Për të punuar me konceptin e renditjes matricore, do të na duhen informacione nga tema "Komplementet algjebrike dhe minoret. Llojet e minoreve dhe komplementet algjebrike". Para së gjithash, kjo ka të bëjë me termin "matricë e vogël", pasi ne do të përcaktojmë gradën e matricës pikërisht përmes të miturve.
Rangu i matricësështë rendi maksimal i të miturve të tij, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero.
Matricat ekuivalente- matricat, radhët e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Le të shpjegojmë më në detaje. Supozoni se midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që është i ndryshëm nga zero. Dhe të gjithë të miturit rendi i të cilëve është më i lartë se dy janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 2 ose, për shembull, midis të miturve të rendit të dhjetë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero. Dhe të gjithë të miturit rendi i të cilëve është më i lartë se 10 janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 10.
Rangu i matricës $A$ shënohet si më poshtë: $\rang A$ ose $r(A)$. Rangu i matricës zero $O$ supozohet të jetë zero, $\rang O=0$. Më lejoni t'ju kujtoj se për të formuar një matricë minore ju duhet të kaloni rreshta dhe kolona, por është e pamundur të kaloni më shumë rreshta dhe kolona sesa përmban vetë matrica. Për shembull, nëse matrica $F$ ka madhësi $5\herë 4$ (d.m.th. përmban 5 rreshta dhe 4 kolona), atëherë rendi maksimal i minoreve të saj është katër. Nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit të pestë, pasi ata do të kërkojnë 5 kolona (dhe ne kemi vetëm 4). Kjo do të thotë se rangu i matricës $F$ nuk mund të jetë më shumë se katër, d.m.th. $\ranga F≤4$.
Në formë më të përgjithshme, sa më sipër do të thotë se nëse një matricë përmban rreshta $m$ dhe kolona $n$, atëherë rangu i saj nuk mund të kalojë më të voglin prej $m$ dhe $n$, d.m.th. $\ranga A≤\min(m,n)$.
Në parim, nga vetë përkufizimi i gradës rrjedh metoda e gjetjes së saj. Procesi i gjetjes së renditjes së një matrice, sipas përkufizimit, mund të përfaqësohet skematikisht si më poshtë:
Më lejoni ta shpjegoj këtë diagram në më shumë detaje. Le të fillojmë të arsyetojmë që në fillim, d.m.th. nga minoret e rendit të parë të ndonjë matrice $A$.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të parë (d.m.th., elementët e matricës $A$) janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=0$. Nëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 1$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të dytë.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=1$. Nëse midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 2$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të tretë.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=2$. Nëse midis të miturve të rendit të tretë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.
- Nëse të gjitha minoret e rendit të katërt janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=3$. Nëse midis të miturve të rendit të katërt ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 4$. Ne kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të pestë e kështu me radhë.
Çfarë na pret në fund të kësaj procedure? Është e mundur që midis minoreve të rendit kth të ketë të paktën një që është i ndryshëm nga zero, dhe të gjitha minoret e rendit (k+1) të jenë të barabarta me zero. Kjo do të thotë se k është rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, d.m.th. grada do të jetë e barabartë me k. Mund të ketë një situatë të ndryshme: midis të miturve të rendit kth do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero, por nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit (k+1). Në këtë rast, rangu i matricës është gjithashtu i barabartë me k. me pak fjalë, rendi i minorit të fundit jozero të përbërë do të jetë i barabartë me gradën e matricës.
Le të kalojmë në shembuj në të cilët procesi i gjetjes së renditjes së një matrice, sipas përkufizimit, do të ilustrohet qartë. Më lejoni të theksoj edhe një herë se në shembujt e kësaj teme do të fillojmë të gjejmë renditjen e matricave duke përdorur vetëm përkufizimin e renditjes. Metoda të tjera (llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të minoreve, llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e transformimeve elementare) diskutohen në temat e mëposhtme.
Meqë ra fjala, nuk është aspak e nevojshme të fillohet procedura për gjetjen e gradës me të mitur të rendit më të vogël, siç është bërë në shembujt nr.1 dhe nr.2. Mund të kaloni menjëherë te të miturit e urdhrave më të lartë (shih shembullin nr. 3).
Shembulli nr. 1
Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array)(cccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \djathtas)$.
Kjo matricë ka madhësi $3\herë 5$, d.m.th. përmban tre rreshta dhe pesë kolona. Nga numrat 3 dhe 5, minimumi është 3, prandaj rangu i matricës $A$ nuk është më shumë se 3, d.m.th. $\ranga A≤ 3$. Dhe kjo pabarazi është e dukshme, pasi ne nuk do të jemi më në gjendje të formojmë të mitur të rendit të katërt - ata kërkojnë 4 rreshta, dhe ne kemi vetëm 3. Le të kalojmë drejtpërdrejt në procesin e gjetjes së renditjes së një matrice të caktuar.
Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th. midis elementeve të matricës $A$) ka ato jo zero. Për shembull, 5, -3, 2, 7. Në përgjithësi, ne nuk jemi të interesuar për numrin total të elementeve jozero. Ekziston të paktën një element jo zero - dhe kjo është e mjaftueshme. Meqenëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një jozero, ne konkludojmë se $\ rang A≥ 1$ dhe vazhdojmë të kontrollojmë të miturit e rendit të dytë.
Le të fillojmë të eksplorojmë të miturit e rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 1, Nr. 2 dhe kolonave Nr. 1, Nr. 4 ka elemente të minorit të mëposhtëm: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas|. Për këtë përcaktor, të gjithë elementët e kolonës së dytë janë të barabartë me zero, prandaj vetë përcaktorja është e barabartë me zero, d.m.th. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (shih vetinë nr. 3 në temën e vetive të përcaktorëve). Ose thjesht mund ta llogarisni këtë përcaktor duke përdorur formulën nr. 1 nga seksioni për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë:
$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Minorja e parë e rendit të dytë që testuam doli të ishte e barabartë me zero. Çfarë do të thotë kjo? Për nevojën për të kontrolluar më tej të miturit e rendit të dytë. Ose të gjithë do të rezultojnë të jenë zero (dhe atëherë renditja do të jetë e barabartë me 1), ose midis tyre do të ketë të paktën një minor që është i ndryshëm nga zero. Le të përpiqemi të bëjmë një zgjedhje më të mirë duke shkruar një minor të rendit të dytë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2 dhe kolonave nr. 1 dhe nr. 5: $\left|\begin( grup)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|$. Le të gjejmë vlerën e kësaj minoreje të rendit të dytë:
$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Ky minor nuk është i barabartë me zero. Përfundim: në mesin e të miturve të rendit të dytë ka të paktën një jozero. Prandaj $\ rang A≥ 2$. Duhet të kalojmë në studimin e të miturve të rendit të tretë.
Nëse zgjedhim kolonën nr. 2 ose kolonën nr. 4 për të formuar minore të rendit të tretë, atëherë minore të tilla do të jenë të barabarta me zero (pasi ato do të përmbajnë një kolonë zero). Mbetet të kontrollohet vetëm një minor i rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e kolonave nr.1, nr.3, nr.5 dhe rreshtave nr.1, nr.2, nr.3. Le ta shkruajmë këtë minor dhe të gjejmë vlerën e tij:
$$ \majtas|\fillimi(grupi)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \djathtas|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Pra, të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Minorja e fundit jo zero që përpiluam ishte e rendit të dytë. Përfundim: rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një jozero, është 2. Prandaj, $\rang A=2$.
Përgjigju: $\rang A=2$.
Shembulli nr. 2
Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas)$.
Ne kemi një matricë katrore të rendit të katërt. Le të vërejmë menjëherë se rangu i kësaj matrice nuk e kalon 4, d.m.th. $\ranga A≤ 4$. Le të fillojmë të gjejmë gradën e matricës.
Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th., midis elementeve të matricës $A$) ekziston të paktën një që nuk është e barabartë me zero, prandaj $\rangu A≥ 1$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 2, Nr. 3 dhe kolonave Nr. 1 dhe Nr. 2, marrim minoren vijuese të rendit të dytë: $\left| \fillim(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|$. Le ta llogarisim:
$$\majtas| \fillimi(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|=0-10=-10. $$
Ndër të miturit e rendit të dytë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, kështu që $\ rang A≥ 2$.
Le të kalojmë tek të miturit e rendit të tretë. Le të gjejmë, për shembull, një të mitur, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 3, nr. 4 dhe kolonave nr. 1, nr. 2, nr. 4:
$$\majtas | \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \djathtas|=105-105=0. $$
Meqenëse kjo minorenë e rendit të tretë doli të jetë e barabartë me zero, është e nevojshme të hetohet një tjetër minorene e rendit të tretë. Ose të gjithë do të jenë të barabartë me zero (atëherë grada do të jetë e barabartë me 2), ose midis tyre do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero (atëherë do të fillojmë të studiojmë të miturit e rendit të katërt). Le të shqyrtojmë një minor të rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr.2, nr.3, nr.4 dhe kolonave nr.2, nr.3, nr.4:
$$\majtas| \fillim(array) (cccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas|=-28. $$
Midis të miturve të rendit të tretë ka të paktën një jozero, kështu që $\ rang A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.
Çdo minor i rendit të katërt ndodhet në kryqëzimin e katër rreshtave dhe katër kolonave të matricës $A$. Me fjalë të tjera, minorja e rendit të katërt është përcaktuesi i matricës $A$, pasi kjo matricë përmban 4 rreshta dhe 4 kolona. Përcaktori i kësaj matrice është llogaritur në shembullin nr. 2 të temës "Zbërthimi i rendit të përcaktorit në një rresht (kolona)", kështu që le të marrim vetëm rezultatin e përfunduar.
$$\majtas| \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \fund (array)\djathtas|=86. $$
Pra, minorja e rendit të katërt nuk është e barabartë me zero. Nuk mund të formojmë më të mitur të rendit të pestë. Përfundim: rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një jozero, është 4. Rezultati: $\rang A=4$.
Përgjigju: $\rang A=4$.
Shembulli nr. 3
Gjeni rangun e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( grup) \djathtas)$.
Le të vërejmë menjëherë se kjo matricë përmban 3 rreshta dhe 4 kolona, kështu që $\rang A≤ 3$. Në shembujt e mëparshëm, ne filluam procesin e gjetjes së gradës duke marrë parasysh të miturit e rendit më të vogël (të parë). Këtu do të përpiqemi të kontrollojmë menjëherë të miturit e rendit më të lartë të mundshëm. Për matricën $A$ këto janë minoret e rendit të tretë. Le të shqyrtojmë një minor të rendit të tretë, elementët e të cilit shtrihen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2, nr. 3 dhe kolonave nr. 2, nr. 3, nr. 4:
$$\majtas| \fillim(array) (cccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \djathtas|=-8-60-20=-88. $$
Pra, rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, është 3. Prandaj, rangu i matricës është 3, d.m.th. $\rang A=3$.
Përgjigju: $\rang A=3$.
Në përgjithësi, gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit është, në rastin e përgjithshëm, një detyrë mjaft e vështirë. Për shembull, një matricë relativisht e vogël me madhësi $5\herë 4$ ka 60 të mitur të rendit të dytë. Dhe edhe nëse 59 prej tyre janë të barabarta me zero, atëherë minori i 60-të mund të rezultojë të jetë jo zero. Atëherë do t'ju duhet të studioni të miturit e rendit të tretë, nga të cilët kjo matricë ka 40 copë. Zakonisht ata përpiqen të përdorin metoda më pak të vështira, siç është metoda e kufirit të të miturve ose metoda e transformimeve ekuivalente.
Më parë për një matricë katrore 
Rendi i parë u prezantua koncepti i të miturit 
element 
. Kujtojmë se ky është emërtimi i përcaktorit të rendit 
, marrë nga përcaktorja 
duke kryqëzuar 
rreshti i th dhe 
kolona e th.
Le të prezantojmë tani konceptin e përgjithshëm të të miturit. Le të shqyrtojmë disa jo domosdoshmërisht katror matricë 
. Le të zgjedhim disa 
numrat e rreshtave 
Dhe 
numrat e kolonave 
.
Përkufizimi.
Rendi i vogël 
matricat 
(që korrespondon me rreshtat dhe kolonat e zgjedhura) quhet përcaktor i rendit 
, i formuar nga elementë të vendosur në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura, d.m.th. numri
.
Çdo matricë ka po aq minore të një rendi të caktuar 
, në sa mënyra mund të zgjidhni numrat e rreshtave 
dhe kolona 
.
Përkufizimi. Në matricë 
madhësive 
urdhër i vogël 
thirrur bazë, nëse është jozero dhe të gjitha minoret janë të rregullta 
e barabartë me rend zero ose të vogël 
në matricë 
aspak.
Është e qartë se një matricë mund të ketë disa minore bazë të ndryshme, por të gjitha minoret bazë kanë të njëjtin rend. Në të vërtetë, nëse të gjithë të miturit janë të rregullt 
janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit janë të barabarta me zero 
, dhe, rrjedhimisht, të gjitha urdhrat më të larta.
Përkufizimi. Rangu i matricës Rendi i bazës minor quhet, ose, me fjalë të tjera, rendi më i madh për të cilin ekzistojnë minore të tjera përveç zeros. Nëse të gjithë elementët e një matrice janë të barabartë me zero, atëherë rangu i një matrice të tillë, sipas përkufizimit, konsiderohet zero.
Rangu i matricës 
do të shënojmë me simbolin 
. Nga përkufizimi i renditjes del se për matricën 
madhësive 
raporti është i saktë.
Dy mënyra për të llogaritur gradën e një matrice
A) Metoda e vogël kufitare
Le të gjendet një minor në matricë 
-rendi i-të, i ndryshëm nga zero. Le të marrim parasysh vetëm ata të mitur 
-të rendit, që përmbajnë (buzë) një të vogël 
: nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është 
. Ndryshe, në mesin e të miturve në kufi ka një të mitur jo zero 
- rend, dhe e gjithë procedura përsëritet.
Shembulli 9
. Gjeni gradën e një matrice 
me metodën e kufirit të të miturve.
Le të zgjedhim një minor të rendit të dytë 
. Ekziston vetëm një minorenë e rendit të tretë, në kufi me të miturën e zgjedhur 
. Le ta llogarisim.
Pra është e vogël 
bazë, dhe grada e matricës është e barabartë me rendin e saj, d.m.th. 
Është e qartë se përsëritja përmes të miturve në këtë mënyrë në kërkim të bazës është një detyrë e lidhur me llogaritjet e mëdha, nëse dimensionet e matricës nuk janë shumë të vogla. Sidoqoftë, ekziston një mënyrë më e thjeshtë për të gjetur gradën e një matrice - duke përdorur transformimet elementare.
b) Metoda elementare e transformimit
Përkufizimi. Transformimet elementare të matricës Transformimet e mëposhtme quhen:
shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;
shtimi i një rreshti tjetër në një rresht;
rirregullimi i linjave;
transformimet e njëjta të kolonave.
Transformimet 1 dhe 2 kryhen element pas elementi.
Duke kombinuar transformimet e tipit të parë dhe të dytë, ne mund të shtojmë një kombinim linear të vargjeve të mbetura në çdo rresht.
Teorema. Transformimet elementare nuk e ndryshojnë rangun e matricës.
(Asnjë provë)
Ideja e një metode praktike për llogaritjen e gradës së një matrice
është se me ndihmën e shndërrimeve elementare kjo matricë 
çojnë në pamjen
,
(5)
në të cilat elementet “diagonale”. 
janë të ndryshme nga zero, dhe elementët e vendosur poshtë atyre "diagonale" janë të barabartë me zero. Le të biem dakord të thërrasim matricën 
ky lloj trekëndëshi (përndryshe, quhet diagonal, trapezoid ose shkallë). Pas reduktimit të matricës 
te forma trekëndore mund të shkruajmë menjëherë se 
.
Në fakt, 
(pasi transformimet elementare nuk e ndryshojnë gradën). Por matrica 
ekziston një urdhër i vogël jo zero 
:
,
dhe çdo minoren e rendit 
përmban vargun null dhe për këtë arsye është i barabartë me zero.
Tani le të formulojmë praktiken rregulli i llogaritjes së rangut matricat 
duke përdorur shndërrimet elementare: për të gjetur rangun e matricës 
ai duhet të sillet në një formë trekëndore duke përdorur shndërrimet elementare 
. Pastaj rangu i matricës 
do të jetë e barabartë me numrin e rreshtave jo zero në matricën që rezulton 
.
Shembulli 10.
Gjeni gradën e një matrice 
me metodën e shndërrimeve elementare
Zgjidhje.
Le të shkëmbejmë rreshtin e parë dhe të dytë (pasi elementi i parë i rreshtit të dytë është -1 dhe do të jetë e përshtatshme të kryhen transformime me të). Si rezultat, marrim një matricë ekuivalente me këtë.
Le të shënojmë 
- ai rresht i matricës - 
. Ne duhet të reduktojmë matricën origjinale në formë trekëndore. Ne do ta konsiderojmë linjën e parë si linjën kryesore, ajo do të marrë pjesë në të gjitha transformimet, por ajo vetë mbetet e pandryshuar.
Në fazën e parë, ne do të kryejmë transformime që na lejojnë të marrim zero në kolonën e parë, përveç elementit të parë. Për ta bërë këtë, zbritni rreshtin e parë nga rreshti i dytë, shumëzuar me 2 
, shtoni të parën në rreshtin e tretë 
, dhe nga e treta zbresim të parën, shumëzuar me 3 
Ne marrim një matricë, rangu i së cilës përkon me gradën e kësaj matrice. Le ta shënojmë me të njëjtën shkronjë 
:
.
Meqenëse duhet të zvogëlojmë matricën në formimin (5), ne zbresim të dytën nga rreshti i katërt. Në këtë rast kemi:
.
Përftohet një matricë e formës trekëndore dhe mund të konkludojmë se 
, pra numri i linjave jo zero. Shkurtimisht, zgjidhja e problemit mund të shkruhet si më poshtë:
Në secilën matricë, dy rang mund të shoqërohen: një renditje rreshti (rangu i sistemit të rreshtave) dhe një renditje kolone (grada e sistemit të kolonës).
Teorema
Renditja e rreshtit të një matrice është e barabartë me renditjen e kolonës së saj.
Rangu i matricës
Përkufizimi
Rangu i matricës$A$ është rangu i sistemit të tij të rreshtave ose kolonave.
Shënuar me $\operatorname(rang) A$
Në praktikë, për të gjetur gradën e një matrice, përdoret pohimi i mëposhtëm: grada e një matrice është e barabartë me numrin e rreshtave jo zero pas reduktimit të matricës në formën e echelonit.
Shndërrimet elementare mbi rreshtat (kolonat) e një matrice nuk e ndryshojnë renditjen e saj.
Renditja e një matrice hapi është e barabartë me numrin e rreshtave të saj jo zero.
Shembull
Ushtrimi. Gjeni rangun e matricës $ A=\left(\fille(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (arrit)\djathtas) $
Zgjidhje. Duke përdorur transformimet elementare në rreshtat e saj, ne e zvogëlojmë matricën $A$ në formën e shkallës. Për ta bërë këtë, së pari zbritni dy të dytat nga rreshti i tretë:
$$ A \sim \left(\fillimi(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (array)\djathtas) $$
Nga rreshti i dytë zbresim rreshtin e katërt, shumëzuar me 4; nga e treta - dy të katërtat:
$$ A \sim \left(\fillim(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (arrit)\djathtas) $$
Pesë të parat i shtojmë në rreshtin e dytë, dhe tre të tretin në të tretën:
$$ A \sim \left(\fille(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (array)\djathtas) $$
Ndërroni rreshtin e parë dhe të dytë:
$$ A \sim \left(\fillimi(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (array)\djathtas) $$
$$ A \sim \left(\fillimi(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\fund (array)\djathtas) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Përgjigju.$ \operatorname(rang) A=2 $
Metoda e kufirit të të miturve
Një metodë tjetër për të gjetur gradën e një matrice bazohet në këtë teoremë - metodë e vogël e skajeve. Thelbi i kësaj metode është gjetja e të miturve, duke filluar nga urdhrat më të ulët dhe duke kaluar në ato më të larta. Nëse minorja e rendit $n$th nuk është e barabartë me zero, dhe të gjitha minoret e rendit $n+1$th janë të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës do të jetë i barabartë me $n$.
Shembull
Ushtrimi. Gjeni rangun e matricës $ A=\left(\fille(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\djathtas) $ duke përdorur metodën e skajeve të vogla.
Zgjidhje. Minoret e rendit minimal janë minoret e rendit të parë, të cilat janë të barabarta me elementët e matricës $A$. Konsideroni, për shembull, minorin $ M_(1)=1 \neq 0 $ . ndodhet në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. E kufizojmë me ndihmën e rreshtit të dytë dhe kolonës së dytë, marrim minorin $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; Le të shqyrtojmë një minor tjetër të rendit të dytë, për këtë e kufizojmë minorin $M_1$ me ndihmën e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë, pastaj kemi minorin $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , domethënë, rangu i matricës është jo më pak se dy. Më pas, ne konsiderojmë të mitur të rendit të tretë që kufizojnë minorin $ M_(2)^(2) $. Ka dy minore të tilla: një kombinim i rreshtit të tretë me kolonën e dytë ose me kolonën e katërt. Le të llogarisim këta të mitur.
Çdo matricë A urdhëroj m×n mund të konsiderohet si një koleksion m vektorët e vargut ose n vektorët e kolonës.
Rendit matricat A urdhëroj m×nështë numri maksimal i vektorëve të kolonës në mënyrë lineare të pavarura ose vektorëve të rreshtave.
Nëse renditja e matricës A barazohet r, atëherë shkruhet:
Gjetja e renditjes së një matrice
Le A matrica e rendit arbitrar m× n. Për të gjetur gradën e një matrice A Ne aplikojmë metodën e eliminimit Gaussian për të.
Vini re se nëse në një fazë të eliminimit elementi kryesor është i barabartë me zero, atëherë ne e ndërrojmë këtë rresht me vijën në të cilën elementi kryesor është i ndryshëm nga zero. Nëse rezulton se nuk ka një linjë të tillë, atëherë kaloni në kolonën tjetër, etj.
Pas procesit të eliminimit të drejtpërdrejtë Gaussian, marrim një matricë, elementët e së cilës nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero. Përveç kësaj, mund të ketë zero vektorë rreshtash.
Numri i vektorëve të rreshtave jozero do të jetë rangu i matricës A.
Le t'i shohim të gjitha këto duke përdorur shembuj të thjeshtë.
Shembulli 1.
Duke shumëzuar rreshtin e parë me 4 dhe duke shtuar në rreshtin e dytë dhe duke shumëzuar rreshtin e parë me 2 dhe duke shtuar në rreshtin e Tretë kemi:
Shumëzojeni rreshtin e dytë me -1 dhe shtoni atë në rreshtin e tretë:
Ne morëm dy rreshta jo zero dhe, për rrjedhojë, rangu i matricës është 2.
Shembulli 2.
Le të gjejmë renditjen e matricës së mëposhtme:
Shumëzojeni rreshtin e parë me -2 dhe shtoni atë në rreshtin e dytë. Në mënyrë të ngjashme, ne rivendosim elementët e rreshtave të tretë dhe të katërt të kolonës së parë:
Le të rivendosim elementet e rreshtit të tretë dhe të katërt të kolonës së dytë duke shtuar rreshtat përkatës në rreshtin e dytë të shumëzuar me numrin -1.
Rangu i një matrice është një karakteristikë e rëndësishme numerike. Problemi më tipik që kërkon gjetjen e renditjes së një matrice është kontrollimi i konsistencës së një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Në këtë artikull do të japim konceptin e renditjes së matricës dhe do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e tij. Për të kuptuar më mirë materialin, do të analizojmë në detaje zgjidhjet e disa shembujve.
Navigimi i faqes.
Përcaktimi i rangut të një matrice dhe konceptet e nevojshme shtesë.
Përpara se të shprehni përkufizimin e rangut të një matrice, duhet të keni një kuptim të mirë të konceptit të një minori, dhe gjetja e minoreve të një matrice nënkupton aftësinë për të llogaritur përcaktuesin. Pra, nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë të kujtoni teorinë e artikullit, metodat për gjetjen e përcaktuesit të një matrice dhe vetitë e përcaktorit.
Le të marrim një matricë A të renditjes. Le të jetë k një numër natyror që nuk e kalon më të voglin e numrave m dhe n, d.m.th. 
.
Përkufizimi.
Rendi i vogël kth matrica A është përcaktues i një matrice katrore të rendit, e përbërë nga elementë të matricës A, të cilat janë të vendosura në k rreshta dhe k kolona të parazgjedhura, dhe renditja e elementeve të matricës A është ruajtur.
Me fjalë të tjera, nëse në matricën A fshijmë (p–k) rreshtat dhe (n–k) kolonat, dhe nga elementët e mbetur krijojmë një matricë, duke ruajtur renditjen e elementeve të matricës A, atëherë përcaktorja e matrica që rezulton është një minor i rendit k të matricës A.
Le të shohim përkufizimin e një minoreje matrice duke përdorur një shembull.
Merrni parasysh matricën 
.
Le të shkruajmë disa minore të rendit të parë të kësaj matrice. Për shembull, nëse zgjedhim rreshtin e tretë dhe kolonën e dytë të matricës A, atëherë zgjedhja jonë korrespondon me një minore të rendit të parë 
. Me fjalë të tjera, për të marrë këtë minor, ne kaluam rreshtin e parë dhe të dytë, si dhe kolonën e parë, të tretë dhe të katërt nga matrica A, dhe krijuam një përcaktues nga elementi i mbetur. Nëse zgjedhim rreshtin e parë dhe kolonën e tretë të matricës A, atëherë marrim një minor 
.
Le të ilustrojmë procedurën për marrjen e të miturve të konsideruar të rendit të parë 
Dhe 
.
Kështu, minorët e rendit të parë të një matrice janë vetë elementët e matricës.
Le të tregojmë disa të mitur të rendit të dytë. Zgjidhni dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, merrni rreshtin e parë dhe të dytë dhe kolonën e tretë dhe të katërt. Me këtë zgjedhje kemi një të mitur të rendit të dytë 
. Ky minor mund të krijohet gjithashtu duke fshirë rreshtin e tretë, kolonën e parë dhe të dytë nga matrica A.
Një tjetër minor i rendit të dytë i matricës A është .
Le të ilustrojmë ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të dytë 
Dhe 
.
Në mënyrë të ngjashme, minoret e rendit të tretë të matricës A mund të gjenden. Meqenëse ka vetëm tre rreshta në matricën A, ne i zgjedhim të gjitha. Nëse zgjedhim tre kolonat e para të këtyre rreshtave, marrim një minor të rendit të tretë 
Mund të ndërtohet gjithashtu duke kryqëzuar kolonën e fundit të matricës A.
Një tjetër i vogël i rendit të tretë është 
fitohet duke fshirë kolonën e tretë të matricës A.
Këtu është një foto që tregon ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të tretë 
Dhe 
.
Për një matricë të dhënë A nuk ka minore të rendit më të lartë se e treta, pasi .
Sa minore të rendit kth ka një matricë A e rendit ?
Numri i të miturve të rendit k mund të llogaritet si , ku 
Dhe 
- numri i kombinimeve përkatësisht nga p në k dhe nga n në k.
Si të ndërtohen të gjitha minoret e rendit k të matricës A të rendit p me n?
Do të na duhen shumë numra rreshtash matricë dhe shumë numra kolonash. Ne shkruajmë gjithçka kombinimet e p elementeve nga k(ato do të korrespondojnë me rreshtat e zgjedhur të matricës A kur ndërtohet një minor i rendit k). Secilit kombinim të numrave të rreshtave shtojmë në mënyrë sekuenciale të gjitha kombinimet e n elementeve të k numrave të kolonave. Këto grupe kombinimesh të numrave të rreshtave dhe numrave të kolonave të matricës A do të ndihmojnë për të kompozuar të gjitha minoret e rendit k.
Le ta shohim me një shembull.
Shembull.
Gjeni të gjitha minoret e rendit të dytë të matricës.
Zgjidhje.
Meqenëse rendi i matricës origjinale është 3 me 3, totali i të miturve të rendit të dytë do të jetë 
.
Le të shkruajmë të gjitha kombinimet e numrave nga 3 deri në 2 rreshta të matricës A: 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3. Të gjitha kombinimet e numrave të kolonave 3 deri në 2 janë 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3.
Le të marrim rreshtat e parë dhe të dytë të matricës A. Duke zgjedhur kolonën e parë dhe të dytë, kolonën e parë dhe të tretë, kolonën e dytë dhe të tretë për këto rreshta, marrim përkatësisht minoret. 
Për rreshtat e parë dhe të tretë, me një zgjedhje të ngjashme të kolonave, kemi 
Mbetet për të shtuar kolonat e parë dhe të dytë, të parë dhe të tretë, të dytë dhe të tretë në rreshtat e dytë dhe të tretë: 
Pra, të nëntë të miturit e rendit të dytë të matricës A janë gjetur.
Tani mund të vazhdojmë me përcaktimin e renditjes së matricës.
Përkufizimi.
Rangu i matricësështë rendi më i lartë i minorit jozero të matricës.
Rangu i matricës A shënohet si Rank(A). Ju gjithashtu mund të gjeni emërtimet Rg(A) ose Rang(A).
Nga përkufizimet e renditjes së matricës dhe matricës minore, mund të konkludojmë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe grada e një matrice jozero nuk është më pak se një.
Gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit.
Pra, metoda e parë për gjetjen e renditjes së një matrice është mënyra e regjistrimit të të miturve. Kjo metodë bazohet në përcaktimin e renditjes së matricës.
Le të na duhet të gjejmë renditjen e një matrice A të renditjes.
Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi zgjidhjen e këtij problemi duke numëruar të miturit.
Nëse ka të paktën një element të matricës që është i ndryshëm nga zero, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një (pasi ekziston një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).
Më tej shikojmë të miturit e rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit e rendit të dytë janë të barabartë me zero, atëherë grada e matricës është e barabartë me një. Nëse ka të paktën një minor jo-zero të rendit të dytë, atëherë vazhdojmë të numërojmë minoret e rendit të tretë, dhe grada e matricës është të paktën e barabartë me dy.
Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë përveç zeros, atëherë renditja e matricës është të paktën tre, dhe kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të katërt.
Vini re se rangu i matricës nuk mund të kalojë më të voglin e numrave p dhe n.
Shembull.
Gjeni gradën e matricës 
.
Zgjidhje.
Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj nuk është më pak se një.
Minoren e rendit të dytë 
është i ndryshëm nga zero, prandaj, rangu i matricës A është të paktën dy. Le të kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të tretë. Totali i tyre 
gjërat. 
Të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Prandaj, rangu i matricës është dy.
Përgjigje:
Renditja (A) = 2 .
Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve.
Ka metoda të tjera për të gjetur gradën e një matrice që ju lejojnë të merrni rezultatin me më pak punë llogaritëse.
Një metodë e tillë është metodë e vogël e skajit.
Le të merremi me koncepti i skajit të vogël.
Thuhet se një M ok i vogël i rendit (k+1) të matricës A kufizohet me një të vogël M të rendit k të matricës A nëse matrica që i korrespondon minorit M ok "përmban" matricën që i korrespondon minorit. M .
Me fjalë të tjera, matrica që i korrespondon minorit kufitar M merret nga matrica që i përgjigjet minorit kufitar M ok duke fshirë elementët e një rreshti dhe një kolone.
Për shembull, merrni parasysh matricën 
dhe të marrë një të vogël të rendit të dytë. Le të shkruajmë të gjithë të miturit në kufi: 
Metoda e kufirit të minoreve justifikohet nga teorema e mëposhtme (e paraqesim formulimin e saj pa prova).
Teorema.
Nëse të gjitha minoret që kufizojnë minorin e rendit k-të të një matrice A të rendit p me n janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit (k+1) të matricës A janë të barabarta me zero.
Kështu, për të gjetur gradën e një matrice nuk është e nevojshme të kalojmë nëpër të gjithë të miturit që janë mjaftueshëm në kufi. Numri i minoreve që kufizojnë minorin e rendit kth të një matrice A të rendit , gjendet me formulën 
. Vini re se nuk ka më shumë minore që kufizojnë minorin e rendit k-të të matricës A sesa ka (k + 1) minore të renditjes së matricës A. Prandaj, në shumicën e rasteve, përdorimi i metodës së kufirit të të miturve është më fitimprurës sesa thjesht numërimi i të gjithë të miturve.
Le të kalojmë në gjetjen e renditjes së matricës duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi këtë metodë.
Nëse matrica A është jozero, atëherë si minor i rendit të parë marrim çdo element të matricës A që është i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë grada e matricës është e barabartë me një. Nëse ka të paktën një minore kufitare jo zero (rendi i saj është dy), atëherë vazhdojmë të marrim parasysh të miturat e saj kufitare. Nëse të gjitha janë zero, atëherë Rank(A) = 2. Nëse të paktën një minor kufitar është jo zero (rendi i tij është tre), atëherë marrim parasysh minoret kufitare të tij. Dhe kështu me radhë. Si rezultat, Rank(A) = k nëse të gjitha minoret kufitare të rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero, ose Rank(A) = min(p, n) nëse ka një jo- zero minor që kufizohet me një minor të rendit (min( p, n) – 1) .
Le të shohim metodën e kufirit të të miturve për të gjetur gradën e një matrice duke përdorur një shembull.
Shembull.
Gjeni gradën e matricës 
me metodën e kufirit të të miturve.
Zgjidhje.
Meqenëse elementi a 1 1 i matricës A është jozero, ne e marrim atë si një minor të rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare që është e ndryshme nga zero: 
Gjendet një skaj i vogël i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi (të tyre 
gjërat): 
Të gjithë të miturit që kufizojnë minorin e rendit të dytë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy.
Përgjigje:
Renditja (A) = 2 .
Shembull.
Gjeni gradën e matricës 
duke përdorur të mitur në kufi.
Zgjidhje.
Si minor jozero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 1 të matricës A. I mituri rrethues i rendit të dytë 
jo e barabartë me zero. Kjo e mitur kufizohet me një të mitur të rendit të tretë 
. Meqenëse nuk është e barabartë me zero dhe nuk ka asnjë të vogël kufitare për të, rangu i matricës A është i barabartë me tre.
Përgjigje:
Renditja (A) = 3 .
Gjetja e renditjes duke përdorur transformimet elementare të matricës (metoda e Gausit).
Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të gjetur gradën e një matrice.
Transformimet e mëposhtme të matricës quhen elementare:
- riorganizimi i rreshtave (ose kolonave) të një matrice;
- duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k, të ndryshëm nga zero;
- duke u shtuar elementeve të një rreshti (kolone) elementët përkatës të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër arbitrar k.
Matrica B quhet ekuivalente me matricën A, nëse B merret nga A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare. Ekuivalenca e matricave shënohet me simbolin "~", domethënë shkruhet A ~ B.
Gjetja e rangut të një matrice duke përdorur transformimet elementare të matricës bazohet në pohimin: nëse matrica B merret nga matrica A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare, atëherë Rank(A) = Rank(B) .
Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga vetitë e përcaktorit të matricës:
- Kur riorganizoni rreshtat (ose kolonat) e një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën. Nëse është e barabartë me zero, atëherë kur rreshtat (kolonat) riorganizohen, ajo mbetet e barabartë me zero.
- Kur shumëzoni të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k të ndryshëm nga zero, përcaktori i matricës që rezulton është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale të shumëzuar me k. Nëse përcaktori i matricës origjinale është i barabartë me zero, atëherë pasi të keni shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone me numrin k, përcaktori i matricës që rezulton gjithashtu do të jetë i barabartë me zero.
- Shtimi i elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar të një matrice elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër të caktuar k, nuk ndryshon përcaktuesin e saj.
Thelbi i metodës së transformimeve elementare konsiston në zvogëlimin e matricës, gradën e së cilës duhet ta gjejmë në një trapezoidale (në një rast të veçantë, në një trekëndësh të sipërm) duke përdorur transformime elementare.
Pse po bëhet kjo? Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jozero. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon kur kryhen transformime elementare, vlera që rezulton do të jetë rangu i matricës origjinale.
Ne japim ilustrime të matricave, njëra prej të cilave duhet të merret pas transformimeve. Pamja e tyre varet nga rendi i matricës.
Këto ilustrime janë shabllone në të cilat ne do të transformojmë matricën A.
Le të përshkruajmë algoritmi i metodës.
Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice jozero A të rendit (p mund të jetë e barabartë me n).
Pra,. Le të shumëzojmë të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës A me . Në këtë rast, marrim një matricë ekuivalente, duke e treguar atë A (1): 
Elementeve të rreshtit të dytë të matricës rezultuese A (1) shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të parë, shumëzuar me . Elementeve të rreshtit të tretë u shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të parë, shumëzuar me . Dhe kështu me radhë deri në vijën p-të. Le të marrim një matricë ekuivalente, ta shënojmë A (2): 
Nëse të gjithë elementët e matricës rezultuese të vendosura në rreshta nga e dyta në p-të janë të barabarta me zero, atëherë rangu i kësaj matrice është i barabartë me një, dhe, rrjedhimisht, rangu i matricës origjinale është i barabartë tek një.
Nëse në rreshtat nga e dyta në p-të ka të paktën një element jozero, atëherë vazhdojmë të kryejmë transformime. Për më tepër, ne veprojmë në të njëjtën mënyrë, por vetëm me pjesën e matricës A (2) të shënuar në figurë. 
Nëse , atëherë ne i riorganizojmë rreshtat dhe (ose) kolonat e matricës A (2) në mënyrë që elementi "i ri" të bëhet jo zero.
