Pabarazitë irracionale të analizës së provimit të zgjidhjeve. Pabarazitë irracionale

Në këtë mësim do të shikojmë zgjidhjen e pabarazive irracionale dhe do të japim shembuj të ndryshëm.

Tema: Ekuacionet dhe inekuacionet. Sistemet e ekuacioneve dhe pabarazive

Mësimi:Pabarazitë irracionale

Kur zgjidhen pabarazitë irracionale, është mjaft shpesh e nevojshme të ngrihen të dyja anët e pabarazisë në një farë mase, ky është një operacion mjaft i përgjegjshëm. Le të kujtojmë veçoritë.

Të dyja anët e pabarazisë mund të vihen në katror nëse të dyja janë jo negative, vetëm atëherë marrim një pabarazi të vërtetë nga një pabarazi e vërtetë.

Të dyja anët e pabarazisë mund të kubezohen në çdo rast, nëse pabarazia fillestare ishte e vërtetë, atëherë kur kubohet ne marrim pabarazinë e saktë.

Konsideroni një pabarazi të formës:

Shprehja radikale duhet të jetë jo negative. Funksioni mund të marrë çdo vlerë, duhet të merren parasysh dy raste.

Në rastin e parë, të dy anët e pabarazisë janë jonegative, ne kemi të drejtë ta kuadrojmë atë. Në rastin e dytë, ana e djathtë është negative dhe ne nuk kemi të drejtë ta vendosim në katror. Në këtë rast, është e nevojshme të shikohet kuptimi i pabarazisë: këtu shprehja pozitive (rrënja katrore) është më e madhe se shprehja negative, që do të thotë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur.

Pra, ne kemi skemën e mëposhtme të zgjidhjes:

Në sistemin e parë, shprehjen radikale nuk e mbrojmë veçmas, pasi kur plotësohet pabarazia e dytë e sistemit, shprehja radikale duhet të jetë automatikisht pozitive.

Shembulli 1 - zgjidhni pabarazinë:

Sipas diagramit, ne kalojmë në një grup ekuivalent të dy sistemeve të pabarazive:

Le të ilustrojmë:

Oriz. 1 - ilustrimi i zgjidhjes në shembullin 1

Siç e shohim, kur heqim qafe irracionalitetin, për shembull, kur bëjmë katror, marrim një grup sistemesh. Ndonjëherë ky dizajn kompleks mund të thjeshtohet. Në grupin që rezulton, ne kemi të drejtë të thjeshtojmë sistemin e parë dhe të marrim një grup ekuivalent:

Si një ushtrim i pavarur, është e nevojshme të vërtetohet ekuivalenca e këtyre grupeve.

Konsideroni një pabarazi të formës:

Ngjashëm me pabarazinë e mëparshme, ne konsiderojmë dy raste:

Në rastin e parë, të dy anët e pabarazisë janë jonegative, ne kemi të drejtë ta kuadrojmë atë. Në rastin e dytë, ana e djathtë është negative dhe ne nuk kemi të drejtë ta vendosim në katror. Në këtë rast, është e nevojshme të shikohet kuptimi i pabarazisë: këtu shprehja pozitive (rrënja katrore) është më e vogël se shprehja negative, që do të thotë se pabarazia është kontradiktore. Nuk ka nevojë të merret parasysh sistemi i dytë.

Ne kemi një sistem ekuivalent:

Ndonjëherë pabarazitë irracionale mund të zgjidhen grafikisht. Kjo metodë është e zbatueshme kur grafikët përkatës mund të ndërtohen mjaft lehtë dhe mund të gjenden pikat e tyre të kryqëzimit.

Shembulli 2 - zgjidhni pabarazitë grafikisht:

Ne kemi zgjidhur tashmë pabarazinë e parë dhe e dimë përgjigjen.

Për të zgjidhur pabarazitë grafikisht, duhet të ndërtoni një grafik të funksionit në anën e majtë dhe një grafik të funksionit në anën e djathtë.

Oriz. 2. Grafikët e funksioneve dhe

Për të vizatuar një grafik të një funksioni, është e nevojshme të shndërroni parabolën në një parabolë (të pasqyroni atë në lidhje me boshtin y) dhe ta zhvendosni kurbën që rezulton 7 njësi djathtas. Grafiku konfirmon se ky funksion zvogëlohet në mënyrë monotonike në domenin e tij të përkufizimit.

Grafiku i një funksioni është një vijë e drejtë dhe është e lehtë për t'u ndërtuar. Pika e kryqëzimit me boshtin y është (0;-1).

Funksioni i parë zvogëlohet në mënyrë monotonike, i dyti rritet në mënyrë monotonike. Nëse ekuacioni ka një rrënjë, atëherë është i vetmi që mund të merret me mend nga grafiku: .

Kur vlera e argumentit është më e vogël se rrënja, parabola është mbi vijën e drejtë. Kur vlera e argumentit është ndërmjet tre dhe shtatë, vija e drejtë kalon mbi parabolën.

Ne kemi përgjigjen:

Një metodë efektive për zgjidhjen e pabarazive irracionale është metoda e intervalit.

Shembulli 3 - zgjidhni pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

Sipas metodës së intervalit, është e nevojshme të largoheni përkohësisht nga pabarazia. Për ta bërë këtë, zhvendosni gjithçka në pabarazinë e dhënë në anën e majtë (merrni zero në të djathtë) dhe futni një funksion të barabartë me anën e majtë:

Tani duhet të studiojmë funksionin që rezulton.

ODZ:

Tashmë e kemi zgjidhur grafikisht këtë ekuacion, kështu që nuk ndalemi në përcaktimin e rrënjës.

Tani është e nevojshme të zgjidhni intervalet e shenjës konstante dhe të përcaktoni shenjën e funksionit në çdo interval:

Oriz. 3. Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës për shembull 3

Le të kujtojmë se për të përcaktuar shenjat në një interval, është e nevojshme të merret një pikë prove dhe të zëvendësohet në funksionin që do të ruajë shenjën që rezulton gjatë gjithë intervalit.

Le të kontrollojmë vlerën në pikën kufitare:

Përgjigja është e qartë:

Konsideroni llojin e mëposhtëm të pabarazive:

Së pari, le të shkruajmë ODZ:

Rrënjët ekzistojnë, ato janë jo negative, ne mund të katrore të dyja anët. Ne marrim:

Ne kemi një sistem ekuivalent:

Sistemi që rezulton mund të thjeshtohet. Kur plotësohen pabarazitë e dyta dhe të treta, e para është e vërtetë automatikisht. Kemi::

Shembulli 4 - zgjidhni pabarazinë:

Ne veprojmë sipas skemës - marrim një sistem ekuivalent.

Çdo pabarazi që përfshin një funksion nën rrënjë quhet irracionale. Ekzistojnë dy lloje të pabarazive të tilla:

Në rastin e parë, rrënja është më e vogël se funksioni g(x), në të dytin është më e madhe. Nëse g(x) - konstante, pabarazia është thjeshtuar shumë. Ju lutemi vini re: nga jashtë këto pabarazi janë shumë të ngjashme, por skemat e tyre të zgjidhjes janë thelbësisht të ndryshme.

Sot do të mësojmë se si të zgjidhim pabarazitë irracionale të llojit të parë - ato janë më të thjeshtat dhe më të kuptueshmet. Shenja e pabarazisë mund të jetë e rreptë ose jo e rreptë. Deklarata e mëposhtme është e vërtetë për ta:

Teorema. Çdo pabarazi iracionale e formës

Ekuivalente me sistemin e pabarazive:

Jo i dobët? Le të shohim se nga vjen ky sistem:

f (x) ≤ g 2 (x) - gjithçka është e qartë këtu. Kjo është pabarazia origjinale në katror;
f (x) ≥ 0 është ODZ e rrënjës. Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm nga jo negative numrat;
g(x) ≥ 0 është diapazoni i rrënjës. Duke kuadruar pabarazinë, ne djegim negativët. Si rezultat, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Pabarazia g(x) ≥ 0 i prenë ato.

Shumë studentë "e mbyllin telefonin" në pabarazinë e parë të sistemit: f (x) ≤ g 2 (x) - dhe harrojnë plotësisht dy të tjerët. Rezultati është i parashikueshëm: vendim i gabuar, pikë të humbura.

Meqenëse pabarazitë irracionale janë një temë mjaft komplekse, le të shohim 4 shembuj njëherësh. Nga bazike te vërtet komplekse. Të gjitha problemet janë marrë nga provimet pranuese të Universitetit Shtetëror të Moskës. M. V. Lomonosov.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Para nesh është një klasik pabarazia irracionale: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 është një konstante. Ne kemi:

Nga tre pabarazitë, vetëm dy mbetën në fund të zgjidhjes. Sepse pabarazia 2 ≥ 0 vlen gjithmonë. Le të kalojmë pabarazitë e mbetura:

Pra, x ∈ [−1,5; 0.5]. Të gjitha pikat janë të hijezuara sepse pabarazitë nuk janë strikte.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Ne zbatojmë teoremën:

Le të zgjidhim pabarazinë e parë. Për ta bërë këtë, ne do të zbulojmë katrorin e diferencës. Ne kemi:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Tani le të zgjidhim pabarazinë e dytë. Edhe atje trinom kuadratik:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)