Përshkrimi bibliografik: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike // Shkencëtar i ri. 2016. Nr 6.1. P. 17-20..02.2019).



Projekti ynë ka të bëjë me mënyrat për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Qëllimi i projektit: Mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike në mënyra që nuk përfshihen në kurrikulën e shkollës. Detyrë: gjeni të gjitha mënyrat e mundshme për të zgjidhur ekuacionet kuadratike dhe mësoni se si t'i përdorni ato vetë dhe prezantoni këto metoda me shokët tuaj të klasës.

Cilat janë "ekuacionet kuadratike"?

Ekuacioni kuadratik- ekuacioni i formës sëpatë2 + bx + c = 0, Ku a, b, c- disa numra ( a ≠ 0), x- e panjohur.

Numrat a, b, c quhen koeficientë të ekuacionit kuadratik.

• a quhet koeficienti i parë;
• b quhet koeficienti i dytë;
• c - anëtar i lirë.

Kush ishte i pari që "shpiku" ekuacionet kuadratike?

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë. Zbulimi i pllakave të balta të lashta babilonase, që datojnë diku midis viteve 1800 dhe 1600 para Krishtit, ofron dëshminë më të hershme të studimit të ekuacioneve kuadratike. Të njëjtat tableta përmbajnë metoda për zgjidhjen e disa llojeve të ekuacioneve kuadratike.

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës.

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Matematikanët babilonas rreth shekullit të IV para Krishtit. përdori metodën e komplementit katror për zgjidhjen e ekuacioneve me rrënjë pozitive. Rreth vitit 300 para Krishtit Euklidi doli me një metodë më të përgjithshme zgjidhjeje gjeometrike. Matematikani i parë që gjeti zgjidhje për ekuacionet me rrënjë negative në formën e një formule algjebrike ishte një shkencëtar indian. Brahmagupta(Indi, shekulli VII pas Krishtit).

Brahmagupta parashtroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficientët në këtë ekuacion mund të jenë gjithashtu negativë. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Në një traktat algjebrik Al-Kuarizmi jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", d.m.th. ax2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == ax2.

Për Al-Huarizmin, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në praktikë specifike nuk ka rëndësi në detyra. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, Al-Khwarizmi përcakton rregullat e zgjidhjes duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikan italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike x2 + bх = с për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c u formulua në Evropë në 1544. M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. falë përpjekjeve Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Le të shohim disa mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike.

Metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike nga programi shkollor:

1. Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit.
2. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë.
3. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulën.
4. Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik.
5. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të ndalemi më në detaje në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara duke përdorur teoremën e Vietës.

Kujtojmë se për të zgjidhur ekuacionet kuadratike të mësipërme, mjafton të gjejmë dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me termin e lirë dhe shuma e të cilëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt.

Shembull.x 2 -5x+6=0

Ju duhet të gjeni numra prodhimi i të cilëve është 6 dhe shuma e të cilëve është 5. Këta numra do të jenë 3 dhe 2.

Përgjigje: x 1 =2, x 2 =3.

Por ju mund ta përdorni këtë metodë për ekuacione me koeficientin e parë jo të barabartë me një.

Shembull.3x 2 +2x-5=0

Merrni koeficientin e parë dhe shumëzojeni me termin e lirë: x 2 +2x-15=0

Rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë numra, prodhimi i të cilëve është i barabartë me - 15, dhe shuma e të cilëve është e barabartë me - 2. Këta numra janë 5 dhe 3. Për të gjetur rrënjët e ekuacionit origjinal, pjesëtoni rrënjët që rezultojnë me koeficientin e parë.

Përgjigje: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "hedhjes".

Konsideroni ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0, ku a≠0.

Duke shumëzuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Le të ax = y, prej nga x = y/a; atëherë arrijmë në ekuacionin y 2 + nga + ac = 0, ekuivalent me atë të dhënë. Ne i gjejmë rrënjët e tij për 1 dhe 2 duke përdorur teoremën e Vieta-s.

Më në fund marrim x 1 = y 1 /a dhe x 2 = y 2 /a.

Me këtë metodë, koeficienti a shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet metoda e "hedhjes". Kjo metodë përdoret kur rrënjët e ekuacionit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Shembull.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Le të "hedhim" koeficientin 2 në termin e lirë dhe të bëjmë një zëvendësim dhe të marrim ekuacionin y 2 - 11y + 30 = 0.

Sipas teoremës së kundërt të Vietës

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Përgjigje: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Nëse a+ b + c = 0 (d.m.th. shuma e koeficientëve të ekuacionit është zero), atëherë x 1 = 1.

2. Nëse a - b + c = 0, ose b = a + c, atëherë x 1 = - 1.

Shembull.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Meqenëse a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), atëherë x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Përgjigje: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Shembull.132x 2 + 247x + 115 = 0

Sepse a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pastaj x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Përgjigje: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ka veti të tjera të koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. por përdorimi i tyre është më kompleks.

8. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram.

Fig 1. Nomogram

Kjo është një metodë e vjetër dhe aktualisht e harruar e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, e vendosur në f. 83 të koleksionit: Bradis V.M. Tabelat e matematikës me katër shifra. - M., Edukimi, 1990.

Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacionit z 2 + pz + q = 0. Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur një ekuacion kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit nga koeficientët e tij.

Shkalla curvilineare e nomogramit është ndërtuar sipas formulave (Fig. 1):

Duke besuar OS = p, ED = q, OE = a(të gjitha në cm), nga Fig. 1 ngjashmëritë e trekëndëshave SAN Dhe CDF marrim proporcionin

e cila, pas zëvendësimeve dhe thjeshtimeve, jep ekuacionin z 2 + pz + q = 0, dhe letrën z nënkupton shenjën e çdo pike në një shkallë të lakuar.

Oriz. 2 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram

Shembuj.

1) Për ekuacionin z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrami i jep rrënjët z 1 = 8,0 dhe z 2 = 1,0

Përgjigje: 8.0; 1.0.

2) Duke përdorur një nomogram, zgjidhim ekuacionin

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Pjesëtojmë koeficientët e këtij ekuacioni me 2, marrim ekuacionin z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogrami jep rrënjët z 1 = 4 dhe z 2 = 0,5.

Përgjigje: 4; 0.5.

9. Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembull.X 2 + 10x = 39.

Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: "Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39".

Konsideroni një katror me anë x, drejtkëndëshat janë ndërtuar në anët e tij në mënyrë që ana tjetër e secilës prej tyre të jetë 2.5, prandaj sipërfaqja e secilit është 2.5x. Shifra që rezulton plotësohet më pas me një katror të ri ABCD, duke ndërtuar katër katrorë të barabartë në qoshet, brinja e secilit prej tyre është 2,5 dhe sipërfaqja është 6,25

Oriz. 3 Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacionit x 2 + 10x = 39

Zona S e katrorit ABCD mund të paraqitet si shuma e sipërfaqeve të: katrorit origjinal x 2, katër drejtkëndëshave (4∙2.5x = 10x) dhe katër katrorëve shtesë (6.25∙4 = 25), d.m.th. S = x 2 + 10x = 25. Duke zëvendësuar x 2 + 10x me numrin 39, marrim se S = 39+ 25 = 64, që do të thotë se ana e katrorit është ABCD, d.m.th. segmenti AB = 8. Për anën e kërkuar x të katrorit origjinal fitojmë

10. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Bezout.

Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me binomin x - α është e barabartë me P(α) (d.m.th., vlera e P(x) në x = α).

Nëse numri α është rrënja e polinomit P(x), atëherë ky polinom pjesëtohet me x -α pa mbetje.

Shembull.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Pjestoni P(x) me (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ose x-3=0, x=3; Përgjigje: x1 =2, x2 =3.

konkluzioni: Aftësia për të zgjidhur shpejt dhe me efikasitet ekuacionet kuadratike është thelbësore për zgjidhjen e ekuacioneve më komplekse, të tilla si ekuacionet racionale të pjesshme, ekuacionet e fuqisë më të lartë, ekuacionet bikuadratike dhe, në shkollën e mesme, ekuacionet trigonometrike, eksponenciale dhe logaritmike. Pasi kemi studiuar të gjitha metodat e gjetura për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, ne mund t'i këshillojmë shokët tanë të klasës, përveç metodave standarde, të zgjidhin me metodën e transferimit (6) dhe të zgjidhin ekuacione duke përdorur vetinë e koeficientëve (7), pasi ato janë më të arritshme. për të kuptuar.

Literatura:

1. Bradis V.M. Tabelat e matematikës me katër shifra. - M., Edukimi, 1990.
2. Algjebra klasa e 8-të: tekst mësimor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky, botimi i 15-të, i rishikuar. - M.: Arsimi, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. Manual për mësuesit. / Ed. V.N. Më i ri. - M.: Arsimi, 1964.

Qëllimet:

• Prezantoni konceptin e një ekuacioni kuadratik të reduktuar;
• “zbuloni” marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit të dhënë kuadratik;
• zhvilloni një interes për matematikën, duke treguar përmes shembullit të jetës së Vietit se matematika mund të jetë një hobi.

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

Nr. 309(g) x 1 =7, x 2 =

Nr. 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

Nr. 312 (d) pa rrënjë

Të gjithë kanë një tryezë në tryezën e tyre. Gjeni korrespondencën midis kolonës së majtë dhe të djathtë të tabelës.

Shkruani përgjigjet e sakta në tabelë.

1-Z; 2-E; 3-A; 4-K; 5-B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.

Zgjidh ekuacionet:

a) -5x 2 + 8x -3=0;

Zgjidhje:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Zgjidhje:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

c) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Zgjidhje:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, pastaj x 1 =1 x 2 =

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve

a) 2x 2 + 5x +3 = 0

Zgjidhje:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

b) -4x 2 -5x -1 =0

Zgjidhje:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

c)1150x2 +1135x -15 = 0

Zgjidhje:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

sëpatë 2 +in+c=0, nëse a-b+c=0, atëherë x 1 = – 1 x 2 =

5. Tema e re

Le të kontrollojmë përfundimin tuaj të detyrës së parë. Çfarë konceptesh të reja keni hasur? 11 – f, d.m.th.

Ekuacioni i dhënë kuadratik është x 2 + px + q = 0.

Tema e mësimit tonë.
Le të plotësojmë tabelën e mëposhtme.
Kolona e majtë është në fletore dhe një nxënës është në dërrasën e zezë.
Zgjidhja e ekuacionit akh 2 +in+c=0
Kolona e djathtë, studenti më i përgatitur në dërrasën e zezë
Zgjidhja e ekuacionit x 2 + px + q = 0, me a = 1, b = p, c = q

Mësuesi (nëse është e nevojshme) ndihmon, pjesa tjetër është në fletore.

X 2 – 6 X + 8 = 0,	D = 9 - 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 - 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 - 51 = 49	x 1 = 10 - 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 – 20 X – 69 = 0,	D = 100 - 69 = 31

Bazuar në rezultatet e llogaritjeve tona, ne do të plotësojmë tabelën.

Ekuacioni nr.	r	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Të krahasojmë rezultatet e marra me koeficientët e ekuacioneve kuadratike.
Çfarë përfundimi mund të nxirret?

Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik u vendos për herë të parë nga shkencëtari i famshëm francez Francois Viète (1540-1603).

François Viète ishte avokat me profesion dhe punoi për shumë vite si këshilltar i mbretit. Dhe megjithëse matematika ishte hobi i tij, ose siç thonë ata, një hobi, falë punës së palodhur ai arriti rezultate të shkëlqyera në të. Viet në 1591 prezantoi shënimin e shkronjave për të panjohurat dhe koeficientët e ekuacioneve. Kjo bëri të mundur shkrimin e rrënjëve dhe veçorive të tjera të ekuacionit duke përdorur formula të përgjithshme.

Disavantazhi i algjebrës së Vietës ishte se ajo njihte vetëm numra pozitivë. Për të shmangur zgjidhjet negative, ai zëvendësoi ekuacionet ose kërkoi zgjidhje artificiale, gjë që kërkonte shumë kohë, e ndërlikonte zgjidhjen dhe shpesh çonte në gabime.

Viète bëri shumë zbulime të ndryshme, por ai vetë vlerësoi më së shumti vendosjen e marrëdhënies midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik, domethënë marrëdhënies së quajtur "teorema e Viète".

Ne do ta shqyrtojmë këtë teoremë në mësimin tjetër.

Pyetje:

1. Cili ekuacion quhet ekuacion kuadratik i reduktuar?
2. Cila formulë mund të përdoret për të gjetur rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik?
3. Çfarë përcakton numrin e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik?
4. Cili është diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik të reduktuar?
5. Si lidhen rrënjët e ekuacionit kuadratik të mësipërm dhe koeficientët e tij?
6. Kush e bëri këtë lidhje?

klauzola 4.5, nr. 321(b,f) nr.322(a,d,g,h)

Plotësoni tabelën.

Ekuacioni	Rrënjët	Shuma e rrënjëve	Produkt i rrënjëve
X 2 – 8x + 7 = 0	1 dhe 7	8	7

Letërsia

CM. Nikolsky dhe të tjerët, Teksti mësimor "Algjebra 8" i serisë "MSU-School" - M.: Prosveshchenie, 2007.

Në shoqërinë moderne, aftësia për të kryer operacione me ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në zhvillimet shkencore dhe teknike. Dëshmi për këtë mund të gjenden në projektimin e anijeve detare dhe lumore, avionëve dhe raketave. Duke përdorur llogaritje të tilla, përcaktohen trajektoret e lëvizjes së një shumëllojshmërie të gjerë trupash, duke përfshirë objektet hapësinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimin ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të nevojiten në udhëtimet e ecjes, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni blerje dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.

Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga vlera maksimale e shkallës së ndryshores që përmban shprehja. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet kuadratik.

Nëse flasim në gjuhën e formulave, atëherë shprehjet e treguara, pavarësisht se si duken, gjithmonë mund të sillen në formën kur ana e majtë e shprehjes përbëhet nga tre terma. Midis tyre: boshti 2 (d.m.th., një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa katror me koeficientin e saj) dhe c (një përbërës i lirë, domethënë një numër i zakonshëm). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të tillë i mungon një nga termat përbërës, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plotë. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlerat e variablave në të cilat gjenden lehtësisht, duhet të merren parasysh së pari.

Nëse shprehja duket sikur ka dy terma në anën e djathtë, më saktë ax 2 dhe bx, mënyra më e lehtë për të gjetur x është duke e vendosur variablin jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x(ax+b). Më pas, bëhet e qartë se ose x=0, ose problemi zbret në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli thotë se prodhimi i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën ndikimin e gravitetit, të cilët filluan të lëviznin nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë e koordinatave. Këtu shënimi matematik merr formën e mëposhtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Duke zëvendësuar vlerat e nevojshme, duke barazuar anën e djathtë me 0 dhe duke gjetur të panjohurat e mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri në momentin kur ai bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.

Faktorizimi i një shprehjeje

Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në raste më komplekse. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ky trinom kuadratik është i plotë. Së pari, le të transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Janë dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehjet jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.

Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, janë tre prej tyre, domethënë (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, bëhet e qartë se ky ekuacion ka tre rrënjë: -3; -1; 3.

Rrënja katrore

Një rast tjetër i një ekuacioni jo të plotë të rendit të dytë është një shprehje e paraqitur në gjuhën e shkronjave në një mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pas kësaj rrënja katrore nxirret nga të dy anët e barazisë. Duhet të theksohet se në këtë rast zakonisht ekzistojnë dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme mund të jenë barazitë që nuk përmbajnë fare term me, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djathtë është negative. Në rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sipërfaqes së tokës

Nevoja për këtë lloj llogaritjeje u shfaq në kohët e lashta, sepse zhvillimi i matematikës në ato kohë të largëta ishte përcaktuar kryesisht nga nevoja për të përcaktuar me saktësinë më të madhe sipërfaqet dhe perimetrat e parcelave të tokës.

Duhet të shqyrtojmë edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike bazuar në probleme të këtij lloji.

Pra, le të themi se ekziston një truall drejtkëndor, gjatësia e së cilës është 16 metra më e madhe se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e vendit nëse e dini se sipërfaqja e tij është 612 m 2.

Për të filluar, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e zonës, atëherë gjatësia e saj do të jetë (x+16). Nga ajo që është shkruar del se sipërfaqja përcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve të problemit tonë është 612. Kjo do të thotë se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është pikërisht ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse? Megjithëse ana e majtë ende përmban dy faktorë, produkti i tyre nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu përdoren metoda të ndryshme.

Diskriminues

Para së gjithash, ne do të bëjmë transformimet e nevojshme, atëherë pamja e kësaj shprehjeje do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do të thotë se ne kemi marrë shprehjen në një formë që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku a=1, b=16, c= -612.

Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues. Këtu bëhen llogaritjet e nevojshme sipas skemës: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në një ekuacion të rendit të dytë, por përcakton numrin e opsioneve të mundshme. Nëse D>0, janë dy prej tyre; për D=0 ka një rrënjë. Në rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rrënjëve dhe formulës së tyre

Në rastin tonë, diskriminuesi është i barabartë me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdohet duke përdorur formulën e mëposhtme. Kjo ju lejon të llogaritni rrënjët.

Kjo do të thotë se në rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë zgjidhje, sepse përmasat e truallit nuk mund të maten në sasi negative, që do të thotë se x (pra gjerësia e parcelës) është 18 m Nga këtu llogarisim gjatësinë: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojmë studimin tonë të ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje të detajuara të disa prej tyre do të jepen më poshtë.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le të zhvendosim gjithçka në anën e majtë të barazisë, të bëjmë një transformim, domethënë, do të marrim llojin e ekuacionit që zakonisht quhet standard dhe do ta barazojmë atë me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do të thotë se ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Le t'i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë e barabartë me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le të zgjidhim misteret e një lloji tjetër.

Le të zbulojmë nëse ka ndonjë rrënjë këtu x 2 - 4x + 5 = 1? Për të marrë një përgjigje gjithëpërfshirëse, le të reduktojmë polinomin në formën përkatëse të zakonshme dhe të llogarisim diskriminuesin. Në shembullin e mësipërm, nuk është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk është fare thelbi i problemit. Në këtë rast, D = 16 - 20 = -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Është e përshtatshme të zgjidhen ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore merret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmonë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Ajo është emëruar pas asaj që jetoi në shekullin e 16-të në Francë dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.

Modeli që vuri re francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai vërtetoi se rrënjët e ekuacionit mblidhen numerikisht në -p=b/a, dhe produkti i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le të shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Për thjeshtësi, le të transformojmë shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le të përdorim teoremën e Vietës, kjo do të na japë si vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe prodhimi i tyre është -18. Nga këtu marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do të sigurohemi që këto vlera të ndryshueshme përshtaten me të vërtetë në shprehje.

Grafiku i parabolës dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa gjëegjëza matematikore në pak më shumë detaje. Çdo ekuacion i tipit të përshkruar mund të paraqitet vizualisht. Një marrëdhënie e tillë, e vizatuar si grafik, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.

Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a>0, ato shkojnë lart në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, duke përfshirë edhe ato kuadratike. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata e abshisës në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden duke përdorur formulën e sapo dhënë x 0 = -b/2a. Dhe duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, e cila i përket boshtit të ordinatave.

Prerja e degëve të një parabole me boshtin e abshisave

Ka shumë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shikojmë ato. Është e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a>0 është i mundur vetëm nëse 0 merr vlera negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabolës mund të përcaktoni edhe rrënjët. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Kjo do të thotë, nëse nuk është e lehtë për të marrë një paraqitje vizuale të një funksioni kuadratik, mund të barazoni anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më e lehtë të ndërtohet një grafik.

Nga historia

Duke përdorur ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror, ​​në kohët e vjetra ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin sipërfaqet e figurave gjeometrike. Të lashtëve u duheshin llogaritje të tilla për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.

Siç sugjerojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi katër shekuj para erës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rrënjësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe doli të ishin shumë më primitive. Për shembull, matematikanët mesopotamianë nuk kishin asnjë ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata ishin gjithashtu të panjohur me hollësitë e tjera që një nxënës modern i shkollës.

Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i urti nga India Baudhayama filloi të zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tetë shekuj para epokës së Krishtit. Vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat për zgjidhjen e të cilave ai dha, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë ishin gjithashtu të interesuar për pyetje të ngjashme në kohët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në veprat e tyre nga shkencëtarë të tillë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.

Ekuacioni i formës

Shprehje D= b 2 - 4 ac thirrur diskriminuese ekuacioni kuadratik. NëseD = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë reale; nëse D> 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale.
Në rast D = 0 , nganjëherë thuhet se një ekuacion kuadratik ka dy rrënjë identike.
Duke përdorur shënimin D= b 2 - 4 ac, ne mund ta rishkruajmë formulën (2) në formë

Nëse b= 2k, atëherë formula (2) merr formën:

Ku k= b / 2 .
Formula e fundit është veçanërisht e përshtatshme në rastet kur b / 2 - një numër i plotë, d.m.th. koeficienti b- numër çift.
Shembulli 1: Zgjidhe ekuacionin 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Këtu a = 2, b = -5, c = 2. ne kemi D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Sepse D > 0 , atëherë ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë duke përdorur formulën (2)

Pra x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
dmth x 1 = 2 Dhe x 2 = 1 / 2 - rrënjët e një ekuacioni të dhënë.
Shembulli 2: Zgjidhe ekuacionin 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Këtu a = 2, b = -3, c = 5. Gjetja e diskriminuesit D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Sepse D 0 , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë reale.

Ekuacionet kuadratike jo të plota. Nëse në një ekuacion kuadratik sëpatë 2 +bx+c =0 koeficienti i dytë b ose anëtar i lirë cështë e barabartë me zero, atëherë thirret ekuacioni kuadratik jo të plota. Ekuacionet jo të plota veçohen sepse për të gjetur rrënjët e tyre nuk duhet të përdorni formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik - është më e lehtë të zgjidhni ekuacionin duke faktorizuar anën e majtë të tij.
Shembulli 1: zgjidhin ekuacionin 2 x 2 - 5 x = 0 .
ne kemi x(2 x - 5) = 0 . Pra ose x = 0 , ose 2 x - 5 = 0 dmth x = 2.5 . Pra, ekuacioni ka dy rrënjë: 0 Dhe 2.5
Shembulli 2: zgjidhin ekuacionin 3 x 2 - 27 = 0 .
ne kemi 3 x 2 = 27 . Prandaj, rrënjët e këtij ekuacioni janë 3 Dhe -3 .

Teorema e Vietës. Nëse ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 + px+q =0 ka rrënjë reale, atëherë shuma e tyre është e barabartë me - fq, dhe produkti është i barabartë q dmth

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë).

Me këtë program matematikor mundeni zgjidhni ekuacionin kuadratik.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu shfaq procesin e zgjidhjes në dy mënyra:
- duke përdorur një diskriminues
- duke përdorur teoremën e Vietës (nëse është e mundur).

Për më tepër, përgjigja shfaqet si e saktë, jo e përafërt.
Për shembull, për ekuacionin \(81x^2-16x-1=0\) përgjigjja shfaqet në formën e mëposhtme:

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një polinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, kur zgjidhet një ekuacion kuadratik, shprehja e paraqitur fillimisht thjeshtohet.
Për shembull: 1/2(y-1)(y+1)-(5v-10&1/2)

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Ekuacioni kuadratik dhe rrënjët e tij. Ekuacionet kuadratike jo të plota

Secili nga ekuacionet
\(-x^2+6x+1.4=0, \katër 8x^2-7x=0, \katër x^2-\frac(4)(9)=0 \)
duket si
\(ax^2+bx+c=0, \)
ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë numra.
Në ekuacionin e parë a = -1, b = 6 dhe c = 1,4, në të dytin a = 8, b = -7 dhe c = 0, në të tretin a = 1, b = 0 dhe c = 4/9. Ekuacione të tilla quhen ekuacionet kuadratike.

Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratik quhet ekuacion i formës ax 2 +bx+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \(a \neq 0 \).

Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b është koeficienti i dytë dhe numri c është termi i lirë.

Në secilin prej ekuacioneve të formës ax 2 +bx+c=0, ku \(a \neq 0 \), fuqia më e madhe e ndryshores x është katror. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.

Vini re se një ekuacion kuadratik quhet gjithashtu një ekuacion i shkallës së dytë, pasi ana e majtë e tij është një polinom i shkallës së dytë.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti x 2 është i barabartë me 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Për shembull, ekuacionet kuadratike të dhëna janë ekuacionet
\(x^2-11x+30=0, \katër x^2-6x=0, \katër x^2-8=0 \)

Nëse në një ekuacion kuadratik ax 2 +bx+c=0 të paktën njëri nga koeficientët b ose c është i barabartë me zero, atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacioni kuadratik jo i plotë. Kështu, ekuacionet -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 janë ekuacione kuadratike jo të plota. Në të parin b=0, në të dytën c=0, në të tretën b=0 dhe c=0.

Ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
1) ax 2 +c=0, ku \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, ku \(b \neq 0 \);
3) sëpatë 2 =0.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të secilit prej këtyre llojeve.

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 +c=0 për \(c \neq 0 \), zhvendoseni termin e tij të lirë në anën e djathtë dhe ndani të dyja anët e ekuacionit me a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Shigjeta djathtas x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Meqenëse \(c \neq 0 \), atëherë \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Nëse \(-\frac(c)(a)>0\), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

Nëse \(-\frac(c)(a) Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 +bx=0 me \(b \neq 0 \) faktorizoni anën e majtë të tij dhe merrni ekuacionin
\(x(ax+b)=0 \Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \djathtas. \Rightshigjeta \majtas\( \fillimi (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (array) \djathtas.

Kjo do të thotë që një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 +bx=0 për \(b \neq 0 \) ka gjithmonë dy rrënjë.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0 dhe për këtë arsye ka një rrënjë të vetme 0.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të shqyrtojmë tani se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike në të cilat të dy koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero.

Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme dhe si rezultat marrim formulën për rrënjët. Kjo formulë mund të përdoret më pas për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Të zgjidhim ekuacionin kuadratik ax 2 +bx+c=0

Duke i pjesëtuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin ekuivalent të reduktuar kuadratik
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Le ta transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorin e binomit:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\djathtas)^2- \left(\frac(b)(2a)\djathtas)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Shigjeta djathtas \)

Shprehja radikale quhet diskriminues i një ekuacioni kuadratik sëpatë 2 +bx+c=0 (“diskriminues” në latinisht - diskriminues). Përcaktohet me shkronjën D, d.m.th.
\(D = b^2-4ac\)

Tani, duke përdorur shënimin diskriminues, ne rishkruajmë formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ku \(D= b^2-4ac \)

Është e qartë se:
1) Nëse D>0, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
2) Nëse D=0, atëherë ekuacioni kuadratik ka një rrënjë \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Nëse D Kështu, në varësi të vlerës së diskriminuesit, një ekuacion kuadratik mund të ketë dy rrënjë (për D > 0), një rrënjë (për D = 0) ose nuk ka rrënjë (për D Kur zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, këshillohet të veproni në mënyrën e mëposhtme:
1) llogaritni diskriminuesin dhe krahasoni atë me zero;
2) nëse diskriminuesi është pozitiv ose i barabartë me zero, atëherë përdorni formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është negativ, atëherë shkruani se nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Ekuacioni i dhënë kuadratik ax 2 -7x+10=0 ka rrënjët 2 dhe 5. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi është 10. Shohim që shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me të kundërtën. shenjë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Çdo ekuacion kuadratik i reduktuar që ka rrënjë e ka këtë veti.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Ato. Teorema e Vietës thotë se rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +px+q=0 kanë vetinë:
\(\majtas\( \fillimi(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \fund (array) \djathtas. \)