Shembuj të sistemit të ekuacioneve. Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur shtimin

Materiali në këtë artikull ka për qëllim një njohje të parë me sistemet e ekuacioneve. Këtu do të prezantojmë përkufizimin e një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhjet e tij, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë llojet më të zakonshme të sistemeve të ekuacioneve. Si zakonisht, ne do të japim shembuj shpjegues.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një sistem ekuacionesh?

Përkufizimit të sistemit të ekuacioneve do t'i qasemi gradualisht. Së pari, le të themi se është e përshtatshme për ta dhënë atë, duke treguar dy pika: së pari, llojin e regjistrimit dhe, së dyti, kuptimin e ngulitur në këtë regjistrim. Le t'i shikojmë ato me radhë, dhe pastaj ta përgjithësojmë arsyetimin në përkufizimin e sistemeve të ekuacioneve.

Le të kemi disa prej tyre para nesh. Për shembull, le të marrim dy ekuacione 2 x+y=−3 dhe x=5. Le t'i shkruajmë njëra poshtë tjetrës dhe t'i kombinojmë në të majtë me një mbajtës kaçurrelë:

Regjistrimet e këtij lloji, të cilat janë disa ekuacione të renditura në një kolonë dhe të bashkuara në të majtë nga një mbajtës kaçurrelë, janë regjistrime të sistemeve të ekuacioneve.

Çfarë nënkuptojnë hyrje të tilla? Ata përcaktojnë grupin e të gjitha zgjidhjeve të tilla për ekuacionet e sistemit që janë një zgjidhje për çdo ekuacion.

Nuk do të ishte keq ta përshkruajmë me fjalë të tjera. Le të supozojmë se disa zgjidhje të ekuacionit të parë janë zgjidhje për të gjitha ekuacionet e tjera të sistemit. Pra, të dhënat e sistemit i nënkuptojnë vetëm ato.

Tani jemi gati të pranojmë në mënyrë adekuate përkufizimin e një sistemi ekuacionesh.

Përkufizimi.

Sistemet e ekuacioneve thirrni rekorde që janë ekuacione të vendosura njëra poshtë tjetrës, të bashkuara në të majtë nga një mbajtës kaçurrelë, që tregojnë grupin e të gjitha zgjidhjeve të ekuacioneve që janë gjithashtu zgjidhje për çdo ekuacion të sistemit.

Një përkufizim i ngjashëm është dhënë në tekstin shkollor, megjithatë, ai jepet atje jo për rastin e përgjithshëm, por për dy ekuacione racionale me dy ndryshore.

Llojet kryesore

Është e qartë se ka një numër të pafund ekuacionesh të ndryshme. Natyrisht, ka gjithashtu një numër të pafund sistemesh ekuacionesh të përpiluara duke përdorur ato. Prandaj, për lehtësinë e studimit dhe punës me sistemet e ekuacioneve, ka kuptim t'i ndajmë ato në grupe sipas karakteristikave të ngjashme, dhe më pas të kalojmë në shqyrtimin e sistemeve të ekuacioneve të llojeve individuale.

Ndarja e parë sugjeron veten nga numri i ekuacioneve të përfshira në sistem. Nëse ka dy ekuacione, atëherë mund të themi se kemi një sistem prej dy ekuacionesh, nëse janë tre, atëherë një sistem prej tre ekuacionesh, etj. Është e qartë se nuk ka kuptim të flasim për një sistem të një ekuacioni, pasi në këtë rast, në thelb, kemi të bëjmë me vetë ekuacionin, dhe jo me sistemin.

Ndarja tjetër bazohet në numrin e variablave të përfshirë në shkrimin e ekuacioneve të sistemit. Nëse është një ndryshore, atëherë kemi të bëjmë me një sistem ekuacionesh me një ndryshore (thonë edhe me një të panjohur), nëse janë dy, atëherë me një sistem ekuacionesh me dy ndryshore (me dy të panjohura) etj. Për shembull, është një sistem ekuacionesh me dy ndryshore x dhe y.

Kjo i referohet numrit të të gjitha variablave të ndryshëm të përfshirë në regjistrim. Ata nuk duhet të përfshihen të gjithë në të dhënat e secilit ekuacion menjëherë; Për shembull, është një sistem ekuacionesh me tre ndryshore x, y dhe z. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x është e pranishme në mënyrë eksplicite, dhe y dhe z janë të nënkuptuar (mund të supozojmë se këto ndryshore kanë zero), dhe në ekuacionin e dytë janë x dhe z, por ndryshorja y nuk është paraqitur në mënyrë eksplicite. Me fjalë të tjera, ekuacioni i parë mund të shihet si , dhe e dyta – si x+0·y−3·z=0.

Pika e tretë në të cilën ndryshojnë sistemet e ekuacioneve është vetë lloji i ekuacioneve.

Në shkollë, studimi i sistemeve të ekuacioneve fillon me sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy ndryshore. Domethënë, sisteme të tilla përbëjnë dy ekuacione lineare. Këtu janë disa shembuj: Dhe . Ata mësojnë bazat e punës me sistemet e ekuacioneve.

Kur zgjidhni probleme më komplekse, mund të hasni edhe sisteme me tre ekuacione lineare me tre të panjohura.

Më tej në klasën e 9-të, ekuacionet jolineare u shtohen sistemeve të dy ekuacioneve me dy ndryshore, kryesisht ekuacione të tëra të shkallës së dytë, më rrallë - shkallë më të larta. Këto sisteme quhen sisteme ekuacionesh jolineare, nëse është e nevojshme, specifikohet numri i ekuacioneve dhe të panjohurave; Le të tregojmë shembuj të sistemeve të tilla të ekuacioneve jolineare: Dhe .

Dhe pastaj në sisteme ka gjithashtu, për shembull, . Zakonisht quhen thjesht sisteme ekuacionesh, pa specifikuar se cilat ekuacione. Vlen të përmendet këtu se më shpesh ata thjesht thonë "sistem ekuacionesh" për një sistem ekuacionesh, dhe sqarimet shtohen vetëm nëse është e nevojshme.

Në shkollën e mesme, ndërsa studiohet materiali, ekuacionet iracionale, trigonometrike, logaritmike dhe eksponenciale depërtojnë në sistemet: , , .

Nëse shikojmë edhe më tej në kurrikulën universitare të vitit të parë, theksi kryesor është në studimin dhe zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAEs), pra ekuacioneve në të cilat anët e majta përmbajnë polinome të shkallës së parë, dhe anët e djathta përmbajnë numra të caktuar. Por atje, ndryshe nga shkolla, nuk marrin më dy ekuacione lineare me dy ndryshore, por një numër arbitrar ekuacionesh me një numër arbitrar ndryshoresh, që shpesh nuk përputhet me numrin e ekuacioneve.

Cila është zgjidhja e një sistemi ekuacionesh?

Termi "zgjidhje e një sistemi ekuacionesh" i referohet drejtpërdrejt sistemeve të ekuacioneve. Në shkollë jepet përkufizimi i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore :

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore quhet një çift vlerash të këtyre variablave që e kthen çdo ekuacion të sistemit në të saktë, me fjalë të tjera, është një zgjidhje për çdo ekuacion të sistemit.

Për shembull, një palë vlerash të ndryshueshme x=5, y=2 (mund të shkruhet si (5, 2)) është një zgjidhje për një sistem ekuacionesh sipas përkufizimit, pasi ekuacionet e sistemit, kur x= 5, y=2 zëvendësohen në to, kthehen në barazime numerike të sakta përkatësisht 5+2=7 dhe 5−2=3. Por çifti i vlerave x=3, y=0 nuk është zgjidhje për këtë sistem, pasi me zëvendësimin e këtyre vlerave në ekuacione, e para prej tyre do të kthehet në barazinë e pasaktë 3+0=7.

Përkufizime të ngjashme mund të formulohen për sistemet me një ndryshore, si dhe për sistemet me tre, katër, etj. variablave.

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me një ndryshore do të ketë një vlerë të ndryshores që është rrënja e të gjitha ekuacioneve të sistemit, domethënë, duke i kthyer të gjitha ekuacionet në barazi numerike të sakta.

Le të japim një shembull. Konsideroni një sistem ekuacionesh me një ndryshore t të formës . Numri −2 është zgjidhja e tij, pasi që të dyja (−2) 2 =4 dhe 5·(−2+2)=0 janë barazi të vërteta numerike. Dhe t=1 nuk është zgjidhje e sistemit, pasi zëvendësimi i kësaj vlere do të japë dy barazi të pasakta 1 2 =4 dhe 5·(1+2)=0.

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi me tre, katër etj. variablave quhen tre, katër, etj. vlerat e variablave, përkatësisht, duke i kthyer të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi të vërteta.

Pra, sipas definicionit, një trefish i vlerave të ndryshoreve x=1, y=2, z=0 është një zgjidhje për sistemin , meqenëse 2·1=2, 5·2=10 dhe 1+2+0=3 janë barazi të vërteta numerike. Dhe (1, 0, 5) nuk është zgjidhje për këtë sistem, pasi kur zëvendësohen këto vlera të ndryshoreve në ekuacionet e sistemit, e dyta prej tyre kthehet në barazinë e gabuar 5·0=10, dhe edhe e treta 1+0+5=3.

Vini re se sistemet e ekuacioneve mund të mos kenë zgjidhje, mund të kenë një numër të kufizuar zgjidhjesh, për shembull, një, dy, ..., ose mund të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Këtë do ta shihni ndërsa futeni më thellë në temë.

Duke marrë parasysh përkufizimet e një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhjet e tyre, mund të konkludojmë se zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është kryqëzimi i grupeve të zgjidhjeve të të gjitha ekuacioneve të tij.

Për të përfunduar, këtu janë disa përkufizime të lidhura:

Përkufizimi.

jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje, ndryshe quhet sistemi të përbashkët.

Përkufizimi.

Sistemi i ekuacioneve quhet i pasigurt, nëse ka pafundësisht shumë zgjidhje, dhe të caktuara, nëse ka një numër të kufizuar zgjidhjesh ose nuk i ka fare.

Këto terma futen, për shembull, në një libër shkollor, por përdoren mjaft rrallë në shkollë, ato dëgjohen më shpesh në institucionet e arsimit të lartë.

Referencat.

1. Algjebra: teksti shkollor për klasën e 7-të arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 17-të, shto. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 f.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 9-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 13-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 f.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. klasa e 11-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i dytë, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 f.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ISBN 5-09-013651.
7. A. G. Kurosh. Kursi i lartë i algjebrës.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Gjeometria analitike: Libër mësuesi: Për universitetet. - Ed. 5. - M.: Shkencë. Fizmatlit, 1999. – 224 f. – (Kursi i matematikës së lartë dhe fizikës matematikore). – ISBN 5-02-015234 – X (Çështja 3)

Në këtë mësim do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare. Në një kurs të matematikës më të lartë, sistemet e ekuacioneve lineare kërkohet të zgjidhen si në formën e detyrave të veçanta, për shembull, "Zgjidhni sistemin duke përdorur formulat e Cramer" dhe gjatë zgjidhjes së problemeve të tjera. Sistemet e ekuacioneve lineare duhet të trajtohen pothuajse në të gjitha degët e matematikës së lartë.

Së pari, një teori e vogël. Çfarë do të thotë fjala matematikore "lineare" në këtë rast? Kjo do të thotë se ekuacionet e sistemit Të gjitha variablat e përfshirë në shkallën e parë: pa ndonjë gjë të zbukuruar si etj., me të cilat kënaqen vetëm pjesëmarrësit në olimpiadat e matematikës.

Në matematikën e lartë, jo vetëm shkronjat e njohura nga fëmijëria përdoren për të treguar variabla.
Një opsion mjaft i popullarizuar janë variablat me indekse: .
Ose shkronjat fillestare të alfabetit latin, të vogla dhe të mëdha:
Nuk është aq e rrallë të gjesh shkronja greke: - të njohura për shumë si "alfa, beta, gama". Dhe gjithashtu një grup me indekse, të themi, me shkronjën "mu":

Përdorimi i një ose një grupi tjetër shkronjash varet nga seksioni i matematikës më të lartë në të cilin përballemi me një sistem ekuacionesh lineare. Kështu, për shembull, në sistemet e ekuacioneve lineare që hasen gjatë zgjidhjes së integraleve dhe ekuacioneve diferenciale, është tradicionale të përdoret shënimi

Por, pavarësisht se si përcaktohen variablat, parimet, metodat dhe metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare nuk ndryshojnë. Kështu, nëse hasni diçka të frikshme si , mos nxitoni të mbyllni librin e problemeve me frikë, në fund të fundit, në vend të kësaj mund të vizatoni diellin, në vend të tij një zog dhe në vend të kësaj një fytyrë (mësuesin). Dhe, sado qesharake të duket, një sistem ekuacionesh lineare me këto shënime gjithashtu mund të zgjidhet.

Kam një ndjenjë që artikulli do të dalë mjaft i gjatë, kështu që një tabelë e vogël përmbajtjesh. Pra, "debriefing" vijues do të jetë si ky:

– Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit (“metoda e shkollës”);
– Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit;
– Zgjidhja e sistemit duke përdorur formulat e Cramer;
– Zgjidhja e sistemit duke përdorur një matricë inverse;
– Zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën Gaussian.

Të gjithë janë të njohur me sistemet e ekuacioneve lineare nga kurset e matematikës shkollore. Në thelb, ne fillojmë me përsëritjen.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit

Kjo metodë mund të quhet edhe "metoda e shkollës" ose metoda e eliminimit të të panjohurave. Në mënyrë figurative, ajo mund të quhet gjithashtu "një metodë e papërfunduar Gaussian".

Shembulli 1

Këtu na jepet një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura. Vini re se termat e lirë (numrat 5 dhe 7) ndodhen në anën e majtë të ekuacionit. Në përgjithësi, nuk ka rëndësi se ku janë, në të majtë apo në të djathtë, thjesht në problemet në matematikën e lartë ato shpesh vendosen në atë mënyrë. Dhe një regjistrim i tillë nuk duhet të çojë në konfuzion nëse është e nevojshme, sistemi mund të shkruhet gjithmonë "si zakonisht": . Mos harroni se kur zhvendosni një term nga një pjesë në tjetrën, ai duhet të ndryshojë shenjën e tij.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh lineare? Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh nënkupton gjetjen e shumë prej zgjidhjeve të tij. Zgjidhja e një sistemi është një grup vlerash të të gjitha ndryshoreve të përfshira në të, që e kthen CDO ekuacion të sistemit në një barazi të vërtetë. Përveç kësaj, sistemi mund të jetë jo të përbashkët (nuk ka zgjidhje).Mos ki turp, ky është një përkufizim i përgjithshëm =) Do të kemi vetëm një vlerë “x” dhe një vlerë “y”, të cilat plotësojnë çdo ekuacion c-we.

Ekziston një metodë grafike për zgjidhjen e sistemit, me të cilën mund të njiheni në klasë. Problemet më të thjeshta me një linjë. Aty fola për kuptimi gjeometrik sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy të panjohura. Por tani kjo është epoka e algjebrës, dhe numrat-numrat, veprimet-veprimet.

Le të vendosim: nga ekuacioni i parë shprehim:
Ne e zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionin e dytë:

Ne hapim kllapat, shtojmë terma të ngjashëm dhe gjejmë vlerën:

Më pas, kujtojmë se për çfarë kemi kërcyer:
Ne tashmë e dimë vlerën, gjithçka që mbetet është të gjejmë:

Përgjigju:

Pasi NDONJE sistem ekuacionesh të jetë zgjidhur në ÇDO mënyre, unë rekomandoj fuqimisht kontrollimin (me gojë, në një draft ose në një kalkulator). Për fat të mirë, kjo bëhet lehtësisht dhe shpejt.

1) Zëvendësoni përgjigjen e gjetur në ekuacionin e parë:

– fitohet barazia e saktë.

2) Zëvendësoni përgjigjen e gjetur në ekuacionin e dytë:

– fitohet barazia e saktë.

Ose, për ta thënë më thjesht, "gjithçka u bashkua"

Metoda e konsideruar e zgjidhjes nuk është e vetmja që nga ekuacioni i parë ishte e mundur të shprehej , dhe jo .
Ju mund të bëni të kundërtën - shprehni diçka nga ekuacioni i dytë dhe zëvendësoni atë në ekuacionin e parë. Nga rruga, vini re se më e pafavorshme nga katër metodat është të shprehet nga ekuacioni i dytë:

Rezultati është thyesa, por pse? Ekziston një zgjidhje më racionale.

Sidoqoftë, në disa raste ende nuk mund të bësh pa fraksione. Në lidhje me këtë, do të doja të tërhiqja vëmendjen se SI e shkrova shprehjen. Jo si kjo: dhe në asnjë rast si kjo: .

Nëse në matematikën e lartë keni të bëni me numra thyesorë, atëherë përpiquni t'i kryeni të gjitha llogaritjet në thyesa të zakonshme të pahijshme.

Pikërisht, dhe jo ose!

Një presje mund të përdoret vetëm ndonjëherë, veçanërisht nëse është përgjigja përfundimtare për ndonjë problem dhe nuk ka nevojë të kryhen veprime të mëtejshme me këtë numër.

Shumë lexues ndoshta menduan "pse një shpjegim kaq i hollësishëm si për një klasë korrigjimi, gjithçka është e qartë". Asgjë e tillë, duket si një shembull kaq i thjeshtë shkollor, por ka kaq shumë përfundime SHUMË të rëndësishme! Këtu është një tjetër:

Ju duhet të përpiqeni të përfundoni çdo detyrë në mënyrën më racionale. Nëse vetëm sepse kursen kohë dhe nerva, dhe gjithashtu zvogëlon gjasat për të bërë një gabim.

Nëse në një problem të matematikës më të lartë hasni në një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura, atëherë gjithmonë mund të përdorni metodën e zëvendësimit (përveç nëse tregohet se sistemi duhet të zgjidhet me një metodë tjetër se ju jeni pinjoll dhe do të ulë notën tuaj për përdorimin e "metodës së shkollës" "
Për më tepër, në disa raste këshillohet përdorimi i metodës së zëvendësimit me një numër më të madh variablash.

Shembulli 2

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare me tre të panjohura

Një sistem i ngjashëm ekuacionesh shpesh lind kur përdoret e ashtuquajtura metodë e koeficientëve të pacaktuar, kur gjejmë integralin e një funksioni racional të pjesshëm. Sistemi në fjalë është marrë prej andej nga unë.

Kur gjendet integrali, qëllimi është shpejtë gjeni vlerat e koeficientëve, në vend që të përdorni formulat e Cramer-it, metodën e matricës së kundërt, etj. Prandaj, në këtë rast, metoda e zëvendësimit është e përshtatshme.

Kur jepet ndonjë sistem ekuacionesh, para së gjithash është e dëshirueshme të zbulohet nëse është e mundur që disi të thjeshtohet MENJËHERË? Duke analizuar ekuacionet e sistemit, vërejmë se ekuacioni i dytë i sistemit mund të pjesëtohet me 2, gjë që bëjmë:

Referenca: shenja matematikore do të thotë "nga kjo rrjedh se" dhe përdoret shpesh në zgjidhjen e problemeve.

Tani le të analizojmë ekuacionet që duhet të shprehim disa ndryshore në terma të të tjerëve. Cilin ekuacion duhet të zgjedh? Ju ndoshta keni menduar tashmë se mënyra më e lehtë për këtë qëllim është të merrni ekuacionin e parë të sistemit:

Këtu, pavarësisht se çfarë variabli të shprehet, mund të shprehet po aq lehtë ose .

Më pas, ne e zëvendësojmë shprehjen në ekuacionin e dytë dhe të tretë të sistemit:

Ne hapim kllapat dhe paraqesim terma të ngjashëm:

Pjestojeni ekuacionin e tretë me 2:

Nga ekuacioni i dytë shprehim dhe zëvendësojmë në ekuacionin e tretë:

Pothuajse gjithçka është gati, nga ekuacioni i tretë gjejmë:
Nga ekuacioni i dytë:
Nga ekuacioni i parë:

Kontrolloni: Zëvendësoni vlerat e gjetura të variablave në anën e majtë të secilit ekuacion të sistemit:

1)
2)
3)

Janë marrë anët përkatëse të djathta të ekuacioneve, kështu që zgjidhja është gjetur saktë.

Shembulli 3

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare me 4 të panjohura

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit

Kur zgjidhni sistemet e ekuacioneve lineare, duhet të përpiqeni të përdorni jo "metodën e shkollës", por metodën e mbledhjes (zbritjes) term pas termi të ekuacioneve të sistemit. Pse? Kjo kursen kohë dhe thjeshton llogaritjet, megjithatë, tani gjithçka do të bëhet më e qartë.

Shembulli 4

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare:

Mora të njëjtin sistem si në shembullin e parë.
Duke analizuar sistemin e ekuacioneve, vërejmë se koeficientët e ndryshores janë identikë në madhësi dhe të kundërta në shenjë (–1 dhe 1). Në një situatë të tillë, ekuacionet mund të shtohen term pas termi:

Veprimet e rrethuara me të kuqe kryhen MENDERISHT.
Siç mund ta shihni, si rezultat i mbledhjes term pas termi, ne humbëm variablin. Kjo, në fakt, është ajo që thelbi i metodës është të heqësh qafe një nga variablat.

Më e besueshme se metoda grafike e diskutuar në paragrafin e mëparshëm.

Metoda e zëvendësimit

Ne e përdorëm këtë metodë në klasën e 7-të për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare. Algoritmi që u zhvillua në klasën e 7-të është mjaft i përshtatshëm për zgjidhjen e sistemeve të çdo dy ekuacionesh (jo domosdoshmërisht lineare) me dy ndryshore x dhe y (natyrisht, variablat mund të caktohen me shkronja të tjera, gjë që nuk ka rëndësi). Në fakt, ne e përdorëm këtë algoritëm në paragrafin e mëparshëm, kur problemi i një numri dyshifror çoi në një model matematikor, i cili është një sistem ekuacionesh. Ne e zgjidhëm këtë sistem ekuacionesh të mësipërme duke përdorur metodën e zëvendësimit (shih shembullin 1 nga § 4).

Një algoritëm për përdorimin e metodës së zëvendësimit gjatë zgjidhjes së një sistemi me dy ekuacione me dy ndryshore x, y.

1. Shprehni y në terma x nga një ekuacion i sistemit.
2. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në vend të y në një ekuacion tjetër të sistemit.
3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton për x.
4. Zëvendësoni me radhë secilën prej rrënjëve të ekuacionit të gjetur në hapin e tretë në vend të x në shprehjen y përmes x të marrë në hapin e parë.
5. Shkruani përgjigjen në formën e çifteve të vlerave (x; y), të cilat u gjetën përkatësisht në hapin e tretë dhe të katërt.

4) Zëvendësoni një nga një secilën nga vlerat e gjetura të y në formulën x = 5 - 3. Nëse atëherë
5) Çiftet (2; 1) dhe zgjidhjet e një sistemi të caktuar ekuacionesh.

Përgjigje: (2; 1);

Metoda e mbledhjes algjebrike

Kjo metodë, si metoda e zëvendësimit, është e njohur për ju nga kursi i algjebrës së klasës së 7-të, ku u përdor për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Le të kujtojmë thelbin e metodës duke përdorur shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 2. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Le të shumëzojmë të gjithë termat e ekuacionit të parë të sistemit me 3, dhe ekuacionin e dytë ta lëmë të pandryshuar:
Zbrisni ekuacionin e dytë të sistemit nga ekuacioni i parë i tij:

Si rezultat i mbledhjes algjebrike të dy ekuacioneve të sistemit origjinal, u përftua një ekuacion që ishte më i thjeshtë se ekuacioni i parë dhe i dytë i sistemit të caktuar. Me këtë ekuacion më të thjeshtë kemi të drejtë të zëvendësojmë çdo ekuacion të një sistemi të caktuar, për shembull të dytin. Atëherë sistemi i dhënë i ekuacioneve do të zëvendësohet nga një sistem më i thjeshtë:

Ky sistem mund të zgjidhet duke përdorur metodën e zëvendësimit. Nga ekuacioni i dytë gjejmë duke zëvendësuar këtë shprehje në vend të y në ekuacionin e parë të sistemit

Mbetet për të zëvendësuar vlerat e gjetura të x në formulë

Nëse x = 2 atëherë

Kështu, ne gjetëm dy zgjidhje për sistemin:

Metoda për futjen e variablave të rinj

Ju u njohët me metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re gjatë zgjidhjes së ekuacioneve racionale me një ndryshore në lëndën e algjebrës së klasës së 8-të. Thelbi i kësaj metode për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve është i njëjtë, por nga pikëpamja teknike ka disa veçori që do t'i diskutojmë në shembujt e mëposhtëm.

Shembulli 3. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Le të prezantojmë një ndryshore të re Më pas ekuacioni i parë i sistemit mund të rishkruhet në një formë më të thjeshtë: Le ta zgjidhim këtë ekuacion në lidhje me ndryshoren t.

Të dyja këto vlera plotësojnë kushtin dhe për këtë arsye janë rrënjët e një ekuacioni racional me ndryshoren t. Por kjo do të thotë ose ku gjejmë se x = 2y, ose
Kështu, duke përdorur metodën e futjes së një ndryshoreje të re, arritëm të "shtresojmë" ekuacionin e parë të sistemit, i cili ishte mjaft kompleks në dukje, në dy ekuacione më të thjeshta:

x = 2 y; y - 2x.

Çfarë është më pas? Dhe pastaj secili nga dy ekuacionet e thjeshta të marra duhet të konsiderohet me radhë në një sistem me ekuacionin x 2 - y 2 = 3, të cilin ende nuk e kemi mbajtur mend. Me fjalë të tjera, problemi zbret në zgjidhjen e dy sistemeve të ekuacioneve:

Ne duhet të gjejmë zgjidhje për sistemin e parë, sistemin e dytë dhe të përfshijmë të gjitha çiftet e vlerave që rezultojnë në përgjigje. Le të zgjidhim sistemin e parë të ekuacioneve:

Le të përdorim metodën e zëvendësimit, veçanërisht pasi këtu gjithçka është gati për të: le të zëvendësojmë shprehjen 2y në vend të x në ekuacionin e dytë të sistemit. marrim

Meqenëse x = 2y, gjejmë, përkatësisht, x 1 = 2, x 2 = 2. Kështu, fitohen dy zgjidhje të sistemit të dhënë: (2; 1) dhe (-2; -1). Le të zgjidhim sistemin e dytë të ekuacioneve:

Le të përdorim përsëri metodën e zëvendësimit: zëvendësojmë shprehjen 2x në vend të y në ekuacionin e dytë të sistemit. marrim

Ky ekuacion nuk ka rrënjë, që do të thotë se sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje. Kështu, vetëm zgjidhjet e sistemit të parë duhet të përfshihen në përgjigje.

Përgjigje: (2; 1); (-2;-1).

Metoda e prezantimit të ndryshoreve të reja gjatë zgjidhjes së sistemeve të dy ekuacioneve me dy variabla përdoret në dy versione. Opsioni i parë: një ndryshore e re futet dhe përdoret vetëm në një ekuacion të sistemit. Kjo është pikërisht ajo që ndodhi në shembullin 3. Opsioni i dytë: dy ndryshore të reja futen dhe përdoren njëkohësisht në të dy ekuacionet e sistemit. Ky do të jetë rasti në shembullin 4.

Shembulli 4. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Le të prezantojmë dy variabla të rinj:

Le ta kemi parasysh atë atëherë

Kjo do t'ju lejojë të rishkruani sistemin e dhënë në një formë shumë më të thjeshtë, por në lidhje me variablat e rinj a dhe b:

Meqenëse a = 1, atëherë nga ekuacioni a + 6 = 2 gjejmë: 1 + 6 = 2; 6=1. Kështu, në lidhje me variablat a dhe b, kemi marrë një zgjidhje:

Duke u kthyer te ndryshoret x dhe y, marrim një sistem ekuacionesh

Le të zbatojmë metodën e mbledhjes algjebrike për të zgjidhur këtë sistem:

Që atëherë nga ekuacioni 2x + y = 3 gjejmë:
Kështu, në lidhje me variablat x dhe y, kemi marrë një zgjidhje:

Le ta mbyllim këtë paragraf me një bisedë të shkurtër, por mjaft serioze teorike. Ju keni fituar tashmë një përvojë në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme: lineare, kuadratike, racionale, irracionale. Ju e dini që ideja kryesore e zgjidhjes së një ekuacioni është kalimi gradualisht nga një ekuacion në tjetrin, më i thjeshtë, por i barabartë me atë të dhënë. Në paragrafin e mëparshëm kemi prezantuar konceptin e ekuivalencës për ekuacionet me dy variabla. Ky koncept përdoret gjithashtu për sistemet e ekuacioneve.

Përkufizimi.

Dy sisteme ekuacionesh me ndryshore x dhe y quhen ekuivalente nëse kanë zgjidhje të njëjta ose nëse të dy sistemet nuk kanë zgjidhje.

Të tre metodat (zëvendësimi, mbledhja algjebrike dhe futja e ndryshoreve të reja) që diskutuam në këtë pjesë janë absolutisht të sakta nga pikëpamja e ekuivalencës. Me fjalë të tjera, duke përdorur këto metoda, ne zëvendësojmë një sistem ekuacionesh me një tjetër, më të thjeshtë, por ekuivalent me sistemin origjinal.

Metoda grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Ne kemi mësuar tashmë se si të zgjidhim sistemet e ekuacioneve në mënyra të tilla të zakonshme dhe të besueshme si metoda e zëvendësimit, shtimi algjebrik dhe futja e ndryshoreve të reja. Tani le të kujtojmë metodën që keni studiuar tashmë në mësimin e mëparshëm. Kjo do të thotë, le të përsërisim atë që dini për metodën e zgjidhjes grafike.

Metoda e zgjidhjes grafike të sistemeve të ekuacioneve përfshin ndërtimin e një grafiku për secilin prej ekuacioneve specifike që përfshihen në një sistem të caktuar dhe ndodhen në të njëjtin plan koordinativ, si dhe aty ku është e nevojshme të gjenden kryqëzimet e pikave të këtyre. grafikët. Për të zgjidhur këtë sistem ekuacionesh janë koordinatat e kësaj pike (x; y).

Duhet mbajtur mend se është e zakonshme që një sistem grafik ekuacionesh të ketë ose një zgjidhje të vetme të saktë, ose një numër të pafund zgjidhjesh, ose të mos ketë fare zgjidhje.

Tani le të shohim secilën nga këto zgjidhje në më shumë detaje. Dhe kështu, një sistem ekuacionesh mund të ketë një zgjidhje unike nëse linjat që janë grafikët e ekuacioneve të sistemit kryqëzohen. Nëse këto drejtëza janë paralele, atëherë një sistem i tillë ekuacionesh nuk ka absolutisht zgjidhje. Nëse grafikët e drejtpërdrejtë të ekuacioneve të sistemit përkojnë, atëherë një sistem i tillë lejon që dikush të gjejë shumë zgjidhje.

Epo, tani le të shohim algoritmin për zgjidhjen e një sistemi prej dy ekuacionesh me 2 të panjohura duke përdorur metodën grafike:

Së pari, së pari ndërtojmë një grafik të ekuacionit të 1-rë;
Hapi i dytë do të jetë ndërtimi i një grafiku që lidhet me ekuacionin e dytë;
Së treti, ne duhet të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve.
Dhe si rezultat, marrim koordinatat e secilës pikë kryqëzimi, e cila do të jetë zgjidhja e sistemit të ekuacioneve.

Le ta shohim këtë metodë në më shumë detaje duke përdorur një shembull. Na jepet një sistem ekuacionesh që duhet zgjidhur:

Zgjidhja e ekuacioneve

1. Së pari, do të ndërtojmë një grafik të këtij ekuacioni: x2+y2=9.

Por duhet theksuar se ky grafik i ekuacioneve do të jetë një rreth me qendër në origjinë dhe rrezja e tij do të jetë e barabartë me tre.

2. Hapi ynë i ardhshëm do të jetë të vizatojmë një grafik të një ekuacioni të tillë si: y = x – 3.

Në këtë rast, duhet të ndërtojmë një vijë të drejtë dhe të gjejmë pikat (0;−3) dhe (3;0).

3. Le të shohim se çfarë kemi marrë. Shohim se drejtëza e pret rrethin në dy pikat e tij A dhe B.

Tani po kërkojmë koordinatat e këtyre pikave. Shohim që koordinatat (3;0) i korrespondojnë pikës A, dhe koordinatat (0;−3) korrespondojnë me pikën B.

Dhe çfarë marrim si rezultat?

Numrat (3;0) dhe (0;−3) që fitohen kur drejtëza pret rrethin janë pikërisht zgjidhjet e të dy ekuacioneve të sistemit. Dhe nga kjo del se edhe këta numra janë zgjidhje për këtë sistem ekuacionesh.

Kjo do të thotë, përgjigja për këtë zgjidhje janë numrat: (3;0) dhe (0;−3).

1. Zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën e zëvendësimit.
2. Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit.

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve me metodën e zëvendësimit ju duhet të ndiqni një algoritëm të thjeshtë:
1. Shprehni. Nga çdo ekuacion ne shprehim një ndryshore.
2. Zëvendësues. Ne e zëvendësojmë vlerën që rezulton në një ekuacion tjetër në vend të ndryshores së shprehur.
3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një ndryshore. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Për të vendosur sistem me metodën e mbledhjes (zbritjes) term-pas-term duhet:
1. Zgjidhni një variabël për të cilën do të bëjmë koeficientë identikë.
2. Shtojmë ose zbresim ekuacione, duke rezultuar në një ekuacion me një ndryshore.
3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Zgjidhja e sistemit janë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Le të shqyrtojmë në detaje zgjidhjen e sistemeve duke përdorur shembuj.

Shembulli #1:

Le të zgjidhim me metodën e zëvendësimit

2x+5y=1 (1 ekuacion)
x-10y=3 (ekuacioni i 2-të)

1. Shprehni
Mund të shihet se në ekuacionin e dytë ka një ndryshore x me koeficient 1, që do të thotë se është më e lehtë të shprehet ndryshorja x nga ekuacioni i dytë.
x=3+10y

2. Pasi e kemi shprehur, zëvendësojmë 3+10y në ekuacionin e parë në vend të ndryshores x.
2(3+10y)+5y=1

3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një ndryshore.
2(3+10y)+5y=1 (hapni kllapat)
6+20v+5y=1
25v=1-6
25v=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve janë pikat e kryqëzimit të grafikëve, prandaj duhet të gjejmë x dhe y, sepse pika e kryqëzimit përbëhet nga x dhe y Le të gjejmë x, në paragrafin e parë ku e shprehëm e zëvendësojmë y.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Është zakon të shkruajmë pikë në radhë të parë shkruajmë variablin x, dhe në radhë të dytë ndryshoren y.
Përgjigje: (1; -0.2)

Shembulli #2:

Le të zgjidhim duke përdorur metodën e mbledhjes (zbritjes) term-pas-term.

3x-2y=1 (1 ekuacion)
2x-3y=-10 (ekuacioni i dytë)

1. Ne zgjedhim një ndryshore, le të themi se zgjedhim x. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x ka një koeficient 3, në të dytin - 2. Ne duhet t'i bëjmë koeficientët të njëjtë, për këtë kemi të drejtë të shumëzojmë ekuacionet ose të pjesëtojmë me çdo numër. Ekuacionin e parë e shumëzojmë me 2, të dytin me 3 dhe marrim një koeficient total prej 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Zbrisni të dytën nga ekuacioni i parë për të hequr qafe variablin x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Gjeni x. Ne e zëvendësojmë y-në e gjetur në cilindo nga ekuacionet, le të themi në ekuacionin e parë.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Pika e kryqëzimit do të jetë x=4.6; y=6.4
Përgjigje: (4.6; 6.4)

Dëshironi të përgatiteni për provime falas? Tutor në internet falas. Pa shaka.

Mësim dhe prezantim me temën: "Sistemet e ekuacioneve. Metoda e zëvendësimit, metoda e mbledhjes, metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Simulator për tekste shkollore nga Atanasyan L.S. Simulator për tekstet shkollore Pogorelova A.V.

Metodat për zgjidhjen e sistemeve të pabarazive

Metoda e zëvendësimit

Si duhet të veproni kur merrni një vendim?
1. Shprehni një nga variablat në terma të një tjetri. Variablat që përdoren më shpesh në ekuacione janë x dhe y. Në një nga ekuacionet ne shprehim një variabël në terma të një tjetri. Këshillë: Shikoni me kujdes të dy ekuacionet përpara se të filloni zgjidhjen dhe zgjidhni atë ku është më e lehtë të shprehni variablin.
2. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në ekuacionin e dytë, në vend të ndryshores që u shpreh.
3. Zgjidheni ekuacionin që morëm.
4. Zëvendësoni zgjidhjen që rezulton në ekuacionin e dytë. Nëse ka disa zgjidhje, atëherë duhet të zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në mënyrë që të mos humbni disa zgjidhje.
5. Si rezultat, ju do të merrni një palë numrash $(x;y)$, të cilët duhet të shënohen si përgjigje.

Shembull.
Zgjidh një sistem me dy variabla duke përdorur metodën e zëvendësimit: $\begin(rastet)x+y=5, \\xy=6\end(rastet)$.

Zgjidhje.
Le t'i hedhim një vështrim nga afër ekuacionet tona. Natyrisht, shprehja e y në terma x në ekuacionin e parë është shumë më e thjeshtë.
$\fillim(rastet)y=5-x, \\xy=6\fund(rastet)$.
Le të zëvendësojmë shprehjen e parë në ekuacionin e dytë $\begin(rastet)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(rastet)$.
Le të zgjidhim ekuacionin e dytë veçmas:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Ne morëm dy zgjidhje për ekuacionin e dytë $x_1=2$ dhe $x_2=3$.
Zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e dytë.
Nëse $x=2$, atëherë $y=3$. Nëse $x=3$, atëherë $y=2$.
Përgjigja do të jetë dy palë numrash.
Përgjigje: $(2;3)$ dhe $(3;2)$.

Metoda e mbledhjes algjebrike

Shembull.
Zgjidheni sistemin: $\begin(rastet)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.

Zgjidhje.
Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me 2.
$\begin(rastet)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.
Le të zbresim të dytën nga ekuacioni i parë.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Siç mund ta shihni, forma e ekuacionit që rezulton është shumë më e thjeshtë se ajo origjinale. Tani mund të përdorim metodën e zëvendësimit.
$\begin(rastet)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.
Le të shprehim x në terma y në ekuacionin që rezulton.
$\begin(rastet)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.
$\fillimi(rastet)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\fund(rastet)$.
$\fille(rastet)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\fund(rastet)$.
$\fillimi(rastet)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\fundi(rastet)$.
Ne morëm $y=-1$ dhe $y=-3$.
Le t'i zëvendësojmë këto vlera në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e parë. Marrim dy palë numrash: $(1;-1)$ dhe $(-1;-3)$.
Përgjigje: $(1;-1)$ dhe $(-1;-3)$.

Metoda për prezantimin e një ndryshoreje të re

Shembull.
Zgjidheni sistemin: $\begin(rastet)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(rastet)$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin $t=\frac(x)(y)$.
Le të rishkruajmë ekuacionin e parë me një ndryshore të re: $t+\frac(2)(t)=3$.
Le të zgjidhim ekuacionin që rezulton:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Ne morëm $t=2$ ose $t=1$. Le të prezantojmë ndryshimin e kundërt $t=\frac(x)(y)$.
Ne morëm: $x=2y$ dhe $x=y$.

Për secilën prej shprehjeve, sistemi origjinal duhet të zgjidhet veçmas:
$\fillim(rastet)x=2y, \\2x^2-y^2=1\fund(rastet)$.   
$\fille(rastet)x=y, \\2x^2-y^2=1\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=2y, \\8y^2-y^2=1\fund(rastet)$.   
$\fille(rastet)x=y, \\2y^2-y^2=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)x=2y, \\7y^2=1\end(rastet)$.      
$\fille(rastet)x=2y, \\y^2=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(rastet)$.     

Shembull.
$\fillimi(rastet)x=y, \\y=±1\fundi(rastet)$.

Zgjidhje.
$\begin(rastet)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(rastet)$.    
$\fillimi(rastet)x=±1, \\y=±1\fundi(rastet)$.
Ne morëm katër palë zgjidhje.
Përgjigje: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Zgjidheni sistemin: $\begin(rastet)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\fund(rastet)$.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $z=\frac(2)(x-3y)$ dhe $t=\frac(3)(2x+y)$.
Le të rishkruajmë ekuacionet origjinale me ndryshore të reja:
$\fille(rastet)z+t=2, \\4z-3t=1\fund(rastet)$.
Le të përdorim metodën e mbledhjes algjebrike:
$\fillim(rastet)3z+3t=6, \\4z-3t=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)7z=7, \\4z-3t=1\end(rastet)$.
$\begin(rastet)z=1, \\-3t=1-4\end(rastet)$.
$\fillimi(rastet)z=1, \\t=1\fundi(rastet)$.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt:
$\begin(rastet)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\fund(rastet)$.
$\fillimi(rastet)x-3y=2, \\2x+y=3\fundi(rastet)$.
Le të përdorim metodën e zëvendësimit:

$\fillimi(rastet)x=2+3y, \\4+6y+y=3\fundi(rastet)$.