Termi sekuencë. Veprimet në sekuenca

Një numër natyror është një karakteristikë sasiore e një grupi të pandryshueshëm, megjithatë, në praktikë, numri i objekteve po ndryshon vazhdimisht, për shembull, numri i bagëtive në një fermë të caktuar. Për më tepër, sekuenca më e thjeshtë, por edhe më e rëndësishme shfaqet menjëherë në procesin e numërimit - kjo është sekuenca e numrave natyrorë: 1, 2, 3, ....

Nëse një ndryshim në numrin e objekteve në një popullatë të caktuar fiksohet në formën e një sekuence të caktuar numrash natyrorë (anëtarë të sekuencës), një sekuencë tjetër lind menjëherë natyrshëm - një sekuencë numrash, për shembull.

Në këtë drejtim, lind problemi i emërtimit të anëtarëve të një sekuence. Përcaktimi i çdo anëtari me një letër të veçantë është jashtëzakonisht i papërshtatshëm për arsyet e mëposhtme. Së pari, sekuenca mund të përmbajë një numër shumë të madh, madje edhe një numër të pafund termash. Së dyti, shkronja të ndryshme fshehin faktin që anëtarët e sekuencës i përkasin të njëjtës popullatë, megjithëse ndryshojnë numrin e elementeve. Së fundi, në këtë rast numrat e anëtarëve në sekuencë nuk do të pasqyrohen.

Këto arsye bëjnë të nevojshme përcaktimin e anëtarëve të sekuencës me një shkronjë dhe dallimin e tyre sipas indeksit. Për shembull, një sekuencë e përbërë nga dhjetë terma mund të shënohet me shkronjë A: A 1 , A 2 , A 3 , …, A 10. Fakti që sekuenca është e pafundme shprehet me elipsë, sikur e zgjeron këtë sekuencë pafundësisht: A 1 , A 2 , A 3, ... Ndonjëherë sekuenca fillon të numërohet nga e para: : A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , …

Disa sekuenca mund të perceptohen si grupe të rastësishme numrash, pasi ligji i formimit të anëtarëve të sekuencës është i panjohur, madje edhe mungon. Megjithatë, vëmendje e veçantë i kushtohet sekuencave për të cilat njihet një ligj i tillë.

Për të treguar ligjin e formimit të anëtarëve të sekuencës, më shpesh përdoren dy metoda. E para prej tyre është si më poshtë. Përcaktohet termi i parë dhe më pas specifikohet metoda sipas së cilës tjetri fitohet duke përdorur termin e fundit, tashmë të njohur. Për të shkruar një ligj, përdoret një anëtar sekuence me një numër të paspecifikuar, për shembull, dhe k dhe anëtari i radhës dhe k +1, pas së cilës shkruhet formula që i lidh ato.

Shembujt më të famshëm dhe më të rëndësishëm janë progresionet aritmetike dhe gjeometrike. Progresioni aritmetik përcaktohet nga formula dhe k +1 = dhe k + r(ose dhe k +1 = dhe k – r). Termat e një progresion aritmetik ose rriten në mënyrë të njëtrajtshme (si një shkallë) ose ulen në mënyrë të njëtrajtshme (gjithashtu si një shkallë). Madhësia r quhet dallimi i progresionit sepse dhe k +1 – dhe k = r. Shembuj të progresioneve aritmetike me terma natyrorë janë

a) numrat natyrorë ( a 1 = 1 ;dhe k +1 = dhe k + 1);

b) një sekuencë e pafundme 1, 3, 5, 7, ... ( a 1 = 1 ;dhe k +1 = dhe k + 2);

c) sekuenca përfundimtare 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15 ;dhe k +1 = dhe k–3 ).

Progresioni gjeometrik jepet me formulë b k +1 = b k ∙q. Madhësia q quhet emërues i një progresion gjeometrik sepse b k +1:b k = q. Progresionet gjeometrike me terma natyrorë dhe një emërues që tejkalon një rriten dhe rriten shpejt, madje si një ortek. Shembuj të progresioneve gjeometrike me terma natyrorë janë

a) një sekuencë e pafundme 1, 2, 4, 8, ... ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) sekuenca e pafundme 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

Mënyra e dytë për të treguar ligjin për përcaktimin e termave të një sekuence është të tregoni një formulë që ju lejon të llogaritni një anëtar të sekuencës me një numër të paspecifikuar (term i zakonshëm), për shembull, dhe k, duke përdorur numrin k.

Në këtë mënyrë mund të llogariten edhe termat e progresioneve aritmetike dhe gjeometrike. Meqenëse progresioni aritmetik përcaktohet nga formula dhe k +1 = dhe k + r, është e lehtë të kuptohet se si shprehet termi dhe k duke përdorur numrin k:

a 1– përcaktohet në mënyrë arbitrare;

a 2 = a 1 + r= a 1 + 1∙r;

a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

dhe k = a 1 + (k–1)∙r- formula përfundimtare.

Për një progresion gjeometrik, formula për termin e përgjithshëm rrjedh në mënyrë të ngjashme: b k = b 1 ∙ q k –1 .

Përveç progresioneve aritmetike dhe gjeometrike, në të njëjtën mënyrë mund të përcaktohen edhe sekuenca të tjera që kanë karakter të veçantë ndryshimi. Si shembull, ne japim një sekuencë katrorësh të numrave natyrorë: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Ka mënyra më komplekse për të formuar sekuenca, për shembull, njëra ndërtohet me ndihmën e një tjetri. Rëndësi të veçantë për aritmetikën ka progresioni gjeometrik i përcaktuar nga parametrat b 1 = 1, q= 10, pra sekuenca e fuqive të dhjetë: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Përdoret për të paraqitur numrat natyrorë në numrin pozicional. sistemi. Për më tepër, për çdo numër natyror n shfaqet një sekuencë e përbërë nga numra me të cilët shkruhet numri i dhënë: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Numri dhe k tregon se sa terma të tipit 10 k përmban një numër n.

Koncepti i sekuencës çon në konceptet më të rëndësishme të sasisë dhe funksionit për matematikën. Një sasi është një karakteristikë numerike në ndryshim e një objekti ose fenomeni. Ndryshimi i tij perceptohet si një sekuencë numrash. Ekzistenca e një marrëdhënieje midis vetë termave dhe numrave të tyre, si dhe shprehja e saj duke përdorur formula, çon ngushtë në konceptin e një funksioni.

10. Sistemi i numrave dhjetorë.

Zbulimi më i rëndësishëm matematik, i cili përdoret nga pothuajse çdo anëtar i një shoqërie mjaft të zhvilluar, është sistemi i numrave pozicional. Ai bëri të mundur zgjidhjen e problemit kryesor të numërimit, që është aftësia për të emërtuar gjithnjë e më shumë numra të rinj, duke përdorur shënime (shifra) vetëm për numrat e parë.

Sistemi i numrave pozicional tradicionalisht shoqërohet me numrin dhjetë, por sistemet e tjera, për shembull, binar, mund të ndërtohen mbi të njëjtat parime. Kur ndërtohet një sistem numrash pozicional dhjetor, futen dhjetë numra arabë: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Me ndihmën e tyre mund të shkruhet një numër që shpreh numrin e objekteve të çdo grup i kufizuar. Për këtë qëllim, përdoret një algoritëm i veçantë, domethënë një sekuencë e përcaktuar qartë e veprimeve elementare.

Artikujt që numërohen kombinohen në grupe prej dhjetë, që korrespondon me ndarjen me dhjetë me një mbetje. Si rezultat, formohen dy grupe - njëshe dhe dhjetëshe. Dhjetrat grupohen sërish me dhjetëra në qindra. Është e qartë se numri i dhjetësheve (e shënojmë me a 1) është domosdoshmërisht më pak se dhjetë, dhe, për rrjedhojë, a 1 mund të tregohet me një numër. Pastaj qindra grupohen në mijëra, mijëra në dhjetëra mijëra, etj. derisa të grupohen të gjithë artikujt. Ndërtimi i numrit përfundon duke shkruar numrat që rezultojnë nga e majta në të djathtë nga indekset e mëdha në ato më të vogla. Dixhitale dhe k korrespondojnë me numrin e grupeve të objekteve prej 10 k. Regjistrimi përfundimtar i një numri përbëhet nga një sekuencë e fundme shifrash a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Numri përkatës është i barabartë me shprehjen

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

Fjala "pozicion" në emrin e sistemit të numrave është për faktin se një numër ndryshon kuptimin e tij në varësi të pozicionit të tij në shënimin e numrit. Shifra e fundit përcakton numrin e njësive, shifra e parafundit përcakton numrin e dhjetësheve, etj.

Vini re se algoritmi për marrjen e një regjistrimi të numrave në një sistem numrash me çdo bazë N: përbëhet nga grupimi vijues i objekteve sipas N gjërat. Kur shkruani numra duhet të përdorni N numrat

Nëse çdo numër natyror n shoqërohet me ndonjë numër real x n, atëherë themi se i dhënë sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

Numri x 1 quhet anëtar i sekuencës me numrin 1 ose termi i parë i sekuencës, numri x 2 - anëtar i sekuencës me numrin 2 ose anëtari i dytë i sekuencës etj. Numri x n quhet anëtar i vargut me numër n.

Ka dy mënyra për të specifikuar sekuencat e numrave - me dhe me formula e përsëritur.

Sekuenca duke përdorur formulat për termin e përgjithshëm të një sekuence- kjo është një detyrë e radhës

x 1 , x 2 , … x n , …

duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e termit x n nga numri i tij n.

Shembulli 1. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë duke përdorur formulën e termit të përbashkët

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Specifikimi i një sekuence duke përdorur një formulë që shpreh një anëtar sekuence x n përmes anëtarëve të sekuencës me numrat e mëparshëm quhet specifikimi i një sekuence duke përdorur formula e përsëritur.

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur në sekuencë në rritje, më shumë anëtar i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n

x n + 1 >x n

Shembulli 3. Sekuenca e numrave natyrorë

1, 2, 3, … n, …

është sekuencë në rritje.

Përkufizimi 2. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur sekuencë zbritëse nëse secili anëtar i kësaj sekuence më pak anëtar i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

x n + 1 < x n

Shembulli 4. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë zbritëse.

Shembulli 5. Sekuenca e numrave

1, - 1, 1, - 1, …

dhënë nga formula

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nuk është as në rritje e as në rënie sekuencë.

Përkufizimi 3. Quhen vargje numrash në rritje dhe në zvogëlim sekuenca monotonike.

Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara

Përkufizimi 4. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizuar nga lart, nëse ka një numër M të tillë që secili anëtar i kësaj sekuence më pak numrat M.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizim 5. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizohet më poshtë, nëse ka një numër m të tillë që secili anëtar i kësaj vargu më shumë numrat m.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizimi 6. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

quhet e kufizuar nëse ajo kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë.

Me fjalë të tjera, ka numra M dhe m të tillë që për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

m< x n < M

Përkufizimi 7. Sekuencat numerike që nuk janë të kufizuara, thirri sekuenca të pakufizuara.

Shembulli 6. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë nga formula

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

kufizohet më poshtë, për shembull, numri 0. Megjithatë, kjo sekuencë të pakufizuar nga lart.

Shembulli 7. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë e kufizuar, sepse për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Në faqen tonë të internetit ju gjithashtu mund të njiheni me materialet arsimore të zhvilluara nga mësuesit e qendrës së trajnimit Resolventa për përgatitjen për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Për nxënësit e shkollës që duan të përgatiten mirë dhe të kalojnë Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë ose në gjuhën ruse për një rezultat të lartë, zhvillon qendra e trajnimit Resolventa

kurse përgatitore për nxënësit e klasave 10 dhe 11

Hyrje………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1. Pjesa teorike……………………………………………………………………….4

Konceptet dhe termat bazë ……………………………………………………………………………………………………………………………………

1.1 Llojet e sekuencave………………………………………………………………...6

1.1.1. Sekuenca me numra të kufizuar dhe të pakufizuar…..6

1.1.2. Monotonia e sekuencave…………………………………………

1.1.3. Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla…….7

1.1.4. Vetitë e sekuencave infiniteminale………………………8

1.1.5.Sekuencat konvergjente dhe divergjente dhe vetitë e tyre.....9

1.2 Kufiri i sekuencës……………………………………………………….11

1.2.1 Teorema mbi kufijtë e sekuencave……………………………………15

1.3 Progresioni aritmetik………………………………………………

1.3.1. Vetitë e progresionit aritmetik………………………………..17

1.4 Progresioni gjeometrik………………………………………………………………..19

1.4.1. Vetitë e progresionit gjeometrik…………………………………….19

1.5. Numrat e Fibonaçit………………………………………………………………..21

1.5.1 Lidhja e numrave të Fibonaçit me fusha të tjera të njohurive……………………….22

1.5.2. Përdorimi i serisë së numrave Fibonacci për të përshkruar natyrën e gjallë dhe të pajetë………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….23

2. Hulumtimi vetanak………………………………………………………….28

Përfundim……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….30

Lista e referencave…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Hyrje.

Sekuencat e numrave janë një temë shumë interesante dhe edukative. Kjo temë gjendet në detyrat me kompleksitet të shtuar që u ofrohen studentëve nga autorët e materialeve didaktike, në problemet e olimpiadave matematikore, provimeve pranuese në Institucionet e Arsimit të Lartë dhe Provimit të Unifikuar të Shtetit. Unë jam i interesuar të mësoj se si sekuencat matematikore lidhen me fushat e tjera të njohurive.

Qëllimi i punës kërkimore: Të zgjerojë njohuritë për vargun e numrave.

1. Konsideroni sekuencën;

2. Konsideroni vetitë e tij;

3. Konsideroni detyrën analitike të sekuencës;

4. Të demonstrojë rolin e saj në zhvillimin e fushave të tjera të dijes.

5. Demonstroni përdorimin e serisë së numrave Fibonacci për të përshkruar natyrën e gjallë dhe të pajetë.

1. Pjesa teorike.

Konceptet dhe termat bazë.

Përkufizimi. Një sekuencë numerike është një funksion i formës y = f(x), x О N, ku N është bashkësia e numrave natyrorë (ose një funksion i një argumenti natyror), i shënuar y = f(n) ose y1, y2, …, po,…. Vlerat y1, y2, y3,... quhen përkatësisht anëtarët e parë, të dytë, të tretë,... të sekuencës.

Një numër a quhet kufi i vargut x = (x n ) nëse për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël ε të paracaktuar arbitrarisht ekziston një numër natyror N i tillë që për të gjithë n>N pabarazia |x n - a|< ε.

Nëse numri a është kufiri i sekuencës x = (x n ), atëherë ata thonë se x n priret në a dhe shkruajnë

Një sekuencë (yn) thuhet se po rritet nëse çdo anëtar (përveç të parit) është më i madh se ai i mëparshmi:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Një sekuencë (yn) quhet zvogëluese nëse çdo anëtar (përveç të parit) është më i vogël se ai i mëparshmi:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > ….

Sekuencat në rritje dhe në rënie kombinohen nën termin e përbashkët - sekuenca monotonike.

Një sekuencë quhet periodike nëse ka një numër natyror T të tillë që, duke u nisur nga disa n, vlen barazia yn = yn+T. Numri T quhet gjatësia e periudhës.

Një progresion aritmetik është një sekuencë (an), çdo term i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me shumën e termit të mëparshëm dhe të njëjtit numër d, quhet progresion aritmetik, dhe numri d është diferenca e një progresion aritmetik.

Kështu, një progresion aritmetik është një sekuencë numerike (an) e përcaktuar në mënyrë periodike nga relacionet

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Një progresion gjeometrik është një sekuencë në të cilën të gjithë termat janë të ndryshëm nga zero dhe secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, merret nga termi i mëparshëm duke shumëzuar me të njëjtin numër q.

Kështu, një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike (bn) e përcaktuar në mënyrë periodike nga relacionet

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Llojet e sekuencave.

1.1.1 Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara.

Një sekuencë (bn) thuhet se është e kufizuar sipër nëse ka një numër M të tillë që për çdo numër n vlen pabarazia bn≤ M;

Një sekuencë (bn) quhet e kufizuar më poshtë nëse ka një numër M të tillë që për çdo numër n vlen pabarazia bn≥ M;

Për shembull:

1.1.2 Monotonia e sekuencave.

Një sekuencë (bn) quhet jozritëse (jozvogëluese) nëse për çdo numër n pabarazia bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) është e vërtetë;

Një sekuencë (bn) quhet zvogëluese (në rritje) nëse për çdo numër n pabarazia bn> bn+1 (bn

Sekuencat zvogëluese dhe rritëse quhen rreptësisht monotonike, sekuencat jo në rritje quhen monotonike në kuptimin e gjerë.

Sekuencat që janë të kufizuara si sipër ashtu edhe poshtë quhen të kufizuara.

Sekuenca e të gjitha këtyre llojeve quhet monotonike.

1.1.3 Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe të vogla.

Një sekuencë pafundësisht e vogël është një funksion ose sekuencë numerike që tenton në zero.

Një sekuencë an quhet e pafundme nëse

Një funksion quhet infinitezimal në një fqinjësi të pikës x0 nëse ℓimx→x0 f(x)=0.

Një funksion quhet pafundësisht i vogël në pafundësi nëse ℓimx→.+∞ f(x)=0 ose ℓimx→-∞ f(x)=0

Po ashtu infinitezimal është një funksion që është diferenca midis një funksioni dhe kufirit të tij, domethënë nëse ℓimx→.+∞ f(x)=a, atëherë f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Një sekuencë pafundësisht e madhe është një funksion ose sekuencë numerike që tenton në pafundësi.

Një sekuencë an thuhet se është pafundësisht e madhe nëse

ℓimn→0 an=∞.

Një funksion quhet pafundësisht i madh në një fqinjësi të pikës x0 nëse ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Një funksion thuhet se është pafundësisht i madh në pafundësi nëse

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ose ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Vetitë e sekuencave infiniteminale.

Shuma e dy sekuencave infinitimale është në vetvete një sekuencë infinite vogël.

Dallimi i dy sekuencave infinitimale është edhe në vetvete një sekuencë infinitimale.

Shuma algjebrike e çdo numri të fundëm të sekuencave infinitimale është në vetvete gjithashtu një sekuencë infiniteminale.

Prodhimi i një sekuence të kufizuar dhe një sekuence infinite vogël është një sekuencë infinite vogël.

Prodhimi i çdo numri të fundëm të sekuencave infinitimale është një sekuencë infinite vogël.

Çdo sekuencë pafundësisht e vogël është e kufizuar.

Nëse një sekuencë e palëvizshme është pafundësisht e vogël, atëherë të gjithë elementët e saj, duke filluar nga një pikë e caktuar, janë të barabartë me zero.

Nëse e gjithë sekuenca infiniteminale përbëhet nga elementë identikë, atëherë këta elementë janë zero.

Nëse (xn) është një sekuencë pafundësisht e madhe që nuk përmban terma zero, atëherë ekziston një sekuencë (1/xn) që është infinite e vogël. Sidoqoftë, nëse (xn) përmban zero elementë, atëherë sekuenca (1/xn) mund të përcaktohet ende duke filluar nga një numër n, dhe do të jetë ende infinite vogël.

Nëse (an) është një sekuencë pafundësisht e vogël që nuk përmban terma zero, atëherë ekziston një sekuencë (1/an) që është pafundësisht e madhe. Nëse (an) megjithatë përmban zero elementë, atëherë sekuenca (1/an) mund të përcaktohet ende duke filluar nga një numër n dhe do të jetë ende pafundësisht i madh.

1.1.5 Sekuencat konvergjente dhe divergjente dhe vetitë e tyre.

Një sekuencë konvergjente është një sekuencë elementësh të një grupi X që ka një kufi në këtë grup.

Një sekuencë divergjente është një sekuencë që nuk është konvergjente.

Çdo sekuencë infiniteminale është konvergjente. Kufiri i tij është zero.

Heqja e çdo numri të kufizuar elementësh nga një sekuencë e pafundme nuk ndikon as në konvergjencën dhe as në kufirin e asaj sekuence.

Çdo sekuencë konvergjente është e kufizuar. Megjithatë, jo çdo sekuencë e kufizuar konvergjon.

Nëse vargu (xn) konvergjon, por nuk është infinit i vogël, atëherë, duke u nisur nga një numër i caktuar, përcaktohet një sekuencë (1/xn), e cila është e kufizuar.

Shuma e sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Dallimi i sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Prodhimi i sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Koeficienti i dy sekuencave konvergjente përcaktohet duke filluar nga një element, përveç nëse sekuenca e dytë është infinite e vogël. Nëse është përcaktuar herësi i dy sekuencave konvergjente, atëherë ai është një sekuencë konvergjente.

Nëse një sekuencë konvergjente kufizohet më poshtë, atëherë asnjë nga infimumet e saj nuk e kalon kufirin e saj.

Nëse një sekuencë konvergjente është e kufizuar më lart, atëherë kufiri i saj nuk kalon asnjë nga kufijtë e sipërm.

Nëse për ndonjë numër termat e një sekuence konvergjente nuk i kalojnë termat e një sekuence tjetër konvergjente, atëherë kufiri i sekuencës së parë gjithashtu nuk e kalon kufirin e së dytës.

Konsideroni një seri numrash natyrorë: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Nëse zëvendësojmë çdo numër natyror n në këtë seri me një numër të caktuar a n, duke ndjekur disa ligje, marrim një seri të re numrash:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

caktuar dhe thirrur shkurtimisht sekuencë numerike. Madhësia a n quhet anëtar i përbashkët i një sekuence numrash. Zakonisht sekuenca e numrave jepet me ndonjë formulë a n = f(n) duke ju lejuar të gjeni çdo anëtar të sekuencës sipas numrit të tij n; kjo formulë quhet formula e termit të përgjithshëm. Vini re se nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet një sekuencë numerike duke përdorur një formulë termi të përgjithshëm; ndonjëherë një sekuencë specifikohet duke përshkruar anëtarët e saj.

Sipas përkufizimit, një sekuencë përmban gjithmonë një numër të pafund elementësh: çdo dy elementë të ndryshëm ndryshojnë të paktën në numrin e tyre, prej të cilëve ka pafundësisht shumë.

Një sekuencë numrash është një rast i veçantë i një funksioni. Një sekuencë është një funksion i përcaktuar në grupin e numrave natyrorë dhe merr vlera në grupin e numrave realë, pra një funksion i formës f : N  R.

Pasoja
thirrur në rritje(në rënie), nëse për ndonjë n  N
Sekuenca të tilla quhen rreptësisht monotone.

Ndonjëherë është e përshtatshme të përdoren jo të gjithë numrat natyrorë si numra, por vetëm disa prej tyre (për shembull, numrat natyrorë që fillojnë nga ndonjë numër natyror n 0). Për numërim është gjithashtu e mundur të përdoren jo vetëm numra natyrorë, por edhe numra të tjerë, për shembull, n= 0, 1, 2,  (këtu zeroja i shtohet bashkësisë së numrave natyrorë si një numër tjetër). Në raste të tilla, kur specifikoni sekuencën, tregoni se cilat vlera marrin numrat n.

Nëse në ndonjë sekuencë për ndonjë n  N
atëherë thirret sekuenca jo në rënie(jo në rritje). Sekuenca të tilla quhen monotone.

Shembulli 1 . Sekuenca e numrave 1, 2, 3, 4, 5, ... është një seri numrash natyrorë dhe ka një term të përbashkët a n = n.

Shembulli 2 . Sekuenca e numrave 2, 4, 6, 8, 10, ... është një seri numrash çift dhe ka një term të përbashkët a n = 2n.

Shembulli 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... - një sekuencë numerike e vlerave të përafërta me saktësi në rritje.

Në shembullin e fundit është e pamundur të jepet një formulë për termin e përgjithshëm të sekuencës.

Shembulli 4 . Shkruani 5 termat e parë të një sekuence numrash duke përdorur termin e tij të zakonshëm
. Për të llogaritur a 1 nevojitet në formulën për termin e përgjithshëm a n në vend të n zëvendësoni 1 për të llogaritur a 2 − 2, etj. Atëherë kemi:

Testi 6 . Anëtari i përbashkët i sekuencës 1, 2, 6, 24, 120,  është:

Testi 7 .
është:

Testi 8 . Anëtar i përbashkët i sekuencës
është:

Kufiri i sekuencës së numrave

Konsideroni një sekuencë numrash, termi i zakonshëm i së cilës i afrohet një numri A kur numri i serisë rritet n. Në këtë rast, sekuenca e numrave thuhet se ka një kufi. Ky koncept ka një përkufizim më të rreptë.

Numri A quhet kufiri i një sekuence numerike
:

(1)

nëse për çdo  > 0 ka një numër të tillë n 0 = n 0 (), në varësi të , e cila
në n > n 0 .

Ky përkufizim do të thotë se A ka një kufi për një sekuencë numrash nëse termi i tij i zakonshëm afrohet pa kufi A me rritje n. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se për çdo  > 0 mund të gjendet një numër i tillë n 0 , e cila, duke filluar nga n > n 0 , të gjithë anëtarët e sekuencës janë të vendosur brenda intervalit ( A – , A+ ). Një sekuencë që ka një kufi quhet konvergjente; ndryshe - divergjente.

Një sekuencë numrash mund të ketë vetëm një kufi (të fundëm ose të pafund) të një shenje të caktuar.

Shembulli 5 . Sekuenca harmonike ka numrin kufi 0. Në të vërtetë, për çdo interval (–; +) si numër N 0 mund të jetë çdo numër i plotë më i madh se . Pastaj për të gjithë n > n 0 > kemi

Shembulli 6 . Sekuenca 2, 5, 2, 5,  është divergjente. Në të vërtetë, asnjë interval me gjatësi më të vogël se, për shembull, një, nuk mund të përmbajë të gjithë anëtarët e sekuencës, duke filluar nga një numër i caktuar.

Sekuenca quhet kufizuar, nëse ekziston një numër i tillë M, Çfarë
për të gjithë n. Çdo sekuencë konvergjente është e kufizuar. Çdo sekuencë monotonike dhe e kufizuar ka një kufi. Çdo sekuencë konvergjente ka një kufi unik.

Shembulli 7 . Pasoja
është në rritje dhe e kufizuar. Ajo ka një kufi
=e.

Numri e thirrur Numri i Euler-it dhe afërsisht e barabartë me 2.718 28.

Testi 9 . Sekuenca 1, 4, 9, 16,  është:

1) konvergjente;

2) divergjente;

3) i kufizuar;

Testi 10 . Pasoja
është:

1) konvergjente;

2) divergjente;

3) i kufizuar;

4) progresion aritmetik;

5) progresion gjeometrik.

Testi 11 . Pasoja nuk është:

1) konvergjente;

2) divergjente;

3) i kufizuar;

4) harmonike.

Test 12 . Kufiri i një sekuence të dhënë nga një term i përbashkët
të barabartë.

1 Përkufizimi

2 Shembuj

3 Veprimet në sekuenca

4 Pasojat

4.1 Shembuj
4.2 Vetitë

5 Pika kufitare e sekuencës

6 Kufiri i sekuencës

7 Disa lloje sekuencash

7.1 Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara
- 7.1.1 Kriteri për kufirin e një sekuence numerike
  7.1.2 Vetitë e sekuencave të kufizuara

7.2 Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla

7.2.1 Vetitë e sekuencave pafundësisht të vogla

7.3 Sekuenca konvergjente dhe divergjente

7.3.1 Vetitë e sekuencave konvergjente

7.4 Sekuenca monotone

7.5 Sekuencat themelore

Sekuenca e numrave- Kjo pasues elementet e hapësirës së numrave.

Sekuencat e numrave janë një nga objektet kryesore të shqyrtimit në analiza matematikore.

Përkufizimi

Lëreni grupin Xështë ose bashkësia e numrave realë ose bashkësia e numrave kompleks. Pastaj sekuenca e elementeve të grupit X thirrur sekuencë numerike.

Shembuj

Veprimet në sekuenca

Aktiv shumë të gjitha sekuencat e elementeve të grupit X mund të përcaktohet aritmetike dhe të tjerë operacionet, nëse ato janë të përcaktuara në set X. Operacione të tilla zakonisht përcaktohen në mënyrë të natyrshme, domethënë element pas elementi.

Lëreni në set X të përcaktuara N-operacion f:

Pastaj për elementet , , …, bashkësia e të gjitha sekuencave të elementeve të grupit X operacion f do të përcaktohet si më poshtë:

Për shembull, kështu përcaktohen veprimet aritmetike për sekuencat e numrave.

Shuma x n) Dhe ( y nz n) të tillë që z n = x n + y n .

Nga dallimi sekuencat e numrave ( x n) Dhe ( y n) quhet sekuencë numrash ( z n) të tillë që z n = x n − y n .

Puna sekuencat e numrave x n Dhe y n quhet sekuenca e numrave ( z n) të tillë që .

Privat sekuenca e numrave x n dhe sekuencën e numrave y n, të gjithë elementët e të cilit janë të ndryshëm nga zero, quhet sekuencë numrash . Nëse në rend y n pozicioni ende ka një element zero, atëherë rezultati i pjesëtimit me një sekuencë të tillë ende mund të përcaktohet si sekuencë .

Sigurisht, veprimet aritmetike mund të përcaktohen jo vetëm në një grup sekuencash numerike, por edhe në çdo grup sekuencash të elementeve të grupeve në të cilat përcaktohen veprimet aritmetike, qofshin ato fusha apo edhe unaza.

Pasojat

Pasoja sekuenca ( x n) është një sekuencë ku ( k n) është një sekuencë në rritje e elementeve të bashkësisë së numrave natyrorë.

Me fjalë të tjera, një nënsekuencë merret nga një sekuencë duke hequr një numër të fundëm ose të numërueshëm elementësh.

Shembuj

Pasoja numrat e thjeshtëështë një nënrend i një sekuence numrash natyrorë.

Sekuenca e numrave natyrorë, shumëfisha 12 , është një nënsekuencë e sekuencës madje numrat natyrorë.

Vetitë

Çdo sekuencë është pasardhja e vet.

Një pasardhës i një sekuence konvergjente konvergon në të njëjtin kufi si sekuenca origjinale.

Nëse të gjitha pasardhësit e një sekuence origjinale konvergojnë, atëherë kufijtë e tyre janë të barabartë.

Çdo nënsekuencë e një sekuence pafundësisht të madhe është gjithashtu pafundësisht e madhe.

Nga çdo sekuencë numrash të pakufizuar mund të zgjidhet një nënrend pafundësisht i madh, të gjithë elementët e së cilës kanë një shenjë të caktuar.

Nga çdo sekuencë numerike mund të zgjidhet ose një nënsekuencë konvergjente ose një nënsekuencë pafundësisht e madhe, të gjithë elementët e së cilës kanë një shenjë të caktuar.

Pika kufitare e sekuencës

Artikulli kryesor: Pika kufitare

Pika kufitare e sekuencës është një pikë në çdo lagje të së cilës ka pafundësisht shumë elementë të kësaj sekuence. Për sekuencat konvergjente të numrave, pika kufi përkon me limit.

Kufiri i sekuencës

Artikulli kryesor: Kufiri i sekuencës

Kufiri i sekuencës - ky është një objekt të cilit anëtarët e sekuencës i afrohen me rritjen e numrit. Pra pa pagesë hapësirë topologjike kufiri i një sekuence është një element në cilindo lagje i cili përmban të gjitha termat e sekuencës, duke filluar nga disa. Në veçanti, për sekuencat e numrave, një kufi është një numër në çdo lagje të të cilit shtrihen të gjithë anëtarët e sekuencës që fillojnë nga një pikë e caktuar.

Kufiri i pjesshëm i sekuencës është kufiri i njërës prej pasardhësve të saj. Për sekuencat konvergjente të numrave, ai gjithmonë përkon me kufirin e zakonshëm.

Kufiri i sipërm i sekuencës është pika kufitare më e madhe e kësaj sekuence.

Kufiri më i ulët i sekuencës është pika më e vogël kufitare e kësaj sekuence.

Disa lloje sekuencash

Sekuenca e palëvizshme është një sekuencë të gjithë anëtarët e së cilës, duke filluar nga një pikë, janë të barabartë.

(x n) të palëvizshme

Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara

Duke supozuar rendi linear grupe X elementet e një sekuence, ne mund të prezantojmë konceptet e sekuencave të kufizuara dhe të pakufizuara.

Sekuenca e kufirit të sipërm X, të gjithë anëtarët e të cilit nuk kalojnë disa elementë nga ky grup. Ky element quhet buza e sipërme këtë sekuencë.

(x n) të kufizuara më sipër

Sekuenca e kufizuar më poshtë është një sekuencë elementësh të një grupi X, për të cilin ka një element në këtë grup që nuk i kalon të gjithë anëtarët e tij. Ky element quhet buza e poshtme këtë sekuencë.

(x n) të kufizuara më poshtë

Sekuencë e kufizuar (sekuencë e kufizuar nga të dyja anët ) është një sekuencë e kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë.

(x n) i kufizuar

Sekuencë e pakufizuar është një sekuencë që nuk është e kufizuar.

(x n) të pakufizuar

Kriteri për kufirin e një sekuence numerike

Një sekuencë numrash është e kufizuar nëse dhe vetëm nëse ka një numër të tillë që modulet e të gjithë anëtarëve të sekuencës nuk e tejkalojnë atë.

(x n) i kufizuar

Vetitë e sekuencave të kufizuara

Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla

Sekuenca infiniteminale është një sekuencë limit e cila është e barabartë me zero.

Sekuencë pafundësisht e madhe është një sekuencë kufiri i së cilës është pafundësi.

Vetitë e sekuencave pafundësisht të vogla

Sekuencat pafundësisht të vogla dallohen nga një numër i vetive të jashtëzakonshme që përdoren në mënyrë aktive në analiza matematikore, si dhe në disiplina të ngjashme dhe më të përgjithshme.

Shuma e dy sekuencave pafundësisht të vogla është në vetvete një sekuencë infinite vogël.

Dallimi i dy sekuencave infinitimale është edhe në vetvete një sekuencë infinitimale.

Shuma algjebrike e çdo numri të fundëm të sekuencave infinitimale është në vetvete gjithashtu një sekuencë infiniteminale.

Prodhimi i një sekuence të kufizuar dhe një sekuence infinite vogël është një sekuencë infinite vogël.

Prodhimi i çdo numri të fundëm të sekuencave infinitimale është një sekuencë infinite vogël.

Çdo sekuencë pafundësisht e vogël është e kufizuar.

Nëse një sekuencë e palëvizshme është pafundësisht e vogël, atëherë të gjithë elementët e saj, duke filluar nga një pikë e caktuar, janë të barabartë me zero.

Nëse e gjithë sekuenca infiniteminale përbëhet nga elementë identikë, atëherë këta elementë janë zero.

nese ( x n) është një sekuencë pafundësisht e madhe që nuk përmban terma zero, atëherë ka një sekuencë (1 / x n), e cila është pafundësisht e vogël. x n nese ( x n n) ende përmban zero elementë, pastaj sekuenca (1 /

, dhe do të jetë ende pafundësisht i vogël. n Nëse (α n) është një sekuencë pafundësisht e vogël që nuk përmban terma zero, atëherë ka një sekuencë (1 / α n), e cila është pafundësisht e madhe. n Nëse (α n) ende përmban zero elementë, pastaj sekuencën (1 / α

Sekuenca konvergjente dhe divergjente

Sekuenca konvergjente është një sekuencë elementësh të një grupi X, duke pasur limit në këtë turmë.

Sekuenca divergjente është një sekuencë që nuk është konvergjente.

Vetitë e sekuencave konvergjente

Çdo sekuencë infiniteminale është konvergjente. Kufiri i saj është zero.

Heqja e çdo numri të kufizuar elementësh nga një sekuencë e pafundme nuk ndikon as në konvergjencën dhe as në kufirin e asaj sekuence.

Çdo sekuencë konvergjente e elementeve Hapësira Hausdorff ka vetëm një kufi.

Çdo sekuencë konvergjente është e kufizuar. Megjithatë, jo çdo sekuencë e kufizuar konvergjon.

Një sekuencë konvergon nëse dhe vetëm nëse është e kufizuar dhe gjithashtu kufijtë e sipërm dhe të poshtëm ndeshje.

Nëse sekuenca ( x n) konvergon, por nuk është pafundësisht i vogël, atëherë, duke u nisur nga një numër i caktuar, sekuenca (1 / x n), e cila është e kufizuar.

Shuma e sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Dallimi i sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Prodhimi i sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Nëse një sekuencë konvergjente kufizohet më poshtë, atëherë asnjë nga infimumet e saj nuk e kalon kufirin e saj.

Nëse një sekuencë konvergjente është e kufizuar më lart, atëherë kufiri i saj nuk kalon asnjë nga kufijtë e sipërm.

Nëse të gjithë elementët e një sekuence të caktuar, duke filluar nga një numër i caktuar, shtrihen në segmentin midis elementeve përkatëse të dy sekuencave të tjera që konvergojnë në të njëjtin kufi, atëherë edhe ky sekuencë konvergon në të njëjtin kufi.

Çdo sekuencë konvergjente ( x n) mund të përfaqësohet si ( x n) = (a + α n), Ku a- kufiri i sekuencës ( x n), dhe α n- disa sekuencë infiniteminale.

Çdo sekuencë konvergjente është themelore.

Në këtë rast, sekuenca e numrave themelorë konvergjon gjithmonë (si çdo sekuencë themelore e elementeve të hapësirës së plotë).

Artikulli kryesor:

Sekuenca monotone Sekuenca monotonike është një sekuencë që nuk rritet ose nuk zvogëlohet. Në këtë rast, supozohet se në grupin nga i cili janë marrë elementet e sekuencës,.

relacioni i rendit

Artikulli kryesor:

Sekuencat themelore (Sekuenca themelore , sekuencë konvergjente Sekuenca cauchy ) është një sekuencë elementësh hapësirë metrike

, në të cilën për çdo distancë të paracaktuar ekziston një element i tillë që distanca nga e cila në ndonjë nga elementët që e ndjekin të mos e kalojë atë të specifikuar. Për sekuencat e numrave, konceptet e sekuencave themelore dhe konvergjente janë ekuivalente, por në përgjithësi nuk është kështu. Seritë e numrave të sekuencës

Abstrakt >> Matematikë Va seri konvergjente Numerike pasues rresht - pafund pasues numra të lidhur me shenjë... rrjedha e ngjarjeve rrjedha e ngjarjeve- ngjarjet që ndodhin në mënyrë të rastësishme... -va: 1. F(x) përcaktohet në të gjithë numerike