Shënim 1

Një funksion Boolean mund të shkruhet duke përdorur një shprehje Boolean dhe më pas mund të zhvendoset në një qark logjik. Është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet logjike për të marrë qarkun logjik më të thjeshtë (dhe për rrjedhojë më të lirë). Në fakt, një funksion logjik, një shprehje logjike dhe një qark logjik janë tre gjuhë të ndryshme që flasin për një entitet.

Për të thjeshtuar shprehjet logjike përdorni ligjet e logjikës së algjebrës.

Disa transformime janë të ngjashme me transformimet e formulave në algjebër klasike (duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat, duke përdorur ligje komutative dhe kombinuese, etj.), ndërsa transformimet e tjera bazohen në vetitë që nuk i kanë veprimet e algjebrës klasike (duke përdorur distributiven ligji për lidhjen, ligjet e përthithjes, ngjitjes, rregullat e de Morganit, etj.).

Ligjet e algjebrës logjike janë formuluar për veprimet bazë logjike - "JO" - përmbysja (negimi), "DHE" - lidhja (shumëzimi logjik) dhe "OR" - disjunksioni (shtimi logjik).

Ligji i mohimit të dyfishtë do të thotë që operacioni "NUK" është i kthyeshëm: nëse e zbatoni atë dy herë, atëherë në fund vlera logjike nuk do të ndryshojë.

Ligji i mesit të përjashtuar thotë se çdo shprehje logjike është ose e vërtetë ose e rreme ("nuk ka të tretë"). Prandaj, nëse $A=1$, atëherë $\bar(A)=0$ (dhe anasjelltas), që do të thotë se lidhja e këtyre madhësive është gjithmonë e barabartë me zero, dhe disjunksioni është gjithmonë i barabartë me një.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Le ta thjeshtojmë këtë formulë:

Figura 3.

Nga kjo rrjedh se $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Përgjigje: Studentët $B$, $C$ dhe $D$ luajnë shah, por studenti $A$ nuk luan.

Kur thjeshtoni shprehjet logjike, mund të kryeni sekuencën e mëposhtme të veprimeve:

Zëvendësoni të gjitha operacionet "jo-bazë" (ekuivalenca, nënkuptimi, OR ekskluzive, etj.) me shprehjet e tyre nëpërmjet operacioneve bazë të përmbysjes, lidhjes dhe ndarjes.
Zgjeroni përmbysjet e shprehjeve komplekse sipas rregullave të De Morgan-it në mënyrë të tillë që operacionet e mohimit të mbeten vetëm për ndryshoret individuale.
Më pas thjeshtoni shprehjen duke përdorur kllapa hapëse, duke vendosur faktorë të përbashkët jashtë kllapave dhe ligje të tjera të algjebrës logjike.

Shembulli 2

Këtu përdoren në mënyrë të njëpasnjëshme rregulli i De Morgan-it, ligji shpërndarës, ligji i mesit të përjashtuar, ligji komutativ, ligji i përsëritjes, përsëri ligji komutativ dhe ligji i përthithjes.

Ndër shprehjet e ndryshme që konsiderohen në algjebër, një vend të rëndësishëm zënë shumat e monomëve. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
$5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Për shembull, një polinom
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
mund të thjeshtohet.

Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve të formës standarde:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Për shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, binomi $12a^2b - 7b$ ka shkallën e tretë, dhe trinomi $2b^2 -7b + 6$ ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve të shkallës së saj. Për shembull:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit, ju mund të transformoni (thjeshtoni) produktin e një monomi dhe një polinomi në një polinom. Për shembull:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shuma e katrorëve, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Ju duhet të merreni me disa shprehje në transformimet algjebrike më shpesh se të tjerat. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ dhe $a^2 - b^2 $, pra katrori i shumës, katrori i ndryshimi dhe ndryshimi i katrorëve. Ju vutë re se emrat e këtyre shprehjeve duken të paplota, për shembull, $(a + b)^2 $ është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b . Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ lehtë mund të shndërrohen (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, një detyrë të tillë e keni hasur tashmë gjatë shumëzimit të polinomeve; :
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - katrori i shumës është i barabartë me shumën e katrorëve dhe produktit të dyfishtë.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishuar.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - diferenca e katrorëve është e barabartë me produktin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë në transformime të zëvendësojnë pjesët e majta të tyre me ato të djathta dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Niveli i hyrjes

Konvertimi i shprehjeve. Teoria e Detajuar (2019)

Konvertimi i shprehjeve

Shpesh dëgjojmë këtë frazë të pakëndshme: "thjeshtoni shprehjen". Zakonisht ne shohim një lloj përbindëshi si ky:

"Është shumë më e thjeshtë," themi ne, por një përgjigje e tillë zakonisht nuk funksionon.

Tani do t'ju mësoj të mos keni frikë nga asnjë detyrë e tillë. Për më tepër, në fund të mësimit, ju vetë do ta thjeshtoni këtë shembull në (vetëm!) një numër të zakonshëm (po, në ferr me këto shkronja).

Por, përpara se të filloni këtë mësim, duhet të jeni në gjendje të trajtoni thyesat dhe polinomet e faktorëve. Prandaj, së pari, nëse nuk e keni bërë këtë më parë, sigurohuni që të zotëroni temat "" dhe "".

A e keni lexuar? Nëse po, atëherë ju jeni gati.

Operacionet bazë të thjeshtimit

Tani le të shohim teknikat bazë që përdoren për të thjeshtuar shprehjet.

Më e thjeshta është

1. Sjellja e ngjashme

Cilat janë të ngjashme? Ju e morët këtë në klasën e 7-të, kur shkronjat në vend të numrave u shfaqën për herë të parë në matematikë. Të ngjashëm janë termat (monomet) me të njëjtën pjesë shkronjash. Për shembull, në shumë, terma të ngjashëm janë dhe.

A ju kujtohet?

Të sjellësh të ngjashëm do të thotë të shtosh disa terma të ngjashëm me njëri-tjetrin dhe të marrësh një term.

Si mund t'i bashkojmë shkronjat? - pyet ti.

Kjo është shumë e lehtë për t'u kuptuar nëse imagjinoni se shkronjat janë një lloj objekti. Për shembull, një letër është një karrige. Atëherë me çfarë është e barabartë shprehja? Dy karrige plus tre karrige, sa do të jenë? Ashtu është, karriget: .

Tani provoni këtë shprehje: .

Për të shmangur konfuzionin, lërini shkronja të ndryshme të përfaqësojnë objekte të ndryshme. Për shembull, - është (si zakonisht) një karrige, dhe - është një tavolinë. Pastaj:

karrige tavolina karrige tavolina karrige karrige tavolina

Numrat me të cilët shumëzohen shkronjat në terma të tillë quhen koeficientët. Për shembull, në një monom koeficienti është i barabartë. Dhe në të është e barabartë.

Pra, rregulli për sjelljen e të ngjashmeve është:

Shembuj:

Jepni të ngjashme:

Përgjigjet:

2. (dhe të ngjashme, pasi, pra, këto terma kanë të njëjtën pjesë shkronjash).

2. Faktorizimi

Kjo është zakonisht pjesa më e rëndësishme në thjeshtimin e shprehjeve. Pasi të keni dhënë të ngjashme, më shpesh shprehja që rezulton duhet të faktorizohet, domethënë të paraqitet si produkt. Kjo është veçanërisht e rëndësishme në thyesat: për të qenë në gjendje të zvogëloni një thyesë, numëruesi dhe emëruesi duhet të paraqiten si produkt.

Ju keni kaluar në detaje metodat e faktorizimit të shprehjeve në temën "", kështu që këtu thjesht duhet të mbani mend atë që keni mësuar. Për ta bërë këtë, vendosni disa shembuj(duhet të faktorizohet):

Zgjidhjet:

3. Zvogëlimi i një thyese.

Epo, çfarë mund të jetë më e këndshme sesa të kryqëzoni një pjesë të numëruesit dhe emëruesit dhe t'i hidhni ato nga jeta juaj?

Kjo është bukuria e zvogëlimit.

Është e thjeshtë:

Nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtët faktorë, ata mund të reduktohen, domethënë të hiqen nga thyesa.

Ky rregull rrjedh nga vetia themelore e një thyese:

Kjo do të thotë, thelbi i operacionit të reduktimit është se Numëruesin dhe emëruesin e thyesës e ndajmë me të njëjtin numër (ose me të njëjtën shprehje).

Për të reduktuar një fraksion ju duhet:

1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj

2) nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë faktorë të përbashkët, ato mund të kryqëzohen.

Parimi, mendoj, është i qartë?

Unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për një gabim tipik gjatë shkurtimit. Edhe pse kjo temë është e thjeshtë, shumë njerëz bëjnë gjithçka gabim, duke mos e kuptuar këtë zvogëloni- kjo do të thotë ndajnë numëruesi dhe emëruesi janë i njëjti numër.

Nuk ka shkurtesa nëse numëruesi ose emëruesi është një shumë.

Për shembull: ne duhet të thjeshtojmë.

Disa njerëz e bëjnë këtë: gjë që është absolutisht e gabuar.

Një shembull tjetër: zvogëloni.

“Më i zgjuari” do ta bëjë këtë: .

Më thuaj çfarë nuk shkon këtu? Do të duket: - ky është një shumëzues, që do të thotë se mund të reduktohet.

Por jo: - ky është një faktor i vetëm një termi në numërues, por vetë numëruesi në tërësi nuk është i faktorizuar.

Ja një shembull tjetër: .

Kjo shprehje është e faktorizuar, që do të thotë se ju mund ta zvogëloni atë, domethënë, ndani numëruesin dhe emëruesin me, dhe më pas me:

Mund ta ndani menjëherë në:

Për të shmangur gabime të tilla, mbani mend një mënyrë të thjeshtë për të përcaktuar nëse një shprehje është faktorizuar:

Operacioni aritmetik që kryhet i fundit kur llogaritet vlera e një shprehjeje është operacioni "master". Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja është e faktorizuar). Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë që shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).

Për të konsoliduar, zgjidhni disa vetë shembuj:

Përgjigjet:

1. Shpresoj se nuk keni nxituar menjëherë për të prerë dhe? Ende nuk ishte e mjaftueshme për të "reduktuar" njësi si kjo:

Hapi i parë duhet të jetë faktorizimi:

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave të zakonshme është një veprim i njohur: ne kërkojmë një emërues të përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit. Le të kujtojmë:

Përgjigjet:

1. Emëruesit dhe janë relativisht të thjeshtë, pra nuk kanë faktorë të përbashkët. Prandaj, LCM e këtyre numrave është e barabartë me produktin e tyre. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët:

2. Këtu emëruesi i përbashkët është:

3. Këtu, para së gjithash, ne i kthejmë fraksionet e përziera në ato të pahijshme, dhe më pas sipas skemës së zakonshme:

Është një çështje krejtësisht e ndryshme nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja

Këtu gjithçka është e njëjtë si me thyesat e zakonshme numerike: gjejmë emëruesin e përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit:

Tani në numërues mund të jepni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:

Provojeni vetë:

b) Emëruesit përmbajnë shkronja

Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:

· para së gjithash përcaktojmë faktorët e përbashkët;

· pastaj shkruajmë të gjithë faktorët e përbashkët një nga një;

· dhe t'i shumëzoni me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.

Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i faktorizojmë në faktorët kryesorë:

Le të theksojmë faktorët e përbashkët:

Tani le të shkruajmë faktorët e përbashkët një nga një dhe t'u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):

Ky është emëruesi i përbashkët.

Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:

· faktorizoni emëruesit;

· të përcaktojë faktorët e përbashkët (identikë);

· shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;

· t'i shumëzojë me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.

Pra, me radhë:

1) faktorizoni emëruesit:

2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):

3) shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (të pa nënvizuar):

Pra, këtu ka një emërues të përbashkët. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta me:

Nga rruga, ekziston një mashtrim:

Për shembull: .

Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:

deri në një shkallë

deri në një shkallë.

Le ta komplikojmë detyrën:

Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?

Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:

Askund nuk thotë se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!

Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë mësuat?

Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:

Kur reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët, përdorni vetëm veprimin e shumëzimit!

Por me çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?

Pra shumëzojeni me. Dhe shumëzojeni me:

Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do t'i quajmë "faktorë elementar". Për shembull, - ky është një faktor elementar. - Njësoj. Por jo: mund të faktorizohet.

Po shprehja? Është elementare?

Jo, sepse mund të faktorizohet:

(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").

Pra, faktorët elementar në të cilët zbërthehet një shprehje me shkronja janë një analog i faktorëve të thjeshtë në të cilët zbërthehen numrat. Dhe ne do të merremi me ta në të njëjtën mënyrë.

Shohim që të dy emëruesit kanë një shumëzues. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët deri në shkallë (kujtoni pse?).

Faktori është elementar, dhe ata nuk kanë një faktor të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Para se t'i shumëzoni këta emërues në panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Ata të dy përfaqësojnë:

E shkëlqyeshme! Pastaj:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Si zakonisht, le të faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:

Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por po t'i shikoni me vëmendje, ato janë të ngjashme... Dhe është e vërtetë:

Pra, le të shkruajmë:

Kjo do të thotë, doli kështu: brenda kllapës ne këmbyem termat, dhe në të njëjtën kohë shenja përpara fraksionit ndryshoi në të kundërtën. Kini parasysh, do t'ju duhet ta bëni këtë shpesh.

Tani le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:

E kuptove? Le ta kontrollojmë tani.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Përgjigjet:

Këtu duhet të kujtojmë edhe një gjë - ndryshimin e kubeve:

Ju lutemi vini re se emëruesi i thyesës së dytë nuk përmban formulën "katrori i shumës"! Katrori i shumës do të duket kështu: .

A është i ashtuquajturi katrori jo i plotë i shumës: termi i dytë në të është prodhimi i të parit dhe të fundit, dhe jo produkti i dyfishtë i tyre. Katrori i pjesshëm i shumës është një nga faktorët në zgjerimin e diferencës së kubeve:

Çfarë duhet të bëni nëse tashmë ka tre fraksione?

Po, e njëjta gjë! Para së gjithash, le të sigurohemi që numri maksimal i faktorëve në emërues është i njëjtë:

Ju lutemi vini re: nëse ndryshoni shenjat brenda një kllapa, shenja përpara fraksionit ndryshon në të kundërtën. Kur ndryshojmë shenjat në kllapa e dytë, shenja përpara thyesës ndryshon përsëri në të kundërtën. Si rezultat, ajo (shenja përballë thyesës) nuk ka ndryshuar.

Ne e shkruajmë të gjithë emëruesin e parë në emëruesin e përbashkët, dhe më pas i shtojmë të gjithë faktorët që nuk janë shkruar ende, nga i dyti, dhe më pas nga i treti (e kështu me radhë, nëse ka më shumë thyesa). Kjo do të thotë, rezulton kështu:

Hmm... Është e qartë se çfarë duhet bërë me thyesat. Por çfarë ndodh me të dy?

Është e thjeshtë: ju dini si të shtoni thyesa, apo jo? Pra, ne duhet të bëjmë dy të bëhen një thyesë! Le të kujtojmë: një thyesë është një veprim pjesëtimi (numëruesi pjesëtohet me emëruesin, në rast se keni harruar). Dhe nuk ka asgjë më të lehtë sesa pjesëtimi i një numri me. Në këtë rast, vetë numri nuk do të ndryshojë, por do të kthehet në një fraksion:

Vetëm ajo që ju nevojitet!

5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.

Epo, pjesa më e vështirë ka mbaruar tani. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:

Procedura

Cila është procedura për llogaritjen e një shprehjeje numerike? Mbani mend duke llogaritur kuptimin e kësaj shprehjeje:

A keni numëruar?

Duhet të funksionojë.

Pra, më lejoni t'ju kujtoj.

Hapi i parë është llogaritja e shkallës.

E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ato mund të bëhen në çdo rend.

Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.

Por: shprehja në kllapa vlerësohet jashtë radhe!

Nëse disa kllapa shumëzohen ose pjesëtohen me njëra-tjetrën, fillimisht llogarisim shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas shumëzojmë ose pjesëtojmë ato.

Po sikur të ketë më shumë kllapa brenda kllapave? Epo, le të mendojmë: një shprehje është shkruar brenda kllapave. Kur llogaritni një shprehje, çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, llogaritni kllapat. Epo, ne e kuptuam: së pari llogarisim kllapat e brendshme, pastaj gjithçka tjetër.

Pra, procedura për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):

Mirë, gjithçka është e thjeshtë.

Por kjo nuk është njësoj si një shprehje me shkronja?

Jo, është e njëjta gjë! Vetëm në vend të operacioneve aritmetike, duhet të bëni ato algjebrike, domethënë veprimet e përshkruara në pjesën e mëparshme: duke sjellë të ngjashme, duke shtuar thyesat, duke reduktuar thyesat, e kështu me radhë. Dallimi i vetëm do të jetë veprimi i faktorizimit të polinomeve (shpesh e përdorim këtë kur punojmë me thyesa). Më shpesh, për të faktorizuar, duhet të përdorni I ose thjesht të vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë shprehjen si produkt ose koeficient.

Për shembull:

Le të thjeshtojmë shprehjen.

1) Së pari, ne thjeshtojmë shprehjen në kllapa. Aty kemi një diferencë thyesash dhe synimi ynë është ta paraqesim atë si produkt ose koeficient. Pra, i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtojmë:

Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).

2) Ne marrim:

Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e thjeshtë.

3) Tani mund të shkurtoni:

Epo, kjo është e gjitha. Asgjë e komplikuar, apo jo?

Një shembull tjetër:

Thjeshtoni shprehjen.

Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.

Para së gjithash, le të përcaktojmë rendin e veprimeve. Së pari, le të mbledhim thyesat në kllapa, kështu që në vend të dy thyesave marrim një. Pastaj do të bëjmë pjesëtimin e thyesave. Epo, le të shtojmë rezultatin me fraksionin e fundit. Unë do t'i numëroj hapat në mënyrë skematike:

Tani do t'ju tregoj procesin, duke e ngjyrosur veprimin aktual me të kuqe:

Së fundi, unë do t'ju jap dy këshilla të dobishme:

1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që shfaqen të ngjashme në vendin tonë, këshillohet që ato të ngrihen menjëherë.

2. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat reduktuese: sapo të shfaqet mundësia për të reduktuar, duhet të përfitohet. Përjashtim është për thyesat që shtoni ose zbritni: nëse tani kanë të njëjtët emërues, atëherë zvogëlimi duhet të lihet për më vonë.

Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:

Dhe çfarë u premtua në fillim:

Zgjidhjet (e shkurtër):

Nëse i keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë e keni zotëruar temën.

Tani për të mësuar!

KONVERTIMI I SHPREHJEVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

Operacionet themelore të thjeshtimit:

Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
Faktorizimi: nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave, zbatimi i tij etj.
Reduktimi i një fraksioni: Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, i cili nuk e ndryshon vlerën e thyesës.
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, ata mund të kryqëzohen.
E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!
Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
;
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
;

Duke përdorur çdo gjuhë, ju mund të shprehni të njëjtin informacion me fjalë dhe fraza të ndryshme. Gjuha matematikore nuk bën përjashtim. Por e njëjta shprehje mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente në mënyra të ndryshme. Dhe në disa situata, një nga hyrjet është më e thjeshtë. Ne do të flasim për thjeshtimin e shprehjeve në këtë mësim.

Njerëzit komunikojnë në gjuhë të ndryshme. Për ne, një krahasim i rëndësishëm është çifti "Gjuha ruse - gjuha matematikore". I njëjti informacion mund të komunikohet në gjuhë të ndryshme. Por, përveç kësaj, ajo mund të shqiptohet në mënyra të ndryshme në një gjuhë.

Për shembull: "Petya është miq me Vasya", "Vasya është mike me Petya", "Petya dhe Vasya janë miq". Tha ndryshe, por e njëjta gjë. Nga ndonjë prej këtyre frazave do të kuptonim se për çfarë po flasim.

Le të shohim këtë frazë: "Djali Petya dhe djali Vasya janë miq." Ne e kuptojmë se për çfarë po flasim. Megjithatë, nuk na pëlqen tingulli i kësaj fraze. A nuk mund ta thjeshtojmë, të themi të njëjtën gjë, por më të thjeshtë? "Djali dhe djali" - mund të thuash një herë: "Djemtë Petya dhe Vasya janë miq."

“Djemtë”... A nuk kuptohet nga emrat e tyre që nuk janë vajza? Ne heqim "djemtë": "Petya dhe Vasya janë miq". Dhe fjala "miq" mund të zëvendësohet me "miq": "Petya dhe Vasya janë miq". Si rezultat, fraza e parë, e gjatë dhe e shëmtuar u zëvendësua me një deklaratë ekuivalente që është më e lehtë për t'u thënë dhe më e lehtë për t'u kuptuar. Ne e kemi thjeshtuar këtë frazë. Të thjeshtosh do të thotë ta thuash më thjeshtë, por jo të humbasësh apo shtrembërosh kuptimin.

Në gjuhën matematikore, përafërsisht e njëjta gjë ndodh. E njëjta gjë mund të thuhet, e shkruar ndryshe. Çfarë do të thotë të thjeshtosh një shprehje? Kjo do të thotë se për shprehjen origjinale ka shumë shprehje ekuivalente, domethënë ato që nënkuptojnë të njëjtën gjë. Dhe nga gjithë kjo shumëllojshmëri ne duhet të zgjedhim më të thjeshtën, sipas mendimit tonë, ose më të përshtatshmet për qëllimet tona të mëtejshme.

Për shembull, merrni parasysh shprehjen numerike . Do të jetë e barabartë me.

Do të jetë gjithashtu ekuivalente me dy të parat: .

Rezulton se ne kemi thjeshtuar shprehjet tona dhe kemi gjetur shprehjen më të shkurtër ekuivalente.

Për shprehjet numerike, gjithmonë duhet të kryeni të gjitha hapat dhe të merrni shprehjen ekuivalente si një numër të vetëm.

Le të shohim një shembull të një shprehjeje fjalë për fjalë . Natyrisht, do të jetë më e thjeshtë.

Kur thjeshtoni shprehjet fjalë për fjalë, është e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet e mundshme.

A është gjithmonë e nevojshme të thjeshtohet një shprehje? Jo, ndonjëherë do të jetë më e përshtatshme për ne që të kemi një hyrje të barabartë, por më të gjatë.

Shembull: ju duhet të zbrisni një numër nga një numër.

Është e mundur të llogaritet, por nëse numri i parë do të përfaqësohej me shënimin e tij ekuivalent: , atëherë llogaritjet do të ishin të menjëhershme: .

Kjo do të thotë, një shprehje e thjeshtuar nuk është gjithmonë e dobishme për ne për llogaritjet e mëtejshme.

Sidoqoftë, shumë shpesh ne përballemi me një detyrë që tingëllon si "thjeshtoni shprehjen".

Thjeshtoni shprehjen: .

Zgjidhje

1) Kryeni veprimet në kllapat e parë dhe të dytë: .

2) Le të llogarisim produktet: .

Natyrisht, shprehja e fundit ka një formë më të thjeshtë se ajo fillestare. E kemi thjeshtuar.

Për të thjeshtuar shprehjen, ajo duhet të zëvendësohet me një ekuivalente (e barabartë).

Për të përcaktuar shprehjen ekuivalente ju nevojitet:

1) kryeni të gjitha veprimet e mundshme,

2) përdorni vetitë e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit për të thjeshtuar llogaritjet.

Vetitë e mbledhjes dhe zbritjes:

1. Vetia komutative e mbledhjes: rirregullimi i termave nuk e ndryshon shumën.

2. Vetia kombinuese e mbledhjes: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy numrave, mund të shtoni shumën e numrave të dytë dhe të tretë në numrin e parë.

3. Vetia e zbritjes së një shume nga një numër: për të zbritur një shumë nga një numër, mund të zbrisni çdo term veç e veç.

Vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit

1. Vetia komutative e shumëzimit: rirregullimi i faktorëve nuk e ndryshon prodhimin.

2. Vetia kombinuese: për të shumëzuar një numër me produktin e dy numrave, fillimisht mund ta shumëzoni me faktorin e parë dhe më pas produktin që rezulton me faktorin e dytë.

3. Vetia shpërndarëse e shumëzimit: për të shumëzuar një numër me një shumë, duhet ta shumëzoni atë me secilin term veç e veç.

Le të shohim se si i bëjmë në të vërtetë llogaritjet mendore.

Llogaritni:

Zgjidhje

1) Le të imagjinojmë se si

2) Le të imagjinojmë faktorin e parë si një shumë të termave bit dhe të kryejmë shumëzimin:

3) ju mund të imagjinoni se si dhe të kryeni shumëzimin:

4) Zëvendësoni faktorin e parë me një shumë ekuivalente:

Ligji i shpërndarjes mund të përdoret edhe në drejtim të kundërt: .

Ndiqni këto hapa:

1) 2)

Zgjidhje

1) Për lehtësi, mund të përdorni ligjin shpërndarës, por përdorni atë në drejtim të kundërt - hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat.

2) Le të heqim faktorin e përbashkët jashtë kllapave

Është e nevojshme të blini linoleum për kuzhinë dhe korridor. Zona e kuzhinës - , korridori - . Ekzistojnë tre lloje të linoleumeve: për, dhe rubla për. Sa do të kushtojë secili nga tre llojet e linoleumit? (Fig. 1)

Oriz. 1. Ilustrim për deklaratën e problemit

Zgjidhje

Metoda 1. Mund të zbuloni veçmas se sa para do të nevojiten për të blerë linoleum për kuzhinë, dhe më pas vendoseni në korridor dhe shtoni produktet që rezultojnë.

Niveli i hyrjes

Konvertimi i shprehjeve. Teoria e Detajuar (2019)

Shpesh dëgjojmë këtë frazë të pakëndshme: "Thjeshtoni shprehjen." Zakonisht ne shohim një lloj përbindëshi si ky:

"Është shumë më e thjeshtë," themi ne, por një përgjigje e tillë zakonisht nuk funksionon.

Tani do t'ju mësoj të mos keni frikë nga asnjë detyrë e tillë.

Për më tepër, në fund të mësimit, ju vetë do ta thjeshtoni këtë shembull në (vetëm!) një numër të zakonshëm (po, në ferr me këto shkronja).

Por para se të filloni këtë aktivitet, duhet të jeni në gjendje trajtojnë fraksionet Dhe polinomet e faktorëve.

Prandaj, nëse nuk e keni bërë këtë më parë, sigurohuni që të zotëroni temat "" dhe "".

A e keni lexuar? Nëse po, atëherë ju jeni gati.

Le të shkojmë (Le të shkojmë!)

Shënim i rëndësishëm!Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Për ta bërë këtë, shtypni CTRL + F5 (në Windows) ose Cmd+R (në Mac).

Operacionet e thjeshtimit të shprehjeve bazë

Tani le të shohim teknikat bazë që përdoren për të thjeshtuar shprehjet.

Më e thjeshta është

1. Sjellja e ngjashme

Cilat janë të ngjashme? Ju e morët këtë në klasën e 7-të, kur shkronjat në vend të numrave u shfaqën për herë të parë në matematikë.

Të ngjashme- këto janë terma (monome) me të njëjtën pjesë shkronjash.

Për shembull, në shumë, terma të ngjashëm janë dhe.

A ju kujtohet?

Jep të ngjashme- nënkupton shtimin e disa termave të ngjashëm me njëri-tjetrin dhe marrjen e një termi.

Si mund t'i bashkojmë shkronjat? - pyet ti.

Kjo është shumë e lehtë për t'u kuptuar nëse imagjinoni se shkronjat janë një lloj objekti.

Për shembull, një letër është një karrige. Atëherë me çfarë është e barabartë shprehja?

Dy karrige plus tre karrige, sa do të jenë? Ashtu është, karriget: .

Tani provoni këtë shprehje: .

Për të shmangur konfuzionin, lërini shkronja të ndryshme të përfaqësojnë objekte të ndryshme.

Për shembull, - është (si zakonisht) një karrige, dhe - është një tavolinë.

karrige tavolina karrige tavolina karrige karrige tavolina

Numrat me të cilët shumëzohen shkronjat në terma të tillë quhen koeficientët.

Për shembull, në një monom koeficienti është i barabartë. Dhe në të është e barabartë.

Pra, rregulli për sjelljen e të ngjashmeve është:

Shembuj:

Jepni të ngjashme:

Përgjigjet:

2. (dhe të ngjashme, pasi, pra, këto terma kanë të njëjtën pjesë shkronjash).

2. Faktorizimi

Kjo është zakonisht pjesa më e rëndësishme në thjeshtimin e shprehjeve.

Pasi të keni dhënë të ngjashme, më shpesh nevojitet shprehja që rezulton faktorizoj, pra paraqitet në formën e një produkti.

Sidomos kjo e rëndësishme në thyesa: në fund të fundit, për të qenë në gjendje të zvogëloni thyesën, Numëruesi dhe emëruesi duhet të paraqiten si prodhim.

Ju keni kaluar në detaje metodat e faktorizimit të shprehjeve në temën "", kështu që këtu thjesht duhet të mbani mend atë që keni mësuar.

Për ta bërë këtë, zgjidhni disa shembuj (duhet t'i faktorizoni ato)

Shembuj:

Zgjidhjet:

3. Zvogëlimi i një thyese.

Epo, çfarë mund të jetë më e këndshme sesa të kryqëzoni një pjesë të numëruesit dhe emëruesit dhe t'i hidhni ato nga jeta juaj?

Kjo është bukuria e zvogëlimit.

Është e thjeshtë:

Nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtët faktorë, ata mund të reduktohen, domethënë të hiqen nga thyesa.

Ky rregull rrjedh nga vetia themelore e një thyese:

Kjo do të thotë, thelbi i operacionit të reduktimit është se Numëruesin dhe emëruesin e thyesës e ndajmë me të njëjtin numër (ose me të njëjtën shprehje).

Për të reduktuar një fraksion ju duhet:

1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj

2) nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë faktorë të përbashkët, ato mund të kryqëzohen.

Shembuj:

Parimi, mendoj, është i qartë?

Nuk ka shkurtesa nëse numëruesi ose emëruesi është një shumë.

Për shembull: ne duhet të thjeshtojmë.

Disa njerëz e bëjnë këtë: gjë që është absolutisht e gabuar.

Një shembull tjetër: zvogëloni.

"Më i zgjuari" do ta bëjë këtë:

Më thuaj çfarë nuk shkon këtu? Do të duket: - ky është një shumëzues, që do të thotë se mund të reduktohet.

Por jo: - ky është një faktor i vetëm një termi në numërues, por vetë numëruesi në tërësi nuk është i faktorizuar.

Ja një shembull tjetër: .

Kjo shprehje është e faktorizuar, që do të thotë se ju mund ta zvogëloni atë, domethënë, ndani numëruesin dhe emëruesin me, dhe më pas me:

Mund ta ndani menjëherë në:

Për të shmangur gabime të tilla, mbani mend një mënyrë të thjeshtë për të përcaktuar nëse një shprehje është faktorizuar:

Operacioni aritmetik që kryhet i fundit kur llogaritet vlera e një shprehjeje është operacioni "master".

Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja është e faktorizuar).

Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë që shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).

Për ta përforcuar këtë, zgjidhni vetë disa shembuj:

Shembuj:

Zgjidhjet:

1. Shpresoj se nuk keni nxituar menjëherë për të prerë dhe? Ende nuk ishte e mjaftueshme për të "reduktuar" njësi si kjo:

Hapi i parë duhet të jetë faktorizimi:

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.

Le të kujtojmë:

Përgjigjet:

2. Këtu emëruesi i përbashkët është:

3. Këtu, para së gjithash, ne i kthejmë fraksionet e përziera në ato të pahijshme, dhe më pas sipas skemës së zakonshme:

Është një çështje krejtësisht e ndryshme nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja

Këtu gjithçka është e njëjtë si me thyesat e zakonshme numerike: gjejmë emëruesin e përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit:

Tani në numërues mund të jepni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:

Provojeni vetë:

Përgjigjet:

b) Emëruesit përmbajnë shkronja

Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:

· para së gjithash përcaktojmë faktorët e përbashkët;

· pastaj shkruajmë të gjithë faktorët e përbashkët një nga një;

· dhe t'i shumëzoni me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.

Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i faktorizojmë në faktorët kryesorë:

Le të theksojmë faktorët e përbashkët:

Tani le të shkruajmë faktorët e përbashkët një nga një dhe t'u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):

Ky është emëruesi i përbashkët.

Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:

· faktorizoni emëruesit;

· të përcaktojë faktorët e përbashkët (identikë);

· shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;

· t'i shumëzojë me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.

Pra, me radhë:

1) faktorizoni emëruesit:

2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):

3) shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (të pa nënvizuar):

Pra, këtu ka një emërues të përbashkët. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta me:

Nga rruga, ekziston një mashtrim:

Për shembull: .

Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:

deri në një shkallë

deri në një shkallë.

Le ta komplikojmë detyrën:

Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?

Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:

Askund nuk thotë se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!

Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë mësuat?

Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:

Kur reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët, përdorni vetëm veprimin e shumëzimit!

Por me çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?

Pra shumëzojeni me. Dhe shumëzojeni me:

Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do t'i quajmë "faktorë elementar".

Për shembull, - ky është një faktor elementar. - Njësoj. Por jo: mund të faktorizohet.

Po shprehja? Është elementare?

Jo, sepse mund të faktorizohet:

(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").

Shohim që të dy emëruesit kanë një shumëzues. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët deri në shkallë (kujtoni pse?).

Faktori është elementar, dhe ata nuk kanë një faktor të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Para se t'i shumëzoni këta emërues në panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Ata të dy përfaqësojnë:

E shkëlqyeshme! Pastaj:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Si zakonisht, le të faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:

Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por po t'i shikoni me vëmendje, ato janë të ngjashme... Dhe është e vërtetë:

Pra, le të shkruajmë:

Tani le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:

E kuptove? Le ta kontrollojmë tani.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Përgjigjet:

Këtu duhet të kujtojmë edhe një gjë - ndryshimin e kubeve:

Ju lutemi vini re se emëruesi i thyesës së dytë nuk përmban formulën "katrori i shumës"! Katrori i shumës do të duket kështu: .

Çfarë duhet të bëni nëse tashmë ka tre fraksione?

Po, e njëjta gjë! Para së gjithash, le të sigurohemi që numri maksimal i faktorëve në emërues është i njëjtë:

Hmm... Është e qartë se çfarë duhet bërë me thyesat. Por çfarë ndodh me të dy?

Vetëm ajo që ju nevojitet!

5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.

Epo, pjesa më e vështirë ka mbaruar tani. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:

Procedura

Cila është procedura për llogaritjen e një shprehjeje numerike? Mbani mend duke llogaritur kuptimin e kësaj shprehjeje:

A keni numëruar?

Duhet të funksionojë.

Pra, më lejoni t'ju kujtoj.

Hapi i parë është llogaritja e shkallës.

E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ato mund të bëhen në çdo rend.

Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.

Por: shprehja në kllapa vlerësohet jashtë radhe!

Nëse disa kllapa shumëzohen ose pjesëtohen me njëra-tjetrën, fillimisht llogarisim shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas shumëzojmë ose pjesëtojmë ato.

Pra, procedura për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):

Mirë, gjithçka është e thjeshtë.

Por kjo nuk është njësoj si një shprehje me shkronja?

Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë shprehjen si produkt ose koeficient.

Për shembull:

Le të thjeshtojmë shprehjen.

Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).

2) Ne marrim:

Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e thjeshtë.

3) Tani mund të shkurtoni:

Epo, kjo është e gjitha. Asgjë e komplikuar, apo jo?

Një shembull tjetër:

Thjeshtoni shprehjen.

Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.

Zgjidhja:

Para së gjithash, le të përcaktojmë rendin e veprimeve.

Së pari, le të mbledhim thyesat në kllapa, kështu që në vend të dy thyesave marrim një.

Pastaj do të bëjmë pjesëtimin e thyesave. Epo, le të shtojmë rezultatin me fraksionin e fundit.

Unë do t'i numëroj hapat në mënyrë skematike:

Tani do t'ju tregoj procesin, duke e ngjyrosur veprimin aktual me të kuqe:

Së fundi, unë do t'ju jap dy këshilla të dobishme:

1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që shfaqen të ngjashme në vendin tonë, këshillohet që ato të ngrihen menjëherë.

Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:

Dhe çfarë u premtua në fillim:

Përgjigjet:

Zgjidhjet (e shkurtër):

Nëse i keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë e keni zotëruar temën.

Tani për të mësuar!

KONVERTIMI I SHPREHJEVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

Operacionet themelore të thjeshtimit:

Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
Faktorizimi: nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave, zbatimi i tij etj.
Reduktimi i një fraksioni: Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, i cili nuk e ndryshon vlerën e thyesës.
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, ata mund të kryqëzohen.
E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!
Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
;
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
;