thirrur frekuenca relative ( ose frekuenca) ngjarjet A në serinë e eksperimenteve në shqyrtim.

Frekuenca relative e ngjarjes ka si më poshtë vetitë:

1. Frekuenca e çdo ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

2. Frekuenca e një ngjarje të pamundur është zero, d.m.th.

3. Frekuenca e një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th.

4. Frekuenca e shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është e barabartë me shumën e frekuencës
këto ngjarje, d.m.th. nëse, atëherë

Frekuenca ka një veçori tjetër themelore të quajtur veti e stabilitetit statistikor: me rritjen e numrit të eksperimenteve (d.m.th. n) merr vlera afër një numri konstant (thonë: frekuenca stabilizohet, duke iu afruar një numri të caktuar, frekuenca luhatet rreth një numri të caktuar, ose vlerat e saj grupohen rreth një numri të caktuar).

Kështu, për shembull, në eksperimentin (K. Pearson) me hedhjen e një monedhe - frekuenca relative e paraqitjes së stemës me 12.000 dhe 24.000 hedhje rezultoi e barabartë me 0.5015 dhe 0.5005, përkatësisht, d.m.th. frekuenca i afrohet numrit. Frekuenca e të pasurit një djalë, siç tregojnë vëzhgimet, luhatet rreth numrit 0,515.

Vini re se teoria e probabilitetit studion vetëm ato dukuri të rastësishme masive me një rezultat të pasigurt për të cilat supozohet qëndrueshmëria e frekuencës relative.

Përkufizimi statistikor i probabilitetit

Për të studiuar matematikisht një ngjarje të rastësishme, është e nevojshme të futet një vlerësim sasior i ngjarjes. Është e qartë se disa ngjarje kanë më shumë gjasa (“më shumë gjasa”) të ndodhin se të tjerat. Ky vlerësim është probabiliteti i një ngjarjeje, ato. një numër që shpreh shkallën e mundësisë së shfaqjes së tij në përvojën në shqyrtim. Ekzistojnë disa përkufizime matematikore të probabilitetit, të gjitha ato plotësojnë dhe përgjithësojnë njëra-tjetrën.

Konsideroni një eksperiment që mund të përsëritet çdo numër herë (ata thonë: "kryhen teste të përsëritura"), në të cilin vërehet ndonjë ngjarje A.

Probabiliteti statistikor ngjarjet Aështë numri rreth të cilit luhatet frekuenca relative e ngjarjes A për një numër mjaft të madh provash (eksperimentesh).

Probabiliteti i ngjarjes A treguar nga simboli R(A). Sipas këtij përkufizimi:

.

(1.2)

Arsyetimi matematik për afërsinë e frekuencës relative dhe probabilitetit R(A) të ndonjë ngjarjeje A shërben si teorema e J. Bernoulli.

Probabilitetet R(A) vetitë e 1-4 frekuencave relative atribuohen:

1. Probabiliteti statistikor i çdo ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

2. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të pamundur është zero, d.m.th.

3. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me 1, d.m.th.

4. Probabiliteti statistikor i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nëse, atëherë

Metoda statistikore e përcaktimit të probabilitetit, bazuar në përvojën reale, zbulon plotësisht përmbajtjen e këtij koncepti. Disavantazhi i përkufizimit statistikor është paqartësia e probabilitetit statistikor; Pra, në shembullin e hedhjes së një monedhe, mund të merrni si probabilitet jo vetëm numrin 0.5, por edhe 0.49 ose 0.51, etj. Për të përcaktuar me besueshmëri probabilitetin, duhet të bëni një numër të madh testesh, gjë që nuk është gjithmonë e lehtë ose e lirë.

Përkufizimi klasik i probabilitetit

Ekziston një mënyrë e thjeshtë për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje, bazuar në barazinë e cilësdo prej një numri të kufizuar rezultatesh të eksperimentit. Lëreni eksperimentin të kryhet me n rezultatet që mund të përfaqësohen si grup i plotë i të papajtueshmeve po aq të mundshme ngjarjet. Rezultate të tilla quhen rastësi, rastësi, ngjarje elementare, përvojë - klasike. Ata thonë për një përvojë të tillë që zbret në skema e rastit ose skema e urnës(pasi problemi probabilistik për një eksperiment të tillë mund të zëvendësohet nga një problem ekuivalent me urna që përmbajnë topa me ngjyra të ndryshme).

Rasti w, i cili çon në ndodhjen e ngjarjes A, thirri të favorshme(ose të favorshme) për të, d.m.th. çështja w përfshin ngjarjen A: .

Probabiliteti i ngjarjes A quhet raporti i numrave m rastet e favorshme për këtë ngjarje, në numrin total n rastet, d.m.th.

Së bashku me emërtimin R(A) për probabilitetin e një ngjarjeje A shënimi i përdorur është r, d.m.th. p=P(A).

Më poshtë vijon nga përkufizimi klasik i probabilitetit: vetitë:

1. Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero, d.m.th.

3. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th.

4. Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nëse, atëherë

Shembulli 1.3. Një urnë përmban 12 topa të bardhë dhe 8 të zinj. Sa është probabiliteti që një top i tërhequr rastësisht të jetë i bardhë?

Zgjidhje:

Le A– një ngjarje që konsiston në faktin se është tërhequr një top i bardhë. Është e qartë se është numri i të gjitha rasteve po aq të mundshme. Numri i rasteve që favorizojnë ngjarjen A, është e barabartë me 12, d.m.th. . Rrjedhimisht, sipas formulës (1.3) kemi: , d.m.th. .

Përkufizimi gjeometrik i probabiliteteve

Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit përdoret në rastin kur rezultatet e eksperimentit janë po aq të mundshme, dhe PES është një grup i pafundëm i panumërueshëm. Le të shqyrtojmë në rrafsh një rajon Ω me sipërfaqe , dhe brenda rajonit Ω , rajoni D me sipërfaqe S D(shih Fig. 6).

Një pikë zgjidhet rastësisht në rajonin Ω X. Kjo zgjedhje mund të interpretohet si duke hedhur një pikë X në rajonΩ. Në këtë rast, hyrja e një pike në rajonin Ω është një ngjarje e besueshme, në D- e rastësishme. Supozohet se të gjitha pikat e rajonit Ω janë të barabarta (të gjitha ngjarjet elementare janë njësoj të mundshme), d.m.th. që një pikë e hedhur mund të godasë çdo pikë në rajonin Ω dhe probabilitetin për të hyrë në rajon Dështë proporcionale me sipërfaqen e kësaj zone dhe nuk varet nga vendndodhja dhe forma e saj. Lëreni ngjarjen, d.m.th. pika e hedhur do të bjerë në zonë D.

Me përkufizimin klasik, probabiliteti i një ngjarjeje përcaktohet nga barazia P(A)=m/n, ku m është numri i rezultateve të testit elementar të favorshëm për ndodhjen e ngjarjes A; n është numri total i rezultateve të mundshme të testit elementar.

Supozohet se rezultatet elementare formojnë një grup të plotë dhe janë po aq të mundshme.

Frekuenca relative e ngjarjes A: W(A)=m/n, ku m është numri i provave në të cilat ndodhi ngjarja A; n është numri total i testeve të kryera.

Gjatë përcaktimit statistikor, probabiliteti i një ngjarjeje merret si frekuenca relative e saj.

Shembull: hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që shuma e pikave në anët e hedhura të jetë e barabartë dhe një gjashtë të shfaqet në anën e të paktën njërit prej zareve.

Zgjidhja: në anën e rënë të zarit "të parë", mund të shfaqen një pikë,..., gjashtë pikë. Gjashtë rezultate të ngjashme elementare janë të mundshme gjatë hedhjes së kësulës së "dytë". Secili prej rezultateve të hedhjes së "të parës" mund të kombinohet me secilin nga rezultatet e hedhjes së "të dytës". numri i përgjithshëm i rezultateve të testit elementar është 6*6=36. Këto rezultate formojnë një grup të plotë dhe, për shkak të simetrisë së kockave, janë po aq të mundshme. 5 lëvizje janë të favorshme për eventin: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

Probabiliteti i kërkuar: P(A)=5/36

Informacionin që ju intereson mund ta gjeni edhe në motorin e kërkimit shkencor Otvety.Online. Përdorni formularin e kërkimit:

Më shumë për temën 3. Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencave relative. Përkufizimi statistikor i probabilitetit:

1. 4. Përkufizimi klasik i probabilitetit. Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje. Probabiliteti statistikor. Probabiliteti gjeometrik.
2. 27. Përcaktimi statistikor i kampionit. Seritë e variacioneve dhe paraqitja grafike e tyre. Shumëkëndëshi dhe histogrami i frekuencave (frekuencat relative).
3. 39. Ndërtimi i një serie variacionesh intervali. Histograma e frekuencave dhe frekuencave relative.
4. 4. Probabiliteti i devijimit të frekuencës relative nga një probabilitet konstant në testet e pavarura

Frekuenca relative, së bashku me probabilitetin, i përket koncepteve bazë të teorisë së probabilitetit.

Frekuenca relative ngjarjet është raporti i numrit të sprovave në të cilat ka ndodhur ngjarja me numrin total të sprovave të kryera në të vërtetë. Kështu, frekuenca relative e ngjarjes A përcaktohet nga formula

W(A) = m/n,

Ku m– numri i dukurive të ngjarjes, n- numri i përgjithshëm i testeve.

Duke krahasuar përkufizimet e probabilitetit dhe frekuencës relative, arrijmë në përfundimin: përkufizimi i probabilitetit nuk kërkon që testet të kryhen realisht; përcaktimi i frekuencës relative supozon se testet janë kryer në të vërtetë. Me fjalë të tjera, probabiliteti llogaritet para eksperimentit, frekuenca relative - pas eksperimentit.

Shembulli 1. Departamenti i inspektimit gjeti 3 pjesë jo standarde në një grumbull prej 80 pjesësh të zgjedhura rastësisht. Frekuenca relative e shfaqjes së pjesëve jo standarde

W(A) =3/80.

Shembulli 2. Në shenjë janë gjuajtur 24 të shtëna, me 19 goditje të regjistruara. Shkalla relative e goditjes së objektivit

W(A) =19/24.

Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se nëse eksperimentet kryhen në kushte identike, në secilën prej të cilave numri i testeve është mjaft i madh, atëherë frekuenca relative shfaq vetinë e stabilitetit. Kjo pronë është që në eksperimente të ndryshme frekuenca relative ndryshon pak(sa më pak, aq më shumë teste kryhen), duke u luhatur rreth një numri konstant. Doli se ky numër konstant është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes.

Kështu, nëse frekuenca relative përcaktohet eksperimentalisht, atëherë numri që rezulton mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti.

Marrëdhënia midis frekuencës relative dhe probabilitetit do të përshkruhet më në detaje dhe më saktë më poshtë. Tani le të ilustrojmë vetinë e stabilitetit me shembuj.

Shembulli 3. Sipas statistikave suedeze, frekuenca relative e lindjeve të vajzave në vitin 1935. Sipas muajve karakterizohet nga numrat e mëposhtëm (numrat janë renditur sipas renditjes së muajve duke filluar nga janari): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Frekuenca relative luhatet rreth numrit 0,482, që mund të merret si një vlerë e përafërt për probabilitetin për të pasur vajza.

Vini re se të dhënat statistikore nga vende të ndryshme japin afërsisht të njëjtën vlerë të frekuencës relative.

Shembulli 4. Shumë herë u kryen eksperimente të hedhjes së monedhave, në të cilat numërohej numri i paraqitjeve të "stemës". Rezultatet e disa eksperimenteve janë dhënë në tabelën 1.

Këtu frekuencat relative devijojnë pak nga numri 0.5, dhe sa më i vogël aq më i madh është numri i testeve. Për shembull, me 4040 prova devijimi është 0.0069, dhe me 24000 prova është vetëm 0.0005. Duke marrë parasysh që probabiliteti i shfaqjes së një "steme" kur hedh një monedhë është 0.5, ne përsëri shohim se frekuenca relative luhatet rreth probabilitetit.

§ 7. Kufizimet e përkufizimit klasik të probabilitetit. Probabiliteti statistikor

Përkufizimi klasik i probabilitetit supozon se numri i rezultateve elementare të një prove është i kufizuar. Në praktikë, është shumë e zakonshme të hasësh teste në të cilat numri i rezultateve të mundshme është i pafund. Në raste të tilla, përkufizimi klasik nuk është i zbatueshëm. Vetëm kjo rrethanë tregon kufizimet e përkufizimit klasik. Disavantazhi i vërejtur mund të kapërcehet, në veçanti, duke futur probabilitete gjeometrike (shih § 8) dhe, natyrisht, duke përdorur probabilitetin aksiomatik (shih § 3, vërejtje).

Ana më e dobët e përkufizimit klasik është se shumë shpesh është e pamundur të paraqitet rezultati i një testi në formën e një grupi ngjarjesh elementare. Është edhe më e vështirë të tregohen arsyet për t'i konsideruar ngjarjet elementare si të mundshme. Zakonisht, barazia e rezultateve elementare të testit thuhet se bazohet në konsideratat e simetrisë. Për shembull, supozohet se koka ka formën e një poliedri (kubi) të rregullt dhe është bërë nga një material homogjen. Megjithatë, problemet në të cilat mund të përdoren konsideratat e simetrisë janë shumë të rralla në praktikë. Për këtë arsye, krahas përkufizimit klasik të probabilitetit, përdoren përkufizime të tjera, në veçanti përkufizimi statistikor: Frekuenca relative ose një numër afër saj merret si probabilitet statistikor i një ngjarjeje. Për shembull, nëse, si rezultat i një numri mjaft të madh provash, rezulton se frekuenca relative është shumë afër numrit 0.4, atëherë ky numër mund të merret si probabilitet statistikor i ngjarjes.

Është e lehtë të verifikohet se vetitë e probabilitetit që dalin nga përkufizimi klasik (shih § 3) ruhen gjithashtu në përkufizimin statistikor të probabilitetit. Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë m =n dhe frekuencë relative

m/n = n/n = 1,

ato. probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të besueshme (si në rastin e përkufizimit klasik) është i barabartë me një.

Nëse ngjarja është e pamundur, atëherë m= 0 dhe rrjedhimisht frekuenca relative

0/n = 0,

ato. probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të pamundur është zero.

Për çdo ngjarje 0 m n dhe rrjedhimisht frekuenca relative

0 m/n 1,

ato. probabiliteti statistikor i çdo ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një.

Për ekzistencën e një probabiliteti statistikor të një ngjarjeje A kërkohet:

a) mundësia, të paktën në parim, për të kryer një numër të pakufizuar testesh, në secilën prej të cilave një ngjarje A ndodh ose nuk ndodh;

b) qëndrueshmëria e frekuencave relative të shfaqjes A në seri të ndryshme të një numri mjaft të madh testesh.

Disavantazhi i përkufizimit statistikor është paqartësia e probabilitetit statistikor; Pra, në shembullin e mësipërm, jo ​​vetëm 0.4, por edhe 0.39 mund të merret si probabilitet i një ngjarjeje; 0.41, etj.

Probabilitete gjeometrike

Për të kapërcyer disavantazhin e përkufizimit klasik të probabilitetit, që është se ai nuk është i zbatueshëm për provat me një numër të pafund rezultatesh, ne prezantojmë probabilitete gjeometrike– probabiliteti që një pikë të godasë një zonë (segment, pjesë rrafshi etj.).

Lëreni segmentin lështë pjesë e një segmenti L. Për një segment L u vendos një pikë në mënyrë të rastësishme. Kjo nënkupton përmbushjen e supozimeve të mëposhtme: pika e caktuar mund të jetë në çdo pikë të segmentit L, probabiliteti që një pikë të bjerë në një segment lështë proporcionale me gjatësinë e këtij segmenti dhe nuk varet nga vendndodhja e tij në raport me segmentin L. Sipas këtyre supozimeve, probabiliteti që një pikë të bjerë në një segment l përcaktohet nga barazia

P= Gjatësia l/ Gjatësia L.

Shembulli 1. Për një segment O.A. gjatësia L boshti numerik kau u vendos një pikë në mënyrë të rastësishme B(x). Gjeni probabilitetin që segmentet më të vogla O.B. Dhe B.A. ka një gjatësi më të madhe L

Zgjidhje. Le të ndajmë segmentin O.A. pika C Dhe D në 3 pjesë të barabarta. Kërkesa e detyrës do të përmbushet nëse pika B(x) bie në segment CD gjatësia L/3. Probabiliteti i kërkuar

P = (L /3)/L = 1/3.

Lëreni figurën e sheshtë gështë pjesë e një figure të sheshtë G. Përshtatet G Një pikë hidhet rastësisht. Kjo do të thotë të bëni supozimet e mëposhtme: pika e hedhur mund të përfundojë në çdo pikë të figurës G, probabiliteti që një pikë e hedhur të godasë një figurë gështë proporcionale me sipërfaqen e kësaj figure dhe nuk varet nga vendndodhja e saj në lidhje me G, as nga forma g. Sipas këtyre supozimeve, probabiliteti që një pikë të godasë një figurë është g përcaktohet nga barazia

P= Sipërfaqja g/ Sheshi G.

Shembulli 2. Në rrafsh vizatohen dy rrathë koncentrikë, rrezet e të cilëve janë përkatësisht 5 dhe 10 cm. Gjeni probabilitetin që një pikë e hedhur rastësisht në një rreth të madh të bjerë në unazën e formuar nga rrathët e ndërtuar. Supozohet se probabiliteti që një pikë të bjerë në një figurë të sheshtë është proporcionale me sipërfaqen e kësaj figure dhe nuk varet nga vendndodhja e saj në lidhje me rrethin e madh.

Zgjidhje. Zona e unazës (figura g)

S g= p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Zona e një rrethi të madh (figura G)

S G= p10 2 = 100 p.

Probabiliteti i kërkuar

P= 75 p/(100 p) = 0,75.

Shembulli 3. Pajisja sinjalizuese merr sinjale nga dy pajisje dhe marrja e secilit prej sinjaleve është po aq e mundur në çdo moment të periudhës kohore që zgjat. T. Momentet e mbërritjes së sinjalit janë të pavarura nga njëra-tjetra. Alarmi aktivizohet nëse diferenca midis momenteve të marrjes së sinjalit është më e vogël t(t<T). Gjeni probabilitetin që alarmi të bie në kohë T, nëse çdo pajisje dërgon një sinjal.

Zgjidhje. Le të shënojmë momentet e mbërritjes së sinjaleve nga pajisjet e para dhe të dyta, përkatësisht, nga x Dhe y. Për shkak të kushteve të problemit, pabarazitë e dyfishta duhet të plotësohen: 0 x T, 0 y T Le të paraqesim në konsideratë sistemin e koordinatave drejtkëndëshe xOy. Në këtë sistem, pabarazitë e dyfishta plotësohen nga koordinatat e çdo pike të katrorit OTAT(Fig. 1).

Kështu, ky katror mund të konsiderohet si një figurë G, koordinatat e pikave të të cilave përfaqësojnë të gjitha vlerat e mundshme të momenteve të mbërritjes së sinjalit.

Alarmi aktivizohet nëse diferenca midis momenteve të marrjes së sinjalit është më e vogël t, d.m.th. Nëse y-x<t në y>x Dhe x-y<t në x>y, ose, çfarë është e njëjta,

y<x+t në y>x, (*)

y >x-t në y<x. (**)

Pabarazia (*) vlen për ato pika të figurës G, të cilat shtrihen mbi vijën y = x dhe poshtë vijës y = x+t;pabarazia (**) vlen për pikat e vendosura poshtë vijës y= x dhe mbi vijën e drejtë y = x-t.

Siç mund të shihet nga Fig. 1. të gjitha pikat, koordinatat e të cilave plotësojnë pabarazitë (*) dhe (**) i përkasin gjashtëkëndëshit të hijezuar. Pra, ky gjashtëkëndësh mund të konsiderohet si një figurë g, koordinatat e pikave të të cilave janë momente të favorshme kohore x Dhe y.

Probabiliteti i kërkuar

P= Pl. g/ Pl. G = (T 2 - (T - t) 2)/T 2 = (t(2T - t))/T 2 .

Shënim 1. Përkufizimet e dhëna janë raste të veçanta të përkufizimit të përgjithshëm të probabilitetit gjeometrik. Nëse shënojmë masën (gjatësinë, sipërfaqen, vëllimin) e një rajoni me mes, atëherë probabiliteti që një pikë e hedhur në mënyrë të rastësishme (në kuptimin e mësipërm) të bjerë në rajon g– pjesë e rajonit G, është e barabartë

P=mes g/mes G.

Vërejtje 2. Në rastin e përkufizimit klasik, probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme (të pamundur) është e barabartë me një (zero); Deklaratat e kundërta janë gjithashtu të vërteta (për shembull, nëse probabiliteti i një ngjarjeje është zero, atëherë ngjarja është e pamundur). Në rastin e një përkufizimi gjeometrik të probabilitetit, pohimet e kundërta nuk vlejnë. Për shembull, probabiliteti që një pikë e hedhur të godasë një pikë specifike në zonë Gështë zero, por kjo ngjarje mund të ndodhë dhe për këtë arsye nuk është e pamundur.

Detyrat

1. Kutia përmban 50 pjesë identike, 5 prej të cilave janë të lyera. Një pjesë nxirret në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që pjesa e nxjerrë do të lyhet

Përgjigju. fq = 0,1.

2. Hidhet një pjatë. Gjeni probabilitetin për të marrë një numër çift pikësh.

Përgjigju. fq = 0,5.

3. Pjesëmarrësit në short tërheqin shenja me numra nga 1 deri në 100 nga kutia Gjeni probabilitetin që numri i shenjës së parë të tërhequr në mënyrë të rastësishme të mos përmbajë numrin 5.

Përgjigju. fq = 0,81.

4. Në çantë ka 5 kube identikë. Një nga shkronjat e mëposhtme është shkruar në të gjitha faqet e çdo kubi: o, p, p, s, t Gjeni probabilitetin që fjala "sport" të lexohet në kube të shtrira një nga një dhe të renditur në "një". linjë”.

Përgjigju. fq = 1/120.

5. Secila nga gjashtë kartat identike ka një nga shkronjat e mëposhtme të shtypura në to: a, t, m, p, s, o. Kartat janë të përziera tërësisht. Gjeni probabilitetin që fjala "kabllo" të lexohet në katër letra të nxjerra një nga një dhe të renditur "në një rresht".

Përgjigju. fq = 1/ = 1/360.

6. Një kub, të gjitha skajet e të cilit janë me ngjyrë, sharrohet në një mijë kube të së njëjtës madhësi, të cilat më pas përzihen plotësisht. Gjeni probabilitetin që një kub i vizatuar në mënyrë të rastësishme të ketë faqe me ngjyra: a) një; b) dy; c) tre.

Përgjigju. a) 0.384; b)0.096; c)0.008.

7. Nga një grup i plotë i përzier tërësisht prej 28 dominosh, një pllakë vizatohet në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që kocka e dytë e tërhequr në mënyrë të rastësishme të vendoset pranë të parës nëse kocka e parë: a) rezulton të jetë dyshe; b) nuk ka dyfish.

Përgjigju. a) 2/9; b)4/9.

8. Kyçi ka pesë disqe në një bosht të përbashkët. Çdo disk është i ndarë në gjashtë sektorë, në të cilët shkruhen shkronja të ndryshme. Kyçi hapet vetëm nëse çdo disk zë një pozicion specifik në lidhje me trupin e bllokimit. Gjeni probabilitetin që nëse disqet instalohen rastësisht, bllokimi mund të hapet.

Përgjigju. fq = 1/6 5 .

9. Tetë libra të ndryshëm vendosen rastësisht në një raft. Gjeni probabilitetin që dy libra të veçantë të vendosen pranë njëri-tjetrit.

Përgjigju. fq= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Biblioteka përbëhet nga dhjetë libra të ndryshëm, me pesë libra që kushtojnë 4 rubla secili, tre libra kushtojnë nga një rubla secili dhe dy libra kushtojnë nga 3 rubla secili. Gjeni probabilitetin që dy libra të marrë rastësisht të kushtojnë 5 rubla.

Përgjigju. fq =

11. Në një grumbull prej 100 pjesësh, departamenti i kontrollit teknik zbuloi 5 pjesë jo standarde. Sa është frekuenca relative e shfaqjes së pjesëve jo standarde?

Përgjigju. w = 0,05.

12. Gjatë gjuajtjes nga një pushkë, frekuenca relative e goditjes së objektivit ishte e barabartë me 0.85. Gjeni numrin e goditjeve nëse janë shkrepur gjithsej 120 të shtëna.

Përgjigju. 102 goditje.

13. Për një segment O.A. gjatësia L boshti numerik kau u vendos një pikë në mënyrë të rastësishme B(x).Gjeni probabilitetin që sa më i vogël të jetë segmentet O.B. Dhe B.A. ka një gjatësi më të vogël se L/3. Supozohet se probabiliteti që një pikë të bjerë në një segment është proporcionale me gjatësinë e segmentit dhe nuk varet nga vendndodhja e saj në boshtin e numrave.

Përgjigju. fq = 2/3.

14. Brenda rrethit të rrezes R Një pikë hidhet rastësisht. Gjeni probabilitetin që një pikë të jetë brenda një katrori të gdhendur në një rreth. Supozohet se probabiliteti që një pikë të bjerë në një katror është proporcionale me sipërfaqen e katrorit dhe nuk varet nga vendndodhja e saj në lidhje me rrethin.

P = 7/16.

Kapitulli i dytë

Ekzistojnë disa përkufizime të konceptit të probabilitetit. Le të japim përkufizimin klasik. Ajo shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm. Ato rezultate elementare (d.m.th.), në cat. ndodh ngjarja që na intereson, do ta quajmë të favorshme për këtë ngjarje. Def. : Besoj ngjarja A quhet. raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha të papajtueshmeve po aq të mundshme e. i., duke formuar një grup të plotë. P(A) = m/n, ku m është numri i e. i., i favorshëm për ngjarjen A; n – numri i të gjitha të mundshmeve e. Dhe. testet. Nga përkufizimi i probabilitetit rrjedhin vetitë e tij

:1) ver.(c) e një ngjarjeje të besueshme është gjithmonë e barabartë me 1. Sepse. ngjarja është e besueshme, atëherë gjithçka është e. Dhe. gjyqet favorizojnë këtë ngjarje, d.m.th. m=n.

Frekuenca relative (RF) e një ngjarjeje është raporti i numrit të provave në të cilat ka ndodhur ngjarja me numrin total të provave të kryera në të vërtetë. (JO omega!!!).

W(A) = m/n, ku m është numri i dukurive të ngjarjes A, n është numri total i provave. Përcaktimi i probabilitetit nuk kërkon që testet të kryhen realisht.

Përkufizimi i OC supozon se testet janë kryer në të vërtetë, d.m.th. ver. llogaritur para eksperimentit dhe OC pas eksperimentit. Nëse eksperimentet kryhen në të njëjtat kushte, në secilën prej maceve. numri i testeve është mjaft i madh, atëherë OC shfaq stabilitet. Kjo veti qëndron në faktin se në eksperimente të ndryshme OC ndryshon pak, aq më pak bëhen teste, duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Ky numër është ver. ndodhja e ngjarjes. Se. Është vërtetuar eksperimentalisht se OR mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti. 5.Probabiliteti statistikor. Përkufizimi klasik i probabilitetit supozon se numri i rezultateve elementare të një prove është i kufizuar. Në praktikë, shpesh ka teste, numri i rezultateve të mundshme është mace. pafundësisht. Në raste të tilla, përkufizimi klasik nuk është i zbatueshëm.

Def:

Frekuenca relative, së bashku me probabilitetin, i përket koncepteve bazë të teorisë së probabilitetit.

Frekuenca relative stat. ver. Ngjarjet (st.v.) - frekuenca relative (RF) ose një numër afër saj.

Probabilitete të shenjta që dalin nga klasikja.

Duke krahasuar përkufizimet e probabilitetit dhe frekuencës relative, arrijmë në përfundimin: përkufizimi i probabilitetit nuk kërkon që testet të kryhen realisht; përcaktimi i frekuencës relative supozon se testet janë kryer në të vërtetë. Me fjalë të tjera, probabiliteti llogaritet para eksperimentit, dhe frekuenca relative pas eksperimentit.

Shembulli 1. Departamenti i inspektimit gjeti 3 pjesë jo standarde në një grumbull prej 80 pjesësh të zgjedhura rastësisht. Frekuenca relative e shfaqjes së pjesëve jo standarde

Shembulli 2. Në shenjë janë gjuajtur 24 të shtëna, me 19 goditje të regjistruara. Shkalla relative e goditjes së objektivit

Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se nëse eksperimentet kryhen në kushte identike, në secilën prej të cilave numri i testeve është mjaft i madh, atëherë frekuenca relative shfaq vetinë e stabilitetit. Kjo pronë është se në eksperimente të ndryshme frekuenca relative ndryshon pak (sa më pak, aq më shumë kryhen teste), duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Doli se ky numër konstant është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes.

Kështu, nëse frekuenca relative përcaktohet eksperimentalisht, atëherë numri që rezulton mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti.

Marrëdhënia midis frekuencës relative dhe probabilitetit do të përshkruhet më në detaje dhe më saktë më poshtë. Tani le të ilustrojmë vetinë e stabilitetit me shembuj.

Shembulli 3. Sipas statistikave suedeze, frekuenca relative e lindjeve të vajzave për vitin 1935 sipas muajve karakterizohet nga numrat e mëposhtëm (numrat janë renditur sipas muajve, duke filluar nga janari): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Frekuenca relative luhatet rreth numrit 0,482, që mund të merret si një vlerë e përafërt për probabilitetin për të pasur vajza.

Vini re se të dhënat statistikore nga vende të ndryshme japin afërsisht të njëjtën vlerë të frekuencës relative.

Shembulli 4. Eksperimentet e hedhjes së monedhave u kryen shumë herë dhe numërohej numri i herëve që u shfaq "stema". Rezultatet e disa eksperimenteve janë dhënë në tabelë. 1.

Këtu frekuencat relative devijojnë pak nga numri 0.5, dhe rryma është më e vogël, aq më i madh është numri i testeve. Për shembull, me 4040 prova devijimi është 0.0069, dhe me 24.000 prova është vetëm 0.0005 Duke marrë parasysh se probabiliteti i shfaqjes së një "steme" kur hedh një monedhë është 0.5, ne përsëri shohim se frekuenca relative. luhatet rreth probabilitetit .