Spektral yoğunluk nasıl hesaplanır? Bir çift Fourier dönüşümü

Enerjinin sinyal spektrumu üzerindeki dağılımını karakterize eden ve enerji olarak adlandırılan bir miktar spektral yoğunluk, yalnızca sonsuz bir zaman aralığında enerjisi sonlu olan sinyaller için mevcuttur ve bu nedenle Fourier dönüşümü bunlara uygulanabilir.

Zamanla bozulmayan sinyaller için enerji sonsuz büyüktür ve integral (1,54) ıraksar. Genlik spektrumunu belirtmek mümkün değildir. Bununla birlikte, ilişki tarafından belirlenen ortalama güç Рср

sonlu olduğu ortaya çıkıyor. Bu nedenle daha fazla geniş kavram"Güç spektral yoğunluğu". Bunu ortalama sinyal gücünün frekansa göre türevi olarak tanımlayalım ve Сk(п) olarak gösterelim:

k indeksi, burada güç spektral yoğunluğunu, sinyalin uygulanmasını tanımlayan deterministik u(t) fonksiyonunun bir özelliği olarak ele aldığımızı vurgulamaktadır.

Bu sinyal özelliği, faz bilgisinden yoksun olduğundan genlik spektral yoğunluğundan daha az anlamlıdır [bkz. (1.38)]. Bu nedenle, orijinal sinyal uygulamasını bundan açıkça yeniden oluşturmak imkansızdır. Ancak faz bilgisinin bulunmaması bu kavramın fazı tanımlanmayan sinyallere uygulanmasına olanak sağlar.

Spektral yoğunluk Сk(ш) ile genlik spektrumu arasında bir bağlantı kurmak için, sınırlı bir zaman aralığında (-T) var olan u(t) sinyalini kullanacağız.<. t

zaman sınırlı bir sinyalin güç spektral yoğunluğu nerede.

Daha sonra gösterilecektir (bakınız § 1.11), bu özelliğin birçok gerçekleştirme üzerinden ortalamasını alarak, büyük bir rastgele süreçler sınıfı için güç spektral yoğunluğunu elde etmenin mümkün olduğu gösterilecektir.

Deterministik bir sinyalin otokorelasyon fonksiyonu

Artık frekans alanında iki özellik vardır: spektral tepki ve güç spektral yoğunluğu. u(t) sinyali hakkında tam bilgi içeren spektral karakteristik, bir zaman fonksiyonu formundaki Fourier dönüşümüne karşılık gelir. Faz bilgisinden yoksun güç spektral yoğunluğunun zaman alanında neye karşılık geldiğini bulalım.

Aynı güç spektral yoğunluğunun, faz bakımından farklılık gösteren birçok zaman fonksiyonuna karşılık geldiği varsayılmalıdır. Sovyet bilim adamı L.Ya. Khinchin ve Amerikalı bilim adamı N. Wiener neredeyse aynı anda spektral güç yoğunluğunun ters Fourier dönüşümünü buldular:

Faz bilgisi içermeyen genelleştirilmiş zaman fonksiyonu r()'ya zaman otokorelasyon fonksiyonu adını verelim. Bir zaman aralığıyla ayrılmış bir u(t) fonksiyonunun değerleri arasındaki korelasyonun derecesini gösterir ve bir korelasyon katsayısı kavramı geliştirilerek istatistiksel teoriden türetilebilir. Zaman korelasyon fonksiyonunda ortalama almanın, yeterince uzun bir sürenin tek bir gerçekleştirilmesi dahilinde zaman içinde gerçekleştirildiğine dikkat edin.

Eksiksiz olması açısından aşağıda spektrum ve spektral yoğunluk kavramlarını kısaca tartışacağız. Bu önemli kavramların uygulanması bölümünde daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Bunları bu kitapta zaman serisi analizi için kullanmıyoruz, dolayısıyla bu bölümü ilk okumanızda atlayabilirsiniz.

Örnek spektrum. Periyodogram (2.2.5) tanımlanırken frekansların temel frekansın harmonikleri olduğu varsayılır. Bir spektrum ekleyerek bu varsayımı gevşetiyoruz ve frekansın 0-0,5 Hz aralığında sürekli olarak değişmesine izin veriyoruz. Bir periodogramın tanımı aşağıdaki şekilde değiştirilebilir:

, , (2.2.7)

buraya örnek spektrum denir. Periyodogram gibi, gürültüde gizlenmiş bilinmeyen bir frekansın sinüzoidal bileşeninin genliklerini tespit etmek ve tahmin etmek için kullanılabilir ve aslında frekansın serinin uzunluğuyla harmonik olarak ilişkili olduğu bilinmediği sürece daha da kullanışlıdır; Ayrıca Ek A2.1'de verilen önemli ilişkiyi kullanan spektral analiz teorisinin başlangıç ​​noktasıdır. Bu ilişki, örnek spektrum analizi ile otokovaryans fonksiyonunun tahminleri arasındaki bağlantıyı kurar:

. (2.2.8)

Dolayısıyla örnek spektrum, örnek otokovaryans fonksiyonunun Fourier kosinüs dönüşümüdür.

Spektrum. Periodogram ve örnek spektrum, gürültü içinde gizlenmiş sabit frekanslı sinüs ve kosinüs dalgalarının karışımından oluşan zaman serilerini analiz etmek için uygun kavramlardır. Bununla birlikte, Bölüm 2'de anlatılan türdeki durağan zaman serileri. 2.1, frekans, genlik ve fazdaki rastgele değişikliklerle karakterize edilir. Bu tür seriler için örnek spektrum büyük ölçüde dalgalanır ve herhangi bir makul yoruma izin vermez.

Bununla birlikte, örnek spektrumun, durağan normal bir sürecin gerçekleşmesi olan gözlemlerden bir zaman serisi için hesaplandığını varsayalım. Yukarıda belirtildiği gibi, böyle bir sürecin herhangi bir deterministik sinüs veya kosinüs bileşeni yoktur, ancak resmi olarak bir Fourier analizi gerçekleştirebilir ve herhangi bir frekans için , değerlerini elde edebiliriz. Tekrarlanan gözlemler stokastik bir süreç tarafından üretiliyorsa, bir değerler popülasyonu toplayabiliriz ve . Daha sonra uzunluğun tekrarlanan gerçekleşmeleri üzerinden ortalama değeri bulabiliriz, yani

. (2.2.9)

Büyük değerler için, tekrarlanan uygulamalardaki ortalama otokovaryans değerinin teorik otokovaryansa eğilimli olduğu gösterilebilir (örneğin bkz.)

(2.2.9)'daki limite geçerek güç spektrumunu şu şekilde tanımlarız:

, . (2.2.10)

Şunu unutmayın:

spektrumun yakınsaması için serinin yakınsamasını sağlayacak kadar hızlı bir şekilde büyümeyle azalması gerekir (2.2.11). Güç spektrumu otokovaryans fonksiyonunun kosinüs Fourier dönüşümü olduğundan, otokovaryans fonksiyonunu bilmek matematiksel olarak güç spektrumunu bilmeye eşdeğerdir ve bunun tersi de geçerlidir. Şu andan itibaren güç spektrumunu spektrum olarak adlandıracağız.

(2.2.10)'u 0'dan 1/2'ye kadar integre ederek sürecin dağılımını buluruz.

. (2.2.12)

Bu nedenle, nasıl bir periodogram sinüs ve kosinüs dalgalarının karışımından oluşan bir serinin dağılımının (2.2.6) çeşitli harmonik bileşenler arasında nasıl dağıldığını gösterirse, bir spektrum da stokastik bir sürecin dağılımının sürekli bir düzlemde nasıl dağıldığını gösterir. frekans aralığı. ile arasındaki frekans aralığındaki süreç varyansının yaklaşık değeri olarak yorumlanabilir.

Normalleştirilmiş spektrum. Bazen spektrumu (2.2.10) otokovaryanslar yerine otokorelasyonlar kullanarak tanımlamak daha uygundur. Sonuç işlevi

, (2.2.13). Bununla birlikte, durağan bir zaman serisinin örnek spektrumunun teorik spektrum etrafında güçlü bir şekilde dalgalandığı gösterilebilir (bkz.). Bu gerçeğin sezgisel açıklaması, örnekleme spektrumunun frekans alanında çok dar bir aralığın kullanılmasına karşılık gelmesidir. Bu, değiştirilmiş veya düzeltilmiş bir tahmin aracı kullanılarak normal bir olasılık dağılımı tahmin edilirken bir histogram için çok dar bir gruplama aralığının kullanılmasına benzer.

, (2.2.14)

burada - korelasyon penceresi adı verilen özel olarak seçilmiş ağırlıklar, tahminin "bant genişliğini" artırabilir ve spektrumun düzgünleştirilmiş bir tahminini elde edebilir.

Şek. Şekil 2.8 ürün parti verileri spektrumunun örnek değerlendirmesini göstermektedir. Serinin dağılımının esas olarak yüksek frekanslarda yoğunlaştığı görülmektedir. Bu, Şekil 2'de gösterilen orijinal serinin hızlı salınımlarından kaynaklanmaktadır. 2.1.

Fonksiyon periyodik olmadığından Fourier serisine genişletilemez. Öte yandan fonksiyon sınırsız süresi nedeniyle integrallenemez ve bu nedenle Fourier integrali ile temsil edilemez. Bu zorluklardan kaçınmak için aralıktaki fonksiyonla çakışan ve bu aralığın dışında sıfıra eşit olan bir yardımcı fonksiyon tanıtılmıştır:

(5.15)

Fonksiyon integrallenebilirdir ve bunun için doğrudan bir Fourier dönüşümü vardır (Fourier integrali):

(5.16)

Güç spektral yoğunluğu rastgele sinyal (veya sadece spektral yoğunluk ) formun bir fonksiyonu olarak adlandırılır:

(5.17)

Spektral yoğunluk, sinyal harmoniklerinin kare genliklerinin ortalama değerlerinin dağılımını karakterize eden bir fonksiyondur. Spektral yoğunluk aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Durağan rastgele süreç ne kadar hızlı değişirse grafik o kadar geniş olur .

2. Spektral yoğunluk grafiğindeki bireysel tepe noktaları, rastgele bir sinyaldeki periyodik bileşenlerin varlığını gösterir.

3. Spektral yoğunluk eşit bir fonksiyondur:

(5.18)

Spektral yoğunluk, sinyal dağılımıyla aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

(5.19)

Deneysel olarak, spektral yoğunluk aşağıdaki şemaya göre belirlenir (hesaplanır):

Pirinç. 5.6.

Spektral yoğunluk, aşağıdaki ifadeyle korelasyon fonksiyonuyla ilişkilidir (Khinchin-Wiener teoremine göre):

(5.20)

(5.21)

Çarpanları genişletirsek ve Euler formülünü kullanırsak ve 'nin çift fonksiyonlar olduğunu ve tek bir fonksiyon olduğunu hesaba katarsak, (5.20), (5.21) ifadeleri aşağıdaki forma dönüştürülebilir:

(5.22)

(5.23)

Pratik hesaplamalarda (5.23), (5.24) ifadeleri kullanılır. (5.24) ifadesinin durağan rastgele bir sürecin dağılımını belirlediğini görmek kolaydır:

(5.24)

Korelasyon fonksiyonunu ve spektral yoğunluğu birbirine bağlayan ilişkiler, Fourier dönüşümünün doğasında bulunan tüm özelliklere sahiptir ve aşağıdaki karşılaştırmalı özellikleri belirler: grafik ne kadar genişse, grafik o kadar dar olur ve bunun tersi de, fonksiyon ne kadar hızlı azalırsa, fonksiyon o kadar yavaş azalır. . Bu ilişki Şekil (5.7), (5.8)'deki grafiklerle gösterilmektedir.

Pirinç. 5.7.

Pirinç. 5.8.

Her iki şekildeki Hat 1, spektrumuna düşük frekanslı harmoniklerin hakim olduğu, yavaş yavaş değişen rastgele bir sinyale karşılık gelir. Hat 2, spektrumu yüksek frekanslı harmoniklerin hakim olduğu, hızla değişen bir sinyale karşılık gelir.

Rastgele bir sinyal zaman içinde çok keskin bir şekilde değişiyorsa ve önceki ve sonraki değerleri arasında pratik olarak hiçbir korelasyon yoksa, o zaman korelasyon fonksiyonu bir delta fonksiyonu biçimine sahiptir (satır 3). Bu durumda spektral yoğunluk grafiği aralıktaki yatay bir çizgiyi temsil eder. Bu, harmonik genliklerin tüm frekans aralığında aynı olduğunu gösterir. Bu sinyal denir beyaz gürültü (bilindiği gibi tüm bileşenlerin yoğunluğunun aynı olduğu beyaz ışığa benzetilerek).

"Beyaz gürültü" kavramı matematiksel bir soyutlamadır. Sonsuz geniş bir spektrum, sonsuz büyük bir dağılıma ve dolayısıyla sonsuz büyük bir güce karşılık geldiğinden, fiziksel olarak beyaz gürültü biçimindeki sinyaller mümkün değildir. Bununla birlikte, genellikle sonlu spektruma sahip gerçek sistemler yaklaşık olarak beyaz gürültü olarak kabul edilebilir. Bu basitleştirme, sinyalin spektrumunun, sinyalin etki ettiği sistemin bant genişliğinden çok daha geniş olduğu durumlarda geçerlidir.

Sinyali ver S(T) periyodik olmayan bir fonksiyon olarak belirtilir ve yalnızca ( T 1 ,T 2) (örnek - tek darbe). Rastgele bir zaman dilimi seçelim T aralık dahil ( T 1 ,T 2) (bkz. Şekil 1).

Buradan elde edilen periyodik sinyali gösterelim. S(T), formda ( T). O zaman bunun için Fourier serisini yazabiliriz.

Fonksiyona gitmek için S(T) ifadede aşağıdaki gibidir ( T) periyodu sonsuza yönlendirin. Bu durumda frekanslı harmonik bileşenlerin sayısı w=N 2P/T sonsuz büyük olacak, aralarındaki mesafe sıfıra doğru yönelecek (sonsuz küçük bir değere:

bileşenlerin genlikleri de sonsuz küçük olacaktır. Dolayısıyla böyle bir sinyalin spektrumundan bahsetmek artık mümkün değil çünkü spektrum sürekli hale geliyor.

İç integral frekansın bir fonksiyonudur. Buna sinyalin spektral yoğunluğu veya sinyalin frekans yanıtı denir ve yani

Genellik açısından, integralin sınırları sonsuz olarak ayarlanabilir, çünkü s(t)'nin sıfıra eşit olduğu ve integralin sıfıra eşit olduğu durum aynıdır.

Spektral yoğunluk ifadesine doğrudan Fourier dönüşümü denir. Ters Fourier dönüşümü, bir sinyalin zaman fonksiyonunu spektral yoğunluğundan belirler.

Doğrudan (*) ve ters (**) Fourier dönüşümlerine birlikte bir çift Fourier dönüşümü denir. Spektral yoğunluk modülü

sinyalin genlik-frekans tepkisini (AFC) ve argümanını belirler sinyalin faz-frekans yanıtı (PFC) olarak adlandırılır. Sinyalin frekans yanıtı çift fonksiyondur ve faz yanıtı tektir.

Modülün anlamı S(w), söz konusu frekansı içeren sonsuz dar bir frekans bandında 1 Hz başına bir sinyalin (akım veya voltaj) genliği olarak tanımlanır. w. Boyutu [sinyal/frekans]'tır.

Sinyalin enerji spektrumu. Eğer s(t) fonksiyonu Fourier sinyal güç yoğunluğuna sahipse ( sinyal enerjisi spektral yoğunluğu) şu ifadeyle belirlenir:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Güç spektrumu, genellikle enerji spektrumu olarak adlandırılan, W()-gerçek negatif olmayan çift fonksiyondur. Sinyalin spektral yoğunluk modülünün karesi olan güç spektrumu, frekans bileşenleri hakkında faz bilgisi içermez ve bu nedenle sinyalin güç spektrumundan yeniden oluşturulması imkansızdır. Bu aynı zamanda farklı faz özelliklerine sahip sinyallerin aynı güç spektrumuna sahip olabileceği anlamına da gelir. Özellikle sinyal kayması güç spektrumunu etkilemez. İkincisi, doğrudan ifadelerden (5.2.7) enerji spektrumu için bir ifade elde etmemizi sağlar. Limitte, t 0 kayması ile aynı u(t) ve v(t) sinyalleri için, Wuv () spektrumunun hayali kısmı sıfır değerlere yönelir ve gerçek kısım spektrum modülünün değerlerine yönelir . Sinyallerin tam zamansal kombinasyonuyla elimizde:

onlar. sinyal enerjisi, frekans spektrumunun kare modülünün integraline (frekans bileşenlerinin enerjisinin toplamına) eşittir ve her zaman gerçek bir değerdir.

Rastgele bir sinyal için s(t) eşitlik

genellikle Parseval eşitliği olarak adlandırılır (matematikte - Plancherel teoremi, fizikte - Rayleigh formülü). Koordinat ve frekans gösterimleri aslında aynı sinyalin farklı matematiksel gösterimleri olduğundan eşitlik açıktır. Benzer şekilde iki sinyalin etkileşim enerjisi için:

Parseval eşitliğinden, sinyallerin skaler çarpımının ve Fourier dönüşümüne göre normun değişmez olduğu sonucu çıkar:

Sinyallerin kaydedilmesi ve iletilmesiyle ilgili tamamen pratik bir takım problemlerde, sinyalin enerji spektrumu çok önemlidir. Periyodik sinyaller Fourier serileri biçiminde spektral bölgeye çevrilir. Karmaşık biçimde Fourier serisi biçiminde T periyoduna sahip periyodik bir sinyal yazalım:

0-T aralığı, tüm integral üslerinin tam sayı periyotlarını içerir ve integralin T'ye eşit olduğu k = -m'deki üstel hariç sıfıra eşittir. Buna göre, bir periyodik sinyal, Fourier serisinin katsayılarının kare modüllerinin toplamına eşittir:

Sinyalin enerji spektrumu – harmonik olmayan sinyali oluşturan temel sinyallerin enerjisinin frekans eksenindeki dağılımıdır. Matematiksel olarak sinyalin enerji spektrumu, spektral fonksiyonun modülünün karesine eşittir:

Buna göre genlik-frekans spektrumu, frekans eksenindeki temel sinyallerin bileşenlerinin genlik kümesini, faz-frekans spektrumu ise faz kümesini gösterir.

Spektral fonksiyonun modülü genellikle denir genlik spektrumu ve onun argümanı faz spektrumu.

Ek olarak, spektral işlevini bilerek orijinal sinyali geri yüklemenize olanak tanıyan bir ters Fourier dönüşümü vardır:

Örneğin dikdörtgen bir darbe alın:

Başka bir spektrum örneği:

Nyquist frekansı, Kotelnikov teoremi .

Nyquist frekansı - dijital sinyal işlemede, örnekleme frekansının yarısına eşit bir frekans. Adını Harry Nyquist'ten almıştır. Kotelnikov teoreminden, bir analog sinyali örneklerken, yalnızca sinyalin spektrumunun (spektral yoğunluğu) Nyquist frekansına eşit veya bundan daha düşük olması durumunda bilgi kaybı olmayacağı sonucu çıkar. Aksi takdirde, bir analog sinyali geri yüklerken, spektral "kuyrukların" örtüşmesi (frekans ikamesi, frekans maskeleme) meydana gelecek ve geri yüklenen sinyalin şekli bozulacaktır. Sinyal spektrumunun Nyquist frekansının üzerinde hiçbir bileşeni yoksa, o zaman (teorik olarak) örneklenebilir ve bozulma olmadan yeniden oluşturulabilir. Aslında, bir sinyalin "sayısallaştırılması" (bir analog sinyalin dijital bir sinyale dönüştürülmesi) örneklerin nicelenmesiyle ilişkilidir - her örnek, bunun sonucunda sonlu bit derinliğine sahip bir dijital kod biçiminde yazılır. nicemleme (yuvarlama) hataları örneklere eklenir ve belirli koşullar altında "kuantizasyon gürültüsü" olarak kabul edilir.

Sonlu süreli gerçek sinyaller her zaman sonsuz geniş bir spektruma sahiptir ve artan frekansla birlikte az çok hızla azalır. Bu nedenle, örnekleme frekansı ne kadar yüksek olursa olsun, sinyal örnekleme her zaman bilgi kaybına (örnekleme ve yeniden oluşturma sırasında sinyal şeklinin bozulmasına) yol açar. Seçilen örnekleme oranında, analog sinyalin spektral bileşenlerinin (örneklemeden önce) Nyquist frekansının üzerinde bastırılmasıyla distorsiyon azaltılabilir; bu, kuyrukların örtüşmesini önlemek için çok yüksek dereceli bir filtre gerektirir. Filtrelerin genlik-frekans özellikleri dikdörtgen değil pürüzsüz olduğundan ve geçiş bandı ile bastırma bandı arasında belirli bir geçiş frekansı bandı oluştuğundan, böyle bir filtrenin pratik uygulaması çok karmaşıktır. Bu nedenle örnekleme frekansı bir marjla seçilir, örneğin ses CD'lerinde 44.100 Hz örnekleme frekansı kullanılırken, ses sinyalleri spektrumundaki en yüksek frekans 20.000 Hz olarak kabul edilir. 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz Nyquist frekans marjı, uygulanan düşük dereceli filtreyi kullanırken frekans değişimini önlemenize olanak tanır.

Kotelnikov teoremi

Orijinal sürekli sinyali, küçük bozulmalara (hatalara) sahip örneklenmiş bir sinyalden geri yüklemek için, örnekleme adımını rasyonel olarak seçmek gerekir. Bu nedenle, bir analog sinyali ayrık bir sinyale dönüştürürken, örnekleme adımının boyutu sorusu mutlaka ortaya çıkar. Sezgisel olarak aşağıdaki fikri anlamak zor değildir. Bir analog sinyalin belirli bir üst frekans Fe ile sınırlandırılmış bir düşük frekans spektrumu varsa (yani, u(t) fonksiyonu genlikte keskin değişiklikler olmaksızın düzgün şekilde değişen bir eğri biçimine sahipse), o zaman bu fonksiyonun çalışması olası değildir. bazı küçük örnekleme zaman aralıklarında önemli ölçüde değişir. Analog bir sinyalin numune dizisinden yeniden oluşturulmasının doğruluğunun örnekleme aralığının boyutuna bağlı olduğu oldukça açıktır. Ne kadar kısa olursa, u(t) fonksiyonu numuneden geçen düzgün bir eğriden o kadar az farklı olacaktır. puan. Ancak örnekleme aralığı azaldıkça işleme ekipmanının karmaşıklığı ve hacmi önemli ölçüde artar. Örnekleme aralığı yeterince büyükse, analog sinyalin yeniden yapılandırılması sırasında bozulma veya bilgi kaybı olasılığı artar. Örnekleme aralığının optimal değeri Kotelnikov teoremi ile belirlenir (diğer isimler örnekleme teoremi, K. Shannon teoremi, X. Nyquist teoremidir: teorem ilk olarak O. Cauchy'nin matematiğinde keşfedildi ve daha sonra D. tarafından tekrar tanımlandı. Carson ve R. Hartley), 1933'te kendisi tarafından kanıtlanan V. A. Kotelnikov teoreminin önemli teorik ve pratik önemi vardır: bir analog sinyali doğru şekilde örneklemeyi mümkün kılar ve onu alıcı tarafta örnek değerlerden geri yüklemenin en uygun yolunu belirler.

Kotelnikov teoreminin en ünlü ve basit yorumlarından birine göre, spektrumu belirli bir Fe frekansıyla sınırlı olan rastgele bir u(t) sinyali, referans değerlerinin dizisinden, belirli bir süre takip edilerek tamamen yeniden oluşturulabilir. aralık

Radyo mühendisliğinde örnekleme aralığı ve frekansı Fe(1) genellikle sırasıyla aralık ve Nyquist frekansı olarak adlandırılır. Analitik olarak Kotelnikov teoremi yanda sunulmuştur.

burada k numune numarasıdır; - referans noktalarındaki sinyal değeri - sinyal spektrumunun üst frekansı.

Ayrık sinyallerin frekans gösterimi .

Çoğu sinyal Fourier serisi olarak temsil edilebilir:

İstatistiksel radyo mühendisliği ve fizikte, deterministik sinyaller ve rastgele süreçler incelenirken, bunların Fourier dönüşümüne dayanan spektral yoğunluk biçimindeki spektral temsilleri yaygın olarak kullanılmaktadır.

Eğer süreç $x(t)$ sonlu enerjiye sahiptir ve ikinci dereceden integrallenebilirdir (ve bu durağan olmayan bir süreçtir), bu durumda sürecin bir uygulaması için Fourier dönüşümü, frekansın rastgele karmaşık bir fonksiyonu olarak tanımlanabilir:

İşlev $S\_x(f)=|X(f)|^2$ dolayısıyla uygulama enerjisinin frekans ekseni boyunca dağılımını karakterize eder ve uygulamanın spektral yoğunluğu olarak adlandırılır. Bu fonksiyonun tüm uygulamalarda ortalaması alınarak sürecin spektral yoğunluğu elde edilebilir.

Şimdi durağan, geniş anlamda merkezli, rastgele bir sürece dönelim. $x(t)$ 1 olasılığı ile gerçekleşmeleri sonsuz enerjiye sahiptir ve bu nedenle Fourier dönüşümüne sahip değildir. Böyle bir sürecin güç spektral yoğunluğu, korelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak Wiener-Khinchin teoremine dayanarak bulunabilir:

Sırasıyla (3) ve (4) formüllerinde varsayarsak $f=0$ Ve $\backslash tau=0$, sahibiz

Formül (6), (2)'yi hesaba katarak, dağılımın, spektral yoğunluk eğrisinin altındaki alana eşit olan sabit bir rastgele sürecin toplam enerjisini belirlediğini gösterir. Boyutsal değer $S\_x(f)df$ küçük bir frekans aralığında yoğunlaşan enerjinin oranı olarak yorumlanabilir. $f-df/2$ ile $f+df/2$. Eğer şunu demek istiyorsak $x(t)$ rastgele (dalgalanma) akım veya voltaj, ardından değer $S\_x(f)$[V 2 /Hz] = [V 2 s] enerji boyutuna sahip olacaktır. Bu yüzden $S\_x(f)$ bazen denir enerji spektrumu. Literatürde sıklıkla başka bir yorum bulabilirsiniz: $\backslash sigma\_x^2$– 1 ohm'luk bir direnç boyunca akım veya voltajın ürettiği ortalama güç olarak kabul edilir. Aynı zamanda değer $S\_x(f)$ isminde güç spektrumu rastgele süreç.

Spektral Yoğunluk Özellikleri

• Durağan bir sürecin (maddi veya karmaşık) enerji spektrumu negatif olmayan bir miktardır:

• Korelasyon fonksiyonu $k\_x(\backslash tau)$ ve enerji spektrumu $S\_x(f)$ Geniş anlamda rastgele süreç, bir çift karşılıklı Fourier dönüşümünün karakteristik tüm özelliklerine sahiptir. Özellikle spektrum ne kadar “genişse” $S\_x(f)$ korelasyon fonksiyonu ne kadar “dar” olursa $k\_x(\backslash tau)$ ve tam tersi. Bu sonuç prensip veya belirsizlik ilişkisi olarak ölçülür.

Ayrıca bakınız

"Spektral Yoğunluk" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

1. Zyuko, A.G. Sinyal iletimi teorisi / A. G. Zyuko [ve diğerleri]. - M .: İletişim, 1980. - 288 s.
2. Tikhonov, V.I. Radyo mühendisliği cihaz ve sistemlerinin istatistiksel analizi ve sentezi / V. I. Tikhonov, V. N. Kharisov. - M .: Radyo ve iletişim, 2004. - 608 s. - ISBN 5-256-01701-2.
3. Tikhonov, V.I. Radyo mühendisliği cihazlarının istatistiksel teorisi / V. I. Tikhonov, Yu. - M.: Akademi adını almıştır. prof. N. E. Zhukovsky, 1978. - 420 s.

Spektral Yoğunluğu karakterize eden bir alıntı