Integrali i një funksioni vektorial. integrali lakor i Csh

Kapitulli 3

LLOGARITJA E VEKTORIT INTEGRAL

§1.Integrale vektoriale; integrali lakor i?

§2.Rrjedhja e fushës vektoriale

§Z. Rrjedh nga kubi; Teorema e Gausit

§4 Përçueshmëria termike; ekuacioni i difuzionit

§5.Qarkullimi i një fushe vektoriale

§6. Qarkullim katror; Teorema e Stokes

§7. Fushat pa rotorë dhe fusha pa divergjenca

§8.Rezultatet

§ 1. Integrale vektoriale;

integrali lakor i Csh

Në kapitullin e mëparshëm, pamë se derivatet e një fushe mund të merren në mënyra të ndryshme. Disa çojnë në fusha vektoriale; të tjerët janë skalar. Edhe pse janë nxjerrë shumë formula, të gjitha ato mund të përmblidhen me një rregull: operatorët d/dx, d/d Dhe d/dz janë tre komponentët e operatorit vektor y. Tani do të donim të kuptonim më mirë kuptimin e derivateve të fushës. Atëherë do të kuptojmë më lehtë kuptimin e ekuacioneve të fushës vektoriale.

Ne kemi folur tashmë për kuptimin e operacionit të gradientit (C në skalar). Tani le t'i drejtohemi kuptimit të veprimeve të llogaritjes së divergjencës (divergjenca) dhe rotorit (vorteksi). Interpretimi i këtyre madhësive bëhet më së miri në gjuhën e integraleve vektoriale dhe ekuacioneve që lidhin këto integrale. Por këto ekuacione, për fat të keq, nuk mund të nxirren nga algjebra vektoriale duke përdorur ndonjë zëvendësim të lehtë, kështu që do t'ju duhet t'i mësoni ato si diçka të re. Një nga këto formula integrale është praktikisht e parëndësishme, por dy të tjerat nuk janë. Ne do t'i nxjerrim ato dhe do të shpjegojmë kuptimin e tyre. Këto formula janë në fakt teorema matematikore. Ato janë të dobishme jo vetëm për interpretimin e kuptimit dhe përmbajtjes së koncepteve të divergjencës dhe rotorit, por edhe në zhvillimin e teorive të përgjithshme fizike. Për teorinë e fushës, këto teorema matematikore janë të njëjta me teorema mbi ruajtjen e energjisë për mekanikën e grimcave. Teorema të tilla të përgjithshme janë shumë të rëndësishme për një kuptim më të thellë të fizikës. Por do të shihni se, me disa përjashtime të thjeshta, ata bëjnë pak për të zgjidhur problemet. Për fat të mirë, si

Pasi në fillim të kursit tonë, shumë probleme të thjeshta do të zgjidhen nga këto tre formula integrale.

Fig. 3.1. Ilustrimi i ekuacionit (3.1).

Vektori Csh llogaritet në elementin linear ds.

Megjithatë, më vonë, kur detyrat të bëhen më të vështira, nuk do të mund t'ia dalim më me këto metoda të thjeshta.

Do të fillojmë me formulën integrale që përfshin gradientin. Ideja e përfshirë në të është shumë e thjeshtë: meqenëse gradienti është shkalla e ndryshimit të vlerës së fushës, atëherë integrali i kësaj norme do të na japë ndryshimin total në fushë. Le të kemi një fushë skalare w (x, y, z). Në dy pika arbitrare (1) dhe (2), funksioni i|z ka respektivisht vlerat w(l) dhe w(2). [Përdoret shënimi i përshtatshëm vijues: (2) do të thotë pika (x 2, y 2, z 2), dhe w(2) është e njëjtë me w(x 2, y 2, z 2).] Nëse Г ( gama ) është një kurbë arbitrare që lidh (1) dhe (2) (Fig. 3.1), më pas

T E O R E M A 1

Integrali këtu është integral i linjës nga (1) në (2) përgjatë kurbës Г nga produkti skalar i vektorit Сш) me një vektor tjetër, ds, i cili është një element infinitimal i harkut të lakores Г [drejtuar nga (1) në (2)].

Le të kujtojmë se çfarë kuptojmë me një integral rreshtor. Konsideroni funksionin skalar f(x, y, z) dhe kurbën Г që lidh dy pika (1) dhe (2). Le të shënojmë shumë pika në kurbë dhe t'i lidhim ato me korda, si në Fig. 3.2. Gjatësia e kordës së i-të është e barabartë me Ds i,-, ku i kalon nëpër vlerat 1, 2, 3, .... Nën linjën integrale

nënkupton një kufi në shumë

ku f i është vlera e funksionit diku në kordën i-të. Kufiri është ai

Fig. 3.2. Integrali i drejtëzës është kufiri i shumës.

për çfarë priret shuma kur rritet numri i kordave (në mënyrë të arsyeshme, në mënyrë që edhe Ds më i madh i ®0).

Në teoremën tonë (3.1), integrali nënkupton të njëjtën gjë, megjithëse duket pak më ndryshe. Në vend të f ekziston një skalar tjetër - komponenti Сш në drejtim të Ds. Nëse këtë komponent e shënojmë me (Сш) t, atëherë është e qartë se

Integrali në (3.1) nënkupton shumën e këtyre termave.

Tani le të shohim pse ekuacioni (3.1) është i saktë. Në kap. 1 treguam se komponenti Sh përgjatë zhvendosjes së vogël DR është i barabartë me shpejtësinë e ndryshimit të Sh në drejtimin DR. Konsideroni kordën e kurbës Ds nga pika (1) në pikë A në fig. 3.2. Sipas përkufizimit tonë

Në të njëjtën mënyrë kemi

ku, natyrisht, (Csh) 1 do të thotë gradienti i llogaritur në kordën Ds 1, dhe (Csh) 2 është gradienti i llogaritur në Ds 2. Duke shtuar (3.3) dhe (3.4), marrim

E shihni që duke vazhduar të shtojmë terma të tillë, ne përfundojmë me

Ana e majtë nuk varet nga mënyra e zgjedhjes së intervaleve - për sa kohë që pikat (1) dhe (2) janë të njëjta, në mënyrë që në të djathtë të mund të shkoni në kufi. Kjo vërteton ekuacionin (3.1). Nga prova jonë është e qartë se, ashtu si barazia nuk varet nga zgjedhja e pikave a, b, c,..., në të njëjtën mënyrë, ajo nuk varet nga zgjedhja e vetë kurbës G Teorema është e vërtetë për ndonjë pikat lidhëse të kurbës (1) dhe (2).

Dy fjalë për shënimin. Nuk do të ketë konfuzion nëse shkruani për lehtësi

Atëherë teorema jonë do të marrë formën e mëposhtme:

T E O R E M A 1

§ 2. Rrjedha e fushës vektoriale

Para se të shqyrtoj teoremën e ardhshme integrale - teoremën e divergjencës - do të doja të kuptoja një ide, kuptimi i së cilës në rastin e rrjedhës së nxehtësisë është i kuptueshëm lehtësisht. Ne kemi përcaktuar tashmë vektorin h, i cili përfaqëson sasinë e nxehtësisë që rrjedh nëpër njësi sipërfaqe për njësi të kohës. Le të supozojmë se ka një sipërfaqe të mbyllur brenda trupit S, duke kufizuar volumin V(Fig. 3.3). Ne duam të dimë se sa nxehtësi rrjedh nga kjo vëllimi. Ne, natyrisht, mund ta përcaktojmë këtë duke llogaritur rrjedhën totale të nxehtësisë sipërfaqja S.

Le të shënojmë me da zona e elementit të sipërfaqes. Ky simbol zëvendëson diferencialin dydimensional. Nëse, për shembull, elementi është në rrafsh hu, Se

da= dxdy.

Më vonë do të merremi me integrale të vëllimit, dhe më pas do të jetë e përshtatshme të shqyrtojmë elementin e vëllimit në formën e një kubi të vogël dhe ta shënojmë atë dV, duke nënkuptuar se

dV= dxdydz.

Disa njerëz shkruajnë dhe d 2 a në vend të po, për të kujtuar veten se kjo është një shprehje e shkallës së dytë; në vend të dV shkruajnë edhe d 3 V. Do të përdorim shënime më të thjeshta, por përpiqemi të mos harrojmë se zonat kanë dy dimensione, vëllimet kanë tre.

Fig. 3.3. Një sipërfaqe e mbyllur S që kufizon një vëllim V.

Njësi vektor n - elementi normal i jashtëm ndaj sipërfaqes da, ah - vektor i përmbytjes së nxehtësisë përmes një elementi sipërfaqësor.

Rrjedha e nxehtësisë përmes një elementi sipërfaqësor da e barabartë me prodhimin e sipërfaqes dhe përbërësit h pingul me da. Ne kemi përcaktuar tashmë n - një vektor njësi të drejtuar nga jashtë pingul me sipërfaqen (shih Fig. 3.3). Komponenti i kërkuar h është i barabartë me

h n =h·n, (3.9)

dhe pastaj nxehtësia rrjedh përmes da barazohet

h· nda.(3.10)

Dhe e gjithë rrjedha e nxehtësisë nëpër një sipërfaqe arbitrare merret duke mbledhur kontributet nga të gjithë elementët e sipërfaqes. Me fjalë të tjera, (3.10) është i integruar në të gjithë sipërfaqen

Ne do ta quajmë këtë "fluks" integral h përmes sipërfaqes”. Ne po shqyrtojmë h si "densiteti i fluksit" të nxehtësisë, dhe integrali i sipërfaqes së hështë rrjedha totale e nxehtësisë jashtë përmes sipërfaqes, d.m.th. energjia termike për njësi të kohës (xhaul për sekondë).

Ne duam ta përgjithësojmë këtë ide në rastin kur vektori nuk është një rrjedhë e një madhësie të caktuar, por, të themi, një fushë elektrike. Sigurisht, nëse kjo është e nevojshme, atëherë në këtë rast është ende e mundur të integrohet komponenti normal i fushës elektrike mbi zonë. Edhe pse tani nuk do të jetë më rrjedha e askujt, ne do ta përdorim përsëri fjalën

"rrjedhë". Ne do të themi se

Ne i japim fjalës "rrjedhë" kuptimin e "integralit sipërfaqësor të komponentit normal" të disa vektorëve. I njëjti përkufizim do të zbatohet kur sipërfaqja nuk është e mbyllur.

Dhe duke u kthyer te rasti i veçantë i rrjedhjes së nxehtësisë, le t'u kushtojmë vëmendje atyre rasteve kur sasia e nxehtësisë ruhet. Imagjinoni, për shembull, një material në të cilin, pas ngrohjes fillestare, nuk ka hyrje ose thithje të mëtejshme të nxehtësisë. Pastaj, nëse nxehtësia rrjedh nga një sipërfaqe e mbyllur, përmbajtja e nxehtësisë në vëllimin e brendshëm duhet të bjerë. Pra, në kushtet kur sasia e nxehtësisë është e ruajtur, themi se

Ku Q- rezervë nxehtësie brenda S. Rrjedha e nxehtësisë nga S e jashtme është e barabartë me një shenjë minus për shkallën e ndryshimit me kalimin e kohës të rezervës totale të nxehtësisë P brenda S. Ky interpretim është i mundur sepse po flasim për rrjedhën e nxehtësisë dhe sepse supozuam se sasia e nxehtësisë ruhet. Sigurisht, nëse nxehtësia do të krijohej brenda vëllimit, do të ishte e pamundur të flitej për rezervën e plotë të nxehtësisë në të.

Le të theksojmë tani një veti interesante të rrjedhës së çdo vektori. Ju mund të imagjinoni vektorin e rrjedhës së nxehtësisë, por kjo do të jetë gjithashtu e vërtetë për një fushë vektoriale arbitrare C. Imagjinoni një sipërfaqe të mbyllur S, vëllimi rrethues V. Tani le ta ndajmë vëllimin në dy pjesë duke përdorur një lloj "seksioni" (Fig. 3.4). Rezultati ishte dy vëllime dhe dy sipërfaqe të mbyllura. Vëllimi V 1 është i rrethuar nga sipërfaqja S 1 , i përbërë pjesërisht nga sipërfaqja e mëparshme S a dhe pjesërisht nga “seksioni” S ab . Vëllimi V 2 është i rrethuar nga sipërfaqja S 2, e përbërë nga pjesa e mbetur e sipërfaqes së mëparshme ( S b ) dhe mbyllet me seksion kryq S ab . Le të bëjmë pyetjen: nëse llogarisim fluksin nëpër sipërfaqen Sl dhe ia shtojmë fluksin nëpër sipërfaqen S2, a do të jetë shuma e tyre e barabartë me fluksin nëpër sipërfaqen fillestare? Përgjigja është: "Po." Rrjedh nëpër pjesën S ab , e përbashkët për të dy sipërfaqet S 1 dhe S 2 do të anulojë saktësisht. Për rrjedhën e vektorit C nga V 1 ju mund të shkruani

dhe për një rrjedhë nga V 2:

Vini re se në integralin e dytë ne shënuam normalen e jashtme me S ab me shkronjën n 1 nëse i referohet S 1 , dhe shkronja n 2 nëse i referohet S 1 (shih Fig. 3.4).

Fig.3.4. Vëllimi V, i mbyllur brenda sipërfaqes S, ndahet në dy pjesë nga një "seksion" (sipërfaqja S ab ). Kjo rezulton në vëllimin V 1 , i rrethuar nga sipërfaqja S 1 = S a +S ab , dhe vëllimi V 2 , i rrethuar nga sipërfaqja S 2 = S b +S ab .

Është e qartë se n 1 = -n 2, dhe për këtë arsye

Tani duke shtuar ekuacionet (3.14) dhe (3.15), jemi të bindur se shuma e flukseve përmes S 1 Dhe S 2 është vetëm e barabartë me shumën e dy integraleve të cilët, të marra së bashku, japin fluksin nëpër sipërfaqen origjinale S=S a +S b .

Ne shohim se rrjedha në të gjithë sipërfaqen e jashtme S mund të konsiderohet si shuma e prurjeve nga dy pjesët në të cilat është prerë vëllimi. Këto pjesë gjithashtu mund të priten: të themi, V 1 thyer në gjysmë. Përsëri do të na duhet t'u drejtohemi të njëjtave argumente. Pra për këdo Metoda e ndarjes së vëllimit fillestar, mbetet gjithmonë e vlefshme vetia që fluksi nëpër sipërfaqen e jashtme (integrali origjinal) është i barabartë me shumën e flukseve nga të gjitha pjesët e brendshme.

§ 3. Rrjedh nga një kub; Teorema e Gausit

Le të shqyrtojmë tani rastin e veçantë të një rrjedhjeje nga një kub i vogël dhe të marrim një formulë interesante. Lërini skajet e kubit të drejtohen përgjatë boshteve të koordinatave (Fig. 3.5), koordinatat e kulmit më të afërt me fillimin janë x, y, z, buza e kubit në drejtim Xështë e barabartë me Dx, skaji i kubit (ose më mirë, shiriti) në drejtim nëështë e barabartë me Dy, dhe në drejtimin z është e barabartë me Dz. Ne duam të gjejmë rrjedhën e fushës vektoriale C nëpër sipërfaqen e kubit. Për ta bërë këtë, ne llogarisim shumën e rrjedhave nëpër të gjashtë anët. Le të fillojmë me fytyrën 1 (shih Fig. 3.5).

Rrjedha e jashtme përmes tij është e barabartë me komponentin x C minus, i integruar në zonën e fytyrës. Është e barabartë

Meqenëse kubi konsiderohet i vogël, ky integral mund të zëvendësohet me vlerën C x në qendër të fytyrës 1, ne shënuam këtë pikë (1), shumëzuar me sipërfaqen e fytyrës DyDz:

Rrjedha përmes 1 jashtë = -C x (1)DyDz.

Në mënyrë të ngjashme, fluksi i jashtëm përmes fytyrës 2 është

Rrjedha përmes 2 jashtë = C x (2) DyDz.

Fig. 3.5. Llogaritja e rrjedhës së vektorit C nga një kub i vogël.

Sasitë C x (1) Dhe ME X (2), Në përgjithësi, ato janë paksa të ndryshme. Nëse Dx është mjaft i vogël, atëherë mund të shkruajmë

Ka, sigurisht, terma të tjerë, por ato përfshijnë (Dx) 2 dhe fuqitë më të larta të Dx, dhe në kufirin e Dx të vogël ato lehtë mund të neglizhohen. Kjo do të thotë që fluksi përmes faqes 2 është i barabartë me

Duke shtuar rrjedhat nëpër skajet 1 dhe 2, marrim

Derivati ​​duhet të llogaritet në qendër të faqes 1, pra në pikën . Por nëse kubi është shumë i vogël, do të bëjmë një gabim të papërfillshëm nëse e llogarisim në kulmin (x, y, z).

Duke përsëritur të njëjtin arsyetim me secilën palë fytyra, marrim

Dhe rrjedha totale nëpër të gjitha fytyrat është e barabartë me shumën e këtyre termave. Ne e zbulojmë atë

Shuma e derivateve në kllapa është saktësisht С·С, dhe DxDyDz=DV (vëllimi i kubit). Kështu mund të konstatojmë se për një kub pafundësisht të vogël

Ne kemi treguar se rrjedha e jashtme nga sipërfaqja e një kubi infinitimal është e barabartë me produktin e divergjencës së vektorit dhe vëllimit të kubit. Tani kuptojmë "kuptimin" e konceptit të divergjencës vektoriale. Divergjenca e një vektori në një pikë R - kjo është rrjedha e C ("dalje" e C) për njësi vëllimi, marrë në lagje R. Ne e lidhëm divergjencën C me rrjedhën e C nga një vëllim pafundësisht i vogël. Për çdo vëllim të fundëm, tani mund të përdorim faktin e provuar më sipër se rrjedha totale nga vëllimi është shuma e rrjedhave nga pjesët e tij individuale. Me fjalë të tjera, ne mund të integrojmë divergjencën në të gjithë vëllimin. Kjo na çon në teoremën sipas së cilës integrali i përbërësit normal të një vektori arbitrar mbi një sipërfaqe të mbyllur mund të përfaqësohet edhe si një integral i divergjencës së vektorit mbi vëllimin që gjendet brenda sipërfaqes. Kjo teoremë quhet teorema e Gausit.

TEOREMA E GAUSSIT

Ku S- sipërfaqe e mbyllur arbitrare, V- vëllimi brenda tij.

§ 4, Përçueshmëria termike; ekuacioni i difuzionit

Për t'u mësuar me teoremën, le të shohim një shembull se si zbatohet. Le t'i kthehemi përsëri shpërndarjes së nxehtësisë, le të themi në metal, të shqyrtojmë një rast shumë të thjeshtë: e gjithë nxehtësia i është dhënë trupit paraprakisht, dhe tani trupi po ftohet. Nuk ka burime nxehtësie, kështu që sasia e nxehtësisë ruhet. Sa nxehtësi atëherë duhet të jetë brenda një vëllimi të caktuar në një moment në kohë? Duhet zvogëlohet vetëm sasia që largohet nga sipërfaqja e vëllimit. Nëse ky vëllim është një kub i vogël, atëherë

sipas formulës (3.17), mund të shkruajmë

Por kjo duhet të jetë e barabartë me shkallën e humbjes së nxehtësisë nga pjesa e brendshme e kubit. Nëse q- sasia e nxehtësisë për njësi vëllimi, pastaj e gjithë

rezervë nxehtësie në një kub qDV, dhe shpejtësinë humbjet e barabartë me

Duke krahasuar (3.19) me (3.20), shohim se

Shikoni nga afër formën e këtij ekuacioni; kjo formë gjendet shpesh në fizikë. Ai shpreh ligjin e ruajtjes, në këtë rast ligjin e ruajtjes së nxehtësisë. Në ekuacionin (3.13) i njëjti fakt fizik u shpreh ndryshe. kishte integrale forma e ekuacionit të ruajtjes, dhe këtu kemi - diferencial formë.

Ne përftuam ekuacionin (3.21) duke aplikuar formulën (3.13) në një kub infinitimal. Mund të shkoni në një mënyrë tjetër. Për një vëllim të madh F të kufizuar nga një sipërfaqe S, Ligji i Gausit e thotë këtë

Duke përdorur (3.21), integrali në anën e djathtë mund të shndërrohet vetëm në formën - dQ/dt dhe pastaj marrim formulën (3.13).

Tani le të shohim një rast tjetër. Le të imagjinojmë se ka një vrimë të vogël në një bllok të substancës dhe në të ndodh një reaksion kimik, duke gjeneruar nxehtësi. Ju gjithashtu mund të imagjinoni që telat janë të lidhur me një rezistencë të vogël brenda bllokut, duke e ngrohur atë me rrymë elektrike. Le të supozojmë se nxehtësia krijohet pothuajse në një pikë, a W përfaqëson energjinë e gjeneruar në atë pikë për sekondë. Në pjesën tjetër të vëllimit, le të ruhet nxehtësia dhe, përveç kësaj, le të fillojë gjenerimi i nxehtësisë aq shumë kohë më parë, saqë tani temperatura nuk ndryshon më askund. Pyetja është: si duket vektori i fluksit të nxehtësisë h në pika të ndryshme të metalit? Sa nxehtësi kalon nëpër secilën pikë?

Ne e dimë se nëse integrojmë komponentin normal h mbi një sipërfaqe të mbyllur që rrethon burimin, do të marrim gjithmonë W. E gjithë nxehtësia që krijohet në një burim pikësor duhet të rrjedhë nëpër sipërfaqe sepse rrjedha supozohet të jetë konstante. Ne jemi përballur me detyrën e vështirë për të gjetur një fushë vektoriale që, pas integrimit në një sipërfaqe arbitrare, do të jepte gjithmonë W. Por ne mund ta gjejmë këtë fushë relativisht lehtë duke zgjedhur një sipërfaqe të një lloji të veçantë. Le të marrim një sferë me rreze R të përqendruar në burim dhe supozojmë se rrjedha e nxehtësisë është radiale (Fig. 3.6). Intuita na thotë se h duhet të drejtohet përgjatë rrezes nëse blloku i materies është i madh dhe ne nuk i afrohemi shumë afër kufijve të tij; përveç kësaj, vlera e h në të gjitha pikat e sferës duhet të jetë e njëjtë.

Fig. 3.6. Në rajonin afër një burimi pika, rrjedha e nxehtësisë drejtohet në mënyrë radiale nga jashtë.

E shihni që për të marrë një përgjigje për llogaritjet tona, ne jemi të detyruar të shtojmë një sasi të caktuar spekulimesh (zakonisht kjo quhet "intuitë fizike").

Kur h është radialisht dhe sferikisht simetrik, integrali i përbërësit normal të h mbi sipërfaqen është shumë i lehtë për t'u llogaritur sepse komponenti normal është saktësisht i barabartë me h dhe është konstant. Zona mbi të cilën integrimi është i barabartë me 4pR 2 . Pastaj marrim

Ku h- vlerë absolute h. Ky integral duhet të jetë i barabartë W- shpejtësia me të cilën burimi gjeneron nxehtësi. Rezulton

ku, si gjithmonë, e r tregon vektorin njësi në drejtimin radial. Ky rezultat na e tregon këtë h proporcionale W dhe ndryshon në mënyrë të kundërt me katrorin e distancës nga burimi.

Rezultati i sapo përftuar vlen për rrjedhën e nxehtësisë pranë një burimi pika të nxehtësisë. Tani le të përpiqemi të gjejmë ekuacione që janë të vlefshme për rrjedhën e nxehtësisë të formës më të përgjithshme (duke iu përmbajtur kushtit të vetëm që sasia e nxehtësisë duhet të ruhet). Ne do të jemi të interesuar vetëm për atë që ndodh në vende jashtë çdo burimi ose ftohësi.

Ekuacioni diferencial për përhapjen e nxehtësisë është marrë në Kap. 2. Sipas ekuacionit (2.44),

(Mos harroni se ky raport është i përafërt, por për disa substanca si metalet qëndron mirë.) Është i zbatueshëm, natyrisht, vetëm në ato pjesë të trupit ku nuk ka as gjenerim dhe as përthithje të nxehtësisë. Më sipër kemi nxjerrë një marrëdhënie tjetër (3.21), e cila plotësohet kur ruhet sasia e nxehtësisë. Nëse e kombinojmë këtë ekuacion me (3.25), marrim

Nëse c- vlera është konstante. Ju kujtoj se q- kjo është sasia e nxehtësisë në një vëllim njësi, dhe С·С = С2 është laplacian, d.m.th. operatori

Nëse tani bëjmë një supozim më shumë, menjëherë lind një ekuacion shumë interesant. Le të supozojmë se temperatura e materialit është proporcionale me përmbajtjen e nxehtësisë për njësi vëllimi, domethënë që materiali ka një kapacitet të caktuar specifik të nxehtësisë. Kur ky supozim është i vërtetë (dhe shpesh është), ne mund të shkruajmë

Shpejtësia e ndryshimit të sasisë së nxehtësisë është proporcionale me shpejtësinë e ndryshimit të temperaturës. Faktori i proporcionalitetit c v këtu është kapaciteti specifik i nxehtësisë për njësi vëllimi material. Duke zëvendësuar (3.27) në (3.26), marrim

Ne e gjetëm atë shkalla e ndryshimit me kalimin e kohës temperatura T në çdo pikë është proporcionale me laplasian e T, d.m.th., derivati ​​i dytë i shpërndarjes hapësinore të temperaturave. Ne kemi një ekuacion diferencial - në ndryshore x, y, z Dhe t- për temperaturën T.

Quhet ekuacioni diferencial (3.28). ekuacioni i difuzionit të nxehtësisë, ose ekuacioni i nxehtësisë. Shpesh shkruhet në formë

Ku D- konstante. Është e barabartë me x/c v.

Ekuacioni i difuzionit shfaqet në shumë probleme fizike: difuzioni i gazit, difuzioni i neutroneve dhe të tjera. Ne kemi diskutuar tashmë fizikën e disa prej këtyre fenomeneve në Vol. 4, kap. 43. Tani ju keni një ekuacion të plotë që përshkruan difuzionin në formën e tij më të përgjithshme. Pak më vonë do të punojmë në zgjidhjen e ekuacionit të difuzionit për të parë se si shpërndahet temperatura në disa raste. Tani le të kthehemi te shqyrtimi i teoremave të tjera rreth fushave vektoriale.

§ 5. Qarkullimi i një fushe vektoriale

Tani duam ta konsiderojmë rotorin e fushës në të njëjtën mënyrë siç kemi konsideruar divergjencën. Ne e përftuam teoremën e Gausit duke llogaritur integralin e sipërfaqes, megjithëse nuk ishte aspak e qartë që në fillim se do të kishim të bënim me divergjencë. Si mund të dihet se për ta marrë atë duhet të integrohet mbi sipërfaqe? Ky rezultat nuk ishte aspak i dukshëm. Dhe po aq të pajustifikueshme, tani do të llogarisim një karakteristikë tjetër të fushës dhe do të tregojmë se ajo është e lidhur me rotorin. Këtë herë do të llogarisim të ashtuquajturin qarkullim të fushës vektoriale. Nëse C është një fushë vektoriale arbitrare, marrim përbërësin e saj përgjatë vijës së lakuar dhe integrojmë këtë komponent përgjatë lakut të mbyllur. Integrali quhet qarkullimi fushë vektoriale përgjatë konturit. Ne kemi parë tashmë integralin e linjës së Cy më herët në këtë kapitull. Tani po bëjmë të njëjtën gjë me arbitrare fusha vektoriale C.

Le të jetë Г një kontur i mbyllur arbitrar në hapësirë ​​(imagjinare, sigurisht). Ne shohim një shembull në Fig. 3.7. Integrali lakor i komponentës tangjente C përgjatë konturit shkruhet në formë

Fig. 3.7. Qarkullimi i vektorit C por kurba G është një integral lakor i C t (komponenti tangjent C).

Fig. 3.8. Qarkullimi në të gjithë qarkun është shuma e qarkullimit përgjatë dy qarqeve: G 1 =G a +G ab dhe G 2 =G b +G a b .

Vini re se integrali merret në të gjithë shtegun e mbyllur, dhe jo nga një pikë në tjetrën, siç ishte bërë më parë. Rrethi në shenjën integrale duhet të na kujtojë këtë. Një integral i tillë quhet qarkullimi i fushës vektoriale përgjatë kurbës G. Emri është për faktin se qarkullimi i lëngut fillimisht është llogaritur në këtë mënyrë. Por ky emër, si rrjedha, u shtri në çdo fushë, madje edhe në ato ku nuk kishte asgjë për të "qarkulluar".

Duke luajtur me të njëjtën lojë si me një rrjedhë, mund të tregojmë se qarkullimi përgjatë një konture është shuma e qarkullimit përgjatë dy kontureve më të vogla. Le të supozojmë se duke lidhur dy pika (1) dhe (2) të lakores origjinale duke përdorur një vijë të caktuar, ne e ndamë kurbën në dy kontura Г 1 dhe Г 2 (Fig. 3.8). Kontura Г 1 përbëhet nga Г a - pjesë e kurbës origjinale në të majtë të (1) dhe (2) dhe "lidhja" Г ab . Kontura G 2 përbëhet nga pjesa e mbetur e kurbës origjinale plus e njëjta lidhje.

Qarkullimi përgjatë Г 1 është shuma e integralit përgjatë Г а dhe përgjatë Г аб. Në të njëjtën mënyrë, qarkullimi përgjatë Г2 është shuma e dy pjesëve, njëra përgjatë Гb, tjetra përgjatë Гab. Integrali përgjatë Г ab për kurbën Г 2 ka një shenjë të kundërt me shenjën që kishte për lakoren G 1 , sepse drejtimet e kalimit janë të kundërta (në të dy integralet e lakuar drejtimet e rrotullimit duhet të merren të njëjta).

Duke përsëritur argumentet e mëparshme, mund të bindemi se shuma e dy qarkullimeve do të japë vetëm integralin lakor përgjatë kurbës origjinale G. Integralet mbi G ab do të anulohen. Qarkullimi përgjatë njërës pjesë plus qarkullimi përgjatë pjesës tjetër është i barabartë me qarkullimin përgjatë vijës së jashtme. Ky proces i prerjes së një konturi të madh në më të vogla mund të vazhdohet. Kur shtohet qarkullimi përgjatë kontureve më të vogla, pjesët ngjitur do të tkurren, kështu që shuma e tyre do të reduktohet në qarkullim përgjatë një konture të vetme fillestare.

Tani supozoni se kontura fillestare është kufiri i një sipërfaqeje. Ekziston një numër i pafund sipërfaqesh, kufiri i të cilave është i njëjti kontur i mbyllur origjinal. Megjithatë, rezultatet tona nuk varen nga zgjedhja e këtyre sipërfaqeve. Së pari, ne do të ndajmë konturin tonë fillestar në shumë konture të vogla që shtrihen në sipërfaqen e zgjedhur (Fig. 3.9).

Fig. 3.9. Disa sipërfaqe të kufizuara nga kontura G.

Sipërfaqja është e ndarë në shumë zona të vogla, secila përafërsisht në formë katrore. Qarkullimi përgjatë G është shuma e qarkullimit nëpër të gjitha qarqet e vogla.

Cilado qoftë forma e sipërfaqes, nëse konturet e vogla bëhen mjaft të vogla, secila prej tyre gjithmonë mund të konsiderohet se mbyll një sipërfaqe mjaft të sheshtë. Përveç kësaj, secila prej tyre mund të bëhet shumë e ngjashme me një shesh. Dhe qarkullimi rreth konturit të madh G mund të gjendet duke numëruar qarkullimet në të gjitha katrorët dhe duke i mbledhur ato.

§ 6. Qarkullim në katror; Teorema e Stokes

Si e gjejmë qarkullimin për çdo katror? E gjitha varet nga mënyra se si katrori është i orientuar në hapësirë. Nëse orientimi i tij zgjidhet me sukses (për shembull, ai ndodhet në një nga planet koordinative), atëherë llogaritja është e lehtë për t'u bërë. Meqenëse deri më tani nuk kemi bërë asnjë supozim për orientimin e boshteve të koordinatave, ne kemi të drejtë t'i zgjedhim ato në mënyrë që katrori në të cilin kemi përqendruar vëmendjen tonë të përfundojë në rrafsh. xy(Fig. 3.10). Nëse rezultati i llogaritjes shprehet në shënimin vektorial, atëherë mund të themi se nuk varet nga orientimi i veçantë i planit.

Fig. 3.10. Llogaritja e qarkullimit të vektorit ME në një shesh të vogël.

Tani duam të gjejmë qarkullimin e fushës C përgjatë katrorit tonë. Integrimi curvilinear është i lehtë për t'u bërë nëse katrori është bërë aq i vogël sa që vektori C ndryshon shumë pak përgjatë njërës anë të katrorit. (Ky supozim vlen më mirë sa më i vogël të jetë katrori, kështu që në realitet po flasim për katrorë pafundësisht të vegjël.) Duke u nisur nga pika (x, y) - në këndin e poshtëm të majtë të figurës - do të shkojmë rreth të gjithë sheshit në drejtimin e treguar nga shigjetat. Përgjatë anës së parë, të shënuar me 1, është përbërësi tangjent ME X(1), dhe distanca është e barabartë me Dx. Pjesa e parë e integralit është e barabartë me C x (1) Dx Përgjatë anës së dytë marrim C y (2) Dy. Përgjatë të tretës marrim -C x (3) Dx, dhe përgjatë të katërtit -C y (4) Dy. Ka shenja minus sepse na intereson komponenti tangjent në drejtim të devijimit. I gjithë integrali i linjës është atëherë i barabartë me

(3.31) Le të shohim tani termat e parë dhe të tretë. Në total japin

Mund t'ju duket se në përafrimin e pranuar ky ndryshim është i barabartë me zero. Por ky është vetëm një përafrim i parë. Mund të jemi më të saktë dhe të marrim parasysh shkallën e ndryshimit ME X , atëherë mund të shkruani

Në përafrimin tjetër, termat me (Dy) 2 do të shfaqen, por duke qenë se ne në fund të fundit jemi të interesuar vetëm për kufirin në Dy®0, këto terma mund të neglizhohen. Duke zëvendësuar (3.33) në (3.32), marrim

Me saktësinë tonë, derivati ​​mund të merret në pikë (x, y). Në mënyrë të ngjashme, dy termat e mbetur mund të shkruhen si

dhe qarkullimi rreth katrorit është atëherë i barabartë me

Është interesante që komponenti z i rotorit është në kllapa ME. Shumëzuesi DxDy është zona e katrorit tonë. Pra, qarkullimi (3.36) mund të shkruhet si

Por komponenti z është në fakt një komponent normale në një element sipërfaqësor.

Fig. 3.11. Qarkullimi i vektorit C përgjatë G është i barabartë me integralin sipërfaqësor të përbërësit normal të vektorit CXC.

Prandaj, qarkullimi rreth një katrori mund të specifikohet edhe në shënimin e vektorit të pandryshueshëm:

Si rezultat, kemi: qarkullimi i një vektori arbitrar C mbi një katror pafundësisht të vogël është i barabartë me produktin e komponentit të rotorit C, normal me sipërfaqen dhe sipërfaqen e katrorit.

Qarkullimi përgjatë një konture arbitrare Г tani mund të lidhet lehtësisht me një rotor të fushës vektoriale. Ne do të shtrijmë çdo sipërfaqe të përshtatshme mbi kontur S(si në Fig. 3.11) dhe mblidhni së bashku qarkullimet mbi të gjithë katrorët infiniteminalë në këtë sipërfaqe. Shuma mund të shkruhet si një integral. Rezultati është një teoremë shumë e dobishme e quajtur teorema e Stokes [sipas fizikantit Stokes].

TEOREMA E STOKESIT

Ku S- një sipërfaqe arbitrare e kufizuar nga kontura G. Tani duhet të prezantojmë një konventë shenjash. Në Fig. Aksi 3.10 z tregon në nëse sistemi i koordinatave është "normal", d.m.th. "djathtas". Kur morëm drejtimin "pozitiv" të anashkalimit në integralin lakor, qarkullimi doli të ishte i barabartë me komponentin z të vektorit CXC. Nëse do të kishim shkuar rreth konturit në drejtimin tjetër, do të kishim marrë shenjën e kundërt. Si e dini se cili drejtim duhet zgjedhur për drejtimin pozitiv të komponentit "normal" të vektorit CXC? Normalja "pozitive" duhet të shoqërohet gjithmonë me drejtimin, siç u bë në Fig. 3.10. Rasti i përgjithshëm është paraqitur në Fig. 3.11.

"Rregulli i dorës së djathtë" është i mirë për memorizimin. Nëse vendosni gishtat drejtë duart përgjatë konturit G, në mënyrë që majat e gishtave të tregojnë drejtimin pozitiv të ecjes ds, atëherë gishti i madh do të tregojë në drejtim pozitive normale në sipërfaqe S.

§ 7. Fushat pa rotorë dhe fushat pa divergjenca

Le të kalojmë tani te disa përfundime të teoremave tona të reja. Le të marrim fillimisht rastin e një vektori, rotori (ose vorbulla) e të cilit) kudo e barabartë me zero. Atëherë, sipas teoremës së Stokes, qarkullimi përgjatë çdo konture është zero. Nëse tani marrim dy pika (1) dhe (2) në një kurbë të mbyllur (Fig. 3.12), atëherë integrali i linjës së përbërësit tangjent nga (1) në (2) nuk duhet të varet nga cila nga dy shtigjet e mundshme ne kanë zgjedhur. Mund të konkludojmë se integrali nga (1) në (2) mund të varet vetëm nga vendndodhja e këtyre pikave, d.m.th., se është funksion vetëm i koordinatave të pikave. Ne kemi përdorur të njëjtën logjikë në këtë çështje. 1, kap. 14, kur vërtetuan se nëse integrali i një vlere të caktuar përgjatë një konture të mbyllur arbitrare është gjithmonë i barabartë me zero, atëherë ky integral mund të përfaqësohet si ndryshim i funksioneve të koordinatave të dy skajeve. Kjo na lejoi të shpiknim konceptin e potencialit. Ne vërtetuam më tej se fusha vektoriale është gradienti i këtij funksioni potencial [shih çështje 1, ekuacioni (14.13)].

Nga kjo rrjedh se çdo fushë vektoriale, kaçurrela e së cilës është zero, mund të përfaqësohet si gradient i ndonjë funksioni skalar, d.m.th. nëse AXC = 0 kudo, atëherë ekziston një funksion y (psi), për të cilin C = Cy (performancë e dobishme). Kjo do të thotë që ne mundemi, nëse duam, të përshkruajmë këtë lloj fushash vektoriale duke përdorur fusha skalare.

Tani le të vërtetojmë një formulë tjetër. Le të kemi arbitrare fushë skalare j (phi). Nëse marrim gradientin e tij ME j, atëherë integrali i këtij vektori përgjatë çdo konture të mbyllur duhet të jetë i barabartë me zero.

Fig. 3.12. Nëse CXC është zero, atëherë qarkullimi përgjatë brezit të mbyllur G është gjithashtu zero.

Integrali i kurbës së C·ds në seksionin nga (1) në (2) përgjatë a duhet të jetë i barabartë me integralin përgjatë b.

Fig. 3.13. Kur kalon në kufirin e sipërfaqes së mbyllur, integrali i sipërfaqes së (CXC) n duhet të shkojë në zero.

Integrali lakor nga pika (1) në pikën (2) është i barabartë me . Nëse pikat (1) dhe (2) përkojnë, atëherë Teorema jonë 1 [Ekuacioni (3.8)] na tregon se integrali i drejtëzës është zero:

Duke zbatuar teoremën e Stokes, mund të konkludojmë se

Nga ndonjë sipërfaqeve. Por që nga integrale mbi ndonjë sipërfaqja është e barabartë me zero, atëherë integrandi duhet të jetë i barabartë me zero. Mjetet,

I njëjti rezultat u vërtetua në kapitullin. 2, § 7 duke përdorur algjebër vektoriale.

Le të shqyrtojmë tani rastin e veçantë kur i vogël kontura G është e shtrirë i madh sipërfaqe S(Fig. 3.13). Ne duam të shohim se çfarë ndodh kur skica tkurret në një pikë. Pastaj kufiri i sipërfaqes do të zhduket, dhe vetë sipërfaqja do të kthehet në një të mbyllur. Nëse vektori C është i fundëm kudo, atëherë integrali lakor mbi Г duhet të priret në zero ndërsa konturet tkurren (integrali është përgjithësisht proporcional me gjatësinë e konturit Г, dhe zvogëlohet). Sipas teoremës së Stokes, integrali sipërfaqësor i (CXC) n gjithashtu duhet të ulet në zero. Kur sipërfaqja mbyllet, atëherë në një farë mënyre futet një kontribut në integral, i cili anulohet me akumulimin

më parë. Kjo rezulton në një teoremë të re:

Kjo duhet të na interesojë, sepse ne tashmë kemi një teoremë për integralin sipërfaqësor të një fushe vektoriale. Ky integral sipërfaqësor është i barabartë me integralin vëllimor të divergjencës së vektorit, siç vijon nga teorema e Gausit [ekuacioni (3.18)]. Teorema e Gausit, e aplikuar në CXC, thotë se

Përfundojmë se integrali në anën e djathtë duhet të zhduket dhe se kjo duhet të jetë e vërtetë për çdo fushë vektoriale C, cilado qoftë ajo.

Pasi të plotësohet ekuacioni (3.41) për vëllim arbitrar, Se në çdo pikë hapësirë, integrandi duhet të jetë i barabartë me zero. Rezulton se

I njëjti rezultat është nxjerrë duke përdorur algjebër vektoriale në kapitull. 2, § 7. Tani fillojmë të kuptojmë se si gjithçka këtu përshtatet me njëra-tjetrën.

§ 8. Rezultatet

Le të përmbledhim tani gjithçka që kemi mësuar rreth llogaritjes vektoriale. Këtu janë pikat më domethënëse të Ch. 2 dhe 3.

1. Operatorët d/dx, d/d Dhe d/dz mund të konsiderohen si tre komponentë të operatorit vektor C ; formulat që vijojnë nga algjebra vektoriale mbeten të sakta nëse ky operator konsiderohet vektor

2. Dallimi midis vlerave të fushës skalare në dy pika është i barabartë me integralin lakor të përbërësit tangjent të gradientit të këtij skalari përgjatë çdo kurbë që lidh pikën e parë me të dytën:

Integrali i sipërfaqes së përbërësit normal të një vektori arbitrar mbi një sipërfaqe të mbyllur është i barabartë me integralin e divergjencës së vektorit mbi vëllimin që shtrihet brenda kësaj sipërfaqeje:

4. Integrali lakor i komponentit tangjent të një vektori arbitrar përgjatë një konture të mbyllur është i barabartë me integralin sipërfaqësor të komponentit normal të rotorit të këtij vektori përgjatë një sipërfaqe arbitrare të kufizuar nga kjo kontur

Nga redaktori. Ndërsa filloni të studioni ekuacionet e Maxwell-it, vini re se këto leksione përdorin një sistem të racionalizuar njësish në të cilin ekuacionet e Maxwell nuk përmbajnë koeficientë.

Më e zakonshme në vend të e 0 shkruani e 0 /4p; atëherë koeficienti 4p zhduket nga emëruesi i ligjit të Kulombit (4.9), por shfaqet në anën e djathtë të ekuacioneve (4.1) dhe (4.3). [Përmirësimi i sistemit të njësisë është gjithmonë i ngjashëm me kaftanin e Trishkinit.]

Përveç kësaj, në vend të katrorit të shpejtësisë së dritës, futet një konstante e re m 0 =e 0 /c 2 , e quajmë atë (për fat të keq) përshkueshmëri magnetike të zbrazëtirës (njëlloj si p.sh