Shkalla e rrënjës n nga një numër real a, Ku n- numër natyror, quhet një numër i tillë real x, n shkalla e së cilës është e barabartë me a.

Shkalla e rrënjës n nga mesi a tregohet me simbolin. Sipas këtij përkufizimi.

Gjetja e rrënjës n-shkalla e nga mesi a i quajtur nxjerrja e rrënjës. Numri A quhet numër radikal (shprehje), n- tregues rrënjë. Për të çuditshme n ka një rrënjë n-fuqia për çdo numër real a. Kur edhe n ka një rrënjë n-fuqia vetëm për numrat jonegativë a. Për të zbardhur rrënjën n-shkalla e nga mesi a, prezantohet koncepti i rrënjës aritmetike n-shkalla e nga mesi a.

Koncepti i një rrënjë aritmetike të shkallës N

Nëse dhe n- numri natyror, më i madh 1 , atëherë ka dhe vetëm një numër jo negativ X, në mënyrë që barazia të plotësohet. Ky numër X quhet rrënjë aritmetike n fuqia e një numri jo negativ A dhe është caktuar . Numri A quhet një numër radikal, n- tregues rrënjë.

Pra, sipas përkufizimit, shënimi , ku , do të thotë, së pari, atë dhe, së dyti, se, d.m.th. .

Koncepti i një shkalle me një eksponent racional

Shkalla me eksponent natyror: le Aështë një numër real, dhe n- një numër natyror më i madh se një, n-fuqia e numrit A thirrni punën n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A, d.m.th. . Numri A- bazën e diplomës, n- eksponent. Një fuqi me një eksponent zero: sipas përkufizimit, nëse , atëherë . Fuqia zero e një numri 0 nuk ka kuptim. Një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë: supozohet nga përkufizimi nëse dhe nështë një numër natyror, atëherë . Një shkallë me një eksponent thyesor: supozohet me përkufizim nëse dhe n- numri natyror, mështë një numër i plotë, atëherë .

Operacionet me rrënjë.

Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli nënkupton një rrënjë aritmetike (shprehja radikale është pozitive).

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e rrënjëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse e rritni shkallën e rrënjës n herë dhe në të njëjtën kohë e rritni numrin radikal në fuqinë e n-të, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës me n herë dhe njëkohësisht nxirrni rrënjën e n-të të numrit radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri tani kemi marrë në konsideratë shkallët vetëm me eksponentë natyrorë; por veprimet me fuqi dhe rrënjë mund të çojnë gjithashtu në eksponentë negativë, zero dhe thyesorë. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë përkufizim shtesë.

Shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent negativ (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit negativ:

Tani formula a m: a n = a m - n mund të përdoret jo vetëm për m më të madhe se n, por edhe për m më të vogël se n.

SHEMBULL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Nëse duam që formula a m: a n = a m - n të jetë e vlefshme për m = n, na duhet një përkufizim i shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.

SHEMBUJ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real a në fuqinë m / n, duhet të nxirrni rrënjën e n-të të fuqisë mth të këtij numri a:

Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.

Rasti 1.

Aty ku a ≠ 0 nuk ekziston.

Në fakt, nëse supozojmë se x është një numër i caktuar, atëherë në përputhje me përkufizimin e veprimit të pjesëtimit kemi: a = 0 x, d.m.th. a = 0, që bie ndesh me kushtin: a ≠ 0

Rasti 2.

Çdo numër.

Në fakt, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër të caktuar x, atëherë sipas përkufizimit të veprimit të pjesëtimit kemi: 0 = 0 x. Por kjo barazi vlen për çdo numër x, që është ajo që duhej vërtetuar.

Vërtet,

Zgjidhja le të shqyrtojmë tre raste kryesore:

1) x = 0 - kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion

2) për x > 0 marrim: x / x = 1, d.m.th. 1 = 1, që do të thotë se x është çdo numër; por duke marrë parasysh se në rastin tonë x > 0, përgjigja është x > 0;

3) në x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

në këtë rast nuk ka zgjidhje. Kështu x > 0.

Një rrënjë aritmetike e fuqisë së n-të të një numri jonegativ është një numër jonegativ, fuqia n e të cilit është e barabartë me:

Fuqia e rrënjës është një numër natyror më i madh se 1.

3.

4.

Raste të veçanta:

1. Nëse eksponenti i rrënjës është një numër i plotë tek(), atëherë shprehja radikale mund të jetë negative.

Në rastin e një eksponenti tek, ekuacioni për çdo vlerë reale dhe numër të plotë GJITHMONË ka një rrënjë të vetme:

Për një rrënjë të shkallës teke vlen identiteti i mëposhtëm:

,

2. Nëse eksponenti i rrënjës është numër i plotë çift (), atëherë shprehja radikale nuk mund të jetë negative.

Në rastin e një eksponenti çift, barazimi. ka

në rrënjë e vetme

dhe, nëse dhe

Për një rrënjë të shkallës çift vlen identiteti i mëposhtëm:

Për një rrënjë të shkallës çift, barazitë e mëposhtme janë të vlefshme::

Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij.

Funksioni i fuqisë dhe vetitë e tij.

Funksioni i fuqisë me eksponent natyror. Funksioni y = x n, ku n është një numër natyror, quhet funksion fuqie me një eksponent natyror. Për n = 1 marrim funksionin y = x, vetitë e tij:

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë. Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion i përcaktuar me formulën y = kx n, ku numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit.

Le të rendisim vetitë e funksionit y = kx.

Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë.

y = kx - funksion tek (f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Për k > 0 funksioni rritet, dhe për k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Grafiku (vija e drejtë) është paraqitur në figurën II.1.

Oriz. II.1.

Kur n=2 marrim funksionin y = x 2, vetitë e tij:

Funksioni y -x 2. Le të rendisim vetitë e funksionit y = x 2.

y = x 2 - funksion çift (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funksioni zvogëlohet gjatë intervalit.

Në fakt, nëse , atëherë - x 1 > - x 2 > 0, dhe për këtë arsye

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, d.m.th., dhe kjo do të thotë se funksioni është në rënie.

Grafiku i funksionit y=x2 është një parabolë. Ky grafik është paraqitur në figurën II.2.

Oriz. II.2.

Kur n = 3 marrim funksionin y = x 3, vetitë e tij:

Fusha e përkufizimit të një funksioni është e gjithë vija numerike.

y = x 3 - funksion tek (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funksioni y = x 3 rritet përgjatë gjithë vijës numerike. Grafiku i funksionit y = x 3 është paraqitur në figurë. Ajo quhet parabolë kubike.

Grafiku (parabola kubike) është paraqitur në figurën II.3.

Oriz. II.3.

Le të jetë n një numër natyror arbitrar çift më i madh se dy:

n = 4, 6, 8,... . Në këtë rast, funksioni y = x n ka të njëjtat veti si funksioni y = x 2. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole y = x 2, vetëm degët e grafikut në |n| >1 sa më pjerrët të shkojnë lart, aq më i madh është n dhe sa më i “shtypur” në boshtin x, aq më i madh është n.

Le të jetë n një numër tek arbitrar më i madh se tre: n = = 5, 7, 9, ... . Në këtë rast, funksioni y = x n ka të njëjtat veti si funksioni y = x 3. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole kubike (vetëm degët e grafikut shkojnë lart e poshtë sa më pjerrët, aq më i madh është n. Vini re gjithashtu se në intervalin (0; 1) lëviz grafiku i funksionit të fuqisë y = x n larg nga boshti x më ngadalë kur x rritet, aq më shumë se n.

Funksioni i fuqisë me eksponent negativ të numrit të plotë. Konsideroni funksionin y = x - n, ku n është një numër natyror. Kur n = 1 marrim y = x - n ose y = Vetitë e këtij funksioni:

Grafiku (hiperbola) është paraqitur në figurën II.4.

Niveli i hyrjes

Rrënja dhe vetitë e saj. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Le të përpiqemi të kuptojmë se çfarë është ky koncept i "rrënjës" dhe "me çfarë hahet". Për ta bërë këtë, le të shohim shembuj që i keni hasur tashmë në klasë (epo, ose thjesht do ta hasni këtë).

Për shembull, ne kemi një ekuacion. Cila është zgjidhja e këtij ekuacioni? Cilët numra mund të vendosen në katror dhe të fitohen? Duke kujtuar tabelën e shumëzimit, lehtë mund të jepni përgjigjen: dhe (në fund të fundit, kur shumëzohen dy numra negativë, fitohet një numër pozitiv)! Për ta thjeshtuar, matematikanët prezantuan një koncept të veçantë të rrënjës katrore dhe i caktuan asaj një simbol të veçantë.

Le të përcaktojmë rrënjën katrore aritmetike.

Pse numri duhet të jetë jo negativ? Për shembull, me çfarë është e barabartë? Epo, mirë, le të përpiqemi të zgjedhim një. Ndoshta tre? Le të kontrollojmë: , jo. Ndoshta,? Përsëri, ne kontrollojmë: . Epo, nuk përshtatet? Kjo është për t'u pritur - sepse nuk ka numra që, kur janë në katror, ​​japin një numër negativ!
Kjo është ajo që duhet të mbani mend: numri ose shprehja nën shenjën e rrënjës duhet të jetë jo negative!

Sidoqoftë, më të vëmendshmit me siguri tashmë e kanë vënë re se përkufizimi thotë se zgjidhja e rrënjës katrore të "një numri quhet kjo jo negative numër katrori i të cilit është i barabartë me ". Disa prej jush do të thonë që në fillim kemi analizuar shembullin, kemi zgjedhur numra që mund të vihen në katror dhe të merren, përgjigja ishte dhe, por këtu po flasim për një lloj "numri jo negativ"! Kjo vërejtje është mjaft e përshtatshme. Këtu ju vetëm duhet të bëni dallimin midis koncepteve të ekuacioneve kuadratike dhe rrënjës katrore aritmetike të një numri. Për shembull, nuk është ekuivalente me shprehjen.

Nga kjo rrjedh se, pra, ose. (Lexoni temën "")

Dhe kjo rrjedh.

Sigurisht, kjo është shumë konfuze, por duhet mbajtur mend se shenjat janë rezultat i zgjidhjes së ekuacionit, pasi kur zgjidhim ekuacionin duhet të shkruajmë të gjitha X-të, të cilat, kur zëvendësohen në ekuacionin origjinal, do të japin rezultat i saktë. Të dyja dhe përshtaten në ekuacionin tonë kuadratik.

Megjithatë, nëse thjesht merrni rrënjën katrore nga diçka, atëherë gjithmonë marrim një rezultat jo negativ.

Tani përpiquni të zgjidhni këtë ekuacion. Gjithçka nuk është më aq e thjeshtë dhe e qetë, apo jo? Provoni të kaloni nëpër numra, ndoshta diçka do të funksionojë? Le të fillojmë nga fillimi - nga e para: - nuk përshtatet, vazhdo - më pak se tre, gjithashtu fshij mënjanë, po sikur. Le të kontrollojmë: - gjithashtu jo i përshtatshëm, sepse ... kjo është më shumë se tre. Është e njëjta histori me numrat negativë. Pra, çfarë duhet të bëjmë tani? Vërtet kërkimi nuk na dha asgjë? Aspak, tani e dimë me siguri se përgjigja do të jetë një numër midis dhe, si dhe midis dhe. Gjithashtu, padyshim që zgjidhjet nuk do të jenë numra të plotë. Për më tepër, ato nuk janë racionale. Pra, çfarë më pas? Le të bëjmë grafikun e funksionit dhe të shënojmë zgjidhjet në të.

Le të përpiqemi të mashtrojmë sistemin dhe të marrim përgjigjen duke përdorur një kalkulator! Le të nxjerrim rrënjën prej saj! Oh-oh-oh, rezulton se. Ky numër nuk mbaron kurrë. Si mund ta mbani mend këtë, pasi nuk do të ketë një kalkulator në provim!? Gjithçka është shumë e thjeshtë, nuk keni nevojë ta mbani mend, thjesht duhet të mbani mend (ose të jeni në gjendje të vlerësoni shpejt) vlerën e përafërt. dhe vetë përgjigjet. Numrat e tillë quhen irracionalë, u prezantua koncepti i rrënjës katrore për të thjeshtuar shkrimin e numrave.

Le të shohim një shembull tjetër për ta përforcuar këtë. Le të shohim problemin e mëposhtëm: ju duhet të kaloni një fushë katrore me një anë prej km diagonalisht, sa km duhet të kaloni?

Gjëja më e dukshme këtu është të shqyrtojmë trekëndëshin veçmas dhe të përdorim teoremën e Pitagorës: . Kështu,. Pra, cila është distanca e kërkuar këtu? Natyrisht, distanca nuk mund të jetë negative, ne e kuptojmë atë. Rrënja e dy është afërsisht e barabartë, por, siç kemi theksuar më herët, - tashmë është një përgjigje e plotë.

Për të zgjidhur shembuj me rrënjë pa shkaktuar probleme, duhet t'i shihni dhe t'i njihni ato. Për ta bërë këtë, duhet të dini të paktën katrorët e numrave nga deri, dhe gjithashtu të jeni në gjendje t'i njihni ato. Për shembull, duhet të dini se çfarë është e barabartë me një katror, ​​dhe gjithashtu, anasjelltas, çfarë është e barabartë me një katror.

A e kuptove se çfarë është një rrënjë katrore? Më pas zgjidhni disa shembuj.

Shembuj.

Epo, si funksionoi? Tani le të shohim këta shembuj:

Përgjigjet:

Rrënja e kubit

Epo, ne duket se e kemi zgjidhur konceptin e një rrënjë katrore, tani le të përpiqemi të kuptojmë se çfarë është një rrënjë kubike dhe cili është ndryshimi i tyre.

Rrënja kubike e një numri është numri i të cilit kubi është i barabartë me. A keni vënë re se gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu? Nuk ka kufizime për vlerat e mundshme si të vlerës nën shenjën e rrënjës së kubit, ashtu edhe në numrin që nxirret. Domethënë, rrënja e kubit mund të nxirret nga çdo numër: .

A e kuptoni se çfarë është një rrënjë kubike dhe si ta nxjerrni atë? Pastaj vazhdoni dhe zgjidhni shembujt.

Shembuj.

Përgjigjet:

Rrënja - oh shkallë

Epo, ne kemi kuptuar konceptet e rrënjëve katrore dhe kubike. Tani le të përmbledhim njohuritë e marra me konceptin Rrënja e parë.

Rrënja e parë i një numri është një numër, fuqia e të cilit është e barabartë, d.m.th.

ekuivalente.

Nëse - madje, Se:

• me negative, shprehja nuk ka kuptim (rrënjët çift të numrave negativë nuk mund të hiqet!);
• për jo negative() shprehja ka një rrënjë jo negative.

Nëse - është tek, atëherë shprehja ka një rrënjë unike për cilindo.

Mos u shqetësoni, të njëjtat parime zbatohen këtu si me rrënjët katrore dhe kubike. Kjo do të thotë, parimet që kemi zbatuar kur kemi marrë parasysh rrënjët katrore shtrihen në të gjitha rrënjët në shkallë të barabartë.

Dhe vetitë që janë përdorur për rrënjën kubike vlejnë për rrënjët e shkallës tek.

Epo, a është bërë më e qartë? Le të shohim shembuj:

Këtu gjithçka është pak a shumë e qartë: së pari ne shikojmë - po, shkalla është çift, numri nën rrënjë është pozitiv, që do të thotë se detyra jonë është të gjejmë një numër fuqia e katërt e të cilit do të na japë. Epo, ndonjë supozim? Ndoshta,? Pikërisht!

Pra, shkalla është e barabartë - tek, numri nën rrënjë është negativ. Detyra jonë është të gjejmë një numër që, kur ngrihet në një fuqi, prodhon. Është mjaft e vështirë të vëresh menjëherë rrënjën. Megjithatë, ju mund të kufizoni menjëherë kërkimin tuaj, apo jo? Së pari, numri i kërkuar është padyshim negativ, dhe së dyti, mund të vërehet se është tek, dhe për këtë arsye numri i dëshiruar është tek. Mundohuni të gjeni rrënjën. Sigurisht, mund ta refuzoni me siguri. Ndoshta,?

Po, kjo është ajo që ne po kërkonim! Vini re se për të thjeshtuar llogaritjen kemi përdorur vetitë e shkallëve: .

Karakteristikat themelore të rrënjëve

Është e qartë? Nëse jo, atëherë pasi të shikoni shembujt, gjithçka duhet të bjerë në vend.

Rrënjët e shumëzuara

Si të shumëzoni rrënjët? Vetia më e thjeshtë dhe më themelore ndihmon për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

A nuk janë nxjerrë saktësisht rrënjët e numrave që rezultojnë? Nuk ka problem - këtu janë disa shembuj:

Po sikur të mos ketë dy, por më shumë shumëzues? e njëjta gjë! Formula për shumëzimin e rrënjëve funksionon me çdo numër faktorësh:

Çfarë mund të bëjmë me të? Epo, sigurisht, fshihni tre nën rrënjë, duke kujtuar se tre është rrënja katrore e!

Pse na duhet kjo? Po, vetëm për të zgjeruar aftësitë tona kur zgjidhim shembuj:

Si ju pëlqen kjo veti e rrënjëve? A e bën jetën shumë më të lehtë? Për mua, kjo është saktësisht e drejtë! Thjesht duhet ta mbani mend këtë Ne mund të fusim vetëm numra pozitivë nën shenjën rrënjësore të një shkalle çift.

Le të shohim se ku tjetër kjo mund të jetë e dobishme. Për shembull, problemi kërkon krahasimin e dy numrave:

Çfarë ka më shumë:

Nuk mund ta thuash menjëherë. Epo, le të përdorim vetinë e çmontuar të futjes së një numri nën shenjën rrënjësore? Pastaj vazhdo:

Epo, duke ditur që sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja! Ato. nëse, atëherë, . Nga kjo ne konkludojmë me vendosmëri se. Dhe askush nuk do të na bindë të kundërtën!

Para kësaj, ne futëm një shumëzues nën shenjën e rrënjës, por si ta hiqni atë? Ju vetëm duhet ta faktorizoni atë në faktorë dhe të nxirrni atë që nxirrni!

Ishte e mundur të merrej një rrugë tjetër dhe të zgjerohej në faktorë të tjerë:

Jo keq, apo jo? Secila nga këto qasje është e saktë, vendosni sipas dëshirës.

Për shembull, këtu është një shprehje:

Në këtë shembull, shkalla është çift, por çfarë nëse është tek? Përsëri, zbatoni vetitë e fuqive dhe faktorizoni gjithçka:

Gjithçka duket e qartë me këtë, por si të nxjerrim rrënjën e një numri në një fuqi? Këtu, për shembull, është kjo:

Shumë e thjeshtë, apo jo? Po sikur diploma të jetë më shumë se dy? Ne ndjekim të njëjtën logjikë duke përdorur vetitë e shkallëve:

Epo, a është gjithçka e qartë? Pastaj këtu është një shembull:

Këto janë grackat, rreth tyre gjithmonë ia vlen të kujtohet. Kjo në fakt pasqyrohet në shembujt e pronave:

Është e qartë? Përforconi me shembuj:

Po, ne shohim që rrënja është në një fuqi çift, numri negativ nën rrënjë është gjithashtu në një fuqi çift. Epo, a funksionon njësoj? Ja çfarë:

Kjo është ajo! Tani këtu janë disa shembuj:

E kuptove? Pastaj vazhdoni dhe zgjidhni shembujt.

Shembuj.

Përgjigjet.

Nëse keni marrë përgjigje, atëherë mund të vazhdoni me qetësi. Nëse jo, atëherë le të kuptojmë këta shembuj:

Le të shohim dy veti të tjera të rrënjëve:

Këto veti duhet të analizohen në shembuj. Epo, le ta bëjmë këtë?

E kuptove? Le ta sigurojmë atë.

Shembuj.

Përgjigjet.

RRENJET DHE VETITE E TYRE. NIVELI I MESËM

Rrënja katrore aritmetike

Ekuacioni ka dy zgjidhje: dhe. Këta janë numra katrori i të cilëve është i barabartë me.

Merrni parasysh ekuacionin. Le ta zgjidhim grafikisht. Le të vizatojmë një grafik të funksionit dhe një vijë në nivel. Pikat e kryqëzimit të këtyre vijave do të jenë zgjidhjet. Ne shohim se ky ekuacion ka gjithashtu dy zgjidhje - një pozitive, tjetra negative:

Por në këtë rast zgjidhjet nuk janë numra të plotë. Për më tepër, ato nuk janë racionale. Për të shkruar këto vendime irracionale, ne prezantojmë një simbol të veçantë të rrënjës katrore.

Rrënja katrore aritmetikeështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me. Kur shprehja nuk është e përcaktuar, sepse Nuk ka numër katrori i të cilit është i barabartë me një numër negativ.

Rrënja katrore: .

Për shembull,. Dhe rrjedh se ose.

Më lejoni të tërheq vëmendjen tuaj edhe një herë, kjo është shumë e rëndësishme: Rrënja katrore është gjithmonë një numër jo negativ: !

Rrënja e kubit i një numri është një numër kubi i të cilit është i barabartë me. Rrënja e kubit është e përcaktuar për të gjithë. Mund të nxirret nga çdo numër: . Siç mund ta shihni, mund të marrë edhe vlera negative.

Rrënja e një numri është një numër, fuqia e të cilit është e barabartë, d.m.th.

Nëse është e barabartë, atëherë:

• nëse, atëherë rrënja e a është e papërcaktuar.
• nëse, atëherë rrënja jo negative e ekuacionit quhet rrënja aritmetike e shkallës së dhe shënohet.

Nëse - është tek, atëherë ekuacioni ka një rrënjë unike për cilindo.

E keni vënë re që majtas mbi shenjën e rrënjës shkruajmë shkallën e saj? Por jo për rrënjën katrore! Nëse shihni një rrënjë pa shkallë, do të thotë se është katror (gradë).

Shembuj.

Karakteristikat themelore të rrënjëve

RRENJET DHE VETITE E TYRE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Rrënja katrore (rrënja katrore aritmetike) nga një numër jo negativ quhet ky numër jo negativ katrori i të cilit është

Karakteristikat e rrënjëve:

Në këtë artikull do të prezantojmë koncepti i rrënjës së një numri. Ne do të vazhdojmë në mënyrë sekuenciale: do të fillojmë me rrënjën katrore, prej andej do të kalojmë në përshkrimin e rrënjës kubike, pas së cilës do të përgjithësojmë konceptin e rrënjës duke përcaktuar rrënjën e n-të. Në të njëjtën kohë do të prezantojmë përkufizime, shënime, do të japim shembuj të rrënjëve dhe do të japim shpjegimet dhe komentet e nevojshme.

Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike

Për të kuptuar përkufizimin e rrënjës së një numri, dhe rrënjës katrore në veçanti, duhet të keni . Në këtë pikë shpesh do të hasim fuqinë e dytë të një numri - katrorin e një numri.

Le të fillojmë me përkufizimet e rrënjës katrore.

Përkufizimi

Rrënja katrore e aështë një numër katrori i të cilit është i barabartë me a.

Për të udhëhequr shembuj të rrënjëve katrore, marrim disa numra, për shembull, 5, −0.3, 0.3, 0 dhe i vendosim në katror, ​​marrim përkatësisht numrat 25, 0.09, 0.09 dhe 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dhe 0 2 =0·0=0 ). Pastaj, sipas përkufizimit të dhënë më sipër, numri 5 është rrënja katrore e numrit 25, numrat -0.3 dhe 0.3 janë rrënjët katrore të 0.09 dhe 0 është rrënja katrore e zeros.

Duhet të theksohet se për asnjë numër a nuk ekziston a katrori i të cilit është i barabartë me a. Domethënë, për çdo numër negativ a nuk ka numër real b katrori i të cilit është i barabartë me a. Në fakt, barazia a=b 2 është e pamundur për çdo negativ a, pasi b 2 është një numër jo negativ për çdo b. Kështu, nuk ka rrënjë katrore të një numri negativ në bashkësinë e numrave realë. Me fjalë të tjera, në bashkësinë e numrave realë rrënja katrore e një numri negativ nuk është e përcaktuar dhe nuk ka kuptim.

Kjo çon në një pyetje logjike: "A ka një rrënjë katrore të a-së për ndonjë jo-negativ a"? Përgjigja është po. Ky fakt mund të justifikohet me metodën konstruktive të përdorur për të gjetur vlerën e rrënjës katrore.

Atëherë lind pyetja tjetër logjike: "Sa është numri i të gjitha rrënjëve katrore të një numri të caktuar jo negativ a - një, dy, tre, apo edhe më shumë"? Këtu është përgjigja: nëse a është zero, atëherë e vetmja rrënjë katrore e zeros është zero; nëse a është një numër pozitiv, atëherë numri i rrënjëve katrore të numrit a është dy, dhe rrënjët janë . Le ta justifikojmë këtë.

Le të fillojmë me rastin a=0. Së pari, le të tregojmë se zero është me të vërtetë rrënja katrore e zeros. Kjo rrjedh nga barazia e dukshme 0 2 =0·0=0 dhe përkufizimi i rrënjës katrore.

Tani le të vërtetojmë se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros. Le të përdorim metodën e kundërt. Supozoni se ka një numër b jozero që është rrënja katrore e zeros. Atëherë duhet të plotësohet kushti b 2 =0, i cili është i pamundur, pasi për çdo b jozero vlera e shprehjes b 2 është pozitive. Kemi arritur në një kontradiktë. Kjo vërteton se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros.

Le të kalojmë në rastet kur a është një numër pozitiv. Thamë më lart se ka gjithmonë një rrënjë katrore të çdo numri jo negativ, le të jetë rrënja katrore e a numri b. Le të themi se ekziston një numër c, i cili është edhe rrënja katrore e a. Atëherë, me përcaktimin e rrënjës katrore, barazitë b 2 =a dhe c 2 =a janë të vërteta, nga ku del se b 2 −c 2 =a−a=0, por meqë b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , pastaj (b−c)·(b+c)=0 . Barazia që rezulton është e vlefshme vetitë e veprimeve me numra realë e mundur vetëm kur b−c=0 ose b+c=0 . Kështu, numrat b dhe c janë të barabartë ose të kundërt.

Nëse supozojmë se ekziston një numër d, i cili është një rrënjë tjetër katrore e numrit a, atëherë duke arsyetuar të ngjashëm me ato të dhëna tashmë, vërtetohet se d është i barabartë me numrin b ose me numrin c. Pra, numri i rrënjëve katrore të një numri pozitiv është dy, dhe rrënjët katrorë janë numra të kundërt.

Për lehtësinë e punës me rrënjë katrore, rrënja negative "ndahet" nga ajo pozitive. Për këtë qëllim është prezantuar përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike.

Përkufizimi

Rrënja katrore aritmetike e një numri jo negativ aështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me a.

Shënimi për rrënjën katrore aritmetike të a është . Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore. Quhet edhe shenja radikale. Prandaj, ndonjëherë mund të dëgjoni si "rrënjë" dhe "radikale", që do të thotë i njëjti objekt.

Numri nën shenjën aritmetike të rrënjës katrore quhet numër radikal, dhe shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale, ndërsa termi "numër radikal" shpesh zëvendësohet me "shprehje radikale". Për shembull, në shënim numri 151 është një numër radikal, dhe në shënim shprehja a është një shprehje radikale.

Gjatë leximit, fjala "aritmetikë" shpesh hiqet, për shembull, hyrja lexohet si "rrënja katrore e shtatë pikës njëzet e nëntë". Fjala "aritmetikë" përdoret vetëm kur duan të theksojnë se po flasim konkretisht për rrënjën katrore pozitive të një numri.

Në dritën e shënimit të paraqitur, nga përkufizimi i një rrënjë katrore aritmetike rrjedh se për çdo numër jo negativ a .

Rrënjët katrore të një numri pozitiv a shkruhen duke përdorur shenjën aritmetike të rrënjës katrore si dhe . Për shembull, rrënjët katrore të 13 janë dhe . Rrënja katrore aritmetike e zeros është zero, domethënë . Për numrat negativ a, ne nuk do t'i bashkojmë kuptimin shënimit derisa të studiojmë numra komplekse. Për shembull, shprehjet dhe janë të pakuptimta.

Në bazë të përkufizimit të rrënjës katrore, vërtetohen vetitë e rrënjëve katrore, të cilat përdoren shpesh në praktikë.

Në përfundim të këtij paragrafi, vërejmë se rrënjët katrore të numrit a janë zgjidhje të formës x 2 =a në lidhje me ndryshoren x.

Rrënja kubike e një numri

Përkufizimi i rrënjës së kubit i numrit a jepet në mënyrë të ngjashme me përkufizimin e rrënjës katrore. Vetëm ai bazohet në konceptin e një kubi të një numri, jo një katror.

Përkufizimi

Rrënja kubike e aështë një numër kubi i të cilit është i barabartë me a.

Le të japim shembuj të rrënjëve kubike. Për ta bërë këtë, merrni disa numra, për shembull, 7, 0, −2/3 dhe vendosini në kubike: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Pastaj, bazuar në përkufizimin e rrënjës kubike, mund të themi se numri 7 është rrënja kubike e 343, 0 është rrënja kubike e zeros dhe −2/3 është rrënja e kubit e −8/27.

Mund të tregohet se rrënja kubike e një numri, ndryshe nga rrënja katrore, ekziston gjithmonë, jo vetëm për jonegativin a, por edhe për çdo numër real a. Për ta bërë këtë, mund të përdorni të njëjtën metodë që përmendëm kur studiojmë rrënjët katrore.

Për më tepër, ekziston vetëm një rrënjë e vetme kubike e një numri të caktuar a. Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh tre raste veç e veç: a është një numër pozitiv, a=0 dhe a është një numër negativ.

Është e lehtë të tregohet se nëse a është pozitive, rrënja kubike e a nuk mund të jetë as numër negativ dhe as zero. Në të vërtetë, le të jetë b rrënja kubike e a-së, atëherë sipas përkufizimit mund të shkruajmë barazinë b 3 =a. Është e qartë se kjo barazi nuk mund të jetë e vërtetë për negativin b dhe për b=0, pasi në këto raste b 3 =b·b·b do të jetë një numër negativ ose zero, përkatësisht. Pra, rrënja kubike e një numri pozitiv a është një numër pozitiv.

Tani supozojmë se përveç numrit b ka një rrënjë tjetër kubike të numrit a, le ta shënojmë atë c. Pastaj c 3 =a. Prandaj, b 3 −c 3 =a−a=0, por b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(kjo është formula e shkurtuar e shumëzimit dallimi i kubeve), prej nga (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Barazia që rezulton është e mundur vetëm kur b−c=0 ose b 2 +b·c+c 2 =0. Nga barazia e parë kemi b=c, dhe barazia e dytë nuk ka zgjidhje, pasi ana e majtë e saj është një numër pozitiv për çdo numër pozitiv b dhe c si shuma e tre termave pozitivë b 2, b·c dhe c 2. Kjo vërteton veçantinë e rrënjës kubike të një numri pozitiv a.

Kur a=0, rrënja kubike e numrit a është vetëm numri zero. Në të vërtetë, nëse supozojmë se ekziston një numër b, i cili është një rrënjë kubike jo zero e zeros, atëherë duhet të jetë barazia b 3 =0, e cila është e mundur vetëm kur b=0.

Për negative a, mund të jepen argumente të ngjashme me rastin për pozitiv a. Së pari, ne tregojmë se rrënja kubike e një numri negativ nuk mund të jetë e barabartë me një numër pozitiv ose zero. Së dyti, supozojmë se ekziston një rrënjë e dytë kubike e një numri negativ dhe tregojmë se do të përkojë domosdoshmërisht me të parën.

Pra, ekziston gjithmonë një rrënjë kubike e çdo numri real të dhënë a, dhe një unik.

Le të japim përkufizimi i rrënjës së kubit aritmetik.

Përkufizimi

Rrënja kubike aritmetike e një numri jonegativ aështë një numër jo negativ kubi i të cilit është i barabartë me a.

Rrënja e kubit aritmetik e një numri jonegativ a shënohet si , shenja quhet shenja e rrënjës së kubit aritmetik, numri 3 në këtë shënim quhet indeksi rrënjë. Numri nën shenjën e rrënjës është numër radikal, shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale.

Megjithëse rrënja e kubit aritmetik përcaktohet vetëm për numrat jonegativ a, është gjithashtu e përshtatshme të përdoren shënime në të cilat numrat negativë gjenden nën shenjën e rrënjës së kubit aritmetik. Do t'i kuptojmë si më poshtë: , ku a është një numër pozitiv. Për shembull, .

Ne do të flasim për vetitë e rrënjëve të kubit në artikullin e përgjithshëm vetitë e rrënjëve.

Llogaritja e vlerës së rrënjës së kubit quhet nxjerrja e rrënjës së kubit, ky veprim diskutohet në artikullin për nxjerrjen e rrënjëve: metoda, shembuj, zgjidhje.

Për të përfunduar këtë pikë, le të themi se rrënja kubike e numrit a është zgjidhje e formës x 3 =a.

rrënja e n-të, rrënja aritmetike e shkallës n

Le të përgjithësojmë konceptin e rrënjës së një numri - prezantojmë përkufizimi i rrënjës së n-të për n.

Përkufizimi

rrënja e n-të e aështë një numër, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.

Nga ky përkufizim është e qartë se rrënja e shkallës së parë të numrit a është vetë numri a, pasi gjatë studimit të shkallës me një eksponent natyror kemi marrë 1 =a.

Më sipër shikuam raste të veçanta të rrënjës së n-të për n=2 dhe n=3 - rrënjë katrore dhe rrënjë kubike. Kjo do të thotë, një rrënjë katrore është një rrënjë e shkallës së dytë, dhe një rrënjë kubike është një rrënjë e shkallës së tretë. Për të studiuar rrënjët e shkallës së n-të për n=4, 5, 6, ..., është e përshtatshme t'i ndani ato në dy grupe: grupi i parë - rrënjët me gradë çift (d.m.th., për n = 4, 6, 8 , ...), grupi i dytë - rrënjët shkallë tek (pra me n=5, 7, 9, ...). Kjo për faktin se rrënjët e fuqive çift janë të ngjashme me rrënjët katrore, dhe rrënjët e fuqive tek janë të ngjashme me rrënjët kubike. Le të merremi me ta një nga një.

Le të fillojmë me rrënjët, fuqitë e të cilave janë numrat çift 4, 6, 8, ... Siç e thamë tashmë, ato janë të ngjashme me rrënjën katrore të numrit a. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle çift të numrit a ekziston vetëm për jonegativin a. Për më tepër, nëse a=0, atëherë rrënja e a është unike dhe e barabartë me zero, dhe nëse a>0, atëherë ka dy rrënjë të shkallës çift të numrit a, dhe ata janë numra të kundërt.

Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Le të jetë b një rrënjë çift (e shënojmë si 2·m, ku m është një numër natyror) i numrit a. Supozoni se ka një numër c - një rrënjë tjetër e shkallës 2·m nga numri a. Atëherë b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Por ne e dimë formën b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atëherë (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Nga kjo barazi rrjedh se b−c=0, ose b+c=0, ose b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dy barazitë e para nënkuptojnë se numrat b dhe c janë të barabartë ose b dhe c janë të kundërt. Dhe barazia e fundit vlen vetëm për b=c=0, pasi në anën e majtë të saj ka një shprehje që është jonegative për çdo b dhe c si shuma e numrave jonegativë.

Sa i përket rrënjëve të shkallës së n-të për n tek, ato janë të ngjashme me rrënjën e kubit. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle tek e numrit a ekziston për çdo numër real a, dhe për një numër të caktuar a është unik.

Veçantia e rrënjës me shkallë tek 2·m+1 e numrit a vërtetohet me analogji me vërtetimin e veçantisë së rrënjës kubike të a. Vetëm këtu në vend të barazisë a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) përdoret një barazi e formës b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Shprehja në kllapa e fundit mund të rishkruhet si b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Për shembull, me m=2 kemi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Kur a dhe b janë të dyja pozitive ose të dyja negative, prodhimi i tyre është një numër pozitiv, atëherë shprehja b 2 +c 2 +b·c në kllapat e vendosura më të larta është pozitive si shuma e numrave pozitivë. Tani, duke kaluar në mënyrë sekuenciale te shprehjet në kllapa të shkallëve të mëparshme të foleve, ne jemi të bindur se ato janë gjithashtu pozitive si shuma e numrave pozitivë. Si rezultat, marrim se barazia b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 e mundur vetëm kur b−c=0, pra kur numri b është i barabartë me numrin c.

Është koha për të kuptuar shënimin e rrënjëve të n-të. Për këtë qëllim jepet përkufizimi i rrënjës aritmetike të shkallës së n-të.

Përkufizimi

Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri jonegativ aështë një numër jo negativ, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.

Le të zgjidhim një problem të thjeshtë të gjetjes së brinjës së një katrori sipërfaqja e të cilit është 9 cm 2. Nëse supozojmë se ana e katrorit A cm, pastaj e përpilojmë ekuacionin sipas kushteve të problemës:

A X A = 9

A 2 = 9

A 2 -9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 ose A=-3

Gjatësia e brinjës së një katrori nuk mund të jetë numër negativ, kështu që brinja e kërkuar e katrorit është 3 cm.

Gjatë zgjidhjes së ekuacionit, gjetëm numrat 3 dhe -3, katrorët e të cilëve janë 9. Secili nga këta numra quhet rrënja katrore e numrit 9. Jonegativi i këtyre rrënjëve, pra numri 3, quhet rrënja aritmetike e numrit.

Është mjaft logjike të pranohet fakti që rrënja mund të gjendet nga numrat në fuqinë e tretë (rrënja kubike), fuqinë e katërt, etj. Dhe në parim, rrënja është operacioni i kundërt i fuqisë.

Rrënjan shkalla e th nga mesi α është një numër i tillë b, Ku b n = α .

Këtu n- zakonisht quhet një numër natyror indeksi rrënjë(ose shkalla e rrënjës); si rregull është më i madh ose i barabartë me 2, sepse rasti n = 1 i brirë.

I caktuar në shkronjë si simbol (shenjë rrënjë) në anën e djathtë quhet radikale. Numri α - shprehje radikale. Për shembullin tonë me një parti, zgjidhja mund të duket si kjo: sepse (± 3) 2 = 9 .

Morëm vlerat pozitive dhe negative të rrënjës. Kjo veçori i ndërlikon llogaritjet. Për të arritur paqartësi, koncepti u prezantua rrënjë aritmetike, vlera e së cilës është gjithmonë me shenjë plus, pra vetëm pozitive.

Rrënja thirrur aritmetike, nëse nxirret nga një numër pozitiv dhe është në vetvete një numër pozitiv.

Për shembull,

Ekziston vetëm një rrënjë aritmetike e një shkalle të caktuar nga një numër i caktuar.

Operacioni i llogaritjes zakonisht quhet " nxjerrja e rrënjës n shkalla e th” nga mesi α . Në thelb, ne kryejmë operacionin në të kundërt me ngritjen në fuqi, përkatësisht gjetjen e bazës së fuqisë b sipas një treguesi të njohur n dhe rezultati i ngritjes në një pushtet

α = bn.

Rrënjët e shkallës së dytë dhe të tretë përdoren në praktikë më shpesh se të tjerët dhe për këtë arsye u dhanë emra të veçantë.

Rrënja katrore: Në këtë rast, është zakon të mos shkruhet eksponenti 2, dhe termi "rrënjë" pa treguar eksponentin më së shpeshti nënkupton rrënjën katrore. Interpretuar gjeometrikisht, është gjatësia e brinjës së një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me α .

Rrënja e kubit: Interpretuar gjeometrikisht, gjatësia e një skaji të një kubi vëllimi i të cilit është i barabartë me α .

Vetitë e rrënjëve aritmetike.

1) Gjatë llogaritjes rrënja aritmetike e produktit, është e nevojshme të nxirret nga secili faktor veç e veç

Për shembull,

2) Për llogaritjen rrënja e një thyese, është e nevojshme të nxirret nga numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese

Për shembull,

3) Gjatë llogaritjes rrënja e shkallës, duhet të ndani eksponentin me eksponentin rrënjë

Për shembull,

Llogaritjet e para në lidhje me nxjerrjen e rrënjës katrore u gjetën në veprat e matematikanëve të Babilonisë së lashtë dhe Kinës, Indisë, Greqisë (nuk ka informacion në burimet për arritjet e Egjiptit të lashtë në këtë drejtim).

Matematikanët e Babilonisë së lashtë (mijëvjeçari II para Krishtit) përdorën një metodë të veçantë numerike për të nxjerrë rrënjën katrore. Përafrimi fillestar për rrënjën katrore u gjet bazuar në numrin natyror më të afërt me rrënjën (në drejtimin më të vogël) n. Paraqitja e shprehjes radikale në formën: α=n 2 +r, marrim: x 0 =n+r/2n, më pas u aplikua një proces i përsosjes përsëritës:

Përsëritjet në këtë metodë konvergojnë shumë shpejt. per ,

Për shembull, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 dhe marrim një sekuencë të përafrimeve:

Në vlerën përfundimtare, të gjitha shifrat janë të sakta, përveç atij të fundit.

Grekët formuluan problemin e dyfishimit të një kubi, i cili përfundoi në ndërtimin e një rrënjë kubi duke përdorur një busull dhe vizore. Rregullat për llogaritjen e çdo shkalle të një numri të plotë janë studiuar nga matematikanët në Indi dhe shtetet arabe. Më pas ato u zhvilluan gjerësisht në Evropën mesjetare.

Sot, për lehtësinë e llogaritjes së rrënjëve katrore dhe kubike, kalkulatorët përdoren gjerësisht.