Në këtë artikull do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga vija duke përdorur llogaritjet integrale. Formulimin e një problemi të tillë e ndeshim për herë të parë në shkollën e mesme, kur sapo kemi përfunduar studimin e integraleve të përcaktuara dhe është koha të fillojmë në praktikë interpretimin gjeometrik të njohurive të marra.

Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale:

• Aftësia për të bërë vizatime kompetente;
• Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formulën e njohur Newton-Leibniz;
• Aftësia për të "shikuar" një opsion zgjidhjeje më fitimprurëse - d.m.th. kuptoni se si do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin në një rast apo në një tjetër? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
• Epo, ku do të ishim pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhni atë lloj tjetër të integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:

1. Ne po ndërtojmë një vizatim. Këshillohet ta bëni këtë në një fletë letre me kuadrate, në një shkallë të madhe. Ne nënshkruajmë emrin e këtij funksioni me një laps mbi çdo grafik. Nënshkrimi i grafikëve bëhet vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë një grafik të figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilat kufij të integrimit do të përdoren. Kështu, ne e zgjidhim problemin grafikisht. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.

2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë specifikuar në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhja jonë grafike përkon me atë analitike.

3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Në varësi të mënyrës se si janë rregulluar grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale.

3.1. Versioni më klasik dhe më i thjeshtë i problemit është kur duhet të gjeni zonën e një trapezi të lakuar. Çfarë është një trapez i lakuar? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y = 0), drejt x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a te b. Për më tepër, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo nën boshtin x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar, të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Shembulli 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Me cilat vija kufizohet figura? Kemi një parabolë y = x2 – 3x + 3, i cili ndodhet mbi bosht Oh, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole kanë vlera pozitive. Tjetra, jepen linjat e drejta x = 1 Dhe x = 3, të cilat shkojnë paralel me boshtin Op-amp, janë vijat kufitare të figurës majtas dhe djathtas. Epo y = 0, është edhe boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç mund të shihet nga figura në të majtë. Në këtë rast, ju mund të filloni menjëherë zgjidhjen e problemit. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi të lakuar, të cilin më tej e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1, ne shqyrtuam rastin kur një trapez i lakuar ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Ne do të shqyrtojmë se si ta zgjidhim një problem të tillë më poshtë.

Shembulli 2 . Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Në këtë shembull kemi një parabolë y = x2 + 6x + 2, e cila buron nga boshti Oh, drejt x = -4, x = -1, y = 0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. Direkt x = -4 Dhe x = -1 këto janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së zonës së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. I vetmi ndryshim është se funksioni i dhënë nuk është pozitiv dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në interval [-4; -1] . Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-ve të dhëna ka ekskluzivisht koordinata "negative", gjë që duhet të shohim dhe të mbajmë mend kur zgjidhim problemin. Ne kërkojmë zonën e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.

Artikulli nuk është i plotësuar.

Në seksionin e mëparshëm, kushtuar analizës së kuptimit gjeometrik të një integrali të caktuar, morëm një numër formulash për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi lakor:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x për një funksion të vazhdueshëm dhe jo negativ y = f (x) në intervalin [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x për një funksion të vazhdueshëm dhe jo pozitiv y = f (x) në intervalin [ a ; b].

Këto formula janë të zbatueshme për zgjidhjen e problemeve relativisht të thjeshta. Në realitet, shpesh do të na duhet të punojmë me figura më komplekse. Në këtë drejtim, ne do t'i kushtojmë këtë pjesë një analize të algoritmeve për llogaritjen e sipërfaqes së figurave që janë të kufizuara nga funksionet në formë të qartë, d.m.th. si y = f(x) ose x = g(y).

Le të jenë të përcaktuara dhe të vazhdueshme funksionet y = f 1 (x) dhe y = f 2 (x) në intervalin [ a ; b ] , dhe f 1 (x) ≤ f 2 (x) për çdo vlerë x nga [ a ; b]. Atëherë formula për llogaritjen e sipërfaqes së figurës G, e kufizuar nga linjat x = a, x = b, y = f 1 (x) dhe y = f 2 (x) do të duket si S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Një formulë e ngjashme do të zbatohet për zonën e një figure të kufizuar nga linjat y = c, y = d, x = g 1 (y) dhe x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dëshmi

Le të shohim tre raste për të cilat formula do të jetë e vlefshme.

Në rastin e parë, duke marrë parasysh vetinë e aditivitetit të zonës, shuma e sipërfaqeve të figurës origjinale G dhe trapezoidit lakor G1 është e barabartë me sipërfaqen e figurës G2. Kjo do të thotë se

Prandaj, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Mund të kryejmë tranzicionin e fundit duke përdorur vetinë e tretë të integralit të caktuar.

Në rastin e dytë, barazia është e vërtetë: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrimi grafik do të duket si ky:

Nëse të dy funksionet janë jopozitive, marrim: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Ilustrimi grafik do të duket si ky:

Le të vazhdojmë duke shqyrtuar rastin e përgjithshëm kur y = f 1 (x) dhe y = f 2 (x) kryqëzojnë boshtin O x.

Pikat e kryqëzimit i shënojmë si x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Këto pika ndajnë segmentin [a; b] në n pjesë x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, ku α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prandaj,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Mund të bëjmë kalimin e fundit duke përdorur vetinë e pestë të integralit të caktuar.

Le të ilustrojmë rastin e përgjithshëm në grafik.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x mund të konsiderohet e provuar.

Tani le të kalojmë në analizimin e shembujve të llogaritjes së sipërfaqes së figurave që kufizohen nga linjat y = f (x) dhe x = g (y).

Ne do të fillojmë shqyrtimin tonë të ndonjë prej shembujve duke ndërtuar një grafik. Imazhi do të na lejojë të përfaqësojmë forma komplekse si bashkime të formave më të thjeshta. Nëse ndërtimi i grafikëve dhe figurave mbi to ju shkakton vështirësi, mund të studioni seksionin mbi funksionet themelore elementare, transformimin gjeometrik të grafikëve të funksioneve, si dhe ndërtimin e grafikëve gjatë studimit të një funksioni.

Shembulli 1

Është e nevojshme të përcaktohet zona e figurës, e cila kufizohet nga parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dhe linjat e drejta y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Zgjidhje

Të vizatojmë vijat në grafik në sistemin koordinativ kartezian.

Në segmentin [1; 4 ] grafiku i parabolës y = - x 2 + 6 x - 5 ndodhet mbi drejtëzën y ​​= - 1 3 x - 1 2. Në këtë drejtim, për të marrë përgjigjen përdorim formulën e marrë më parë, si dhe metodën e llogaritjes së integralit të caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Përgjigje: S(G) = 13

Le të shohim një shembull më kompleks.

Shembulli 2

Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila kufizohet nga linjat y = x + 2, y = x, x = 7.

Zgjidhje

Në këtë rast, kemi vetëm një drejtëz të vendosur paralelisht me boshtin x. Kjo është x = 7. Kjo kërkon që ne ta gjejmë vetë kufirin e dytë të integrimit.

Le të ndërtojmë një grafik dhe të vizatojmë mbi të linjat e dhëna në deklaratën e problemit.

Duke pasur grafikun para syve, mund të përcaktojmë lehtësisht se kufiri i poshtëm i integrimit do të jetë abshisa e pikës së prerjes së grafikut të drejtëzës y = x dhe gjysmëparabolës y = x + 2. Për të gjetur abshisën përdorim barazitë:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Rezulton se abshisa e pikës së kryqëzimit është x = 2.

Ne tërheqim vëmendjen tuaj për faktin se në shembullin e përgjithshëm në vizatim, linjat y = x + 2, y = x kryqëzohen në pikën (2; 2), kështu që llogaritjet e tilla të detajuara mund të duken të panevojshme. Ne kemi dhënë një zgjidhje kaq të detajuar këtu vetëm sepse në raste më komplekse zgjidhja mund të mos jetë aq e dukshme. Kjo do të thotë se është gjithmonë më mirë të llogariten në mënyrë analitike koordinatat e kryqëzimit të vijave.

Në intervalin [2; 7] grafiku i funksionit y = x ndodhet mbi grafikun e funksionit y = x + 2. Le të zbatojmë formulën për të llogaritur sipërfaqen:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Përgjigje: S (G) = 59 6

Shembulli 3

Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila është e kufizuar nga grafikët e funksioneve y = 1 x dhe y = - x 2 + 4 x - 2.

Zgjidhje

Le të vizatojmë linjat në grafik.

Le të përcaktojmë kufijtë e integrimit. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të linjave duke barazuar shprehjet 1 x dhe - x 2 + 4 x - 2. Me kusht që x të mos jetë zero, barazia 1 x = - x 2 + 4 x - 2 bëhet ekuivalente me ekuacionin e shkallës së tretë - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 me koeficientë të plotë. Për të rifreskuar kujtesën tuaj për algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, mund t'i referohemi seksionit "Zgjidhja e ekuacioneve kubike".

Rrënja e këtij ekuacioni është x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Duke e pjesëtuar shprehjen - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 me binomin x - 1, marrim: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Mund të gjejmë rrënjët e mbetura nga ekuacioni x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Gjetëm intervalin x ∈ 1; 3 + 13 2, në të cilën figura G gjendet sipër vijës blu dhe poshtë vijës së kuqe. Kjo na ndihmon të përcaktojmë sipërfaqen e figurës:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Përgjigje: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Shembulli 4

Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila kufizohet nga kthesat y = x 3, y = - log 2 x + 1 dhe boshti i abshisës.

Zgjidhje

Le të vizatojmë të gjitha linjat në grafik. Grafikun e funksionit y = - log 2 x + 1 mund ta marrim nga grafiku y = log 2 x nëse e pozicionojmë në mënyrë simetrike rreth boshtit x dhe e lëvizim një njësi lart. Ekuacioni i boshtit x është y = 0.

Le të shënojmë pikat e kryqëzimit të vijave.

Siç shihet nga figura, grafikët e funksioneve y = x 3 dhe y = 0 priten në pikën (0; 0). Kjo ndodh sepse x = 0 është e vetmja rrënjë reale e ekuacionit x 3 = 0.

x = 2 është rrënja e vetme e ekuacionit - log 2 x + 1 = 0, kështu që grafikët e funksioneve y = - log 2 x + 1 dhe y = 0 kryqëzohen në pikën (2; 0).

x = 1 është rrënja e vetme e ekuacionit x 3 = - log 2 x + 1 . Në këtë drejtim, grafikët e funksioneve y = x 3 dhe y = - log 2 x + 1 kryqëzohen në pikën (1; 1). Deklarata e fundit mund të mos jetë e qartë, por ekuacioni x 3 = - log 2 x + 1 nuk mund të ketë më shumë se një rrënjë, pasi funksioni y = x 3 është rreptësisht në rritje, dhe funksioni y = - log 2 x + 1 është rreptësisht në rënie.

Zgjidhja e mëtejshme përfshin disa opsione.

Opsioni numër 1

Figurën G mund ta imagjinojmë si shumën e dy trapezoidëve lakor të vendosur mbi boshtin x, i pari prej të cilëve ndodhet nën vijën e mesit në segmentin x ∈ 0; 1, dhe e dyta është nën vijën e kuqe në segmentin x ∈ 1; 2. Kjo do të thotë se sipërfaqja do të jetë e barabartë me S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsioni nr. 2

Figura G mund të paraqitet si diferencë e dy figurave, e para prej të cilave ndodhet mbi boshtin x dhe nën vijën blu në segmentin x ∈ 0; 2, dhe e dyta midis vijave të kuqe dhe blu në segmentin x ∈ 1; 2. Kjo na lejon të gjejmë zonën si më poshtë:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Në këtë rast, për të gjetur zonën do të duhet të përdorni një formulë të formës S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Në fakt, linjat që lidhin figurën mund të paraqiten si funksione të argumentit y.

Le të zgjidhim ekuacionet y = x 3 dhe - log 2 x + 1 në lidhje me x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Ne marrim zonën e kërkuar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Përgjigje: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Shembulli 5

Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila kufizohet nga linjat y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Zgjidhje

Me një vijë të kuqe vizatojmë vijën e përcaktuar nga funksioni y = x. Ne vizatojmë vijën y = - 1 2 x + 4 në ngjyrë blu, dhe vijën y = 2 3 x - 3 në të zezë.

Le të shënojmë pikat e kryqëzimit.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksioneve y = x dhe y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrollo: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 jo A është zgjidhja e ekuacionit x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 është zgjidhja e ekuacionit ⇒ (4; 2) pika e kryqëzimit i y = x dhe y = - 1 2 x + 4

Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të grafikëve të funksioneve y = x dhe y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrollo: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 është zgjidhja e ekuacionit ⇒ (9 ; 3) pika a s y = x dhe y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nuk ka zgjidhje për ekuacionin

Le të gjejmë pikën e prerjes së drejtëzave y = - 1 2 x + 4 dhe y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) pika e prerjes y = - 1 2 x + 4 dhe y = 2 3 x - 3

Metoda nr. 1

Le të imagjinojmë sipërfaqen e figurës së dëshiruar si shumën e sipërfaqeve të figurave individuale.

Atëherë sipërfaqja e figurës është:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr. 2

Sipërfaqja e figurës origjinale mund të përfaqësohet si shuma e dy figurave të tjera.

Pastaj zgjidhim ekuacionin e vijës në lidhje me x, dhe vetëm pas kësaj aplikojmë formulën për llogaritjen e sipërfaqes së figurës.

y = x ⇒ x = y 2 vijë e kuqe y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 vijë e zezë y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Pra, zona është:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Siç mund ta shihni, vlerat janë të njëjta.

Përgjigje: S (G) = 11 3

Rezultatet

Për të gjetur sipërfaqen e një figure që kufizohet nga linjat e dhëna, duhet të ndërtojmë linja në një plan, të gjejmë pikat e tyre të kryqëzimit dhe të zbatojmë formulën për të gjetur zonën. Në këtë seksion, ne shqyrtuam variantet më të zakonshme të detyrave.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Problemi 1(në lidhje me llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi të lakuar).

Në sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian xOy, jepet një figurë (shih figurën) e kufizuar nga boshti x, vijat e drejta x = a, x = b (një trapez i lakuar. Kërkohet të llogaritet sipërfaqja e trapezit të lakuar.
Zgjidhje. Gjeometria na jep receta për llogaritjen e sipërfaqeve të shumëkëndëshave dhe të disa pjesëve të një rrethi (sektori, segmenti). Duke përdorur konsiderata gjeometrike, ne mund të gjejmë vetëm një vlerë të përafërt të zonës së kërkuar, duke arsyetuar si më poshtë.

Le të ndajmë segmentin [a; b] (baza e një trapezi të lakuar) në n pjesë të barabarta; kjo ndarje kryhet duke përdorur pikat x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Le të vizatojmë vija të drejta nëpër këto pika paralele me boshtin y. Atëherë trapezi lakor i dhënë do të ndahet në n pjesë, në n kolona të ngushta. Sipërfaqja e të gjithë trapezit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të kolonave.

Le të shqyrtojmë kolonën k-të veçmas, d.m.th. një trapez i lakuar, baza e të cilit është një segment. Le ta zëvendësojmë me një drejtkëndësh me të njëjtën bazë dhe lartësi të barabartë me f(x k) (shih figurën). Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), ku \(\Delta x_k \) është gjatësia e segmentit; Është e natyrshme të konsiderohet produkti që rezulton si një vlerë e përafërt e sipërfaqes së kolonës k-të.

Nëse tani bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha kolonat e tjera, do të arrijmë në rezultatin e mëposhtëm: sipërfaqja S e një trapezi të caktuar lakor është afërsisht e barabartë me sipërfaqen S n të një figure me shkallë të përbërë nga n drejtkëndësha (shih figurën):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pika + f(x_k)\Delta x_k + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Këtu, për hir të uniformitetit të shënimit, supozojmë se a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - gjatësia e segmentit, \(\Delta x_1 \) - gjatësia e segmentit, etj.; në këtë rast, siç ramë dakord më lart, \(\Delta x_0 = \pika = \Delta x_(n-1) \)

Pra, \(S \përafërsisht S_n \), dhe kjo barazi e përafërt është më e saktë, sa më e madhe n.
Sipas përkufizimit, besohet se zona e kërkuar e një trapezi lakor është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ S = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Problemi 2(në lidhje me lëvizjen e një pike)
Një pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë. Varësia e shpejtësisë nga koha shprehet me formulën v = v(t). Gjeni lëvizjen e një pike gjatë një periudhe kohe [a; b].
Zgjidhje. Nëse lëvizja do të ishte uniforme, atëherë problemi do të zgjidhej shumë thjesht: s = vt, d.m.th. s = v(b-a). Për lëvizje të pabarabartë, duhet të përdorni të njëjtat ide mbi të cilat u bazua zgjidhja e problemit të mëparshëm.
1) Ndani intervalin kohor [a; b] në n pjesë të barabarta.
2) Konsideroni një periudhë kohore dhe supozoni se gjatë kësaj periudhe kohore shpejtësia ishte konstante, e njëjtë si në kohën t k. Pra supozojmë se v = v(t k).
3) Le të gjejmë vlerën e përafërt të lëvizjes së pikës gjatë një periudhe kohe, ne do ta shënojmë këtë vlerë të përafërt si s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Gjeni vlerën e përafërt të zhvendosjes s:
\(s \përafërsisht S_n \) ku
\(S_n = s_0 + \pika + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pika + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Zhvendosja e kërkuar është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ s = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Le të përmbledhim. Zgjidhjet e problemeve të ndryshme u reduktuan në të njëjtin model matematikor. Shumë probleme nga fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë çojnë në të njëjtin model në procesin e zgjidhjes. Kjo do të thotë se ky model matematikor duhet studiuar posaçërisht.

Koncepti i një integrali të caktuar

Le të japim një përshkrim matematikor të modelit që u ndërtua në tre problemat e konsideruara për funksionin y = f(x), i vazhdueshëm (por jo domosdoshmërisht jo negativ, siç u supozua në problemat e shqyrtuara) në intervalin [a; b]:
1) ndani segmentin [a; b] në n pjesë të barabarta;
2) përbëjnë shumën $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) llogarit $$ \lim_(n \në \infty) S_n $$

Gjatë analizës matematikore u vërtetua se ky kufi ekziston në rastin e një funksioni të vazhdueshëm (ose pjesërisht të vazhdueshëm). Ata e thërrasin atë një integral i caktuar i funksionit y = f(x) mbi segmentin [a; b] dhe shënohet si më poshtë:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numrat a dhe b quhen kufijtë e integrimit (përkatësisht i poshtëm dhe i sipërm).

Le të kthehemi te detyrat e diskutuara më sipër. Përkufizimi i zonës i dhënë në problemin 1 tani mund të rishkruhet si më poshtë:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
këtu S është zona e trapezit lakor të treguar në figurën e mësipërme. Kjo është kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.

Përkufizimi i zhvendosjes s të një pike që lëviz në një vijë të drejtë me një shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b, të dhëna në problemin 2, mund të rishkruhet si më poshtë:

Formula Njuton - Leibniz

Së pari, le t'i përgjigjemi pyetjes: cila është lidhja midis integralit të caktuar dhe antiderivativit?

Përgjigja gjendet në problemin 2. Nga njëra anë, zhvendosja s e një pike që lëviz në vijë të drejtë me shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b llogaritet me formulën
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Nga ana tjetër, koordinata e një pike lëvizëse është një antiderivativ për shpejtësinë - le ta shënojmë atë s(t); Kjo do të thotë se zhvendosja s shprehet me formulën s = s(b) - s(a). Si rezultat marrim:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ku s(t) është antiderivati ​​i v(t).

Teorema e mëposhtme u vërtetua gjatë analizës matematikore.
Teorema. Nëse funksioni y = f(x) është i vazhdueshëm në intervalin [a; b], atëherë formula është e vlefshme
\(S = \int\ limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ku F(x) është antiderivati ​​i f(x).

Formula e dhënë zakonisht quhet Formula Njuton-Leibniz për nder të fizikanit anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofit gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716), të cilët e morën atë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri dhe pothuajse njëkohësisht.

Në praktikë, në vend që të shkruajnë F(b) - F(a), ata përdorin shënimin \(\left. F(x)\right|_a^b \) (nganjëherë quhet zëvendësim i dyfishtë) dhe, në përputhje me rrethanat, rishkruani formulën Newton-Leibniz në këtë formë:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \majtas. F(x)\djathtas|_a^b \)

Kur llogaritni një integral të caktuar, së pari gjeni antiderivativin dhe më pas kryeni një zëvendësim të dyfishtë.

Bazuar në formulën Njuton-Leibniz, mund të marrim dy veti të integralit të caktuar.

Prona 1. Integrali i shumës së funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar

Duke përdorur integralin, mund të llogaritni zonat jo vetëm të trapezoidëve lakor, por edhe të figurave të rrafshët të një lloji më kompleks, për shembull, ai i paraqitur në figurë. Figura P kufizohet nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve të vazhdueshme y = f(x), y = g(x), dhe në segmentin [a; b] vlen pabarazia \(g(x) \leq f(x) \). Për të llogaritur sipërfaqen S të një figure të tillë, do të veprojmë si më poshtë:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\ limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Pra, zona S e një figure të kufizuar nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve y = f(x), y = g(x), e vazhdueshme në segment dhe e tillë që për çdo x nga segmenti [a; b] pabarazia \(g(x) \leq f(x) \) është e plotësuar, e llogaritur me formulën
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve

Detyra nr. 3. Bëni një vizatim dhe llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat

Zbatimi i integralit në zgjidhjen e problemeve të aplikuara

Llogaritja e sipërfaqes

Integrali i caktuar i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ f(x) është numerikisht i barabartë me zona e një trapezi lakor të kufizuar nga kurba y = f(x), boshti O x dhe vijat e drejta x = a dhe x = b. Në përputhje me këtë, formula e zonës shkruhet si më poshtë:

Le të shohim disa shembuj të llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të rrafshët.

Detyra nr 1. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga drejtëzat y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një figurë sipërfaqen e së cilës do të duhet ta llogarisim.

y = x 2 + 1 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset lart në lidhje me boshtin O y me një njësi (Figura 1).

Figura 1. Grafiku i funksionit y = x 2 + 1

Detyra nr. 2. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga drejtëzat y = x 2 – 1, y = 0 në intervalin nga 0 në 1.

Zgjidhje. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë e degëve që janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset në lidhje me boshtin O y poshtë me një njësi (Figura 2).

Figura 2. Grafiku i funksionit y = x 2 – 1

Detyra nr. 3. Bëni një vizatim dhe llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat

y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4.

Zgjidhje. E para nga këto dy drejtëza është një parabolë me degët e saj të drejtuara poshtë, pasi koeficienti x 2 është negativ, dhe vija e dytë është një vijë e drejtë që kryqëzon të dy boshtet koordinative.

Për të ndërtuar një parabolë gjejmë koordinatat e kulmit të saj: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abshisa e kulmit; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 është ordinata e saj, N(1;9) është kulmi.

Tani le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Barazimi i anëve të djathta të një ekuacioni, anët e majta të të cilit janë të barabarta.

Ne marrim 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ose x 2 – 12 = 0, prej nga .

Pra, pikat janë pikat e kryqëzimit të një parabole dhe një vijë të drejtë (Figura 1).

Figura 3 Grafikët e funksioneve y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4

Të ndërtojmë një drejtëz y = 2x – 4. Ajo kalon nëpër pikat (0;-4), (2;0) në boshtet koordinative.

Për të ndërtuar një parabolë, mund të përdorni edhe pikat e saj të kryqëzimit me boshtin 0x, domethënë rrënjët e ekuacionit 8 + 2x – x 2 = 0 ose x 2 – 2x – 8 = 0. Duke përdorur teoremën e Vietës, është e lehtë. për të gjetur rrënjët e tij: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 tregon një figurë (segment parabolik M 1 N M 2) të kufizuar nga këto vija.

Pjesa e dytë e problemit është gjetja e zonës së kësaj figure. Zona e saj mund të gjendet duke përdorur një integral të caktuar sipas formulës .

Në lidhje me këtë kusht, marrim integralin:

2 Llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues

Vëllimi i trupit i marrë nga rrotullimi i lakores y = f(x) rreth boshtit O x llogaritet me formulën:

Kur rrotullohet rreth boshtit O y, formula duket si kjo:

Detyra nr 4. Përcaktoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar të kufizuar nga drejtëza x = 0 x = 3 dhe kurba y = rreth boshtit O x.

Zgjidhje. Le të vizatojmë një figurë (Figura 4).

Figura 4. Grafiku i funksionit y =

Vëllimi i kërkuar është

Detyra nr 5. Njehsoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar të kufizuar nga kurba y = x 2 dhe drejtëza y = 0 dhe y = 4 rreth boshtit O y.

Zgjidhje. Ne kemi:

Rishikoni pyetjet