Shkalla e polinomeve dhe forma standarde e polinomit. Kuptimi i fjalës polinom

- polinomet. Në këtë artikull do të përshkruajmë të gjithë informacionin fillestar dhe të nevojshëm për polinomet. Këto përfshijnë, së pari, përkufizimin e një polinomi me përkufizime shoqëruese të termave të polinomit, në veçanti, termin e lirë dhe terma të ngjashëm. Së dyti, le të ndalemi në polinomet e formës standarde, të japim përkufizimin përkatës dhe të japim shembuj të tyre. Së fundi, ne do të prezantojmë përkufizimin e shkallës së një polinomi, do të kuptojmë se si ta gjejmë atë dhe do të flasim për koeficientët e termave të polinomit.

Navigimi i faqes.

Polinomi dhe termat e tij - përkufizime dhe shembuj

Në klasën 7, polinomet studiohen menjëherë pas monomëve, kjo është e kuptueshme, pasi përkufizimi polinom jepet nëpërmjet monomëve. Le të japim këtë përkufizim për të shpjeguar se çfarë është një polinom.

Përkufizimi.

Polinomështë shuma e monomëve; Një monom konsiderohet një rast i veçantë i një polinomi.

Përkufizimi i shkruar ju lejon të jepni sa më shumë shembuj të polinomeve që dëshironi. Cilido nga monomët 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, etj. është një polinom. Gjithashtu, sipas përkufizimit, 1+x, a 2 +b 2 dhe janë polinome.

Për lehtësinë e përshkrimit të polinomeve, është paraqitur një përkufizim i një termi polinom.

Përkufizimi.

Termat polinom janë monomët përbërës të një polinomi.

Për shembull, polinomi 3 x 4 −2 x y+3−y 3 përbëhet nga katër terma: 3 x 4 , −2 x y , 3 dhe −y 3 . Një monom konsiderohet një polinom i përbërë nga një term.

Përkufizimi.

Polinomet që përbëhen nga dy dhe tre terma kanë emra të veçantë - binom Dhe trinom përkatësisht.

Pra, x+y është një binom, dhe 2 x 3 q−q x x x+7 b është një trinom.

Në shkollë, më së shpeshti na duhet të punojmë binomi linear a x+b , ku a dhe b janë disa numra, dhe x është një ndryshore, si dhe c trinomi kuadratik a·x 2 +b·x+c, ku a, b dhe c janë disa numra dhe x është një ndryshore. Këtu janë shembuj të binomeve lineare: x+1, x 7,2−4, dhe këtu janë shembuj të trinomeve katrore: x 2 +3 x−5 dhe .

Polinomet në shënimin e tyre mund të kenë terma të ngjashëm. Për shembull, në polinomin 1+5 x−3+y+2 x termat e ngjashëm janë 1 dhe −3, si dhe 5 x dhe 2 x. Ata kanë emrin e tyre të veçantë - terma të ngjashëm të një polinomi.

Përkufizimi.

Terma të ngjashëm të një polinomi termat e ngjashëm në një polinom quhen.

Në shembullin e mëparshëm, 1 dhe −3, si dhe çifti 5 x dhe 2 x, janë terma të ngjashëm të polinomit. Në polinomet që kanë terma të ngjashëm, mund të kryeni një reduktim të termave të ngjashëm për të thjeshtuar formën e tyre.

Polinom i formës standarde

Për polinomet, si për monomët, ekziston e ashtuquajtura formë standarde. Le të shprehim përkufizimin përkatës.

Bazuar në këtë përkufizim, mund të japim shembuj të polinomeve të formës standarde. Pra, polinomet 3 x 2 −x y+1 dhe shkruar në formë standarde. Dhe shprehjet 5+3 x 2 −x 2 +2 x z dhe x+x y 3 x z 2 +3 z nuk janë polinome të formës standarde, pasi i pari prej tyre përmban terma të ngjashëm 3 x 2 dhe −x 2, dhe në e dyta – një monom x·y 3 ·x·z 2 , forma e të cilit është e ndryshme nga ajo standarde.

Vini re se, nëse është e nevojshme, gjithmonë mund ta zvogëloni polinomin në formën standarde.

Një koncept tjetër që lidhet me polinomet e formës standarde është koncepti i një termi të lirë të një polinomi.

Përkufizimi.

Termi i lirë i një polinomiështë anëtar i një polinomi të formës standarde pa një pjesë shkronjash.

Me fjalë të tjera, nëse një polinom i formës standarde përmban një numër, atëherë ai quhet anëtar i lirë. Për shembull, 5 është termi i lirë i polinomit x 2 z+5, por polinomi 7 a+4 a b+b 3 nuk ka një term të lirë.

Shkalla e një polinomi - si ta gjejmë atë?

Një tjetër përkufizim i rëndësishëm i lidhur është përcaktimi i shkallës së një polinomi. Së pari, përcaktojmë shkallën e një polinomi të formës standarde, ky përkufizim bazohet në shkallët e monomëve që janë në përbërjen e tij.

Përkufizimi.

Shkalla e një polinomi të formës standardeështë më i madhi nga fuqitë e monomëve të përfshirë në shënimin e tij.

Le të japim shembuj. Shkalla e polinomit 5 x 3 −4 është e barabartë me 3, pasi monomët 5 x 3 dhe −4 të përfshirë në të kanë përkatësisht shkallën 3 dhe 0, më i madhi nga këta numra është 3, që është shkalla e polinomit. sipas definicionit. Dhe shkalla e polinomit 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x i barabartë me më të madhin nga numrat 2+3=5, 4+1=5 dhe 1, pra 5.

Tani le të zbulojmë se si të gjejmë shkallën e një polinomi të çdo forme.

Përkufizimi.

Shkalla e një polinomi me formë arbitrare thirrni shkallën e polinomit përkatës të formës standarde.

Pra, nëse një polinom nuk është shkruar në formë standarde, dhe ju duhet të gjeni shkallën e tij, atëherë duhet të zvogëloni polinomin origjinal në formën standarde dhe të gjeni shkallën e polinomit që rezulton - do të jetë ajo e kërkuar. Le të shohim shembullin e zgjidhjes.

Shembull.

Gjeni shkallën e polinomit 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Zgjidhje.

Së pari ju duhet të përfaqësoni polinomin në formë standarde:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Polinomi që rezulton i formës standarde përfshin dy monomë −2 · a 2 · b 2 · c 2 dhe y 2 · z 2 . Le të gjejmë fuqitë e tyre: 2+2+2=6 dhe 2+2=4. Natyrisht, më i madhi nga këto fuqi është 6, që sipas përkufizimit është fuqia e një polinomi të formës standarde. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, dhe rrjedhimisht shkalla e polinomit origjinal., 3 x dhe 7 të polinomit 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Referencat.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 7-të arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 17-të, shto. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 f.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa e 10-të: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Arsimi, 2010.- 368 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

polinom, shprehje e formës

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

ku x, y, ..., w ≈ variabla, dhe A, B, ..., D (koeficientët M) dhe k, l, ..., t (eksponentë ≈ numra të plotë jo negativ) ≈ konstante. Termat individualë të formës Ахkyl┘..wm quhen terma të M. Rendi i termave, si dhe renditja e faktorëve në çdo term, mund të ndryshohet në mënyrë arbitrare; në të njëjtën mënyrë, ju mund të prezantoni ose të hiqni termat me koeficient zero, dhe në çdo term individual ≈ fuqi me koeficient zero. Kur një strukturë ka një, dy ose tre anëtarë, ajo quhet monom, binom ose trinom. Dy terma të një ekuacioni quhen të ngjashëm nëse eksponentët e tyre për ndryshore identike janë të barabartë në çift. Anëtarë të ngjashëm

A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

mund të zëvendësohet me një (duke sjellë terma të ngjashëm). Dy modele quhen të barabartë nëse, pas reduktimit të atyre të ngjashëm, të gjithë termat me koeficientë jo zero rezultojnë të jenë identikë në çift (por ndoshta të shkruar në një renditje të ndryshme), dhe gjithashtu nëse të gjithë koeficientët e këtyre modeleve rezultojnë të jenë të barabartë me zero. Në rastin e fundit, sasia quhet zero identike dhe shënohet me shenjën 0. Sasia e një ndryshoreje x gjithmonë mund të shkruhet në formën

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

ku koeficientët a0, a1,..., an ≈.

Shuma e eksponentëve të çdo anëtari të një modeli quhet shkalla e atij anëtari. Nëse M nuk është identikisht zero, atëherë midis termave me koeficientë jozero (supozohet se janë dhënë të gjithë termat e tillë) ka një ose më shumë të shkallës më të lartë; kjo shkallë më e madhe quhet shkalla e M. Zero identike nuk ka shkallë. M. i shkallës zero reduktohet në një term A (konstant, jo i barabartë me zero). Shembuj: xyz + x + y + z është një polinom i shkallës së tretë, 2x + y ≈ z + 1 është një polinom i shkallës së parë (lineare M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 nuk ka shkallë, pasi është identikisht zero. . Një model, të gjithë anëtarët e të cilit janë të së njëjtës shkallë, quhet model ose formë homogjene; format e shkallës së parë, të dytë dhe të tretë quhen lineare, kuadratike, kubike, dhe sipas numrit të ndryshoreve (dy, tre) binare (binare), trigeminale (treshe) (për shembull, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz është një formë kuadratike trigeminale).

Për sa i përket koeficientëve të algjebrës, supozohet se ata i përkasin një fushe të caktuar (shihni fushën algjebrike), për shembull, fusha e numrave racionalë, realë ose kompleksë. Duke kryer veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit në një model të bazuar në ligjet komutative, kombinuese dhe distributive, përsëri fitohet një model Kështu, grupi i të gjithë modeleve me koeficientë nga një fushë e caktuar formon një unazë (shih Algjebrike. unazë) ≈ një unazë polinomesh mbi një fushë të caktuar; kjo unazë nuk ka pjesëtues zero, domethënë prodhimi i numrave jo të barabartë me 0 nuk mund të japë 0.

Nëse për dy polinome P(x) dhe Q(x) është e mundur të gjendet një polinom R(x) i tillë që P = QR, atëherë P thuhet se është i pjesëtueshëm me Q; Q quhet pjesëtues, dhe R ≈ herës. Nëse P nuk pjesëtohet me Q, atëherë mund të gjenden polinomet P(x) dhe S(x) të tillë që P = QR + S, dhe shkalla e S(x) është më e vogël se shkalla e Q(x).

Duke aplikuar në mënyrë të përsëritur këtë veprim, mund të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të P dhe Q, domethënë një pjesëtues të P dhe Q që është i pjesëtueshëm me çdo pjesëtues të përbashkët të këtyre polinomeve (shih algoritmin Euklidian). Një matricë që mund të paraqitet si produkt i një matrice të shkallëve më të ulëta me koeficientë nga një fushë e caktuar quhet e reduktueshme (në një fushë të caktuar), përndryshe quhet e pareduktueshme. Numrat e pakalueshëm luajnë një rol në unazën e numrave të ngjashëm me atë të numrave të thjeshtë në teorinë e numrave të plotë. Kështu, për shembull, teorema është e vërtetë: nëse produkti PQ është i pjesëtueshëm me një polinom të pakalueshëm R, por P nuk është i pjesëtueshëm me R, atëherë Q duhet të jetë i pjesëtueshëm me R. Çdo M me shkallë më të madhe se zero mund të zbërthehet në një fushë e dhënë në një produkt të faktorëve të pakalueshëm në një mënyrë unike (faktorë deri në shkallë zero). Për shembull, polinomi x4 + 1, i pakalueshëm në fushën e numrave racionalë, faktorizohet

në fushën e numrave realë dhe nga katër faktorë ═në fushën e numrave kompleks. Në përgjithësi, çdo model i një ndryshoreje x zbërthehet në fushën e numrave realë në faktorë të shkallës së parë dhe të dytë, dhe në fushën e numrave kompleksë në faktorë të shkallës së parë (teorema themelore e algjebrës). Për dy ose më shumë variabla kjo nuk mund të thuhet më; për shembull, polinomi x3 + yz2 + z3 është i pakalueshëm në çdo fushë numerike.

Nëse variablave x, y, ..., w u jepen vlera të caktuara numerike (për shembull, reale ose komplekse), atëherë M do të marrë gjithashtu një vlerë të caktuar numerike. Nga kjo rrjedh se çdo model mund të konsiderohet si funksion i variablave përkatës. Ky funksion është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm për çdo vlerë të variablave; mund të karakterizohet si një funksion i tërë racional, pra një funksion i përftuar nga ndryshoret dhe disa konstante (koeficientë) përmes mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit të kryera sipas një radhe të caktuar. Funksionet e tëra racionale përfshihen në një klasë më të gjerë funksionesh racionale, ku veprimeve të listuara u shtohet ndarja: çdo funksion racional mund të përfaqësohet si një herës i dy M. Së fundi, funksionet racionale përmbahen në klasën e funksioneve algjebrike.

Një nga vetitë më të rëndësishme të matematikës është se çdo funksion i vazhdueshëm mund të zëvendësohet me një gabim arbitrar të vogël nga matematika (teorema e Weierstrass; formulimi i saktë i saj kërkon që funksioni i dhënë të jetë i vazhdueshëm në disa grupe pikash të kufizuara dhe të mbyllura, për shembull, në një segment i boshtit real). Ky fakt, i vërtetuar me anë të analizës matematikore, bën të mundur që të shprehet përafërsisht matematikisht çdo marrëdhënie midis sasive të studiuara në çdo çështje të shkencës dhe teknologjisë natyrore. Metodat për një shprehje të tillë studiohen në seksione të veçanta të matematikës (shih Përafrimi dhe interpolimi i funksioneve, Metoda e katrorëve më të vegjël).

Në algjebrën elementare, një polinom nganjëherë quhet shprehje algjebrike në të cilën veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, për shembull.

Ndezur. : Kurosh A.G., Kursi i Algjebrës së Lartë, botimi i 9-të, M., 1968; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Algjebra e Lartë, botimi i dytë, M., 1965.

Sipas përkufizimit, një polinom është një shprehje algjebrike që përfaqëson shumën e monomëve.

Për shembull: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 janë polinome dhe shprehja z/(x - x*y^2 + 4) nuk është polinom sepse nuk është shumë monomësh. Një polinom nganjëherë quhet edhe polinom, dhe monomët që janë pjesë e një polinomi janë anëtarë të një polinomi ose monomësh.

Koncepti kompleks i polinomit

Nëse një polinom përbëhet nga dy terma, atëherë ai quhet binom, nëse përbëhet nga tre, quhet trinom. Emrat katërnom, pesënom e të tjerë nuk përdoren dhe në raste të tilla thonë thjesht polinom. Emra të tillë, në varësi të numrit të termave, vendosin gjithçka në vendin e vet.

Dhe termi monom bëhet intuitiv. Nga pikëpamja matematikore, një monom është një rast i veçantë i një polinomi. Një monom është një polinom që përbëhet nga një term.

Ashtu si një monom, një polinom ka formën e tij standarde. Forma standarde e një polinomi është një shënim i tillë i një polinomi në të cilin të gjithë monomët e përfshirë në të si terma shkruhen në një formë standarde dhe jepen terma të ngjashëm.

Forma standarde e polinomit

Procedura për reduktimin e një polinomi në formë standarde është të reduktoni secilin prej monomëve në formën standarde dhe më pas të shtoni të gjithë monomët e ngjashëm së bashku. Shtimi i termave të ngjashëm të një polinomi quhet reduktim i ngjashëm.
Për shembull, le të japim terma të ngjashëm në polinomin 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Termat 4*a*b^2*c^3 dhe 6*a*b^2*c^3 janë të ngjashëm këtu. Shuma e këtyre termave do të jetë monomi 10*a*b^2*c^3. Prandaj, polinomi origjinal 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b mund të rishkruhet si 10*a*b^2*c^3 - a* b . Kjo hyrje do të jetë forma standarde e një polinomi.

Nga fakti se çdo monom mund të reduktohet në një formë standarde, rrjedh gjithashtu se çdo polinom mund të reduktohet në një formë standarde.

Kur një polinom reduktohet në një formë standarde, mund të flasim për një koncept të tillë si shkalla e një polinomi. Shkalla e një polinomi është shkalla më e lartë e një monomi të përfshirë në një polinom të caktuar.
Kështu, për shembull, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 është një polinom i shkallës së pestë, pasi shkalla maksimale e monomit të përfshirë në polinomin (5*x^3*y^ 2) është i pesti.

Ose, në mënyrë rigoroze, është një shumë formale e fundme e formës

Në veçanti, një polinom në një ndryshore është një shumë formale e fundme e formës

Duke përdorur një polinom, rrjedhin konceptet e "ekuacionit algjebrik" dhe "funksionit algjebrik".

Studimi dhe Aplikimi[ | ]

Studimi i ekuacioneve polinomiale dhe zgjidhjeve të tyre ishte ndoshta objekti kryesor i "algjebrës klasike".

Një numër transformimesh në matematikë shoqërohen me studimin e polinomeve: futja në shqyrtimin e numrave zero, negativ dhe më pas kompleks, si dhe shfaqja e teorisë së grupit si një degë e matematikës dhe identifikimi i klasave të funksioneve të veçanta. në analizë.

Thjeshtësia teknike e llogaritjeve të lidhura me polinomet në krahasim me klasat më komplekse të funksioneve, si dhe fakti që grupi i polinomeve është i dendur në hapësirën e funksioneve të vazhdueshme në nënbashkësi kompakte të hapësirës Euklidiane (shih teoremën e përafrimit të Weierstrass), kontribuoi në zhvillimi i metodave të zgjerimit të serive dhe të zgjerimit polinomial në analizën matematikore.

Polinomët luajnë gjithashtu një rol kyç në gjeometrinë algjebrike, objekti i së cilës janë grupe të përcaktuara si zgjidhje për sistemet e polinomeve.

Vetitë e veçanta të koeficientëve të transformimit gjatë shumëzimit të polinomeve përdoren në gjeometrinë algjebrike, algjebrën, teorinë e nyjeve dhe në degë të tjera të matematikës për të koduar ose shprehur vetitë e objekteve të ndryshme në polinome.

Përkufizime të ngjashme[ | ]

• Polinom i formës c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cpika x_(n)^(i_(n))) thirrur monom ose monom me shumë indeks I = (i 1 , … , i n) (\style ekrani I=(i_(1),\pika ,\,i_(n))).
• Monomi që korrespondon me shumë indeks I = (0 , … , 0) (\style ekrani I=(0,\pika,\,0)) thirrur anëtar i lirë.
• Diplomë e plotë monom (jo zero). c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) quhet një numër i plotë |.
• Unë | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\pika +i_(n)) Shumë indekse të shumta I, për të cilat koeficientët c I (\displaystyle c_(I)) jo zero, i quajtur bartës i polinomit.
• , dhe trupi i saj konveks është poliedri i Njutonit Shkalla polinomiale.
• quhet maksimumi i fuqive të monomëve të tij. Shkalla e zeros identike përcaktohet më tej nga vlera − ∞ (\displaystyle -\infty) ose Një polinom që është shuma e dy monomëve quhet,
• binom binom.
• Një polinom që është shuma e tre monomëve quhet trinom Koeficientët e polinomit zakonisht merren nga një unazë komutative specifike trinom R (\displaystyle R) (më shpesh fusha, për shembull, fusha me numra realë ose kompleksë). Në këtë rast, në lidhje me veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit, polinomet formojnë një unazë (për më tepër, një algjebër asociative-komutative mbi unazë
• pa pjesëtues zero) që shënohet R [x1, x 2, …, x n].(\displaystyle R.) Për një polinom p (x) (\displaystyle p(x))

një ndryshore, duke zgjidhur ekuacionin[ | ]

p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) quhet rrënja e saj. Funksionet polinomiale trinom Le A (\displaystyle A) ka një algjebër mbi një unazë

p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\shfaqja e stilit p(x)\në R) përcakton një funksion polinom.

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\në A) trinom Rasti më i konsideruar është A = R (\displaystyle A=R) Në rast është një fushë me numra realë ose kompleksë (si dhe çdo fushë tjetër me një numër të pafund elementësh), funksioni Dhe f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\në R) përcakton plotësisht polinomin p. Megjithatë, në përgjithësi kjo nuk është e vërtetë, për shembull: polinomet p 1 (x) ≡ x (\style ekranit p_(1)(x)\equiv x) p 2 (x) ≡ x 2 (\style ekranit p_(2)(x)\equiv x^(2)) nga.

Një funksion polinom i një ndryshoreje reale quhet një funksion i tërë racional.

Llojet e polinomeve[ | ]

Vetitë [ | ]

Pjesëtueshmëria [ | ]

Roli i polinomeve të pakalueshëm në unazën polinomiale është i ngjashëm me rolin e numrave të thjeshtë në unazën e numrave të plotë. Për shembull, teorema është e vërtetë: nëse prodhimi i polinomeve p q (\displaystyle pq)është i pjesëtueshëm me një polinom të pakalueshëm, atëherë fq ose q ndarë nga λ (\displaystyle \lambda). Çdo polinom me shkallë më të madhe se zero mund të zbërthehet në një fushë të caktuar në një produkt të faktorëve të pareduktueshëm në një mënyrë unike (deri në faktorët e shkallës zero).

Për shembull, një polinom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), i pareduktueshëm në fushën e numrave racionalë, zbërthehet në tre faktorë në fushën e numrave realë dhe në katër faktorë në fushën e numrave kompleksë.

Në përgjithësi, çdo polinom në një ndryshore x (\displaystyle x) zbërthehet në fushën e numrave realë në faktorë të shkallës së parë dhe të dytë, në fushën e numrave kompleksë në faktorë të shkallës së parë (teorema themelore e algjebrës).

Për dy ose më shumë variabla kjo nuk mund të thuhet më. Mbi çdo fushë për këdo n > 2 (\displaystyle n>2) ka polinome nga n (\displaystyle n) variabla që janë të pakalueshëm në çdo shtrirje të kësaj fushe. Polinome të tilla quhen absolutisht të pareduktueshëm.