Pasiguria e llojit dhe specieve janë pasiguritë më të zakonshme që duhet të zbulohen kur zgjidhen kufijtë.
Shumica e problemeve kufitare të hasura nga studentët përmbajnë pasiguri të tilla. Për t'i zbuluar ato ose, më saktë, për të shmangur pasiguritë, ekzistojnë disa teknika artificiale për transformimin e llojit të shprehjes nën shenjën e kufirit. Këto teknika janë si më poshtë: ndarja sipas termave të numëruesit dhe emëruesit me fuqinë më të lartë të ndryshores, shumëzimi me shprehjen e konjuguar dhe faktorizimi për reduktimin pasues duke përdorur zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit.
Pasiguria e specieve
Shembulli 1.
nështë e barabartë me 2. Prandaj, ne ndajmë termin numërues dhe emërues me term me:
.
Komentoni në anën e djathtë të shprehjes. Shigjetat dhe numrat tregojnë se për çfarë priren thyesat pas zëvendësimit n që do të thotë pafundësi. Këtu, si në shembullin 2, shkalla n Ka më shumë në emërues sesa në numërues, si rezultat i së cilës e gjithë thyesa tenton të jetë infinitimale ose "super e vogël".
Ne marrim përgjigjen: kufiri i këtij funksioni me një ndryshore që priret në pafundësi është i barabartë me .
Shembulli 2. .
Zgjidhje. Këtu është fuqia më e lartë e ndryshores xështë e barabartë me 1. Prandaj, ne pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me term me x:
.
Komenti i ecurisë së vendimit. Në numërues ne vendosim "x" nën rrënjën e shkallës së tretë, dhe në mënyrë që shkalla e saj origjinale (1) të mbetet e pandryshuar, i caktojmë të njëjtën shkallë si rrënjës, domethënë 3. Nuk ka shigjeta ose numra shtesë. në këtë hyrje, prandaj provojeni mendërisht, por në analogji me shembullin e mëparshëm, përcaktoni se për çfarë priren shprehjet në numërues dhe emërues pasi zëvendësoni pafundësinë në vend të "x".
Morëm përgjigjen: kufiri i këtij funksioni me një variabël që tenton në pafundësi është i barabartë me zero.
Pasiguria e specieve
Shembulli 3. Zbuloni pasigurinë dhe gjeni kufirin.
Zgjidhje. Numëruesi është diferenca e kubeve. Le ta faktorizojmë duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit nga kursi i matematikës shkollore:
Emëruesi përmban një trinom kuadratik, të cilin do ta faktorizojmë duke zgjidhur një ekuacion kuadratik (edhe një herë një lidhje për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike):
Le të shkruajmë shprehjen e fituar si rezultat i transformimeve dhe të gjejmë kufirin e funksionit:
Shembulli 4. Zhbllokoni pasigurinë dhe gjeni kufirin
Zgjidhje. Teorema e kufirit të koeficientit nuk është e zbatueshme këtu, pasi
Prandaj, ne e transformojmë thyesën në mënyrë identike: duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugatin e binomit në emërues dhe zvogëlojmë me x+1. Sipas përfundimit të Teoremës 1, marrim një shprehje, duke e zgjidhur të cilën gjejmë kufirin e dëshiruar:
Shembulli 5. Zhbllokoni pasigurinë dhe gjeni kufirin
Zgjidhje. Zëvendësimi i drejtpërdrejtë i vlerës x= 0 në një funksion të caktuar çon në pasiguri të formës 0/0. Për ta zbuluar atë, ne kryejmë transformime identike dhe përfundimisht marrim kufirin e dëshiruar: 
Shembulli 6. Llogaritni 
Zgjidhja: Le të përdorim teoremat mbi kufijtë
Përgjigje: 11
Shembulli 7. Llogaritni 
Zgjidhja: në këtë shembull kufijtë e numëruesit dhe emëruesit në janë të barabartë me 0:
; 
. Kemi marrë, pra, teorema mbi kufirin e herësit nuk mund të zbatohet.
Le të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin në mënyrë që të zvogëlojmë thyesën me një faktor të përbashkët që priret në zero, dhe, për rrjedhojë, të bëjmë të mundur zbatimin e teoremës 3.
Zgjerojmë trinomin katror në numërues duke përdorur formulën, ku x 1 dhe x 2 janë rrënjët e trinomit. Duke pasur faktorizuar dhe emërues, ne e zvogëlojmë thyesën me (x-2), më pas zbatojmë teoremën 3.
Përgjigje:
Shembulli 8. Llogaritni
Zgjidhja: Kur numëruesi dhe emëruesi priren në pafundësi, pra, kur zbatojmë drejtpërdrejt teoremën 3, marrim shprehjen , e cila përfaqëson pasigurinë. Për të hequr qafe pasigurinë e këtij lloji, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin me fuqinë më të lartë të argumentit. Në këtë shembull, ju duhet të ndani me X:
Përgjigje:
Shembulli 9. Llogaritni 
Zgjidhja: x 3:
Përgjigje: 2
Shembulli 10. Llogaritni 
Zgjidhja: Kur numëruesi dhe emëruesi priren në pafundësi. Le të ndajmë numëruesin dhe emëruesin me fuqinë më të lartë të argumentit, d.m.th. x 5:
= 
Numëruesi i thyesës priret në 1, emëruesi priret në 0, kështu që thyesa priret në pafundësi.
Përgjigje:
Shembulli 11. Llogaritni
Zgjidhja: Kur numëruesi dhe emëruesi priren në pafundësi. Le të ndajmë numëruesin dhe emëruesin me fuqinë më të lartë të argumentit, d.m.th. x 7:
Përgjigje: 0
Derivat.
Derivati i funksionit y = f(x) në lidhje me argumentin x quhet kufiri i raportit të rritjes së tij y me shtimin x të argumentit x, kur rritja e argumentit tenton në zero: . Nëse ky kufi është i kufizuar, atëherë funksioni y = f(x) thuhet se është i diferencueshëm në x. Nëse ky kufi ekziston, atëherë ata thonë se funksioni y = f(x) ka një derivat të pafund në pikën x.
Derivatet e funksioneve elementare themelore:
1. (konst)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Rregullat e diferencimit:
a) 
V) 
Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni 
Zgjidhja: Nëse derivati i termit të dytë gjendet duke përdorur rregullin e diferencimit të thyesave, atëherë termi i parë është një funksion kompleks, derivati i të cilit gjendet me formulën:
, Ku 
, Pastaj
Gjatë zgjidhjes janë përdorur formulat e mëposhtme: 1,2,10,a,c,d.
Përgjigje:
Shembulli 21. Gjeni derivatin e një funksioni 
Zgjidhja: të dy termat janë funksione komplekse, ku për të parën , , dhe për të dytën , , atëherë
Përgjigje: 
Aplikacionet derivative.
1. Shpejtësia dhe nxitimi
Le të përshkruajë funksionin s(t). pozicion objekt në ndonjë sistem koordinativ në kohën t. Atëherë derivati i parë i funksionit s(t) është i menjëhershëm shpejtësia objekt:
v=s′=f′(t)
Derivati i dytë i funksionit s(t) paraqet momentin nxitimi objekt:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Ekuacioni tangjent
y−y0=f′(x0)(x−x0),
ku (x0,y0) janë koordinatat e pikës tangjente, f′(x0) është vlera e derivatit të funksionit f(x) në pikën tangjente.
3. Ekuacioni normal
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
ku (x0,y0) janë koordinatat e pikës në të cilën vizatohet normalja, f′(x0) është vlera e derivatit të funksionit f(x) në këtë pikë.
4. Funksioni rritës dhe pakësues
Nëse f′(x0)>0, atëherë funksioni rritet në pikën x0. Në figurën më poshtë funksioni rritet me x
Nëse f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Ekstrema lokale e një funksioni
Funksioni f(x) ka maksimale lokale në pikën x1, nëse ka një fqinjësi të pikës x1 e tillë që për të gjitha x nga kjo fqinjësi vlen pabarazia f(x1)≥f(x).
Në mënyrë të ngjashme, funksioni f(x) ka minimale lokale në pikën x2, nëse ka një fqinjësi të pikës x2 e tillë që për të gjitha x nga kjo fqinjësi vlen pabarazia f(x2)≤f(x).
6. Pikat kritike
Pika x0 është pikë kritike funksioni f(x), nëse derivati f′(x0) në të është i barabartë me zero ose nuk ekziston.
7. Shenja e parë e mjaftueshme e ekzistencës së një ekstremi
Nëse funksioni f(x) rritet (f'(x)>0) për të gjitha x në një interval (a,x1] dhe zvogëlohet (f'(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) për të gjitha x nga intervali )
