Intervali i besimit tregon. Testoni aftësitë e zgjidhjeve me pagesë

“Katren-Style” vazhdon publikimin e serisë së Konstantin Kravchik për statistikat mjekësore. Në dy artikuj të mëparshëm, autori u mor me shpjegimin e koncepteve si dhe.

Konstantin Kravchik

Matematikan-analist. Specialist në kërkimin statistikor në mjekësi dhe shkenca humane

Qyteti: Moskë

Shumë shpesh në artikujt mbi studimet klinike mund të gjeni një frazë misterioze: "interval besimi" (95 % CI ose 95 % CI - interval besimi). Për shembull, një artikull mund të shkruajë: "Për të vlerësuar rëndësinë e dallimeve, u përdor një test i Studentit për të llogaritur intervalin 95 % të besimit."

Cila është vlera e "intervalit të besimit 95 " dhe pse ta llogarisim atë?

Çfarë është një interval besimi? - Ky është diapazoni brenda të cilit popullsia e vërtetë do të thotë gënjeshtër. A ka mesatare "të pavërteta"? Në njëfarë kuptimi, po, ata e bëjnë. Në shpjeguam se është e pamundur të matet një parametër me interes në të gjithë popullatën, kështu që studiuesit mjaftohen me një kampion të kufizuar. Në këtë kampion (për shembull, në bazë të peshës trupore) ekziston një vlerë mesatare (një peshë e caktuar), me të cilën gjykojmë vlerën mesatare në të gjithë popullatën. Megjithatë, nuk ka gjasa që pesha mesatare në një kampion (veçanërisht të vogël) të përkojë me peshën mesatare në popullatën e përgjithshme. Prandaj, është më e saktë të llogaritet dhe përdoret diapazoni i vlerave mesatare të popullsisë.

Për shembull, imagjinoni që intervali 95% i besimit (95% CI) për hemoglobinën është 110 deri në 122 g/L. Kjo do të thotë se ka një shans 95% që vlera mesatare e vërtetë e hemoglobinës në popullatë të jetë midis 110 dhe 122 g/L. Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë vlerën mesatare të hemoglobinës në popullatë, por mundemi, me probabilitet 95 %, të tregojmë një sërë vlerash për këtë tipar.

Intervalet e besimit janë veçanërisht të rëndësishme për dallimet në mesataret ndërmjet grupeve, ose madhësitë e efekteve siç quhen ato.

Le të themi se krahasuam efektivitetin e dy preparateve të hekurit: një që ka qenë në treg për një kohë të gjatë dhe një që sapo është regjistruar. Pas kursit të terapisë, ne vlerësuam përqendrimin e hemoglobinës në grupet e studiuara të pacientëve dhe programi statistikor llogariti se diferenca midis vlerave mesatare të dy grupeve ishte, me një probabilitet 95 %, në intervalin nga 1,72 në 14,36 g/l (Tabela 1).

Tabela 1. Test për mostra të pavarura
(Grupet krahasohen sipas nivelit të hemoglobinës)

Kjo duhet të interpretohet si më poshtë: në disa pacientë në popullatën e përgjithshme që marrin një ilaç të ri, hemoglobina do të jetë mesatarisht më e lartë me 1,72-14,36 g/l sesa në ata që kanë marrë një ilaç tashmë të njohur.

Me fjalë të tjera, në popullatën e përgjithshme, diferenca në vlerat mesatare të hemoglobinës midis grupeve është brenda këtyre kufijve me një probabilitet 95%. Do të jetë në dorën e studiuesit të gjykojë nëse kjo është shumë apo pak. Thelbi i gjithë kësaj është se ne nuk punojmë me një vlerë mesatare, por me një varg vlerash, prandaj, ne vlerësojmë më me besueshmëri ndryshimin në një parametër midis grupeve.

Në paketat statistikore, sipas gjykimit të studiuesit, ju mund të ngushtoni ose zgjeroni në mënyrë të pavarur kufijtë e intervalit të besimit. Duke ulur probabilitetet e intervalit të besimit, ne ngushtojmë gamën e mjeteve. Për shembull, në 90 % CI diapazoni i mesatareve (ose ndryshimi në mesatare) do të jetë më i ngushtë se në 95 %.

Në të kundërt, rritja e probabilitetit në 99 % zgjeron gamën e vlerave. Kur krahasohen grupet, kufiri i poshtëm i CI mund të kalojë shenjën zero. Për shembull, nëse zgjeronim kufijtë e intervalit të besimit në 99 %, atëherë kufijtë e intervalit varionin nga –1 në 16 g/l. Kjo do të thotë se në popullatën e përgjithshme ekzistojnë grupe, diferenca e mesatareve ndërmjet të cilave për karakteristikën që studiohet është e barabartë me 0 (M = 0).

Duke përdorur një interval besimi, ju mund të testoni hipotezat statistikore. Nëse intervali i besimit kalon vlerën zero, atëherë hipoteza zero, e cila supozon se grupet nuk ndryshojnë në parametrin që studiohet, është e vërtetë. Shembulli është përshkruar më sipër ku kemi zgjeruar kufijtë në 99 %. Diku në popullatën e përgjithshme gjetëm grupe që nuk ndryshonin në asnjë mënyrë.

95% interval besimi i diferencës në hemoglobinë, (g/l)

Shifra tregon intervalin 95% të besimit për diferencën në vlerat mesatare të hemoglobinës midis dy grupeve. Linja kalon në shenjën zero, prandaj ka një ndryshim midis mesatareve të zeros, gjë që konfirmon hipotezën zero se grupet nuk ndryshojnë. Gama e diferencës midis grupeve është nga –2 në 5 g/L Kjo do të thotë se hemoglobina mund të ulet me 2 g/L ose të rritet me 5 g/L.

Intervali i besimit është një tregues shumë i rëndësishëm. Falë tij, mund të shihni nëse ndryshimet në grupe ishin vërtet për shkak të ndryshimit në mesatare apo për shkak të një kampioni të madh, pasi me një kampion të madh shanset për të gjetur dallime janë më të mëdha se sa me një të vogël.

Në praktikë mund të duket kështu. Ne morëm një kampion prej 1000 personash, matëm nivelet e hemoglobinës dhe zbuluam se intervali i besimit për diferencën e mesatareve varionte nga 1,2 në 1,5 g/l. Niveli i rëndësisë statistikore në këtë rast p

Shohim që përqendrimi i hemoglobinës u rrit, por pothuajse në mënyrë të padukshme, prandaj rëndësia statistikore u shfaq pikërisht për shkak të madhësisë së kampionit.

Intervalet e besimit mund të llogariten jo vetëm për mjetet, por edhe për përmasat (dhe raportet e rrezikut). Për shembull, ne jemi të interesuar për intervalin e besimit të proporcioneve të pacientëve që arritën faljen gjatë marrjes së një ilaçi të zhvilluar. Le të supozojmë se 95 % CI për proporcionet, d.m.th., për proporcionin e pacientëve të tillë, qëndron në intervalin 0.60-0.80. Kështu, mund të themi se ilaçi ynë ka një efekt terapeutik në 60 deri në 80 % të rasteve.

Nga ky artikull do të mësoni:

Çfarë ka ndodhur intervali i besimit?

Çfarë kuptimi ka Rregullat 3 sigma?

Si mund ta zbatoni këtë njohuri në praktikë?

Në ditët e sotme, për shkak të një tepricë informacioni që lidhet me një shumëllojshmëri të madhe produktesh, drejtime shitjesh, punonjës, fusha aktiviteti, etj. mund të jetë e vështirë të theksosh gjënë kryesore, të cilat, para së gjithash, ia vlen t'i kushtoni vëmendje dhe të bëni përpjekje për ta menaxhuar. Përkufizimi intervali i besimit dhe analiza e vlerave aktuale që shkojnë përtej kufijve të saj - një teknikë që do t'ju ndihmojë të nënvizoni situatat, duke ndikuar në tendencat në ndryshim. Do të jeni në gjendje të zhvilloni faktorë pozitivë dhe të zvogëloni ndikimin e atyre negativë. Kjo teknologji përdoret në shumë kompani të njohura globale.

Ka të ashtuquajturat " alarme", e cila informojnë menaxherët se vlera e radhës është në një drejtim të caktuar shkoi përtej intervali i besimit. Çfarë do të thotë kjo? Ky është një sinjal se ka ndodhur një ngjarje e pazakontë, e cila mund të ndryshojë trendin ekzistues në këtë drejtim. Ky është një sinjal ndaj asaj për ta kuptuar në situatë dhe kuptoni se çfarë ndikoi në të.

Për shembull, merrni parasysh disa situata. Ne kemi llogaritur parashikimin e shitjeve me kufijtë e parashikimit për 100 artikuj produkti për vitin 2011 sipas muajve dhe shitjet aktuale në mars:

1. Për “Vaj luledielli” ata kaluan kufirin e sipërm të parashikimit dhe nuk ranë në intervalin e besimit.
2. Për “maja e thatë” tejkaluam kufirin e poshtëm të parashikimit.
3. "Qall bollgur" ka thyer kufirin e sipërm.

Për produktet e tjera, shitjet aktuale ishin brenda kufijve të parashikuar të parashikuar. Ato. shitjet e tyre ishin brenda pritshmërive. Pra, ne identifikuam 3 produkte që dolën përtej kufijve dhe filluam të kuptojmë se çfarë ndikoi që ata të dilnin përtej kufijve:

1. Për vajin e lulediellit, ne hymë në një rrjet të ri shpërndarjeje, i cili na dha vëllim shtesë të shitjeve, gjë që bëri që të kalojmë kufirin e sipërm. Për këtë produkt vlen të rillogaritet parashikimi deri në fund të vitit, duke marrë parasysh parashikimin e shitjeve për këtë rrjet.
2. Për “Maja e thatë” makina ka ngecur në doganë dhe ka pasur mungesë brenda 5 ditëve, çka ka ndikuar në rënien e shitjeve dhe ka tejkaluar kufirin e poshtëm. Mund të jetë e vlefshme të kuptoni se çfarë e shkaktoi atë dhe të përpiqeni të mos e përsërisni këtë situatë.
3. Një ngjarje e promovimit të shitjeve u nis për Qull tërshërë, e cila dha një rritje të konsiderueshme në shitje dhe bëri që kompania të shkojë përtej parashikimit.

Ne identifikuam 3 faktorë që ndikuan në tejkalimin e kufijve të parashikimit. Mund të ketë shumë më tepër në jetë Për të rritur saktësinë e parashikimit dhe planifikimit, faktorë që çojnë në faktin se shitjet aktuale mund të shkojnë përtej parashikimit, ia vlen të theksohen dhe të ndërtohen parashikime dhe plane veç e veç. Dhe pastaj merrni parasysh ndikimin e tyre në parashikimin kryesor të shitjeve. Ju gjithashtu mund të vlerësoni rregullisht ndikimin e këtyre faktorëve dhe të ndryshoni situatën për mirë. duke ulur ndikimin e faktorëve negativë dhe duke rritur ndikimin e faktorëve pozitivë.

Me një interval besimi mund të:

1. Zgjidhni drejtimet, të cilave ia vlen t'u kushtohet vëmendje, sepse në këto drejtime kanë ndodhur ngjarje që mund të ndikojnë ndryshim në trend.
2. Identifikoni faktorët, të cilat realisht ndikojnë në ndryshimin e situatës.
3. Pranoje vendim i informuar(për shembull, në lidhje me blerjen, planifikimin, etj.).

Tani le të shohim se çfarë është një interval besimi dhe si ta llogarisim atë në Excel duke përdorur një shembull.

Çfarë është një interval besimi?

Intervali i besimit është kufijtë e parashikimit (të sipërm dhe të poshtëm), brenda të cilëve me një probabilitet të caktuar (sigma) do të shfaqen vlerat aktuale.

Ato. Ne llogarisim parashikimin - ky është udhëzimi ynë kryesor, por ne e kuptojmë se vlerat aktuale nuk kanë gjasa të jenë 100% të barabarta me parashikimin tonë. Dhe lind pyetja, brenda çfarë kufijsh vlerat aktuale mund të bien, nëse trendi aktual vazhdon? Dhe kjo pyetje do të na ndihmojë të përgjigjemi llogaritja e intervalit të besimit, d.m.th. - kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të parashikimit.

Çfarë është një sigma e probabilitetit të dhënë?

Gjatë llogaritjes intervali i besimit mundemi vendos probabilitetin godet vlerat aktuale brenda kufijve të parashikuar të parashikuar. Si ta bëni këtë? Për ta bërë këtë, ne vendosim vlerën e sigmës dhe, nëse sigma është e barabartë me:

3 sigma- atëherë, probabiliteti që vlera e ardhshme aktuale të bjerë në intervalin e besimit do të jetë 99.7%, ose 300 me 1, ose ka një probabilitet 0.3% për të shkuar përtej kufijve.

2 sigma- atëherë, probabiliteti që vlera e radhës të bjerë brenda kufijve është ≈ 95.5%, d.m.th. shanset janë rreth 20 me 1, ose ka një shans 4.5% për të kaluar jashtë bordit.

1 sigma- atëherë probabiliteti është ≈ 68,3%, d.m.th. shanset janë afërsisht 2 me 1, ose ka një shans 31.7% që vlera tjetër të bjerë jashtë intervalit të besimit.

Ne formuluam Rregulli 3 sigma,që thotë se probabiliteti i goditjes një vlerë tjetër e rastësishme në intervalin e besimit me një vlerë të caktuar tre sigma është 99.7%.

Matematikani i madh rus Chebyshev vërtetoi teoremën se ekziston një probabilitet 10% për të shkuar përtej kufijve të parashikimit me një vlerë të caktuar prej tre sigma. Ato. probabiliteti për të rënë brenda intervalit të besimit 3-sigma do të jetë të paktën 90%, ndërsa një përpjekje për të llogaritur parashikimin dhe kufijtë e tij "me sy" është e mbushur me gabime shumë më të rëndësishme.

Si të llogarisni vetë një interval besimi në Excel?

Le të shohim llogaritjen e intervalit të besimit në Excel (d.m.th., kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të parashikimit) duke përdorur një shembull. Ne kemi një seri kohore - shitje sipas muajve për 5 vjet. Shih skedarin e bashkangjitur.

Për të llogaritur kufijtë e parashikimit, ne llogarisim:

1. Parashikimi i shitjeve().
2. Sigma - devijimi standard modelet e parashikimit nga vlerat aktuale.
3. Tre sigma.
4. Intervali i besimit.

1. Parashikimi i shitjeve.

=(RC[-14] (të dhënat e serive kohore)- RC[-1] (vlera e modelit))^2 (katrore)

3. Për çdo muaj, le të përmbledhim vlerat e devijimit nga faza 8 Sum((Xi-Ximod)^2), d.m.th. Le të përmbledhim janarin, shkurtin... për çdo vit.

Për ta bërë këtë, përdorni formulën = SUMIF ()

SUMIF (varg me numra periodash brenda ciklit (për muajt nga 1 deri në 12); lidhja me numrin e periudhës në cikël; lidhja me një grup me katrorë të diferencës midis të dhënave burimore dhe vlerave të periudhës)

4. Llogaritni devijimin standard për secilën periudhë të ciklit nga 1 në 12 (faza 10 në dosjen e bashkangjitur).

Për ta bërë këtë, nxjerrim rrënjën nga vlera e llogaritur në fazën 9 dhe pjesëtojmë me numrin e periudhave në këtë cikël minus 1 = SQRT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Le të përdorim formulat në Excel =ROOT(R8 (lidhja me (Sum(Xi-Ximod)^2)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (lidhja me grupin me numrat e ciklit); O8 (lidhja me një numër specifik cikli që ne numërojmë në grup))-1))

Duke përdorur formulën Excel = COUNTIF numërojmë numrin n

Pasi kemi llogaritur devijimin standard të të dhënave aktuale nga modeli i parashikimit, kemi marrë vlerën sigma për çdo muaj - faza 10 në dosjen e bashkangjitur.

3. Le të llogarisim 3 sigma.

Në fazën 11 ne vendosëm numrin e sigmave - në shembullin tonë "3" (faza 11 në dosjen e bashkangjitur):

Gjithashtu i përshtatshëm për praktikimin e vlerave sigma:

1.64 sigma - 10% mundësi për të tejkaluar kufirin (1 shans në 10);

1.96 sigma - 5% mundësi për të shkuar përtej kufijve (1 shans në 20);

2.6 sigma - 1% mundësi për të shkuar përtej kufijve (1 shans në 100).

5) Llogaritja e tre sigmave, për këtë shumëzojmë vlerat "sigma" për çdo muaj me "3".

3. Përcaktoni intervalin e besimit.

1. Kufiri i sipërm i parashikimit- parashikimi i shitjeve duke marrë parasysh rritjen dhe sezonalitetin + (plus) 3 sigma;
2. Kufiri më i ulët i parashikimit- parashikimi i shitjeve duke marrë parasysh rritjen dhe sezonalitetin – (minus) 3 sigma;

Për lehtësinë e llogaritjes së intervalit të besimit për një periudhë të gjatë (shih skedarin e bashkangjitur), ne do të përdorim formulën Excel =Y8+VLOOKUP(W8,$U$8:$V$19,2,0), Ku

Y8- parashikimi i shitjeve;

W8- numri i muajit për të cilin do të marrim vlerën 3-sigma;

Ato. Kufiri i sipërm i parashikimit= "parashikimi i shitjeve" + "3 sigma" (në shembull, VLOOKUP (numri i muajit; tabelë me 3 vlera sigma; kolona nga e cila nxjerrim vlerën e sigmës të barabartë me numrin e muajit në rreshtin përkatës; 0)).

Kufiri më i ulët i parashikimit= “parashikimi i shitjeve” minus “3 sigma”.

Pra, ne llogaritëm intervalin e besimit në Excel.

Tani kemi një parashikim dhe një interval me kufij brenda të cilit vlerat aktuale do të bien me një probabilitet të dhënë sigma.

Në këtë artikull, ne shikuam se çfarë janë sigma dhe rregulli tre-sigma, si të përcaktohet një interval besimi dhe pse mund ta përdorni këtë teknikë në praktikë.

Ne ju dëshirojmë parashikime të sakta dhe sukses!

Si Forecast4AC PRO mund t'ju ndihmojëkur llogaritet intervali i besimit?:

Forecast4AC PRO do të llogarisë automatikisht kufijtë e sipërm ose të poshtëm të parashikimit për më shumë se 1000 seri kohore njëkohësisht;

Aftësia për të analizuar kufijtë e parashikimit në krahasim me parashikimin, trendin dhe shitjet aktuale në grafik me një goditje tasti;

Në programin Forcast4AC PRO është e mundur të vendosni vlerën sigma nga 1 në 3.

Bashkohu me ne!

Shkarkoni aplikacione falas të parashikimit dhe analizës së biznesit:

• Novo Forecast Lite- automatike llogaritja e parashikimit V Excel.
• 4 analitika - Analiza ABC-XYZ dhe analiza e emetimeve Excel.
• Qlik Sense Desktop dhe QlikViewPersonal Edition - Sistemet BI për analizën dhe vizualizimin e të dhënave.

Testoni aftësitë e zgjidhjeve me pagesë:

• Novo Forecast PRO- parashikimi në Excel për grupe të mëdha të dhënash.

Intervali i besimit(CI; në anglisht, intervali i besimit - CI) i marrë në një studim me një kampion jep një masë të saktësisë (ose pasigurisë) të rezultateve të studimit në mënyrë që të nxirren përfundime për popullsinë e të gjithë pacientëve të tillë (popullata e përgjithshme). Përkufizimi i saktë i një CI 95% mund të formulohet si më poshtë: 95% e intervaleve të tilla do të përmbajnë vlerën e vërtetë në popullatë. Ky interpretim është disi më pak i saktë: CI është diapazoni i vlerave brenda të cilit mund të jeni 95% i sigurt se përmban vlerën e vërtetë. Kur përdorni një CI, theksi vihet në përcaktimin e efektit sasior, në krahasim me vlerën P, e cila merret duke testuar rëndësinë statistikore. Vlera P nuk vlerëson asnjë sasi, por më tepër shërben si një masë e fuqisë së provave kundër hipotezës zero të "pa efekt". Vlera e P në vetvete nuk na tregon asgjë për madhësinë e ndryshimit, madje as për drejtimin e tij. Prandaj, vlerat e pavarura P janë absolutisht jo informative në artikuj ose abstrakte. Në të kundërt, CI tregon si madhësinë e efektit me interes të menjëhershëm, siç është përfitimi i një trajtimi, ashtu edhe fuqinë e provave. Prandaj, DI lidhet drejtpërdrejt me praktikën e EBM.

Qasja e vlerësimit për analizën statistikore, e ilustruar nga CI, synon të masë sasinë e një efekti interesi (ndjeshmëria e një testi diagnostik, shkalla e rasteve të parashikuara, reduktimi relativ i rrezikut me trajtimin, etj.) dhe gjithashtu të masë pasigurinë në atë efekt. Më shpesh, CI është diapazoni i vlerave në të dyja anët e vlerësimit në të cilin vlera e vërtetë ka të ngjarë të qëndrojë, dhe ju mund të jeni 95% i sigurt për të. Marrëveshja për të përdorur probabilitetin 95% është arbitrare, siç është edhe vlera P.<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI bazohet në idenë se i njëjti studim i kryer në mostra të ndryshme pacientësh nuk do të prodhonte rezultate identike, por se rezultatet e tyre do të shpërndaheshin rreth një vlere të vërtetë, por të panjohur. Me fjalë të tjera, CI e përshkruan atë si "ndryshueshmëri e varur nga mostra". IK nuk pasqyron pasiguri shtesë për arsye të tjera; në veçanti, ai nuk përfshin ndikimin e humbjes selektive në ndjekjen, pajtueshmërinë e dobët ose matje të pasakta të rezultatit, mungesën e verbimit, etj. Prandaj, CI gjithmonë nënvlerëson shumën totale të pasigurisë.

Llogaritja e intervalit të besimit

Tabela A1.1. Gabimet standarde dhe intervalet e besimit për matjet e zgjedhura klinike

Në mënyrë tipike, një CI llogaritet nga një vlerësim i vëzhguar i një sasie, siç është diferenca (d) midis dy proporcioneve dhe gabimi standard (SE) në vlerësimin e asaj diferencë. CI i përafërt 95% i marrë në këtë mënyrë është d ± 1,96 SE. Formula ndryshon sipas natyrës së masës së rezultatit dhe fushëveprimit të CI. Për shembull, në një provë të rastësishme, të kontrolluar me placebo të një vaksine acellulare pertusis, 72 nga 1670 (4.3%) foshnjat që morën vaksinën zhvilluan kollë të mirë dhe 240 nga 1665 (14.4%) në grupin e kontrollit. Diferenca në përqindje, e njohur si reduktimi absolut i rrezikut, është 10.1%. SE e kësaj diferencë është 0.99%. Prandaj, CI 95% është 10,1% + 1,96 x 0,99%, d.m.th. nga 8.2 në 12.0.

Pavarësisht qasjeve të tyre të ndryshme filozofike, CI dhe testet e rëndësisë statistikore janë të lidhura ngushtë matematikisht.

Kështu, vlera P është "e rëndësishme", d.m.th. R<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Pasiguria (pa saktësia) e vlerësimit, e shprehur në CI, lidhet kryesisht me rrënjën katrore të madhësisë së kampionit. Mostrat e vogla ofrojnë më pak informacion sesa ato të mëdha, dhe CI është përkatësisht më i gjerë në një kampion më të vogël. Për shembull, një artikull që krahason performancën e tre testeve të përdorura për të diagnostikuar infeksionin Helicobacter pylori raportoi një ndjeshmëri të testit të frymëmarrjes së uresë prej 95.8% (95% CI 75-100). Ndërsa shifra 95.8% është mbresëlënëse, kampioni i vogël i 24 pacientëve të rritur me J. pylori do të thotë se ka pasiguri të konsiderueshme në këtë vlerësim, siç tregohet nga CI i gjerë. Në të vërtetë, kufiri i poshtëm prej 75% është shumë më i ulët se vlerësimi prej 95.8%. Nëse do të vërehej e njëjta ndjeshmëri në një kampion prej 240 personash, 95% CI do të ishte 92.5-98.0, duke dhënë më shumë siguri se testi është shumë i ndjeshëm.

Në provat e kontrolluara të rastësishme (RCT), rezultatet jo të rëndësishme (d.m.th., ato me P >0.05) janë veçanërisht të ndjeshme ndaj keqinterpretimit. CI është veçanërisht i dobishëm këtu sepse tregon se sa të qëndrueshme janë rezultatet me efektin e vërtetë të dobishëm klinik. Për shembull, në një RCT që krahason suturën e kolonit dhe anastomozën bazë, infeksioni i plagës u zhvillua në 10.9% dhe 13.5% të pacientëve, përkatësisht (P = 0.30). 95% CI për këtë diferencë është 2.6% (-2 në +8). Edhe në këtë studim me 652 pacientë, mbetet e mundur që të ketë një ndryshim modest në incidencën e infeksioneve që vijnë nga dy procedurat. Sa më pak kërkime, aq më e madhe është pasiguria. Sung et al. kreu një RCT për të krahasuar infuzionin e oktreotidit me skleroterapinë akute për gjakderdhjen akute variceale në 100 pacientë. Në grupin e oktreotideve, shkalla e kontrollit të gjakderdhjes ishte 84%; në grupin e skleroterapisë - 90%, që jep P = 0.56. Vini re se normat e gjakderdhjes së vazhdueshme janë të ngjashme me ato për infeksionin e plagës në studimin e përmendur. Në këtë rast, megjithatë, CI 95% për diferencën midis ndërhyrjeve është 6% (−7 deri në +19). Ky diapazon është mjaft i gjerë në krahasim me diferencën 5% që do të ishte me interes klinik. Është e qartë se studimi nuk përjashton një ndryshim të rëndësishëm në efektivitet. Prandaj, përfundimi i autorëve "infuzioni oktreotid dhe skleroterapia janë po aq efektive në trajtimin e gjakderdhjes nga venat me variçe" është padyshim i pavlefshëm. Në raste të tilla, ku, si këtu, 95% CI për reduktimin e rrezikut absolut (ARR) përfshin zero, CI për NNT (numri i nevojshëm për t'u trajtuar) është mjaft i vështirë për t'u interpretuar. NPL dhe CI i saj përftohen nga reciprocat e ACP (duke shumëzuar me 100 nëse këto vlera jepen në përqindje). Këtu marrim NPL = 100: 6 = 16.6 me një CI 95% prej -14.3 në 5.3. Siç mund të shihet nga fusnota “d” në tabelë. A1.1, ky CI përfshin vlerat e NPL nga 5.3 në pafundësi dhe NPL nga 14.3 në pafundësi.

CI mund të ndërtohen për vlerësimet ose krahasimet statistikore më të përdorura. Për RCT-të, ai përfshin ndryshimin midis proporcioneve mesatare, rreziqeve relative, raporteve të gjasave dhe NLR-ve. Në mënyrë të ngjashme, CI-të mund të merren për të gjitha vlerësimet kryesore të bëra në studimet e saktësisë së testit diagnostik - ndjeshmëria, specifika, vlera parashikuese pozitive (të gjitha janë përmasa të thjeshta) dhe raportet e gjasave - vlerësimet e marra në meta-analizat dhe krahasimet me kontrollin studimet. Një program kompjuteri personal që mbulon shumë nga këto përdorime të MDI-ve është i disponueshëm me botimin e dytë të Statistikave me besim. Makrot për llogaritjen e CI-ve për proporcione janë në dispozicion pa pagesë për Excel dhe programet statistikore SPSS dhe Minitab në http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm.

Vlerësime të shumta të efektit të trajtimit

Ndërsa ndërtimi i CI-ve është i dëshirueshëm për rezultatet e studimit parësor, ato nuk janë të nevojshme për të gjitha rezultatet. CI ka të bëjë me krahasime të rëndësishme klinike. Për shembull, kur krahasohen dy grupe, CI i saktë është ai i ndërtuar për ndryshimin midis grupeve, siç tregohet në shembujt e mësipërm, dhe jo CI që mund të ndërtohet për vlerësimin në secilin grup. Jo vetëm që nuk është e dobishme të sigurohen CI të veçanta për vlerësimet në secilin grup, por ky prezantim mund të jetë mashtrues. Po kështu, qasja e saktë kur krahasohet efektiviteti i trajtimeve në nëngrupe të ndryshme është krahasimi i drejtpërdrejtë i dy (ose më shumë) nëngrupeve. Është e gabuar të supozohet se një trajtim është efektiv vetëm në një nëngrup nëse CI i tij përjashton vlerën që korrespondon me asnjë efekt dhe të tjerët jo. CI-të janë gjithashtu të dobishme kur krahasohen rezultatet midis nëngrupeve të shumta. Në Fig. A 1.1 tregon rrezikun relativ të eklampsisë tek gratë me preeklampsi në nëngrupet e grave nga një RCT e kontrolluar nga placebo e sulfatit të magnezit.

Oriz. A1.2. Komploti pyjor tregon rezultatet e 11 provave klinike të rastësishme të vaksinës së rotavirusit të gjedhit për parandalimin e diarresë në krahasim me placebo. Një interval besimi prej 95% u përdor për të vlerësuar rrezikun relativ të diarresë. Madhësia e katrorit të zi është proporcionale me sasinë e informacionit. Për më tepër, tregohet vlerësimi përmbledhës i efektivitetit të trajtimit dhe intervali i besimit 95% (i treguar nga një diamant). Meta-analiza përdori një model efektesh të rastësishme më të mëdha se disa të parapërcaktuara; për shembull, kjo mund të jetë madhësia e përdorur në llogaritjen e madhësisë së mostrës. Një kriter më i rreptë kërkon që i gjithë diapazoni CI të tregojë përfitim më të madh se një minimum i paracaktuar.

Ne kemi diskutuar tashmë gabimin e marrjes së mungesës së rëndësisë statistikore si një tregues se dy trajtime janë po aq efektive. Është po aq e rëndësishme që të mos barazohet rëndësia statistikore me rëndësinë klinike. Rëndësia klinike mund të supozohet kur rezultati është statistikisht i rëndësishëm dhe madhësia e vlerësimit të efektivitetit të trajtimit

Studimet mund të tregojnë nëse rezultatet janë statistikisht të rëndësishme dhe cilat janë klinikisht të rëndësishme dhe cilat jo. Në Fig. A1.2 tregon rezultatet e katër testeve, për të cilat i gjithë CI<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Ekzistojnë dy lloje vlerësimesh në statistika: pika dhe intervali. Vlerësimi me pikëështë një statistikë e vetme mostre që përdoret për të vlerësuar një parametër të popullsisë. Për shembull, mesatarja e mostrës është një vlerësim pikësor i pritshmërisë matematikore të popullatës dhe variancës së mostrës S 2- vlerësimi pikësor i variancës së popullsisë σ 2. është treguar se mesatarja e mostrës është një vlerësim i paanshëm i pritshmërisë matematikore të popullatës. Mesatarja e kampionit quhet e paanshme sepse mesatarja e të gjithë kampionit do të thotë (me të njëjtën madhësi kampioni) n) është e barabartë me pritshmërinë matematikore të popullsisë së përgjithshme.

Në mënyrë për variancën e mostrës S 2 u bë një vlerësim i paanshëm i variancës së popullsisë σ 2, emëruesi i variancës së mostrës duhet të vendoset i barabartë me n – 1 , jo n. Me fjalë të tjera, varianca e popullsisë është mesatarja e të gjitha variancave të mundshme të mostrës.

Gjatë vlerësimit të parametrave të popullsisë, duhet pasur parasysh se statistikat e mostrës si p.sh , varen nga mostrat specifike. Për të marrë parasysh këtë fakt, për të marrë vlerësimi i intervalit pritjet matematikore të popullsisë së përgjithshme, analizoni shpërndarjen e mesatareve të mostrës (për më shumë detaje, shih). Intervali i ndërtuar karakterizohet nga një nivel i caktuar besimi, i cili përfaqëson probabilitetin që parametri i vërtetë i popullatës të vlerësohet saktë. Intervale të ngjashme besimi mund të përdoren për të vlerësuar proporcionin e një karakteristike r dhe masën kryesore të shpërndarë të popullsisë.

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Ndërtimi i një intervali besimi për pritshmërinë matematikore të popullatës me një devijim standard të njohur

Ndërtimi i një intervali besimi për pjesën e një karakteristike në popullatë

Ky seksion zgjeron konceptin e intervalit të besimit në të dhënat kategorike. Kjo na lejon të vlerësojmë pjesën e karakteristikës në popullatë r duke përdorur ndarjen e mostrës rS= X/n. Siç tregohet, nëse sasitë nr Dhe n(1 – p) tejkalon numrin 5, shpërndarja binomiale mund të përafrohet si normale. Prandaj, për të vlerësuar pjesën e një karakteristike në popullatë rështë e mundur të ndërtohet një interval niveli i besimit të të cilit është i barabartë me (1 – α)х100%.

Ku fqS- përqindja e mostrës së karakteristikës është e barabartë me X/n, d.m.th. numri i sukseseve i ndarë sipas madhësisë së kampionit, r- pjesa e karakteristikës në popullatën e përgjithshme, Z- vlera kritike e shpërndarjes normale të standardizuar, n- madhësia e mostrës.

Shembulli 3. Le të supozojmë se një mostër e përbërë nga 100 fatura të plotësuara gjatë muajit të fundit është nxjerrë nga sistemi i informacionit. Le të themi se 10 nga këto fatura janë përpiluar me gabime. Kështu, r= 10/100 = 0,1. Niveli 95% i besimit korrespondon me vlerën kritike Z = 1,96.

Kështu, probabiliteti që midis 4.12% dhe 15.88% të faturave të përmbajnë gabime është 95%.

Për një madhësi të caktuar kampioni, intervali i besimit që përmban proporcionin e tiparit në popullatë duket më i gjerë se sa për një variabël të rastësishëm të vazhdueshëm. Kjo ndodh sepse matjet e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme përmbajnë më shumë informacion sesa matjet e të dhënave kategorike. Me fjalë të tjera, të dhënat kategorike që marrin vetëm dy vlera përmbajnë informacion të pamjaftueshëm për të vlerësuar parametrat e shpërndarjes së tyre.

NËduke llogaritur vlerësimet e nxjerra nga një popullsi e fundme

Vlerësimi i pritshmërisë matematikore. Faktori korrigjues për popullatën përfundimtare ( fpc) është përdorur për të reduktuar gabimin standard me një faktor. Gjatë llogaritjes së intervaleve të besueshmërisë për vlerësimet e parametrave të popullsisë, një faktor korrigjimi zbatohet në situatat kur mostrat janë tërhequr pa u kthyer. Kështu, një interval besimi për pritshmërinë matematikore që ka një nivel besimi të barabartë me (1 – α)х100%, llogaritet me formulën:

Shembulli 4. Për të ilustruar përdorimin e faktorit korrigjues për një popullsi të fundme, le t'i kthehemi problemit të llogaritjes së intervalit të besueshmërisë për shumën mesatare të faturave, të diskutuar më sipër në shembullin 3. Supozoni se një kompani lëshon 5000 fatura në muaj, dhe X̅= 110.27 dollarë, S= 28,95 dollarë, N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. Duke përdorur formulën (6) marrim:

Vlerësimi i pjesës së një veçorie. Kur zgjidhni pa kthim, intervali i besimit për proporcionin e atributit që ka një nivel besimi të barabartë me (1 – α)х100%, llogaritet me formulën:

Intervalet e besimit dhe çështjet etike

Gjatë kampionimit të një popullate dhe nxjerrjes së përfundimeve statistikore, shpesh lindin çështje etike. Kryesorja është se si pajtohen intervalet e besueshmërisë dhe vlerësimet e pikës së statistikave të mostrës. Vlerësimet e pikave të botimit pa specifikuar intervalet e besueshmërisë shoqëruese (zakonisht në nivelin 95% të besimit) dhe madhësia e kampionit nga e cila janë nxjerrë mund të krijojnë konfuzion. Kjo mund t'i japë përdoruesit përshtypjen se vlerësimi i pikës është pikërisht ajo që i nevojitet për të parashikuar pronat e të gjithë popullsisë. Kështu, është e nevojshme të kuptohet se në çdo hulumtim fokusi nuk duhet të jetë në vlerësimet e pikës, por në vlerësimet e intervalit. Përveç kësaj, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet zgjedhjes së saktë të madhësive të mostrës.

Më shpesh, objekt i manipulimit statistikor janë rezultatet e anketave sociologjike të popullatës për çështje të caktuara politike. Në të njëjtën kohë, rezultatet e anketës publikohen në faqet e para të gazetave dhe gabimi i kampionimit dhe metodologjia e analizës statistikore publikohen diku në mes. Për të vërtetuar vlefshmërinë e vlerësimeve të pikave të marra, është e nevojshme të tregohet madhësia e mostrës në bazë të së cilës ato janë marrë, kufijtë e intervalit të besimit dhe niveli i rëndësisë së tij.

Shënimi tjetër

Përdoren materiale nga libri Levin et al. – M.: Williams, 2004. – f. 448–462

Teorema e kufirit qendror thotë se me një madhësi mjaftueshëm të madhe kampioni, shpërndarja e kampionit të mjeteve mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Kjo pronë nuk varet nga lloji i shpërndarjes së popullsisë.

Synimi– u mësoni studentëve algoritme për llogaritjen e intervaleve të besueshmërisë së parametrave statistikorë.

Gjatë përpunimit statistikor të të dhënave, mesatarja aritmetike e llogaritur, koeficienti i variacionit, koeficienti i korrelacionit, kriteret e diferencës dhe statistikat e tjera të pikës duhet të marrin kufijtë sasiorë të besimit, të cilët tregojnë luhatje të mundshme të treguesit në drejtime më të vogla dhe më të mëdha brenda intervalit të besimit.

Shembulli 3.1 . Shpërndarja e kalciumit në serumin e gjakut të majmunëve, siç është përcaktuar më parë, karakterizohet nga treguesit e mëposhtëm të mostrës: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; n= 100. Kërkohet të përcaktohet intervali i besimit për mesataren e përgjithshme ( ) me probabilitet besimi P = 0,95.

Mesatarja e përgjithshme vendoset me një probabilitet të caktuar në intervalin:

, Ku – mostra e mesatares aritmetike; t– Testi i studentit; – gabim mesatar aritmetik.

Duke përdorur tabelën “Vlerat e testit t të nxënësit” gjejmë vlerën me një probabilitet besimi 0.95 dhe numrin e shkallëve të lirisë k= 100-1 = 99. Është e barabartë me 1,982. Së bashku me vlerat e mesatares aritmetike dhe gabimit statistikor, ne e zëvendësojmë atë në formulën:

ose 11.69
12,19

Kështu, me një probabilitet prej 95%, mund të thuhet se mesatarja e përgjithshme e kësaj shpërndarjeje normale është ndërmjet 11.69 dhe 12.19 mg%.

Shembulli 3.2 . Përcaktoni kufijtë e intervalit të besimit 95% për variancën e përgjithshme ( ) shpërndarja e kalciumit në gjakun e majmunëve, nëse dihet se
= 1,60, në n = 100.

Për të zgjidhur problemin, mund të përdorni formulën e mëposhtme:

Ku – gabim statistikor i dispersionit.

Ne gjejmë gabimin e variancës së kampionimit duke përdorur formulën:
. Është e barabartë me 0.11. Kuptimi t- kriteri me probabilitet besimi 0.95 dhe numri i shkallëve të lirisë k= 100–1 = 99 dihet nga shembulli i mëparshëm.

Le të përdorim formulën dhe të marrim:

ose 1.38
1,82

Më saktë, intervali i besimit të variancës së përgjithshme mund të ndërtohet duke përdorur (chi-square) - Testi Pearson. Pikat kritike për këtë kriter janë dhënë në një tabelë të veçantë. Gjatë përdorimit të kriterit Për të ndërtuar një interval besimi, përdoret një nivel i rëndësisë së dyanshme. Për kufirin e poshtëm, niveli i rëndësisë llogaritet duke përdorur formulën
, për majë -
. Për shembull, për nivelin e besimit = 0,99= 0,010,= 0,990. Prandaj, sipas tabelës së shpërndarjes së vlerave kritike , me nivele të llogaritura besimi dhe numrin e shkallëve të lirisë k= 100 – 1= 99, gjeni vlerat
Dhe
. marrim
është e barabartë me 135.80, dhe
është e barabartë me 70.06.

Për të gjetur kufijtë e besimit për variancën e përgjithshme duke përdorur Le të përdorim formulat: për kufirin e poshtëm
, për kufirin e sipërm
. Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura për të dhënat e problemit në formula:
= 1,17;
= 2,26. Kështu, me një probabilitet besimi P= 0,99 ose 99% variancë e përgjithshme do të shtrihet në intervalin nga 1,17 deri në 2,26 mg% përfshirëse.

Shembulli 3.3 . Në mesin e 1000 farërave të grurit nga grumbulli i marrë në ashensor, 120 fara u gjetën të infektuara me ergot. Është e nevojshme të përcaktohen kufijtë e mundshëm të proporcionit të përgjithshëm të farave të infektuara në një grumbull të caktuar gruri.

Këshillohet që të përcaktohen kufijtë e besimit për aksionin e përgjithshëm për të gjitha vlerat e tij të mundshme duke përdorur formulën:

,

Ku n – numri i vëzhgimeve; m– madhësia absolute e njërit prej grupeve; t– devijimi i normalizuar.

Përqindja e mostrës së farave të infektuara është
ose 12%. Me probabilitet besimi R= 95% devijim i normalizuar ( t-Testimi i studentit në k =
)t = 1,960.

Ne zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

Prandaj, kufijtë e intervalit të besimit janë të barabartë me = 0,122-0,041 = 0,081, ose 8,1%; = 0,122 + 0,041 = 0,163, ose 16,3%.

Kështu, me një probabilitet besimi prej 95% mund të thuhet se përqindja e përgjithshme e farave të infektuara është midis 8.1 dhe 16.3%.

Shembulli 3.4 . Koeficienti i variacionit që karakterizon variacionin e kalciumit (mg%) në serumin e gjakut të majmunëve ishte i barabartë me 10.6%. Madhësia e mostrës n= 100. Është e nevojshme të përcaktohen kufijtë e intervalit të besimit 95% për parametrin e përgjithshëm Cv.

Kufijtë e intervalit të besimit për koeficientin e përgjithshëm të variacionit Cv përcaktohen nga formulat e mëposhtme:

Dhe
, Ku K vlera e ndërmjetme e llogaritur me formulë
.

Duke e ditur këtë me probabilitet besimi R= 95% devijim i normalizuar (Testi i studentit në k =
)t = 1,960, së pari le të llogarisim vlerën PËR:

.

ose 9.3%

ose 12.3%

Kështu, koeficienti i përgjithshëm i variacionit me një nivel besimi 95% qëndron në intervalin nga 9.3 në 12.3%. Me mostra të përsëritura, koeficienti i variacionit nuk do të kalojë 12.3% dhe nuk do të jetë nën 9.3% në 95 raste nga 100.

Pyetje për vetëkontroll:

Problemet për zgjidhje të pavarur.

1. Përqindja mesatare e yndyrës në qumësht gjatë laktacionit të lopëve të kryqëzuara Kholmogory ishte si më poshtë: 3.4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. Vendosni intervale besimi për mesataren e përgjithshme në nivelin 95% të besimit (20 pikë).

2. Në 400 bimë hibride të thekrës, lulet e para u shfaqën mesatarisht 70,5 ditë pas mbjelljes. Devijimi standard ishte 6.9 ditë. Përcaktoni gabimin e mesatares dhe intervaleve të besimit për mesataren e përgjithshme dhe variancën në nivelin e rëndësisë W= 0,05 dhe W= 0,01 (25 pikë).

3. Gjatë studimit të gjatësisë së gjetheve të 502 ekzemplarëve të luleshtrydheve të kopshtit, u morën të dhënat e mëposhtme: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 cm Përcaktoni intervalet e besueshmërisë për mesataren aritmetike me nivele të rëndësishme prej 0,01; 0,02; 0.05. (25 pikë).

4. Në një studim me 150 burra të rritur, gjatësia mesatare ishte 167 cm, dhe σ = 6 cm Cilët janë kufijtë e mesatares së përgjithshme dhe të variancës së përgjithshme me probabilitet besimi 0,99 dhe 0,95? (25 pikë).

5. Shpërndarja e kalciumit në serumin e gjakut të majmunëve karakterizohet nga treguesit e mëposhtëm selektiv: = 11,94 mg%, σ = 1,27, n = 100. Ndërtoni një interval besimi 95% për mesataren e përgjithshme të kësaj shpërndarjeje. Njehsoni koeficientin e variacionit (25 pikë).

6. Është studiuar përmbajtja totale e azotit në plazmën e gjakut të minjve albino në moshën 37 vjeç dhe 180 ditë. Rezultatet shprehen në gram për 100 cm 3 plazma. Në moshën 37 ditëshe, 9 minj kishin: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. Në moshën 180 ditëshe, 8 minj kishin: 1.20; 1.18; 1,33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12. Vendosni intervalet e besimit për diferencën në një nivel besimi prej 0,95 (50 pikë).

7. Përcaktoni kufijtë e intervalit të besimit 95% për variancën e përgjithshme të shpërndarjes së kalciumit (mg%) në serumin e gjakut të majmunëve, nëse për këtë shpërndarje madhësia e kampionit është n = 100, gabim statistikor i variancës së mostrës s σ 2 = 1.60 (40 pikë).

8. Përcaktoni kufijtë e intervalit të besueshmërisë 95% për variancën e përgjithshme të shpërndarjes së 40 bishtave të grurit përgjatë gjatësisë (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 pikë).

9. Pirja e duhanit konsiderohet si faktori kryesor predispozues për sëmundjet obstruktive pulmonare. Pirja pasive e duhanit nuk konsiderohet si një faktor i tillë. Shkencëtarët dyshuan në padëmshmërinë e pirjes pasive të duhanit dhe ekzaminuan kalueshmërinë e rrugëve të frymëmarrjes të jo-duhanpirësve, duhanpirësve pasivë dhe aktivë. Për të karakterizuar gjendjen e traktit respirator, morëm një nga treguesit e funksionit të frymëmarrjes së jashtme - shkallën maksimale të rrjedhës vëllimore të skadimit të mesëm. Një rënie në këtë tregues është një shenjë e pengimit të rrugëve të frymëmarrjes. Të dhënat e anketës janë paraqitur në tabelë.

Duke përdorur të dhënat e tabelës, gjeni 95% intervale besimi për mesataren e përgjithshme dhe variancën e përgjithshme për secilin grup. Cilat janë ndryshimet midis grupeve? Paraqisni rezultatet grafikisht (25 pikë).

10. Përcaktoni kufijtë e intervaleve të besueshmërisë 95% dhe 99% për variancën e përgjithshme në numrin e derrave në 64 gropa, nëse gabimi statistikor i variancës së mostrës s σ 2 = 8.25 (30 pikë).

11. Dihet se pesha mesatare e lepujve është 2.1 kg. Përcaktoni kufijtë e intervaleve të besimit 95% dhe 99% për mesataren e përgjithshme dhe variancën në n= 30, σ = 0,56 kg (25 pikë).

12. Përmbajtja e kokrrave në kalli është matur për 100 kallinj ( X), gjatësia e veshit ( Y) dhe masa e grurit në kalli ( Z). Gjeni intervalet e besimit për mesataren e përgjithshme dhe variancën në P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999 nëse = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 pikë).

13. Në 100 kallinj të grurit dimëror të përzgjedhur rastësisht, u numërua numri i thumbave. Popullata e mostrës u karakterizua nga treguesit e mëposhtëm: = 15 spikeleta dhe σ = 2,28 copë. Përcaktoni saktësinë me të cilën është marrë rezultati mesatar ( ) dhe ndërtoni një interval besimi për mesataren e përgjithshme dhe variancën në nivelet e rëndësisë 95% dhe 99% (30 pikë).

14. Numri i brinjëve në guaskat e molusqeve fosile Ortambonitë kaligramë:

Dihet se n = 19, σ = 4,25. Përcaktoni kufijtë e intervalit të besimit për mesataren e përgjithshme dhe variancën e përgjithshme në nivelin e rëndësisë W = 0,01 (25 pikë).

15. Për të përcaktuar rendimentin e qumështit në një fermë qumështore, u përcaktua produktiviteti i 15 lopëve në ditë. Sipas të dhënave për vitin, çdo lopë jepte mesatarisht sasinë e mëposhtme të qumështit në ditë (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Ndërtoni intervale besimi për variancën e përgjithshme dhe mesataren aritmetike. A mund të presim që rendimenti mesatar vjetor i qumështit për lopë të jetë 10,000 litra? (50 pikë).

16. Për përcaktimin e rendimentit mesatar të grurit për ndërmarrjen bujqësore është kryer kositja në parcela provuese prej 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 dhe 2 hektarësh. Produktiviteti (c/ha) nga parcelat ishte 39.4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39.3; 41.6; 33; 42; 29 respektivisht. Ndërtoni intervale besimi për variancën e përgjithshme dhe mesataren aritmetike. A mund të presim që rendimenti mesatar bujqësor të jetë 42 c/ha? (50 pikë).