Një vektor zakonisht kuptohet si një sasi që ka 2 karakteristika kryesore:
- modul;
- drejtimin.
Kështu, dy vektorë konsiderohen të barabartë nëse modulet, si dhe drejtimet e të dyve, përputhen. Vlera në fjalë më së shpeshti shkruhet si një shkronjë me një shigjetë të tërhequr mbi të.
Ndër sasitë më të zakonshme të llojit përkatës janë shpejtësia, forca dhe gjithashtu, për shembull, nxitimi.
Nga pikëpamja gjeometrike, një vektor mund të jetë një segment i drejtuar, gjatësia e të cilit lidhet me modulin e tij.
Nëse marrim një sasi vektoriale veçmas nga drejtimi i saj, atëherë ajo në parim mund të matet. Vërtetë, kjo do të jetë, në një mënyrë apo tjetër, një karakteristikë e pjesshme e sasisë përkatëse. E plotë - arrihet vetëm nëse plotësohet me parametrat e segmentit të drejtimit.
Çfarë është një sasi skalare?
Me skalar zakonisht nënkuptojmë një sasi që ka vetëm një karakteristikë, përkatësisht një vlerë numerike. Në këtë rast, vlera në shqyrtim mund të marrë një vlerë pozitive ose negative.
Sasitë e zakonshme skalare përfshijnë masën, frekuencën, tensionin dhe temperaturën. Me to është e mundur të kryhen veprime të ndryshme matematikore - mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim.
Drejtimi (si karakteristik) nuk është tipik për sasitë skalare.
Krahasimi
Dallimi kryesor midis një sasie vektoriale dhe një sasie skalare është se e para ka karakteristika kryesore - madhësinë dhe drejtimin, ndërsa e dyta ka një vlerë numerike. Vlen të përmendet se një sasi vektoriale, si një sasi skalare, në parim mund të matet, megjithatë, në këtë rast karakteristikat e saj do të përcaktohen vetëm pjesërisht, pasi do të ketë mungesë drejtimi.
Pasi të kemi përcaktuar se cili është ndryshimi midis një sasie vektoriale dhe një sasie skalare, ne do t'i shfaqim përfundimet në një tabelë të vogël.
Dy fjalët që i frikësojnë nxënësit e shkollës - vektor dhe skalar - në fakt nuk janë të frikshme. Nëse i qaseni temës me interes, atëherë gjithçka mund të kuptohet. Në këtë artikull do të shqyrtojmë se cila sasi është vektoriale dhe cila është skalar. Më saktësisht, do të japim shembuj. Çdo student ndoshta vuri re se në fizikë disa sasi shënohen jo vetëm me një simbol, por edhe me një shigjetë sipër. Çfarë kuptimi kanë? Kjo do të diskutohet më poshtë. Le të përpiqemi të kuptojmë se si ndryshon nga skalari.
Shembuj të vektorëve. Si janë caktuar ato?
Çfarë nënkuptohet me vektor? Ajo që karakterizon lëvizjen. Nuk ka rëndësi nëse në hapësirë apo në aeroplan. Çfarë sasie është një sasi vektoriale në përgjithësi? Për shembull, një aeroplan fluturon me një shpejtësi të caktuar në një lartësi të caktuar, ka një masë specifike dhe filloi të lëvizë nga aeroporti me nxitimin e kërkuar. Cila është lëvizja e një aeroplani? Çfarë e bëri të fluturonte? Sigurisht, përshpejtimi, shpejtësia. Sasitë vektoriale nga kursi i fizikës janë shembuj të qartë. Për ta thënë troç, një sasi vektoriale shoqërohet me lëvizjen, zhvendosjen.
Uji gjithashtu lëviz me një shpejtësi të caktuar nga lartësia e malit. A e sheh? Lëvizja kryhet jo nga vëllimi ose masa, por nga shpejtësia. Një lojtar tenisi lejon që topi të lëvizë me ndihmën e një rakete. Ajo vendos përshpejtimin. Nga rruga, forca e aplikuar në këtë rast është gjithashtu një sasi vektoriale. Sepse fitohet si rezultat i shpejtësive dhe nxitimeve të dhëna. Fuqia gjithashtu mund të ndryshojë dhe të kryejë veprime specifike. Një shembull mund të konsiderohet edhe era që lëviz gjethet në pemë. Sepse ka shpejtësi.
Sasi pozitive dhe negative
Një sasi vektoriale është një sasi që ka një drejtim në hapësirën përreth dhe një madhësi. Fjala e frikshme u shfaq sërish, këtë herë modul. Imagjinoni që ju duhet të zgjidhni një problem ku do të regjistrohet një vlerë negative nxitimi. Në natyrë, kuptimet negative, siç duket, nuk ekzistojnë. Si mund të jetë shpejtësia negative?
Një vektor ka një koncept të tillë. Kjo vlen, për shembull, për forcat që aplikohen në trup, por kanë drejtime të ndryshme. Mos harroni të tretën ku veprimi është i barabartë me reagimin. Djemtë po luajnë tërheqje. Njëra skuadër vesh bluza blu, skuadra tjetër vesh bluza të verdha. Këta të fundit rezultojnë të jenë më të fortë. Le të supozojmë se vektori i tyre i forcës është i drejtuar pozitivisht. Në të njëjtën kohë, të parët nuk mund ta tërheqin litarin, por përpiqen. Shfaqet një forcë kundërshtare.
Sasi vektoriale apo skalare?
Le të flasim se si një sasi vektoriale ndryshon nga një sasi skalare. Cili parametër nuk ka drejtim, por ka kuptimin e vet? Le të rendisim disa sasi skalare më poshtë:
A kanë të gjithë një drejtim? Nr. Cila sasi është vektoriale dhe cila është skalare mund të tregohet vetëm me shembuj pamor. Në fizikë ka koncepte të tilla jo vetëm në seksionin "Mekanikë, dinamikë dhe kinematikë", por edhe në paragrafin "Elektriciteti dhe magnetizmi". Forca e Lorencit është gjithashtu një sasi vektoriale.
Vektori dhe skalari në formula
Tekstet e fizikës shpesh përmbajnë formula që kanë një shigjetë në krye. Mos harroni ligjin e dytë të Njutonit. Forca ("F" me një shigjetë sipër) është e barabartë me produktin e masës ("m") dhe nxitimit ("a" me një shigjetë sipër). Siç u përmend më lart, forca dhe nxitimi janë sasi vektoriale, por masa është skalare.
Fatkeqësisht, jo të gjitha botimet kanë përcaktimin e këtyre sasive. Kjo ndoshta është bërë për të thjeshtuar gjërat që nxënësit e shkollës të mos mashtrohen. Është më mirë të blini ato libra dhe libra referimi që tregojnë vektorët në formula.
Ilustrimi do të tregojë se cila sasi është vektoriale. Rekomandohet t'i kushtoni vëmendje fotografive dhe diagrameve në mësimet e fizikës. Madhësitë vektoriale kanë një drejtim. Ku është e drejtuar, natyrisht, poshtë. Kjo do të thotë që shigjeta do të shfaqet në të njëjtin drejtim.
Fizika studiohet në thellësi në universitetet teknike. Në shumë disiplina, mësuesit flasin për atë se cilat sasi janë skalare dhe vektoriale. Njohuri të tilla kërkohen në fushat e mëposhtme: ndërtim, transport, shkenca natyrore.
Vektor- një koncept thjesht matematikor që përdoret vetëm në fizikë ose shkenca të tjera të aplikuara dhe i cili lejon një të thjeshtësuar zgjidhjen e disa problemeve komplekse.
Vektor− segment i drejtë i drejtuar.
Në një kurs të fizikës elementare duhet të veprohet me dy kategori sasish - skalar dhe vektoriale
.
Skalare sasitë (skalarët) janë sasi të karakterizuara nga një vlerë dhe shenjë numerike. Skalarët janë gjatësia − l, masë − m, shteg − s, koha − t, temperatura − T, ngarkesa elektrike − q, energji − W, koordinatat etj.
Të gjitha veprimet algjebrike (mbledhja, zbritja, shumëzimi, etj.) zbatohen për sasitë skalare.
Shembulli 1.
Përcaktoni ngarkesën totale të sistemit, të përbërë nga ngarkesat e përfshira në të, nëse q 1 = 2 nC, q 2 = -7 nC, q 3 = 3 nC.
Ngarkesa e plotë e sistemit
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Shembulli 2.
Për një ekuacion kuadratik të formës
sëpatë 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vektor Sasitë (vektorët) janë sasi, për të përcaktuar se cilat është e nevojshme të tregohet, përveç vlerës numerike, edhe drejtimi. Vektorët − shpejtësia v, forca F, impuls fq, forca e fushës elektrike E, induksion magnetik B etj.
Vlera numerike e një vektori (moduli) shënohet me një shkronjë pa simbol vektori ose vektori është i mbyllur midis shiritave vertikal r = |r|.
Grafikisht, vektori përfaqësohet nga një shigjetë (Fig. 1),
Gjatësia e së cilës në një shkallë të caktuar është e barabartë me madhësinë e saj, dhe drejtimi përkon me drejtimin e vektorit.
Dy vektorë janë të barabartë nëse madhësitë dhe drejtimet e tyre përkojnë.
Madhësitë vektoriale shtohen gjeometrikisht (sipas rregullit të algjebrës vektoriale).
Gjetja e një shume vektoriale nga vektorët e dhënë të komponentëve quhet mbledhje vektoriale.
Shtimi i dy vektorëve kryhet sipas rregullit të paralelogramit ose trekëndëshit. Vektori i shumës
c = a + b
e barabartë me diagonalen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë a Dhe b. Modulojeni atë
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Fig. 2). 
Në α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) është teorema e Pitagorës.
I njëjti vektor c mund të merret duke përdorur rregullën e trekëndëshit nëse nga fundi i vektorit a vektor i lënë mënjanë b. Vektori pasues c (që lidh fillimin e vektorit a dhe fundi i vektorit b) është shuma vektoriale e termave (vektorët përbërës a Dhe b).
Vektori që rezulton gjendet si fundi pasues i vijës së thyer, lidhjet e së cilës janë vektorët përbërës (Fig. 3). 
Shembulli 3.
Shtoni dy forca F 1 = 3 N dhe F 2 = 4 N, vektorë F 1 Dhe F 2 bëni kënde α 1 = 10° dhe α 2 = 40° me horizontin, përkatësisht
F = F 1 + F 2(Fig. 4). 
Rezultati i shtimit të këtyre dy forcave është një forcë e quajtur rezultante. Vektor F drejtuar përgjatë diagonales së një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë F 1 Dhe F 2, të dyja anët, dhe është i barabartë në modul me gjatësinë e tij.
Moduli vektorial F gjeni nga teorema e kosinusit
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Nëse
(α 2 − α 1) = 90°, pastaj F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Këndi i cili është vektor Fështë e barabartë me boshtin Ox, e gjejmë duke përdorur formulën
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arktan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arktan0.51, α ≈ 0.47 rad.
Projeksioni i vektorit a në boshtin Ox (Oy) është një sasi skalare në varësi të këndit α ndërmjet drejtimit të vektorit a dhe boshti Ox (Oy). (Fig. 5) 
Projeksionet vektoriale a në boshtet Ox dhe Oy të sistemit të koordinatave drejtkëndëshe. (Fig. 6) 
Për të shmangur gabimet gjatë përcaktimit të shenjës së projeksionit të një vektori në një bosht, është e dobishme të mbani mend rregullin e mëposhtëm: nëse drejtimi i komponentit përkon me drejtimin e boshtit, atëherë projeksioni i vektorit mbi këtë boshti është pozitiv, por nëse drejtimi i komponentit është i kundërt me drejtimin e boshtit, atëherë projeksioni i vektorit është negativ. (Fig. 7) 
Zbritja e vektorëve është një mbledhje në të cilën vektorit të parë i shtohet një vektor, numerikisht i barabartë me të dytin, në drejtim të kundërt.
a − b = a + (−b) = d(Fig. 8). 
Le të jetë e nevojshme nga vektori a zbres vektorin b, dallimi i tyre − d. Për të gjetur ndryshimin e dy vektorëve, duhet të shkoni te vektori a shtoni vektor ( −b), domethënë një vektor d = a − b do të jetë një vektor i drejtuar nga fillimi i vektorit a deri në fund të vektorit ( −b) (Fig. 9). 
Në një paralelogram të ndërtuar mbi vektorë a Dhe b të dyja anët, një diagonale c ka kuptimin e shumës, dhe tjetra d− dallimet vektoriale a Dhe b(Fig. 9).
Produkti i një vektori a nga skalar k barazohet me vektor b= k a, moduli i të cilit është k herë më i madh se moduli i vektorit a, dhe drejtimi përkon me drejtimin a për k pozitive dhe e kundërta për k negative.
Shembulli 4.
Përcaktoni momentin e një trupi me peshë 2 kg që lëviz me shpejtësi 5 m/s. (Fig. 10) 
Impuls trupor fq= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s dhe e drejtuar drejt shpejtësisë v.
Shembulli 5.
Një ngarkesë q = -7,5 nC vendoset në një fushë elektrike me forcë E = 400 V/m. Gjeni madhësinë dhe drejtimin e forcës që vepron në ngarkesë.
Forca është F= q E. Meqenëse ngarkesa është negative, vektori i forcës drejtohet në drejtim të kundërt me vektorin E. (Fig. 11) 
Divizioni vektoriale a me një skalar k është ekuivalente me shumëzimin a me 1/k.
Produkt me pika vektorët a Dhe b i quajtur skalar "c", i barabartë me prodhimin e moduleve të këtyre vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Fig. 12) 
Shembulli 6.
Gjeni punën e bërë nga një forcë konstante F = 20 N, nëse zhvendosja S = 7,5 m, dhe këndi α ndërmjet forcës dhe zhvendosjes α = 120°.
Puna e bërë nga një forcë është e barabartë, sipas përkufizimit, me produktin skalar të forcës dhe zhvendosjes
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Vepra arti vektoriale vektorët a Dhe b quhet vektor c, numerikisht i barabartë me produktin e vlerave absolute të vektorëve a dhe b të shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre:
c = a × b = ,
с = ab × siνα.
Vektor c pingul me rrafshin në të cilin shtrihen vektorët a Dhe b, dhe drejtimi i tij lidhet me drejtimin e vektorëve a Dhe b rregulli i vidës së djathtë (Fig. 13). 
Shembulli 7.
Përcaktoni forcën që vepron në një përcjellës 0,2 m të gjatë të vendosur në një fushë magnetike, induksioni i të cilit është 5 T, nëse forca e rrymës në përcjellës është 10 A dhe formon një kënd α = 30° me drejtimin e fushës.
Fuqia e amperit
dF = I = Idl × B ose F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Merrni parasysh zgjidhjen e problemeve.
1. Si drejtohen dy vektorë, modulët e të cilëve janë identikë dhe të barabartë me a, nëse moduli i shumës së tyre është i barabartë me: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Zgjidhje.
a) Dy vektorë drejtohen përgjatë një vije të drejtë në drejtime të kundërta. Shuma e këtyre vektorëve është zero. 
b) Dy vektorë drejtohen përgjatë një vije të drejtë në të njëjtin drejtim. Shuma e këtyre vektorëve është 2a. 
c) Dy vektorë janë të drejtuar në një kënd prej 120° me njëri-tjetrin. Shuma e vektorëve është a. Vektori që rezulton gjendet duke përdorur teoremën e kosinusit: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2,
cosα = −1/2 dhe α = 120°.
d) Dy vektorë janë të drejtuar në një kënd prej 90° me njëri-tjetrin. Moduli i shumës është i barabartë me
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 dhe α = 90°. 
e) Dy vektorë janë të drejtuar në një kënd prej 60° me njëri-tjetrin. Moduli i shumës është i barabartë me
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 dhe α = 60°.
Përgjigju: Këndi α ndërmjet vektorëve është i barabartë me: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Nëse a = a 1 + a 2 orientimi i vektorëve, çfarë mund të thuhet për orientimin e ndërsjellë të vektorëve a 1 Dhe a 2, nëse: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
Zgjidhje.
a) Nëse shuma e vektorëve gjendet si shuma e moduleve të këtyre vektorëve, atëherë vektorët drejtohen përgjatë një vije të drejtë, paralel me njëri-tjetrin. a 1 ||a 2.
b) Nëse vektorët janë të drejtuar në një kënd me njëri-tjetrin, atëherë shuma e tyre gjendet duke përdorur teoremën e kosinusit për një paralelogram
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 dhe α = 90°.
vektorët janë pingul me njëri-tjetrin a 1 ⊥ a 2.
c) Gjendja a 1 + a 2 = a 1 − a 2 mund të ekzekutohet nëse a 2− vektor zero, pastaj a 1 + a 2 = a 1 .
Përgjigjet. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− vektor zero.
3. Dy forca me nga 1,42 N secila zbatohen në një pikë të trupit në një kënd prej 60° me njëra-tjetrën. Në cilin kënd duhet të zbatohen dy forca me 1,75 N secila në të njëjtën pikë të trupit, në mënyrë që veprimi i tyre të balancojë veprimin e dy forcave të para?
Zgjidhje.
Sipas kushteve të problemit, dy forca prej 1,75 N secila balancojnë dy forca prej 1,42 N secila, nëse modulet e çifteve të forcave që rezultojnë janë të barabarta. Ne përcaktojmë vektorin që rezulton duke përdorur teoremën e kosinusit për një paralelogram. Për çiftin e parë të forcave:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
për çiftin e dytë të forcave, përkatësisht
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Barazimi i anëve të majta të ekuacioneve
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Le të gjejmë këndin e kërkuar β ndërmjet vektorëve
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Pas llogaritjeve,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90,7°.
Zgjidhja e dytë.
Le të shqyrtojmë projeksionin e vektorëve në boshtin koordinativ OX (Fig.). 
Duke përdorur marrëdhënien midis brinjëve në një trekëndësh kënddrejtë, marrim
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
ku
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) dhe β ≈ 90.7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Sa duhet të jetë sasia skalare c për |c a| = 7,5?
Zgjidhje.
c a= c( 3i − 4j) = 7,5
Moduli vektorial a do të jetë i barabartë
a 2 = 3 2 + 4 2, dhe a = ±5,
pastaj nga
c.(±5) = 7,5,
le ta gjejmë atë
c = ±1,5.
5. Vektorët a 1 Dhe a 2 dalin nga origjina dhe kanë përkatësisht koordinatat fundore karteziane (6, 0) dhe (1, 4). Gjeni vektorin a 3 të tilla që: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Zgjidhje.
Le të përshkruajmë vektorët në sistemin koordinativ kartezian (Fig.) 
a) Vektori që rezulton përgjatë boshtit Ox është
a x = 6 + 1 = 7.
Vektori që rezulton përgjatë boshtit Oy është
a y = 4 + 0 = 4.
Që shuma e vektorëve të jetë e barabartë me zero, është e nevojshme që kushti të plotësohet
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 moduli do të jetë i barabartë me vektorin total a 1 + a 2, por e drejtuar në drejtim të kundërt. Koordinata fundore e vektorit a 3është e barabartë me (-7, -4), dhe moduli
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.
B) Vektori që rezulton përgjatë boshtit Ox është i barabartë me
a x = 6 − 1 = 5,
dhe vektori që rezulton përgjatë boshtit Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Kur plotësohet kushti
a 1 − a 2 = −a 3,
vektoriale a 3 do të ketë koordinatat e fundit të vektorit a x = –5 dhe a y = −4, dhe moduli i tij është i barabartë me
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.
6. Një lajmëtar ecën 30 m në veri, 25 m në lindje, 12 m në jug, dhe më pas merr një ashensor në një lartësi prej 36 m në një ndërtesë ?
Zgjidhje.
Le të përshkruajmë situatën e përshkruar në problem në një plan në një shkallë arbitrare (Fig.). 
Fundi i vektorit O.A. ka koordinata 25 m në lindje, 18 m në veri dhe 36 lart (25; 18; 36). Distanca e përshkuar nga një person është e barabartë me
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Madhësia e vektorit të zhvendosjes mund të gjendet duke përdorur formulën
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
ku x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Përgjigju: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Këndi α ndërmjet dy vektorëve a Dhe bështë e barabartë me 60°. Përcaktoni gjatësinë e vektorit c = a + b dhe këndi β ndërmjet vektorëve a Dhe c. Madhësitë e vektorëve janë a = 3,0 dhe b = 2,0.
Zgjidhje.
Gjatësia e vektorit është e barabartë me shumën e vektorëve a Dhe b Le të përcaktojmë duke përdorur teoremën e kosinusit për një paralelogram (Fig.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Pas zëvendësimit
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Për të përcaktuar këndin β, ne përdorim teoremën e sinusit për trekëndëshin ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Në të njëjtën kohë, ju duhet ta dini këtë
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Duke zgjidhur një ekuacion të thjeshtë trigonometrik, arrijmë te shprehja
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
prandaj,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Le të kontrollojmë duke përdorur teoremën e kosinusit për një trekëndësh:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
ku
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Dhe
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos ((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Përgjigju: c ≈ 4.4; β ≈ 23°.
Zgjidh problemet.
8. Për vektorët a Dhe b të përcaktuara në shembullin 7, gjeni gjatësinë e vektorit d = a − b qoshe γ
ndërmjet a Dhe d.
9. Gjeni projeksionin e vektorit a = 4.0i + 7.0j në një vijë të drejtë, drejtimi i së cilës bën një kënd α = 30° me boshtin Ox. Vektor a dhe drejtëza shtrihet në rrafshin xOy.
10. Vektor a bën kënd α = 30° me drejtëz AB, a = 3,0. Në cilin kënd β ndaj drejtëzës AB duhet të drejtohet vektori? b(b = √(3)) në mënyrë që vektori c = a + b ishte paralel me AB? Gjeni gjatësinë e vektorit c.
11. Janë dhënë tre vektorë: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Gjeni a) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Këndi ndërmjet vektorëve a Dhe bështë e barabartë me α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Gjeni gjatësitë e vektorëve c = (a, b)a + b Dhe d = 2b − a/2.
13. Vërtetoni se vektorët a Dhe b janë pingul nëse a = (2, 1, −5) dhe b = (5, −5, 1).
14. Gjeni këndin α ndërmjet vektorëve a Dhe b, nëse a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor a bën një kënd α = 30° me boshtin Ox, projeksioni i këtij vektori në boshtin Oy është i barabartë me një y = 2.0. Vektor b pingul me vektorin a dhe b = 3.0 (shih figurën). 
Vektor c = a + b. Gjeni: a) projeksionet e vektorit b në aksin Ox dhe Oy; b) vlera e c dhe këndi β ndërmjet vektorit c dhe boshti Ox; c) (a, b); d) (a, c).
Përgjigjet:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2.6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) b x = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16.0.
Duke studiuar fizikën, ju keni mundësi të mëdha për të vazhduar arsimin tuaj në një universitet teknik. Kjo do të kërkojë një thellim paralel të njohurive në matematikë, kimi, gjuhë dhe më rrallë lëndë të tjera. Fituesi i Olimpiadës Republikane, Savich Egor, është diplomuar në një nga fakultetet e MIPT-së, ku vendosen kërkesa të mëdha për njohuritë në kimi. Nëse keni nevojë për ndihmë në Akademinë Shtetërore të Shkencave në kimi, atëherë kontaktoni profesionistët, patjetër që do të merrni ndihmë të kualifikuar dhe në kohë.
Në fizikë, ekzistojnë disa kategori të sasive: vektoriale dhe skalare.
Çfarë është një sasi vektoriale?
Një sasi vektoriale ka dy karakteristika kryesore: drejtimi dhe moduli. Dy vektorë do të jenë të njëjtë nëse vlera dhe drejtimi i tyre absolut janë të njëjta. Për të treguar një sasi vektoriale, më shpesh përdoren shkronjat me një shigjetë sipër tyre. Një shembull i një sasie vektoriale është forca, shpejtësia ose nxitimi.
Për të kuptuar thelbin e një sasie vektoriale, duhet ta konsideroni atë nga një këndvështrim gjeometrik. Një vektor është një segment që ka një drejtim. Gjatësia e një segmenti të tillë lidhet me vlerën e modulit të tij. Një shembull fizik i një sasie vektoriale është zhvendosja e një pike materiale që lëviz në hapësirë. Parametrat si nxitimi i kësaj pike, shpejtësia dhe forcat që veprojnë në të, fusha elektromagnetike do të shfaqen gjithashtu si sasi vektoriale.
Nëse marrim parasysh një sasi vektoriale pavarësisht nga drejtimi, atëherë një segment i tillë mund të matet. Por rezultati që rezulton do të pasqyrojë vetëm karakteristikat e pjesshme të sasisë. Për ta matur plotësisht atë, vlera duhet të plotësohet me parametra të tjerë të segmentit të drejtimit.
Në algjebër vektoriale ekziston një koncept vektor zero. Ky koncept do të thotë një pikë. Sa i përket drejtimit të vektorit zero, ai konsiderohet i pasigurt. Për të treguar vektorin zero, përdoret zero aritmetike, e shtypur me shkronja të zeza.
Nëse analizojmë të gjitha sa më sipër, mund të konkludojmë se të gjithë segmentet e drejtuar përcaktojnë vektorët. Dy segmente do të përcaktojnë një vektor vetëm nëse janë të barabartë. Kur krahasojmë vektorët, zbatohet i njëjti rregull si kur krahasohen sasitë skalare. Barazi do të thotë marrëveshje e plotë në të gjitha aspektet.
Çfarë është një sasi skalare?
Ndryshe nga një vektor, një sasi skalare ka vetëm një parametër - këtë vlera numerike e saj. Vlen të përmendet se vlera e analizuar mund të ketë një vlerë numerike pozitive dhe negative.
Shembujt përfshijnë masën, tensionin, frekuencën ose temperaturën. Me sasi të tilla mund të kryeni veprime të ndryshme aritmetike: mbledhje, pjesëtim, zbritje, shumëzim. Për një sasi skalare, një karakteristikë e tillë si drejtimi nuk është tipike.
Një sasi skalare matet me një vlerë numerike, kështu që mund të shfaqet në një bosht koordinativ. Për shembull, shumë shpesh ndërtohet boshti i distancës së përshkuar, temperaturës ose kohës.
Dallimet kryesore midis sasive skalare dhe vektoriale
Nga përshkrimet e dhëna më sipër, është e qartë se ndryshimi kryesor midis sasive vektoriale dhe sasive skalare është karakteristikat. Një sasi vektoriale ka një drejtim dhe një madhësi, ndërsa një sasi skalare ka vetëm një vlerë numerike. Sigurisht, një sasi vektoriale, si një sasi skalare, mund të matet, por një karakteristikë e tillë nuk do të jetë e plotë, pasi nuk ka drejtim.
Për të imagjinuar më qartë ndryshimin midis një sasie skalare dhe një sasie vektoriale, duhet të jepet një shembull. Për ta bërë këtë, le të marrim një fushë të tillë njohurish si klimatologji. Nëse themi se era po fryn me shpejtësi 8 metra në sekondë, atëherë do të futet një sasi skalare. Por nëse themi se era e veriut fryn me shpejtësi 8 metra në sekondë, atëherë flasim për një vlerë vektoriale.
Vektorët luajnë një rol të madh në matematikën moderne, si dhe në shumë fusha të mekanikës dhe fizikës. Shumica e sasive fizike mund të paraqiten si vektorë. Kjo na lejon të përgjithësojmë dhe thjeshtojmë ndjeshëm formulat dhe rezultatet e përdorura. Shpesh vlerat e vektorit dhe vektorët identifikohen me njëri-tjetrin. Për shembull, në fizikë mund të dëgjoni se shpejtësia ose forca është një vektor.
