Rasti kur numri i ekuacioneve m më shumë variabla n, duke eliminuar në mënyrë sekuenciale të panjohurat nga ekuacionet çon në rastin m= n ose m n.
Rasti i parë u diskutua më herët. m n Në rastin e dytë, kur numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave m dhe ekuacionet janë të pavarura, bien në sy variablat kryesore n- m)Dhe ( variablat jo-thelbësore . Variablat kryesorë janë ato që plotësojnë kushtin: përcaktori, i përbërë nga koeficientët e këtyre variablave, nuk është i barabartë me zero. Ato kryesore mund të jenë grupe të ndryshme variablash. Numri i përgjithshëm i grupeve të tilla N n e barabartë me numrin e kombinimeve të m:
elementet nga Nëse një sistem ka të paktën një grup variablash bazë, atëherë ky sistem është i pasigurt
dmth ka shume zgjidhje. Nëse sistemi nuk ka një grup të vetëm variablash bazë, atëherë sistemi është jo të përbashkët
, pra nuk ka një zgjidhje të vetme.
Në rastin kur një sistem ka shumë zgjidhje, midis tyre dallohet një zgjidhje bazë.
Zgjidhja bazë 
është një zgjidhje në të cilën ndryshoret minore janë të barabarta me zero. Sistemi nuk ka më shumë se
zgjidhjet bazë. Zgjidhjet e sistemit ndahen në e pranueshme Dhe .
e papranueshme E pranueshme
Këto janë zgjidhje në të cilat vlerat e të gjitha variablave janë jo negative. Nëse të paktën një vlerë e ndryshores është negative, atëherë thirret zgjidhja .
e papranueshme
Shembulli 4.5
Gjeni zgjidhjet themelore të sistemit të ekuacioneve
.
Le të gjejmë numrin e zgjidhjeve themelore Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është X Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 1 dhe
.
2. Le të kontrollojmë përcaktorin nga koeficientët e tyre Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 1 ,Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është Meqenëse kjo përcaktor nuk është e barabartë me zero, atëherë variablat
2 janë kryesoret. Tani le të supozojmë se X
3 = 0. Pastaj marrim një sistem në formë
,
.
Le ta zgjidhim duke përdorur formulat e Cramer:
Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 1 =1,Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 2 =0,Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 3 =0 .
Pra, zgjidhja e parë themelore ka formën Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është X Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 3 .
.
Le të kontrollojmë tani nëse variablat i përkasin atyre kryesore Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është X Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është Ne e kuptojmë atë Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 3 - grupi i dytë i variablave kryesore. Le të vendosim
,
.
2 =0 dhe zgjidhni sistemin
Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 1 =1,Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 2 =0,Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 3 =0.
Zgjidhja e dytë bazë ka formën Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është Tani le të kontrollojmë nëse variablat i përkasin atyre kryesore Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është 3 .
2 dhe Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është Tani le të kontrollojmë nëse variablat i përkasin atyre kryesore Pra, midis shumë zgjidhjeve të sistemit nuk ka më shumë se tre ato themelore. Le të theksojmë dy variabla kryesore midis të treve. Le të supozojmë se është pra variabla
Kushti i përputhshmërisë për një sistem m ekuacionesh lineare me n ndryshore jepet duke përdorur konceptin e renditjes së matricës.
Rangu i matricës – ky është një numër i barabartë me rendin më të lartë të një minori tjetër nga zero.
Për matricën A
e mitur k - urdhri shërben si përcaktues i përbërë nga elementë të ndonjë k linjat dhe k kolonat.
Për shembull,
Shembulli 2
Gjeni gradën e një matrice
Le të llogarisim përcaktorin e matricës
Për ta bërë këtë, shumëzojeni rreshtin e parë me (-4) dhe shtoni me rreshtin e dytë, pastaj shumëzojeni rreshtin e parë me (-7) dhe shtoni me rreshtin e tretë, si rezultat marrim përcaktorin
Sepse atëherë rreshtat e përcaktorit që rezulton janë proporcionale 
.
Nga kjo mund të shohim se minorja e rendit të tretë është e barabartë me 0, dhe minorja e rendit të dytë nuk është e barabartë me 0.
Prandaj, rangu i matricës është r=2.
Matrica e zgjeruar sistemi ka formën
Teorema Kronecker-Capelli
Në mënyrë që një sistem linear të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së zgjeruar të jetë i barabartë me gradën e matricës kryesore. 
.
Nëse 
,
atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.
Për një sistem të njëkohshëm ekuacionesh lineare, janë të mundshme tre raste:
1) Nëse 
, atëherë sistemi LU ka (m-r) ekuacione të varura lineare, ato mund të përjashtohen nga sistemi;
2) Nëse 
, atëherë sistemi LU ka një zgjidhje unike;
3) Nëse 
, atëherë sistemi LU ka shumë zgjidhje
Një 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2p x f= b 2 ,
........................................
A s 1 x 1 + a s 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.
Ne do të kryejmë transformime elementare mbi të. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë një matricë koeficientësh për të panjohurat e sistemit (1) me shtimin e një kolone termash të lirë, me fjalë të tjera matricë e zgjeruar Ā për sistemin (1):
Le të supozojmë se me ndihmën e transformimeve të tilla ishte e mundur të zvogëlohej matrica Ā në formën:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r,
e cila përftohet nga sistemi (1) duke përdorur një numër të caktuar transformimesh elementare dhe, për rrjedhojë, është ekuivalent me sistemin (1). Nëse në sistemin (4) r=n, pastaj nga ekuacioni i fundit, i cili ka formën b nn x n =c n(ku b nn≠ 0), gjejmë vlerën e vetme x n, nga ekuacioni i parafundit – vlera xn-1(që kur x n tashmë i njohur), etj., Së fundi, nga ekuacioni i parë - vlera x 1. Pra, në rast) r=n sistemi ka një zgjidhje unike. Nëse r
X 1 =a 1, r+1 x r+1 +...+a 1 n X n+b 1,
|
|
............................................
X r=a r, r+1 x r+1 +...+a r n X n+b r.
që në thelb është vendim i përgjithshëm sistemet (1).
Të panjohurat x r+1, ..., x n quhen të lira. Nga sistemi (5) do të jetë e mundur të gjenden vlerat x1,..., x r.
Reduktimi i matricës Ā për të formuar (3) është e mundur vetëm në rastin kur sistemi origjinal i ekuacioneve (1) është konsistent. Nëse sistemi (1) është i paqëndrueshëm, atëherë një reduktim i tillë është i pamundur. Kjo rrethanë shprehet në faktin se në procesin e shndërrimeve të matricës Ā në të shfaqet një vijë në të cilën të gjithë elementët janë të barabartë me zero, përveç atij të fundit. Kjo linjë korrespondon me një ekuacion të formës:
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x n=b,
që nuk kënaqet me asnjë vlerë të të panjohurave, pasi b≠0. Në këtë rast, sistemi është i paqëndrueshëm.
Në procesin e reduktimit të sistemit (1) në një formë hap pas hapi, mund të fitohen ekuacione të formës 0=0. Ato mund të hidhen poshtë, pasi kjo çon në një sistem ekuacionesh ekuivalent me atë të mëparshëm.
Kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare me metodën Gaussian, është më i përshtatshëm të reduktoni jo vetë sistemin e ekuacioneve, por matricën e zgjeruar të këtij sistemi në një formë hap pas hapi, duke kryer të gjitha transformimet në rreshtat e tij. Matricat sekuenciale të marra gjatë transformimeve zakonisht lidhen me një shenjë ekuivalence.
Le të zgjidhim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve me 4 të panjohura:
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,
3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37.
Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të koeficientëve për të panjohurat me shtimin e një kolone me terma të lirë.
Le të analizojmë rreshtat e matricës së zgjeruar:
Elementeve të rreshtit të 2-të u shtojmë elementet e 1-së, pjesëtuar me (-2);
Nga rreshti i tretë, zbritni rreshtin e parë;
Në rreshtin e 4-të shtojmë të parin, shumëzuar me (-3/2).
Si një mjet llogaritës, ne do të përdorim mjetet e programit Excel-97.
1. Ndizni kompjuterin tuaj.
2. Prisni derisa sistemi operativ të niset Dritaret, pas së cilës hapni një dritare të Microsoft Excel.
3. Plotësoni qelizat tabelat me vlerat e matricës së zgjeruar (Fig. 11.1)
Oriz. 11.1 Fig. 11.2
4. Për të kryer algoritmin e zgjedhur verbal, kryeni veprimet e mëposhtme.
· Aktivizo qelizën A5 dhe nga tastiera futni në të një formulë të formës =A2+A1/(-2), pas së cilës plotësimi automatik futni rezultatet numerike në qelizat B5¸E5;
· Në qelizën A6 do të vendosim rezultatin e zbritjes së rreshtit të parë nga rreshti i 3-të dhe përsëri, duke përdorur plotësimi automatik, plotësoni qelizat B6¸E6;
· në qelizën A7 shkruajmë një formulë të formës =A4+A1*(-3/2) dhe plotësimi automatik Le të fusim rezultatet numerike në qelizat B7¸E7.
5. Le të analizojmë sërish rreshtat që rezultojnë nga transformimet elementare të matricës për ta sjellë atë në një formë trekëndore.
·Rreshtit të 6-të shtoni të 5-tën, shumëzuar me numrin (-10);
· zbres 5-tën nga rreshti i 7-të.
Ne zbatojmë algoritmin e regjistruar në qelizat A8, A9, pas së cilës le të fshihemi 6 dhe 7 – vijat (shih Fig. 11.3).
Oriz. 11.3 Fig. 11.4
6. Dhe gjëja e fundit që duhet të bëni për ta sjellë matricën në formë trekëndore është të shtoni të 8-tën në rreshtin e 9-të, shumëzuar me (-3/5), pas së cilës fshehin Rreshti i 9-të (Fig. 11.4).
Siç mund ta shihni, elementët e matricës rezultuese janë në rreshtat 1, 5, 8 dhe 10, dhe renditja e matricës që rezulton është r = 4, pra, ky sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike. Le të shkruajmë sistemin që rezulton:
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,
0,5x 2 + 0,5x 4 =1,
5x 3 +x 4 =10,
Nga ekuacioni i fundit gjejmë lehtësisht x 4 =0; nga ekuacioni i 3-të gjejmë x 3 =2; nga i dyti – x 2 =2 dhe nga i pari – x 1 =1, përkatësisht.
Detyrat për punë të pavarur.
Përdorni metodën e Gausit për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve:
Punë laboratori nr 15. Gjetja e rrënjëve të ekuacionit f(x)=0
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura për grekët e lashtë. Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt u mor me përpjekjet e matematikanëve italianë S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari gjatë Rilindjes. Pastaj ishte koha për të kërkuar formula për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve të shkallës së pestë dhe më të lartë. Përpjekjet e vazhdueshme por të pafrytshme vazhduan për rreth 300 vjet dhe përfunduan në vitet 20 të shekullit të 21-të falë punës së matematikanit norvegjez N. Abel. Ai vërtetoi se ekuacioni i përgjithshëm i fuqive të pesta dhe më të larta janë të pazgjidhshëm në radikale. Zgjidhja e ekuacionit të përgjithshëm të shkallës së n-të
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
kur n³5 nuk mund të shprehet përmes koeficientëve duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit, fuqizimit dhe nxjerrjes së rrënjës.
Për ekuacionet joalgjebrike si
x–cos(x)=0 (2)
detyra bëhet edhe më e vështirë. Në këtë rast, rrallë është e mundur të gjenden shprehje të qarta për rrënjët.
Në kushtet kur formulat "nuk funksionojnë", kur mund të mbështeteni në to vetëm në rastet më të thjeshta, algoritmet universale llogaritëse marrin një rëndësi të veçantë. Ka një sërë algoritmesh të njohura që lejojnë zgjidhjen e problemit në shqyrtim.
Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Ekuacionet me katër të panjohura mund të kenë shumë zgjidhje të mundshme. Në matematikë, shpesh hasen ekuacione të këtij lloji. Për të zgjidhur saktë ekuacione të tilla, është e nevojshme të përdoren të gjitha tiparet e ekuacioneve për të thjeshtuar dhe shkurtuar zgjidhjen e tij.
Le të shohim zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm:
Duke shtuar ekuacionet e para dhe të dyta sipas pjesëve, mund të merrni një ekuacion shumë të thjeshtë:
\ ose \
Le të kryejmë veprime të ngjashme me ekuacionet 2 dhe 3:
\ ose \
Ne zgjidhim ekuacionet rezultuese \ dhe \
Ne marrim \ dhe \
Ne i zëvendësojmë numrat që rezultojnë në ekuacionet 1 dhe 3:
\ ose \
\ ose \
Zëvendësimi i këtyre numrave me ekuacionin e dytë dhe të katërt do të japë saktësisht të njëjtat ekuacione.
Por kjo nuk është e gjitha, pasi kanë mbetur për t'u zgjidhur 2 ekuacione me 2 të panjohura. Ju mund ta shihni zgjidhjen për këtë lloj ekuacioni në artikujt këtu.
Ku mund të zgjidh një ekuacion me katër të panjohura në internet?
Ju mund të zgjidhni ekuacione me të panjohura në internet në https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.
