5 sayısının varyansı nedir. Bir rastgele değişkenin dağılımı

Fark bu matematiksel beklenti rastgele değişkenin karesi ve onun beklenti eşinin karesi.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Dağılım, bir rastgele değişkenin değerinin beklenen değerine göre dağılım derecesini karakterize eder. Tüm değerler beklenen değer etrafında yoğunlaşmışsa ve beklenen değerden sapma daha büyükse, o zaman böyle bir rastgele değişkenin dağılımı küçükse ve dağılmışsa ve M'den büyük sapma olasılığı yüksekse, o zaman rastgele değerin geniş bir dağılımı vardır.

Özellikler:

1. Varyans sürekli olarak 0'a eşittir D(C)=0

2. Rasgele bir niceliğin çarpımının bir C sabitine göre dağılımı, rastgele bir nicelik X'in bir sabit D(CX)=C^2D(X)'in karesine göre dağılımının çarpımına eşittir.

3. X ve Y değerleri bağımsızsa, toplamlarının varyansı (farkının) varyansların toplamına eşit olması

D(XY)=D(X)+D(Y)

4. Büyük/küçük harf değerlerinin dağılımı, ona bir sabit eklenirse değişmeyecektir.

Teorem:

A olaylarının n'de meydana gelme sayısının dağılımı bağımsız testler olayların meydana gelme olasılığı sabit ve p'ye eşit olan her birinde, deneme sayısının meydana gelme olasılığı ve bir denemede olayların ortaya çıkmama olasılığı ile çarpımına eşittir

Standart sapma.

Bir rastgele değişken X'in ortalama kare sapmasına denir aritmetik kök varyans

Sürekli rastgele değişkenler. Olasılık dağılım fonksiyonu ve özellikleri.

Değeri belirli bir aralığı dolduran rastgele değişkene denir sürekli.

Aralıklar sonlu, yarı sonsuz veya sonsuz olabilir.

Dağıtım fonksiyonu St.

DSV'yi belirtme yöntemleri sürekli için geçerli değildir. Bu bağlamda olasılık dağılım fonksiyonu kavramı tanıtılmaktadır.

Dağılım fonksiyonu, her x değeri için X değerinin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir F(x) fonksiyonudur;

İşlev DSV dağıtımları(x1,x2,x3) değerinin (p1,p2,p3) olasılığı ile alınmasıyla belirlenir

Örneğin dağıtım fonksiyonu Binom dağılımı aşağıdaki formülle belirlenir:

Rastgele değişken dağılım fonksiyonu sürekli türevli, kısmen türevlenebilir bir fonksiyon ise sürekli olarak adlandırılır.

Özellikler:

1.fonksiyon değeri aittir

2. dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur F(x2)

3. Rastgele değişken X'in (α,β) aralığında yer alan bir değeri alma olasılığı, dağılım fonksiyonunun bu P(α) aralığındaki artışına eşittir.

Sonuçlar. Bir durumun tek değer alma olasılığı 0'dır.

4. Bir X değerinin tüm olası değerleri (a,b)'ye aitse x a için F(x)=0 ve x b için F(x)=1

5. X değerinin x'ten büyük bir değer alma olasılığı, birlik ile dağılım fonksiyonu arasındaki farka eşittir.

Yeni bilgi, beceri ve yetenekleri aktarma ve bunlara hakim olma dersi.

Konu: Farklılık. Özellikleri.

Dersin Hedefleri:

• Bilişsel: 1) öğrencilere belirli bir matematiksel bilgi, yetenek, beceri sisteminin aktarılması; 2) öğrencilerin becerilerini geliştirmek
  Olasılık teorisindeki temel problem türlerini çözebilir ve teoriyi belirli farklı durumlarda uygulayabilir; 3) yüksek matematiğin fikir ve yöntemleri hakkında fikir oluşumu; 4) yüksek matematik akademik konusunun materyaline dayanarak öğrencilerde eğitimsel ve bilişsel aktivite yöntemlerinin oluşturulması.
• Gelişimsel: 1) düşünmenin gelişimi; 2) hafıza gelişimi; 3) yaratıcı faaliyet unsurlarının düşünme nitelikleri olarak geliştirilmesi; 4) matematiksel terminolojiye hakim olmanın yanı sıra tanımları, kavramları oluşturma ve bunlarla çalışma tekniklerini içeren konuşmanın gelişimi.
• Eğitimsel: 1) Öğrencilere seçtikleri mesleğe ve bu konuya olan sevgiyi aşılamak.

Görev: Bir rastgele değişkenin varyansının özelliklerini belirlemek ve hesaplanması için bir formül türetmek.

Dersler sırasında.

1. Zamanı organize etmek.
2. Eskiyi tekrarlamak ve yeni materyali öğrenmek.
3. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
4. Ev ödevi.

1. Derste bulunan öğrencilerin kontrol edilmesi.

2. Matematik tüm bilimlerin kraliçesidir!
Gemiler onsuz uçamaz,
O olmadan bir dönüm araziyi bölemezsiniz,
Ekmek bile alamıyorsun, bir rubleyi bile sayamıyorsun,
Bilmeyeceğiniz ve bir kez öğrendiğinizde de anlayamayacağınız şey!

Öğretmen: “Yani matematiksel beklenti rastgele değişkeni tam olarak karakterize etmiyor”

Öğrenci 1: “Ah, nasıl oluyor da bu kadar itici oluyorum?”

Öğrenci 2: “Evet haklısın, doğruyu söylüyorsun.”

Öğrenci 1: “Ama kim birdenbire yerime geçerse geçsin, çünkü herkesin benim formülüme ihtiyacı var.”

Öğrenci 2: “Evet, önce her şeyi kendinize hatırlayın.”

Öğrenci 1: “Sorun değil, bu formülleri herkes biliyor. Ve değerler kümesi sonsuzsa, beklenti bir dizi veya daha doğrusu toplamı olarak bulunur:

Ve eğer miktar aniden sürekli hale gelirse, o zaman sınırlayıcı durumu dikkate alma hakkına sahibiz ve sonunda şunu elde ederiz:

Öğrenci 2: “Ama bunların hepsi komik çünkü beklenti yok. O burada değil!".

Öğrenci 1: “Hayır, hem integral hem de toplam mutlak yakınsak olduğunda beklenti oluşur.”

Öğrenci 2: “Yine de şunu söylüyorum, beklememize gerek yok.”

Öğrenci 1: “Ah, nasıl olur bu? Evet, çok basit.”

Öğretmen: “Durun, durun, tartışmayı bitirelim. Bir kalem ve defter alın, yolda anlaşmazlığı çözeceğiz. Ancak başlamadan önce tek bir şeyi hatırlayalım: Matematiksel beklentiden sapmanın neye eşit olduğu."

Öğrenci 3: “Ah, bunu hatırlayabiliyorum.”

Öğretmen: “Lütfen, işte tebeşir, tahta.”

Öğrenci 4: “X – M(X) farkına X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi M(X)'ten sapması denir. Sapma rastgele bir değişkendir. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi sabit bir nicelik olduğundan ve bir sabitin matematiksel beklentisi buna eşit olduğundan

sabit ise M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) = M (X) – M(X) = 0. t, e, M(X – M(X) ) =0."

Öğretmen: “Evet her şey doğru ama arkadaşlar bu bir rasgele değişkenin matematiksel değerinden sapmasının dağılımının ölçüsü olarak alınamaz. Bundan modüllerin veya karesel sapmaların dikkate alındığı sonucu çıkar. Şimdi tanımı dinleyin: Rastgele bir değişkenin X'i - dağılım veya saçılma - sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir. D(X) olarak gösterilir ve formül şuna benzer: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Şimdi niceliğe hangi işareti atayacağımızı belirleyelim?”

Öğrenci 5: “Matematiksel beklentinin özelliklerinden ve tanımından yalnızca tek bir şey elde edebiliriz: miktar olarak dağılım negatif olmayan D(X) > 0'dır” (2).

Öğretmen: “Eşitlik 1'i dikkate alarak varyansı bulmak için bir formül elde ederiz: D(X) = M(X 2) – (M(X)) 2. Belki birisi bunu kanıtlayabilir.”

Öğrenci 6: “Bir deneyeyim. D(X)=M((X – M(X)) 2) = M(X 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)= М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+ M((M(X)) 2)=M(X 2) – 2M(X)M(X)+(M(X)) 2 =M(X 2) – (M(X)) 2”( 3 )

Öğretmen: “Rastgele bir değişkenin özelliklerini ele alalım:

1. Dağılım C – sabit bir değer olarak sıfıra eşittir: D(C) - 0 (C – sabit). (4)

2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. İki bağımsız rastgele değişken arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Beklenti özelliklerini dikkate alarak bu özellikleri kanıtlayalım:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. İlk özellik kanıtlanmıştır; bu, sabit bir değerin olmadığı anlamına gelir; aynı anlamı aldığı için dağılma.

Şimdi ikinci özelliği kanıtlayalım: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ)

CM(X)) 2) = M(C 2 (X – M(X)) 2) = C 2 M((X – M(X)) 2) = C 2 D(X).

Üçüncü özelliği kanıtlamak için üçüncü formülü kullanırız:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M( X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Üçüncü özellik herhangi bir sayıda ikili bağımsız rastgele değişkene uygulanır.

Dördüncü özelliğin kanıtı formül (5) ve (6)'dan gelir.

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y).

Rastgele değişken X ise kesiklidir ve dağılım yasası P(X=x k) = p k (k= 1,2,3,n) olarak verilir.

Dolayısıyla, (X - M(X)) 2 rastgele değişkeni aşağıdaki dağılım yasasına sahiptir: (k=1,2,3,n), =l.

Matematiksel beklentinin tanımına dayanarak aşağıdaki formülü elde ederiz:

Tüm olası değerleri [a, b] segmentine ait olan sürekli bir rastgele değişken X'in varyansı aşağıdaki formülle belirlenir:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

burada р(х) bu miktarın dağılım yoğunluğudur. Varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Notu “4” ve “5” olan öğrencilerin evde formül (9)’u ispatlamaları gerekmektedir.

3. Yeni malzemenin test çalışması şeklinde konsolidasyonu.

1) “Dağılım ve özellikleri” konulu test çalışması.

1. Tanıma devam edin: varyans.

2. Varyansı hesaplamak için doğru formülü seçin:

a) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2;
b) D(X)=M(X – D(X 2));
c)D(X)=M((X-M(X)) 2);
d) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2;

İstatistiklerde dağılım karakteristiğin bireysel değerlerinin karesi olarak bulunur. Başlangıç ​​verilerine bağlı olarak basit ve ağırlıklı varyans formülleri kullanılarak belirlenir:

1. (gruplandırılmamış veriler için) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

2. Ağırlıklı varyans (varyasyon serileri için):

burada n frekanstır (X faktörünün tekrarlanabilirliği)

Varyansı bulma örneği

Bu sayfada varyans bulmanın standart bir örneği açıklanmaktadır; bunu bulmak için diğer problemlere de bakabilirsiniz.

Örnek 1. Aşağıdaki veriler 20 yazışma öğrencisinden oluşan bir grup için mevcuttur. Karakteristiğin dağılımına ilişkin bir aralık serisi oluşturmak, özelliğin ortalama değerini hesaplamak ve dağılımını incelemek gerekir.

Bir aralık gruplaması oluşturalım. Aşağıdaki formülü kullanarak aralığın aralığını belirleyelim:

burada Xmax, gruplandırma karakteristiğinin maksimum değeridir;
X min – gruplandırma karakteristiğinin minimum değeri;
n – aralık sayısı:

n=5 kabul ediyoruz. Adım: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Bir aralık gruplaması oluşturalım

Daha fazla hesaplama için yardımcı bir tablo oluşturacağız:

X'i aralığın ortasıdır. (örneğin 159 – 165,6 aralığının ortası = 162,3)

Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak öğrencilerin ortalama boyunu belirleriz:

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı belirleyelim:

Dispersiyon formülü aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

Bu formülden şu sonuç çıkıyor varyans eşittir seçeneklerin karelerinin ortalaması ile kare ve ortalama arasındaki fark.

Varyasyon serisindeki dağılım Momentler yöntemini kullanarak eşit aralıklarla, ikinci dağılım özelliği kullanılarak (tüm seçeneklerin aralığın değerine bölünmesiyle) aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Varyansın belirlenmesi Momentler yöntemi kullanılarak hesaplanan aşağıdaki formülü kullanmak daha az zahmetlidir:

burada i aralığın değeridir;
A, aralığın ortasını en yüksek frekansla kullanmanın uygun olduğu geleneksel bir sıfırdır;
m1 birinci dereceden momentin karesidir;
m2 - ikinci derecenin anı

(istatistiksel bir popülasyonda bir özellik yalnızca iki birbirini dışlayan seçenek olacak şekilde değişirse, bu tür değişkenliğe alternatif denir) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Bu dağılım formülünde q = 1-p'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Varyans türleri

Toplam varyans Bir özelliğin, bu varyasyona neden olan tüm faktörlerin etkisi altında popülasyonun tamamındaki değişimini bir bütün olarak ölçer. Bir x karakteristiğinin bireysel değerlerinin, x'in genel ortalama değerinden sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit varyans veya ağırlıklı varyans olarak tanımlanabilir.

rastgele değişimi karakterize eder, yani Değişimin hesaba katılmayan faktörlerin etkisinden kaynaklanan ve grubun temelini oluşturan faktör özelliğine bağlı olmayan kısmı. Bu tür bir dağılım, X grubu içindeki özelliğin bireysel değerlerinin grubun aritmetik ortalamasından sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit dağılım veya ağırlıklı dağılım olarak hesaplanabilir.

Böylece, grup içi varyans ölçümleri Bir grup içindeki bir özelliğin varyasyonu aşağıdaki formülle belirlenir:

burada xi grup ortalamasıdır;
ni gruptaki birimlerin sayısıdır.

Örneğin, bir atölyede işçilerin niteliklerinin işgücü üretkenliği düzeyi üzerindeki etkisini inceleme görevinde belirlenmesi gereken grup içi farklılıklar, her gruptaki çıktıda tüm olası faktörlerin (ekipmanın teknik durumu, ekipmanın mevcudiyeti) neden olduğu değişiklikleri gösterir. araç ve gereçler, işçilerin yaşı, emek yoğunluğu vb.), nitelik kategorisindeki farklılıklar hariç (bir grup içindeki tüm işçiler aynı niteliklere sahiptir).

Grup içi varyansların ortalaması, rastgeleliği, yani varyasyonun gruplandırma faktörü haricindeki tüm diğer faktörlerin etkisi altında meydana gelen kısmını yansıtır. Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Grubun temelini oluşturan faktör işaretinin etkisinden kaynaklanan, ortaya çıkan özelliğin sistematik varyasyonunu karakterize eder. Grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının ortalama karesine eşittir. Gruplar arası varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

İstatistiklere varyans ekleme kuralı

Buna göre varyans ekleme kuralı toplam varyans, grup içi ve gruplar arası varyansların ortalamasının toplamına eşittir:

Bu kuralın anlamı tüm faktörlerin etkisi altında ortaya çıkan toplam varyansın, diğer tüm faktörlerin etkisi altında ortaya çıkan varyanslar ile gruplama faktöründen dolayı ortaya çıkan varyansın toplamına eşit olmasıdır.

Varyans ekleme formülünü kullanarak, bilinen iki varyanstan üçüncü bilinmeyen varyansı belirleyebilir ve ayrıca gruplandırma özelliğinin etkisinin gücünü değerlendirebilirsiniz.

Dispersiyon özellikleri

1. Bir özelliğin tüm değerleri aynı sabit miktarda azaltılırsa (artırılırsa) dağılım değişmeyecektir.
2. Bir özelliğin tüm değerleri aynı sayıda n kadar azaltılırsa (artırılırsa), varyans buna karşılık olarak n^2 kat azalacak (artacaktır).

Ayrık bir olasılık uzayı üzerinde verilen bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi (ortalama değeri), serinin mutlak yakınsaması durumunda m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(Örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
2. M=C M[X]
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.

Dispersiyon özellikleri

1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
2. Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
3. X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma

1. Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
2. Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
   Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Örnek No.1.

Örnek No. 2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:

Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a, buradan a = 0,08

Örnek No. 3. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı biliniyorsa dağılım yasasını belirleyin ve x 1 x1 =6; x2 =9; x3 =x; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96

Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin x3 =12

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3

Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımını, topluluk entropisini, matematiksel beklentiyi ve dağılımını öğrenme ihtimalinden korkuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. Bu bilim dalının en önemli temel kavramlarından birkaçını tanıyalım.

Temelleri hatırlayalım

Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlasanız bile yazının ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Mesele şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan aşağıda tartışılan formüllerle çalışamayacaksınız.

Yani bazı rastgele olaylar meydana gelir, bazı deneyler olur. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Yalnızca bu kavramın klasik tanımını bilerek, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.

Ortalama

Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Şu anda bizim için asıl önemli olan, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacak olmamızdır.

Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.

Dağılım

Bilimsel açıdan dağılım, bir özelliğin elde edilen değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Bir büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.

Dispersiyonun aynı zamanda problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat artırıldığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). Hiçbir zaman sıfırdan küçük değildir ve değerlerin eşit miktarlarda yukarı veya aşağı kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.

Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.

Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?

Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.

Deney sayısına bağımlılık

Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?

Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız. Birim cinsinden ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.

Görev

Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.

Beklenen değer

Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm problem için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.

Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemleri gerçekleştirmenize izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı; şimdi pratik yapma zamanı.

Bir örnek daha

50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti probleminin çözümüne bir örnek sunalım.

Aritmetik ortalamayı ilkokuldan hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz: 50/10 = 5.

Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9 elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.

90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin, muhtemelen her şey yerine oturacaktır.

Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.

Sapma

Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. Latin harfleri sd veya Yunanca küçük harf “sigma” ile gösterilir. Bu kavram, değerlerin merkezi özellikten ortalama ne kadar saptığını gösterir. Değerini bulmak için varyansın karekökünü hesaplamanız gerekir.

Normal bir dağılım grafiği çiziyorsanız ve sapmanın karesini doğrudan üzerinde görmek istiyorsanız, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), elde edilen rakamların alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksen üzerindeki sonuç projeksiyonu arasındaki bölümün boyutu standart sapmayı temsil edecektir.

Yazılım

Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretim kurumlarında kullanılan programı kullanmak mantıklıdır - buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.

Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihayet

Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.

Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta, günde yarım saat pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.