Çfarë është integrimi me pjesë? Për të zotëruar këtë lloj integrimi, le të kujtojmë fillimisht derivatin e një produkti:

$((\left(f\cdot g \djathtas))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Lind pyetja: çfarë lidhje kanë integralet me të? Tani le të integrojmë të dyja anët e këtij ekuacioni. Pra, le ta shkruajmë atë:

$\int(((\left(f\cdot g \djathtas))^(\prime ))\tekst(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\tekst(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\tekst(d)x))$

Por çfarë është një antiderivativ i një goditjeje në tru? Është vetëm funksioni në vetvete, i cili është brenda goditjes. Pra, le ta shkruajmë atë:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\tekst(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\tekst(d)x))$

Në këtë ekuacion, unë propozoj të shpreh termin. Ne kemi:

$\int((f)"\cdot g\,\tekst(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\tekst(d)x))$

Kjo është ajo integrimi sipas formulave të pjesëve. Kështu, ne në thelb po shkëmbejmë derivatin dhe funksionin. Nëse fillimisht kemi pasur një integral të një goditjeje të shumëzuar me diçka, atëherë marrim një integral të një diçkaje të re shumëzuar me një goditje. Ky është i gjithë rregulli. Në pamje të parë, kjo formulë mund të duket e ndërlikuar dhe e pakuptimtë, por në fakt, ajo mund të thjeshtojë shumë llogaritjet. Tani le të shohim.

Shembuj të llogaritjeve integrale

Problemi 1. Llogaritni:

\[\int(\ln x\,\tekst(d)x)\]\[\]

Le ta rishkruajmë shprehjen duke shtuar 1 para logaritmit:

\[\int(\ln x\,\tekst(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\tekst(d)x)\]

Ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë sepse nuk do të ndryshojë as numri dhe as funksioni. Tani le ta krahasojmë këtë shprehje me atë që është shkruar në formulë. Roli i $(f)"$ është 1, kështu që ne shkruajmë:

$\begin(lidh)& (f)"=1\Djathtas f=x \\& g=\n x\Rightshigjeta (g)"=\frac(1)(x) \\\end (linjë)$

Të gjitha këto funksione janë në tabela. Tani që kemi përshkruar të gjithë elementët që përfshihen në shprehjen tonë, do ta rishkruajmë këtë integral duke përdorur formulën për integrimin sipas pjesëve:

\[\fillim(rreshtoj)& \int(1\cdot \ln x\,\tekst(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\tekst(d )x)=x\ln x-\int(\tekst(d)x)= \\& =x\n x-x+C=x\majtas(\ln x-1 \djathtas)+C \\\ fund(rreshtoj)\]

Kjo është ajo, integrali është gjetur.

Problemi 2. Llogaritni:

$\int(x((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\tekst(d) )x))$

Nëse marrim $x$ si derivat, nga i cili tani duhet të gjejmë antiderivativin, do të marrim $((x)^(2))$, dhe shprehja përfundimtare do të përmbajë $((x)^(2) )( (\tekst(e))^(-x))$.

Natyrisht, problemi nuk është thjeshtuar, kështu që ne i ndërrojmë faktorët nën shenjën integrale:

$\int(x\cdot ((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=\int(((\tekst(e))^(-x))\cdot x\,\tekst(d)x)$

Tani le të prezantojmë shënimin:

$(f)"=((\tekst(e))^(-x))\Shigjeta djathtas f=\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x) =-((\tekst(e))^(-x))$

Le të dallojmë $((\tekst(e))^(-x))$:

$((\left(((\tekst(e))^(-x)) \djathtas))^(\prime ))=((\tekst(e))^(-x))\cdot ((\ majtas(-x \djathtas))^(\prime ))=-((\tekst(e))^(-x))$

Me fjalë të tjera, së pari shtohet minusi dhe më pas të dyja palët integrohen:

\[\fillim(rreshtoj)& ((\majtas(((\tekst(e))^(-x)) \djathtas))^(\prime ))=-((\tekst(e))^(- x))\Djathtas ((\tekst(e))^(-x))=-((\majtas((\tekst(e))^(-x)) \djathtas))^(\prime )) \\& \int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-\int(((\left(((\tekst(e))^(- x)) \djathtas)) ^(\prime ))\tekst(d)x)=-((\tekst(e))^(-x))+C \\\fund (rreshtoj)\]

Tani le të shohim funksionin $g$:

$g=x\Djathtas (g)"=1$

Ne llogarisim integralin:

$\fille(lidhoj)& \int(((\tekst(e))^(-x))\cdot x\,\tekst(d)x)=x\cdot \left(-((\tekst(e ))^(-x)) \djathtas)-\int(\majtas(-((\tekst(e))^(-x)) \djathtas)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekst(e))^(-x))+\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-x( (\tekst(e))^(-x))-((\tekst(e))^(-x))+C=-((\tekst(e))^(-x))\left(x) +1 \djathtas)+C \\\fund (rreshtoj)$

Pra, ne kemi kryer integrimin e dytë sipas pjesëve.

Problemi 3. Llogaritni:

$\int(x\cos 3x\,\tekst(d)x)$

Në këtë rast, çfarë duhet të marrim për $(f)"$ dhe çfarë për $g$? Nëse $x$ vepron si derivat, atëherë gjatë integrimit do të marrim $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, dhe faktori i parë nuk do të zhduket askund - do të jetë $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Prandaj, le t'i ndërrojmë përsëri faktorët:

$\fille(radhis)& \int(x\cos 3x\,\tekst(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\tekst(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Djathtas shigjeta f=\int(\cos 3x\,\tekst(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Djathtas (g)"=1 \\\ fund(rreshtoj)$

Ne rishkruajmë shprehjen tonë origjinale dhe e zgjerojmë atë sipas formulës së integrimit sipas pjesëve:

\[\fillim(rreshtoj)& \int(\cos 3x\cdot x\ \tekst(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\tekst(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\tekst(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\fund (rreshtoj)\]

Kjo është ajo, problemi i tretë është zgjidhur.

Si përfundim, le t'i hedhim një vështrim tjetër integrimi sipas formulave të pjesëve. Si të zgjedhim se cili faktor do të jetë derivat dhe cili do të jetë funksioni real? Këtu ka vetëm një kriter: elementi që do të diferencojmë duhet ose të japë një shprehje “të bukur”, e cila më pas do të reduktohet, ose do të zhduket fare gjatë diferencimit. Kjo përfundon mësimin.

Integrimi sipas pjesëve. Shembuj zgjidhjesh

Përshëndetje përsëri. Sot në mësim do të mësojmë se si të integrojmë sipas pjesëve. Metoda e integrimit sipas pjesëve është një nga themelet e llogaritjes integrale. Gjatë testeve ose provimeve, studentëve pothuajse gjithmonë u kërkohet të zgjidhin llojet e mëposhtme të integraleve: integrali më i thjeshtë (shih artikullin) ose një integral duke zëvendësuar një ndryshore (shih artikullin) ose integrali është thjesht i ndezur Metoda e integrimit me pjesë.

Si gjithmonë, duhet të keni në dorë: Tabela e integraleve Dhe Tabela e derivateve. Nëse ende nuk i keni ato, atëherë ju lutemi vizitoni dhomën e ruajtjes së faqes sime të internetit: Formula dhe tabela matematikore. Nuk do të lodhem duke përsëritur - është më mirë të printoni gjithçka. Do të përpiqem të paraqes të gjithë materialin në mënyrë konsistente, thjesht dhe qartë, nuk ka vështirësi të veçanta në integrimin e pjesëve.

Çfarë problemi zgjidh metoda e integrimit me pjesë? Metoda e integrimit sipas pjesëve zgjidh një problem shumë të rëndësishëm që ju lejon të integroni disa funksione që nuk janë në tabelë; puna funksionet, dhe në disa raste - edhe herës. Siç e kujtojmë, nuk ka asnjë formulë të përshtatshme: . Por ekziston ky: – formula për integrimin nga pjesët personalisht. E di, e di, ju jeni i vetmi - ne do të punojmë me të gjatë gjithë mësimit (është më e lehtë tani).

Dhe menjëherë lista në studio. Integralet e llojeve të mëposhtme merren sipas pjesëve:

1) , , – logaritmi, logaritmi i shumëzuar me disa polinom.

2) ,është një funksion eksponencial i shumëzuar me disa polinom. Kjo përfshin gjithashtu integrale si - një funksion eksponencial i shumëzuar me një polinom, por në praktikë kjo është 97 përqind, nën integral ka një shkronjë të bukur "e". ... artikulli del disi lirik, oh po ... ka ardhur pranvera.

3) , , janë funksione trigonometrike të shumëzuara me disa polinom.

4) , – funksione trigonometrike të anasjellta (“harqe”), “harqe” të shumëzuara me disa polinom.

Disa thyesa janë marrë edhe në pjesë, ne do të shqyrtojmë në detaje edhe shembujt përkatës.

Integralet e logaritmeve

Shembulli 1

Klasike. Herë pas here ky integral mund të gjendet në tabela, por nuk këshillohet të përdoret një përgjigje e gatshme, pasi mësuesi ka mungesë vitamine pranverore dhe do të shajë rëndë. Sepse integrali në shqyrtim nuk është aspak tabelor - ai merret pjesë-pjesë. Ne vendosim:

E ndërpresim zgjidhjen për shpjegime të ndërmjetme.

Ne përdorim formulën e integrimit sipas pjesëve:

Formula zbatohet nga e majta në të djathtë

Shikojmë anën e majtë: . Natyrisht, në shembullin tonë (dhe në të gjithë të tjerët që do të shqyrtojmë) diçka duhet të përcaktohet si , dhe diçka si .

Në integrale të tipit në shqyrtim, logaritmi shënohet gjithmonë.

Teknikisht, dizajni i zgjidhjes zbatohet si më poshtë:

Kjo do të thotë, ne shënuam logaritmin me, dhe me - pjesa tjetër shprehje integrale.

Faza tjetër: gjeni diferencialin:

Një diferencial është pothuajse i njëjtë me një derivat, ne kemi diskutuar tashmë se si ta gjejmë atë në mësimet e mëparshme.

Tani gjejmë funksionin. Për të gjetur funksionin duhet të integroni anën e djathtë barazi më e ulët:

Tani hapim zgjidhjen tonë dhe ndërtojmë anën e djathtë të formulës: .
Nga rruga, këtu është një mostër e zgjidhjes përfundimtare me disa shënime:

Pika e vetme në punë është se unë e ndërrova menjëherë dhe , pasi është zakon të shkruhet faktori para logaritmit.

Siç mund ta shihni, aplikimi i formulës së integrimit sipas pjesëve e zvogëloi në thelb zgjidhjen tonë në dy integrale të thjeshta.

Ju lutemi vini re se në disa raste menjëherë pas aplikimi i formulës, një thjeshtim kryhet domosdoshmërisht nën integralin e mbetur - në shembullin në shqyrtim, ne e reduktuam integrandin në "x".

Le të kontrollojmë. Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni derivatin e përgjigjes:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se integrali është zgjidhur saktë.

Gjatë testit, ne përdorëm rregullin e diferencimit të produktit: . Dhe kjo nuk është rastësi.

Formula për integrimin sipas pjesëve dhe formula - këto janë dy rregulla të kundërta reciproke.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar.

Integrandi është prodhim i një logaritmi dhe një polinomi.
Le të vendosim.

Do të përshkruaj edhe një herë në detaje procedurën e zbatimit të rregullit në të ardhmen, shembujt do të paraqiten më shkurt dhe nëse keni vështirësi në zgjidhjen e tij vetë, duhet të ktheheni në dy shembujt e parë të mësimit; .

Siç u përmend tashmë, është e nevojshme të shënohet logaritmi (fakti që është një fuqi nuk ka rëndësi). Ne shënojmë me pjesa tjetër shprehje integrale.

Ne shkruajmë në kolonë:

Së pari gjejmë diferencialin:

Këtu përdorim rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks . Nuk është rastësi që në mësimin e parë të temës Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh Unë u fokusova në faktin se për të zotëruar integralet, ju duhet të "merrni në dorë" derivatet. Ju do të duhet të merreni me derivate më shumë se një herë.

Tani gjejmë funksionin, për këtë ne integrojmë anën e djathtë barazi më e ulët:

Për integrim kemi përdorur formulën më të thjeshtë tabelare

Tani gjithçka është gati për të aplikuar formulën . Hapeni me një yll dhe "ndërtoni" zgjidhjen në përputhje me anën e djathtë:

Nën integralin përsëri kemi një polinom për logaritmin! Prandaj, zgjidhja ndërpritet përsëri dhe rregulli i integrimit sipas pjesëve zbatohet për herë të dytë. Mos harroni se në situata të ngjashme logaritmi shënohet gjithmonë.

Do të ishte mirë që deri tani të dinit të gjenit gojarisht integralet dhe derivatet më të thjeshta.

(1) Mos u ngatërroni për shenjat! Shumë shpesh minusi humbet këtu, vini re gjithashtu se minusi i referohet për të gjithë kllapa , dhe këto kllapa duhet të zgjerohen saktë.

(2) Hapni kllapat. Ne thjeshtojmë integralin e fundit.

(3) Marrim integralin e fundit.

(4) “Krehja” e përgjigjes.

Nevoja për të zbatuar rregullin e integrimit sipas pjesëve dy herë (ose edhe tre herë) nuk lind shumë rrallë.

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj:

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar.

Ky shembull zgjidhet duke ndryshuar variablin (ose duke e zëvendësuar atë nën shenjën diferenciale)! Pse jo - mund të provoni ta merrni në pjesë, do të dalë të jetë një gjë qesharake.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar.

Por ky integral është i integruar me pjesë (fraksioni i premtuar).

Këta janë shembuj për t'i zgjidhur vetë, zgjidhje dhe përgjigje në fund të mësimit.

Duket se në shembujt 3 dhe 4 integrandët janë të ngjashëm, por metodat e zgjidhjes janë të ndryshme! Kjo është vështirësia kryesore në zotërimin e integraleve - nëse zgjidhni metodën e gabuar për zgjidhjen e një integrali, atëherë mund të ndërhyni me të për orë të tëra, si me një enigmë të vërtetë. Prandaj, sa më shumë të zgjidhni integrale të ndryshme, aq më mirë, aq më i lehtë do të jetë testi dhe provimi. Për më tepër, në vitin e dytë do të ketë ekuacione diferenciale, dhe pa përvojë në zgjidhjen e integraleve dhe derivateve nuk ka asgjë për të bërë atje.

Për sa i përket logaritmeve, kjo është ndoshta më se e mjaftueshme. Si mënjanë, mund të kujtoj gjithashtu se studentët e inxhinierisë përdorin logaritme për të quajtur gjinjtë e femrave =). Nga rruga, është e dobishme të dimë përmendësh grafikët e funksioneve kryesore elementare: sinus, kosinus, arktangjent, eksponent, polinome të shkallës së tretë, të katërt, etj. Jo, sigurisht, një prezervativ në botë
Nuk do ta zgjas, por tani do të mbani mend shumë nga seksioni Grafikët dhe funksionet =).

Integralet e një eksponenciale të shumëzuar me një polinom

Rregulli i përgjithshëm:

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar.

Duke përdorur një algoritëm të njohur, ne integrojmë sipas pjesëve:

Nëse keni vështirësi me integralin, atëherë duhet të ktheheni te artikulli Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar.

E vetmja gjë që mund të bëni është të rregulloni përgjigjen:

Por nëse teknika juaj e llogaritjes nuk është shumë e mirë, atëherë opsioni më fitimprurës është ta lini atë si përgjigje apo edhe

Domethënë, shembulli konsiderohet i zgjidhur kur merret integrali i fundit. Nuk do të jetë një gabim, është një çështje tjetër që mësuesi mund t'ju kërkojë të thjeshtoni përgjigjen.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ky integral është i integruar dy herë nga pjesët. Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet shenjave - është e lehtë të ngatërrohesh në to, kujtojmë gjithashtu se ky është një funksion kompleks.

Nuk ka asgjë më shumë për të thënë për ekspozuesin. Mund të shtoj vetëm se logaritmi eksponencial dhe ai natyror janë funksione reciprokisht të anasjellta, ky jam unë në temën e grafikëve argëtues të matematikës së lartë =) Ndaloni, ndaloni, mos u shqetësoni, pedagogu është i matur.

Integralet e funksioneve trigonometrike të shumëzuara me një polinom

Rregulli i përgjithshëm: for gjithmonë tregon një polinom

Shembulli 7

Gjeni integralin e pacaktuar.

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Hmmm...dhe nuk ka asgjë për të komentuar.

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Një shembull tjetër me një thyesë. Si në dy shembujt e mëparshëm, for tregon një polinom.

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Nëse keni ndonjë vështirësi ose keqkuptim me gjetjen e integralit, ju rekomandoj të ndiqni mësimin Integrale të funksioneve trigonometrike.

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Këshillë: Përpara se të përdorni metodën e integrimit sipas pjesëve, duhet të aplikoni një formulë trigonometrike që e kthen produktin e dy funksioneve trigonometrike në një funksion. Formula mund të përdoret gjithashtu kur aplikoni metodën e integrimit sipas pjesëve, cilado që është më e përshtatshme për ju.

Kjo është ndoshta e gjitha në këtë paragraf. Për disa arsye m'u kujtua një rresht nga himni i fizikës dhe matematikës "Dhe grafiku i sinusit shkon valë pas valë përgjatë boshtit të abshisës"….

Integrale të funksioneve trigonometrike të anasjellta.
Integralet e funksioneve trigonometrike të anasjellta të shumëzuara me një polinom

Rregulli i përgjithshëm: shënon gjithmonë funksionin trigonometrik të anasjelltë.

Më lejoni t'ju kujtoj se funksionet trigonometrike të anasjellta përfshijnë arksinën, arkozinën, arktangjentin dhe arkotangjentin. Për hir të shkurtësisë së regjistrimit do t'i quaj "harqe"

Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh

Përshëndetje përsëri. Në këtë mësim do të shqyrtojmë në detaje një gjë kaq të mrekullueshme si një integral i caktuar. Këtë herë prezantimi do të jetë i shkurtër. Të gjitha. Sepse ka një stuhi dëbore jashtë dritares.

Për të mësuar se si të zgjidhni integrale të caktuara, ju duhet:

1) Të jetë në gjendje gjeni integrale të pacaktuara.

2) Të jetë në gjendje llogarit integral i caktuar.

Siç mund ta shihni, për të zotëruar një integral të caktuar, duhet të keni një kuptim mjaft të mirë të integraleve të pacaktuar "të zakonshëm". Prandaj, nëse sapo keni filluar të zhyteni në llogaritjen integrale, dhe kazani ende nuk ka zier fare, atëherë është më mirë të filloni me mësimin Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh. Përveç kësaj, ka kurse pdf për përgatitje ultra e shpejtë- nëse keni fjalë për fjalë një ditë, ju ka mbetur edhe gjysmë dite.

Në formë të përgjithshme, integrali i caktuar shkruhet si më poshtë:

Çfarë shtohet në krahasim me integralin e pacaktuar? Më shumë kufijtë e integrimit.

Kufiri i ulët i integrimit
Kufiri i sipërm i integrimit standardisht shënohet me shkronjën .
Segmenti quhet segmenti i integrimit.

Përpara se të kalojmë te shembujt praktikë, një pyetje e shpejtë mbi integralin e caktuar.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një integral të caktuar? Zgjidhja e një integrali të caktuar do të thotë të gjesh një numër.

Si të zgjidhim një integral të caktuar? Duke përdorur formulën Newton-Leibniz të njohur nga shkolla:

Është më mirë të rishkruani formulën në një copë letre të veçantë, ajo duhet të jetë para syve tuaj gjatë gjithë mësimit.

Hapat për zgjidhjen e një integrali të caktuar janë si më poshtë:

1) Së pari gjejmë funksionin antiderivativ (integral i pacaktuar). Vini re se konstanta në integralin e caktuar nuk shtohet. Emërtimi është thjesht teknik, dhe shkopi vertikal nuk ka ndonjë kuptim matematikor, në fakt është vetëm një shënim. Pse nevojitet vetë regjistrimi? Përgatitja për zbatimin e formulës Njuton-Leibniz.

2) Zëvendësoni vlerën e kufirit të sipërm në funksionin antiderivativ: .

3) Zëvendësoni vlerën e kufirit të poshtëm në funksionin antiderivativ: .

4) Ne llogarisim (pa gabime!) diferencën, domethënë gjejmë numrin.

A ekziston gjithmonë një integral i caktuar? Jo, jo gjithmonë.

Për shembull, integrali nuk ekziston sepse segmenti i integrimit nuk përfshihet në domenin e integrandit (vlerat nën rrënjën katrore nuk mund të jenë negative). Ja një shembull më pak i dukshëm: . Një integral i tillë gjithashtu nuk ekziston, pasi nuk ka tangjente në pikat e segmentit. Meqë ra fjala, kush nuk e ka lexuar ende materialin mësimor? Grafikët dhe vetitë themelore të funksioneve elementare– koha për ta bërë është tani. Do të jetë e shkëlqyeshme për të ndihmuar gjatë gjithë kursit të matematikës së lartë.

Për këtë që një integral i caktuar të ekzistojë fare, mjafton që integrani të jetë i vazhdueshëm në intervalin e integrimit..

Nga sa më sipër, vijon rekomandimi i parë i rëndësishëm: përpara se të filloni të zgjidhni NDONJË integral të caktuar, duhet të siguroheni që funksioni integrand është e vazhdueshme në intervalin e integrimit. Kur isha student, kam pasur vazhdimisht një incident kur kam luftuar për një kohë të gjatë me gjetjen e një antiderivati ​​të vështirë, dhe kur më në fund e gjeta, ia ktheva mendjen për një pyetje tjetër: “Çfarë marrëzie doli të ishte? ?” Në një version të thjeshtuar, situata duket diçka si kjo:

???! Ju nuk mund të zëvendësoni numrat negativë nën rrënjë! Çfarë dreqin është kjo?! Pavëmendje fillestare.

Nëse për një zgjidhje (në një test, test, provim) ju ofrohet një integral inekzistent si , atëherë duhet të jepni një përgjigje se integrali nuk ekziston dhe të arsyetoni pse.

A mund të jetë një integral i caktuar i barabartë me një numër negativ? Ndoshta. Dhe një numër negativ. Dhe zero. Madje mund të rezultojë të jetë pafundësi, por tashmë do të jetë integral jo i duhur, të cilave u jepet një leksion i veçantë.

A mund të jetë kufiri i poshtëm i integrimit më i madh se kufiri i sipërm i integrimit? Ndoshta kjo situatë ndodh realisht në praktikë.

– integrali mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

Çfarë është e domosdoshme matematika e lartë? Sigurisht, pa të gjitha llojet e pronave. Prandaj, le të shqyrtojmë disa veti të integralit të caktuar.

Në një integral të caktuar, ju mund të riorganizoni kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, duke ndryshuar shenjën:

Për shembull, në një integral të caktuar, para integrimit, këshillohet të ndryshoni kufijtë e integrimit në rendin "i zakonshëm":

– në këtë formë është shumë më i përshtatshëm për t'u integruar.

- kjo është e vërtetë jo vetëm për dy, por edhe për çdo numër funksionesh.

Në një integral të caktuar mund të kryhet zëvendësimi i variablit të integrimit, megjithatë, në krahasim me integralin e pacaktuar, kjo ka specifikat e veta, për të cilat do të flasim më vonë.

Për një integral të caktuar vlen sa vijon: integrimi sipas formulave të pjesëve:

Shembulli 1

Zgjidhja:

(1) E nxjerrim konstanten nga shenja integrale.

(2) Integroni mbi tabelë duke përdorur formulën më të njohur . Është e këshillueshme që të ndani konstantën e daljes nga dhe ta zhvendosni atë nga kllapa. Nuk është e nevojshme ta bëni këtë, por këshillohet - pse llogaritjet shtesë?

. Së pari ne zëvendësojmë kufirin e sipërm, pastaj kufirin e poshtëm. Ne kryejmë llogaritjet e mëtejshme dhe marrim përgjigjen përfundimtare.

Shembulli 2

Njehsoni integralin e caktuar

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Le ta komplikojmë pak detyrën:

Shembulli 3

Njehsoni integralin e caktuar

Zgjidhja:

(1) Ne përdorim vetitë e linearitetit të integralit të caktuar.

(2) Ne integrojmë sipas tabelës, duke hequr të gjitha konstantat - ato nuk do të marrin pjesë në zëvendësimin e kufijve të sipërm dhe të poshtëm.

(3) Për secilin nga tre termat ne zbatojmë formulën Newton-Leibniz:

LIDHJA E DOBËT në integralin e caktuar janë gabimet në llogaritje dhe KONFUSIONI I zakonshëm NË SHENJA. Kini kujdes! I kushtoj vëmendje të veçantë termit të tretë: – vendin e parë në hit paradën e gabimeve për shkak të pavëmendjes, shumë shpesh shkruajnë automatikisht (sidomos kur zëvendësimi i kufirit të sipërm dhe të poshtëm bëhet me gojë dhe nuk është i shkruar me kaq hollësi). Edhe një herë, studioni me kujdes shembullin e mësipërm.

Duhet të theksohet se metoda e shqyrtuar për zgjidhjen e një integrali të caktuar nuk është e vetmja. Me një përvojë, zgjidhja mund të reduktohet ndjeshëm. Për shembull, unë vetë jam mësuar të zgjidh integrale të tilla si kjo:

Këtu kam përdorur verbalisht rregullat e linearitetit dhe jam integruar verbalisht duke përdorur tabelën. Përfundova me vetëm një kllapa me kufijtë e shënuar: (ndryshe nga tre kllapa në metodën e parë). Dhe në funksionin antiderivativ "të tërë", së pari zëvendësova 4, pastaj -2, duke kryer përsëri të gjitha veprimet në mendjen time.

Cilat janë disavantazhet e zgjidhjes së shkurtër? Gjithçka këtu nuk është shumë e mirë nga pikëpamja e racionalitetit të llogaritjeve, por personalisht nuk më intereson - unë llogarit fraksionet e zakonshme në një kalkulator.
Përveç kësaj, ekziston një rrezik në rritje për të bërë një gabim në llogaritjet, kështu që është më mirë që një student i çajit të përdorë metodën e parë me metodën "ime" të zgjidhjes, shenja do të humbasë diku;

Sidoqoftë, avantazhet e padyshimta të metodës së dytë janë shpejtësia e zgjidhjes, kompaktësia e shënimit dhe fakti që antiderivati ​​është në një kllapë.

Këshillë: përpara se të përdorni formulën Newton-Leibniz, është e dobishme të kontrolloni: a u gjet saktë vetë antiderivati?

Pra, në lidhje me shembullin në shqyrtim: përpara se të zëvendësoni kufijtë e sipërm dhe të poshtëm në funksionin antiderivativ, këshillohet të kontrolloni në draft nëse integrali i pacaktuar është gjetur saktë? Le të dallojmë:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se integrali i pacaktuar është gjetur saktë. Tani mund të aplikojmë formulën Njuton-Leibniz.

Një kontroll i tillë nuk do të jetë i tepërt kur llogaritet ndonjë integral i caktuar.

Shembulli 4

Njehsoni integralin e caktuar

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë. Mundohuni ta zgjidhni atë në një mënyrë të shkurtër dhe të detajuar.

Ndryshimi i një ndryshoreje në një integral të caktuar

Për një integral të caktuar, të gjitha llojet e zëvendësimeve janë të vlefshme si për integralin e pacaktuar. Kështu, nëse nuk jeni shumë mirë me zëvendësimet, duhet ta lexoni me kujdes mësimin Metoda e zëvendësimit në integral të pacaktuar.

Nuk ka asgjë të frikshme apo të vështirë në këtë paragraf. Risia qëndron tek pyetja si të ndryshohen kufijtë e integrimit gjatë zëvendësimit.

Në shembuj, do të përpiqem të jap lloje të zëvendësimeve që nuk janë gjetur ende askund në sit.

Shembulli 5

Njehsoni integralin e caktuar

Pyetja kryesore këtu nuk është integrali i caktuar, por si të kryhet saktë zëvendësimi. Le të shohim tabela e integraleve dhe kuptoni se si duket më së shumti funksioni ynë integrues? Natyrisht, për logaritmin e gjatë: . Por ka një mospërputhje, në tabelën integrale nën rrënjë, dhe në tonën - "x" në fuqinë e katërt. Ideja e zëvendësimit rrjedh gjithashtu nga arsyetimi - do të ishte mirë që disi ta kthenim shkallën tonë të katërt në një katror. Kjo është e vërtetë.

Së pari, ne përgatisim integralin tonë për zëvendësim:

Nga konsideratat e mësipërme, lind natyrshëm një zëvendësim:
Kështu, gjithçka do të jetë mirë në emëruesin: .
Zbulojmë se në çfarë do të shndërrohet pjesa e mbetur e integrandit, për këtë gjejmë diferencialin:

Krahasuar me zëvendësimin në integralin e pacaktuar, shtojmë një hap shtesë.

Gjetja e kufijve të rinj të integrimit.

Është mjaft e thjeshtë. Le të shohim zëvendësimin tonë dhe kufijtë e vjetër të integrimit, .

Së pari, ne zëvendësojmë kufirin e poshtëm të integrimit, domethënë zero, në shprehjen zëvendësuese:

Pastaj ne zëvendësojmë kufirin e sipërm të integrimit në shprehjen zëvendësuese, domethënë rrënjën e tre:

Gati. Dhe thjesht...

Le të vazhdojmë me zgjidhjen.

(1) Sipas zëvendësimit shkruani një integral të ri me kufij të rinj integrimi.

(2) Ky është integrali më i thjeshtë i tabelës, ne e integrojmë mbi tabelë. Është më mirë të lini konstanten jashtë kllapave (nuk duhet ta bëni këtë) në mënyrë që të mos ndërhyjë në llogaritjet e mëtejshme. Në të djathtë vizatojmë një vijë që tregon kufijtë e rinj të integrimit - kjo është përgatitja për aplikimin e formulës Newton-Leibniz.

(3) Ne përdorim formulën Newton-Leibniz .

Ne përpiqemi të shkruajmë përgjigjen në formën më kompakte të mundshme këtu kam përdorur vetitë e logaritmeve.

Një tjetër ndryshim nga integrali i pacaktuar është se pasi kemi bërë zëvendësimin, nuk ka nevojë të kryeni ndonjë zëvendësim të kundërt.

Dhe tani disa shembuj që ju të vendosni vetë. Çfarë zëvendësimesh të bëni - përpiquni të merrni me mend vetë.

Shembulli 6

Njehsoni integralin e caktuar

Shembulli 7

Njehsoni integralin e caktuar

Këto janë shembuj që ju të vendosni vetë. Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Dhe në fund të paragrafit, disa pika të rëndësishme, analiza e të cilave u shfaq falë vizitorëve të faqes. E para ka të bëjë ligjshmëria e zëvendësimit. Në disa raste nuk mund të bëhet! Kështu, Shembulli 6, me sa duket, mund të zgjidhet duke përdorur zëvendësimi universal trigonometrik, megjithatë, kufiri i sipërm i integrimit ("pi") nuk përfshihet në fusha e përkufizimit kjo tangjente dhe për rrjedhojë ky zëvendësim është i paligjshëm! Kështu, funksioni “zëvendësues” duhet të jetë i vazhdueshëm në të gjitha pikat e segmentit të integrimit.

Në një email tjetër, u mor pyetja e mëposhtme: "A duhet të ndryshojmë kufijtë e integrimit kur nënkuptojmë një funksion nën shenjën diferenciale?" Në fillim doja të "hiqja marrëzitë" dhe automatikisht të përgjigjesha "sigurisht jo", por më pas mendova për arsyen e një pyetjeje të tillë dhe papritmas zbulova se nuk kishte asnjë informacion jo mjaftueshëm. Por, megjithëse e qartë, është shumë e rëndësishme:

Nëse e përfshijmë funksionin nën shenjën diferenciale, atëherë nuk ka nevojë të ndryshohen kufijtë e integrimit! Pse? Sepse në këtë rast asnjë tranzicion aktual në ndryshore të re. Për shembull:

Dhe këtu përmbledhja është shumë më e përshtatshme se zëvendësimi akademik me "pikturimin" e mëvonshëm të kufijve të rinj të integrimit. Kështu, nëse integrali i caktuar nuk është shumë i ndërlikuar, atëherë gjithmonë përpiquni ta vendosni funksionin nën shenjën diferenciale! Është më i shpejtë, është më kompakt dhe është i zakonshëm - siç do ta shihni dhjetëra herë!

Faleminderit shumë për letrat tuaja!

Mënyra e integrimit sipas pjesëve në një integral të caktuar

Këtu ka edhe më pak risi. Të gjitha llogaritjet e artikullit Integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar janë plotësisht të vlefshme për integralin e caktuar.
Ka vetëm një detaj që është një plus në formulën e integrimit sipas pjesëve, janë shtuar kufijtë e integrimit:

Këtu duhet aplikuar dy herë formula Njuton-Leibniz: për produktin dhe pasi marrim integralin.

Për shembull, unë përsëri zgjodha llojin e integralit që nuk është gjetur ende askund në sit. Shembulli nuk është më i thjeshti, por shumë, shumë informues.

Shembulli 8

Njehsoni integralin e caktuar

Le të vendosim.

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Kushdo që ka vështirësi me integralin, le të shikojë mësimin Integrale të funksioneve trigonometrike, aty diskutohet në detaje.

(1) Zgjidhjen e shkruajmë në përputhje me formulën e integrimit sipas pjesëve.

(2) Për produktin aplikojmë formulën Newton-Leibniz. Për integralin e mbetur përdorim vetitë e linearitetit, duke e ndarë atë në dy integrale. Mos u ngatërroni nga shenjat!

(4) Zbatojmë formulën e Njuton-Leibnizit për dy antiderivativët e gjetur.

Të them të drejtën, nuk më pëlqen formula. dhe, nëse është e mundur, ... Unë bëj pa të fare! Le të shqyrtojmë zgjidhjen e dytë nga këndvështrimi im, është më racionale.

Njehsoni integralin e caktuar

Në fazën e parë gjej integralin e pacaktuar:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Është gjetur funksioni antiderivativ. Nuk ka kuptim të shtohet një konstante në këtë rast.

Cili është avantazhi i një rritje të tillë? Nuk ka nevojë të "përmbahen" kufijtë e integrimit, në të vërtetë mund të jetë rraskapitëse të shkruajmë simbolet e vogla të kufijve të integrimit një duzinë herë;

Në fazën e dytë kontrolloj(zakonisht në draft).

Gjithashtu logjike. Nëse e kam gjetur gabim funksionin antiderivativ, atëherë do ta zgjidh gabimisht integralin e caktuar. Është më mirë ta zbulojmë menjëherë, le të dallojmë përgjigjen:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se funksioni antiderivativ është gjetur saktë.

Faza e tretë është aplikimi i formulës Njuton-Leibniz:

Dhe këtu ka një përfitim të rëndësishëm! Në metodën e zgjidhjes "ime" ekziston një rrezik shumë më i ulët për t'u ngatërruar në zëvendësimet dhe llogaritjet - formula Newton-Leibniz zbatohet vetëm një herë. Nëse çajniku zgjidh një integral të ngjashëm duke përdorur formulën (në mënyrën e parë), atëherë ai patjetër do të gabojë diku.

Algoritmi i konsideruar i zgjidhjes mund të zbatohet për çdo integral të caktuar.

I dashur student, printo dhe ruaj:

Çfarë duhet të bëni nëse ju jepet një integral i caktuar që duket i ndërlikuar ose nuk është menjëherë e qartë se si ta zgjidhni atë?

1) Së pari gjejmë integralin e pacaktuar (funksioni antiderivativ). Nëse në fazën e parë ka pasur një përplasje, nuk ka kuptim të lëkundet më tej varkën me Njutonin dhe Leibnizin. Ekziston vetëm një mënyrë - të rrisni nivelin tuaj të njohurive dhe aftësive në zgjidhje integrale të pacaktuara.

2) Kontrollojmë funksionin antiderivativ të gjetur me diferencim. Nëse gjendet gabimisht, hapi i tretë do të jetë humbje kohe.

3) Ne përdorim formulën Newton-Leibniz. Ne i kryejmë të gjitha llogaritjet ME KUJDES SHUMË - kjo është lidhja më e dobët e detyrës.

Dhe, për një meze të lehtë, një zgjidhje integrale për të pavarur.

Shembulli 9

Njehsoni integralin e caktuar

Zgjidhja dhe përgjigja janë diku afër.

Mësimi tjetër i rekomanduar mbi këtë temë është Si të llogarisni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar?
Le të integrojmë sipas pjesëve:

Jeni i sigurt që i keni zgjidhur dhe keni marrë të njëjtat përgjigje? ;-) Dhe ka pornografi për një grua të moshuar.

Më parë, duke pasur parasysh një funksion të caktuar, të udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjetëm derivatin e tij. Derivati ​​ka përdorime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni funksionin për monotoni dhe ekstreme; ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.

Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.

Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën v=gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet që s"(t) = v(t). Kjo do të thotë se për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni një funksion s = s(t), derivati ​​i të cilit është i barabartë me gt. Nuk është e vështirë të merret me mend. që \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \majtas(\frac(gt^2)(2) \djathtas)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Përgjigje: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne morëm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si ligj i lëvizje, pasi \(\majtas (\frac(gt^2)(2) +C \djathtas)" = gt \)

Për ta bërë problemin më specifik, na duhej të rregullonim situatën fillestare: tregoni koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull në t = 0. Nëse, të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia s(t) = (gt 2)/2 + C marrim: s(0) = 0 + C, d.m.th. C = s 0. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Në matematikë, operacioneve reciproke të anasjellta u jepen emra të ndryshëm, janë shpikur shënime të veçanta, për shembull: katrori (x 2) dhe rrënja katrore (\(\sqrt(x)\)), sinusi (sin x) dhe arcsine (arcsin x) dhe etj. Procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni të caktuar quhet diferencimi, dhe operacioni i anasjelltë, pra procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, është integrimin.

Vetë termi “derivativ” mund të justifikohet “në terma të përditshëm”: funksioni y = f(x) “lind” një funksion të ri y" = f"(x). Funksioni y = f(x) vepron si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë atë "prind" ose "prodhues" ata thonë se është, në lidhje me funksionin y" = f"(; x) , imazh primar ose primitiv.

Përkufizimi. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X nëse barazia F"(x) = f(x) vlen për \(x \në X\)

Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).

Le të japim shembuj.
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për çdo x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë
2) Funksioni y = x 3 është antiderivativ për funksionin y = 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë
3) Funksioni y = sin(x) është antiderivativ për funksionin y = cos(x), pasi për çdo x barazia (sin(x))" = cos(x) është e vërtetë

Kur gjenden antiderivatet, si dhe derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.

Ne e dimë se derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.

Rregulli 1. Antiderivativi i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.

Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.

Rregulli 2. Nëse F(x) është një antiderivativ për f(x), atëherë kF(x) është një antiderivativ për kf(x).

Teorema 1. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati ​​për funksionin y = f(kx + m) është funksioni \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X, atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C.

Metodat e integrimit

Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)

Metoda e integrimit me zëvendësim përfshin futjen e një variabli të ri integrimi (d.m.th., zëvendësimi). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për zgjedhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet përmes praktikës.
Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali \(\textstyle \int F(x)dx \). Le të bëjmë zëvendësimin \(x= \varphi(t) \) ku \(\varphi(t) \) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrimi i shprehjeve të formës \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Nëse m është tek, m > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi sin x = t.
Nëse n është tek, n ​​> 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.

Integrimi sipas pjesëve

Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ose:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve

Integrimi sipas pjesëve- një metodë që përdoret për zgjidhjen e integraleve të caktuar dhe të pacaktuar, kur njëri nga integrandët është lehtësisht i integrueshëm dhe tjetri është i diferencueshëm. Një metodë mjaft e zakonshme për gjetjen e integraleve, të pacaktuara dhe të përcaktuara. Shenja kryesore kur duhet ta përdorni është një funksion i caktuar i përbërë nga produkti i dy funksioneve që nuk mund të integrohen në pikë-bosh.

Formula

Për të përdorur me sukses këtë metodë, duhet të kuptoni dhe mësoni formulat.

Formula për integrimin sipas pjesëve në integralin e pacaktuar:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Formula për integrimin sipas pjesëve në një integral të caktuar:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Shembuj zgjidhjesh

Le të shqyrtojmë në praktikë shembuj të zgjidhjeve të integrimit sipas pjesëve, të cilat shpesh propozohen nga mësuesit gjatë testeve. Ju lutemi vini re se nën simbolin integral ka një produkt të dy funksioneve. Kjo është një shenjë se kjo metodë është e përshtatshme për zgjidhje.