Funksioni eksponencial me bazë negative. Funksioni eksponencial

Mësimi nr.2

Tema: Funksioni eksponencial, vetitë dhe grafiku i tij.

Synimi: Kontrolloni cilësinë e zotërimit të konceptit të "funksionit eksponencial"; të zhvillojë aftësitë dhe aftësitë për të njohur një funksion eksponencial, për të përdorur vetitë dhe grafikët e tij, për t'i mësuar nxënësit të përdorin forma analitike dhe grafike të shkrimit të një funksioni eksponencial; të sigurojë një mjedis pune në klasë.

Pajisjet: tabela, postera

Formulari i mësimit: mësim në klasë

Lloji i mësimit: mësim praktik

Lloji i mësimit: mësim në aftësitë dhe aftësitë e mësimdhënies

Plani i mësimit

1. Momenti organizativ

2. Punë e pavarur dhe kontrolli i detyrave të shtëpisë

3. Zgjidhja e problemeve

4. Përmbledhje

5. Detyrë shtëpie

Ecuria e mësimit.

1. Momenti organizativ :

pershendetje. Hapni fletoret tuaja, shkruani datën e sotme dhe temën e mësimit "Funksioni eksponencial". Sot do të vazhdojmë të studiojmë funksionin eksponencial, vetitë dhe grafikun e tij.

2. Punë e pavarur dhe kontrolli i detyrave të shtëpisë .

Synimi: kontrolloni cilësinë e zotërimit të konceptit të "funksionit eksponencial" dhe kontrolloni përfundimin e pjesës teorike të detyrës së shtëpisë

Metoda: detyrë testimi, vrojtimi ballor

Si detyrë shtëpie ju janë dhënë numra nga libri me problematika dhe një paragraf nga libri shkollor. Ne nuk do të kontrollojmë ekzekutimin tuaj të numrave nga libri shkollor tani, por ju do t'i dorëzoni fletoret tuaja në fund të mësimit. Tani teoria do të testohet në formën e një testi të vogël. Detyra është e njëjtë për të gjithë: ju jepet një listë funksionesh, duhet të zbuloni se cilat prej tyre janë tregues (nënvizoni ato). Dhe pranë funksionit eksponencial duhet të shkruani nëse është në rritje apo në rënie.

Tani le të kujtojmë së bashku cili funksion quhet eksponencial?

Një funksion i formës , ku dhe , quhet funksion eksponencial.

Cili është qëllimi i këtij funksioni?

Të gjithë numrat realë.

Sa është diapazoni i funksionit eksponencial?

Të gjithë numrat realë pozitivë.

Zvogëlohet nëse baza e fuqisë është më e madhe se zero por më e vogël se një.

Në cilin rast një funksion eksponencial zvogëlohet në fushën e tij të përkufizimit?

Rritet nëse baza e fuqisë është më e madhe se një.

3. Zgjidhja e problemeve

Synimi: për të zhvilluar aftësi në njohjen e një funksioni eksponencial, duke përdorur vetitë dhe grafikët e tij, mësoni studentët të përdorin forma analitike dhe grafike të shkrimit të një funksioni eksponencial.

Metoda: demonstrim nga mësuesi i zgjidhjes së problemeve tipike, punë me gojë, punë në dërrasën e zezë, punë në fletore, bisedë mes mësuesit dhe nxënësve.

Vetitë e funksionit eksponencial mund të përdoren kur krahasohen 2 ose më shumë numra. Për shembull: Nr. 000. Krahasoni vlerat dhe nëse a) ..gif" width="37" height="20 src=">, atëherë kjo është një punë mjaft e ndërlikuar: duhet të marrim rrënjën kubike të 3 dhe 9 dhe t'i krahasojmë ato. Por ne e dimë se rritet, kjo në mënyrën e vet do të thotë që ndërsa argumenti rritet, vlera e funksionit rritet, domethënë, ne vetëm duhet të krahasojmë vlerat e argumentit dhe, është e qartë se (mund të demonstrohet në një poster që tregon një funksion eksponencial në rritje). Dhe gjithmonë, kur zgjidhni shembuj të tillë, së pari përcaktoni bazën e funksionit eksponencial, e krahasoni atë me 1, përcaktoni monotoninë dhe vazhdoni të krahasoni argumentet. Në rastin e një funksioni në rënie: kur argumenti rritet, vlera e funksionit zvogëlohet, prandaj, ne ndryshojmë shenjën e pabarazisë kur kalojmë nga pabarazia e argumenteve në pabarazinë e funksioneve. Më pas, zgjidhim me gojë: b)

-

IN)

-

G)

-

- Nr.000. Krahasoni numrat: a) dhe

Prandaj, funksioni rritet, atëherë

Pse ?

Rritja e funksionit dhe

Prandaj, funksioni është në rënie, atëherë

Të dy funksionet rriten në të gjithë domenin e tyre të përkufizimit, pasi ato janë eksponenciale me një bazë fuqie më të madhe se një.

Cili është kuptimi pas tij?

Ne ndërtojmë grafikët:

Cili funksion rritet më shpejt kur përpiqeni https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Cili funksion zvogëlohet më shpejt kur përpiqeni https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Në interval, cili nga funksionet ka vlerë më të madhe në një pikë të caktuar?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Së pari, le të zbulojmë qëllimin e përkufizimit të këtyre funksioneve. A përkojnë ato?

Po, domeni i këtyre funksioneve është i gjithë numra realë.

Emërtoni shtrirjen e secilit prej këtyre funksioneve.

Gama e këtyre funksioneve përkojnë: të gjithë numrat realë pozitivë.

Përcaktoni llojin e monotonitetit të secilit funksion.

Të tre funksionet zvogëlohen në të gjithë domenin e tyre të përkufizimit, pasi ato janë eksponenciale me një bazë fuqish më të vogël se një dhe më të madhe se zero.

Cila pikë e veçantë ekziston në grafikun e një funksioni eksponencial?

Cili është kuptimi pas tij?

Cilado qoftë baza e shkallës së një funksioni eksponencial, nëse eksponenti përmban 0, atëherë vlera e këtij funksioni është 1.

Ne ndërtojmë grafikët:

Le të analizojmë grafikët. Sa pika kryqëzimi kanë grafikët e funksioneve?

Cili funksion zvogëlohet më shpejt kur provoni https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Cili funksion rritet më shpejt kur përpiqeni https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Në interval, cili nga funksionet ka vlerë më të madhe në një pikë të caktuar?

Në interval, cili nga funksionet ka vlerë më të madhe në një pikë të caktuar?

Pse funksionet eksponenciale me baza të ndryshme kanë vetëm një pikë kryqëzimi?

Funksionet eksponenciale janë rreptësisht monotone në të gjithë fushën e tyre të përkufizimit, kështu që ato mund të kryqëzohen vetëm në një pikë.

Detyra tjetër do të fokusohet në përdorimin e kësaj prone. Nr. 000. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit të dhënë në intervalin e dhënë a) . Kujtoni që një funksion rreptësisht monoton merr vlerat e tij minimale dhe maksimale në skajet e një segmenti të caktuar. Dhe nëse funksioni po rritet, atëherë vlera e tij më e madhe do të jetë në skajin e djathtë të segmentit, dhe më e vogla në skajin e majtë të segmentit (demonstrimi në poster, duke përdorur shembullin e një funksioni eksponencial). Nëse funksioni zvogëlohet, atëherë vlera e tij më e madhe do të jetë në skajin e majtë të segmentit, dhe më e vogla në skajin e djathtë të segmentit (demonstrimi në poster, duke përdorur shembullin e një funksioni eksponencial). Funksioni po rritet, sepse, prandaj, vlera më e vogël e funksionit do të jetë në pikën https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Pikat b) , V) d) zgjidhini vetë fletoret, do t'i kontrollojmë me gojë.

Nxënësit zgjidhin detyrën në fletoret e tyre

- Nr. 000. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit të dhënë në intervalin e dhënë a) . Kjo detyrë është pothuajse e njëjtë me atë të mëparshme. Por ajo që jepet këtu nuk është një segment, por një rreze. Ne e dimë që funksioni po rritet dhe nuk ka vlerën më të madhe dhe as më të vogël në të gjithë rreshtin numerik https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" lartësi = "20">, dhe tenton në , d.m.th. në rreze funksioni në tenton në 0, por nuk ka vlerën e tij minimale, por ka vlerën më të madhe në pikën . Pikat b) , V) , G) Zgjidhini vetë fletoret, do t'i kontrollojmë me gojë.

Fokusimi:

Përkufizimi. Funksioni specie quhet funksioni eksponencial .

Koment. Përjashtim nga vlerat bazë a numrat 0; 1 dhe vlerat negative a shpjegohet me rrethanat e mëposhtme:

Vetë shprehja analitike një x në këto raste, ai ruan kuptimin e tij dhe mund të përdoret në zgjidhjen e problemeve. Për shembull, për shprehjen x y pika x = 1; y = 1 është brenda kufijve të vlerave të pranueshme.

Ndërtoni grafikët e funksioneve: dhe.

Grafiku i një funksioni eksponencial
y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1

Vetitë e funksionit eksponencial

Vetitë e funksionit eksponencial	y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1
Funksioni Domain
2. Gama e funksionit
3. Intervalet e krahasimit me njësinë	në x> 0, a x > 1	në x > 0, 0< a x < 1
	në x < 0, 0< a x < 1	në x < 0, a x > 1
4. Çift, tek.	Funksioni nuk është as çift, as tek (një funksion i formës së përgjithshme).
5.Monotonia.	në mënyrë monotone rritet me R	zvogëlohet në mënyrë monotone nga R
6. Ekstreme.	Funksioni eksponencial nuk ka ekstreme.
7.Asimptotë	boshti O xështë një asimptotë horizontale.
8. Për çdo vlerë reale x Dhe y;

Kur plotësohet tabela, detyrat zgjidhen paralelisht me plotësimin.

Detyra nr. 1. (Për të gjetur domenin e përkufizimit të një funksioni).

Cilat vlera të argumenteve janë të vlefshme për funksionet:

Detyra nr. 2. (Për të gjetur gamën e vlerave të një funksioni).

Figura tregon grafikun e funksionit. Specifikoni domenin e përkufizimit dhe gamën e vlerave të funksionit:

Detyra nr 3. (Të tregojë intervalet e krahasimit me një).

Krahasoni secilën nga fuqitë e mëposhtme me një:

Detyra nr 4. (Të studiojë funksionin për monotoninë).

Krahasoni numrat realë sipas madhësisë m Dhe n Nëse:

Detyra nr 5. (Të studiohet funksioni për monotoninë).

Nxirrni një përfundim në lidhje me bazën a, Nëse:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Si janë grafikët e funksioneve eksponenciale në raport me njëri-tjetrin për x > 0, x = 0, x< 0?

Grafikët e mëposhtëm të funksionit janë paraqitur në një plan koordinativ:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0.5) x; z(x) = (0.8) x.

Si janë grafikët e funksioneve eksponenciale në raport me njëri-tjetrin për x > 0, x = 0, x< 0?

Numri një nga konstantet më të rëndësishme në matematikë. Sipas përkufizimit, ajo e barabartë me kufirin e sekuencës me të pakufizuar në rritje n . Emërtimi e hyri Leonard Euler në vitin 1736. Ai llogariti 23 shifrat e para të këtij numri me shënime dhjetore dhe vetë numri u emërua për nder të Napier "numri jo-Pierre". Emërtimi Numri luan një rol të veçantë në analizën matematikore. Funksioni eksponencial Emërtimi, me bazë i quajtur eksponent dhe është caktuar. y = e x Shenjat e para Emërtimi numrat lehtë për t'u mbajtur mend:

Detyrë shtëpie:

Kolmogorov paragrafi 35; nr 445-447; 451; 453.

Përsëriteni algoritmin për ndërtimin e grafikëve të funksioneve që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e modulit.

Hipermarketi i njohurive >>Matematika >>Matematika klasa e 10-të >>

Funksioni eksponencial, vetitë dhe grafiku i tij

Le të shqyrtojmë shprehjen 2x dhe të gjejmë vlerat e saj për vlera të ndryshme racionale të ndryshores x, për shembull, për x = 2;

Në përgjithësi, pavarësisht se çfarë kuptimi racional i caktojmë ndryshores x, gjithmonë mund të llogarisim vlerën numerike përkatëse të shprehjes 2 x. Kështu, mund të flasim për eksponenciale funksionet y=2 x, i përcaktuar në bashkësinë Q të numrave racional:

Le të shohim disa veti të këtij funksioni.

Prona 1.- funksion në rritje. Ne e kryejmë vërtetimin në dy faza.
Faza e parë. Le të vërtetojmë se nëse r është një numër racional pozitiv, atëherë 2 r >1.
Dy raste janë të mundshme: 1) r është një numër natyror, r = n; 2) i pareduktueshëm i zakonshëm fraksion,

Në anën e majtë të inekuacionit të fundit kemi , dhe në anën e djathtë 1. Kjo do të thotë se pabarazia e fundit mund të rishkruhet në formën

Pra, në çdo rast, pabarazia 2 r > 1 vlen, e cila është ajo që duhej vërtetuar.

Faza e dytë. Le të jenë numra x 1 dhe x 2, dhe x 1 dhe x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(diferencën x 2 - x 1 e shënuam me shkronjën r).

Meqenëse r është një numër racional pozitiv, atëherë me atë që u vërtetua në fazën e parë, 2 r > 1, d.m.th. 2 r -1 >0. Numri 2x" është gjithashtu pozitiv, që do të thotë se produkti 2 x-1 (2 Г -1) është gjithashtu pozitiv. Kështu, ne kemi vërtetuar se pabarazia 2 Xg -2x" >0.

Pra, nga pabarazia x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Prona 2. i kufizuar nga poshtë dhe jo i kufizuar nga lart.
Kufiri i funksionit nga poshtë rrjedh nga pabarazia 2 x >0, e cila është e vlefshme për çdo vlerë të x nga fusha e përcaktimit të funksionit. Në të njëjtën kohë, pavarësisht nga numri pozitiv M që merrni, gjithmonë mund të zgjidhni një eksponent x të tillë që pabarazia 2 x >M të plotësohet - që karakterizon pakufizimin e funksionit nga lart. Le të japim një sërë shembujsh.

Prona 3. nuk ka as vlerën më të vogël e as më të madhe.

Që ky funksion nuk është i rëndësisë më të madhe është e qartë, pasi, siç e pamë sapo, nuk kufizohet më lart. Por kufizohet nga poshtë, pse nuk ka një vlerë minimale?

Le të supozojmë se 2 r është vlera më e vogël e funksionit (r është një tregues racional). Le të marrim një numër racional q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

E gjithë kjo është e mirë, thoni ju, por pse e konsiderojmë funksionin y-2 x vetëm në bashkësinë e numrave racionalë, pse nuk e konsiderojmë si funksionet e tjera të njohura në të gjithë vijën numerike ose në ndonjë interval të vazhdueshëm të rreshti numerik? Çfarë po na pengon? Le të mendojmë për situatën.

Linja numerike përmban jo vetëm numra racionalë, por edhe iracionalë. Për funksionet e studiuara më parë kjo nuk na shqetësoi. Për shembull, ne i gjetëm vlerat e funksionit y = x2 në mënyrë të barabartë si për vlerat racionale ashtu edhe për ato irracionale të x: mjaftonte që të katrore vlerën e dhënë të x.

Por me funksionin y=2 x situata është më e ndërlikuar. Nëse argumentit x i jepet një kuptim racional, atëherë në parim x mund të llogaritet (kthehuni përsëri në fillim të paragrafit, ku bëmë pikërisht këtë). Po sikur argumentit x t'i jepet një kuptim irracional? Si, për shembull, të llogaritet? Ne nuk e dimë këtë ende.
Matematikanët kanë gjetur një rrugëdalje; kështu arsyetonin.

Dihet se Konsideroni sekuencën e numrave racionalë - përafrimet dhjetore të një numri sipas disavantazhit:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Është e qartë se 1,732 = 1,7320, dhe 1,732050 = 1,73205. Për të shmangur përsëritje të tilla, ne i hedhim poshtë ata anëtarë të sekuencës që përfundojnë me numrin 0.

Pastaj marrim një sekuencë në rritje:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Prandaj, sekuenca rritet

Të gjithë termat e kësaj sekuence janë numra pozitivë më të vegjël se 22, d.m.th. kjo sekuencë është e kufizuar. Sipas teoremës së Weierstrass (shih § 30), nëse një sekuencë është në rritje dhe e kufizuar, atëherë ajo konvergon. Përveç kësaj, nga § 30 ne e dimë se nëse një sekuencë konvergon, ajo e bën këtë vetëm në një kufi. U ra dakord që ky kufi i vetëm të konsiderohet si vlera e një shprehjeje numerike. Dhe nuk ka rëndësi se është shumë e vështirë të gjesh qoftë edhe një vlerë të përafërt të shprehjes numerike 2; është e rëndësishme që ky të jetë një numër specifik (në fund të fundit, ne nuk kishim frikë të themi se, për shembull, është rrënja e një ekuacioni racional, rrënja e një ekuacioni trigonometrik, pa menduar vërtet se çfarë janë saktësisht këta numra:
Pra, ne kemi zbuluar se çfarë kuptimi i japin matematikanët simbolit 2^. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni se çfarë dhe në përgjithësi çfarë është a, ku a është një numër irracional dhe a > 1.
Por çfarë nëse 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Tani mund të flasim jo vetëm për fuqi me eksponentë racionalë arbitrarë, por edhe për fuqi me eksponentë realë arbitrarë. Është vërtetuar se gradët me çdo eksponent real kanë të gjitha vetitë e zakonshme të shkallëve: kur shumëzohen fuqitë me baza të njëjta, shtohen eksponentët, kur pjesëtohen zbriten, kur një shkallë ngrihet në një fuqi shumëzohen etj. Por gjëja më e rëndësishme është se tani mund të flasim për funksionin y-ax të përcaktuar në grupin e të gjithë numrave realë.
Le të kthehemi te funksioni y = 2 x dhe të ndërtojmë grafikun e tij. Për ta bërë këtë, le të krijojmë një tabelë me vlerat e funksionit y=2x:

Le të shënojmë pikat në planin koordinativ (Fig. 194), ato shënojnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 195).

Vetitë e funksionit y - 2 x:
1)
2) nuk është as çift, as tek; 248
3) rritet;

5) nuk ka as vlerat më të mëdha e as më të vogla;
6) e vazhdueshme;
7)
8) konveks poshtë.

Në lëndën e matematikës së lartë jepen vërtetime rigoroze të vetive të renditura të funksionit y-2 x. Ne diskutuam disa nga këto veti në një shkallë ose në një tjetër më herët, disa prej tyre janë demonstruar qartë nga grafiku i ndërtuar (shih Fig. 195). Për shembull, mungesa e barazisë ose e rastësisë së një funksioni lidhet gjeometrikisht me mungesën e simetrisë së grafikut, përkatësisht, në lidhje me boshtin y ose në lidhje me origjinën.

Çdo funksion i formës y = a x, ku a > 1, ka veti të ngjashme. Në Fig. U ndërtuan 196 në një sistem koordinativ, grafikët e funksioneve y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Le të shqyrtojmë tani funksionin dhe të krijojmë një tabelë vlerash për të:

Le të shënojmë pikat në planin koordinativ (Fig. 197), ato shënojnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 198).

Karakteristikat e funksionit

1)
2) nuk është as çift, as tek;
3) zvogëlohet;
4) jo i kufizuar nga lart, i kufizuar nga poshtë;
5) nuk ka as vlerën më të madhe dhe as më të vogël;
6) e vazhdueshme;
7)
8) konveks poshtë.
Çdo funksion i formës y = a x ka veti të ngjashme, ku O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Ju lutemi vini re: grafikët e funksionit ato. y=2 x, simetrike rreth boshtit y (Fig. 201). Kjo është pasojë e pohimit të përgjithshëm (shih § 13): grafikët e funksioneve y = f(x) dhe y = f(-x) janë simetrike rreth boshtit y. Në mënyrë të ngjashme, grafikët e funksioneve y = 3 x dhe

Për të përmbledhur atë që u tha, ne do të japim një përkufizim të funksionit eksponencial dhe do të theksojmë vetitë e tij më të rëndësishme.

Përkufizimi. Një funksion i formës quhet funksion eksponencial.
Vetitë themelore të funksionit eksponencial y = a x

Grafiku i funksionit y=a x për a> 1 është paraqitur në Fig. 201 dhe për 0<а < 1 - на рис. 202.

Kurba e paraqitur në Fig. 201 ose 202 quhet eksponent. Në fakt, matematikanët zakonisht e quajnë vetë funksionin eksponencial y = a x. Pra, termi "eksponent" përdoret në dy kuptime: si për të emërtuar funksionin eksponencial ashtu edhe për të emërtuar grafikun e funksionit eksponencial. Zakonisht kuptimi është i qartë nëse bëhet fjalë për një funksion eksponencial apo për grafikun e tij.

Kushtojini vëmendje veçorisë gjeometrike të grafikut të funksionit eksponencial y=ax: boshti x është asimptota horizontale e grafikut. Vërtetë, kjo deklaratë zakonisht sqarohet si më poshtë.
Boshti x është asimptota horizontale e grafikut të funksionit

Me fjalë të tjera

Shënimi i parë i rëndësishëm. Nxënësit e shkollës shpesh ngatërrojnë termat: funksioni i fuqisë, funksioni eksponencial. Krahaso:

Këta janë shembuj të funksioneve të fuqisë;

Këta janë shembuj të funksioneve eksponenciale.

Në përgjithësi, y = x r, ku r është një numër specifik, është një funksion fuqie (argumenti x gjendet në bazën e shkallës);
y = a", ku a është një numër specifik (pozitiv dhe i ndryshëm nga 1), është një funksion eksponencial (argumenti x gjendet në eksponent).

Një funksion "ekzotik" si y = x" nuk konsiderohet as eksponencial dhe as fuqi (nganjëherë quhet eksponencial).

Shënim i dytë i rëndësishëm. Zakonisht nuk merret parasysh një funksion eksponencial me bazë a = 1 ose me bazë a që plotëson pabarazinë a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 dhe a Fakti është se nëse a = 1, atëherë për çdo vlerë të x vlen barazia Ix = 1 Kështu, funksioni eksponencial y = a" me a = 1 "degjeneron" në një funksion konstant y = 1 - kjo. nuk është interesante nëse a = 0, atëherë 0x = 0 për çdo vlerë pozitive të x, d.m.th. ne marrim funksionin y = 0, të përcaktuar për x > 0 - kjo është gjithashtu jo interesante nëse, më në fund, a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Para se të kaloni në zgjidhjen e shembujve, vini re se funksioni eksponencial është dukshëm i ndryshëm nga të gjitha funksionet që keni studiuar deri më tani. Për të studiuar tërësisht një objekt të ri, duhet ta konsideroni atë nga këndvështrime të ndryshme, në situata të ndryshme, kështu që do të ketë shumë shembuj.
Shembulli 1.

Zgjidhje, a) Duke pasur grafikë të ndërtuar të funksioneve y = 2 x dhe y = 1 në një sistem koordinativ, vërejmë (Fig. 203) se ata kanë një pikë të përbashkët (0; 1). Kjo do të thotë se ekuacioni 2x = 1 ka një rrënjë të vetme x =0.

Pra, nga ekuacioni 2x = 2° marrim x = 0.

b) Duke pasur grafikë të ndërtuar të funksioneve y = 2 x dhe y = 4 në një sistem koordinativ, vërejmë (Fig. 203) se ata kanë një pikë të përbashkët (2; 4). Kjo do të thotë që ekuacioni 2x = 4 ka një rrënjë të vetme x = 2.

Pra, nga ekuacioni 2 x = 2 2 marrim x = 2.

c) dhe d) Bazuar në të njëjtat konsiderata, arrijmë në përfundimin se ekuacioni 2 x = 8 ka një rrënjë të vetme dhe për ta gjetur atë, nuk ka nevojë të ndërtohen grafikët e funksioneve përkatëse;

është e qartë se x = 3, pasi 2 3 = 8. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë rrënjën e vetme të ekuacionit

Pra, nga ekuacioni 2x = 2 3 kemi marrë x = 3, dhe nga ekuacioni 2 x = 2 x kemi marrë x = -4.
e) Grafiku i funksionit y = 2 x ndodhet mbi grafikun e funksionit y = 1 për x >0 - kjo lexohet qartë në Fig. 203. Kjo do të thotë se zgjidhja e pabarazisë 2x > 1 është intervali
e) Grafiku i funksionit y = 2 x ndodhet poshtë grafikut të funksionit y = 4 në x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Me siguri keni vënë re se baza për të gjitha përfundimet e bëra gjatë zgjidhjes së shembullit 1 ishte vetia e monotonitetit (rritjes) e funksionit y = 2 x. Një arsyetim i ngjashëm na lejon të verifikojmë vlefshmërinë e dy teoremave të mëposhtme.

Zgjidhje. Mund të vazhdoni kështu: ndërtoni një grafik të funksionit y-3 x, më pas shtrijeni atë nga boshti x me një faktor 3 dhe më pas ngrini grafikun që rezulton me 2 njësi shkallë. Por është më i përshtatshëm të përdoret fakti që 3- 3* = 3 * + 1, dhe, për rrjedhojë, të ndërtohet një grafik i funksionit y = 3 x * 1 + 2.

Le të kalojmë, siç kemi bërë shumë herë në raste të tilla, në një sistem koordinativ ndihmës me origjinë në pikën (-1; 2) - vijat me pika x = - 1 dhe 1x = 2 në Fig. 207. Të “lidhim” funksionin y=3* me sistemin e ri të koordinatave. Për ta bërë këtë, zgjidhni pikat e kontrollit për funksionin , por do t'i ndërtojmë jo në sistemin e vjetër, por në sistemin e ri të koordinatave (këto pika janë shënuar në Fig. 207). Pastaj do të ndërtojmë një eksponent nga pikat - ky do të jetë grafiku i kërkuar (shih Fig. 207).
Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të caktuar në segmentin [-2, 2], përfitojmë nga fakti se funksioni i dhënë është në rritje, dhe për këtë arsye ai merr vlerat e tij më të vogla dhe më të mëdha, përkatësisht në skajet e majta dhe të djathta të segmentit.
Pra:

Shembulli 4. Zgjidh ekuacionet dhe pabarazitë:

Zgjidhje, a) Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y=5* dhe y=6-x në një sistem koordinativ (Fig. 208). Ata kryqëzohen në një pikë; duke gjykuar nga vizatimi, kjo është pika (1; 5). Kontrolli tregon se në fakt pika (1; 5) plotëson edhe ekuacionin y = 5* dhe ekuacionin y = 6-x. Abshisa e kësaj pike shërben si rrënja e vetme e ekuacionit të dhënë.

Pra, ekuacioni 5 x = 6 - x ka një rrënjë të vetme x = 1.

b) dhe c) Eksponenti y-5x shtrihet mbi drejtëzën y=6-x, nëse x>1, kjo është qartë e dukshme në Fig. 208. Kjo do të thotë se zgjidhja e pabarazisë 5*>6 mund të shkruhet si më poshtë: x>1. Dhe zgjidhja e pabarazisë 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Përgjigje: a)x = 1; b)x>1; c) x<1.

Shembulli 5. Jepet një funksion Vërtetoni këtë
Zgjidhje. Sipas gjendjes që kemi.

Le të prezantojmë fillimisht përkufizimin e një funksioni eksponencial.

Funksioni eksponencial $f\left(x\djathtas)=a^x$, ku $a >1$.

Le të prezantojmë vetitë e funksionit eksponencial për $a >1$.

\ \[pa rrënjë\] \

Kryqëzimi me akset koordinative. Funksioni nuk e pret boshtin $Ox$, por e pret boshtin $Oy$ në pikën $(0,1)$.

$f""\left(x\djathtas)=(\majtas(a^xlna\djathtas))"=a^x(ln)^2a$

\ \[pa rrënjë\] \

Grafiku (Fig. 1).

Figura 1. Grafiku i funksionit $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

Funksioni eksponencial $f\left(x\djathtas)=a^x$, ku $0

Le të prezantojmë vetitë e funksionit eksponencial, në $0

Fusha e përkufizimit është të gjithë numrat realë.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funksioni nuk është as çift dhe as tek.

$f(x)$ është i vazhdueshëm në të gjithë domenin e përkufizimit.

Gama e vlerave është intervali $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\majtas(a^x\djathtas)"=a^xlna$

\ \[pa rrënjë\] \ \[pa rrënjë\] \

Funksioni është konveks në të gjithë domenin e përkufizimit.

Sjellja në skajet e domenit:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Grafiku (Fig. 2).

Një shembull i një problemi për të ndërtuar një funksion eksponencial

Eksploroni dhe vizatoni funksionin $y=2^x+3$.

Zgjidhje.

Le të bëjmë një studim duke përdorur diagramin e shembullit të mësipërm:

Fusha e përkufizimit është të gjithë numrat realë.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funksioni nuk është as çift dhe as tek.

$f(x)$ është i vazhdueshëm në të gjithë domenin e përkufizimit.

Gama e vlerave është intervali $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)=(\majtas(2^x+3\djathtas))"=2^xln2>0$

Funksioni rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.

$f(x)\ge 0$ në të gjithë domenin e përkufizimit.

Kryqëzimi me akset koordinative. Funksioni nuk e pret boshtin $Ox$, por e pret boshtin $Oy$ në pikën ($0,4)$

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\djathtas))"=2^x(ln)^22>0$

Funksioni është konveks në të gjithë domenin e përkufizimit.

Sjellja në skajet e domenit:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) a^x\ )=+ \infty\]

Grafiku (Fig. 3).

Figura 3. Grafiku i funksionit $f\left(x\right)=2^x+3$

Zgjidhja e shumicës së problemeve matematikore në një mënyrë ose në një tjetër përfshin transformimin e shprehjeve numerike, algjebrike ose funksionale. Sa më sipër vlen veçanërisht për vendimin. Në versionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë, ky lloj problemi përfshin, në veçanti, detyrën C3. Mësimi për të zgjidhur detyrat C3 është i rëndësishëm jo vetëm për qëllimin e kalimit me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, por edhe për arsyen se kjo aftësi do të jetë e dobishme kur studioni një kurs matematike në shkollë të mesme.

Kur plotësoni detyrat C3, ju duhet të zgjidhni lloje të ndryshme ekuacionesh dhe pabarazish. Midis tyre janë racionale, irracionale, eksponenciale, logaritmike, trigonometrike, që përmbajnë module (vlera absolute), si dhe të kombinuara. Ky artikull diskuton llojet kryesore të ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale, si dhe metoda të ndryshme për zgjidhjen e tyre. Lexoni rreth zgjidhjes së llojeve të tjera të ekuacioneve dhe pabarazive në seksionin "" në artikujt kushtuar metodave për zgjidhjen e problemeve C3 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë.

Para se të fillojmë të analizojmë specifike ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë, si mësues i matematikës, ju sugjeroj të studioni disa materiale teorike që do të na nevojiten.

Funksioni eksponencial

Çfarë është një funksion eksponencial?

Funksioni i formës y = një x, Ku a> 0 dhe a≠ 1 quhet funksioni eksponencial.

bazë vetitë e funksionit eksponencial y = një x:

Grafiku i një funksioni eksponencial

Grafiku i funksionit eksponencial është eksponent:

Grafikët e funksioneve eksponenciale (eksponentë)

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale

Indikative quhen ekuacione në të cilat ndryshorja e panjohur gjendet vetëm në eksponentë të disa fuqive.

Për të zgjidhur ekuacionet eksponenciale ju duhet të dini dhe të jeni në gjendje të përdorni teoremën e mëposhtme të thjeshtë:

Teorema 1. Ekuacioni eksponencial a f(x) = a g(x) (ku a > 0, a≠ 1) është ekuivalente me ekuacionin f(x) = g(x).

Për më tepër, është e dobishme të mbani mend formulat dhe operacionet themelore me gradë:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: Ne përdorim formulat dhe zëvendësimin e mësipërm:

Ekuacioni atëherë bëhet:

Diskriminuesi i ekuacionit kuadratik që rezulton është pozitiv:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kjo do të thotë se ky ekuacion ka dy rrënjë. Ne i gjejmë ato:

Duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:

Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi funksioni eksponencial është rreptësisht pozitiv në të gjithë fushën e përkufizimit. Le të zgjidhim të dytën:

Duke marrë parasysh atë që u tha në Teoremën 1, kalojmë në ekuacionin ekuivalent: x= 3. Kjo do të jetë përgjigja e detyrës.

Përgjigje: x = 3.

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: Ekuacioni nuk ka kufizime në gamën e vlerave të lejueshme, pasi shprehja radikale ka kuptim për çdo vlerë x(funksioni eksponencial y = 9 4 -x pozitive dhe jo e barabartë me zero).

Ne e zgjidhim ekuacionin me transformime ekuivalente duke përdorur rregullat e shumëzimit dhe ndarjes së fuqive:

Tranzicioni i fundit u krye në përputhje me Teoremën 1.

Përgjigje:x= 6.

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: të dyja anët e ekuacionit origjinal mund të ndahen me 0.2 x. Ky tranzicion do të jetë ekuivalent, pasi kjo shprehje është më e madhe se zero për çdo vlerë x(funksioni eksponencial është rreptësisht pozitiv në fushën e tij të përkufizimit). Atëherë ekuacioni merr formën:

Përgjigje: x = 0.

Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: ne thjeshtojmë ekuacionin në një elementar me anë të transformimeve ekuivalente duke përdorur rregullat e ndarjes dhe shumëzimit të fuqive të dhëna në fillim të artikullit:

Pjesëtimi i të dyja anët e ekuacionit me 4 x, si në shembullin e mëparshëm, është një transformim ekuivalent, pasi kjo shprehje nuk është e barabartë me zero për asnjë vlerë x.

Përgjigje: x = 0.

Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: funksionin y = 3x, duke qëndruar në anën e majtë të ekuacionit, po rritet. Funksioni y = —x-2/3 në anën e djathtë të ekuacionit është në rënie. Kjo do të thotë se nëse grafikët e këtyre funksioneve kryqëzohen, atëherë më së shumti një pikë. Në këtë rast, është e lehtë të merret me mend se grafikët kryqëzohen në pikë x= -1. Nuk do të ketë rrënjë të tjera.

Përgjigje: x = -1.

Shembulli 6. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja: ne thjeshtojmë ekuacionin me anë të transformimeve ekuivalente, duke mbajtur parasysh kudo se funksioni eksponencial është rreptësisht më i madh se zero për çdo vlerë x dhe duke përdorur rregullat për llogaritjen e produktit dhe koeficientit të fuqive të dhëna në fillim të artikullit:

Përgjigje: x = 2.

Zgjidhja e pabarazive eksponenciale

Indikative quhen pabarazi në të cilat ndryshorja e panjohur përmbahet vetëm në eksponentë të disa fuqive.

Për të zgjidhur pabarazitë eksponenciale kërkohet njohja e teoremës së mëposhtme:

Teorema 2. Nëse a> 1, pastaj pabarazia a f(x) > a g(x) është ekuivalente me një pabarazi me të njëjtin kuptim: f(x) > g(x). Nëse 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) është ekuivalente me një pabarazi me kuptimin e kundërt: f(x) < g(x).

Shembulli 7. Zgjidh pabarazinë:

Zgjidhja: Le të paraqesim pabarazinë origjinale në formën:

Le të pjesëtojmë të dyja anët e kësaj pabarazie me 3 2 x, në këtë rast (për shkak të pozitivitetit të funksionit y= 3 2x) shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë:

Le të përdorim zëvendësimin:

Atëherë pabarazia do të marrë formën:

Pra, zgjidhja e pabarazisë është intervali:

duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:

Për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial, pabarazia e majtë plotësohet automatikisht. Duke përdorur vetinë e njohur të logaritmit, kalojmë në pabarazinë ekuivalente:

Meqenëse baza e shkallës është një numër më i madh se një, ekuivalent (nga Teorema 2) është kalimi në pabarazinë e mëposhtme:

Pra, më në fund arrijmë përgjigje:

Shembulli 8. Zgjidh pabarazinë:

Zgjidhja: Duke përdorur vetitë e shumëzimit dhe ndarjes së fuqive, ne rishkruajmë pabarazinë në formën:

Le të prezantojmë një variabël të ri:

Duke marrë parasysh këtë zëvendësim, pabarazia merr formën:

Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7, marrim pabarazinë ekuivalente të mëposhtme:

Pra, vlerat e mëposhtme të ndryshores plotësojnë pabarazinë t:

Pastaj, duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:

Meqenëse baza e shkallës këtu është më e madhe se një, kalimi në pabarazi do të jetë ekuivalent (nga Teorema 2):

Më në fund arrijmë përgjigje:

Shembulli 9. Zgjidh pabarazinë:

Zgjidhja:

Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me shprehjen:

Është gjithmonë më i madh se zero (për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial), kështu që nuk ka nevojë të ndryshohet shenja e pabarazisë. Ne marrim:

t e vendosur në intervalin:

Duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, gjejmë se pabarazia origjinale ndahet në dy raste:

Pabarazia e parë nuk ka zgjidhje për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial. Le të zgjidhim të dytën:

Shembulli 10. Zgjidh pabarazinë:

Zgjidhja:

Degët e parabolës y = 2x+2-x 2 janë të drejtuara poshtë, prandaj kufizohet nga lart nga vlera që arrin në kulmin e saj:

Degët e parabolës y = x 2 -2x+2 në tregues janë të drejtuara lart, që do të thotë se kufizohet nga poshtë nga vlera që arrin në kulmin e tij:

Në të njëjtën kohë, funksioni gjithashtu rezulton të jetë i kufizuar nga poshtë y = 3 x 2 -2x+2, e cila është në anën e djathtë të ekuacionit. Ajo arrin vlerën e saj më të vogël në të njëjtën pikë me parabolën në eksponent, dhe kjo vlerë është 3 1 = 3. Pra, pabarazia fillestare mund të jetë e vërtetë vetëm nëse funksioni në të majtë dhe funksioni në të djathtë marrin vlerën , e barabartë me 3 (kryqëzimi i vargjeve të vlerave të këtyre funksioneve është vetëm ky numër). Ky kusht plotësohet në një pikë të vetme x = 1.

Përgjigje: x= 1.

Për të mësuar të vendosni ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë,është e nevojshme të stërviteni vazhdimisht në zgjidhjen e tyre. Në këtë detyrë të vështirë mund t'ju ndihmojnë mjete të ndryshme mësimore, libra me probleme në matematikën fillore, përmbledhje problemash konkurruese, orët e matematikës në shkollë, si dhe mësime individuale me një mësues profesionist. Ju uroj sinqerisht suksese në përgatitjen tuaj dhe rezultate të shkëlqyera në provim.

Sergej Valerieviç

P.S. Të nderuar të ftuar! Ju lutemi mos shkruani kërkesa për të zgjidhur ekuacionet tuaja në komente. Fatkeqësisht, nuk kam absolutisht kohë për këtë. Mesazhe të tilla do të fshihen. Ju lutemi lexoni artikullin. Ndoshta në të do të gjeni përgjigje për pyetjet që nuk ju lejuan të zgjidhni vetë detyrën tuaj.