Në rreshtin e tretë ka tre numra për secilin ekuacion kub, përkatësisht. porositi katërshe etj.
Se. marrim një matricë që mund të përshkohet duke përdorur procesin diagonal të Cantor. Nëse disa nga rrënjët e një ekuacioni algjebrik janë komplekse, ne thjesht i anashkalojmë ato kur numërojmë. Se. çdo numër algjebrik do të marrë një numër përkatës, dhe kjo konfirmon faktin se bashkësia e numrave realë algjebrikë në mënyrë të numërueshme .
Fakt numërueshmëria efikase grupi A rrjedh drejtpërdrejt nga metoda e dhënë e numërimit të elementeve me numra natyrorë, pasi në të njëjtën kohë tregohet një procedurë efektive për numërimin e grupeve të numrave racionalë që përcaktojnë në mënyrë unike ekuacione algjebrike të shkallës përkatëse. Është e rëndësishme që ekuacioni algjebrik i shkallës së n-të të ketë një algoritëm zgjidhjeje efektive, d.m.th. procedura është plotësisht efektive. Pra, grupi i numrave realë algjebrikë është i numërueshëm dhe efektivisht i numërueshëm, Q.E.D.
Grupet e përbëra nga të gjitha çiftet, trinjakët etj. të numrave algjebrikë do të jenë gjithashtu të numërueshme.
2.3.7. Bashkësi numrash të numërueshme: përgjithësim
T.2 Teorema (pa prova)
Grupi i elementeve që mund të përfaqësohen duke përdorur një numër të kufizuar simbolesh të numërueshme është i numërueshëm.
Në jetën reale, ne përdorim sisteme të ndryshme të shenjave të fundme, si numra, shkronja, shënime.
Le të shqyrtojmë një sistem shenjash, për shembull, numrat në çdo sistem numrash të fundëm, le të themi dhjetore. Duke pasur 10 karaktere në dispozicionin tonë: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ne mund të krijojmë dy lloje grupesh: gjatësi fikse dhe gjatësi arbitrare.
Në rastin e parë, ne po flasim për një problem thjesht kombinues, për shembull, mund të krijoni 105 sekuenca të ndryshme me pesë karaktere. Ky është një numër mjaft i madh, por është një numër natyror dhe kardinaliteti i grupit të konsideruar të të gjitha sekuencave të mundshme të këtij lloji shprehet me një numër natyror. Në rastin e dytë, bashkësia e sekuencave të tilla do të jetë e pafundme në mënyrë të numërueshme, për analogji me bashkësitë e komplekseve të numrave natyrorë, dhe kardinaliteti i saj është numri aleph-zero.
Mund të përgjithësohet se grupi i përftuar si rezultat i zbatimit të Teoremës 2.3.(7) do të jetë i pafund në mënyrë të numërueshme nëse, në rastin e një sistemi të fundëm shenjash, lejohen komplekse të gjata arbitrare të shenjave (për aq kohë sa dëshirohet, por megjithatë e fundme!).
Në mënyrë të pafundme janë, për shembull:
· një grup "fjalësh" që mund të kompozohen duke përdorur një alfabet të fundëm ("një fjalë" këtu është një kompleks shkronjash, pavarësisht nëse kanë kuptim apo jo),
· grupi i të gjithë librave të shkruar në çdo apo edhe të gjitha gjuhët,
· grup i të gjitha simfonive etj.
§ 2.4. Komplete të panumërta
2.4.1. Pallogaritshmëria e grupit të numrave realë (vazhdimësi)
Bashkësinë e numrave realë e shënojmë me shkronjën latine R.
T.2 Teorema
Bashkësia e numrave realë është e panumërueshme.
Dëshmi
Le të supozojmë të kundërtën, le të jetë e numërueshme bashkësia e numrave realë. Atëherë çdo nëngrup i një grupi të numërueshëm është gjithashtu i numërueshëm. Në grupin e numrave realë, le të marrim një nëngrup R1 - intervalin (0,1) dhe të heqim nga ky segment numrat që përmbajnë zero ose nëntë në të paktën një nga shifrat e tyre (shembuj të numrave të tillë: 0.9, 0.0001, etj. ). Bashkësia R2, e përbërë nga numrat e mbetur, është një nëngrup i grupit R1. Kjo do të thotë se R2 është i numërueshëm.
Nga fakti që R2 është i numërueshëm, rrjedh drejtpërdrejt se një mënyrë për të numëruar elementët e tij është e mundur të vendoset një korrespondencë një-për-një midis elementeve të R2 dhe elementeve të grupit të numrave natyrorë. Kjo rrjedh nga vetë përkufizimi i kardinalitetit të një grupi, sipas të cilit supozohet se në grupe me kardinalitet të barabartë, çdo element i një grupi ka një element të çiftuar nga një grup tjetër dhe anasjelltas. Ju lutemi vini re se ndryshimi themelor midis këtij përkufizimi dhe përkufizimit të numërueshmërisë efektive është se në këtë rast nuk po flasim as për praninë e ndonjë algoritmi numërimi, thjesht pretendojmë se është e mundur të japim një listë të numrave realë nga grupi. R2 dhe një listë numrash natyrorë përkatës nga bashkësia N. Në këtë rast, nuk na intereson algoritmi për ndërtimin e lidhjes N ↔ R2, mjafton që një korrespondencë e tillë të jetë e mundur.
Le të ndërtojmë listën e mëposhtme të numrave nga grupi R2 dhe të numërojmë numrat me shifra:
Tani le të ndërtojmë numrin b=0.b1b2…, dhe
bi=aii+1, ku + tregon veprimin e mbledhjes, rezultati i të cilit nuk mund të jenë numrat 0 dhe 9, pra nëse aii=1, atëherë bi=2; nëse aii=2, atëherë bi=3, ...., nëse aii=8, atëherë bi=1).
Kështu, numri i ndërtuar b do të ndryshojë nga secili prej numrave në grupin R2 në të paktën një shifër, dhe, për rrjedhojë, nuk do të përfshihet në listën e përpiluar. Megjithatë, nga struktura e tij, numri b duhet të përmbahet në grupin R2. Ne marrim një kontradiktë, që do të thotë se supozimi origjinal është i pasaktë dhe grupi R2 është i panumërueshëm.
Meqenëse bashkësia R2 është sipas kushtit një nëngrup i grupit R1, atëherë R1 është i panumërueshëm, dhe meqenëse R1 është i panumërueshëm, atëherë grupi R është i panumërueshëm, Q.E.D.
Shënim: Nuk keni pse të hidhni numrat që përmbajnë 0 dhe 9. Kështu, disa numra do të shfaqen dy herë në serinë tonë. Kjo ndodh sepse thyesat e fundme mund të shndërrohen në thyesa të pafundme. Për shembull ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).
Në përgjithësi, kjo mund të jetë arsyeja që nuk ishte e mundur të numërohej grupi i numrave realë. Por bashkësia e numrave që mund të paraqitet në dy mënyra (thyesat e fundme) është bashkësia e numrave racionalë. Siç u vërtetua më herët, ka një numër të numërueshëm të tyre. Madje mund të tregohet se ky grup është efektivisht i numërueshëm. Se. edhe një paraqitje e dyfishtë e bashkësisë së numrave të tillë formon një bashkësi të numërueshme, prandaj vërtetimi është i saktë edhe pa një thjeshtësim të tillë.
U mor një rezultat thelbësisht i ri - u gjet një grup i panumërueshëm numrash. Fuqia e tij, sipas teoremës së provuar, nuk është e barabartë me alef-zero (À0), që do të thotë se nevojitet një numër i ri në shkallën transfinite.
Aleph ( À) – numri i dytë transfinit. Sipas përkufizimit, kjo është fuqia e vazhdimësisë (e të gjithë numrave realë). Kjo është fuqia e dytë më e lartë e pafundme. Teorema e sapo provuar 2.4.(1) mbi panumërueshmërinë e bashkësisë së numrave realë është një provë bindëse se kardinaliteti i kësaj bashkësie është më i madh se alef-zero (më i madh se bashkësia e numrave natyrorë). Dhe ky është një rezultat shumë i rëndësishëm pas një sërë provash të numërimit të grupeve të ndryshme të numrave.
Nëse operojmë me konceptin e një numri kardinal (fuqi), marrim se, pasi çdo numër i segmentit (0,1) mund të përfaqësohet nga një fraksion dhjetor i formës 0.a1a2a3... të paktën një herë dhe në më së shumti dy herë, atëherë:
À≤10 À0≤ 2À,
dhe meqenëse 2À=À, marrim se 10 À0= À. I njëjti arsyetim është i vlefshëm nëse i zbërthejmë numrat jo në dhjetore, por, për shembull, në thyesa binare, thyesa me bazë 3, 15, 10005 ose edhe À0 (nëse mund ta imagjinoni këtë).
Se. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0
Nëse mendoni për këtë, mund të zbuloni një fakt tjetër jo plotësisht të dukshëm nga teoria e grupeve. À2=À À është fuqia e bashkësisë së çifteve të numrave realë. Një çift numrash realë, në përgjithësi, korrespondon me një pikë në rrafsh. Nga ana tjetër, À3=À À À është fuqia e grupit të trinjakëve të numrave realë, dhe këto janë pika në hapësirë. Arsyetimi mund të vazhdohet më tej deri në À0 - një hapësirë dimensionale ose grup i të gjitha sekuencave të numrave realë me gjatësi të numërueshme. Se. të gjitha hapësirat me dimensione të fundme ose me dimensione të numërueshme kanë të njëjtin kardinalitet À (këtu À është numri i pikave në hapësirë).
Për një hapësirë reale 0-dimensionale ose bashkësinë e të gjitha sekuencave të numrave realë me gjatësi të numërueshme, nga pikëpamja e veprimeve në numrat kardinal, marrim ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.
Në këtë pikë do të jetë interesante t'i drejtohemi ngjarjeve historike që lidhen me një sërë dëshmish në këtë fushë. Matematikanët, megjithëse jo menjëherë, përfundimisht u pajtuan me faktin se ka po aq pika në një drejtëz të pafundme sa ka në një segment. Por rezultati tjetër i Cantor ishte edhe më i papritur. Në kërkim të një grupi që ka më shumë elementë se një segment në boshtin real, ai e ktheu vëmendjen te grupi i pikave të një katrori. Fillimisht, nuk kishte asnjë dyshim për rezultatin: në fund të fundit, i gjithë segmenti ndodhet në njërën anë të sheshit, dhe grupi i të gjitha segmenteve në të cilat mund të zbërthehet vetë sheshi ka të njëjtin kardinalitet si grupi i pikave të segment. Për gati tre vjet (nga 1871 deri në 1874), Cantor kërkoi prova se një korrespodencë një-për-një midis pikave të një segmenti dhe pikave të një katrori është e pamundur. Dhe në një moment, krejtësisht të papritur, doli rezultati saktësisht i kundërt: ai arriti të ndërtonte një korrespondencë që sinqerisht e konsideronte të pamundur. Cantor nuk e besoi veten dhe madje i shkroi matematikanit gjerman Richard Dedekind: "E shoh, por nuk e besoj". Kur tronditja e këtij fakti kaloi, u bë e qartë intuitivisht dhe shpejt u vërtetua se një kub ka të njëjtin numër pikash si një segment. Në përgjithësi, çdo figurë gjeometrike në një plan (një trup gjeometrik në hapësirë) që përmban të paktën një vijë ka të njëjtin numër pikash si një segment. Komplete të tilla quheshin grupe të fuqisë së vazhdueshme (nga latinishtja Continuum - e vazhdueshme). Hapi tjetër është pothuajse i dukshëm: dimensioni i hapësirës brenda kufijve të caktuar është i parëndësishëm. Për shembull, një plan 2-dimensional, një hapësirë e njohur 3-dimensionale, hapësira n-dimensionale 4, 5 dhe më tej janë të fuqisë së barabartë për sa i përket numrit të pikave që përmbahen në trupin përkatës n-dimensional. Kjo situatë do të vërehet edhe në rastin e një hapësire me një numër të pafund dimensionesh, është e rëndësishme vetëm që ky numër të jetë i numërueshëm.
Në këtë fazë, janë zbuluar dy lloje pafundësish dhe, në përputhje me rrethanat, dy numra transfinite që tregojnë fuqitë e tyre. Bashkësitë e tipit të parë kanë fuqi ekuivalente me fuqinë e numrave natyrorë (aleph-zero). Kompletet e tipit të dytë kanë kardinalitet të barabartë me numrin e pikave në boshtin real (kardinaliteti i vazhdimësisë, alefi). Tregohet se grupet e tipit të dytë kanë më shumë elemente se grupet e tipit të parë. Natyrisht, lind pyetja: a ka një grup "të ndërmjetëm" në natyrë që do të kishte një kardinalitet më të madh se numri i numrave natyrorë, por në të njëjtën kohë më pak se grupi i pikave në një vijë? Kjo pyetje e vështirë quhet "problemi i vazhdimësisë" . Ajo njihet edhe si "hipoteza e vazhdueshme" ose " Problemi i parë i Hilbertit". Formulimi i saktë është si më poshtë:
https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> XDIV_ADBLOCK186">
Si rezultat, pas shumë kërkimesh mbi hipotezën e vazhdimësisë, në vitin 1938 matematikani gjerman Kurt Gödel vërtetoi se ekzistenca e fuqisë së ndërmjetme nuk bie në kundërshtim me aksiomat e tjera të teorisë së grupeve. Dhe më vonë, në Pothuajse njëkohësisht, por në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri, matematikani amerikan Cohen dhe matematikani çek Vopenka treguan se prania e një fuqie të tillë të ndërmjetme nuk mund të nxirret nga aksiomat e tjera të teorisë së grupeve. Nga rruga, është interesante të theksohet se ky rezultat është shumë i ngjashëm me tregimin me postulatin e vijave paralele. Siç dihet, për dy mijë vjet ata u përpoqën ta nxjerrin atë nga aksiomat e tjera të gjeometrisë, por vetëm pas punës së Lobachevsky, Hilbert dhe të tjerëve ata arritën të merrnin të njëjtin rezultat: ky postulat nuk bie ndesh me aksiomat e tjera, por nuk mund të të nxirret prej tyre.
2.4.2. Komplete numrash komplekse, transcendentale dhe irracionale
Përveç grupit të numrave realë, ne paraqesim disa grupe të tjera të panumërueshme.
https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) Teorema
Bashkësia e numrave kompleksë është e panumërueshme.
Dëshmi
Meqenëse bashkësia e numrave realë R, e panumërueshme nga teorema 2.4.(1) e provuar më parë, është një nëngrup i bashkësisë së numrave kompleksë C, atëherë bashkësia e numrave kompleksë është gjithashtu e panumërueshme, Q.E.D.
Numri transcendental - një numër real që nuk është algjebrik.
Bashkësinë e numrave transcendental e shënojmë me shkronjën latine T. Çdo numër real transcendental është irracional, por e kundërta nuk është e vërtetë. Për shembull, një numër është irracional, por jo transcendental: është rrënja e ekuacionit x 2 − 2=0.
T.2 Teorema
Kompleti i numrave transcendent është i panumërueshëm.
Dëshmi
Meqenëse numrat realë janë një grup i panumërueshëm, dhe numrat algjebrikë janë të numërueshëm, dhe bashkësia A është një nëngrup i R, atëherë R\A (bashkësia e numrave transcendental) është një grup i panumërueshëm, Q.E.D.
Kjo provë e thjeshtë e ekzistencës së numrave transcendental u botua nga Cantor në 1873 dhe bëri një përshtypje të madhe në komunitetin shkencor, pasi vërtetoi ekzistencën e shumë numrave pa ndërtuar një shembull të vetëm specifik, por vetëm bazuar në konsiderata të përgjithshme. Asnjë shembull specifik i një numri transcendental nuk mund të nxirret nga kjo provë një provë e këtij lloji jokonstruktive .
Është e rëndësishme të theksohet se për një kohë të gjatë matematikanët merren vetëm me numra algjebrikë. U deshën përpjekje të konsiderueshme për të gjetur qoftë edhe disa numra transhendentë. Kjo u arrit për herë të parë nga matematikani francez Liouville në 1844, i cili vërtetoi një grup teoremash që bënë të mundur ndërtimin e shembujve specifikë të numrave të tillë. Për shembull, një numër transcendental është numri 0,..., në të cilin pas njësisë së parë ka një zero, pas të dytës - dy, pas të tretit - 6, pas n-së, përkatësisht, n! zero.
Është vërtetuar se logaritmi dhjetor i çdo numri të plotë përveç 10 është transcendent. n. Gjithashtu grupi i numrave transhendental përfshin mëkatin α, cos α dhe tg α për çdo numër algjebrik jozero α . Përfaqësuesit më të mrekullueshëm të numrave transcendental zakonisht konsiderohen si numra π Dhe e. Nga rruga, prova e transcendencës së numrit π , e kryer nga matematikani gjerman Karl Linderman në 1882, ishte një ngjarje e madhe shkencore, sepse nënkuptonte pamundësinë e katrorit të një rrethi. Historia e gjetjes së katrorit të një rrethi zgjati katër mijëvjeçarë dhe vetë termi u bë sinonim i problemeve të pazgjidhshme.
Njësia matëse" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">njësia e rrezes matëse të një rrethi dhe caktoni x gjatësia e brinjës së katrorit të kërkuar, atëherë problemi reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit: x 2 = π, nga ku: . Siç e dini, me ndihmën e një busull dhe një vizore mund të kryeni të 4 veprimet aritmetike dhe të nxirrni rrënjën katrore. Kjo do të thotë se kuadrimi i rrethit është i mundur nëse dhe vetëm nëse, duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh të tilla, është e mundur të ndërtohet një segment me gjatësi π. Kështu, pazgjidhshmëria e këtij problemi rrjedh nga natyra joalgjebrike (transcendenca) e numrit. π. Në fakt, problemi i kuadrimit të një rrethi reduktohet në problemin e ndërtimit të një trekëndëshi me bazë πr dhe lartësi r. Një katror i barabartë më pas mund të ndërtohet lehtësisht për të.
Në listën e përmendur më parë të 23 problemeve kryesore të matematikës, numri 7 ishte problemi në lidhje me transcendencën e numrave të formuar në një mënyrë të caktuar.
Problemi i shtatë i Hilbertit. Le të jetë a një numër algjebrik pozitiv jo i barabartë me 1, b një numër algjebrik irracional. Vërtetoni se ab është një numër transcendent.
Në vitin 1934, matematikani sovjetik Gelfond dhe pak më vonë matematikani gjerman Schneider vërtetuan vlefshmërinë e kësaj deklarate dhe kështu ky problem u zgjidh.
Dy fakte më interesante lidhen me parimin e ndarjes së numrave në racionalë dhe irracionalë, të cilët nuk perceptohen menjëherë si të vërteta.
T.2.4.(5) Teorema
Midis çdo dy numrash të ndryshëm racionalë ka gjithmonë një grup numrash irracionalë të fuqisë së vazhdueshme.
Dëshmi
Le të ketë dy numra racionalë, a Dhe b. Le të ndërtojmë një funksion linear, dhe për këtë arsye një-për-një f(x) = (x - a) / (b - a). Sepse f(a) = 0 dhe f(b) = 1, atëherë f(x) harton segmentin [ a; b] në segmentin , duke ruajtur racionalitetin e numrave. Prandaj, fuqitë e grupeve [ a; b] dhe numrat realë janë të barabartë dhe, siç është vërtetuar, fuqia e segmentit është e barabartë me fuqinë e vazhdimësisë. Duke zgjedhur vetëm numra irracionalë nga grupi që rezulton, marrim se midis çdo dy numrash racionalë ka gjithmonë një vazhdimësi numrash irracionalë, Q.E.D.
Në përgjithësi, kjo teoremë intuitivisht duket mjaft logjike. E mëposhtme, në pamje të parë, perceptohet me skepticizëm.
T. 2.4.(6) Teorema
Midis çdo dy numrash të ndryshëm irracionalë ka gjithmonë një grup të numërueshëm numrash racionalë.
Dëshmi
Le të jenë dy numra irracionalë a Dhe b, i shkruajmë shifrat përkatëse si a 1a 2a 3... dhe b 1b 2b 2..., ku ai, bi- numra dhjetorë. Le a < b, atëherë ka N të tillë që a N< b N. Të ndërtojmë një numër të ri c, pse le të vëmë ci = ai = bi Për i= 1, …, N-1. Le cN = bN-1. Është e qartë se c < b. Meqenëse të gjitha shifrat e numrit a pasi N-ja nuk mund të jetë nëntë (atëherë do të jetë një thyesë periodike, d.m.th. një numër racional), atëherë shënojmë me M >= N një shifër të tillë të numrit a, Çfarë a M< 9. Положим cj = aj, në N< j < M, и c M = 9. Në këtë rast c > a. Pra, ne morëm një numër racional c, e tillë që a < c < b. Shtimi i numrave në shënimin dhjetor cçdo numër i kufizuar i shifrave prapa ne mund të marrim çdo numër numrash racionalë ndërmjet a Dhe b. Duke i caktuar secilit numër të tillë numrin e tij serik, marrim një korrespondencë një me një midis grupit të këtyre numrave dhe grupit të numrave natyrorë, prandaj grupi që rezulton do të jetë i numërueshëm, Q.E.D.
Në këtë fazë, vërtetimi i teoremës së mëposhtme bëhet interesant dhe i rëndësishëm, kuptimi i së cilës para prezantimit të shkallës së numrave transfinit ishte përgjithësisht i dukshëm, dhe me shfaqjen e një aritmetike të tillë specifike kërkon prova rigoroze.
T.2 Teorema e Kantorit
Për çdo numër kardinal α, α<2α.
Dëshmi
1. Le ta vërtetojmë këtë të paktën α≤2α
Siç dihet, kardinaliteti i grupit Boolean M është i barabartë me 2|M|. Le të jetë bashkësia M = (m1, m2, m3, ...). Kompleti Boolean M (bashkësia e të gjitha nënbashkësive të tij) përfshin gjithashtu grupe që përbëhen nga një element i vetëm, për shembull (m1), (m2), (m3), .... Vetëm ky lloj nëngrupi do të jetë |M|, dhe përveç tyre, Boolean përfshin edhe nënbashkësi të tjera, që do të thotë se në çdo rast |M| ≤ 2|M|
2. Le të vërtetojmë rreptësinë e pabarazisë α<2α
Duke marrë parasysh atë që u vërtetua në paragrafin 1. mjafton të tregohet se një situatë në të cilën α=2α. Le të supozojmë të kundërtën, le të a=2α, d.m.th. |M| = 2|M|. Kjo do të thotë se M është ekuivalente me P(M), që do të thotë se ekziston një hartë e grupit M në P(M) të tij Boole. Se. Çdo element m i bashkësisë M ka një korrespondencë një me një me disa nëngrupe Mm që i përkasin P(M). Kjo do të thotë që çdo element m ose i përket nëngrupit përkatës Mm ose nuk i përket. Le të ndërtojmë një bashkësi M* të formuar nga të gjithë elementët e llojit të dytë (d.m.th. ato m që nuk i përkasin nëngrupeve të tyre përkatëse Mm)
Nga ndërtimi është e qartë se nëse ndonjë element m i përket M*, atëherë ai automatikisht nuk i përket Mm. Kjo, nga ana tjetër, do të thotë se për çdo m situata M*=Mm është e pamundur. Kjo do të thotë se bashkësia M* është e ndryshme nga të gjitha bashkësitë Mm dhe për të nuk ka asnjë element m një-për-një nga bashkësia M. Kjo nga ana tjetër do të thotë se barazia |M|= 2|M| gabim. Se. është vërtetuar se |M| < 2|M| ose α<2α , Q.E.D.
Kur zbatohet për marrjen në konsideratë të bashkësive të pafundme, kjo vërteton bindshëm se bashkësia e të gjitha nëngrupeve të numrave natyrorë (dhe kjo, në fakt, është bashkësia e komplekseve me gjatësi të pafundme) NUK është ekuivalente me vetë bashkësinë e numrave natyrorë. Kjo është, À0 ≠ 2À0. Dhe kjo do të thotë, për analogji, është e mundur të ndërtohet një grup edhe më i gjerë, për shembull, bazuar në numra realë. Me fjalë të tjera, pyetja në lidhje me llojet e tjera të grupeve të pafundme është: a ka një grup kardinaliteti më i madh se kardinaliteti i grupit të numrave realë? Nëse një pyetje e tillë i përgjigjet pozitivisht, lind menjëherë tjetra: a ka një grup fuqie edhe më të madhe? Pastaj edhe më shumë. Dhe së fundi, një pyetje logjike globale: a ekziston një grup i kardinalitetit më të madh?
T.2 Teorema
Për çdo grup A ekziston një grup B, kardinaliteti i të cilit është më i madh se A.
Dëshmi
Konsideroni grupin NË të gjitha funksionet e përcaktuara në komplet A dhe duke marrë vlerat 0 dhe 1. Çdo pikë A grupe A le të lidhim funksionin fa(x), i cili merr vlerën 1 në këtë pikë dhe vlerën 0 në pika të tjera Është e qartë se funksione të ndryshme korrespondojnë me pika të ndryshme. Nga kjo rrjedh se kardinaliteti i grupit NË jo më pak se fuqia e kompletit A (|B|≥|A|).
Le të supozojmë se ka shumë fuqi A Dhe NË të barabartë me njëri-tjetrin. Në këtë rast, ekziston një korrespondencë një-për-një midis elementeve të grupeve A Dhe NË. Le të shënojmë funksionin që korrespondon me elementin A nga shumë A, përmes fa(x). Të gjithë funksionet e familjes fa(x) marrin vlerën ose 0 ose 1. Le të ndërtojmë një funksion të ri φ(x)=1- fх(x). Kështu, për të gjetur vlerën e funksionit φ(x) në një moment A, që i përket grupit A, fillimisht duhet të gjejmë funksionin përkatës fa( A) dhe më pas zbresim nga njësia vlerën e këtij funksioni në pikë A. Nga konstruksioni del qartë se në bashkësi është përcaktuar edhe funksioni φ(x). A dhe merr vlerat 0 dhe 1. Prandaj, φ(x) është një element i grupit NË. Atëherë ka një numër b në bashkësinë A i tillë që φ(x) = fb(x). Duke marrë parasysh përkufizimin e paraqitur më parë të funksionit φ(x)=1- fх(x), marrim se për të gjitha x që i përkasin bashkësisë A, e vërtetë 1 - fх(x)= fb(x). Le të jetë x = b. Atëherë 1 - fb(b) = fb(b) dhe kjo do të thotë fb(b)=1/2. Ky rezultat kundërshton qartë faktin se vlerat e funksionit fb(x) janë të barabarta me zero ose një. Rrjedhimisht, supozimi i pranuar është i pasaktë, që do të thotë se nuk ka korrespondencë një-për-një ndërmjet elementeve të grupeve A Dhe NË (| A| ≠| B| ). Që nga viti | A| ≠|B| dhe në të njëjtën kohë | B| ≥| A| , Do të thotë | B| >|A| . Kjo do të thotë se për çdo grup A ju mund të ndërtoni një grup NË më shumë fuqi. Nga kjo mund të konkludojmë se nuk ka asnjë grup të kardinalitetit më të madh, Q.E.D.
Ekziston një lidhje mjaft e ngushtë midis grupit të ndërtuar të funksioneve dhe grupit Boolean A(bashkësia e të gjitha nëngrupeve A). Konsideroni grupin NË të gjitha nëngrupet e grupit A. Le ME– disa nëngrupe në A. Le të marrim funksionin f(x) , e cila merr vlerën 1 nëse X i takon ME, dhe vlera është 0 ndryshe. Kështu, nëngrupe të ndryshme ME korrespondojnë me funksione të ndryshme. Përkundrazi, çdo funksion f(x) , duke marrë dy vlera 0 dhe 1, korrespondon me një nëngrup in A, i përbërë nga këta elementë X, në të cilën funksioni merr vlerën 1. Kështu, është krijuar një korrespodencë një për një midis grupit të funksioneve të përcaktuara në grup A dhe duke marrë vlerat 0 dhe 1, dhe grupin e të gjitha nëngrupeve në A.
§ 2.5. Komplete me kardinalitet më të madh se kardinaliteti i vazhdimësisë
Pra, nuk ka asnjë grup të kardinalitetit më të madh. Dy numrat e parë transfinite kishin bashkësi në natyrë që i formuan (bashkësia e numrave natyrorë dhe bashkësia e numrave realë). Nëse fillojmë nga bashkësia e vazhdimësisë, atëherë mund të ndërtojmë bashkësinë e të gjitha nëngrupeve të vazhdimësisë, do të marrim Boolean-in e saj, le ta quajmë këtë grup BR. Sipas përkufizimit, fuqia e grupit BR është e barabartë me 2А. Sipas teoremës 2À≠À të Kantorit. Është e qartë se grupi BR është i pafund, prandaj, numri i tij kardinal është një numër transfinit dhe nuk mund të përkojë me asnjë nga dy numrat transfinit të konsideruar më parë. Kjo do të thotë se është koha për të futur numrin e tretë transfinit në shkallën tonë.
Aleph One ( À 1 ) – numri i tretë transfinit. Sipas përkufizimit, ky është kardinaliteti i grupit të të gjitha nëngrupeve të vazhdimësisë. I njëjti numër korrespondon me kardinalitetin e shumë grupeve të tjera, për shembull:
· Grupe të të gjitha funksioneve lineare që marrin çdo vlerë reale (një funksion linear është një funksion real i një ose më shumë ndryshoreve). Në thelb, këto janë grupe të të gjitha kthesave të mundshme në një hapësirë me dimensione të numërueshme, ku numri i dimensioneve n është çdo numër i kufizuar ose madje À0.
· Bashkësi figurash në rrafsh, d.m.th., bashkësi të të gjitha nëngrupeve pikash në rrafsh ose bashkësi të të gjitha nëngrupeve të çifteve të numrave realë.
· Grupe trupash në hapësirën e zakonshme tredimensionale, si dhe, në përgjithësi, në çdo hapësirë të numërueshme-dimensionale, ku numri i dimensioneve n është çdo numër i kufizuar ose edhe À0.
Meqenëse numri À1 prezantohet si kardinaliteti i grupit Boolean me kardinalitet À, marrim pohimin se À1 =2À.
§ 2.6. Paradokset e teorisë së grupeve
Lind një pyetje e arsyeshme: çfarë më pas? Çfarë ndodh nëse ndërtojmë bashkësinë e të gjitha nëngrupeve të bashkësisë BR. Me çfarë do të jetë i barabartë numri i tij kardinal (natyrisht, për analogji mund të supozojmë se është 2À1) dhe, më e rëndësishmja, me cilin grup të jetës reale do të korrespondojë kjo? A ka grupe të pafundme më të mëdha se BR dhe sa ka?
Edhe pse ne kemi treguar se numri më i madh transfinit nuk ekziston, siç tregojnë hulumtimet, është e pasigurt të ngjitesh gjithnjë e më tej në numra të rinj të mëdhenj kardinal - kjo çon në antinomi (paradokse). Në të vërtetë, cilido qoftë grupi i numrave kardinal, është gjithmonë e mundur të gjesh një numër kardinal që është më i madh se të gjithë numrat në një grup të caktuar dhe, për rrjedhojë, nuk përfshihet në të. Se. asnjë grup i tillë nuk përmban të gjithë numrat kardinal dhe grupi i të gjithë numrave kardinal është i paimagjinueshëm.
Është krejt e natyrshme që çdo matematikan dëshiron të merret me një teori konsistente, pra një teori në të cilën është e pamundur të vërtetohen njëkohësisht dy teorema që mohojnë qartë njëra-tjetrën. A është teoria e Cantor-it konsistente? Deri në çfarë mase mund të zgjerohet rrethi i grupeve të konsideruara? Fatkeqësisht, jo gjithçka është aq rozë. Nëse prezantojmë një koncept të tillë në dukje të padëmshëm si "bashkësia e të gjitha grupeve U", lindin një numër pikash interesante.
https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) Paradoksi i Rasëllit
Le të jetë B bashkësia e të gjitha bashkësive që nuk e përmbajnë veten si elementë të tyre. Atëherë mund të vërtetohen dy teorema.
Teorema 2.6.(2).1.
B i përket V.
Dëshmi
Le të supozojmë të kundërtën, d.m.th. NË nuk i takon NË. Sipas përkufizimit, kjo do të thotë se NË i takon NË. Ne morëm një kontradiktë - prandaj, supozimi origjinal është i pasaktë dhe NË i takon NË, Q.E.D.
Teorema 2.6.(2).2.
B nuk i përket V.
Dëshmi
Le të supozojmë të kundërtën, d.m.th. NË i takon NË. Sipas përkufizimit të një grupi NËçdo element i tij nuk mund ta ketë veten si element të vetin, prandaj, NË nuk i takon NË. Një kontradiktë - prandaj, supozimi origjinal është i pasaktë dhe NË nuk i takon NË, Q.E.D.
Është e lehtë të shihet se teoremat 2.6.(2).1. dhe 2.6.(2).2. përjashtojnë njëri-tjetrin.
Fatkeqësisht, edhe përjashtimi i të gjitha grupeve superekstensive nga shqyrtimi nuk e shpëton teorinë e Cantor-it. Në thelb, paradoksi i Rasëllit prek logjikën, domethënë metodat e arsyetimit me të cilat formohen koncepte të reja kur kalohet nga një pohim i vërtetë në tjetrin.
Tashmë kur nxjerrim një paradoks, përdoret ligji logjik i mesit të përjashtuar, i cili është një nga metodat integrale të arsyetimit në matematikën klasike (d.m.th., nëse pohimi jo-A është i vërtetë, atëherë A është i rremë). Nëse mendoni për thelbin e gjërave, në përgjithësi mund të largoheni nga teoria e grupeve dhe matematika në përgjithësi.
kodet e shkurtra">
2
Është një nga konceptet bazë të papërcaktuara të matematikës. Një grup kuptohet si një koleksion (koleksion, klasë, familje...) i disa objekteve të bashkuara nga disa karakteristika. Pra, mund të flasim për studentët e shumtë në institut, për peshqit e shumtë në Detin e Zi, për rrënjët e shumta të ekuacionit x 2 + 2x + 2 = 0, rreth shumë të gjithë numrat natyrorë etj.
Objektet që përbëjnë një grup quhen elementë të tij. Kompletet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin A, B,..., X, Y,..., dhe elementet e tyre - me shkronja të vogla a, b,... ..., x, y,. ..
Nëse një element x i përket bashkësisë X, atëherë shkruaj x О X; regjistroni xÏ X ose x Î X do të thotë se elementi x nuk i përket grupit X.
Për shembull, shënimi A=(1,3,15) do të thotë se bashkësia A përbëhet nga tre numra 1, 3 dhe 15; shënimi A=(x:0≤x≤2) do të thotë se bashkësia A përbëhet nga të gjithë numrat realë (përveç rasteve kur përcaktohet ndryshe) që plotësojnë pabarazinë 0 ≤ x ≤ 2.
Shumë A quhet një nëngrup i bashkësisë B nëse çdo element i grupit A është një element i bashkësisë B. Në mënyrë simbolike kjo shënohet si AÌ B ("A përfshihet në B") ose BÉ A ("bashkësia B përfshin grupi A”).
Ata thonë se grupe A dhe B janë të barabarta ose të njëjta, dhe shkruani A=B nëse AÌ B dhe BÌ A. Me fjalë të tjera, grupe, të përbërë nga elementë të njëjtë, quhen të barabartë.
Shoqata(ose shuma) e grupeve A dhe B është një grup i përbërë nga elementë, secila prej të cilave i përket të paktën njërës prej këtyre grupeve. Bashkimi (shuma) e bashkësive shënohet me AUB (ose A+B). Shkurtimisht, mund të shkruani АУВ = (x: xєA ose xєB).
Prerja (ose prodhimi) i bashkësive A dhe B është një bashkësi e përbërë nga elementë, secili prej të cilëve i përket grupit A dhe bashkësisë B. Prerja (produkti) i bashkësive shënohet A∩B (ose A*B). Shkurtimisht mund të shkruajmë A∩B=(x:xєA dhe xєB)
Në të ardhmen, për të shkurtuar të dhënat, ne do të përdorim disa simbole të thjeshta logjike:
ΑÞ ß - do të thotë “nga fjalia α rrjedh fjalia ß”;
ΑÛ ß - "pohimet α dhe ß janë ekuivalente", domethënë nga α pason ß dhe nga ß pason α;
" - do të thotë "për këdo", "për të gjithë";
$ - "ekziston", "do të gjendet";
: - “bëhet”, “i tillë që”;
→ - "përputhshmëri".
Për shembull:
1) hyrja “xО А:α do të thotë: “për çdo element xО А vlen pohimi α”;
2) (х єA U В)<==>(x є A ose x є B); kjo hyrje përcakton bashkimin e bashkësive A dhe B.
13.2. Numerike grupe. Një grup numrash realë
Bashkësitë, elementët e të cilave janë numra quhen numerike. Shembuj të grupeve të numrave janë:
N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - bashkësi numrash natyrorë;
Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - grup i numrave të plotë jo negativë;
Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - grup i numrave të plotë;
Q=(m/n: mО Z,nО N) - bashkësi numrash racionalë.
R-bashkësi numrash realë.
Ekziston një marrëdhënie midis këtyre grupeve
NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.
Shumë R përmban numra racionalë dhe irracionalë. Çdo numër racional shprehet ose si një thyesë dhjetore e fundme ose si një thyesë periodike e pafundme. Pra, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... janë numra racionalë.
Numrat realë që nuk janë racionalë quhen irracionale.
Teorema 13.1.
Nuk ka asnjë numër racional katrori i të cilit është i barabartë me 2.
▼Supozojmë se ekziston një numër racional, i përfaqësuar nga një thyesë e pakalueshme m/n, katrori i të cilit është i barabartë me 2. Atëherë kemi:
(m/n) 2 =2, pra m 2 =2n 2.
Nga kjo rrjedh se m 2 (dhe për rrjedhojë m) është një numër çift, d.m.th. m=2k. Duke zëvendësuar m=2k në barazinë m 2 =2n 2, marrim 4k 2 = 2n 2, pra 2k 2 =n 2,
Nga kjo rrjedh se numri është n-çift, pra n=2l Por atëherë thyesa m/n=2k/2l është e reduktueshme. Kjo bie ndesh me supozimin se m/n është një fraksion i pakalueshëm. Prandaj, nuk ka numër racional katrori i të cilit është i barabartë me numrin 2. ▲
Një numër irracional shprehet si një thyesë e pafundme jo periodike. Pra, √2=1.4142356... janë numra irracionalë. Mund të themi: bashkësia e numrave realë është bashkësia e të gjitha thyesave dhjetore të pafundme. Dhe shkruani atë
R=(x: x=α,α 1 α 2 α 3 ...), ku aєZ, dhe i є(0,1,...,9).
Shumë Numrat realë R kanë vetitë e mëposhtme.
1. Është renditur: për çdo dy numra të ndryshëm α dhe b, vlen një nga dy relacionet: a
2. Shumë R është i dendur: midis çdo dy numrash të ndryshëm a dhe b ekziston një grup i pafundëm numrash realë x, domethënë numra që plotësojnë pabarazinë a.<х Pra, nëse a (a 3. Shumë R e vazhdueshme. Le të ndahet bashkësia R në dy klasa jo boshe A dhe B në mënyrë që çdo numër real të përfshihet vetëm në një klasë dhe për çdo çift numrash aєA dhe bєB pabarazia a. Vetia e vazhdimësisë na lejon të krijojmë një korrespondencë një-për-një ndërmjet shumë i të gjithë numrave realë dhe bashkësia e të gjitha pikave në një drejtëz. Kjo do të thotë se çdo numër xєR korrespondon me një pikë të caktuar (të vetme) në boshtin numerik dhe, anasjelltas, çdo pikë në bosht i korrespondon një numri të caktuar (të vetëm) real. Prandaj, në vend të fjalës "numër" ata shpesh thonë "pikë". 13.3 Intervalet numerike. Lagjja e një pike Le të jenë a dhe b numra realë, dhe a Intervalet numerike(intervalet) janë nënbashkësi të të gjithë numrave realë që kanë formën e mëposhtme: = (x: α ≤ x ≤ b) - segment (segment, interval i mbyllur); Numrat a dhe b quhen përkatësisht skajet e majta dhe të djathta të këtyre intervaleve. Simbolet -∞ dhe +∞ nuk janë numra, ato janë një përcaktim simbolik i procesit të heqjes së pakufizuar të pikave në boshtin e numrave nga fillimi 0 majtas dhe djathtas. Le të jetë x o çdo numër real (një pikë në vijën numerike). Një lagje e pikës xo është çdo interval (a; b) që përmban pikën x0. Në veçanti, intervali (x o -ε,x o +ε), ku ε >0, quhet ε-lagja e pikës x o. Numri xo quhet qendër. Nëse x Î
(x 0 -ε; x 0 +ε), pastaj pabarazia x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то
же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание
точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97). Bashkësia e numrave realë është mbledhja e plotësimit të numrave racionalë nga ata irracionalë. Ky grup shënohet me shkronjën R dhe është zakon të përdoret shënimi (-∞, +∞) ose (-∞,∞) si simbol. Bashkësia e numrave realë mund të përshkruhet si më poshtë: ky është një grup thyesash dhjetore të fundme dhe të pafundme, thyesat dhjetore të fundme dhe thyesat periodike dhjetore të pafundme janë numra racionalë, dhe thyesat dhjetore dhe joperiodike të pafundme janë numra iracionalë. Dihet se për numrat realë a dhe b plotësohen ligjet e mbledhjes dhe shumëzimit që tashmë janë të njohura për ju: ligji komunikues i mbledhjes, ligji komutativ i shumëzimit, ligji asociativ i mbledhjes, ligji shpërndarës i shumëzimit relativ. përveç kësaj, dhe të tjerët. Le të ilustrojmë disa prej tyre: Vetia kryesore e një thyese algjebrike Vazhdojmë njohjen me thyesat algjebrike. Nëse mësimi i mëparshëm foli për konceptet themelore, atëherë në këtë mësim do të mësoni për vetinë kryesore të një fraksioni algjebrik. Përkufizimi i vetive bazë të thyesës njihet nga lënda e matematikës në klasën e 6-të (thyesat reduktuese). Nga çfarë përbëhet? Shpesh, kur zgjidhen probleme ose ekuacione, bëhet e nevojshme të shndërrohet një fraksion "i papërshtatshëm" për llogaritjet në një tjetër, "të përshtatshëm". Është për të kryer transformime të tilla që ju duhet të njihni pronën e saj kryesore dhe rregullat për ndryshimin e shenjave, me të cilat do të njiheni duke shikuar video-tutorialin. Vlera e një thyese të përbashkët do të mbetet e njëjtë kur numëruesi dhe emëruesi shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër (përveç zeros). Kjo është vetia kryesore e një fraksioni. Pasi i kemi faktorizuar të gjithë emëruesit, përcaktojmë LCM për koeficientët numerikë. Shembulli 1: Zvogëloni thyesat e mëposhtme a/4b2 b a2/6b3 në një emërues të përbashkët. Do të gjeni një zgjidhje më të detajuar për shembuj të ngjashëm në tutorialin e videos. Nëse bashkësia e numrave racional plotësohet me një grup numrash irracionalë, atëherë së bashku ata përbëjnë bashkësinë e numrave realë. Bashkësia e numrave realë zakonisht shënohet me shkronjën R; Ata përdorin gjithashtu shënime simbolike (-oo, +oo) ose (-oo, oo). Bashkësia e numrave realë mund të përshkruhet si më poshtë: është një bashkësi thyesash dhjetore të fundme dhe të pafundme; dhjetoret e fundme dhe thyesat periodike dhjetore të pafundme janë numra racionalë, dhe thyesat dhjetore joperiodike të pafundme janë numra iracionalë. Çdo numër real mund të përfaqësohet nga një pikë në një vijë koordinative. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo pikë në një vijë koordinative ka një koordinatë reale. Matematikanët zakonisht thonë këtë: është krijuar një korrespodencë një me një midis grupit R të numrave realë dhe grupit të pikave në vijën koordinative. Vija koordinative është një model gjeometrik i bashkësisë së numrave realë; Për këtë arsye, termi vijë numerike përdoret shpesh për vijën koordinative. Mendoni për këtë term: a nuk ju duket e panatyrshme? Në fund të fundit, një numër është një objekt i algjebrës, dhe një vijë e drejtë është një objekt i gjeometrisë. A ka një "përzierje të zhanreve" këtu? Jo, gjithçka është logjike, gjithçka është menduar. Ky term thekson edhe një herë unitetin e fushave të ndryshme të matematikës dhe e bën të mundur atë Ju lutemi vini re: ju keni përdorur linjën e koordinatave që nga klasa e 5-të. Por rezulton se kishte një boshllëk plotësisht të justifikuar në njohuritë tuaja: jo për asnjë pikë në vijën e koordinatave nuk do të kishit mundur të gjenit koordinatat - mësuesi thjesht ju mbrojti nga një telash i tillë. Le të shohim një shembull. Jepet një vijë koordinative, në segmentin e saj njësi ndërtohet një katror (Fig. 100), diagonalja e katrorit OB vizatohet në vijën koordinative nga pika O në të djathtë, rezultati është pika D. Cila është koordinata e pika D? Është e barabartë me gjatësinë e diagonales së katrorit, d.m.th. Ky numër është si Kjo është arsyeja pse deri më tani kemi thënë "vijë koordinative" dhe jo "vijë numerike". Vini re se kishte një hendek tjetër të justifikueshëm në njohuritë tuaja për algjebrën. Kur shqyrtojmë shprehjet me variabla, gjithmonë kemi menduar që variablat mund të marrin çdo vlerë të vlefshme, por vetëm ato racionale, sepse nuk kishte të tjera. Në fakt, variablat mund të marrin Për numrat realë a, b, c, zbatohen ligjet e zakonshme: a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) =(ab)c Numrat real mund të krahasohen me njëri-tjetrin duke përdorur përkufizimin e mëposhtëm. Përkufizimi
. Një numër real a thuhet se është më i madh (më i vogël se) një numër real b nëse ndryshimi i tyre a - b është një numër pozitiv (negativ). Shkruani a > b (a< b).
Nga ky përkufizim del se çdo numër pozitiv a është më i madh se zero (pasi diferenca a - 0 = a është numër pozitiv), dhe çdo numër negativ b është më i vogël se zero (pasi diferenca b - 0 = b është negative numri). Pra, a > 0 do të thotë që a është një numër pozitiv; Modeli gjeometrik i grupit të numrave realë, pra vija numerike, e bën veçanërisht të qartë operacionin e krahasimit të numrave: nga dy numrat a, b, ai që ndodhet në vijën numerike në të djathtë është më i madh. Kështu, krahasimi i numrave realë duhet të trajtohet në mënyrë mjaft fleksibël, gjë që ne përdorim në shembullin vijues. Shembulli 1. Krahasoni numrat:
Shembulli 2. Renditni numrat në rend rritës Historikisht, numrat natyrorë $N$ ishin të parët që u shfaqën si rezultat i rillogaritjes së zërave. Bashkësia e këtyre numrave është e pafundme dhe formon serinë natyrore $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$. Veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit janë të realizueshme në këtë grup. Për të kryer operacionin e zbritjes kërkoheshin numra të rinj, duke rezultuar në një grup numrash të plotë: $Z$. $Z=N_+\kupa N_- \kupa \(0\)$. Kështu, në bashkësinë e numrave të plotë kryhen gjithmonë veprimet e mbledhjes, shumëzimit dhe zbritjes. Nevoja për të kryer ndarje çoi në grupin e numrave racionalë $Q$. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\në N\)$. Përkufizimi. Dy numra racionalë janë të barabartë: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - nëse $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Kjo do të thotë se çdo numër racional mund të përfaqësohet në një mënyrë unike në formën e një thyese të pakalueshme $\frac(m)(n)$. $GCD(m, n)=1$. 1. Si rezultat i veprimeve aritmetike mbi numrat racionalë (mbledhje, shumëzim, zbritje, pjesëtim, përveç pjesëtimit me zero), fitohet një numër racional. 2. Bashkësia e numrave racionalë është e renditur, domethënë për çdo çift numrash racionalë $a$ dhe $b$ ose $a. 3. Bashkësia e numrave racionalë është e dendur, domethënë për çdo çift numrash racional $a$ dhe $b$ ekziston një numër racional $c$ i tillë që $a Çdo numër racional pozitiv mund të paraqitet gjithmonë si një thyesë dhjetore: ose i fundëm ose periodik pafundësisht. Për shembull: $\frac(3)(5)=0,6$, $\frac(1)(3)=0,333...=0,(3)$. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$. $b_1b_2b_3...b_n...$ - quhet perioda e thyesës dhjetore, ku jo të gjitha $b_i=0$. Vini re se një thyesë e fundme mund të shkruhet si një thyesë periodike e pafundme me zero në periodë. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$. Megjithatë, një paraqitje tjetër e numrave racionalë në formën e një thyese dhjetore është më e zakonshme: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$. Numrat racionalë negativë $-\frac(m)(n)$ shkruhen si zgjerim dhjetor i një numri racional të formës $\frac(m)(n)$, i marrë me shenjën e kundërt. Numri $0$ përfaqësohet si $0,000...$. Kështu, çdo numër racional është gjithmonë i përfaqësuar si një thyesë periodike dhjetore e pafundme që nuk përmban $0$ në periudhë, me përjashtim të vetë numrit $0$. Ky është përfaqësimi i vetëm. Bashkësia e numrave racionalë mbyllet nën katër veprime aritmetike. Megjithatë, në bashkësinë e numrave racionalë nuk ka gjithmonë një zgjidhje për ekuacionin më të thjeshtë të formës $x^2-n=0$. Prandaj, ekziston nevoja për të futur numra të rinj. Le të tregojmë se midis numrave racional nuk ka asnjë numër katrori i të cilit është i barabartë me tre. Ne do ta kryejmë vërtetimin me kontradiktë. Supozoni se ekziston një numër racional $\frac(m)(n)$ i tillë që katrori i tij është i barabartë me tre: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\ ;(1)$. $\frac(m^2)(n^2)=3$, $m^2=3n^2.\;\;\;(2)$ Ana e djathtë e barazisë (2) pjesëtohet me 3. Kjo do të thotë se edhe $m^2$ pjesëtohet me 3, prandaj edhe $m$ pjesëtohet me 3, që do të thotë se $m=3k$. Duke zëvendësuar në barazinë (2), marrim: $3k^2=n^2.\;\;\;(3)$ Ana e majtë e barazisë $(3)$ është e pjestueshme me $3$, që do të thotë se ana e djathtë është gjithashtu e pjesëtueshme me $3$. Prandaj $n^2$ është i pjesëtueshëm me $3$, që do të thotë $n$ është i ndashëm me $3$, pra $n=3p$. Si rezultat, marrim: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, domethënë, fraksioni $\frac(m)(n)$ doli të jetë i reduktueshëm, gjë që bie ndesh supozimi. Kjo do të thotë se në mesin e numrave racional nuk ka asnjë numër katrori i të cilit është i barabartë me tre. Por ekziston një numër, katrori i të cilit është tre. Mund të paraqitet si një fraksion i pafundëm jo periodik. Dhe ne morëm një lloj të ri numrash. Le t'i quajmë të paarsyeshme. Përkufizimi. Një numër irracional është çdo thyesë e pafundme jo periodike. Bashkësia e të gjitha thyesave të pafundme jo periodike quhet bashkësia e numrave irracionalë dhe shënohet $I$. Bashkimi i bashkësisë së numrave racionalë $Q$ dhe numrave iracionalë $I$ jep bashkësinë e numrave realë $R$: $Q\kup I=R$. Kështu, çdo numër real mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore e pafundme: periodik në rastin e një numri racional dhe jo periodik në rastin e një numri irracional. Për numrat real $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ krahasimi kryhet si më poshtë: 1) Le të jenë $a$ dhe $b$ që të dyja pozitive: $a>0$, $b>0$, pastaj: $a=b$, nëse për ndonjë $k$ $a_k=b_k$; $a>b$ nëse $\ekziston s$ $\forall k 2) Le të jetë $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0 3) Le të jenë të dyja negative $a$ dhe $b$: $a<0$, $b<0$, тогда: $a=b$, nëse për $-a=-b$;
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).
Çdo numër real mund të tregohet në një vijë koordinative. Deklarata e kundërt është gjithashtu e përshtatshme: çdo pikë në vijën e koordinatave ka një koordinatë reale. Në gjuhën matematikore tingëllon kështu: mund të vendoset një marrëdhënie një me një midis grupit të pikave në vijën koordinative dhe grupit R të numrave realë. Për vetë vijën e koordinatave, shpesh përdoret termi "vijë numerike", pasi vija e koordinatave është një model gjeometrik i grupit të numrave realë.
Rezulton se njohja juaj me vijën e koordinatave ishte shumë kohë më parë, por do të filloni ta përdorni vetëm tani. Pse? Përgjigjen mund ta gjeni në shembullin nga video tutorial.
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Gjithashtu zbatohen rregullat e mëposhtme:
1. Si rezultat i prodhimit (herësit) të dy numrave negativ, fitohet një numër pozitiv.
2. Si rezultat i prodhimit të një numri (herës) negativ dhe pozitiv, fitohet një numër negativ.
Ju mund të krahasoni numrat realë me njëri-tjetrin bazuar në përkufizimin:
Një numër real a është më i madh ose më i vogël se një numër real b, në rastin kur ndryshimi a - b është një numër pozitiv ose negativ.
Shkruhet kështu: a > b, a< b.
Kjo do të thotë që a është një numër pozitiv dhe b është një numër negativ.
Pra, në rastin kur a > 0 => a është pozitive;
a< 0 =>një negativ;
a > b, atëherë a - b është pozitive => a - b > 0;
a< b, то a - b отрицательное =>a-b< 0.
Përveç shenjave (<; >) përdoren edhe pabarazitë strikte, shenjat e pabarazive jo strikte - (≤;≥).
Për shembull, për çdo numër b, vlen pabarazia b2 ≥ 0.
Ju mund të shihni shembuj të krahasimit të numrave dhe renditjes së tyre në rend rritës në tutorialin e videos.
Falë modelit gjeometrik të grupit të numrave realë - vijës numerike, operacioni i krahasimit duket veçanërisht i qartë.
Le të shohim një shembull:
7/9 = 14/18
Kemi dy thyesa që janë identike të barabarta me njëra-tjetrën. Numëruesi dhe emëruesi në këtë rast janë shumëzuar me 2, por vlera e thyesës nuk ka ndryshuar.
Nga mësimi i videos do të mësoni se çfarë ndodh me një thyesë kur numëruesi dhe emëruesi pjesëtohen me të njëjtin numër.
Një thyesë algjebrike është, në parim, e njëjta fraksion i zakonshëm, ju mund të kryeni të njëjtat veprime mbi të si në një fraksion të zakonshëm.
Një shprehje në numërues dhe një shprehje në emëruesin e një thyese mund të shumëzohet ose pjesëtohet me të njëjtën shprehje alfanumerike (polinom ose monom), të njëjtin numër (përveç zeros: nëse shprehja ose numri në thyesat e emëruesit, shumëzohen me zero , do të marrë një vlerë zero dhe, siç e dini, nuk mund ta ndani me zero). Ky shndërrim i një thyese algjebrike quhet reduktim i tij. Kjo është vetia kryesore e një thyese algjebrike. Ju mund të mësoni se si zbatohet në praktikë nga video tutorial.
Shndërrimi i thyesave në thyesa me emërues të ngjashëm quhet shndërrimi i thyesave në një emërues të përbashkët. Për të kryer këtë veprim, duhet të kryeni një sekuencë të caktuar veprimesh, të përbërë nga sa vijon:
. Ne e shkruajmë produktin, duke marrë parasysh koeficientët LCM dhe të gjithë faktorët e shkronjave. Nëse shumëzuesit janë të njëjtë, merrni shumëzuesin një herë. Nga të gjitha fuqitë që kanë baza të njëjta, marrim shumëzuesin me eksponentin maksimal.
. Gjejmë vlerat që janë faktorë shtesë për numëruesin e çdo thyese.
. Për çdo thyesë, ne përcaktojmë një numërues të ri si prodhim i numëruesit të vjetër dhe një faktor shtesë.
. Thyesat i shkruajmë me një numërues të ri që kemi përcaktuar dhe një emërues të përbashkët.
Zgjidhja:
Së pari, le të përcaktojmë emëruesin e përbashkët. (Është e barabartë me 12b2).
Më pas, duke ndjekur algoritmin, përcaktojmë një faktor shtesë për secilën nga fraksionet. (Për të parën - 3b, për të dytën - 2).
Pas kryerjes së shumëzimit, marrim rezultatin.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 dhe (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2.
Shembulli 2: Zvogëloni thyesat c/(c - d) dhe c/(c + d) në një emërues të përbashkët.
Zgjidhja:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)
Vetia kryesore e një fraksioni algjebrik ka një pasojë në formën e një rregulli për ndryshimin e shenjave:
a - b/c - d = b - a/d - c
Në këtë rast, numëruesi dhe emëruesi i thyesës janë shumëzuar me -1. Veprime të ngjashme mund të kryhen jo me të gjithë thyesën, por vetëm me numëruesin ose vetëm me emëruesin. Si do të ndryshojë rezultati nëse, për shembull, vetëm numëruesi ose vetëm emëruesi shumëzohet me -1, do ta zbuloni duke parë mësimin e videos.
Tani, pasi kemi studiuar vetinë bazë të një thyese algjebrike dhe rregullin që rrjedh prej saj, ne jemi në gjendje të zgjidhim probleme më komplekse, përkatësisht: zbritjen dhe mbledhjen e thyesave. Por kjo është tema e mësimit të ardhshëm.
identifikimi i koncepteve "numër real" dhe "pika në vijën koordinative (numerike).
Tani e dimë se nuk është një e tërë ose një pjesë. Kjo do të thotë se as në klasën e 5-të, as në të 6-ën dhe as në klasën e 7-të nuk do të mund të gjenit koordinatat e pikës D.
çdo vlerë të vlefshme të vlefshme. Për shembull, në identitet
(a + b) (a-b) = a 2 -b 2 çdo numër mund të veprojë si a dhe b, jo domosdoshmërisht
racionale. Ne e kemi përdorur tashmë këtë në fund të paragrafit të mëparshëm. Ne kemi përdorur të njëjtën gjë në § 18 - në veçanti, në shembujt 6, 7, 8 nga ky paragraf.
a + b = b + a;
ab = ba;
(a + b) c = ac + bc, etj.
Vlejnë edhe rregullat e zakonshme: prodhimi (herësi) i dy numrave pozitivë është numër pozitiv;
prodhimi (herësi) i dy numrave negativë është një numër pozitiv;
prodhimi (herësi) i një numri pozitiv dhe një numri negativ është një numër negativ.
A< 0 означает, что а — отрицательное число;
a>b do të thotë që a -b është një numër pozitiv, pra a - b > 0;
a ato. a - b< 0.
Së bashku me shenjat e pabarazive të rrepta (<, >) përdorni shenjat e pabarazive të dobëta:
a 0 do të thotë që a është më e madhe se zero ose e barabartë me zero, domethënë a është një numër jo negativ (pozitiv ose 0), ose që a nuk është më pak se zero;
dhe 0 do të thotë që a është më e vogël se zero ose e barabartë me zero, domethënë a është një numër jo pozitiv (negativ ose 0), ose që a nuk është më i madh se zero;
dhe b do të thotë që a është më i madh ose i barabartë me b, domethënë, a - b është një numër jo negativ, ose që a nuk është më i vogël se b; a - b 0;
dhe b do të thotë se a është më e vogël ose e barabartë me b, domethënë, a - b është një numër jo pozitiv, ose se a nuk është më i madh se b; a - b 0.
Për shembull, për çdo numër a pabarazia a 2 0 është e vërtetë;
për çdo numër a dhe b mosbarazimi (a - b) 2 0 është i vërtetë.
Megjithatë, për të krahasuar numrat realë, nuk është e nevojshme të bëhet dallimi i tyre çdo herë dhe të zbulohet nëse ai është pozitiv apo negativ. Ju mund të nxirrni përfundimin e duhur duke krahasuar numrat në formën e thyesave dhjetore.
Numrat racionalë
Vetitë e bashkësisë së numrave racionalë
Numrat irracionalë
Numrat realë
Krahasimi i numrave realë
