Duke përdorur këtë program matematikor, ju mund të zgjidhni një sistem me dy ekuacione lineare me dy ndryshore duke përdorur metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu ofron një zgjidhje të detajuar me shpjegime të hapave të zgjidhjes në dy mënyra: metoda e zëvendësimit dhe metoda e mbledhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër.

Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Rregullat për futjen e ekuacioneve
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj. Kur futen ekuacionet mund të përdorni kllapa
. Në këtë rast, ekuacionet thjeshtohen fillimisht.

Ekuacionet pas thjeshtimeve duhet të jenë lineare, d.m.th. të formës ax+nga+c=0 me saktësinë e renditjes së elementeve.

Për shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2
Në ekuacione, ju mund të përdorni jo vetëm numra të plotë, por edhe thyesa në formën e dhjetoreve dhe thyesave të zakonshme.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.

Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje.
Për shembull: 2.1n + 3.5m = 55
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese. /
Emëruesi nuk mund të jetë negativ. &

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi:
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand:
Shembuj.

Shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutemi prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e zëvendësimit

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit:
1) shpreh një variabël nga një ekuacion i sistemit në terma të një tjetri;
2) zëvendësoni shprehjen që rezulton në një ekuacion tjetër të sistemit në vend të kësaj ndryshoreje;

$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \djathtas. $$

Le ta shprehim y në terma x nga ekuacioni i parë: y = 7-3x. Duke zëvendësuar shprehjen 7-3x në ekuacionin e dytë në vend të y, marrim sistemin:
$$ \majtas\( \fillimi(grupi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \djathtas. $$

Është e lehtë të tregohet se sistemi i parë dhe i dytë kanë të njëjtat zgjidhje. Në sistemin e dytë, ekuacioni i dytë përmban vetëm një ndryshore. Le të zgjidhim këtë ekuacion:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Shigjeta djathtas -5x+14-6x=3 \Shigjeta djathtas -11x=-11 \Shigjeta djathtas x=1 $$

Duke zëvendësuar 1 në vend të x në barazinë y=7-3x, gjejmë vlerën përkatëse të y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Djathtas y=4 $$

Çifti (1;4) - zgjidhje e sistemit

Sistemet e ekuacioneve në dy ndryshore që kanë zgjidhje të njëjta quhen ekuivalente. Sistemet që nuk kanë zgjidhje konsiderohen gjithashtu ekuivalente.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me mbledhje

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare - metodën e mbledhjes. Kur zgjidhim sistemet në këtë mënyrë, si dhe kur zgjidhim me zëvendësim, kalojmë nga ky sistem në një sistem tjetër ekuivalent, në të cilin njëri prej ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes:
1) shumëzoni ekuacionet e sistemit term me term, duke zgjedhur faktorët në mënyrë që koeficientët e njërit prej variablave të bëhen numra të kundërt;
2) shtoni anët e majta dhe të djathta të ekuacioneve të sistemit term pas termi;
3) zgjidh ekuacionin që rezulton me një ndryshore;
4) gjeni vlerën përkatëse të ndryshores së dytë.

Shembull. Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Në ekuacionet e këtij sistemi, koeficientët e y janë numra të kundërt. Duke mbledhur anën e majtë dhe të djathtë të ekuacioneve term pas termi, fitojmë një ekuacion me një ndryshore 3x=33. Le të zëvendësojmë një nga ekuacionet e sistemit, për shembull të parin, me ekuacionin 3x=33. Le të marrim sistemin
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Nga ekuacioni 3x=33 gjejmë se x=11. Duke e zëvendësuar këtë vlerë x në ekuacionin \(x-3y=38\) marrim një ekuacion me ndryshoren y: \(11-3y=38\). Le të zgjidhim këtë ekuacion:
\(-3y=27 \Djathtas y=-9 \)

Kështu, ne gjetëm zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve me mbledhje: \(x=11; y=-9\) ose \((11;-9)\)

Duke përfituar nga fakti se në ekuacionet e sistemit koeficientët e y janë numra të kundërt, zgjidhjen e tij e reduktuam në zgjidhjen e një sistemi ekuivalent (duke mbledhur të dyja anët e secilit prej ekuacioneve të sistemit origjinal), në të cilin një e ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Në këtë mësim do të vazhdojmë të studiojmë metodën e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve, përkatësisht metodën e mbledhjes algjebrike. Së pari, le të shohim zbatimin e kësaj metode duke përdorur shembullin e ekuacioneve lineare dhe thelbin e saj. Le të kujtojmë gjithashtu se si të barazojmë koeficientët në ekuacione. Dhe ne do të zgjidhim një numër problemesh duke përdorur këtë metodë.

Tema: Sistemet e ekuacioneve

Mësimi: Metoda algjebrike e mbledhjes

1. Metoda e mbledhjes algjebrike duke përdorur si shembull sistemet lineare

Le të shqyrtojmë metoda e mbledhjes algjebrike duke përdorur shembullin e sistemeve lineare.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin

Nëse i shtojmë këto dy ekuacione, atëherë y anulohet, duke lënë një ekuacion për x.

Nëse e zbresim të dytën nga ekuacioni i parë, x-të anulojnë njëri-tjetrin dhe marrim një ekuacion për y. Ky është kuptimi i metodës së mbledhjes algjebrike.

E zgjidhëm sistemin dhe kujtuam metodën e mbledhjes algjebrike. Le të përsërisim thelbin e tij: ne mund të mbledhim dhe zbresim ekuacione, por duhet të sigurohemi që të marrim një ekuacion me vetëm një të panjohur.

2. Metoda e mbledhjes algjebrike me barazimin paraprak të koeficientëve

Shembulli 2. Zgjidheni sistemin

Termi është i pranishëm në të dy ekuacionet, kështu që metoda e mbledhjes algjebrike është e përshtatshme. Le të zbresim të dytën nga ekuacioni i parë.

Përgjigje: (2; -1).

Kështu, pasi të keni analizuar sistemin e ekuacioneve, mund të shihni se është i përshtatshëm për metodën e mbledhjes algjebrike dhe ta zbatoni atë.

Le të shqyrtojmë një sistem tjetër linear.

3. Zgjidhja e sistemeve jolineare

Shembulli 3. Zgjidheni sistemin

Ne duam të heqim qafe y, por koeficientët e y janë të ndryshëm në të dy ekuacionet. Le t'i barazojmë për ta bërë këtë, shumëzojmë ekuacionin e parë me 3, të dytin me 4.

Shembulli 4. Zgjidheni sistemin

Le të barazojmë koeficientët për x

Mund ta bëni ndryshe - barazoni koeficientët për y.

E zgjidhëm sistemin duke aplikuar dy herë metodën e mbledhjes algjebrike.

Metoda e mbledhjes algjebrike është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e sistemeve jolineare.

Shembulli 5. Zgjidheni sistemin

Le t'i shtojmë këto ekuacione së bashku dhe do të heqim qafe y.

I njëjti sistem mund të zgjidhet duke aplikuar dy herë metodën e mbledhjes algjebrike. Le të mbledhim dhe zbresim nga një ekuacion një tjetër.

Shembulli 6. Zgjidheni sistemin

Përgjigje:

Shembulli 7. Zgjidheni sistemin

Duke përdorur metodën e mbledhjes algjebrike do të shpëtojmë nga termi xy. Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me .

Ekuacioni i parë mbetet i pandryshuar, në vend të të dytit shkruajmë shumën algjebrike.

Përgjigje:

Shembulli 8. Zgjidheni sistemin

Shumëzoni ekuacionin e dytë me 2 për të izoluar një katror të përsosur.

Detyra jonë u reduktua në zgjidhjen e katër sistemeve të thjeshta.

4. Përfundim

Ne shqyrtuam metodën e mbledhjes algjebrike duke përdorur shembullin e zgjidhjes së sistemeve lineare dhe jolineare. Në mësimin e ardhshëm do të shikojmë metodën e prezantimit të ndryshoreve të reja.

1. Mordkovich A.G. et al. Klasa e 9-të: Libër mësuesi. Për arsimin e përgjithshëm Institucionet.- 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 f.: ill.

2. Mordkovich A.G. et al., Klasa e 9-të: Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A.G. Mordkovich, T.N. et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algjebra. Klasa e 9-të: arsimore. për studentët e arsimit të përgjithshëm. institucionet / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Botimi i 7-të, rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin M., Sidorov V. Algjebra. klasa e 9-të. botimi i 16-të. - M., 2011. - 287 f.

5. Mordkovich A. G. Algjebra. klasa e 9-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 12-të, i fshirë. - M.: 2010. - 224 f.: i sëmurë.

6. Algjebra. klasa e 9-të. Në 2 pjesë, Pjesa 2. Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dhe të tjerë; Ed. A. G. Mordkovich. - botimi i 12-të, rev. - M.: 2010.-223 f.: i sëmurë.

1. Seksioni i Kolegjit. ru në matematikë.

2. Projekti në internet “Detyrat”.

3. Portali arsimor “DO E ZGJIDH provimin e unifikuar të shtetit”.

1. Mordkovich A.G. et al., Klasa e 9-të: Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A.G. Mordkovich, T.N. et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill. Nr 125 - 127.

Ju duhet të shkarkoni një plan mësimi mbi temën » Metoda e mbledhjes algjebrike?

Me këtë video unë filloj një seri mësimesh kushtuar sistemeve të ekuacioneve. Sot do të flasim për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare metoda e shtimit- Kjo është një nga metodat më të thjeshta, por në të njëjtën kohë një nga më efektivet.

Metoda e shtimit përbëhet nga tre hapa të thjeshtë:

1. Shikoni sistemin dhe zgjidhni një variabël që ka koeficientë identikë (ose të kundërt) në secilin ekuacion;
2. Kryen zbritjen algjebrike (për numrat e kundërt - mbledhje) të ekuacioneve nga njëri-tjetri, dhe më pas sjell terma të ngjashëm;
3. Zgjidheni ekuacionin e ri të marrë pas hapit të dytë.

Nëse gjithçka është bërë si duhet, atëherë në dalje do të marrim një ekuacion të vetëm me një variabël- nuk do të jetë e vështirë për ta zgjidhur atë. Pastaj gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë rrënjën e gjetur në sistemin origjinal dhe të marrim përgjigjen përfundimtare.

Sidoqoftë, në praktikë gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Ka disa arsye për këtë:

• Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes nënkupton që të gjitha linjat duhet të përmbajnë variabla me koeficientë të barabartë/të kundërt. Çfarë duhet bërë nëse kjo kërkesë nuk plotësohet?
• Jo gjithmonë, pasi shtojmë/zbrisim ekuacionet në mënyrën e treguar, marrim një ndërtim të bukur që mund të zgjidhet lehtësisht. A është e mundur që disi të thjeshtohen llogaritjet dhe të shpejtohen llogaritjet?

Për të marrë përgjigjen e këtyre pyetjeve dhe në të njëjtën kohë për të kuptuar disa hollësi shtesë që shumë studentë dështojnë, shikoni mësimin tim video:

Me këtë mësim ne fillojmë një seri leksionesh kushtuar sistemeve të ekuacioneve. Dhe ne do të fillojmë nga më të thjeshtat prej tyre, përkatësisht ato që përmbajnë dy ekuacione dhe dy ndryshore. Secila prej tyre do të jetë lineare.

Sistemet është material i klasës së 7-të, por ky mësim do të jetë i dobishëm edhe për nxënësit e shkollave të mesme që duan të përmirësojnë njohuritë e tyre për këtë temë.

Në përgjithësi, ekzistojnë dy metoda për zgjidhjen e sistemeve të tilla:

1. Metoda e shtimit;
2. Një metodë për të shprehur një variabël në termat e një tjetri.

Sot do të merremi me metodën e parë - do të përdorim metodën e zbritjes dhe mbledhjes. Por për ta bërë këtë, duhet të kuptoni faktin e mëposhtëm: pasi të keni dy ose më shumë ekuacione, mund të merrni çdo dy prej tyre dhe t'i shtoni njëri-tjetrit. Ata shtohen anëtar për anëtar, d.m.th. "X" i shtohen "X" dhe jepen të ngjashme, "Y" me "Y" janë përsëri të ngjashme, dhe ajo që është në të djathtë të shenjës së barabartë i shtohet njëra-tjetrës dhe të ngjashme jepen edhe atje. .

Rezultatet e makinacioneve të tilla do të jenë një ekuacion i ri, i cili, nëse ka rrënjë, ato sigurisht që do të jenë ndër rrënjët e ekuacionit origjinal. Prandaj, detyra jonë është të bëjmë zbritjen ose mbledhjen në atë mënyrë që ose $x$ ose $y$ të zhduket.

Si ta arrini këtë dhe çfarë mjeti të përdorni për këtë - do të flasim për këtë tani.

Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur shtimin

Pra, ne mësojmë të përdorim metodën e mbledhjes duke përdorur shembullin e dy shprehjeve të thjeshta.

Detyra nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Vini re se $y$ ka një koeficient prej $-4$ në ekuacionin e parë dhe $+4$ në të dytin. Ato janë reciprokisht të kundërta, kështu që është logjike të supozohet se nëse i mbledhim, atëherë në shumën që rezulton "lojërat" do të shkatërrohen reciprokisht. Shtoni dhe merrni:

Le të zgjidhim ndërtimin më të thjeshtë:

E shkëlqyeshme, gjetëm "x". Çfarë duhet të bëjmë me të tani? Ne kemi të drejtë ta zëvendësojmë atë në ndonjë nga ekuacionet. Le të zëvendësojmë në të parën:

\[-4y=12\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]

Përgjigje: $\majtas(2;-3 \djathtas)$.

Problemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Situata këtu është krejtësisht e ngjashme, vetëm me "X". Le t'i mbledhim ato:

Ne kemi ekuacionin linear më të thjeshtë, le ta zgjidhim:

Tani le të gjejmë $x$:

Përgjigje: $\majtas(-3;3 \djathtas)$.

Pika të rëndësishme

Pra, ne sapo kemi zgjidhur dy sisteme të thjeshta të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e mbledhjes. Pikat kryesore përsëri:

1. Nëse ka koeficientë të kundërt për njërën nga variablat, atëherë është e nevojshme të shtohen të gjitha variablat në ekuacion. Në këtë rast, njëri prej tyre do të shkatërrohet.
2. Ne e zëvendësojmë variablin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit për të gjetur të dytin.
3. Regjistrimi përfundimtar i përgjigjes mund të paraqitet në mënyra të ndryshme. Për shembull, si kjo - $x=...,y=...$, ose në formën e koordinatave të pikave - $\left(...;... \djathtas)$. Opsioni i dytë është i preferueshëm. Gjëja kryesore për të kujtuar është se koordinata e parë është $x$, dhe e dyta është $y$.
4. Rregulli i shkrimit të përgjigjes në formën e koordinatave të pikës nuk është gjithmonë i zbatueshëm. Për shembull, nuk mund të përdoret kur variablat nuk janë $x$ dhe $y$, por, për shembull, $a$ dhe $b$.

Në problemat e mëposhtme do të shqyrtojmë teknikën e zbritjes kur koeficientët nuk janë të kundërt.

Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur metodën e zbritjes

Detyra nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Vini re se këtu nuk ka koeficientë të kundërt, por ka të njëjtë. Prandaj, ne zbresim të dytën nga ekuacioni i parë:

Tani ne e zëvendësojmë vlerën $x$ në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Le të shkojmë së pari:

Përgjigje: $\majtas(2;5\djathtas)$.

Problemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne përsëri shohim të njëjtin koeficient prej $5$ për $x$ në ekuacionin e parë dhe të dytë. Prandaj, është logjike të supozohet se ju duhet të zbritni të dytën nga ekuacioni i parë:

Ne kemi llogaritur një variabël. Tani le të gjejmë të dytin, për shembull, duke zëvendësuar vlerën $y$ në ndërtimin e dytë:

Përgjigje: $\majtas(-3;-2 \djathtas)$.

Nuancat e zgjidhjes

Pra, çfarë shohim? Në thelb, skema nuk është e ndryshme nga zgjidhja e sistemeve të mëparshme. I vetmi ndryshim është se ne nuk i shtojmë ekuacionet, por i zbresim ato. Ne po bëjmë zbritjen algjebrike.

Me fjalë të tjera, sapo të shihni një sistem të përbërë nga dy ekuacione në dy të panjohura, gjëja e parë që duhet të shikoni janë koeficientët. Nëse janë të njëjta kudo, ekuacionet zbriten, dhe nëse janë të kundërta, përdoret metoda e mbledhjes. Kjo bëhet gjithmonë në mënyrë që njëra prej tyre të zhduket, dhe në ekuacionin përfundimtar, i cili mbetet pas zbritjes, mbetet vetëm një ndryshore.

Sigurisht, kjo nuk është e gjitha. Tani do të shqyrtojmë sistemet në të cilat ekuacionet janë përgjithësisht jokonsistente. Ato. Nuk ka variabla në to që janë ose të njëjta ose të kundërta. Në këtë rast, për të zgjidhur sisteme të tilla, përdoret një teknikë shtesë, domethënë, shumëzimi i secilit prej ekuacioneve me një koeficient të veçantë. Si ta gjejmë atë dhe si të zgjidhim sisteme të tilla në përgjithësi, ne do të flasim për këtë tani.

Zgjidhja e problemave duke shumëzuar me një koeficient

Shembulli #1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne shohim se as për $x$ as për $y$ koeficientët nuk janë vetëm reciprokisht të kundërt, por edhe në asnjë mënyrë nuk lidhen me ekuacionin tjetër. Këta koeficientë nuk do të zhduken në asnjë mënyrë, edhe nëse i shtojmë ose i zbresim ekuacionet nga njëri-tjetri. Prandaj, është e nevojshme të zbatohet shumëzimi. Le të përpiqemi të heqim qafe variablin $y$. Për ta bërë këtë, ne e shumëzojmë ekuacionin e parë me koeficientin $y$ nga ekuacioni i dytë dhe ekuacionin e dytë me koeficientin $y$ nga ekuacioni i parë, pa prekur shenjën. Ne shumëzojmë dhe marrim një sistem të ri:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le ta shohim: në $y$ koeficientët janë të kundërt. Në një situatë të tillë, është e nevojshme të përdoret metoda e shtimit. Le të shtojmë:

Tani duhet të gjejmë $y$. Për ta bërë këtë, zëvendësoni $x$ në shprehjen e parë:

\[-9y=18\majtas| :\left(-9 \djathtas) \djathtas.\]

Përgjigje: $\majtas(4;-2 \djathtas)$.

Shembulli nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Përsëri, koeficientët për asnjë nga variablat nuk janë konsistent. Le të shumëzojmë me koeficientët e $y$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 11x+4y=-18\majtas| 6 \djathtas. \\& 13x-6y=-32\majtas| 4 \djathtas. \\\fund (rreshtoj) \djathtas .\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Sistemi ynë i ri është i barabartë me atë të mëparshëm, por koeficientët e $y$ janë reciprokisht të kundërt, dhe për këtë arsye është e lehtë të zbatohet metoda e mbledhjes këtu:

Tani le të gjejmë $y$ duke zëvendësuar $x$ në ekuacionin e parë:

Përgjigje: $\majtas(-2;1 \djathtas)$.

Nuancat e zgjidhjes

Rregulli kryesor këtu është si vijon: ne gjithmonë shumëzojmë vetëm me numra pozitivë - kjo do t'ju shpëtojë nga gabimet budallaqe dhe fyese që lidhen me ndryshimin e shenjave. Në përgjithësi, skema e zgjidhjes është mjaft e thjeshtë:

1. Ne shikojmë sistemin dhe analizojmë çdo ekuacion.
2. Nëse shohim që as $y$ as $x$ koeficientët janë konsistent, d.m.th. ato nuk janë as të barabarta as të kundërta, atëherë bëjmë si më poshtë: zgjedhim variablin që duhet të heqim qafe dhe më pas shikojmë koeficientët e këtyre ekuacioneve. Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë me koeficientin nga i dyti, dhe i dyti, përkatësisht, shumëzojmë me koeficientin nga i pari, atëherë në fund do të marrim një sistem që është plotësisht ekuivalent me atë të mëparshëm, dhe koeficientët e $ y$ do të jetë konsistente. Të gjitha veprimet ose transformimet tona synojnë vetëm marrjen e një ndryshoreje në një ekuacion.
3. Ne gjejmë një variabël.
4. Ne e zëvendësojmë variablin e gjetur në një nga dy ekuacionet e sistemit dhe gjejmë të dytën.
5. Përgjigjen e shkruajmë në formën e koordinatave të pikave nëse kemi variabla $x$ dhe $y$.

Por edhe një algoritëm kaq i thjeshtë ka hollësitë e veta, për shembull, koeficientët e $x$ ose $y$ mund të jenë fraksione dhe numra të tjerë "të shëmtuar". Tani do t'i shqyrtojmë këto raste veç e veç, sepse në to mund të veproni disi ndryshe sesa sipas algoritmit standard.

Zgjidhja e problemave me thyesa

Shembulli #1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Së pari, vini re se ekuacioni i dytë përmban thyesa. Por vini re se mund të ndani 4$ me 0,8$. Do të marrim 5$. Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me $5 $:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne i zbresim ekuacionet nga njëri-tjetri:

Gjetëm $n$, tani le të numërojmë $m$:

Përgjigje: $n=-4;m=5$

Shembulli nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 2,5p+1,5k=-13\majtas| 4 \djathtas. \\& 2p-5k=2\majtas| 5 \djathtas. \\\fund (rreshtoj )\ drejtë.\]

Këtu, si në sistemin e mëparshëm, ka koeficientë thyesorë, por për asnjë nga variablat koeficientët nuk përshtaten me njëri-tjetrin një numër të plotë herë. Prandaj, ne përdorim algoritmin standard. Hiqni qafe $p$:

\[\majtas\( \fillimi(radhis)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne përdorim metodën e zbritjes:

Le të gjejmë $p$ duke zëvendësuar $k$ në ndërtimin e dytë:

Përgjigje: $p=-4;k=-2$.

Nuancat e zgjidhjes

Kjo është e gjitha optimizimi. Në ekuacionin e parë, ne nuk e shumëzuam fare me asgjë, por ekuacionin e dytë e shumëzuam me 5$. Si rezultat, ne morëm një ekuacion të qëndrueshëm dhe madje identik për variablin e parë. Në sistemin e dytë kemi ndjekur një algoritëm standard.

Por si i gjeni numrat me të cilët shumohen ekuacionet? Në fund të fundit, nëse shumëzojmë me thyesa, marrim thyesa të reja. Prandaj, thyesat duhet të shumëzohen me një numër që do të jepte një numër të ri të plotë, dhe pas kësaj ndryshoret duhet të shumëzohen me koeficientë, duke ndjekur algoritmin standard.

Si përfundim, dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për formatin e regjistrimit të përgjigjes. Siç thashë tashmë, pasi këtu nuk kemi $x$ dhe $y$, por vlera të tjera, ne përdorim një shënim jo standard të formës:

Zgjidhja e sistemeve komplekse të ekuacioneve

Si shënim i fundit për mësimin e sotëm video, le të shohim disa sisteme vërtet komplekse. Kompleksiteti i tyre do të konsistojë në faktin se ata do të kenë variabla si në të majtë ashtu edhe në të djathtë. Prandaj, për t'i zgjidhur ato do të duhet të aplikojmë parapërpunim.

Sistemi nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 3\majtas(2x-y \djathtas)+5=-2\majtas(x+3y\djathtas)+4 \\& 6\majtas(y+1 \djathtas )-1=5\majtas(2x-1 \djathtas)+8 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Çdo ekuacion mbart një kompleksitet të caktuar. Prandaj, le ta trajtojmë secilën shprehje si me një ndërtim të rregullt linear.

Në total, marrim sistemin përfundimtar, i cili është i barabartë me atë origjinal:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të shohim koeficientët e $y$: $3$ përshtatet në $6$ dy herë, kështu që le të shumëzojmë ekuacionin e parë me $2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Koeficientët e $y$ tani janë të barabartë, kështu që ne zbresim të dytën nga ekuacioni i parë: $$

Tani le të gjejmë $y$:

Përgjigje: $\majtas(0;-\frac(1)(3) \djathtas)$

Sistemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4\majtas(a-3b \djathtas)-2a=3\majtas(b+4 \djathtas)-11 \\& -3\majtas(b-2a \djathtas )-12=2\majtas(a-5 \djathtas)+b \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të transformojmë shprehjen e parë:

Le të merremi me të dytën:

\[-3\majtas(b-2a \djathtas)-12=2\majtas(a-5 \djathtas)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Në total, sistemi ynë fillestar do të marrë formën e mëposhtme:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Duke parë koeficientët e $a$, ne shohim se ekuacioni i parë duhet të shumëzohet me $2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Zbrisni të dytën nga ndërtimi i parë:

Tani le të gjejmë $a$:

Përgjigje: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \djathtas)$.

Kjo është ajo. Shpresoj se ky video tutorial do t'ju ndihmojë të kuptoni këtë temë të vështirë, përkatësisht zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve të thjeshta lineare. Në të ardhmen do të ketë shumë mësime të tjera për këtë temë: do të shikojmë shembuj më kompleksë, ku do të ketë më shumë variabla dhe vetë ekuacionet do të jenë jolineare. Shihemi sërish!

Sistemet e ekuacioneve përdoren gjerësisht në sektorin ekonomik për modelimin matematikor të proceseve të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhni problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Shembull: 3x-4y = 5 - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme analitike për zgjidhjen e sistemeve të tilla; Kursi i matematikës shkollore përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe metodat grafike dhe matricore, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm të klasës së 7-të është mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhja e këtij shembulli është e lehtë dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu jopraktike.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet shtohen term pas termi dhe shumëzohen me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar i operacioneve matematikore është një ekuacion në një ndryshore.

Zbatimi i kësaj metode kërkon praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat i veprimit aritmetik, një nga koeficientët e ndryshores duhet të bëhet i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në një trinom kuadratik standard. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. Në shembullin e dhënë, a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka një zgjidhje: x = -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda konsiston në ndërtimin e grafikëve të çdo ekuacioni të përfshirë në sistem në boshtin koordinativ. Koordinatat e pikave të kryqëzimit të kurbave do të jenë zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht janë ndërtuar dy pika, vlerat e ndryshores x janë zgjedhur në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, janë gjetur vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm kërkon gjetjen e një zgjidhjeje grafike të një sistemi ekuacionesh lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar në mënyrë koncize një sistem ekuacionesh lineare. Një matricë është një lloj i veçantë tabele i mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me ato përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një matricë njësie një matricë e tillë ekziston vetëm për atë katrore origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe termat e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra matricë;

Një rresht matricë thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre" ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të zvogëloni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me një numër të madh variablash dhe ekuacionesh.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

Në matematikën e lartë, metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variabla të sistemeve me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet me zëvendësim dhe mbledhje algjebrike, por është më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me anë të shndërrimeve dhe zëvendësimeve algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gauss përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda Gaussian është e vështirë për t'u kuptuar nga nxënësit e shkollave të mesme, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe të avancuara mësimore në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe veprimet e nevojshme algjebrike vazhdojnë derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

OGBOU "Qendra arsimore për fëmijët me nevoja të veçanta arsimore në Smolensk"

Qendra për Edukim në Distancë

Mësimi i algjebrës në klasën e 7-të

Tema e mësimit: Metoda e mbledhjes algjebrike.

1. 1. Lloji i mësimit: Mësim i prezantimit fillestar të njohurive të reja.

Qëllimi i orës së mësimit: kontrolli i nivelit të përvetësimit të njohurive dhe aftësive në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit; zhvillimi i aftësive dhe aftësive për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve duke përdorur mbledhjen.

Objektivat e mësimit:

Tema: Mësoni të zgjidhni sisteme ekuacionesh me dy ndryshore duke përdorur metodën e mbledhjes.

Metasubjekt: UUD njohëse: analizoni (theksoni gjënë kryesore), përcaktoni konceptet, përgjithësoni, nxirrni përfundime. UUD rregullatore: përcaktoni qëllimin, problemin në veprimtaritë edukative. UUD komunikuese: shprehni mendimin tuaj, duke dhënë arsyet për të. UUD personale: f për të formuar një motiv pozitiv për të mësuar, për të krijuar një qëndrim emocional pozitiv të nxënësit ndaj mësimit dhe lëndës.

Forma e punës: individuale

Hapat e mësimit:

1) Faza organizative.

organizoni punën e nxënësit për temën duke krijuar një qëndrim ndaj integritetit të të menduarit dhe të kuptuarit të kësaj teme.

2. Pyetja e nxënësit për materialin e caktuar për detyrat e shtëpisë, përditësimi i njohurive.

Qëllimi: të testohen njohuritë e nxënësit të marra gjatë detyrave të shtëpisë, të identifikohen gabimet dhe të punohet me gabimet. Rishikoni materialin nga mësimi i mëparshëm.

3. Studimi i materialit të ri.

1). të zhvillojë aftësinë për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e mbledhjes;

2). zhvillojnë dhe përmirësojnë njohuritë ekzistuese në situata të reja;

3). kultivoni aftësitë e kontrollit dhe vetëkontrollit, zhvilloni pavarësinë.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Qëllimi: ruajtja e shikimit, lehtësimi i lodhjes së syve gjatë punës në klasë.

5. Konsolidimi i materialit të studiuar

Qëllimi: të testohen njohuritë, aftësitë dhe aftësitë e marra në mësim

6. Përmbledhje e mësimit, informacion për detyrat e shtëpisë, reflektim.

Përparimi i mësimit (duke punuar në një dokument elektronik të Google):

1. Sot desha ta nis mësimin me gjëegjëzën filozofike të Walter-it.

Cila është më e shpejta, por edhe më e ngadalta, më e madhja, por edhe më e vogla, më e gjata dhe më e shkurtra, më e shtrenjta, por edhe më e lirë nga ne?

Koha

Le të kujtojmë konceptet themelore mbi temën:

Para nesh është një sistem me dy ekuacione.

Le të kujtojmë se si i zgjidhëm sistemet e ekuacioneve në mësimin e fundit.

Metoda e zëvendësimit

Edhe një herë, kushtojini vëmendje sistemit të zgjidhur dhe më tregoni pse nuk mund të zgjidhim çdo ekuacion të sistemit pa përdorur metodën e zëvendësimit?

Sepse këto janë ekuacione të një sistemi me dy ndryshore. Ne mund të zgjidhim ekuacione vetëm me një ndryshore.

Vetëm duke marrë një ekuacion me një ndryshore arritëm të zgjidhnim sistemin e ekuacioneve.

3. Ne vazhdojmë të zgjidhim sistemin e mëposhtëm:

Le të zgjedhim një ekuacion në të cilin është e përshtatshme për të shprehur një ndryshore përmes një tjetri.

Nuk ka një ekuacion të tillë.

Ato. Në këtë situatë, metoda e studiuar më parë nuk është e përshtatshme për ne. Cila është rruga për të dalë nga kjo situatë?

Gjeni një metodë të re.

Le të përpiqemi të formulojmë qëllimin e mësimit.

Mësoni të zgjidhni sistemet duke përdorur një metodë të re.

Çfarë duhet të bëjmë për të mësuar se si të zgjidhim sistemet duke përdorur një metodë të re?

të njohë rregullat (algoritmin) për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh, të kryejë detyra praktike

Le të fillojmë të zhvillojmë një metodë të re.

Kushtojini vëmendje përfundimit që bëmë pas zgjidhjes së sistemit të parë. Është e mundur të zgjidhet sistemi vetëm pasi kemi marrë një ekuacion linear me një ndryshore.

Shikoni sistemin e ekuacioneve dhe mendoni se si të merrni një ekuacion me një ndryshore nga dy ekuacione të dhëna.

Mblidhni ekuacionet.

Çfarë do të thotë të shtosh ekuacione?

Shkruani veçmas shumën e anëve të majta, shumën e anëve të djathta të ekuacioneve dhe barazoni shumat që rezultojnë.

Le të provojmë. Ne punojmë së bashku me mua.

13x+14x+17y-17y=43+11

Ne kemi marrë një ekuacion linear me një ndryshore.

A e keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve?

Zgjidhja e sistemit është një çift numrash.

Si të gjeni y?

Zëvendësoni vlerën e gjetur të x në ekuacionin e sistemit.

A ka rëndësi se në cilin ekuacion do ta zëvendësojmë vlerën e x?

Kjo do të thotë që vlera e gjetur e x mund të zëvendësohet në...

çdo ekuacion të sistemit.

Ne u njohëm me një metodë të re - metodën e mbledhjes algjebrike.

Gjatë zgjidhjes së sistemit, diskutuam algoritmin për zgjidhjen e sistemit duke përdorur këtë metodë.

Ne kemi rishikuar algoritmin. Tani le ta zbatojmë atë në zgjidhjen e problemeve.

Aftësia për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve mund të jetë e dobishme në praktikë.

Le të shqyrtojmë problemin:

Ferma ka pula dhe dele. Sa nga të dyja ka nëse së bashku kanë 19 koka dhe 46 këmbë?

Duke ditur që ka gjithsej 19 pula dhe dele, le të krijojmë ekuacionin e parë: x + y = 19

4x - numri i këmbëve të deleve

2у - numri i këmbëve në pula

Duke ditur që ka vetëm 46 këmbë, le të krijojmë ekuacionin e dytë: 4x + 2y = 46

Le të krijojmë një sistem ekuacionesh:

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve duke përdorur algoritmin e zgjidhjes duke përdorur metodën e mbledhjes.

Problem! Koeficientët përballë x dhe y nuk janë të barabartë dhe jo të kundërt! Çfarë duhet bërë?

Le të shohim një shembull tjetër!

Le t'i shtojmë edhe një hap algoritmit tonë dhe ta vendosim në vend të parë: Nëse koeficientët përballë variablave nuk janë të njëjtë dhe jo të kundërt, atëherë duhet të barazojmë modulet për disa ndryshore! Dhe pastaj ne do të veprojmë sipas algoritmit.

4. Trajnim fizik elektronik për sytë: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Përfundojmë problemin duke përdorur metodën e mbledhjes algjebrike, pasi kemi konsoliduar materialin e ri dhe zbulojmë se sa pula dhe dele kishte në fermë.

Detyra shtesë:

6.

Reflektimi.

Unë jap një notë për punën time në klasë -...

6. Burimet e Internetit të përdorura:

Shërbimet e Google për arsim

Mësuesja e matematikës N. N. Sokolova