Abstrakt: Paradokse logjike. Përgënjeshtrimi i aporias "Akili dhe Breshka"

Filozofi Stephen Reed mbi paradoksin gënjeshtar, paradokset semantike dhe lidhjen e tyre të drejtpërdrejtë me themelet e matematikës.

Ia vlen të fillojmë një bisedë për paradokset logjike me një histori të shkurtër që Servantes-i tregon në librin e tij "Don Kishoti". Në një moment në Don Kishot, ai e lë Sanço Panzën si guvernator në ishullin Barataria dhe ndërsa është guvernator, "nënshtetasit" e mashtrojnë atë. Një mëngjes ai u zgjua dhe i tha: "Përpara mëngjesit ju keni një çështje për të vendosur." Dhe në Spanjë në atë kohë kishte shumë endacakë, kështu që duhej të ishe shumë i kujdesshëm me njerëzit. Dhe kështu një pronar toke ka një lumë që rrjedh nëpër tokat e tij, nëpër të cilin hidhet një urë dhe për t'u siguruar që të gjithë kalimtarët janë të besueshëm, ky pronar i tokës vendosi një trekëmbësh dhe një roje pranë urës, i cili kërkon që çdo kalimtar të shpjegojë se ku dhe pse po shkon. Nëse kalimtari thotë të vërtetën, lejohet të kalojë urën, por nëse gënjen, atëherë e pret trekëmbëshi. Dhe gjithçka ishte në rregull, ndihmoi të dallohej kush ishte një tranzit dhe kush ishte tregtar, derisa një ditë erdhi një burrë që tha: "Qëllimi im është të varem në këtë trekëmbësh dhe asgjë më shumë". Dhe roja mbeti i habitur, sepse mendoi: "Mirë, nëse e varim, do të rezultojë se ai tha të vërtetën, atëherë duhet ta kishim lënë të kalonte, por nëse e lëmë, atëherë do të dalë që ai gënjeu, atëherë duhet ta kishim lënë të varej”. "Pra, Sanço Panza, si duhet ta gjykojmë këtë çështje?" Dhe Sanço Panzas i duhet pak kohë për të vlerësuar paradoksin, por në fund ai merr vendimin e tij: var gjysmën e personit që gënjeu dhe lëreni gjysmën që tha të vërtetën të kalojë.

E gjithë kjo tingëllon si argëtim për mendjen, por për njerëzit që duan të kuptojnë pyetjet e së vërtetës, argumentit, gjuhës e kështu me radhë, kjo tregon për diçka shumë shqetësuese në natyrën e gjuhës. Duket shumë e lehtë të biesh në një paradoks: thjesht nuk e dimë nëse ajo që tha ai person ishte e vërtetë apo jo, nëse ai gënjeu apo jo. Dhe kjo na kthen te paradoksi origjinal i gënjeshtarit, i formuluar nga Eubulides në shekullin e IV para Krishtit. Ai e ngriti atë në një vepër arti, tha: "Mendoni për deklaratën 'po gënjej'". Nëse them: "Po gënjej", sigurisht që mund të nënkuptoj ndonjë deklaratë tjetër timen, por nëse përdor formulime jashtëzakonisht të kujdesshme, atëherë mund të them: "Jo, po gënjej në vetë frazën që unë Unë them tani, kjo deklaratë e imja është e rreme. Dhe përsëri, nëse mendoni për këtë, do të thoni: "Nëse do të ishte e vërtetë, atëherë meqë ai thotë se deklarata e tij është e rreme, rrjedh se duhet të jetë e rreme, jo e vërtetë, domethënë nuk mund të jetë e vërtetë - duhet të jetë i rremë. Por nëse është e rreme, sepse thotë se është e rreme, se ai ka gënjyer, duhet të jetë e vërtetë.” Pra, ne kemi një paradoks të përmbajtur mjeshtërisht në një fjali.

Ka shumë paradokse të tilla, dhe është e lehtë të kuptohet pse quhen paradokse logjike: kontradikta që përmbahet në to zbulohet me ndihmën e logjikës. Disa kanë dëgjuar për Epimenidin: ai ishte një vendas nga Kreta dhe ishte aq i zhgënjyer nga aftësia e bashkatdhetarëve të tij për të thënë të vërtetën, saqë një herë tha: "Të gjithë Kretasit janë gënjeshtarë". Nëse ai kishte të drejtë, nëse vërtet të gjithë Kretasit ishin gënjeshtarë ose Kretasit e tjerë gënjejnë gjithmonë, atëherë deklarata e tij duhet të jetë paradoksale. Në fund të fundit, nëse ai thotë: "Të gjithë Kretasit janë gënjeshtarë", atëherë ai thotë se deklarata e tij është e rreme, por në këtë rast, me të vërtetë, çdo Kretas do të ishte gënjeshtar, që do të thotë se ai po thoshte të vërtetën kur tha se të gjithë Kretasit janë gënjeshtarë. Rruga për të dalë nga paradoksi, natyrisht, është se nëse disa Kretanë do të thoshin të vërtetën, atëherë deklarata e tij do të ishte thjesht e rreme, jo paradoksale.

Pra, ne kemi një numër të madh të paradokseve të tilla. Këtu është një paradoks që më pëlqen veçanërisht: Merrni një kartë që thotë në njërën anë, "Deklarata në anën e pasme të kësaj karte është e vërtetë." Ju e ktheni atë dhe thotë: "Deklarata në anën e pasme të kësaj karte është e rreme". Dhe nëse mendoni për këtë, është thjesht paradoksale, sepse nëse deklarata në anën e parë është e vërtetë, atëherë kjo do të thotë se pohimi në anën tjetër është gjithashtu i vërtetë, sepse kështu thotë thënia e parë; por në anën e dytë shkruhet se pohimi i parë është i rremë, pra nëse pohimi i parë është i vërtetë, është njëkohësisht i gabuar. Por kjo është e pamundur, që do të thotë se deklarata e dytë duhet të jetë e rreme; por thotë se pohimi i parë është i rremë, atëherë pohimi i parë nuk mund të jetë i rremë - duhet të jetë i vërtetë. Por ne kemi parë tashmë se nëse deklarata e parë është e vërtetë, atëherë është e rreme, kështu që kemi një paradoks të pastër.

Disa mendimtarë mesjetarë preferuan ta përshkruanin këtë paradoks nëpërmjet Sokratit dhe Platonit, ose ndonjëherë Platonit dhe Aristotelit. Pra, Platoni ishte mësuesi i Aristotelit dhe e konsideronte atë studentin e tij më të mirë, kështu që një ditë tha: "Gjithçka që thotë Aristoteli është e vërteta". Por Aristoteli nuk ishte një student shumë i mirë në kuptimin që ai donte të sfidonte mësimet e Platonit, kështu që ai tha: "Gjithçka që thotë Platoni është e rreme", dhe kjo është shumë e ngjashme me paradoksin e kartës.

Të gjitha këto ishin paradokse në fushën e së vërtetës, gënjeshtrës dhe gjuhës. Por në shekullin e 20-të hasëm paradokse në matematikë. Një histori e shkurtër e çështjes është kjo: pas ardhjes së llogaritjes, dhe më pas pas punës me seritë e pafundme në shekullin e 18-të, themelet e matematikës u zbuluan të paqëndrueshme, njerëzit shtruan pyetjen "Si funksionojnë seritë e pafundme pa udhëhequr ne te kontradiktat në matematikë?” Dhe në shekullin e 19-të, u shpalos një lëvizje e madhe, qëllimi i së cilës ishte kërkimi i themeleve të qëndrueshme të matematikës. Pastaj teoria e grupeve u bë një bazë e tillë. Një grup është një koleksion objektesh të përcaktuara përmes disa veçorive: për shembull, mund të ketë një grup të të gjithë numrave natyrorë, një grup numrash çift, apo edhe një grup pudingësh orizi - mund të merrni grupe të ndryshme. Në matematikë, natyrisht, përdoren vetëm grupe numrash.

Dhe e gjithë kjo dukej e mrekullueshme deri në fund të shekullit të 19-të. Frege, Dedekind dhe shumë mendimtarë të tjerë themeluan matematikën ose atë që dukej të ishte themeli i fortë i teorisë së grupeve. Por atëherë Bertrand Russell, filozofi i famshëm britanik, duke lexuar veprat e Frege, mendoi: “Mund të japësh shumë numra, mund të japësh shumë grupe; dikush mund të përcaktojë një grup grupesh që përfshijnë veten e tyre, ose mund të përcaktojë një grup grupesh që nuk përfshijnë vetveten." Dhe më pas ai mendoi: "Prisni një minutë, nëse kemi një grup grupesh që nuk përfshijnë vetveten, a do të përfshijë vetë ky grup apo jo?" Nëse një grup i tillë përfshinte vetveten, atëherë ai nuk duhet të përfshijë vetveten, sepse me kusht marrim vetëm ato grupe që nuk përfshijnë vetveten. Pra, do të ishte më mirë nëse grupi nuk përfshin vetveten, por nëse nuk përfshin vetveten, atëherë është një grup që nuk përfshin vetveten dhe duhet të jetë pjesë e asaj grupi. Dhe, siç thashë, të gjitha këto paradokse në fillim duken si argëtim për mendjen, por tani, në fillim të shekullit të 20-të, ne kemi gjetur një paradoks, një kontradiktë në thelbin e asaj që duhet të jetë themeli i matematikës. Siç dihet gjerësisht, kjo ishte një goditje e madhe për Frege: ai ishte gati të botonte vëllimin e dytë të Ligjeve të tij Themelore të Aritmetikës dhe iu desh të shtonte një shtojcë në të cilën shkruante: “Bertrand Russell vuri në dukje një pikë të dobët në thelbi i teorisë sime, por mendoj se mund ta zgjidh këtë problem”, dhe ai propozoi një zgjidhje, por, siç doli, nuk ishte e saktë.

Për një moment do t'i drejtohem paradokseve në teorinë e grupeve, sepse ka një tjetër paradoks mjaft interesant që na kthen në bisedën për paradokset që lidhen me të vërtetën, ose të ashtuquajturat paradokse semantike. Pra, rreth 40 vjet më vonë, rreth vitit 1940, matematikani dhe logjika amerikan Haskell B. Curry po mendonte për paradoksin e Russell-it dhe tha: "Baza e paradoksit të Russell-it është mohimi - ai flet për grupet e shumta që nuk përfshijnë vetveten". A është e mundur të merret i njëjti paradoks pa përdorur mohimin? A ka ndonjë mënyrë? Dhe ai tha se ka një mënyrë. Le të marrim grupin e të gjitha grupeve; nëse përfshijnë veten, atëherë zeroja është e barabartë me një. Sipas teorisë së grupeve, ky është një grup plotësisht i pranueshëm. Por nëse fillojmë të konsiderojmë një grup të tillë, nëse ai përfshin vetveten, atëherë ai do të plotësojë kushtin që nëse përfshin vetveten, atëherë zero është e barabartë me një.

Dhe ne supozuam se ai përfshin vetveten, prandaj, zeroja është me të vërtetë e barabartë me një. Por është mjaft e qartë se zero nuk mund të jetë e barabartë me një, kështu që ne e kthejmë gjithçka prapa dhe supozojmë se një grup nuk mund të përfshijë vetveten. Nëse nuk përfshin vetveten, rrjedh menjëherë se ose nuk përfshin vetveten, ose zeroja është e barabartë me një. Por kjo është njësoj sikur të thuash se nëse përfshin vetveten, zeroja është me të vërtetë e barabartë me një - është njësoj si të thuash: ose nuk e përfshin vetveten, ose zeroja është e barabartë me një. Dhe kjo është njësoj sikur të thuash që nëse një grup përfshin vetveten, atëherë ai nuk është jo-përfshirës, ​​atëherë zero është e barabartë me një. Por pastaj përfshin vetveten, pra kemi vërtetuar se përfshin vetveten, por meqë e kemi vërtetuar këtë, prandaj zeroja është e barabartë me një. Ruaj! Sapo vërtetuam se zero është e barabartë me një! Pra, edhe një herë kemi një paradoks të vërtetë makthi pikërisht në zemër të matematikës.

Dhe disa vite më vonë ky paradoks u shndërrua në një nga paradokset semantike për të cilat fola më parë, dhe mori formën e deklaratës: "Nëse kjo deklaratë është e vërtetë, atëherë zero është e barabartë me një." Ose edhe: "Nëse kjo deklaratë është e vërtetë, atëherë Zoti ekziston." Dhe atëherë ne mund të vërtetojmë në vetëm disa rreshta se Zoti ekziston ose ndonjë gjë tjetër: zero është e barabartë me një, Zoti ekziston, sot bie shi në Moskë - ne mund të vërtetojmë gjithçka me një deklaratë të tillë. Njerëzit mendojnë shumë për të vërtetën, kështu që është shumë e rrezikshme: a është e vërteta vërtet e tillë? A është e vërteta një koncept kontradiktor?

Dhe do ta mbyll duke folur shkurtimisht për një tjetër paradoks për të treguar se paradokset nuk ndalen me kaq. Këtu është një deklaratë: "Ju nuk e dini këtë deklaratë" - ju nuk e dini vetë deklaratën që unë po shqiptoj tani. Tani le të supozojmë se e njeh atë. Konceptet e dijes dhe të së vërtetës na thonë se ju mund të dini vetëm atë që është e vërtetë, kështu që nëse e dini, është e vërtetë, në këtë rast nuk e dini sepse thotë kështu. Pra, nëse supozojmë se ju e njihni atë, atëherë rezulton se ju nuk e njihni atë. Na rezulton se ne vërtetuam që nuk e njeh, por thotë që nuk e njeh, ndaj e vërtetuam. Dhe sigurisht, nëse kemi vërtetuar diçka, kjo do të thotë se është e vërtetë, do të thotë se e dimë, sepse kemi prova. Dhe na rezulton se ne kemi vërtetuar edhe se ju e dini këtë deklaratë dhe se nuk e dini, kështu që kemi përsëri një paradoks epistemik.

Le të përmbledhim. Unë kam përshkruar disa paradokse semantike, të lidhura kryesisht me konceptin e së vërtetës, dhe gjithashtu tregova se ato janë shumë të ngjashme me paradokset që lidhen me teorinë e grupeve, të cilat qëndrojnë në zemër të matematikës. Përveç kësaj, u njohëm me paradokse epistemike që lidhen jo vetëm me konceptin e së vërtetës, por edhe me konceptin e dijes. Pra, ne pamë disa paradokse semantike, si paradoksi i gënjeshtarit, paradoksi i Epimenides dhe paradoksi i kartave, të cilat bazohen në konceptin e së vërtetës (në to flasim për gënjeshtra, të pavërteta, të vërtetën etj.), dhe më pas. ne shikuam disa paradokse që lindin në matematikë - ato lidhen me teorinë e grupeve. Dhe në fund folëm edhe për një lloj tjetër paradoksi - paradokset epistemike.

Ju mund ta shihni menjëherë se sa e rëndësishme është për ne që të gjejmë një zgjidhje për këto paradokse pasi matematika është e përfshirë në to, sepse ne po kërkonim themele të forta të matematikës për t'u siguruar që nuk kemi bërë gabime - dhe tani kemi zbuluar një kontradiktë. në to. Pra, ne kemi nevojë për një zgjidhje kur bëhet fjalë për paradokset matematikore që lidhen me teorinë e grupeve, por gjithashtu na duhet një zgjidhje për paradokset semantike. Shumë filozofë reflektojnë mbi konceptin e së vërtetës dhe duan të kuptojnë natyrën e së vërtetës, çfarë është një deklaratë e vërtetë. Është e natyrshme të supozohet se një pohim është i vërtetë nëse gjithçka është ashtu siç thuhet; dhe tani shiko paradoksin e gënjeshtarit: është e vërtetë, nëse gënjej, kjo është paradoksale dhe të çon në një kontradiktë. Pra, ne duhet të rimendojmë konceptin e së vërtetës, disa duan të rimendojnë logjikën pas saj dhe metodat e provave që na çuan në kontradiktë. Dhe është shumë e rëndësishme që ta bëjmë këtë nëse duam të fitojmë një kuptim të plotë të koncepteve të së vërtetës dhe njohurive.

gif: postnauka.ru/ Stephen Reed

Nuk ka asnjë listë shteruese të paradokseve logjike dhe as nuk është e mundur.

Paradokset e konsideruara janë vetëm një pjesë e të gjitha atyre të zbuluara deri më sot. Ka të ngjarë që shumë paradokse të tjera, madje edhe lloje krejtësisht të reja të tyre, do të zbulohen në të ardhmen. Vetë koncepti i paradoksit nuk është aq i përcaktuar sa të jetë e mundur të përpilohet një listë e të paktën paradokseve të njohura tashmë.

“Paradokset e teorisë së grupeve janë një problem shumë serioz, megjithatë, jo për matematikën, por më tepër për logjikën dhe teorinë e dijes”, shkruan matematikani dhe logjikisti austriak K. Gödel. “Logjika është konsistente. Nuk ka paradokse logjike”, thotë matematikani D. Bochvar. Këto lloj mospërputhjesh ndonjëherë janë domethënëse, ndonjëherë verbale. Çështja varet kryesisht nga ajo që saktësisht nënkuptohet me një paradoks logjik.

Veçantia e paradokseve logjike

Një fjalor logjik konsiderohet një tipar i domosdoshëm i paradokseve logjike.

Paradokset e klasifikuara si logjike duhet të formulohen në terma logjikë. Megjithatë, në logjikë nuk ka kritere të qarta për ndarjen e termave në logjikë dhe jologjikë. Logjika, e cila merret me korrektësinë e arsyetimit, kërkon të reduktojë në minimum konceptet nga të cilat varet korrektësia e përfundimeve praktikisht të zbatuara. Por ky minimum nuk është i paracaktuar pa mëdyshje. Për më tepër, deklaratat jo logjike mund të formulohen në terma logjikë. Nëse një paradoks i veçantë përdor vetëm premisa thjesht logjike nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet pa mëdyshje.

Paradokset logjike nuk ndahen rreptësisht nga të gjitha paradokset e tjera, ashtu si këto të fundit nuk dallohen qartë nga gjithçka që është joparadoksale dhe në përputhje me idetë mbizotëruese.

Në fillim të studimit të paradokseve logjike, dukej se ato mund të identifikoheshin nga shkelja e disa dispozitave apo rregullave të logjikës, ende të pa studiuara. Parimi i një rrethi vicioz i prezantuar nga B. Russell pretendoi veçanërisht në mënyrë aktive rolin e një rregulli të tillë. Ky parim thotë se një koleksion objektesh nuk mund të përmbajë anëtarë të përcaktueshëm vetëm nga i njëjti koleksion.

Të gjitha paradokset kanë një veti të përbashkët - vetë-zbatueshmërinë, ose rrethore. Në secilën prej tyre, objekti në fjalë karakterizohet nga një grup i caktuar objektesh të cilave ai vetë i përket. Nëse veçojmë, për shembull, personin më dinak, këtë e bëjmë me ndihmën e tërësisë së njerëzve të cilit i përket ky person. Dhe nëse themi: "Kjo deklaratë është e rreme", ne e karakterizojmë deklaratën në fjalë duke iu referuar grupit të të gjitha deklaratave të rreme që e përfshin atë.

Në të gjitha paradokset, ndodh vetë-zbatueshmëria e koncepteve, që do të thotë se ka, si të thuash, një lëvizje në një rreth, që përfundimisht të çon në pikën e fillimit. Në përpjekje për të karakterizuar një objekt me interes për ne, i drejtohemi tërësisë së objekteve që e përfshin atë. Mirëpo, rezulton se për përcaktueshmërinë e saj ajo vetë ka nevojë për objektin në fjalë dhe nuk mund të kuptohet qartë pa të. Në këtë rreth, ndoshta, qëndron burimi i paradokseve.

Megjithatë, situata është e ndërlikuar nga fakti se një rreth i tillë është i pranishëm në shumë argumente krejtësisht joparadoksale. Rrethore është një larmi e madhe e mënyrave më të zakonshme, të padëmshme dhe në të njëjtën kohë të përshtatshme të të shprehurit. Shembuj të tillë si "më i madhi nga të gjithë qytetet", "më i vogli nga të gjithë numrat natyrorë", "një nga elektronet e atomit të hekurit", etj., tregojnë se jo çdo rast i vetë-zbatueshmërisë çon në një kontradiktë dhe se ai është e rëndësishme jo vetëm në gjuhën e zakonshme, por edhe në gjuhën e shkencës.

Prandaj, thjesht referenca ndaj përdorimit të koncepteve vetë-zbatuese nuk mjafton për të diskredituar paradokset. Nevojitet disa kritere shtesë për të ndarë vetë-zbatueshmërinë, duke çuar në një paradoks, nga të gjitha rastet e tjera.

Ka pasur shumë propozime për këtë çështje, por një sqarim i suksesshëm i qarkullimit nuk u gjet kurrë. Doli të ishte e pamundur të karakterizohej rrethoriteti në atë mënyrë që çdo arsyetim rrethor të çojë në një paradoks dhe çdo paradoks është rezultat i ndonjë arsyetimi rrethor.

Një përpjekje për të gjetur një parim specifik të logjikës, shkelja e të cilit do të ishte një tipar dallues i të gjitha paradokseve logjike, nuk çoi në asgjë të caktuar.

Padyshim, një klasifikim i paradokseve do të ishte i dobishëm, duke i ndarë ato në lloje dhe lloje, duke grupuar disa paradokse dhe duke i kundërvënë ato me të tjera. Megjithatë, as në këtë çështje nuk u arrit asgjë e qëndrueshme.

Logjiciani anglez F. Ramsay, i cili vdiq në vitin 1930, kur nuk ishte ende njëzet e shtatë vjeç, propozoi ndarjen e të gjitha paradokseve në sintaksore dhe semantike. E para përfshin, për shembull, paradoksin e Russell, e dyta përfshin paradokset "Gënjeshtar", Grelling, etj.

Sipas Ramsey, paradokset e grupit të parë përmbajnë vetëm koncepte që i përkasin logjikës ose matematikës. Këto të fundit përfshijnë koncepte të tilla si "e vërteta", "përcaktueshmëria", "emërtimi", "gjuha", të cilat nuk janë rreptësisht matematikore, por më tepër të lidhura me gjuhësinë apo edhe me teorinë e dijes. Paradokset semantike duket se i detyrohen shfaqjes së tyre jo ndonjë gabimi në logjikë, por paqartësisë ose paqartësisë së disa koncepteve jologjike, prandaj problemet që parashtrojnë kanë të bëjnë me gjuhën dhe duhet të zgjidhen nga gjuhësia.

Ramsey-t i dukej se matematikanët dhe logjikistët nuk kishin nevojë të interesoheshin për paradokset semantike. Megjithatë, më vonë doli se disa nga rezultatet më domethënëse të logjikës moderne u morën pikërisht në lidhje me një studim më të thelluar të pikërisht këtyre paradokseve jo logjike.

Ndarja e paradokseve e propozuar nga Ramsey u përdor gjerësisht në fillim dhe ruan njëfarë rëndësie edhe sot. Në të njëjtën kohë, po bëhet gjithnjë e më e qartë se kjo ndarje është mjaft e paqartë dhe mbështetet kryesisht në shembuj dhe jo në një analizë të thellë krahasuese të dy grupeve të paradokseve. Konceptet semantike tani kanë marrë përkufizime të sakta dhe është e vështirë të mos pranohet se këto koncepte kanë të bëjnë vërtet me logjikën. Me zhvillimin e semantikës, e cila përcakton konceptet e saj bazë në termat e teorisë së grupeve, dallimi i bërë nga Ramsey bëhet gjithnjë e më i paqartë.

Paradokset dhe logjika moderne

Cilat përfundime për logjikën rrjedhin nga ekzistenca e paradokseve?

Para së gjithash, prania e një numri të madh paradoksesh flet për forcën e logjikës si shkencë, dhe jo për dobësinë e saj, siç mund të duket.

Nuk është rastësi që zbulimi i paradokseve përkoi me periudhën e zhvillimit më intensiv të logjikës moderne dhe sukseseve më të mëdha të saj.

Paradokset e para u zbuluan edhe para shfaqjes së logjikës si shkencë e veçantë. Shumë paradokse u zbuluan në mesjetë. Megjithatë, më vonë ato rezultuan se ishin harruar dhe u rizbuluan në shekullin tonë.

Logjikanët mesjetarë nuk ishin të vetëdijshëm për konceptet e "bashkësisë" dhe "elementit të një grupi", të cilat u futën në shkencë vetëm në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. Por kuptimi i paradokseve ishte aq i mprehtë në Mesjetë, saqë tashmë në atë kohë u shprehën disa shqetësime për konceptet e vetë-zbatueshme. Shembulli më i thjeshtë është koncepti i "të qenit element i vetvetes", i cili shfaqet në shumë nga paradokset aktuale.

Megjithatë, shqetësime të tilla, si të gjitha paralajmërimet në lidhje me paradokset në përgjithësi, nuk ishin mjaftueshëm sistematike dhe të përcaktuara deri në shekullin tonë. Ato nuk çuan në ndonjë propozim të qartë për një rishikim të mënyrave të zakonshme të të menduarit dhe të shprehurit.

Vetëm logjika moderne e ka nxjerrë nga harresa vetë problemin e paradokseve dhe ka zbuluar ose rizbuluar shumicën e paradokseve specifike logjike. Më tej ajo tregoi se metodat e të menduarit të studiuara tradicionalisht nga logjika janë plotësisht të pamjaftueshme për eliminimin e paradokseve dhe tregoi metoda thelbësisht të reja për trajtimin e tyre.

Paradokset shtrojnë një pyetje të rëndësishme: ku në fakt na dështojnë disa metoda konvencionale të formimit të konceptit dhe metodat e arsyetimit? Në fund të fundit, ato dukeshin krejtësisht të natyrshme dhe bindëse, derisa doli se ishin paradoksale.

Paradokset minojnë besimin se metodat e zakonshme të të menduarit teorik vetvetiu dhe pa ndonjë kontroll të veçantë mbi to ofrojnë përparim të besueshëm drejt së vërtetës.

Duke kërkuar një ndryshim rrënjësor në një qasje tepër besnike ndaj teorizimit, paradokset përfaqësojnë një kritikë të mprehtë të logjikës në formën e saj naive, intuitive. Ata luajnë rolin e një faktori që kontrollon dhe vendos kufizime në mënyrën e ndërtimit të sistemeve deduktive të logjikës. Dhe ky rol mund të krahasohet me rolin e një eksperimenti që teston korrektësinë e hipotezave në shkenca të tilla si fizika dhe kimia, dhe detyron të bëhen ndryshime në këto hipoteza.

Një paradoks në një teori flet për papajtueshmërinë e supozimeve që qëndrojnë në themel të saj. Ajo vepron si një simptomë e zbuluar në kohë e sëmundjes, pa të cilën mund të anashkalohej.

Sigurisht, sëmundja manifestohet në mënyra të ndryshme dhe në fund mund të zbulohet pa simptoma të tilla akute si paradokset. Le të themi, themelet e teorisë së grupeve do të ishin analizuar dhe sqaruar edhe nëse nuk do të ishin zbuluar paradokse në këtë fushë. Por nuk do të kishte pasur mprehtësinë dhe urgjencën me të cilën paradokset e zbuluara në të shtronin problemin e rishikimit të teorisë së grupeve.

Një literaturë e gjerë i kushtohet paradokseve dhe janë propozuar një numër i madh shpjegimesh. Por asnjë nga këto shpjegime nuk pranohet përgjithësisht dhe nuk ka një marrëveshje të plotë për origjinën e paradokseve dhe mënyrat për t'i hequr qafe ato.

"Gjatë gjashtëdhjetë viteve të fundit, qindra libra dhe artikuj i janë kushtuar qëllimit të zgjidhjes së paradokseve, por rezultatet janë jashtëzakonisht të dobëta në krahasim me përpjekjet e bëra", shkruan A. Frenkel. "Duket," përfundon H. Curry analizën e tij të paradokseve, "se kërkohet një reformë e plotë e logjikës dhe logjika matematikore mund të bëhet mjeti kryesor për kryerjen e kësaj reforme."

Eliminimi dhe shpjegimi i paradokseve

Ekziston një ndryshim i rëndësishëm për t'u theksuar.

Eliminimi i paradokseve dhe zgjidhja e tyre nuk është e njëjta gjë. Të eliminosh një paradoks nga një teori do të thotë ta rindërtosh atë në mënyrë që deklarata paradoksale në të të dalë e paprovueshme. Çdo paradoks mbështetet në një numër të madh përkufizimesh, supozimesh dhe argumentesh. Përfundimi i tij në teori paraqet një zinxhir të caktuar arsyetimi. Duke folur formalisht, ju mund të vini në dyshim ndonjë nga hallkat e tij, t'i hidhni ato dhe në këtë mënyrë të thyeni zinxhirin dhe të eliminoni paradoksin. Në shumë vepra kjo bëhet dhe kufizohet me kaq.

Por kjo nuk është ende një zgjidhje për paradoksin. Nuk mjafton të gjesh një mënyrë për ta përjashtuar atë, duhet të arsyetosh bindshëm zgjidhjen e propozuar. Vetë dyshimi për çdo hap që çon në një paradoks duhet të jetë i bazuar mirë.

Para së gjithash, vendimi për të braktisur disa mjete logjike të përdorura në nxjerrjen e një deklarate paradoksale duhet të lidhet me konsideratat tona të përgjithshme në lidhje me natyrën e provës logjike dhe intuitave të tjera logjike. Nëse nuk është kështu, eliminimi i paradoksit rezulton i lirë nga baza të forta dhe të qëndrueshme dhe degjeneron në një detyrë kryesisht teknike.

Për më tepër, refuzimi i një supozimi, edhe nëse siguron eliminimin e një paradoksi të caktuar, nuk garanton automatikisht eliminimin e të gjitha paradokseve. Kjo sugjeron që paradokset nuk duhen “gjuajtur” individualisht. Përjashtimi i njërit prej tyre duhet të jetë gjithmonë aq i justifikuar sa të ketë një garanci të caktuar se paradokset e tjera do të eliminohen me të njëjtin hap.

Sa herë zbulohet një paradoks, shkruan A. Tarski, “ne duhet t'i nënshtrojmë mënyrat tona të të menduarit ndaj një rishikimi të plotë, të hedhim poshtë disa premisa në të cilat kemi besuar dhe të përmirësojmë metodat e argumentimit që kemi përdorur. Ne e bëjmë këtë në një përpjekje jo vetëm për të hequr qafe antinomitë, por edhe për të parandaluar shfaqjen e të rejave.”

Dhe së fundi, një refuzim i pamenduar dhe i pakujdesshëm i supozimeve shumë ose shumë të forta thjesht mund të çojë në faktin se rezultati, megjithëse nuk përmban paradokse, është një teori dukshëm më e dobët që ka vetëm interes privat.

Cili mund të jetë grupi minimal, më pak radikal i masave për të shmangur paradokset e njohura?

Gramatika logjike

Një mënyrë është të izoloni, së bashku me fjalitë e vërteta dhe të rreme, edhe fjali të pakuptimta. Kjo rrugë u përvetësua nga B. Russell. Ai e shpalli të pakuptimtë arsyetimin paradoksal me arsyetimin se shkelte kërkesat e gramatikës logjike. Jo çdo fjali që nuk shkel rregullat e gramatikës së zakonshme është kuptimplotë - ajo duhet gjithashtu të plotësojë rregullat e një gramatike të veçantë, logjike.

Russell ndërtoi një teori të llojeve logjike, një lloj gramatike logjike, detyra e së cilës ishte të eliminonte të gjitha antinomitë e njohura. Më pas, kjo teori u thjeshtua ndjeshëm dhe u quajt teori e tipit të thjeshtë.

Ideja kryesore e teorisë së llojeve është identifikimi i llojeve logjikisht të ndryshme të objekteve, futja e një lloji hierarkie ose shkalle të objekteve në shqyrtim. Lloji më i ulët ose zero përfshin objekte individuale që nuk janë grupe. Lloji i parë përfshin grupe objektesh të tipit zero, d.m.th. individët; tek e dyta - grupe grupesh individësh, etj. Me fjalë të tjera, bëhet dallimi midis objekteve, vetive të objekteve, vetive të vetive të objekteve, etj. Në të njëjtën kohë, vendosen kufizime të caktuara në ndërtimin e propozimeve. Vetitë mund t'i atribuohen objekteve, vetitë e vetive ndaj vetive, etj. Por nuk mund të pohohet me kuptim se objektet kanë veti të vetive.

Le të marrim një seri fjalish:

Kjo shtëpi është e kuqe.

E kuqja është një ngjyrë.

Ngjyra është një fenomen optik.

Në këto fjali, shprehja "kjo shtëpi" tregon një objekt të caktuar, fjala "e kuqe" tregon një veti të natyrshme në këtë objekt, "është një ngjyrë" - vetia e kësaj prone ("të jetë e kuqe") dhe "të jetë një fenomen optik" - tregon vetinë e vetive "të jesh ngjyrë" i përket vetive "të jesh i kuq". Këtu kemi të bëjmë jo vetëm me objektet dhe vetitë e tyre, por edhe me vetitë e vetive (“vetia e të qenit i kuq ka vetinë e të qenit ngjyrë”), madje edhe me vetitë e vetive të vetive.

Të tre fjalitë në serinë e mësipërme, natyrisht, janë kuptimplote. Ato janë ndërtuar në përputhje me kërkesat e teorisë së tipit. Por le të themi se fjalia "Kjo shtëpi është një ngjyrë" shkel këto kërkesa. Ai i atribuon një objekti atë karakteristikë që mund t'i përkasë vetëm vetive, por jo objekteve. Një shkelje e ngjashme gjendet në fjalinë "Kjo shtëpi është një fenomen optik". Të dyja këto fjali duhet të klasifikohen si të pakuptimta.

Teoria e tipit të thjeshtë eliminon paradoksin e Rasëllit. Megjithatë, për të eliminuar paradokset Liar dhe Berry, thjesht ndarja e objekteve në fjalë në lloje nuk është më e mjaftueshme. Është e nevojshme të futen disa renditje shtesë brenda vetë llojeve.

Eliminimi i paradokseve mund të arrihet edhe duke refuzuar përdorimin e grupeve shumë të mëdha, të ngjashme me grupin e të gjitha grupeve. Kjo rrugë u propozua nga matematikani gjerman E. Zermelo, i cili e lidhi shfaqjen e paradokseve me ndërtimin e pakufizuar të grupeve. Komplet e pranueshme u përcaktuan prej tij nga një listë e caktuar aksiomash, të formuluara në mënyrë të tillë që paradokset e njohura të mos nxirreshin prej tyre. Në të njëjtën kohë, këto aksioma ishin mjaft të forta për të nxjerrë prej tyre arsyetimin e zakonshëm të matematikës klasike, por pa paradokse.

As këto dy dhe as mënyra të tjera të propozuara për të eliminuar paradokset nuk pranohen përgjithësisht. Nuk ka konsensus se ndonjë nga teoritë e propozuara zgjidh paradokset logjike, në vend që thjesht t'i flakë ato pa shpjegime të thella. Problemi i shpjegimit të paradokseve është ende i hapur dhe ende i rëndësishëm.

E ardhmja e paradokseve

G. Frege, logjikisti më i madh i shekullit të kaluar, fatkeqësisht kishte një karakter shumë të keq. Përveç kësaj, ai ishte i pakushtëzuar dhe madje mizor në kritikat e tij ndaj bashkëkohësve të tij.

Ndoshta kjo është arsyeja pse kontributi i tij në logjikë dhe themelet e matematikës nuk mori njohje për një kohë të gjatë. Dhe kështu, kur fama filloi t'i vinte, logjikani i ri anglez B. Russell i shkroi atij se lindi një kontradiktë në sistemin e botuar në vëllimin e parë të librit të tij "Ligjet Themelore të Aritmetikës". Vëllimi i dytë i këtij libri ishte tashmë në shtyp, dhe Frege mund t'i shtonte atij vetëm një shtojcë të veçantë, në të cilën ai përvijoi këtë kontradiktë (më vonë u quajt "paradoksi i Rasëllit") dhe pranoi se nuk ishte në gjendje ta eliminonte atë.

Megjithatë, pasojat e kësaj njohjeje ishin tragjike për Frege. Ai përjetoi një tronditje të rëndë. Dhe megjithëse ishte atëherë vetëm 55 vjeç, ai nuk botoi ndonjë vepër më domethënëse mbi logjikën, megjithëse jetoi për më shumë se njëzet vjet. Ai nuk iu përgjigj as diskutimit të gjallë të shkaktuar nga paradoksi i Rasëllit dhe nuk reagoi në asnjë mënyrë ndaj zgjidhjeve të shumta të propozuara për këtë paradoks.

Përshtypjen që u bënë matematikanëve dhe logjikistëve paradokset e sapo zbuluara e shprehu mirë D. Hilberti: “...Gjendja në të cilën ndodhemi tani për sa i përket paradokseve është e padurueshme për një kohë të gjatë. Mendoni: në matematikë - ky shembull i besueshmërisë dhe së vërtetës - formimi i koncepteve dhe rrjedha e konkluzioneve, pasi të gjithë i studiojnë, i mësojnë dhe i zbatojnë ato, çojnë në absurditet. Ku të kërkoni besueshmërinë dhe të vërtetën, nëse edhe vetë të menduarit matematikor nuk funksionon?”

Frege ishte një përfaqësues tipik i logjikës së fundit të shekullit të 19-të, i lirë nga çdo paradoks, logjik, i sigurt në aftësitë e saj dhe që pretendonte të ishte një kriter rigoroziteti edhe për matematikën. Paradokset treguan se ashpërsia absolute e arritur nga logjika e supozuar nuk ishte gjë tjetër veçse një iluzion. Ata treguan në mënyrë të padiskutueshme se logjika - në formën intuitive në të cilën kishte në fund të shekullit - ka nevojë për një rishikim të thellë.

Ka kaluar rreth një shekull që kur filloi një diskutim i gjallë i paradokseve. Megjithatë, përpjekja për rishikim të logjikës nuk çoi në një zgjidhje të qartë të tyre.

Dhe në të njëjtën kohë, kjo gjendje vështirë se shqetëson askënd sot. Me kalimin e kohës, qëndrimi ndaj paradokseve u bë më i qetë dhe akoma më tolerant se në kohën e zbulimit të tyre. Çështja nuk është vetëm se paradokset janë bërë diçka e njohur. Dhe, sigurisht, jo se janë marrë vesh me ta. Ato mbeten ende në qendër të vëmendjes së logjikësve dhe kërkimi i zgjidhjeve të tyre vazhdon në mënyrë aktive. Situata ka ndryshuar kryesisht sepse paradokset rezultuan të jenë, si të thuash, të lokalizuara. Ata kanë gjetur vendin e tyre të caktuar, ndonëse të trazuar, në spektrin e gjerë të kërkimit logjik. U bë e qartë se ashpërsia absolute, siç u përshkrua në fund të shekullit të kaluar dhe madje ndonjëherë në fillim të këtij, është, në parim, një ideal i paarritshëm.

U kuptua gjithashtu se nuk ka asnjë problem të vetëm paradoksesh që qëndron i vetëm. Problemet që lidhen me to i përkasin llojeve të ndryshme dhe prekin, në thelb, të gjitha seksionet kryesore të logjikës. Zbulimi i një paradoksi na detyron të analizojmë thellë intuitat tona logjike dhe të përfshihemi në ripërpunimin sistematik të themeleve të shkencës së logjikës. Në të njëjtën kohë, dëshira për të shmangur paradokset nuk është as e vetmja dhe, ndoshta, detyra kryesore. Megjithëse janë të rëndësishme, ato janë vetëm një arsye për të menduar për temat qendrore të logjikës. Duke vazhduar krahasimin e paradokseve me simptoma veçanërisht të dallueshme të një sëmundjeje, mund të themi se dëshira për të eliminuar menjëherë paradokset do të ishte e ngjashme me dëshirën për të hequr simptoma të tilla pa u kujdesur veçanërisht për vetë sëmundjen. Nuk kërkohet vetëm zgjidhja e paradokseve, është e nevojshme t'i shpjegojmë ato, duke thelluar kuptimin tonë për ligjet logjike të të menduarit.

Nuk ka asnjë listë shteruese të paradokseve logjike dhe as nuk është e mundur.

Paradokset e konsideruara janë vetëm një pjesë e të gjitha atyre të zbuluara deri më sot. Ka të ngjarë që shumë paradokse të tjera, madje edhe lloje krejtësisht të reja të tyre, do të zbulohen në të ardhmen. Vetë koncepti i paradoksit nuk është aq i përcaktuar sa të jetë e mundur të përpilohet një listë e të paktën paradokseve të njohura tashmë.

“Paradokset e teorisë së grupeve janë një problem shumë serioz, megjithatë, jo për matematikën, por më tepër për logjikën dhe teorinë e dijes”, shkruan matematikani dhe logjikisti austriak K. Gödel. “Logjika është konsistente. Nuk ka paradokse logjike”, thotë matematikani D. Bochvar. Këto lloj mospërputhjesh ndonjëherë janë domethënëse, ndonjëherë verbale. Çështja varet kryesisht nga ajo që saktësisht nënkuptohet me një paradoks logjik.

Veçantia e paradokseve logjike

Një fjalor logjik konsiderohet një tipar i domosdoshëm i paradokseve logjike.

Paradokset e klasifikuara si logjike duhet të formulohen në terma logjikë. Megjithatë, në logjikë nuk ka kritere të qarta për ndarjen e termave në logjikë dhe jologjikë. Logjika, e cila merret me korrektësinë e arsyetimit, kërkon të reduktojë në minimum konceptet nga të cilat varet korrektësia e përfundimeve praktikisht të zbatuara. Por ky minimum nuk është i paracaktuar pa mëdyshje. Për më tepër, deklaratat jo logjike mund të formulohen në terma logjikë. Nëse një paradoks i veçantë përdor vetëm premisa thjesht logjike nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet pa mëdyshje.

Paradokset logjike nuk ndahen rreptësisht nga të gjitha paradokset e tjera, ashtu si këto të fundit nuk dallohen qartë nga gjithçka që është joparadoksale dhe në përputhje me idetë mbizotëruese.

Në fillim të studimit të paradokseve logjike, dukej se ato mund të identifikoheshin nga shkelja e disa dispozitave apo rregullave të logjikës, ende të pa studiuara. Parimi i një rrethi vicioz i prezantuar nga B. Russell pretendoi veçanërisht në mënyrë aktive rolin e një rregulli të tillë. Ky parim thotë se një koleksion objektesh nuk mund të përmbajë anëtarë të përcaktueshëm vetëm nga i njëjti koleksion.

Të gjitha paradokset kanë një veti të përbashkët - vetë-zbatueshmërinë, ose rrethore. Në secilën prej tyre, objekti në fjalë karakterizohet nga një grup i caktuar objektesh të cilave ai vetë i përket. Nëse veçojmë, për shembull, personin më dinak, këtë e bëjmë me ndihmën e tërësisë së njerëzve të cilit i përket ky person. Dhe nëse themi: "Kjo deklaratë është e rreme", ne e karakterizojmë deklaratën në fjalë duke iu referuar grupit të të gjitha deklaratave të rreme që e përfshin atë.

Në të gjitha paradokset, ndodh vetë-zbatueshmëria e koncepteve, që do të thotë se ka, si të thuash, një lëvizje në një rreth, që përfundimisht të çon në pikën e fillimit. Në përpjekje për të karakterizuar një objekt me interes për ne, i drejtohemi tërësisë së objekteve që e përfshin atë. Mirëpo, rezulton se për përcaktueshmërinë e saj ajo vetë ka nevojë për objektin në fjalë dhe nuk mund të kuptohet qartë pa të. Në këtë rreth, ndoshta, qëndron burimi i paradokseve.

Megjithatë, situata është e ndërlikuar nga fakti se një rreth i tillë është i pranishëm në shumë argumente krejtësisht joparadoksale. Rrethore është një larmi e madhe e mënyrave më të zakonshme, të padëmshme dhe në të njëjtën kohë të përshtatshme të të shprehurit. Shembuj të tillë si "më i madhi nga të gjithë qytetet", "më i vogli nga të gjithë numrat natyrorë", "një nga elektronet e atomit të hekurit", etj., tregojnë se jo çdo rast i vetë-zbatueshmërisë çon në një kontradiktë dhe se ai është e rëndësishme jo vetëm në gjuhën e zakonshme, por edhe në gjuhën e shkencës.

Prandaj, thjesht referenca ndaj përdorimit të koncepteve vetë-zbatuese nuk mjafton për të diskredituar paradokset. Nevojitet disa kritere shtesë për të ndarë vetë-zbatueshmërinë, duke çuar në një paradoks, nga të gjitha rastet e tjera.

Ka pasur shumë propozime për këtë çështje, por një sqarim i suksesshëm i qarkullimit nuk u gjet kurrë. Doli të ishte e pamundur të karakterizohej rrethoriteti në atë mënyrë që çdo arsyetim rrethor të çojë në një paradoks dhe çdo paradoks është rezultat i ndonjë arsyetimi rrethor.

Një përpjekje për të gjetur një parim specifik të logjikës, shkelja e të cilit do të ishte një tipar dallues i të gjitha paradokseve logjike, nuk çoi në asgjë të caktuar.

Padyshim, një klasifikim i paradokseve do të ishte i dobishëm, duke i ndarë ato në lloje dhe lloje, duke grupuar disa paradokse dhe duke i kundërvënë ato me të tjera. Megjithatë, as në këtë çështje nuk u arrit asgjë e qëndrueshme.

Logjiciani anglez F. Ramsay, i cili vdiq në vitin 1930, kur nuk ishte ende njëzet e shtatë vjeç, propozoi ndarjen e të gjitha paradokseve në sintaksore dhe semantike. E para përfshin, për shembull, paradoksin e Russell, e dyta përfshin paradokset "Gënjeshtar", Grelling, etj.

Sipas Ramsey, paradokset e grupit të parë përmbajnë vetëm koncepte që i përkasin logjikës ose matematikës. Këto të fundit përfshijnë koncepte të tilla si "e vërteta", "përcaktueshmëria", "emërtimi", "gjuha", të cilat nuk janë rreptësisht matematikore, por më tepër të lidhura me gjuhësinë apo edhe me teorinë e dijes. Paradokset semantike duket se i detyrohen shfaqjes së tyre jo ndonjë gabimi në logjikë, por paqartësisë ose paqartësisë së disa koncepteve jologjike, prandaj problemet që parashtrojnë kanë të bëjnë me gjuhën dhe duhet të zgjidhen nga gjuhësia.

Ramsey-t i dukej se matematikanët dhe logjikistët nuk kishin nevojë të interesoheshin për paradokset semantike. Megjithatë, më vonë doli se disa nga rezultatet më domethënëse të logjikës moderne u morën pikërisht në lidhje me një studim më të thelluar të pikërisht këtyre paradokseve jo logjike.

Ndarja e paradokseve e propozuar nga Ramsey u përdor gjerësisht në fillim dhe ruan njëfarë rëndësie edhe sot. Në të njëjtën kohë, po bëhet gjithnjë e më e qartë se kjo ndarje është mjaft e paqartë dhe mbështetet kryesisht në shembuj dhe jo në një analizë të thellë krahasuese të dy grupeve të paradokseve. Konceptet semantike tani kanë marrë përkufizime të sakta dhe është e vështirë të mos pranohet se këto koncepte kanë të bëjnë vërtet me logjikën. Me zhvillimin e semantikës, e cila përcakton konceptet e saj bazë në termat e teorisë së grupeve, dallimi i bërë nga Ramsey bëhet gjithnjë e më i paqartë.

Paradokset dhe logjika moderne

Cilat përfundime për logjikën rrjedhin nga ekzistenca e paradokseve?

Para së gjithash, prania e një numri të madh paradoksesh flet për forcën e logjikës si shkencë, dhe jo për dobësinë e saj, siç mund të duket.

Nuk është rastësi që zbulimi i paradokseve përkoi me periudhën e zhvillimit më intensiv të logjikës moderne dhe sukseseve më të mëdha të saj.

Paradokset e para u zbuluan edhe para shfaqjes së logjikës si shkencë e veçantë. Shumë paradokse u zbuluan në mesjetë. Megjithatë, më vonë ato rezultuan se ishin harruar dhe u rizbuluan në shekullin tonë.

Logjikanët mesjetarë nuk ishin të vetëdijshëm për konceptet e "bashkësisë" dhe "elementit të një grupi", të cilat u futën në shkencë vetëm në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. Por kuptimi i paradokseve ishte aq i mprehtë në Mesjetë, saqë tashmë në atë kohë u shprehën disa shqetësime për konceptet e vetë-zbatueshme. Shembulli më i thjeshtë është koncepti i "të qenit element i vetvetes", i cili shfaqet në shumë nga paradokset aktuale.

Megjithatë, shqetësime të tilla, si të gjitha paralajmërimet në lidhje me paradokset në përgjithësi, nuk ishin mjaftueshëm sistematike dhe të përcaktuara deri në shekullin tonë. Ato nuk çuan në ndonjë propozim të qartë për një rishikim të mënyrave të zakonshme të të menduarit dhe të shprehurit.

Vetëm logjika moderne e ka nxjerrë nga harresa vetë problemin e paradokseve dhe ka zbuluar ose rizbuluar shumicën e paradokseve specifike logjike. Më tej ajo tregoi se metodat e të menduarit të studiuara tradicionalisht nga logjika janë plotësisht të pamjaftueshme për eliminimin e paradokseve dhe tregoi metoda thelbësisht të reja për trajtimin e tyre.

Paradokset shtrojnë një pyetje të rëndësishme: ku në fakt na dështojnë disa metoda konvencionale të formimit të konceptit dhe metodat e arsyetimit? Në fund të fundit, ato dukeshin krejtësisht të natyrshme dhe bindëse, derisa doli se ishin paradoksale.

Paradokset minojnë besimin se metodat e zakonshme të të menduarit teorik vetvetiu dhe pa ndonjë kontroll të veçantë mbi to ofrojnë përparim të besueshëm drejt së vërtetës.

Duke kërkuar një ndryshim rrënjësor në një qasje tepër besnike ndaj teorizimit, paradokset përfaqësojnë një kritikë të mprehtë të logjikës në formën e saj naive, intuitive. Ata luajnë rolin e një faktori që kontrollon dhe vendos kufizime në mënyrën e ndërtimit të sistemeve deduktive të logjikës. Dhe ky rol mund të krahasohet me rolin e një eksperimenti që teston korrektësinë e hipotezave në shkenca të tilla si fizika dhe kimia, dhe detyron të bëhen ndryshime në këto hipoteza.

Një paradoks në një teori flet për papajtueshmërinë e supozimeve që qëndrojnë në themel të saj. Ajo vepron si një simptomë e zbuluar në kohë e sëmundjes, pa të cilën mund të anashkalohej.

Sigurisht, sëmundja manifestohet në mënyra të ndryshme dhe në fund mund të zbulohet pa simptoma të tilla akute si paradokset. Le të themi, themelet e teorisë së grupeve do të ishin analizuar dhe sqaruar edhe nëse nuk do të ishin zbuluar paradokse në këtë fushë. Por nuk do të kishte pasur mprehtësinë dhe urgjencën me të cilën paradokset e zbuluara në të shtronin problemin e rishikimit të teorisë së grupeve.

Një literaturë e gjerë i kushtohet paradokseve dhe janë propozuar një numër i madh shpjegimesh. Por asnjë nga këto shpjegime nuk pranohet përgjithësisht dhe nuk ka një marrëveshje të plotë për origjinën e paradokseve dhe mënyrat për t'i hequr qafe ato.

"Gjatë gjashtëdhjetë viteve të fundit, qindra libra dhe artikuj i janë kushtuar qëllimit të zgjidhjes së paradokseve, por rezultatet janë jashtëzakonisht të dobëta në krahasim me përpjekjet e bëra", shkruan A. Frenkel. "Duket," përfundon H. Curry analizën e tij të paradokseve, "se kërkohet një reformë e plotë e logjikës dhe logjika matematikore mund të bëhet mjeti kryesor për kryerjen e kësaj reforme."

Eliminimi dhe shpjegimi i paradokseve

Ekziston një ndryshim i rëndësishëm për t'u theksuar.

Eliminimi i paradokseve dhe zgjidhja e tyre nuk është e njëjta gjë. Të eliminosh një paradoks nga një teori do të thotë ta rindërtosh atë në mënyrë që deklarata paradoksale në të të dalë e paprovueshme. Çdo paradoks mbështetet në një numër të madh përkufizimesh, supozimesh dhe argumentesh. Përfundimi i tij në teori paraqet një zinxhir të caktuar arsyetimi. Duke folur formalisht, ju mund të vini në dyshim ndonjë nga hallkat e tij, t'i hidhni ato dhe në këtë mënyrë të thyeni zinxhirin dhe të eliminoni paradoksin. Në shumë vepra kjo bëhet dhe kufizohet me kaq.

Por kjo nuk është ende një zgjidhje për paradoksin. Nuk mjafton të gjesh një mënyrë për ta përjashtuar atë, duhet të arsyetosh bindshëm zgjidhjen e propozuar. Vetë dyshimi për çdo hap që çon në një paradoks duhet të jetë i bazuar mirë.

Para së gjithash, vendimi për të braktisur disa mjete logjike të përdorura në nxjerrjen e një deklarate paradoksale duhet të lidhet me konsideratat tona të përgjithshme në lidhje me natyrën e provës logjike dhe intuitave të tjera logjike. Nëse nuk është kështu, eliminimi i paradoksit rezulton i lirë nga baza të forta dhe të qëndrueshme dhe degjeneron në një detyrë kryesisht teknike.

Për më tepër, refuzimi i një supozimi, edhe nëse siguron eliminimin e një paradoksi të caktuar, nuk garanton automatikisht eliminimin e të gjitha paradokseve. Kjo sugjeron që paradokset nuk duhen “gjuajtur” individualisht. Përjashtimi i njërit prej tyre duhet të jetë gjithmonë aq i justifikuar sa të ketë një garanci të caktuar se paradokset e tjera do të eliminohen me të njëjtin hap.

Sa herë zbulohet një paradoks, shkruan A. Tarski, “ne duhet t'i nënshtrojmë mënyrat tona të të menduarit ndaj një rishikimi të plotë, të hedhim poshtë disa premisa në të cilat kemi besuar dhe të përmirësojmë metodat e argumentimit që kemi përdorur. Ne e bëjmë këtë në një përpjekje jo vetëm për të hequr qafe antinomitë, por edhe për të parandaluar shfaqjen e të rejave.”

Dhe së fundi, një refuzim i pamenduar dhe i pakujdesshëm i supozimeve shumë ose shumë të forta thjesht mund të çojë në faktin se rezultati, megjithëse nuk përmban paradokse, është një teori dukshëm më e dobët që ka vetëm interes privat.

Cili mund të jetë grupi minimal, më pak radikal i masave për të shmangur paradokset e njohura?

Gramatika logjike

Një mënyrë është të izoloni, së bashku me fjalitë e vërteta dhe të rreme, edhe fjali të pakuptimta. Kjo rrugë u përvetësua nga B. Russell. Ai e shpalli të pakuptimtë arsyetimin paradoksal me arsyetimin se shkelte kërkesat e gramatikës logjike. Jo çdo fjali që nuk shkel rregullat e gramatikës së zakonshme është kuptimplotë - ajo duhet gjithashtu të plotësojë rregullat e një gramatike të veçantë, logjike.

Russell ndërtoi një teori të llojeve logjike, një lloj gramatike logjike, detyra e së cilës ishte të eliminonte të gjitha antinomitë e njohura. Më pas, kjo teori u thjeshtua ndjeshëm dhe u quajt teori e tipit të thjeshtë.

Ideja kryesore e teorisë së llojeve është identifikimi i llojeve logjikisht të ndryshme të objekteve, futja e një lloji hierarkie ose shkalle të objekteve në shqyrtim. Lloji më i ulët ose zero përfshin objekte individuale që nuk janë grupe. Lloji i parë përfshin grupe objektesh të tipit zero, d.m.th. individët; tek e dyta - grupe grupesh individësh, etj. Me fjalë të tjera, bëhet dallimi midis objekteve, vetive të objekteve, vetive të vetive të objekteve, etj. Në të njëjtën kohë, vendosen kufizime të caktuara në ndërtimin e propozimeve. Vetitë mund t'i atribuohen objekteve, vetitë e vetive ndaj vetive, etj. Por nuk mund të pohohet me kuptim se objektet kanë veti të vetive.

Le të marrim një seri fjalish:

Kjo shtëpi është e kuqe.

E kuqja është një ngjyrë.

Ngjyra është një fenomen optik.

Në këto fjali, shprehja "kjo shtëpi" tregon një objekt të caktuar, fjala "e kuqe" tregon një veti të natyrshme në këtë objekt, "është një ngjyrë" - vetia e kësaj prone ("të jetë e kuqe") dhe "të jetë një fenomen optik" - tregon vetinë e vetive "të jesh ngjyrë" i përket vetive "të jesh i kuq". Këtu kemi të bëjmë jo vetëm me objektet dhe vetitë e tyre, por edhe me vetitë e vetive (“vetia e të qenit i kuq ka vetinë e të qenit ngjyrë”), madje edhe me vetitë e vetive të vetive.

Të tre fjalitë në serinë e mësipërme, natyrisht, janë kuptimplote. Ato janë ndërtuar në përputhje me kërkesat e teorisë së tipit. Por le të themi se fjalia "Kjo shtëpi është një ngjyrë" shkel këto kërkesa. Ai i atribuon një objekti atë karakteristikë që mund t'i përkasë vetëm vetive, por jo objekteve. Një shkelje e ngjashme gjendet në fjalinë "Kjo shtëpi është një fenomen optik". Të dyja këto fjali duhet të klasifikohen si të pakuptimta.

Teoria e tipit të thjeshtë eliminon paradoksin e Rasëllit. Megjithatë, për të eliminuar paradokset Liar dhe Berry, thjesht ndarja e objekteve në fjalë në lloje nuk është më e mjaftueshme. Është e nevojshme të futen disa renditje shtesë brenda vetë llojeve.

Eliminimi i paradokseve mund të arrihet edhe duke refuzuar përdorimin e grupeve shumë të mëdha, të ngjashme me grupin e të gjitha grupeve. Kjo rrugë u propozua nga matematikani gjerman E. Zermelo, i cili e lidhi shfaqjen e paradokseve me ndërtimin e pakufizuar të grupeve. Komplet e pranueshme u përcaktuan prej tij nga një listë e caktuar aksiomash, të formuluara në mënyrë të tillë që paradokset e njohura të mos nxirreshin prej tyre. Në të njëjtën kohë, këto aksioma ishin mjaft të forta për të nxjerrë prej tyre arsyetimin e zakonshëm të matematikës klasike, por pa paradokse.

As këto dy dhe as mënyra të tjera të propozuara për të eliminuar paradokset nuk pranohen përgjithësisht. Nuk ka konsensus se ndonjë nga teoritë e propozuara zgjidh paradokset logjike, në vend që thjesht t'i flakë ato pa shpjegime të thella. Problemi i shpjegimit të paradokseve është ende i hapur dhe ende i rëndësishëm.

E ardhmja e paradokseve

G. Frege, logjikisti më i madh i shekullit të kaluar, fatkeqësisht kishte një karakter shumë të keq. Përveç kësaj, ai ishte i pakushtëzuar dhe madje mizor në kritikat e tij ndaj bashkëkohësve të tij.

Ndoshta kjo është arsyeja pse kontributi i tij në logjikë dhe themelet e matematikës nuk mori njohje për një kohë të gjatë. Dhe kështu, kur fama filloi t'i vinte, logjikani i ri anglez B. Russell i shkroi atij se lindi një kontradiktë në sistemin e botuar në vëllimin e parë të librit të tij "Ligjet Themelore të Aritmetikës". Vëllimi i dytë i këtij libri ishte tashmë në shtyp, dhe Frege mund t'i shtonte atij vetëm një shtojcë të veçantë, në të cilën ai përvijoi këtë kontradiktë (më vonë u quajt "paradoksi i Rasëllit") dhe pranoi se nuk ishte në gjendje ta eliminonte atë.

Megjithatë, pasojat e kësaj njohjeje ishin tragjike për Frege. Ai përjetoi një tronditje të rëndë. Dhe megjithëse ishte atëherë vetëm 55 vjeç, ai nuk botoi ndonjë vepër më domethënëse mbi logjikën, megjithëse jetoi për më shumë se njëzet vjet. Ai nuk iu përgjigj as diskutimit të gjallë të shkaktuar nga paradoksi i Rasëllit dhe nuk reagoi në asnjë mënyrë ndaj zgjidhjeve të shumta të propozuara për këtë paradoks.

Përshtypjen që u bënë matematikanëve dhe logjikistëve paradokset e sapo zbuluara e shprehu mirë D. Hilberti: “...Gjendja në të cilën ndodhemi tani për sa i përket paradokseve është e padurueshme për një kohë të gjatë. Mendoni: në matematikë - ky shembull i besueshmërisë dhe së vërtetës - formimi i koncepteve dhe rrjedha e konkluzioneve, pasi të gjithë i studiojnë, i mësojnë dhe i zbatojnë ato, çojnë në absurditet. Ku të kërkoni besueshmërinë dhe të vërtetën, nëse edhe vetë të menduarit matematikor nuk funksionon?”

Frege ishte një përfaqësues tipik i logjikës së fundit të shekullit të 19-të, i lirë nga çdo paradoks, logjik, i sigurt në aftësitë e saj dhe që pretendonte të ishte një kriter rigoroziteti edhe për matematikën. Paradokset treguan se ashpërsia absolute e arritur nga logjika e supozuar nuk ishte gjë tjetër veçse një iluzion. Ata treguan në mënyrë të padiskutueshme se logjika - në formën intuitive në të cilën kishte në fund të shekullit - ka nevojë për një rishikim të thellë.

Ka kaluar rreth një shekull që kur filloi një diskutim i gjallë i paradokseve. Megjithatë, përpjekja për rishikim të logjikës nuk çoi në një zgjidhje të qartë të tyre.

Dhe në të njëjtën kohë, kjo gjendje vështirë se shqetëson askënd sot. Me kalimin e kohës, qëndrimi ndaj paradokseve u bë më i qetë dhe akoma më tolerant se në kohën e zbulimit të tyre. Çështja nuk është vetëm se paradokset janë bërë diçka e njohur. Dhe, sigurisht, jo se janë marrë vesh me ta. Ato mbeten ende në qendër të vëmendjes së logjikësve dhe kërkimi i zgjidhjeve të tyre vazhdon në mënyrë aktive. Situata ka ndryshuar kryesisht sepse paradokset rezultuan të jenë, si të thuash, të lokalizuara. Ata kanë gjetur vendin e tyre të caktuar, ndonëse të trazuar, në spektrin e gjerë të kërkimit logjik. U bë e qartë se ashpërsia absolute, siç u përshkrua në fund të shekullit të kaluar dhe madje ndonjëherë në fillim të këtij, është, në parim, një ideal i paarritshëm.

U kuptua gjithashtu se nuk ka asnjë problem të vetëm paradoksesh që qëndron i vetëm. Problemet që lidhen me to i përkasin llojeve të ndryshme dhe prekin, në thelb, të gjitha seksionet kryesore të logjikës. Zbulimi i një paradoksi na detyron të analizojmë thellë intuitat tona logjike dhe të përfshihemi në ripërpunimin sistematik të themeleve të shkencës së logjikës. Në të njëjtën kohë, dëshira për të shmangur paradokset nuk është as e vetmja dhe, ndoshta, detyra kryesore. Megjithëse janë të rëndësishme, ato janë vetëm një arsye për të menduar për temat qendrore të logjikës. Duke vazhduar krahasimin e paradokseve me simptoma veçanërisht të dallueshme të një sëmundjeje, mund të themi se dëshira për të eliminuar menjëherë paradokset do të ishte e ngjashme me dëshirën për të hequr simptoma të tilla pa u kujdesur veçanërisht për vetë sëmundjen. Nuk kërkohet vetëm zgjidhja e paradokseve, është e nevojshme t'i shpjegojmë ato, duke thelluar kuptimin tonë për ligjet logjike të të menduarit.

2. Paradoks. Koncepti, shembuj

Duke kaluar në çështjen e paradokseve, nuk mund të mos thuhet për marrëdhënien e tyre me sofizmat. Fakti është se ndonjëherë nuk ka një vijë të qartë me të cilën mund të kuptoni se me çfarë keni të bëni.

Megjithatë, paradokset konsiderohen me një qasje shumë më serioze, ndërsa sofistikat shpesh luajnë rolin e shakasë, asgjë më shumë. Kjo është për shkak të natyrës së teorisë dhe shkencës: nëse përmban paradokse, do të thotë se idetë themelore janë të papërsosura.

Sa më sipër mund të nënkuptojë se qasja moderne ndaj sofizmave nuk mbulon të gjithë shtrirjen e problemit. Shumë paradokse interpretohen si sofistikë, megjithëse ato nuk i humbasin vetitë e tyre origjinale.

Paradoks mund të quhet arsyetim që vërteton jo vetëm të vërtetën, por edhe pavërtetësinë e një gjykimi të caktuar, pra të vërtetojë edhe vetë gjykimin edhe mohimin e tij. Me fjalë të tjera, paradoks- këto janë dy pohime të kundërta, të papajtueshme, për secilën prej të cilave ka argumente në dukje bindëse.

U regjistrua një nga paradokset e para dhe, natyrisht, shembullore Eubulide- Poet dhe filozof grek, Kretan. Paradoksi quhet "Gënjeshtar". Ky paradoks na ka ardhur në këtë formë: “Epimenidi pretendon se të gjithë Kretasit janë gënjeshtarë. Nëse ai thotë të vërtetën, atëherë ai gënjen. Ai gënjen apo thotë të vërtetën? Ky paradoks quhet "mbreti i paradokseve logjike". Deri më sot, askush nuk ka mundur ta zgjidhë atë. Thelbi i këtij paradoksi është se kur një person thotë: "Unë po gënjej", ai as nuk gënjen dhe as nuk thotë të vërtetën, por, më saktë, i bën të dyja në të njëjtën kohë. Me fjalë të tjera, nëse supozojmë se një person po thotë të vërtetën, rezulton se ai në të vërtetë gënjen, dhe nëse gënjen, do të thotë se ai e ka thënë të vërtetën për të më parë. Të dy faktet kontradiktore janë deklaruar këtu. Sigurisht, sipas ligjit të mesit të përjashtuar, kjo është e pamundur, por kjo është arsyeja pse ky paradoks mori një "titull" kaq të lartë.

Në zhvillimin e teorisë së hapësirës dhe kohës, një kontribut të madh dhanë banorët e qytetit Elea, Eleatikët. Ata u mbështetën në idenë e pamundësisë së mosekzistencës, që i përket Parmenidi.Çdo mendim sipas kësaj ideje është një mendim për atë që ekziston. Në të njëjtën kohë, çdo lëvizje u mohua: hapësira botërore konsiderohej integrale, bota ishte një, pa pjesë.

Filozof i lashtë grek Zenoni i Eleas i njohur për kompozimin e një sërë paradoksesh për pafundësinë - e ashtuquajtura aporia e Zenonit.

Zenoni, student i Parmenidit, zhvilloi këto ide, për të cilat u thirr Aristoteli"themeluesi i dialektikës". Dialektika u kuptua si arti i arritjes së së vërtetës në një mosmarrëveshje duke identifikuar kontradiktat në gjykimin e kundërshtarit dhe duke i shkatërruar ato.

"Akili dhe breshka" përfaqëson një apori rreth lëvizjes. Siç e dini, Akili është një hero i lashtë grek. Ai kishte aftësi të jashtëzakonshme në sport. Breshka është një kafshë shumë e ngadaltë. Megjithatë, në aporia, Akili humbet një garë me breshkën. Le të themi se Akilit duhet të vrapojë një distancë të barabartë me 1, dhe ai vrapon dy herë më shpejt se breshka, kjo e fundit duhet të vrapojë 1/2. Lëvizja e tyre fillon njëkohësisht. Rezulton se, pasi kishte vrapuar një distancë prej 1/2, Akili do të zbulojë se breshka arriti të mbulonte një distancë prej 1/4 në të njëjtën kohë. Sado që Akili të përpiqet të kapërcejë breshkën, ajo do të jetë saktësisht 1/2 përpara. Prandaj, Akili nuk është i destinuar të arrijë breshkën, kjo lëvizje është e përjetshme, nuk mund të përfundojë.

Pamundësia për të përfunduar këtë sekuencë është se i mungon elementi i fundit. Çdo herë, duke treguar anëtarin tjetër të sekuencës, ne mund të vazhdojmë duke treguar atë tjetër.

Paradoksi këtu qëndron në faktin se sekuenca e pafundme e ngjarjeve të njëpasnjëshme duhet të përfundojë në të vërtetë, edhe nëse nuk mund ta imagjinonim këtë fund.

Një tjetër aporia quhet "dikotomia". Arsyetimi bazohet në të njëjtat parime si ai i mëparshmi. Për të shkuar deri në fund, duhet të shkoni në gjysmë të rrugës. Në këtë rast, gjysma e rrugës bëhet shteg, dhe për ta kaluar atë, është e nevojshme të matni gjysmën (d.m.th., tashmë gjysmën e gjysmës). Kjo vazhdon deri në pafundësi.

Këtu rendi i ndodhjes është përmbysur në krahasim me aporinë e mëparshme, pra (1/2)n..., (1/2)3, (1/2)2, (1/2)1. Seriali këtu nuk ka pikë të parë, ndërsa aporia “Akili dhe Breshka” nuk ka pasur të fundit.

Nga kjo aporia nxirret përfundimi se lëvizja nuk mund të fillojë. Bazuar në aporiat e konsideruara, lëvizja nuk mund të përfundojë dhe nuk mund të fillojë. Kjo do të thotë se ai është larguar.

Përgënjeshtrimi i aporisë "Akili dhe Breshka".

Ashtu si në aporia, në përgënjeshtrimin e saj shfaqet Akili, por jo një, por dy breshka. Njëra prej tyre është më afër se tjetra. Lëvizja gjithashtu fillon në të njëjtën kohë. Akili vrapon i fundit. Gjatë kohës që Akili kalon distancën që i ndan në fillim, breshka më e afërt do të ketë kohë të zvarritet disi përpara, e cila do të vazhdojë pafundësisht. Akili do t'i afrohet gjithnjë e më shumë breshkës, por kurrë nuk do të jetë në gjendje ta arrijë atë. Megjithë falsitetin e dukshëm, nuk ka asnjë përgënjeshtrim logjik të një deklarate të tillë. Sidoqoftë, nëse Akili fillon të arrijë me breshkën e largët, duke mos i kushtuar vëmendje asaj afër, ai, sipas të njëjtës aporia, do të jetë në gjendje t'i afrohet asaj. Dhe nëse po, atëherë ai do të kapërcejë breshkën më të afërt.

Kjo çon në një kontradiktë logjike.

Për të hedhur poshtë përgënjeshtrimin, pra për të mbrojtur aporinë, që në vetvete është e çuditshme, ata propozojnë të hedhin tutje barrën e ideve figurative. Dhe zbuloni thelbin formal të çështjes. Këtu duhet thënë se vetë aporia bazohet në ide figurative dhe t'i refuzosh ato do të thotë ta përgënjeshtrosh edhe atë. Dhe përgënjeshtrimi është mjaft formal. Fakti që në vend të njërës në përgënjeshtrim ka dy breshka, nuk e bën atë më figurative se një aporia. Në përgjithësi, është e vështirë të flitet për koncepte që nuk bazohen në ide figurative. Edhe koncepte të tilla shumë abstrakte filozofike si qenia, vetëdija dhe të tjerat kuptohen vetëm falë imazheve që u korrespondojnë. Pa imazhin pas fjalës, kjo e fundit do të mbetej vetëm një grup simbolesh dhe tingujsh.

Fazat nënkuptojnë ekzistencën e segmenteve të pandashme në hapësirë ​​dhe lëvizjen e objekteve në të. Kjo aporia bazohet në ato të mëparshmet. Merrni një rresht të palëvizshëm objektesh dhe dy që lëvizin drejt njëri-tjetrit. Për më tepër, çdo rresht lëvizës në raport me rreshtin jolëvizës kalon vetëm një segment për njësi të kohës. Megjithatë, në lidhje me lëvizjen një - dy. E cila konsiderohet kontradiktore. Thuhet gjithashtu se në pozicionin e ndërmjetëm (kur një rresht tashmë ka lëvizur, por tjetri jo) nuk ka vend për një rresht të palëvizshëm. Pozicioni i ndërmjetëm lind nga fakti se segmentet janë të pandashëm dhe lëvizja, edhe nëse fillon në të njëjtën kohë, duhet të kalojë në një fazë të ndërmjetme kur vlera e parë e një rreshti lëvizës përkon me vlerën e dytë të së dytës (lëvizja nën gjendja e pandashmërisë së segmenteve nuk ka butësi). Gjendja e pushimit është kur vlerat e dyta të të gjitha serive përkojnë. Një rresht i palëvizshëm, nëse supozojmë lëvizjen e njëkohshme të rreshtave, duhet të jetë në një pozicion të ndërmjetëm midis rreshtave në lëvizje, por kjo është e pamundur, pasi segmentet janë të pandashëm.

1. Sofizmi. Koncepti, shembuj Duke e zgjeruar këtë çështje, duhet thënë se çdo sofizëm është një gabim. Paralogjizmat dallohen edhe në logjikë. Dallimi midis këtyre dy llojeve të gabimeve është se i pari (sofizmi) është bërë qëllimisht, ndërsa i dyti (paralogizmi) është bërë rastësisht.