrigjohet duke aplikuar një transformim matricë. Më poshtë do të shqyrtojmë një algoritëm për transformimin e një problemi të krijuar gabimisht me metodën e potencialeve nodale.
Nga e gjithë shumëllojshmëria e objekteve fizike, do të merren parasysh vetëm ato objekte, modeli diskret linear i të cilëve përshkruhet nga një SLAE me një matricë jo të degjeneruar dhe simetrike.
3.1. Algoritmi i transformimit të matricës
Kur zhvilloni një algoritëm të transformimit të matricës, përdoret fakti që elementi jo-diagonal j i rreshtit të i-të të matricës përfshihet në matricë me një shenjë minus dhe përmban një parametër model diskret që përshkruan lidhjen ndërmjet nyjeve i-të dhe j-të të modelit diskret. Elementi diagonal përfshihet në matricë me shenjë pozitive, përmban shumën e elementeve jo diagonale dhe një parametër model diskret që përshkruan lidhjen midis nyjës së i-të dhe asaj bazë. Zakonisht, kur numërohen nyjet e një modeli diskret, nyja bazë konsiderohet të jetë zero.
Siç vijon nga studimi i kryer më sipër, pasaktësia e problemit në nivelin e SLAE të përpiluar ndodh vetëm nëse të paktën një nga elementët jo-diagonale të linjës është dukshëm më i madh se parametri i modelit diskret, i cili përfshihet vetëm në elementin diagonal. Më poshtë është një metodologji për të kontrolluar korrektësinë e SLAE të përpiluar.
Lëreni SLAE të ketë formën
ku x është vektori i potencialeve nodale (ndikimet nodale), y është vektori i rrjedhave të jashtme, A është një matricë e formës
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
а11 а1і a1j a1n
aі1 a,і aj ain , (21)
aJ1 an1 ose aJJ ann
ku n është madhësia e matricës. Elementet e matricës plotësojnë kërkesat e mëposhtme:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
Më poshtë do të shqyrtojmë kontrollin e korrektësisë së rreshtit të i-të të matricës dhe, nëse është e nevojshme, korrigjimin e tij.
Para së gjithash, përcaktohet parametri i modelit diskret ait, i cili përfshihet vetëm në elementin diagonal të rreshtit i-të të matricës,
Rreshti i i i matricës konsiderohet të jetë i kompozuar saktë nëse parametri ait plotëson kushtin
1 < j < n, при j Ф і.
Nëse kushti (24) nuk plotësohet, rreshti i i rregullohet. Së pari, zgjidhet më i madhi nga elementët jo diagonale. Le të jetë ky elementi j-të i rreshtit i-të. Është e lehtë të verifikohet se, për shkak të specifikave të përbërjes së matricës (kushti (22)), parametri i modelit diskret, i cili është i përfshirë në formimin e elementeve o. dhe a.^ e drejtëzave i-të dhe j-të, përfshihet si pjesë përbërëse në elementet aii dhe a. . Thelbi i rregullimit të rreshtit të i-të është transformimi i rreshtave i-të dhe j-të të matricës në mënyrë që vlera e elementit të jetë a. përfshihej vetëm në elementin aii. Është e lehtë të shihet se, duke përfaqësuar variablin xi në formë
X = xj + xj (25)
dhe duke kryer transformimin e mëposhtëm të elementeve të kolonës j-të të matricës SLAE
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
fitojmë një kolonë të re j-të të matricës, në të cilën elementët e transformuar janë a. dhe a. nuk përmbajnë parametrin e modelit diskret që ka formuar elementet a. dhe a. .
Hapi tjetër është transformimi i rreshtit të j-të duke përdorur formulën
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Elementet a i të vargut j të transformuar nuk përmbajnë më parametrin e modelit diskret që i korrespondon elementit a i.
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
Kontrollimi i korrektësisë së matricës SLAE dhe korrigjimi i rreshtave të pasaktë kryhet për të gjithë matricën. Në këtë punë, merret parasysh vetëm qasja për ndërtimin e një algoritmi për konvertimin e një matrice në formën e duhur. Çështjet që lidhen me zhvillimin e një algoritmi efikas për shndërrimin e një matrice në një formë të saktë nuk janë marrë në konsideratë në këtë punë. Më poshtë do të japim një shembull të transformimit të matricës SLAE (14), të përpiluar me metodën e potencialeve nodale.
3.2. Shembull demo
Para së gjithash, duhet theksuar se matrica (14) është simetrike dhe jo e degjeneruar. Koeficientët e matricës plotësojnë kushtin (22). Potencialet nodale korrespondojnë me rënien e tensionit nëpër komponentë
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Duke marrë parasysh (28), SLAE (14) mund të përfaqësohet si më poshtë:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Kontrollimi i korrektësisë së një matrice përfshin veprimet e mëposhtme.
Përcaktimi me formulën (23) i parametrit të modelit diskret ait, i përfshirë vetëm
në një element diagonal. Për rreshtin e parë të matricës do të jetë G6, për rreshtin e dytë G4 dhe për të tretën - (Gl + G2).
Kontrollimi i korrektësisë së rreshtave të matricës kryhet në përputhje me formulën (24). Si rezultat i këtij kontrolli, rezulton se rreshti i dytë nuk plotëson kërkesën e korrektësisë, pasi (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Parametri G3 përfshihet gjithashtu në rreshtin e tretë të matricës, prandaj, në përputhje me formulën (25), paraqitja e ndryshores U3 zgjidhet në formën
U3 = U2 + U23, (30)
Si rezultat i transformimit të elementeve të kolonës së tretë, në përputhje me formulën (26), marrim matricën (29) të formës së mëposhtme:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
dhe pas transformimit të rreshtit të tretë, në përputhje me formulën (27), matrica (31) do të ketë formën
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) plotëson kërkesën e korrektësisë, kështu që rregullimi konsiderohet i plotë. Variablat SLAE (32) korrespondojnë me variablat SLAE (8), domethënë in
ISSN 1028-9763. Makinat dhe sistemet matematikore, 2014, nr.4
Si rezultat i shndërrimit në pemë, u zgjodhën të njëjtët përbërës si në metodën e formulimit të saktë të problemit. Nga një krahasim i SLAE-ve (8) dhe (32) rezulton se elementët jo diagonale të matricës (32) të kolonës së dytë dhe rreshtit të dytë ndryshojnë në shenjë nga matrica (8). Ky është rezultat i faktit se gjatë transformimit të matricës (14), u zgjodh drejtimi i rrymës së komponentit G3, i kundërt me drejtimin e zgjedhur gjatë përpilimit të SLAE (8). Duke zëvendësuar variablin U23 me U23 = -U23 dhe duke ndryshuar shenjat e elementeve në ekuacionin e dytë në të kundërtën, marrim matricën (8).
4. Përfundim
Modelimi është bërë një pjesë integrale e veprimtarisë intelektuale të njerëzimit, dhe besueshmëria e rezultateve të modelimit është kriteri kryesor për vlerësimin e rezultateve të modelimit. Për të siguruar besueshmërinë e rezultateve, kërkohen qasje të reja për zhvillimin e metodave dhe algoritmeve për përshkrimin e objekteve komplekse dhe zgjidhjet e tyre.
Në kontrast me qasjen ekzistuese për zhvillimin e metodave për zgjidhjen e problemeve të shtruara keq, ky punim propozon të sjellë një problem të shtruar keq (i kushtëzuar keq) në formën e duhur. Është treguar se nuk është kushtëzimi i dobët i matricës që e bën të vështirë marrjen e rezultateve të besueshme gjatë zgjidhjes së SLAE-ve që përshkruajnë modele diskrete të objekteve fizike, por zgjedhja e gabuar e variablave SLAE në fazën e kompozimit të ekuacioneve dhe metoda e nyjës. Potencialet dhe analogët e tij, të cilat përdoren për të përpiluar SLAE që përshkruajnë një model diskret, është një rast i veçantë i metodës së formulimit të saktë të problemit. Propozohet një teknikë për kontrollimin e korrektësisë së SLAE e përpiluar me metodën e potencialeve nodale për rastin kur matrica SLAE është jo njëjës dhe simetrike. Është marrë parasysh një algoritëm për konvertimin e një matrice në një formë të saktë.
BIBLIOGRAFI
1. Kalitkin N.N. Kriteri sasior i kushtëzimit për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare / N.N. Kalitkin, L.F. Jukhno, L.V. Kuzmina // Modelimi matematik. - 2011. T. 23, Nr. 2. - F. 3 - 26.
2. Voloboev V.P. Mbi një qasje për modelimin e sistemeve komplekse / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Makinat dhe sistemet matematikore. - 2008. - Nr. 4. - F. 111 - 122.
3. Voloboev V.P. Mbi një qasje për modelimin e sistemeve të energjisë / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Makinat dhe sistemet matematikore. - 2009. - Nr. 4. - F. 106 - 118.
4. Voloboev V.P. Mekanika e sistemeve shufra dhe teoria e grafikut / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Makinat dhe sistemet matematikore. - 2012. - Nr. 2. - F. 81 - 96.
5. Voloboev V.P. Metoda e elementeve të fundme dhe teoria e grafikut / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Makinat dhe sistemet matematikore. - 2013. - Nr. 4. - F. 114 - 126.
6. Pukhov G.E. Pyetje të zgjedhura të teorisë së makinave matematikore / Pukhov G.E. - Kiev: Shtëpia Botuese e Akademisë së Shkencave të SSR-së së Ukrainës, 1964. - 264 f.
7. Seshu S. Grafikët linearë dhe qarqet elektrike / S. Seshu, M.B. Reid. - M.: Shkolla e lartë, 1971. - 448 f.
8. Zenkevich O. Elementet e fundme dhe përafrimi / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 f.
9. Voevodin V.V. Bazat llogaritëse të algjebrës lineare / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 f.
10. Bazat teorike të inxhinierisë elektrike: tekst shkollor për universitetet / K.S. Demirchyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Çeçurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 f.
Le të kthehemi përsëri në SLAU Aх=b me madhësinë e matricës katrore A MxN, i cili, ndryshe nga rasti “i mirë” i konsideruar më sipër (shih seksionin 8.D), kërkon një qasje të veçantë. Le t'i kushtojmë vëmendje dy llojeve të ngjashme të SLAE:
- sistem i degjeneruar (me përcaktues zero |A|=0);
- sistem i kushtëzuar dobët (përcaktori A nuk është i barabartë me zero, por numri i kushtit është shumë i madh).
Përkundër faktit se këto lloj sistemesh ekuacionesh ndryshojnë ndjeshëm nga njëri-tjetri (për të parën nuk ka zgjidhje, por për të dytën ka vetëm një), nga pikëpamja praktike e kompjuterit, ka shumë të përbashkëta midis ato.
SLAE të degjeneruara
Një sistem i degjeneruar është një sistem i përshkruar nga një matricë me një përcaktues zero |A|=0(matricë njëjës). Meqenëse disa ekuacione të përfshira në një sistem të tillë përfaqësohen nga një kombinim linear i ekuacioneve të tjera, atëherë në fakt vetë sistemi është i nënpërcaktuar. Është e lehtë të kuptohet se, në varësi të llojit specifik të vektorit të djathtë b, ka ose një numër të pafund zgjidhjesh ose nuk ka fare. Opsioni i parë zbret në ndërtimin e një pseudozgjidhjeje normale (d.m.th., duke zgjedhur nga një grup i pafund zgjidhjesh atë që është më afër një vektori të caktuar, për shembull, zero). Ky rast u diskutua në detaje në seksion. 8.2.2 (shih listimet 8.11-8.13).
Oriz. 8.7. Paraqitja grafike e një sistemi jokonsistent të dy ekuacioneve me një matricë njëjës
Le të shqyrtojmë rastin e dytë, kur SLAE Aх=b me një matricë katrore njëjës A nuk ka zgjidhje. Një shembull i një problemi të tillë (për një sistem me dy ekuacione) është ilustruar në Fig. 8.7, në krye të së cilës është futur matrica A dhe vektor b, dhe gjithashtu është bërë një përpjekje (e pasuksesshme, pasi matrica A është njëjës) për të zgjidhur sistemin duke përdorur funksionin zgjidh. Grafiku që zë pjesën kryesore të figurës tregon se dy ekuacionet që përcaktojnë sistemin përcaktojnë dy drejtëza paralele në rrafsh (x0,x1). Linjat nuk kryqëzohen në asnjë pikë në planin koordinativ dhe, në përputhje me rrethanat, nuk ka zgjidhje për sistemin.
shënim
Së pari, vini re se një SLAE e përcaktuar nga një matricë katrore jo-singulare e madhësisë 2x2 përcakton një palë linjash ndërprerëse në rrafsh (shih Figurën 8.9 më poshtë). Së dyti, vlen të thuhet se nëse sistemi do të ishte konsistent, atëherë paraqitja gjeometrike e ekuacioneve do të ishte dy rreshta që përputhen që përshkruajnë një numër të pafund zgjidhjesh.
Oriz. 8.8. Grafiku i seksioneve të funksionit të mbetur f (x) = |Ax-b|
Është e lehtë të merret me mend se në rastin e konsideruar njëjës të pseudo-zgjidhjeve të sistemit që minimizojnë mospërputhjen |Ax-b|, do të jenë pafundësisht shumë dhe do të shtrihen në vijën e tretë të drejtë, paralel me dy të paraqitura në Fig. 8.7 dhe ndodhet në mes ndërmjet tyre. Kjo është ilustruar në Fig. 8.8, i cili tregon disa seksione të funksionit f(x)= | Ax-b |, të cilat tregojnë praninë e një familje minimale me të njëjtën thellësi. Nëse përpiqeni të përdorni funksionin e integruar për t'i gjetur ato Minimizoje, metoda e saj numerike do të gjejë gjithmonë një pikë të drejtëzës së përmendur (në varësi të kushteve fillestare). Prandaj, për të përcaktuar një zgjidhje unike, duhet zgjedhur nga i gjithë grupi i pseudo-zgjidhjeve atë që ka normën më të vogël. Mund të përpiqeni të formuloni këtë problem të minimizimit shumëdimensional në Mathcad duke përdorur kombinime të funksioneve të integruara Minimizoje, megjithatë, një mënyrë më efikase do të ishte përdorimi i rregullimit (shih më poshtë) ose zbërthimi i matricës ortogonale (shih seksionin 8.3).
