Siç e kam vërejtur tashmë, në llogaritjen integrale nuk ka një formulë të përshtatshme për integrimin e një fraksioni. Prandaj, ekziston një prirje e trishtueshme: sa më e sofistikuar të jetë fraksioni, aq më e vështirë është të gjesh integralin e saj. Në këtë drejtim, ju duhet të drejtoheni në truket e ndryshme, për të cilat tani do t'ju tregoj. Lexuesit e përgatitur mund të përfitojnë menjëherë tabela e përmbajtjes:

• Mënyra e nënshtrimit të shenjës diferenciale për thyesat e thjeshta

Metoda e konvertimit të numëruesit artificial

Shembulli 1

Meqë ra fjala, integrali i konsideruar mund të zgjidhet edhe me ndryshimin e metodës së ndryshores, duke treguar , por shkrimi i zgjidhjes do të jetë shumë më i gjatë.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Duhet të theksohet se metoda e zëvendësimit të variablave nuk do të funksionojë më këtu.

Kujdes, e rëndësishme! Shembujt nr. 1, 2 janë tipikë dhe ndodhin shpesh. Në veçanti, integrale të tilla shpesh lindin gjatë zgjidhjes së integraleve të tjera, në veçanti, kur integrohen funksionet irracionale (rrënjët).

Teknika e konsideruar gjithashtu funksionon në këtë rast nëse shkalla më e lartë e numëruesit është më e madhe se shkalla më e lartë e emëruesit.

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Fillojmë të zgjedhim numëruesin.

Algoritmi për zgjedhjen e numëruesit është diçka si ky:

1) Në numërues duhet të organizoj, por atje. Çfarë duhet bërë? E vendos në kllapa dhe e shumëzoj me: .

2) Tani po përpiqem të hap këto kllapa, çfarë ndodh? . Hmm... kjo është më mirë, por fillimisht nuk ka dy në numërues. Çfarë duhet bërë? Ju duhet të shumëzoni me:

3) Hap përsëri kllapat: . Dhe këtu është suksesi i parë! Doli tamam e drejtë! Por problemi është se është shfaqur një term shtesë. Çfarë duhet bërë? Për të parandaluar ndryshimin e shprehjes, duhet të shtoj të njëjtën gjë në konstruksionin tim:
. Jeta është bërë më e lehtë. A është e mundur të organizohet përsëri në numërues?

4) Është e mundur. Le të provojmë: . Hapni kllapat e termit të dytë:
. Na vjen keq, por në hapin e mëparshëm unë në fakt kisha , jo . Çfarë duhet bërë? Ju duhet të shumëzoni termin e dytë me:

5) Përsëri, për të kontrolluar, hap kllapat në termin e dytë:
. Tani është normale: rrjedh nga ndërtimi përfundimtar i pikës 3! Por përsëri ka një "por" të vogël, është shfaqur një term shtesë, që do të thotë që duhet të shtoj në shprehjen time:

Nëse gjithçka është bërë në mënyrë korrekte, atëherë kur hapim të gjitha kllapat, duhet të marrim numëruesin origjinal të integrandit. Ne kontrollojmë:
Kapuç.

Kështu:

Gati. Në termin e fundit, përdora metodën e nënshtrimit të një funksioni nën një diferencial.

Nëse gjejmë derivatin e përgjigjes dhe e reduktojmë shprehjen në një emërues të përbashkët, atëherë do të marrim saktësisht funksionin e integrandit origjinal. Metoda e konsideruar e zbërthimit në një shumë nuk është gjë tjetër veçse veprimi i kundërt i sjelljes së një shprehje në një emërues të përbashkët.

Algoritmi për zgjedhjen e numëruesit në shembuj të tillë bëhet më së miri në formë drafti. Me disa aftësi do të funksionojë mendërisht. Më kujtohet një rast rekordi kur po kryeja një përzgjedhje për fuqinë e 11-të, dhe zgjerimi i numëruesit mori pothuajse dy rreshta të Verdit.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Mënyra e nënshtrimit të shenjës diferenciale për thyesat e thjeshta

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë llojin tjetër të thyesave.
, , , (koeficientët dhe nuk janë të barabartë me zero).

Në fakt, disa raste me arksine dhe arktangent janë përmendur tashmë në mësim Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar. Shembuj të tillë zgjidhen duke e futur funksionin nën shenjën diferenciale dhe duke u integruar më tej duke përdorur një tabelë. Këtu janë shembuj më tipikë me logaritme të gjata dhe të larta:

Shembulli 5

Shembulli 6

Këtu këshillohet të zgjidhni një tabelë integrale dhe të shihni se cilat formula dhe Si bëhet transformimi. Ju lutemi vini re si dhe pse Sheshet në këta shembuj janë të theksuar. Në veçanti, në Shembullin 6 së pari duhet të paraqesim emëruesin në formë , pastaj futeni nën shenjën diferenciale. Dhe e gjithë kjo duhet të bëhet për të përdorur formulën standarde tabelare .

Pse shikoni, përpiquni t'i zgjidhni vetë shembujt nr. 7, 8, veçanërisht pasi ato janë mjaft të shkurtra:

Shembulli 7

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar:

Nëse arrini t'i kontrolloni edhe këta shembuj, atëherë respekt i madh - aftësitë tuaja të diferencimit janë të shkëlqyera.

Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë

Integrale të formës (koeficientët dhe nuk janë të barabartë me zero) janë zgjidhur metoda e plotë e nxjerrjes katrore, e cila tashmë është shfaqur në mësim Shndërrimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, integrale të tilla reduktohen në një nga katër integralet tabelare që sapo shikuam. Dhe kjo arrihet duke përdorur formulat e njohura të shkurtuara të shumëzimit:

Formulat zbatohen pikërisht në këtë drejtim, domethënë, ideja e metodës është të organizojë artificialisht shprehjet ose në emërues, dhe pastaj t'i konvertojë ato në përputhje me rrethanat.

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është shembulli më i thjeshtë në të cilin me termin – koeficienti njësi(jo ndonjë numër ose minus).

Le të shohim emëruesin, këtu e gjithë çështja del qartë tek rastësia. Le të fillojmë konvertimin e emëruesit:

Natyrisht, ju duhet të shtoni 4. Dhe, në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë, zbritni të njëjtat katër:

Tani mund të aplikoni formulën:

Pasi të përfundojë konvertimi GJITHMONË Këshillohet të kryeni lëvizjen e kundërt: gjithçka është në rregull, nuk ka gabime.

Dizajni përfundimtar i shembullit në fjalë duhet të duket diçka si kjo:

Gati. Përfshirja e një funksioni kompleks "të lirë" nën shenjën diferenciale: , në parim, mund të neglizhohet

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar:

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, përgjigja është në fund të mësimit

Shembulli 11

Gjeni integralin e pacaktuar:

Çfarë duhet të bëni kur ka një minus përpara? Në këtë rast, duhet të heqim minusin nga kllapat dhe t'i renditim termat sipas renditjes që na duhen: . Konstante("dy" në këtë rast) mos prek!

Tani shtojmë një në kllapa. Duke analizuar shprehjen, arrijmë në përfundimin se duhet të shtojmë një jashtë kllapave:

Këtu marrim formulën, aplikoni:

GJITHMONË Ne kontrollojmë draftin:
, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Shembulli i pastër duket diçka si ky:

Duke e bërë detyrën më të vështirë

Shembulli 12

Gjeni integralin e pacaktuar:

Këtu termi nuk është më një koeficient njësi, por një "pesë".

(1) Nëse ka një konstante në, atëherë e heqim menjëherë nga kllapat.

(2) Në përgjithësi, është gjithmonë më mirë që kjo konstante të zhvendoset jashtë integralit në mënyrë që të mos pengohet.

(3) Natyrisht, gjithçka do të zbresë në formulë. Ne duhet të kuptojmë termin, domethënë, të marrim "dy"

(4) Po, . Kjo do të thotë që ne i shtojmë shprehjes dhe zbresim të njëjtën thyesë.

(5) Tani zgjidhni një katror të plotë. Në rastin e përgjithshëm, ne gjithashtu duhet të llogarisim, por këtu kemi një formulë për një logaritëm të gjatë , dhe nuk ka kuptim në kryerjen e veprimit pse do të bëhet e qartë më poshtë.

(6) Në fakt, ne mund të zbatojmë formulën , vetëm në vend të “X” kemi , që nuk e mohon vlefshmërinë e integralit të tabelës. Në mënyrë të rreptë, një hap humbi - para integrimit, funksioni duhet të ishte nënshtruar nën shenjën diferenciale: , por, siç e kam theksuar në mënyrë të përsëritur, kjo shpesh neglizhohet.

(7) Në përgjigjen nën rrënjë, këshillohet të zgjeroni të gjitha kllapat prapa:

E veshtire? Kjo nuk është pjesa më e vështirë e llogaritjes integrale. Megjithëse, shembujt në shqyrtim nuk janë aq kompleks sa kërkojnë teknika të mira llogaritëse.

Shembulli 13

Gjeni integralin e pacaktuar:

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Përgjigja është në fund të mësimit.

Ka integrale me rrënjë në emërues, të cilat, duke përdorur një zëvendësim, reduktohen në integrale të llojit të konsideruar që mund të lexoni rreth tyre në artikull; Integrale komplekse, por është krijuar për studentë shumë të përgatitur.

Përfshirja e numëruesit nën shenjën diferenciale

Kjo është pjesa e fundit e mësimit, megjithatë, integralet e këtij lloji janë mjaft të zakonshme! Nëse jeni të lodhur, ndoshta është më mirë të lexoni nesër? ;)

Integralet që do të shqyrtojmë janë të ngjashëm me integralet e paragrafit të mëparshëm, kanë formën: ose (koeficientët , dhe nuk janë të barabartë me zero).

Kjo do të thotë, ne tani kemi një funksion linear në numërues. Si të zgjidhen integrale të tilla?

Llogaritësi online.
Izolimi i katrorit të një binomi dhe faktorizimi i një trinomi katror.

Ato. problemet përfundojnë në gjetjen e numrave \(p, q\) dhe \(n, m\)

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e zgjidhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër.

Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një trinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.

Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, kur zgjidhet, fillimisht thjeshtohet shprehja e paraqitur.
Për shembull: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Shembull i një zgjidhjeje të detajuar

Izolimi i katrorit të një binomi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjetë a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\majtas( \frac(1)(2) \djathtas)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\majtas (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \djathtas)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2 \djathtas)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizimi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjeta a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\majtas(x^2+x-2 \djathtas) = ​​$$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \djathtas) = ​​$$ $$ 2 \left(x \majtas(x +2 \djathtas) -1 \majtas(x +2 \djathtas ) \djathtas) = ​​$$ $$ 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutemi prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Izolimi i katrorit të një binomi nga një trinom katror

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet si a(x+p) 2 +q, ku p dhe q janë numra realë, atëherë themi se nga trinomi katror, ​​vihet në pah katrori i binomit.

Nga trinomi 2x 2 +12x+14 nxjerrim katrorin e binomit.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Për ta bërë këtë, imagjinoni 6x si një prodhim të 2*3*x, dhe më pas shtoni dhe zbritni 3 2. Ne marrim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Se. ne nxjerr binomin katror nga trinomi katror, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet në formën a(x+n)(x+m), ku n dhe m janë numra real, atëherë thuhet se operacioni është kryer. faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Le të tregojmë me një shembull se si bëhet ky transformim.

Le të faktorizojmë trinomin kuadratik 2x 2 +4x-6.

Le të nxjerrim koeficientin a jashtë kllapave, d.m.th. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Le të transformojmë shprehjen në kllapa.
Për ta bërë këtë, imagjinoni 2x si ndryshim 3x-1x, dhe -3 si -1*3. Ne marrim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Se. ne faktorizoi trinomin kuadratik, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Vini re se faktorizimi i një trinomi kuadratik është i mundur vetëm kur ekuacioni kuadratik që i korrespondon këtij trinomi ka rrënjë.
Ato. në rastin tonë, është e mundur të faktorizohet trinomi 2x 2 +4x-6 nëse ekuacioni kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 ka rrënjë. Në procesin e faktorizimit, konstatuam se ekuacioni 2x 2 + 4x-6 = 0 ka dy rrënjë 1 dhe -3, sepse me këto vlera, ekuacioni 2(x-1)(x+3)=0 kthehet në një barazi të vërtetë.

x thirri

1.2.3. Përdorimi i identiteteve të shkurtuara të shumëzimit

Shembull. Faktori x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Faktorizimi i një polinomi duke përdorur rrënjët e tij

Teorema. Le të ketë polinomi P x rrënjë x 1 . Atëherë ky polinom mund të faktorizohet si më poshtë: P x x x 1 S x , ku S x është një polinom shkalla e të cilit është një më pak

vlerat në mënyrë alternative në shprehjen për P x Ne marrim se kur x 2 ju-.

shprehja do të kthehet në 0, domethënë P 2 0, që do të thotë se x 2 është rrënja e një multi-

anëtar. Pjestojeni polinomin P x me x 2 .

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Zgjedhja e një katrori të plotë

Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë bazohet në përdorimin e formulave: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Izolimi i një katrori të plotë është një transformim identiteti në të cilin një trinom i dhënë përfaqësohet si b 2 shuma ose diferenca e katrorit të binomit dhe disa shprehje numerike ose alfabetike.

Një trinom katror në lidhje me një ndryshore jep një shprehje të formës

Më pas shprehjen b x e paraqesim si 2b x (dyfishi i prodhimit

Shprehjes në kllapa i shtojmë dhe i zbresim numrin

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Polinome në disa ndryshore

Polinomet në disa ndryshore, si polinomet në një ndryshore, mund të shtohen, shumëzohen dhe ngrihen në një fuqi natyrore.

Një transformim i rëndësishëm identiteti i një polinomi në disa ndryshore është faktorizimi. Këtu, metoda të tilla të faktorizimit përdoren si vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave, grupimi, përdorimi i identiteteve të shkurtuara të shumëzimit, izolimi i një katrori të plotë dhe futja e ndryshoreve ndihmëse.

1. Faktoroni polinomin P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2 y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 x 16 y 2.

2. Faktori P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Le të zbatojmë metodën e grupimit

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Faktori P x ,y x 4 4y 4 . Le të zgjedhim një katror të plotë:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Vetitë e një shkalle me ndonjë eksponent racional

Një shkallë me çdo eksponent racional ka vetitë e mëposhtme:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

ku një 0;b 0;r 1;r 2 janë numra racionalë arbitrarë.

1.6. Ushtrime për të bërë vetë

1. Kryeni veprime duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit. 1) a 52;

2) 3 a 72;

3) një nb n2 .

4) 1 x 3;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Llogaritni duke përdorur identitete të shkurtuara të shumëzimit:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Provoni identitetet:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) një sëpatë 2 b2 x2 y2 nga 2 bx ay2 .

4. Faktoroni polinomet e mëposhtme:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 sëpatë 3 45 sëpatë 2 45 sëpatë 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Llogaritni në mënyrën më të thjeshtë:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Gjeni herësin dhe mbetjen e një polinomi P x nga polinomiQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Vërtetoni se polinomi x 2 2x 2 nuk ka rrënjë të vërteta.

8. Gjeni rrënjët e polinomit:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktori:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Zgjidh ekuacionet duke izoluar një katror të plotë:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Gjeni kuptimet e shprehjeve:

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Llogaritni:

16 0,25

16 0,25

Në këtë mësim, ne do të kujtojmë të gjitha metodat e studiuara më parë të faktorizimit të një polinomi dhe do të shqyrtojmë shembuj të aplikimit të tyre, përveç kësaj, do të studiojmë një metodë të re - metodën e izolimit të një katrori të plotë dhe do të mësojmë se si ta përdorim atë në zgjidhjen e problemeve të ndryshme . Tema:Polinomet e faktorizimit Mësimi:Polinomet e faktorizimit. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë. Kombinimi i metodave Le të kujtojmë metodat themelore të faktorizimit të një polinomi që u studiuan më herët: Metoda e nxjerrjes së një faktori të përbashkët jashtë kllapave, domethënë një faktori që është i pranishëm në të gjitha termat e polinomit. Le të shohim një shembull: Kujtoni se një monom është prodhim i fuqive dhe numrave. Në shembullin tonë, të dy termat kanë disa elementë të përbashkët, identikë. Pra, le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat: ; Ju kujtojmë se duke shumëzuar faktorin e nxjerrë me një kllapa, mund të kontrolloni korrektësinë e faktorit të nxjerrë. Metoda e grupimit. Nuk është gjithmonë e mundur të nxirret një faktor i përbashkët në një polinom. Në këtë rast, ju duhet t'i ndani anëtarët e tij në grupe në atë mënyrë që në secilin grup të mund të nxirrni një faktor të përbashkët dhe të përpiqeni ta zbërtheni atë në mënyrë që pas nxjerrjes së faktorëve në grupe, të shfaqet një faktor i përbashkët në të gjithë shprehjen, dhe mund të vazhdoni dekompozimin. Le të shohim një shembull: Le të grupojmë termin e parë me të katërtin, të dytin me të pestin dhe të tretin me të gjashtën: Le të nxjerrim faktorët e përbashkët në grupe: Shprehja tani ka një faktor të përbashkët. Le ta nxjerrim atë: Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Le të shohim një shembull: ; Le të shkruajmë shprehjen në detaje: Natyrisht, ne kemi para nesh formulën e diferencës në katror, ​​pasi ajo është shuma e katrorëve të dy shprehjeve dhe produkti i tyre i dyfishtë zbritet prej saj. Le të përdorim formulën: Sot do të mësojmë një metodë tjetër - metodën e zgjedhjes së një sheshi të plotë. Ai bazohet në formulat e katrorit të shumës dhe katrorit të diferencës. Le t'i kujtojmë ata: Formula për katrorin e shumës (diferencës); E veçanta e këtyre formulave është se ato përmbajnë katrorët e dy shprehjeve dhe produktin e tyre të dyfishtë. Le të shohim një shembull: Le të shkruajmë shprehjen: Pra, shprehja e parë është , dhe e dyta është . Për të krijuar një formulë për katrorin e një shume ose ndryshimi, produkti i dyfishtë i shprehjeve nuk mjafton. Duhet të shtohet dhe të zbritet: Le të plotësojmë katrorin e shumës: Le të transformojmë shprehjen që rezulton: Le të zbatojmë formulën për ndryshimin e katrorëve, kujtojmë se ndryshimi i katrorëve të dy shprehjeve është prodhimi dhe shuma e ndryshimit të tyre: Pra, kjo metodë konsiston, para së gjithash, në identifikimin e shprehjeve a dhe b që janë në katror, ​​pra në përcaktimin se cilat shprehje janë në katror në këtë shembull. Pas kësaj, ju duhet të kontrolloni praninë e një produkti të dyfishtë dhe nëse nuk është aty, atëherë shtoni dhe zbritni atë, kjo nuk do të ndryshojë kuptimin e shembullit, por polinomi mund të faktorizohet duke përdorur formulat për katrorin e shuma ose diferenca dhe diferenca e katrorëve, nëse është e mundur. Le të kalojmë në zgjidhjen e shembujve. Shembulli 1 - faktorizoni: Le të gjejmë shprehjet që janë në katror: Le të shkruajmë se cili duhet të jetë produkti i tyre i dyfishtë: Le të shtojmë dhe zbresim dyfishin e produktit: Le të plotësojmë katrorin e shumës dhe të japim të ngjashëm: Le ta shkruajmë duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve: Shembulli 2 - zgjidhni ekuacionin: ; Në anën e majtë të ekuacionit është një trinom. Ju duhet ta faktorizoni atë në faktorë. Ne përdorim formulën e diferencës në katror: Kemi katrorin e shprehjes së parë dhe produktin e dyfishtë, katrori i shprehjes së dytë mungon, le ta shtojmë dhe ta zbresim atë: Le të palosim një katror të plotë dhe të japim terma të ngjashëm: Le të zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve: Pra kemi ekuacionin Ne e dimë se një produkt është i barabartë me zero vetëm nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Le të krijojmë ekuacionet e mëposhtme bazuar në këtë: Le të zgjidhim ekuacionin e parë: Le të zgjidhim ekuacionin e dytë: Përgjigje: ose ; Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme me shembullin e mëparshëm - zgjidhni katrorin e ndryshimit. Ju pëlqeu artikulli? Ndani me miqtë tuaj! Shpërndaje në Facebook Lexoni gjithashtu Heronjtë e gjallë të luftës çeçene Informacioni bazë Gbou school Gloria Belozerskaya 12 ditar elektronik Lebed Anatoly Vyacheslavovich - nënkolonel roje i forcave speciale ajrore: biografia, familja, vdekja, çmimet Problemet dhe zgjidhjet "Konceptet themelore ekonomike" "Vdekja e një poeti", analiza e poemës së Lermontovit Analiza e vdekjes së poetit shkurtimisht V Konkursi në internet gjithë-rus Kontur Franca gjatë Luftës së Parë Botërore Një zjarr u ndez nga një prush Ndikimi i kushteve meteorologjike në trup Ndikimi i kushteve meteorologjike në trup Top