Ne vazhdojmë të studiojmë temën " zgjidhjen e ekuacioneve" Tashmë jemi njohur me ekuacionet lineare dhe po kalojmë në njohjen ekuacionet kuadratike.
Së pari, ne do të shohim se çfarë është një ekuacion kuadratik, si shkruhet në formë të përgjithshme dhe do të japim përkufizime të lidhura. Pas kësaj, ne do të përdorim shembuj për të shqyrtuar në detaje se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Më pas, do të kalojmë në zgjidhjen e ekuacioneve të plota, do të marrim formulën rrënjësore, do të njihemi me diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik dhe do të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve tipikë. Së fundi, le të gjurmojmë lidhjet midis rrënjëve dhe koeficientëve.
Navigimi i faqes.
Çfarë është një ekuacion kuadratik? Llojet e tyre
Së pari ju duhet të kuptoni qartë se çfarë është një ekuacion kuadratik. Prandaj, është logjike të filloni një bisedë për ekuacionet kuadratike me përkufizimin e një ekuacioni kuadratik, si dhe përkufizimet përkatëse. Pas kësaj, ju mund të konsideroni llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike: të reduktuara dhe të pareduktuara, si dhe ekuacione të plota dhe jo të plota.
Përkufizimi dhe shembuj të ekuacioneve kuadratike
Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës a x 2 +b x+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a është jo zero.
Le të themi menjëherë se ekuacionet kuadratike shpesh quhen ekuacione të shkallës së dytë. Kjo për faktin se ekuacioni kuadratik është ekuacioni algjebrik shkallë e dytë.
Përkufizimi i deklaruar na lejon të japim shembuj të ekuacioneve kuadratike. Pra 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.
Përkufizimi.
Numrat a, b dhe c quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dhe koeficienti a quhet i pari, ose më i larti, ose koeficienti i x 2, b është koeficienti i dytë, ose koeficienti i x, dhe c është termi i lirë .
Për shembull, le të marrim një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x −3=0, këtu koeficienti kryesor është 5, koeficienti i dytë është i barabartë me −2 dhe termi i lirë është i barabartë me −3. Ju lutemi vini re se kur koeficientët b dhe/ose c janë negativ, si në shembullin e sapo dhënë, forma e shkurtër e ekuacionit kuadratik është 5 x 2 −2 x−3=0 , në vend të 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .
Vlen të përmendet se kur koeficientët a dhe/ose b janë të barabartë me 1 ose −1, ata zakonisht nuk janë të pranishëm në mënyrë eksplicite në ekuacionin kuadratik, gjë që është për shkak të veçorive të shkrimit të tillë. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 −y+3=0 koeficienti kryesor është një, dhe koeficienti i y është i barabartë me −1.
Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara
Në varësi të vlerës së koeficientit prijës, dallohen ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara. Le të japim përkufizimet përkatëse.
Përkufizimi.
Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Përndryshe ekuacioni kuadratik është i paprekur.
Sipas këtij përkufizimi, ekuacionet kuadratike x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etj. – dhënë, në secilën prej tyre koeficienti i parë është i barabartë me një. A 5 x 2 −x−1=0, etj. - ekuacionet kuadratike të pareduktuara, koeficientët kryesorë të tyre janë të ndryshëm nga 1.
Nga çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar, duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin kryesor, mund të shkoni te ai i reduktuar. Ky veprim është një transformim ekuivalent, domethënë, ekuacioni kuadratik i reduktuar i marrë në këtë mënyrë ka të njëjtat rrënjë me ekuacionin kuadratik të pareduktuar origjinal, ose, si ai, nuk ka rrënjë.
Le të shohim një shembull se si kryhet kalimi nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.
Shembull.
Nga ekuacioni 3 x 2 +12 x−7=0, kalohet në ekuacionin përkatës të reduktuar kuadratik.
Zgjidhje.
Thjesht duhet të ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 3, ai është jo zero, kështu që ne mund ta kryejmë këtë veprim. Kemi (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, që është e njëjtë, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dhe pastaj (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, nga ku . Kështu kemi marrë ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili është i barabartë me atë origjinal.
Përgjigje:
Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota
Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik përmban kushtin a≠0. Ky kusht është i nevojshëm në mënyrë që ekuacioni a x 2 + b x + c = 0 të jetë kuadratik, pasi kur a = 0 bëhet në të vërtetë një ekuacion linear i formës b x + c = 0.
Për sa u përket koeficientëve b dhe c, ata mund të jenë të barabartë me zero, si individualisht ashtu edhe së bashku. Në këto raste, ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.
Përkufizimi.
Quhet ekuacioni kuadratik a x 2 +b x+c=0 jo të plota, nëse të paktën njëri nga koeficientët b, c është i barabartë me zero.
Nga ana tjetër
Përkufizimi.
Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët janë të ndryshëm nga zero.
Emra të tillë nuk u dhanë rastësisht. Kjo do të bëhet e qartë nga diskutimet në vijim.
Nëse koeficienti b është zero, atëherë ekuacioni kuadratik merr formën a·x 2 +0·x+c=0, dhe është ekuivalent me ekuacionin a·x 2 +c=0. Nëse c=0, pra ekuacioni kuadratik ka formën a·x 2 +b·x+0=0, atëherë ai mund të rishkruhet si a·x 2 +b·x=0. Dhe me b=0 dhe c=0 marrim ekuacionin kuadratik a·x 2 =0. Ekuacionet që rezultojnë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë, ose të dyja. Prandaj emri i tyre - ekuacione kuadratike jo të plota.
Pra, ekuacionet x 2 +x+1=0 dhe −2 x 2 −5 x+0.2=0 janë shembuj të ekuacioneve të plota kuadratike, dhe x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota
Nga informacioni në paragrafin e mëparshëm rezulton se ka tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota:
- a·x 2 =0, me të korrespondojnë koeficientët b=0 dhe c=0;
- a x 2 +c=0 kur b=0 ;
- dhe a·x 2 +b·x=0 kur c=0.
Le të shqyrtojmë me radhë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota të secilit prej këtyre llojeve.
a x 2 =0
Le të fillojmë me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabartë me zero, pra me ekuacione të formës a x 2 =0. Ekuacioni a·x 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, i cili përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dyja pjesët me një numër jo zero a. Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 =0 është zero, pasi 0 2 =0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet me faktin se për çdo numër jo zero p vlen inekuacioni p 2 >0, që do të thotë se për p≠0 barazia p 2 =0 nuk arrihet kurrë.
Pra, ekuacioni kuadratik jo i plotë a·x 2 =0 ka një rrënjë të vetme x=0.
Si shembull, japim zgjidhjen e ekuacionit kuadratik jo të plotë −4 x 2 =0. Është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, rrënja e vetme e tij është x=0, prandaj, ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme zero.
Një zgjidhje e shkurtër në këtë rast mund të shkruhet si më poshtë:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.
a x 2 +c=0
Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota në të cilat koeficienti b është zero dhe c≠0, pra ekuacione të formës a x 2 +c=0. Ne e dimë se lëvizja e një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, ne mund të kryejmë transformimet ekuivalente të mëposhtme të ekuacionit kuadratik jo të plotë a x 2 +c=0:
- lëvizni c në anën e djathtë, që jep ekuacionin a x 2 =−c,
- dhe ndajmë të dyja anët me a, marrim .
Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij. Në varësi të vlerave të a dhe c, vlera e shprehjes mund të jetë negative (për shembull, nëse a=1 dhe c=2, atëherë ) ose pozitive (për shembull, nëse a=−2 dhe c=6, atëherë ), nuk është e barabartë me zero, pasi sipas kushtit c≠0. Le t'i shohim rastet veç e veç.
Nëse , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ. Nga kjo rrjedh se kur , atëherë për çdo numër p barazia nuk mund të jetë e vërtetë.
Nëse , atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, nëse kujtojmë rreth , atëherë rrënja e ekuacionit bëhet menjëherë e dukshme është numri, pasi . Është e lehtë të merret me mend se numri është gjithashtu rrënja e ekuacionit, në të vërtetë, . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, të cilat mund të tregohen, për shembull, me kontradiktë. Le ta bëjmë këtë.
Le të shënojmë rrënjët e ekuacionit të sapo shpallur si x 1 dhe −x 1 . Supozoni se ekuacioni ka një rrënjë më shumë x 2, të ndryshme nga rrënjët e treguara x 1 dhe −x 1. Dihet se zëvendësimi i rrënjëve të tij në një ekuacion në vend të x, e kthen ekuacionin në një barazi numerike të saktë. Për x 1 dhe −x 1 kemi , dhe për x 2 kemi . Vetitë e barazive numerike na lejojnë të kryejmë zbritjen term pas termi të barazive të sakta numerike, kështu që zbritja e pjesëve përkatëse të barazive jep x 1 2 −x 2 2 =0. Vetitë e veprimeve me numra na lejojnë të rishkruajmë barazinë që rezulton si (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Ne e dimë se prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero. Prandaj, nga barazia që rezulton rrjedh se x 1 −x 2 =0 dhe/ose x 1 +x 2 =0, që është e njëjtë, x 2 =x 1 dhe/ose x 2 =−x 1. Pra, arritëm në një kontradiktë, pasi në fillim thamë se rrënja e ekuacionit x 2 është e ndryshme nga x 1 dhe −x 1. Kjo dëshmon se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç dhe .
Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf. Ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 +c=0 është ekuivalent me ekuacionin që
- nuk ka rrënjë nëse,
- ka dy rrënjë dhe , nëse .
Le të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të formës a·x 2 +c=0.
Le të fillojmë me ekuacionin kuadratik 9 x 2 +7=0. Pas zhvendosjes së termit të lirë në anën e djathtë të ekuacionit, ai do të marrë formën 9 x 2 =−7. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9, arrijmë në . Meqenëse ana e djathtë ka një numër negativ, ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik 9 x 2 +7 = 0 nuk ka rrënjë.
Le të zgjidhim një tjetër ekuacion kuadratik jo të plotë −x 2 +9=0. E zhvendosim nëntën në anën e djathtë: −x 2 =−9. Tani i ndajmë të dyja anët me −1, marrim x 2 =9. Në anën e djathtë ka një numër pozitiv, nga i cili konkludojmë se ose . Pastaj shkruajmë përgjigjen përfundimtare: ekuacioni jo i plotë kuadratik −x 2 +9=0 ka dy rrënjë x=3 ose x=−3.
a x 2 +b x=0
Mbetet të merremi me zgjidhjen e llojit të fundit të ekuacioneve kuadratike jo të plota për c=0. Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 + b x = 0 ju lejon të zgjidhni metoda e faktorizimit. Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton të nxjerrim faktorin e përbashkët x nga kllapat. Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik në një ekuacion ekuivalent të formës x·(a·x+b)=0. Dhe ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh x=0 dhe a·x+b=0, ky i fundit është linear dhe ka një rrënjë x=−b/a.
Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a·x 2 +b·x=0 ka dy rrënjë x=0 dhe x=−b/a.
Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen për një shembull specifik.
Shembull.
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhje.
Duke marrë x nga kllapat jepet ekuacioni . Është ekuivalente me dy ekuacione x=0 dhe . Zgjidhim ekuacionin linear që rezulton: , dhe duke pjesëtuar numrin e përzier me një thyesë të zakonshme, gjejmë . Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë x=0 dhe .
Pas fitimit të praktikës së nevojshme, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla mund të shkruhen shkurtimisht:
Përgjigje:
x=0, .
Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore. Le ta shkruajmë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik: , Ku D=b 2 −4 a c- të ashtuquajturat diskriminues i një ekuacioni kuadratik. Hyrja në thelb do të thotë se.
Është e dobishme të dihet se si është nxjerrë formula e rrënjës dhe si përdoret për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Le ta kuptojmë këtë.
Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Le të bëjmë disa transformime ekuivalente:
- Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me një numër jo zero a, duke rezultuar në ekuacionin kuadratik të mëposhtëm.
- Tani zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë të saj: . Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën.
- Në këtë fazë, është e mundur që dy termat e fundit të transferohen në anën e djathtë me shenjën e kundërt, kemi .
- Dhe le të transformojmë edhe shprehjen në anën e djathtë: .
Si rezultat, arrijmë në një ekuacion që është ekuivalent me ekuacionin kuadratik origjinal a·x 2 +b·x+c=0.
Ne kemi zgjidhur tashmë ekuacione të ngjashme në formë në paragrafët e mëparshëm, kur kemi ekzaminuar. Kjo na lejon të nxjerrim përfundimet e mëposhtme në lidhje me rrënjët e ekuacionit:
- nëse , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje reale;
- nëse , atëherë ekuacioni ka formën , pra, , nga e cila është e dukshme rrënja e vetme e tij;
- nëse , atëherë ose , e cila është e njëjtë me ose , domethënë, ekuacioni ka dy rrënjë.
Pra, prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit, dhe rrjedhimisht ekuacionit kuadratik origjinal, varet nga shenja e shprehjes në anën e djathtë. Nga ana tjetër, shenja e kësaj shprehjeje përcaktohet nga shenja e numëruesit, pasi emëruesi 4·a 2 është gjithmonë pozitiv, domethënë nga shenja e shprehjes b 2 −4·a·c. Kjo shprehje b 2 −4 a c u quajt diskriminues i një ekuacioni kuadratik dhe të përcaktuara me shkronjë D. Nga këtu thelbi i diskriminuesit është i qartë - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata përfundojnë nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i tyre - një ose dy.
Le të kthehemi te ekuacioni dhe ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: . Dhe ne nxjerrim përfundime:
- nëse D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- nëse D=0, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë të vetme;
- së fundi, nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë ose, të cilat mund të rishkruhen në formën ose, dhe pasi t'i zgjerojmë dhe t'i çojmë thyesat në një emërues të përbashkët fitojmë.
Pra kemi nxjerrë formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, ato kanë formën , ku diskriminuesi D llogaritet me formulën D=b 2 −4·a·c.
Me ndihmën e tyre, me një diskriminues pozitiv, mund të llogaritni të dy rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Kur diskriminuesi është zero, të dyja formulat japin të njëjtën vlerë të rrënjës, që korrespondon me një zgjidhje unike të ekuacionit kuadratik. Dhe me një diskriminues negativ, kur përpiqemi të përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, përballemi me nxjerrjen e rrënjës katrore të një numri negativ, gjë që na nxjerr jashtë qëllimit të kurrikulës shkollore. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale, por ka një çift konjuguar kompleks rrënjët, të cilat mund të gjenden duke përdorur të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.
Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë
Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore për të llogaritur vlerat e tyre. Por kjo lidhet më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.
Sidoqoftë, në një kurs shkollor algjebër zakonisht nuk flasim për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, fillimisht të gjeni diskriminuesin, të siguroheni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale). dhe vetëm atëherë llogaritni vlerat e rrënjëve.
Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Për të zgjidhur ekuacionin kuadratik a x 2 +b x+c=0, ju duhet:
- duke përdorur formulën diskriminuese D=b 2 −4·a·c, njehsoni vlerën e saj;
- konkludojmë se një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
- njehsoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën nëse D=0;
- gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është pozitiv.
Këtu thjesht vërejmë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, mund të përdorni edhe formulën ajo do të japë të njëjtën vlerë si .
Mund të kaloni në shembuj të përdorimit të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike
Le të shqyrtojmë zgjidhjet e tre ekuacioneve kuadratike me një diskriminues pozitiv, negativ dhe zero. Duke u marrë me zgjidhjen e tyre, për analogji do të jetë e mundur të zgjidhet çdo ekuacion tjetër kuadratik. Le të fillojmë.
Shembull.
Gjeni rrënjët e ekuacionit x 2 +2·x−6=0.
Zgjidhje.
Në këtë rast kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=1, b=2 dhe c=−6. Sipas algoritmit, së pari duhet të llogarisni diskriminuesin për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë a, b dhe c të treguara në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Meqenëse 28>0, domethënë, diskriminuesi është më i madh se zero, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën rrënjë, ne marrim, këtu mund të thjeshtoni shprehjet që rezultojnë duke bërë duke lëvizur shumëzuesin përtej shenjës së rrënjës e ndjekur nga zvogëlimi i fraksionit:
Përgjigje:
Le të kalojmë në shembullin tjetër tipik.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .
Zgjidhje.
Fillojmë duke gjetur diskriminuesin: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prandaj, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë të vetme, të cilën e gjejmë si , domethënë,
Përgjigje:
x=3.5.
Mbetet të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një diskriminues negativ.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin 5·y 2 +6·y+2=0.
Zgjidhje.
Këtu janë koeficientët e ekuacionit kuadratik: a=5, b=6 dhe c=2. Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminuesi është negativ, prandaj ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale.
Nëse keni nevojë të tregoni rrënjë komplekse, atëherë ne zbatojmë formulën e njohur për rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe kryejmë veprimet me numra kompleks:
Përgjigje:
nuk ka rrënjë të vërteta, rrënjët komplekse janë: .
Le të vërejmë edhe një herë se nëse diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është negativ, atëherë në shkollë ata zakonisht shkruajnë menjëherë një përgjigje në të cilën tregojnë se nuk ka rrënjë të vërteta dhe nuk gjenden rrënjë komplekse.
Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë
Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ku D=b 2 −4·a·c ju lejon të merrni një formulë të një forme më kompakte, duke ju lejuar të zgjidhni ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x (ose thjesht me një koeficienti i formës 2·n, për shembull, ose 14· ln5=2·7·ln5 ). Le ta nxjerrim jashtë.
Le të themi se duhet të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës a x 2 +2 n x+c=0. Le të gjejmë rrënjët e tij duke përdorur formulën që njohim. Për ta bërë këtë, ne llogarisim diskriminuesin D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:
Shprehjen n 2 −a · c ta shënojmë si D 1 (nganjëherë shënohet D ") Pastaj formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 n merr formën 
, ku D 1 =n 2 −a·c.
Është e lehtë të shihet se D=4·D 1, ose D 1 =D/4. Me fjalë të tjera, D 1 është pjesa e katërt e diskriminuesit. Është e qartë se shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D. Kjo do të thotë, shenja D 1 është gjithashtu një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Pra, për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë 2·n, ju duhet
- Njehsoni D 1 =n 2 −a·c ;
- Nëse D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Nëse D 1 =0, atëherë llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën;
- Nëse D 1 >0, atëherë gjeni dy rrënjë reale duke përdorur formulën.
Le të shqyrtojmë zgjidhjen e shembullit duke përdorur formulën rrënjësore të marrë në këtë paragraf.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .
Zgjidhje.
Koeficienti i dytë i këtij ekuacioni mund të paraqitet si 2·(−3) . Kjo do të thotë, ju mund të rishkruani ekuacionin kuadratik origjinal në formën 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, këtu a=5, n=−3 dhe c=−32, dhe të llogarisni pjesën e katërt të diskriminues: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Meqenëse vlera e tij është pozitive, ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën e duhur të rrënjës:
Vini re se ishte e mundur të përdorej formula e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast do të duhej të kryhej më shumë punë llogaritëse.
Përgjigje:
Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike
Ndonjëherë, përpara se të filloni të llogaritni rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formula, nuk është e dëmshme të bëni pyetjen: "A është e mundur të thjeshtohet forma e këtij ekuacioni?" Pajtohu se në aspektin e llogaritjeve do të jetë më e lehtë të zgjidhet ekuacioni kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 sesa 1100 x 2 −400 x−600=0.
Në mënyrë tipike, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik arrihet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët me një numër të caktuar. Për shembull, në paragrafin e mëparshëm ishte e mundur të thjeshtohej ekuacioni 1100 x 2 −400 x −600=0 duke i ndarë të dyja anët me 100.
Një transformim i ngjashëm kryhet me ekuacione kuadratike, koeficientët e të cilave nuk janë . Në këtë rast, të dy anët e ekuacionit zakonisht ndahen me vlerat absolute të koeficientëve të tij. Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. vlerat absolute të koeficientëve të tij: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6, arrijmë në ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 −7 x+8=0.
Dhe shumëzimi i të dy anëve të një ekuacioni kuadratik zakonisht bëhet për të hequr qafe koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzimi kryhet nga emëruesit e koeficientëve të tij. Për shembull, nëse të dyja anët e ekuacionit kuadratik shumëzohen me LCM(6, 3, 1)=6, atëherë ai do të marrë formën më të thjeshtë x 2 +4·x−18=0.
Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se ata pothuajse gjithmonë heqin qafe minusin në koeficientin më të lartë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave, që korrespondon me shumëzimin (ose pjesëtimin) e të dy anëve me -1. Për shembull, zakonisht dikush lëviz nga ekuacioni kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 në zgjidhjen 2 x 2 +3 x−7=0 .
Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik
Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e ekuacionit përmes koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.
Formulat më të njohura dhe më të zbatueshme nga teorema e Vietës janë të formës dhe . Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, nga forma e ekuacionit kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0 mund të themi menjëherë se shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me 7/3, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me 22/3.
Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik përmes koeficientëve të tij: .
Referencat.
- Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Në shikim të parë, mund të duket se procedura për faktorizimin e një rrënjë katrore është komplekse dhe e paarritshme. Por kjo nuk është e vërtetë. Në këtë artikull, ne do t'ju tregojmë se si t'i qaseni rrënjëve dhe faktorëve katrorë dhe t'i zgjidhni rrënjët katrore me lehtësi duke përdorur dy metoda të provuara.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Faktorimi i një rrënjë
Së pari, le të përcaktojmë qëllimin e procedurës së faktorizimit të rrënjës katrore. Synimi- thjeshtoni rrënjën katrore dhe shkruajeni në një formë të përshtatshme për llogaritje.
Përkufizimi 1
Faktorizimi i rrënjës katrore është gjetja e dy ose më shumë numrave që, kur shumëzohen me njëri-tjetrin, do të japin një numër të barabartë me origjinalin. Për shembull: 4x4 = 16.
Nëse mund t'i gjeni faktorët, mund ta thjeshtoni me lehtësi shprehjen e rrënjës katrore ose ta eliminoni atë krejtësisht:
Shembulli 1
Pjesëtoni numrin radikal me 2 nëse është çift.
Numri radikal duhet të ndahet gjithmonë me numrat e thjeshtë, pasi çdo vlerë e numrit të thjeshtë mund të faktorizohet në faktorë të thjeshtë. Nëse keni një numër tek, provoni ta pjesëtoni atë me 3. Nuk pjesëtohet me 3? Vazhdoni të pjesëtoni me 5, 7, 9, etj.
Shkruani shprehjen si rrënjë të prodhimit të dy numrave.
Për shembull, ju mund të thjeshtoni 98 në këtë mënyrë: = 98 ÷ 2 = 49. Nga kjo rrjedh se 2 × 49 = 98, kështu që ne mund ta rishkruajmë problemin si më poshtë: 98 = (2 × 49).
Vazhdoni zbërthimin e numrave derisa prodhimi i dy numrave identikë dhe numrave të tjerë të mbetet nën rrënjë.
Le të marrim shembullin tonë (2 × 49):
Meqenëse 2 tashmë është thjeshtuar maksimalisht, është e nevojshme të thjeshtohet 49. Ne po kërkojmë një numër të thjeshtë që mund të pjesëtohet me 49. Natyrisht, as 3 dhe as 5 nuk janë të përshtatshme. Që lë 7: 49 ÷ 7 = 7, pra 7 × 7 = 49.
Shembullin e shkruajmë në formën e mëposhtme: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .
Thjeshtoni shprehjen e rrënjës katrore.
Meqenëse në kllapa kemi prodhimin e 2 dhe dy numrave identikë (7), mund të nxjerrim numrin 7 nga shenja e rrënjës.
Shembulli 2
(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .
Në momentin kur ka dy numra identikë nën rrënjë, ndaloni faktorizimin e numrave. Sigurisht, nëse i keni shfrytëzuar të gjitha mundësitë në maksimum.
Mos harroni: ka rrënjë që mund të thjeshtohen shumë herë.
Në këtë rast shumëzohen numrat që nxjerrim nga poshtë rrënjës dhe numrat që qëndrojnë para saj.
Shembulli 3
180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45
por 45 mund të faktorizohet dhe rrënja të thjeshtohet përsëri.
180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5
Kur është e pamundur të merren dy numra identikë nën shenjën e rrënjës, kjo do të thotë se një rrënjë e tillë nuk mund të thjeshtohet.
Nëse, pas zbërthimit të shprehjes radikale në një produkt të numrave të thjeshtë, nuk keni mundur të merrni dy numra identikë, atëherë një rrënjë e tillë nuk mund të thjeshtohet.
Shembulli 4
70 = 35 × 2, pra 70 = (35 × 2)
35 = 7 × 5, pra (35 × 2) = (7 × 5 × 2)
Siç mund ta shihni, të tre faktorët janë numra të thjeshtë që nuk mund të faktorizohen. Nuk ka numra identikë midis tyre, kështu që nuk është e mundur të hiqni një numër të plotë nga poshtë rrënjës. Thjeshtoni 70 është e ndaluar.
Sheshi i plotë
Mësoni përmendësh disa katrorë të numrave të thjeshtë.
Katrori i një numri fitohet duke e shumëzuar me vete, d.m.th. kur katrore. Nëse mbani mend dhjetë katrorë të numrave të thjeshtë, kjo do ta thjeshtojë shumë jetën tuaj në thjeshtimin e mëtejshëm të rrënjëve.
Shembulli 5
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
Nëse ka një katror të plotë nën shenjën e rrënjës katrore, atëherë duhet të hiqni shenjën e rrënjës dhe të shkruani rrënjën katrore të këtij katrori të plotë.
E veshtire? Jo:
Shembulli 6
1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10
Përpiquni të zbërtheni numrin nën shenjën e rrënjës në prodhimin e një katrori të përsosur dhe një numri tjetër.
Nëse shihni se shprehja radikale zbërthehet në produktin e një katrori të përsosur dhe një numri, atëherë duke kujtuar disa shembuj, do të kurseni ndjeshëm kohë dhe nerva:
Shembulli 7
50 = (25 × 2) = 5 2. Nëse numri radikal përfundon me 25, 50 ose 75, gjithmonë mund ta faktorizoni atë në prodhimin e 25 dhe një numri.
1700 = (100 × 17) = 10 17. Nëse numri radikal përfundon me 00, gjithmonë mund ta faktorizoni atë në prodhimin e 100 dhe një numri.
72 = (9 × 8) = 3 8. Nëse shuma e shifrave të një numri radikal është 9, ju gjithmonë mund ta faktorizoni atë në prodhimin e 9 dhe një numri.
Përpiquni të zbërtheni numrin radikal në produktin e disa katrorëve të plotë: hiqni ato nga nën shenjën e rrënjës dhe shumëzoni.
Shembulli 8
72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Në klasën e 8-të, nxënësit e shkollës në mësimet e matematikës njihen me konceptin e "radikalit" ose, thjesht, "rrënjës". Pikërisht atëherë ata u ndeshën për herë të parë me problemin e thjeshtimit të radikalëve kompleksë. Radikalet komplekse janë shprehje në të cilat njëra rrënjë është nën një tjetër. Prandaj, ato nganjëherë quhen radikale të mbivendosur. Në këtë artikull, mësuesi i matematikës dhe fizikës flet në detaje rreth si të thjeshtohet një radikal kompleks.
Metodat për thjeshtimin e radikaleve komplekse
Të thjeshtosh një radikal kompleks do të thotë të heqësh qafe rrënjën e jashtme. Është më mirë të filloni studimin e kësaj teme duke thjeshtuar radikalët e dyfishtë. Në fund të fundit, nëse mësojmë të thjeshtojmë radikalët e dyfishtë, atëherë do të jemi në gjendje të thjeshtojmë edhe ato më komplekse.
Si të shpëtojmë nga rrënja e jashtme? Është e qartë se për këtë ju duhet të transformoni shprehjen radikale, duke e paraqitur atë në formën e një katrori të plotë. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim formulën e njohur "Katrori i ndryshimit":
Këtu, siç mund ta shihni, termi negativ ka një faktor në të djathtë. Prandaj, le ta marrim këtë faktor nën rrënjë. Për ta bërë këtë, ne e paraqesim atë si një produkt të:
Pastaj dhe. Mbetet vetëm t'i kushtojmë vëmendje faktit që 
. Tani mund të shohim se nën rrënjë kemi një ndryshim në katror:
Tani le ta kujtojmë atë. Pikërisht moduli. Kjo është shumë e rëndësishme këtu sepse rrënja katrore është një numër pozitiv. Pastaj marrim:
Epo, që nga titulli="Renderuar nga QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}
Kështu arritëm ta thjeshtojmë këtë radikal. Por ka edhe raste më komplekse kur nuk është e mundur menjëherë të merret me mend se si të përfaqësohet një shprehje radikale në formën e një katrori të plotë. Për shembull, në shembullin e mëposhtëm.
Për të mos rrahur trurin tuaj për një kohë të gjatë, mund të përdorni metodën e mëposhtme.
Më lejoni t'ju kujtoj se qëllimi ynë është të paraqesim shprehjen nën rrënjë si një katror i përsosur. Konkretisht në këtë shembull, në formën e një katrori të shumës:
Epo, katrori i shumës zbulohet sipas formulës së njohur, të cilën e kemi shkruar tashmë sot:
Pra, ideja, në fakt, është të marrim pjesën irracionale të shprehjes radikale për, dhe pjesën racionale për. Pastaj marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:
Është e qartë se. Përndryshe, ekuacioni i dytë i sistemit nuk është i kënaqur. Pastaj shprehim koeficientin nga ekuacioni i dytë:
Emëruesi i kësaj thyese nuk është i barabartë me zero, që do të thotë se numëruesi i saj është i barabartë me zero. Marrim një ekuacion bikuadratik, i cili mund të zgjidhet në mënyrë standarde (për më shumë detaje, shihni videon e bashkangjitur). Duke e zgjidhur atë, marrim deri në 4 rrënjë. Ju mund të merrni ndonjë. Më pëlqen më shumë. Pastaj . Pra, më në fund marrim:
Këtu është një mënyrë për të thjeshtuar një radikal kompleks. Ka edhe një. Për ata që duan të mësojnë përmendësh formula komplekse, të cilat unë nuk jam. Por për hir të plotësimit, do t'ju tregoj edhe për të.
Formula e radikaleve komplekse
Kështu duket formula:
Shumë e frikshme, apo jo? Por mos kini frikë, ai mund të përdoret me sukses në disa raste. Le të shohim një shembull:
Ne zëvendësojmë vlerat përkatëse në formulën:
Kjo është përgjigja.
Pra, sot në klasë fola se si të thjeshtojmë një radikal kompleks. Nëse nuk i keni ditur më parë metodat e diskutuara sot, atëherë ka shumë të ngjarë që keni ende shumë për të mësuar në mënyrë që të ndiheni të sigurt në Provimin e Bashkuar të Shtetit ose provimin pranues në matematikë. Por mos u shqetëso, unë mund t'ju mësoj të gjitha këto. Të gjitha informacionet e nevojshme për klasat e mia janë aktive. Ju uroj fat!
Materiali i përgatitur nga Sergey Valerievich
