Si të thjeshtoni një radikal kompleks. Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Në pamje të parë, mund të duket se procedura për faktorizimin e një rrënjë katrore është komplekse dhe e paarritshme. Por kjo nuk është e vërtetë. Në këtë artikull, ne do t'ju tregojmë se si t'i qaseni rrënjëve dhe faktorëve katrorë dhe t'i zgjidhni rrënjët katrore me lehtësi duke përdorur dy metoda të provuara.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Faktorimi i një rrënjë

Së pari, le të përcaktojmë qëllimin e procedurës së faktorizimit të rrënjës katrore. Synimi- thjeshtoni rrënjën katrore dhe shkruajeni në një formë të përshtatshme për llogaritje.

Përkufizimi 1

Faktorizimi i rrënjës katrore është gjetja e dy ose më shumë numrave që, kur shumëzohen me njëri-tjetrin, do të japin një numër të barabartë me origjinalin. Për shembull: 4x4 = 16.

Nëse mund t'i gjeni faktorët, mund ta thjeshtoni me lehtësi shprehjen e rrënjës katrore ose ta eliminoni atë krejtësisht:

Shembulli 1

Pjesëtoni numrin radikal me 2 nëse është çift.

Numri radikal duhet të ndahet gjithmonë me numrat e thjeshtë, pasi çdo vlerë e numrit të thjeshtë mund të faktorizohet në faktorë të thjeshtë. Nëse keni një numër tek, provoni ta pjesëtoni me 3. Nuk pjesëtohet me 3? Vazhdoni të pjesëtoni me 5, 7, 9, etj.

Shkruani shprehjen si rrënjë të prodhimit të dy numrave.

Për shembull, ju mund të thjeshtoni 98 në këtë mënyrë: = 98 ÷ 2 = 49. Nga kjo rrjedh se 2 × 49 = 98, kështu që ne mund ta rishkruajmë problemin si më poshtë: 98 = (2 × 49).

Vazhdoni zbërthimin e numrave derisa prodhimi i dy numrave identikë dhe numrave të tjerë të mbetet nën rrënjë.

Le të marrim shembullin tonë (2 × 49):

Meqenëse 2 tashmë është thjeshtuar maksimalisht, është e nevojshme të thjeshtohet 49. Ne po kërkojmë një numër të thjeshtë që mund të pjesëtohet me 49. Natyrisht, as 3 dhe as 5 nuk janë të përshtatshme. Që lë 7: 49 ÷ 7 = 7, pra 7 × 7 = 49.

Shembullin e shkruajmë në formën e mëposhtme: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Thjeshtoni shprehjen e rrënjës katrore.

Meqenëse në kllapa kemi prodhimin e 2 dhe dy numrave identikë (7), mund të nxjerrim numrin 7 nga shenja e rrënjës.

Shembulli 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Në momentin kur ka dy numra identikë nën rrënjë, ndaloni faktorizimin e numrave. Sigurisht, nëse i keni shfrytëzuar të gjitha mundësitë në maksimum.

Mos harroni: ka rrënjë që mund të thjeshtohen shumë herë.

Në këtë rast shumëzohen numrat që nxjerrim nga poshtë rrënjës dhe numrat që qëndrojnë para saj.

Shembulli 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

por 45 mund të faktorizohet dhe rrënja të thjeshtohet përsëri.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Kur është e pamundur të merren dy numra identikë nën shenjën e rrënjës, kjo do të thotë se një rrënjë e tillë nuk mund të thjeshtohet.

Nëse, pas zbërthimit të shprehjes radikale në një produkt të numrave të thjeshtë, nuk keni mundur të merrni dy numra identikë, atëherë një rrënjë e tillë nuk mund të thjeshtohet.

Shembulli 4

70 = 35 × 2, pra 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, pra (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Siç mund ta shihni, të tre faktorët janë numra të thjeshtë që nuk mund të faktorizohen. Nuk ka numra identikë midis tyre, kështu që nuk është e mundur të hiqni një numër të plotë nga poshtë rrënjës. Thjeshtoni 70 është e ndaluar.

Sheshi i plotë

Mësoni përmendësh disa katrorë të numrave të thjeshtë.

Katrori i një numri fitohet duke e shumëzuar me vete, d.m.th. kur katrore. Nëse mbani mend dhjetë katrorë të numrave të thjeshtë, kjo do ta thjeshtojë shumë jetën tuaj në thjeshtimin e mëtejshëm të rrënjëve.

Shembulli 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Nëse ka një katror të plotë nën shenjën e rrënjës së rrënjës katrore, atëherë ia vlen të hiqni shenjën e rrënjës dhe të shkruani rrënjën katrore të këtij katrori të plotë.

E veshtire? Jo:

Shembulli 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Përpiquni të zbërtheni numrin nën shenjën e rrënjës në prodhimin e një katrori të përsosur dhe një numri tjetër.

Nëse shihni se shprehja radikale zbërthehet në produktin e një katrori të përsosur dhe një numri, atëherë duke kujtuar disa shembuj, do të kurseni ndjeshëm kohë dhe nerva:

Shembulli 7

50 = (25 × 2) = 5 2. Nëse numri radikal përfundon me 25, 50 ose 75, gjithmonë mund ta faktorizoni atë në prodhimin e 25 dhe një numri.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Nëse numri radikal përfundon me 00, gjithmonë mund ta faktorizoni atë në prodhimin e 100 dhe një numri.

72 = (9 × 8) = 3 8. Nëse shuma e shifrave të një numri radikal është 9, ju gjithmonë mund ta faktorizoni atë në prodhimin e 9 dhe një numri.

Përpiquni të zbërtheni numrin radikal në produktin e disa katrorëve të plotë: hiqni ato nga nën shenjën e rrënjës dhe shumëzoni.

Shembulli 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Formulat rrënjësore. Vetitë e rrënjëve katrore.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Në mësimin e mëparshëm kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Është koha për të kuptuar se cilat ekzistojnë formula për rrënjëtçfarë janë vetitë e rrënjëve, dhe çfarë mund të bëhet me gjithë këtë.

Formulat e rrënjëve, vetitë e rrënjëve dhe rregullat për të punuar me rrënjët- kjo është në thelb e njëjta gjë. Ka çuditërisht pak formula për rrënjët katrore. Që sigurisht më bën të lumtur! Ose më mirë, mund të shkruani shumë formula të ndryshme, por për punë praktike dhe të sigurt me rrënjët, mjaftojnë vetëm tre. Gjithçka tjetër rrjedh nga këto të treja. Edhe pse shumë njerëz ngatërrohen në tre formulat rrënjësore, po...

Le të fillojmë me më të thjeshtën. Këtu është:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Një shprehje radikale është një shprehje algjebrike që është nën shenjën e një rrënjë (katrore, kubike ose rendit më të lartë). Ndonjëherë kuptimet e shprehjeve të ndryshme mund të jenë të njëjta, për shembull, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Thjeshtimi i shprehjes radikale synon ta sjellë atë në një formë kanonike të shënimit. Nëse dy shprehje që janë shkruar në formë kanonike janë ende të ndryshme, vlerat e tyre nuk janë të barabarta. Në matematikë, besohet se forma kanonike e shkrimit të shprehjeve radikale (si dhe shprehjeve me rrënjë) korrespondon me rregullat e mëposhtme:

• Nëse është e mundur, hiqni qafe fraksionin nën shenjën e rrënjës
• Hiqni qafe shprehjet me eksponentë thyesorë
• Nëse është e mundur, hiqni rrënjët në emërues
• Hiqni dorë nga operacioni i shumëzimit rrënjë-për-rrënjë
• Nën shenjën e rrënjës, duhet të lini vetëm ato terma nga të cilët është e pamundur të nxirret një rrënjë numër i plotë

Këto rregulla mund të zbatohen për detyrat e testimit. Për shembull, nëse keni zgjidhur një problem, por rezultati nuk përputhet me asnjë nga përgjigjet e dhëna, shkruani rezultatin në formë kanonike. Mbani në mend se përgjigjet për detyrat e testit jepen në formë kanonike, kështu që nëse e shkruani rezultatin në të njëjtën formë, mund të përcaktoni lehtësisht përgjigjen e saktë. Nëse një problem kërkon "thjeshtimin e përgjigjes" ose "thjeshtimin e shprehjeve radikale", është e nevojshme të shkruhet rezultati në formë kanonike. Për më tepër, forma kanonike e bën më të lehtë zgjidhjen e ekuacioneve, megjithëse disa ekuacione janë më të lehta për t'u zgjidhur nëse harroni për një kohë shënimin kanonik.

Hapat

Largimi i katrorëve dhe kubeve të plota

Heqja e një shprehjeje me një eksponent thyesor

Shndërroni shprehjen me një eksponent thyesor në një shprehje radikale. Ose, nëse është e nevojshme, shndërroni shprehjen radikale në një shprehje thyesore, por kurrë mos i përzieni shprehjet e tilla në të njëjtin ekuacion, për shembull, si kjo: √5 + 5^(3/2). Le të themi se keni vendosur të punoni me rrënjët; Rrënja katrore e n-së do ta shënojmë si √n dhe rrënjën kubike të n-së si kub√n.

Heqja e fraksioneve nën shenjën e rrënjës

Sipas formës kanonike të shënimit, rrënja e një thyese duhet të përfaqësohet si një ndarje e rrënjëve të numrave të plotë.

Shikoni shprehjen radikale. Nëse është një thyesë, shkoni në hapin tjetër.

Zëvendësoni rrënjën e thyesës me raportin e dy rrënjëve sipas identitetit të mëposhtëm:√(a/b) = √a/√b.

• Mos e përdorni këtë identitet nëse emëruesi është negativ ose përfshin një ndryshore që mund të jetë negative. Në këtë rast, së pari thjeshtoni thyesën.

1. Thjeshtoni katrorët e përsosur (nëse i keni). Për shembull, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Eliminimi i funksionimit të shumëzimit të rrënjëve

Largimi i faktorëve që janë katrorë të përsosur

Faktoroni numrin radikal. Faktorët janë disa numra që, kur shumëzohen, prodhojnë numrin origjinal. Për shembull, 5 dhe 4 janë dy faktorë të numrit 20. Nëse një rrënjë numër i plotë nuk mund të nxirret nga një numër radikal, faktorizoni numrin në faktorët e tij të mundshëm dhe gjeni një katror të përsosur midis tyre.

• Për shembull, shkruani të gjithë faktorët e 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 është një faktor 45 (9 x 5 = 45) dhe një katror i përsosur (9 = 3^2).

1. Merrni shumëzuesin, i cili është një katror i përsosur, përtej shenjës së rrënjës. 9 është një katror i përsosur sepse 3 x 3 = 9. Hiqni qafe 9-në nën shenjën e rrënjës dhe shkruani një 3 përpara shenjës së rrënjës; nën shenjën e rrënjës do të ketë 5. Nëse vendosni numrin 3 nën shenjën e rrënjës, ai do të shumëzohet me veten dhe me numrin 5, domethënë 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Kështu, 3 √ 5 është një formë e thjeshtuar e shënimit √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Gjeni katrorin e përsosur në shprehjen radikale me ndryshoren. Mbani mend: √(a^2) = |a|. Një shprehje e tillë mund të thjeshtohet në "a", por vetëm nëse ndryshorja merr vlera pozitive. √(a^3) mund të zbërthehet në √a * √(a^2), sepse kur ndryshohen identike shumëzohen, eksponentët e tyre mblidhen (a * a^2 = a^3).

   • Kështu, në shprehjen a^3, katrori i përsosur është a^2.

3. Hiq variablin që është një katror i përsosur jashtë shenjës së rrënjës. Hiqni qafe a^2 nën shenjën e rrënjës dhe shkruani një "a" përpara shenjës së rrënjës. Kështu, √(a^3) = a√a.

   Jepni terma të ngjashëm dhe thjeshtoni çdo shprehje racionale.

Heqja e rrënjëve në emërues (racionalizimi i emëruesit)

1. Sipas formës kanonike, emëruesi duhet, nëse është e mundur, të përfshijë vetëm numra të plotë (ose një polinom nëse një ndryshore është e pranishme).

   • Nëse emëruesi është një monom radikal, si p.sh. )/5.
     • Për një rrënjë kubike ose rrënjë më të madhe, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me rrënjën me radikalin në fuqinë e duhur për të racionalizuar emëruesin. Nëse, për shembull, emëruesi është kubi i √5, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me kubin e √(5^2).
   • Nëse emëruesi është një shumë ose diferencë e rrënjëve katrore, si p.sh. √2 + √6, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me konjugatin, domethënë shprehjen me shenjën e kundërt midis termave të saj. Për shembull: [numëruesi]/(√2 + √6) = ([numëruesi] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Më pas përdorni formulën e diferencës së katrorëve ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) për të racionalizuar emëruesin: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Formula e ndryshimit të katrorëve mund të zbatohet gjithashtu për një shprehje të formës 5 + √3 sepse çdo numër i plotë është rrënja katrore e një numri tjetër të plotë. Për shembull: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Kjo metodë mund të zbatohet për shumën e rrënjëve katrore si p.sh. √5 - √6 + √7. Nëse e gruponi këtë shprehje në formën (√5 - √6) + √7 dhe e shumëzoni me (√5 - √6) - √7, nuk do të shpëtoni nga rrënjët, por do të merrni një shprehje të formës. a + b * √30, ku "a" dhe "b" janë monomë pa rrënjë. Pastaj shprehja që rezulton mund të shumëzohet me konjugatin e saj: (a + b * √30)(a - b * √30) për të hequr qafe rrënjët. Kjo do të thotë, nëse një shprehje e konjuguar mund të përdoret një herë për të hequr qafe një numër të caktuar rrënjësh, atëherë mund të përdoret aq herë sa është e nevojshme për të hequr qafe të gjitha rrënjët.
     • Kjo metodë vlen edhe për rrënjët e shkallëve më të larta, siç është shprehja "rrënja e 4-të e 3 plus rrënja e 7-të e 9-tës". Në këtë rast, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me shprehjen e konjuguar të emëruesit. Por këtu shprehja e konjuguar do të jetë paksa e ndryshme në krahasim me ato të përshkruara më sipër. Ju mund të lexoni për këtë rast në tekstet shkollore të algjebrës.
2. Metodat e përshkruara nuk mund të zbatohen për disa probleme të thjeshta. Për disa probleme komplekse, këto metoda duhet të aplikohen më shumë se një herë. Thjeshtoni shprehjet që rezultojnë hap pas hapi dhe më pas kontrolloni nëse përgjigja përfundimtare është shkruar në formë kanonike, kriteret për të cilat janë dhënë në fillim të këtij artikulli. Nëse përgjigja paraqitet në formë kanonike, problemi zgjidhet; përndryshe, përdorni përsëri një nga metodat e përshkruara.
3. Si rregull, forma kanonike e shënimit vlen edhe për numrat kompleksë (i = √(-1)). Edhe nëse një numër kompleks shkruhet si i në vend të rrënjës, është më mirë të heqësh qafe i-në në emërues.
4. Disa nga metodat e përshkruara këtu përfshijnë punën me rrënjë katrore. Parimet e përgjithshme janë të njëjta për rrënjët kubike ose rrënjët më të larta, por disa metoda (në veçanti, metoda e racionalizimit të emëruesit) mund të jenë mjaft të vështira për t'u zbatuar për to. Për më tepër, pyesni mësuesin tuaj për shënimin e saktë të rrënjëve (kubi√4 ose kubi√(2^2)).
5. Në disa pjesë të këtij neni koncepti i "formës kanonike" është përdorur gabimisht; ajo për të cilën në të vërtetë duhet të flasim është një "formë standarde" e shënimit. Dallimi është se forma kanonike kërkon të shkruhet ose 1 + √2 ose √2 +1; forma standarde nënkupton që të dyja shprehjet (1 + √2 dhe √2 +1) janë padyshim të barabarta, edhe nëse shkruhen ndryshe. Këtu, "me siguri" do të thotë aritmetike (shtimi është komutativ) dhe jo vetitë algjebrike (√2 ​​është një rrënjë jo negative e x^2-2).
6. Nëse metodat e përshkruara duken të paqarta ose kundërshtojnë njëra-tjetrën, kryeni veprime matematikore të qëndrueshme dhe të paqarta dhe shkruani përgjigjen siç kërkohet nga mësuesi ose siç përshkruhet në tekstin shkollor.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Qëllimi i thjeshtimit të rrënjës katrore është ta rishkruajmë atë në një formë që është më e lehtë për t'u përdorur në llogaritje.

Faktorizimi i një numri është gjetja e dy ose më shumë numrave që, kur shumëzohen, do të japin numrin origjinal, për shembull, 3 x 3 = 9. Duke gjetur faktorët, mund të thjeshtoni rrënjën katrore ose ta hiqni qafe atë fare. Për shembull, √9 = √(3x3) = 3. Nëse numri radikal është çift, pjesëtojeni me 2.

Nëse numri radikal është tek, provo ta pjestosh me 3 (nëse numri nuk është i pjesëtueshëm me 3, pjesëtoje me 5, 7 e kështu me radhë përmes listës së numrave të thjeshtë). Ndani numrin radikal ekskluzivisht në numra të thjeshtë, pasi çdo numër mund të faktorizohet në faktorë të thjeshtë. Për shembull, nuk keni nevojë ta ndani radikalin me 4 sepse 4 është i pjesëtueshëm me 2 dhe ju tashmë e keni ndarë radikalin me 2. Rishkruajeni problemin si rrënjë të prodhimit të dy numrave.