.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

- (Latince ekstremum ekstremumdan) sürekli bir f(x) fonksiyonunun değeri, ya maksimum ya da minimumdur. Daha doğrusu: x0 noktasında sürekli olan bir f(x) fonksiyonunun, eğer bu noktanın bir komşuluğu (x0 + δ, x0 δ) varsa, x0'da bir maksimumu (minimum) vardır,... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Extremum (anlamlar). Matematikte ekstremum (enlem. ekstremum ekstremum), belirli bir kümedeki bir fonksiyonun maksimum veya minimum değeridir. En uç noktaya ulaşılan nokta... ... Vikipedi

Çok değişkenli ve fonksiyonelli fonksiyonların koşullu ekstremumlarındaki problemlerin çözümünde kullanılan bir fonksiyon. L. f.'nin yardımıyla. Koşullu ekstremumdaki problemlerde optimallik için gerekli koşullar yazılmıştır. Bu durumda sadece değişkenleri ifade etmek gerekli değildir... Matematik Ansiklopedisi

Bir veya daha fazla fonksiyonun seçimine bağlı olan değişkenlerin fonksiyonellerinin uç (en büyük ve en küçük) değerlerini bulmaya adanmış bir matematik disiplini. V. ve. bu bölümün doğal bir gelişimidir... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Koşullu bir ekstremumdaki problemler incelenirken Lagrange fonksiyonunun oluşturulduğu değişkenler. Doğrusal yöntemlerin ve Lagrange fonksiyonunun kullanılması, koşullu ekstremum içeren problemlerde gerekli optimallik koşullarını tekdüze bir şekilde elde etmemizi sağlar... Matematik Ansiklopedisi

Varyasyon hesabı, fonksiyonel analizin fonksiyonel varyasyonlarını inceleyen bir dalıdır. Varyasyon hesabındaki en tipik problem, belirli bir fonksiyonun üzerinde elde ettiği fonksiyonu bulmaktır... ... Vikipedi

Bunlara uygulanan çeşitli kısıtlamalar (faz, diferansiyel, integral, vb.) altında bir veya daha fazla fonksiyonun seçimine bağlı olan fonksiyonellerin ekstremumlarını bulma yöntemlerinin incelenmesine ayrılmış matematik bölümü... ... Matematik Ansiklopedisi

Varyasyon hesabı, fonksiyonellerin varyasyonlarını inceleyen bir matematik dalıdır. Varyasyon hesabındaki en tipik problem, fonksiyonelin uç değere ulaştığı fonksiyonu bulmaktır. Yöntemler... ...Wikipedia

Kitaplar

• Kontrol teorisi üzerine dersler. Cilt 2. Optimal kontrol, V. Boss. Optimal kontrol teorisinin klasik problemleri ele alınmaktadır. Sunum sonlu boyutlu uzaylarda optimizasyonun temel kavramlarıyla başlıyor: koşullu ve koşulsuz ekstremum,...

z - /(x, y) fonksiyonu bir D bölgesinde tanımlansın ve Mo(xo, Vo) bu bölgenin bir iç noktası olsun. Tanım. Tüm koşulları sağlayanlar için eşitsizliğin doğru olduğu bir sayı varsa, o zaman Mo(xo, y) noktasına /(x, y) fonksiyonunun yerel maksimum noktası denir; eğer tüm Dx, Du için koşulları sağlıyorsa | o zaman Mo(xo,yo) noktasına ince yerel minimum denir. Başka bir deyişle, M0(x0, y0) noktası, eğer A/o(x0, y0) noktasının 6'lı bir komşuluğu varsa, f(x, y) fonksiyonunun maksimum veya minimum noktasıdır; Bunun M(x, y) noktaları komşuluğunda, fonksiyonun artışı işaretini korur. Örnekler. 1. Fonksiyon noktası için - minimum nokta (Şek. 17). 2. Fonksiyon için 0(0,0) noktası maksimum noktadır (Şekil 18). 3. Bir fonksiyon için 0(0,0) noktası yerel maksimum noktadır. 4 Aslında, 0(0, 0) noktasının bir komşuluğu vardır, örneğin j yarıçaplı bir daire (bkz. Şekil 19), herhangi bir noktada 0(0,0) noktasından farklı olarak, fonksiyonun değeri /(x,y) 1'den küçük = Delinmiş bir 6-komşuluktaki tüm M(x) y) noktaları için kesin eşitsizlik veya katı eşitsizlik sağlandığında, fonksiyonların yalnızca kesin maksimum ve minimum noktalarını dikkate alacağız Mq noktasının. Bir fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine maksimum, minimum noktasındaki değerine ise bu fonksiyonun minimumu denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına fonksiyonun ekstrem noktaları denir ve fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına da ekstremum noktaları denir. 18 Şekil 20'de sıfıra dönen immt türevler. Ancak bu işlev tıngırdamanın imvatında zayıftır.< 0. Если же то в точке Мо(жо> f(x, y) fonksiyonunun ekstremumu mevcut olabilir veya olmayabilir. Bu durumda ileri araştırmalara ihtiyaç vardır. m Kendimizi teoremin 1) ve 2) numaralı ifadelerini kanıtlamakla sınırlıyoruz. /(i, y) fonksiyonu için ikinci dereceden Taylor formülünü yazalım: burada. Koşula göre, D/ artışının işaretinin (1)'in sağ tarafındaki üç terimlinin işareti, yani ikinci diferansiyel d2f'nin işareti tarafından belirlendiği görülmektedir. Kısaca belirtelim. O zaman eşitlik (l) şu şekilde yazılabilir: MQ(yani, V0) noktasında elimizde olsun... Koşul gereği, f(s, y) fonksiyonunun ikinci dereceden kısmi türevleri sürekli olduğundan, o zaman (3) eşitsizliği aynı zamanda M0(s0,yo) noktasının bazı komşuluklarında da geçerli olacaktır. Koşul sağlanırsa (А/0 noktasında ve süreklilik nedeniyle /,z(s,y) türevi Af0 noktasının belirli bir komşuluğunda işaretini koruyacaktır. А Ф 0 olduğu bölgede, Buradan, M0(x0) y0 noktasının herhangi bir komşuluğunda ЛС - В2 > 0 ise, o zaman AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 üçlüsünün işaretinin A noktasındaki işaretiyle çakıştığı açıktır. (yani, V0) (aynı zamanda C işaretiyle de geçerlidir, çünkü AC - B2 > 0 için A ve C farklı işaretlere sahip olamaz). (s0 + $ Ax, y0 + 0 Dyn) noktasındaki AAs2 + 2BAxAy + CAy2 toplamının işareti farkın işaretini belirlediğinden şu sonuca varıyoruz: eğer /(s,y) fonksiyonu için durağan nokta (s0, V0) koşulu, o zaman yeterince küçük || eşitsizlik tatmin edilecektir. Dolayısıyla (sq, V0) noktasında /(s, y) fonksiyonunun maksimumu vardır. Eğer koşul (s0, y0) durağan noktasında karşılanıyorsa, bu durumda tüm yeterince küçük |Dr| ve |Du| eşitsizlik doğrudur, bu da (so,yo) noktasında /(s, y) fonksiyonunun minimuma sahip olduğu anlamına gelir. Örnekler. 1. Fonksiyonu bir ekstremum için araştırın 4 Bir ekstremum için gerekli koşulları kullanarak fonksiyonun durağan noktalarını ararız. Bunu yapmak için u kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitliyoruz. Durağan bir noktadan bir denklem sistemi elde ederiz. Şimdi Teorem 12'yi kullanalım. Bu, Ml noktasında bir ekstremum olduğu anlamına gelir. Çünkü bu minimumdur. r fonksiyonunu forma dönüştürürsek, bu fonksiyonun mutlak minimumu olduğunda sağ tarafın (“) minimum olacağını görmek kolaydır. 2. Fonksiyonu ekstremum için araştırın. Fonksiyonun durağan noktalarını buluruz ve bunun için bir denklem sistemi oluştururuz, böylece nokta durağan olur. Teorem 12'ye göre M noktasında hiçbir ekstremum olmadığından. * 3. Fonksiyonun ekstremumunu araştırın. Fonksiyonun durağan noktalarını bulun. Denklem sisteminden bunu elde ediyoruz, yani nokta durağandır. Ayrıca Teorem 12'nin bir ekstremumun varlığı veya yokluğu hakkındaki soruyu yanıtlamadığını görüyoruz. Bu şekilde yapalım. Tanım gereği so noktasından ve A/o(0,0) noktasından farklı olan tüm noktalara ilişkin bir fonksiyon için r fonksiyonunun mutlak bir minimumu vardır. Benzer hesaplamalarla fonksiyonun bir noktada maksimuma sahip olduğunu, ancak fonksiyonun bu noktada bir ekstremumunun olmadığını tespit ederiz. n bağımsız değişkenden oluşan bir fonksiyonun bir noktada türevi olsun. Teorem 13'e göre (bir ekstremum için yeterli koşullara kadar), Mo noktasına fonksiyonun durağan noktası denir. Fonksiyon tanımlı olsun ve ince Mt(xi...)'nin bazı komşuluklarında ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olsun; bu, ikinci dereceden formda (f fonksiyonunun ikinci dereceden ikinci diferansiyeli pozitifse, durağan bir ince fonksiyondur) Belirli (negatif belirli), f fonksiyonunun minimum noktası (sırasıyla ince maksimum) iyi ise ikinci dereceden form (4) işaret dönüşümlü ise, ince LG0'da hiçbir ekstremum yoktur. İkinci dereceden form (4) pozitif veya negatif tanımlıdır, örneğin pozitif (negatif) için Sylvester kriterini kullanabilirsiniz. 15.2 Koşullu ekstremum Şu ana kadar bir yerel ekstremum arıyorduk. Fonksiyonun argümanları herhangi bir ek koşula bağlı olmadığında, fonksiyonun tanımının tüm alanında bu tür ekstremumlara koşulsuz denir. Bununla birlikte, z = /( fonksiyonu olarak adlandırılan problemleri bulmada sıklıkla karşılaşılır. x, y) D bölgesinde tanımlı olsun. Bu alanda bir L eğrisi verildiğini varsayalım ve f(x> y) fonksiyonunun ekstremumlarını yalnızca ona karşılık gelen değerler arasından bulmamız gerekiyor. L eğrisinin noktalarına aynı uç noktalara z = f(x) y) fonksiyonunun L eğrisi üzerindeki koşullu ekstremumları denir. Tanım L eğrisi üzerinde yer alan bir noktada /(x, fonksiyonu) olduğunu söylerler. y) M0(x0, V0) noktasının bazı komşuluklarına ait olan ve M0 noktasından farklı olan M(s, y) y) L eğrisinin tüm noktalarında eşitsizlik sağlanıyorsa koşullu bir maksimuma (minimum) sahiptir (Eğer L eğrisi bir denklemle veriliyorsa sorun, r - f(x,y) fonksiyonunun eğri üzerindeki koşullu ekstremumunu bulmaktır! şu şekilde formüle edilebilir: x = /(z, y) fonksiyonunun D bölgesindeki ekstremumunu bulun, ancak z = y fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulurken, gnu'nun argümanları artık bağımsız değişkenler olarak kabul edilebilir: bunlar birbirleriyle bağlantı denklemi adı verilen y ) = 0 ilişkisi ile ilişkilidir. Koşulsuz ve koşullu ekstremum arasındaki ayrımı açıklığa kavuşturmak için bir örneğe, bir fonksiyonun koşulsuz maksimumuna bakalım (Şekil 1). 23) bire eşittir ve (0,0) noktasında elde edilir. M noktasına karşılık gelir - pvvboloidin tepe noktası y = j bağlantı denklemini ekleyelim. O zaman koşullu maksimum açıkça buna eşit olacaktır. (o,|) noktasında ulaşılır ve topun y = j düzlemiyle kesişme çizgisi olan topun tepe noktasına karşılık gelir. Koşulsuz bir mvximum durumunda, yüzeyin tüm vuygulamaları arasında uygulanan bir mvximum'umuz vardır * = 1 - l;2 ~ y1; koşullu toplam - yalnızca pvraboloidin tüm noktaları arasında, xOy düzleminin değil, y = j düz çizgisinin * noktasına karşılık gelir. Bir fonksiyonun varlık ve bağlantı durumunda koşullu ekstremumunu bulma yöntemlerinden biri aşağıdaki gibidir. Koşullu ekstremumun varlığı ve doğası sorunu, (8)'den elde edilen, dikkate alınan x0, V0, A değer sistemi için Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin işaretinin incelenmesine dayanarak çözülür; ise (x0, V0) noktasında /(x, y) fonksiyonunun koşullu bir maksimumu vardır; d2F > 0 ise koşullu minimum. Özellikle, eğer sabit bir (xo, J/o) noktasında F(x, y) fonksiyonu için determinant D pozitifse, o zaman (®o, V0) noktasında f( fonksiyonunun koşullu maksimumu vardır. x, y), if ve /(x, y), if fonksiyonunun koşullu minimumu Örnek. Tekrar önceki örneğin koşullarına dönelim: x + y = 1 koşulu altında fonksiyonun ekstremumunu bulun. Sorunu Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak çözeceğiz. Bu durumda Lagrange fonksiyonu şu şekle sahiptir: Durağan noktaları bulmak için bir sistem oluştururuz. Sistemin ilk iki denkleminden x = y elde ederiz. Daha sonra sistemin üçüncü denkleminden (bağlantı denklemi) x - y = j'nin olası uç noktanın koordinatları olduğunu buluruz. Bu durumda (A = -1 olduğu belirtilir. Dolayısıyla Lagrange fonksiyonu. Lagrange fonksiyonu için koşulsuz bir ekstremum yoktur koşulu altında * = x2 + y2 fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır. P(x, y) ) henüz bir bağlantı varlığında /(x, y) fonksiyonu için koşullu bir ekstremumun olmadığı anlamına gelmez. Örnek y koşulu altında bir fonksiyonun ekstremumunu bulun 4 Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz ve için bir sistem yazıyoruz. A ve olası ekstrem noktaların koordinatlarının belirlenmesi: İlk iki denklemden x + y = 0 elde edip x = y = A = 0 olduğu sisteme geliyoruz. Böylece karşılık gelen Lagrange fonksiyonu şu noktada formuna sahip oluyor: (0,0), F(x, y; 0) fonksiyonunun koşulsuz bir ekstremumu yoktur, ancak y = x olduğunda r = xy fonksiyonunun koşullu bir ekstremumu vardır. Aslında bu durumda r = x2'den. burada (0,0) noktasında koşullu bir minimumun olduğu açıktır. "Lagrange çarpanları yöntemi, herhangi bir sayıda argümanın olduğu fonksiyonlar için genişletilir. Fonksiyonun ekstremumunu, aşağıdakilerin varlığında arayalım: bağlantı denklemleri A|, Az,..., A''nın belirsiz sabit faktörler olduğu Lagrange fonksiyonunu oluşturalım. F fonksiyonunun tüm birinci dereceden kısmi türevlerini sıfıra eşitleyerek ve elde edilen denklemlere bağlantı denklemlerini (9) ekleyerek, n ​​+ m denklemlerden oluşan bir sistem elde ederiz ve buradan Ab A3|..., At'yi ve x koordinatlarını belirleriz. \) x2). » Koşullu ekstremumun olası noktalarının xn'si. Lagrange yöntemi kullanılarak bulunan noktaların gerçekten koşullu bir ekstremum noktası olup olmadığı sorusu genellikle fiziksel veya geometrik nitelikteki değerlendirmeler temelinde çözülebilir. 15.3. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri Bazı kapalı sınırlı D kümesinde sürekli olan bir z = /(x, y) fonksiyonunun en büyük (en küçük) değerini bulmak gerekli olsun. Teorem 3'e göre bu bölgede fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri aldığı bir nokta (xo, V0) bulunmaktadır. Eğer (xo, y0) noktası D alanının içinde yer alıyorsa, o zaman / fonksiyonu bir maksimuma (minimum) sahiptir, yani bu durumda ilgilendiğimiz nokta /(x,) fonksiyonunun kritik noktaları arasında yer alır. y). Ancak /(x, y) fonksiyonu en büyük (en küçük) değerine bölgenin sınırında ulaşabilmektedir. Dolayısıyla z = /(x, y) fonksiyonunun sınırlı kapalı alan 2)'de aldığı en büyük (en küçük) değeri bulmak için, fonksiyonun bu alan içinde elde edilen tüm maksimumlarını (minimum) bulmanız gerekir, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri de bu alanın sınırındadır. Tüm bu sayıların en büyüğü (en küçüğü), z = /(x,y) fonksiyonunun 27. bölgede istenilen en büyük (en küçük) değeri olacaktır. Bunun türevlenebilir bir fonksiyon durumunda nasıl yapıldığını gösterelim. Prmmr. 4. bölgenin fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. D bölgesi içindeki fonksiyonun kritik noktalarını buluyoruz. Bunu yapmak için buradan x = y « 0 elde ediyoruz. 0 noktası (0,0), x fonksiyonunun kritik noktasıdır. Şimdi D alanının Г sınırında fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım. Sınırın bir kısmında y = 0 kritik bir noktadır ve = olduğundan bu noktada z = fonksiyonu vardır. 1 + y2'nin minimum değeri bire eşittir. Г" parçasının uçlarında, ( noktalarında) var. Simetri hususlarını kullanarak, sınırın diğer kısımları için aynı sonuçları elde ederiz. Sonunda şunu elde ederiz: z = x2+y2 fonksiyonunun bölgedeki en küçük değeri "B sıfıra eşittir ve 0( 0, 0) iç noktasında elde edilir ve bu fonksiyonun ikiye eşit olan maksimum değeri sınırın dört noktasında elde edilir (Şekil 25) Şekil 25 Alıştırmalar Fonksiyonların tanım tanım kümesini bulun: Fonksiyonların seviye doğrularını oluşturun: 9 Üç bağımsız değişkenli fonksiyonların seviye yüzeylerini bulun: Limit fonksiyonlarını hesaplayın: Fonksiyonların kısmi türevlerini ve toplam diferansiyellerini bulun: Kompleksin türevlerini bulun fonksiyonlar: 3 J'yi bulun. Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri 34. Türev formülünü kullanma iki değişkenli bir karmaşık fonksiyon, bulun ve fonksiyonlar: 35. İki değişkenli bir karmaşık fonksiyonun türevinin formülünü kullanarak |J ve fonksiyonları bulun: Örtük olarak verilen jj fonksiyonlarını bulun: 40. Teğet eğrinin eğimini bulun. x = 3 doğrusu ile kesiştiği nokta. 41. x eğrisinin teğetinin Ox eksenine paralel olduğu noktaları bulun. . Aşağıdaki problemlerde T ve T'yi bulun: Yüzeyin teğet düzleminin ve normalinin denklemlerini yazın: 49. x + 4y düzlemine paralel olan x2 + 2y2 + 3z2 = 21 yüzeyinin teğet düzlemlerinin denklemlerini yazın. + 6z = 0. Taylor formülünü kullanarak açılımın ilk üç veya dört terimini bulun: 50. (0, 0) noktası civarında y.

Koşullu ekstremum.

Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum değeri

En küçük kareler yöntemi.

FNP'nin yerel ekstremumu

Fonksiyon verilsin Ve= F(P), РÎDÌR N ve P 0 noktası olsun ( A 1 , A 2 , ..., bir p) –dahili D kümesinin noktası.

Tanım 9.4.

1) P 0 noktasına denir maksimum nokta işlevler Ve= F(P), eğer bu U(P 0) М D noktasının bir komşuluğu varsa, öyle ki herhangi bir P( noktası için) X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , koşul sağlandı F(P) £ F(P 0) . Anlam F Maksimum noktada (P 0) fonksiyonuna fonksiyon denir fonksiyonun maksimumu ve belirlenmiş F(P0) = maks F(P) .

2) P 0 noktasına denir minimum puan işlevler Ve= F(P), eğer bu U(P 0)Ì D noktasının herhangi bir P( noktası için olacak şekilde bir komşuluğu varsa X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , koşul sağlandı F(P)³ F(P 0) . Anlam F Minimum noktada (P 0) fonksiyonuna fonksiyon denir minimum fonksiyon ve belirlenmiş F(P 0) = dk F(P).

Bir fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarına denir ekstremum noktalar fonksiyonun ekstremum noktalarındaki değerlerine denir fonksiyonun ekstremumları.

Tanımdan da anlaşılacağı üzere eşitsizlikler F(P) £ F(P0) , F(P)³ F(P 0), fonksiyonun tanım alanının tamamında değil, yalnızca P 0 noktasının belirli bir komşuluğunda karşılanmalıdır; bu, fonksiyonun aynı türden birkaç ekstremum (birkaç minimum, birkaç maksimum) olabileceği anlamına gelir. . Bu nedenle yukarıda tanımlanan ekstremumlara denir. yerel(yerel) aşırılıklar.

Teorem 9.1 (FNP'nin ekstremumu için gerekli koşul)

Eğer fonksiyon Ve= F(X 1 , X 2 , ..., xn) P 0 noktasında bir ekstremuma sahipse, bu noktada birinci dereceden kısmi türevleri ya sıfıra eşittir ya da mevcut değildir.

Kanıt. P 0 noktasında olsun ( A 1 , A 2 , ..., bir p) işlev Ve= F(P)'nin bir ekstremumu, örneğin bir maksimumu vardır. Argümanları düzeltelim X 2 , ..., xn, koyarak X 2 =A 2 ,..., xn = bir p. Daha sonra Ve= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., bir p) bir değişkenin fonksiyonudur X 1. Bu fonksiyona sahip olduğundan X 1 = A 1 ekstremum (maksimum), ardından F 1 ¢=0veya mevcut olmadığında X 1 =A 1 (tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için gerekli bir koşul). Ancak bu, P 0 noktasında (ekstrem nokta) var olduğu anlamına gelir veya mevcut değildir. Benzer şekilde diğer değişkenlere göre kısmi türevleri de düşünebiliriz. CTD.

Bir fonksiyonun tanım kümesinde birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar bu fonksiyon.

Teorem 9.1'den de anlaşılacağı üzere FNP'nin ekstremum noktaları fonksiyonun kritik noktaları arasında aranmalıdır. Ancak tek değişkenli bir fonksiyon için her kritik nokta bir ekstrem nokta değildir.

Teorem 9.2 (FNP'nin ekstremumu için yeterli koşul)

Fonksiyonun kritik noktası P 0 olsun Ve= F(P) ve bu fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyelidir. Daha sonra

a) eğer D 2 sen(P 0) > 0 ise P 0 bir noktadır minimum işlevler Ve= F(P);

b) eğer D 2 sen(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum işlevler Ve= F(P);

c) eğer D 2 sen(P 0) işaretle tanımlanmıyorsa, bu durumda P 0 bir uç nokta değildir;

Bu teoremi kanıt olmadan ele alacağız.

Teoremin şu durumu dikkate almadığını unutmayın: D 2 sen(P 0) = 0 veya mevcut değil. Bu, bu koşullar altında P 0 noktasında bir ekstremun varlığı sorusunun açık kaldığı anlamına gelir - örneğin, bu noktada fonksiyonun artışının incelenmesi gibi ek araştırmalara ihtiyaç vardır.

Daha ayrıntılı matematik derslerinde, özellikle fonksiyon için kanıtlanmıştır. z = f(X,sen), ikinci dereceden diferansiyeli formun toplamı olan iki değişkenin

P 0 kritik noktasında bir ekstremum varlığının incelenmesi basitleştirilebilir.

, , 'yi gösterelim. Bir determinant oluşturalım

.

Çıkıyor:

D 2 z P 0 noktasında > 0, yani. P 0 – minimum nokta, eğer A(P 0) > 0 ve D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

eğer D(P 0)< 0, то D 2 z P 0 noktası civarında işaret değiştirir ve P 0 noktasında ekstremum yoktur;

D(Р 0) = 0 ise, o zaman Р 0 kritik noktası yakınındaki fonksiyona ilişkin ilave çalışmalara da ihtiyaç vardır.

Böylece fonksiyon için z = f(X,sen), iki değişkenin bir ekstremumunu bulmak için aşağıdaki algoritmaya sahibiz (buna "algoritma D" diyelim):

1) D( tanımının tanım kümesini bulun F) işlevler.

2) Kritik noktaları bulun; D'den alınan puanlar( F), bunun için ve sıfıra eşittir veya mevcut değildir.

3) Her kritik P 0 noktasında, ekstremum için yeterli koşulları kontrol edin. Bunu yapmak için bulun , burada , , ve D(P 0)'ı hesaplayın ve A(P 0).Sonra:

eğer D(P 0) >0 ise P 0 noktasında bir ekstremum vardır ve eğer A(P 0) > 0 – bu minimumdur ve eğer A(P 0)< 0 – максимум;

eğer D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 ise ek araştırmaya ihtiyaç vardır.

4) Bulunan ekstremum noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayınız.

Örnek 1.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun z = X 3 + 8sen 3 – 3xy .

Çözüm. Bu fonksiyonun tanım alanı koordinat düzleminin tamamıdır. Kritik noktaları bulalım.

, , Ş P 0 (0,0) , .

Ekstremum için yeterli koşulların sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. bulacağız

6X, = -3, = 48en Ve = 288xy – 9.

O halde D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 noktasında bir ekstremum vardır ve bu yana A(P 1) = 3 >0 ise bu ekstremum minimumdur. yani dakika z=z(P1) = .

Örnek 2.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun .

Çözüm : D( F) =R2 . Kritik noktalar: ; ne zaman mevcut değil en= 0, yani P 0 (0,0) bu fonksiyonun kritik noktasıdır.

2, = 0, = , = , ancak D(P 0) tanımlı değildir, dolayısıyla işaretini incelemek imkansızdır.

Aynı sebepten dolayı Teorem 9.2'yi doğrudan uygulamak imkansızdır - D 2 z bu noktada mevcut değil.

Fonksiyonun artışını düşünelim F(X, sen) P 0 noktasında. Eğer D F =F(P) - F(P 0)>0 "P, o zaman P 0 minimum noktadır, ancak D ise F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Bizim durumumuzda

D F = F(X, sen) – F(0, 0) = F(0+G X,0+D sen) – F(0, 0) = .

D'de X= 0,1 ve D sen= -0,008, D'yi elde ederiz F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 ve D sen= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, yani. P 0 noktası civarında hiçbir D koşulu sağlanmaz F <0 (т.е. F(X, sen) < F(0, 0) ve bu nedenle P 0 maksimum nokta değildir), ne de D koşulu F>0 (örn. F(X, sen) > F(0, 0) ve bu durumda P 0 minimum nokta değildir). Bu, bir ekstremum tanımı gereği bu fonksiyonun hiçbir ekstremumunun olmadığı anlamına gelir.

Koşullu ekstremum.

Fonksiyonun dikkate alınan ekstremumu denir koşulsuz, çünkü işlev argümanlarına hiçbir kısıtlama (koşul) getirilmemiştir.

Tanım 9.2. Fonksiyonun ekstremumu Ve = F(X 1 , X 2 , ... , xn), argümanlarının olması koşuluyla bulundu X 1 , X 2 , ... , xn j 1 denklemlerini karşılayın ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, burada P ( X 1 , X 2 , ... , xn) veya D( F), isminde koşullu ekstremum .

Denklemler j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., M, denir bağlantı denklemleri.

Fonksiyonlara bakalım z = f(X,sen) iki değişken. Bağlantı denklemi bir ise, yani. o zaman koşullu bir ekstremum bulmak, ekstremumun fonksiyonun tanım alanının tamamında değil, D('de yer alan bir eğri üzerinde arandığı anlamına gelir. F) (yani aranan yüzeyin en yüksek veya en alçak noktaları değildir. z = f(X,sen) ve bu yüzeyin silindirle kesişme noktaları arasındaki en yüksek veya en alçak noktalar, Şekil 5).

Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(X,senİki değişkenin ) değeri aşağıdaki şekilde bulunabilir ( eleme yöntemi). Denklemden, değişkenlerden birini diğerinin fonksiyonu olarak ifade edin (örneğin, write ) ve değişkenin bu değerini fonksiyonda değiştirerek, ikincisini bir değişkenin fonksiyonu olarak yazın (dikkate alınan durumda) ). Bir değişkenin sonuç fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

Çok değişkenli fonksiyonların ekstremumları. Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Bir ekstremum için yeterli koşul. Koşullu ekstremum. Lagrange çarpan yöntemi. En büyük ve en küçük değerleri bulma.

Ders 5.

Tanım 5.1. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde maksimum nokta işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) > f(x,y) tüm noktalar için (x, y) M 0.

Tanım 5.2. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde minimum puan işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) < f(x,y) tüm noktalar için (x, y) bir noktanın mahallesinden M 0.

Not 1. Maksimum ve minimum noktalar denir ekstrem noktalarçeşitli değişkenlerin fonksiyonları.

Açıklama 2. Herhangi sayıda değişkenli bir fonksiyonun ekstrem noktası benzer şekilde belirlenir.

Teorem 5.1(bir ekstremum için gerekli koşullar). Eğer M 0 (x 0, y 0)– fonksiyonun ekstrem noktası z = f(x,y), o zaman bu noktada bu fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri sıfıra eşittir veya yoktur.

Kanıt.

Değişkenin değerini sabitleyelim en, sayma y = y 0. Daha sonra fonksiyon f (x, y 0) bir değişkenin fonksiyonu olacak X, bunun için x = x 0 ekstrem noktadır. Dolayısıyla Fermat teoremine göre ya yoktur. Aynı ifade benzer şekilde için de kanıtlanmıştır.

Tanım 5.3.Çok değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesine ait, fonksiyonun kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. sabit noktalar bu fonksiyon.

Yorum. Bu nedenle, uç noktaya yalnızca sabit noktalarda ulaşılabilir, ancak bunların her birinde gözlemlenmesi zorunlu değildir.

Teorem 5.2(bir ekstremum için yeterli koşullar). Noktanın bir mahallesine izin ver M 0 (x 0, y 0) fonksiyonun durağan noktası olan z = f(x,y), bu fonksiyonun 3. dereceye kadar sürekli kısmi türevleri vardır. O halde şunu belirtelim:

1) f(x,y)şu noktada var M 0 maksimum eğer AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x,y)şu noktada var M 0 minimum eğer AC-B² > 0, A > 0;

3) Kritik noktada hiçbir ekstremum yoksa AC-B² < 0;

4) eğer AC-B² = 0, daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.

Kanıt.

Fonksiyonun ikinci dereceden Taylor formülünü yazalım. f(x,y), Durağan bir noktada birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğunu hatırlayarak:

Nerede Segment arasındaki açı ise M 0 M, Nerede M (x0 +Δ x, y 0 +Δ en) ve O ekseni Xφ'yi belirtin, ardından Δ x =Δ ρ çünkü φ, Δ y =Δρsinφ. Bu durumda Taylor formülü şu şekli alacaktır: . O halde parantez içindeki ifadeyi şu şekilde bölüp çarpabiliriz: A. Şunu elde ederiz:

Şimdi dört olası durumu ele alalım:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и yeterince küçük Δρ'da. Bu nedenle bazı mahallelerde M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ e)< f (x 0, y 0) yani M 0– maksimum nokta.

2) izin ver AC-B² > 0, bir > 0. Daha sonra , Ve M 0– minimum puan.

3) İzin ver AC-B² < 0, A> 0. φ = 0 ışını boyunca argümanların artışını düşünün. Daha sonra (5.1)'den şu sonuç çıkar: yani bu ışın boyunca hareket ederken fonksiyon artar. Eğer tg olacak şekilde bir ışın boyunca hareket edersek φ 0 = -A/B, O bu nedenle bu ışın boyunca hareket ederken fonksiyon azalır. Yani, dönem M 0 bir ekstrem nokta değildir.

3`) Ne zaman AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

öncekine benzer.

3``) Eğer AC-B² < 0, A= 0 ise . Aynı zamanda. O halde yeterince küçük φ için 2 ifadesi Bçünküφ + C sinφ 2'ye yakın İÇİNDE yani sabit bir işareti korur, ancak sinφ noktanın yakınında işaret değiştirir M 0. Bu, fonksiyonun artışının sabit bir noktanın yakınında işaret değiştirdiği anlamına gelir; bu nedenle bu bir uç nokta değildir.

4) Eğer AC-B² = 0 ve , yani artışın işareti 2α 0'ın işaretiyle belirlenir. Aynı zamanda, bir ekstremumun varlığı sorusunu açıklığa kavuşturmak için daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.

Örnek. Fonksiyonun ekstremum noktalarını bulalım z = x² - 2 xy + 2sen² + 2 X. Durağan noktaları bulmak için sistemi çözüyoruz . Yani durağan nokta (-2,-1)'dir. Aynı zamanda bir = 2, İÇİNDE = -2, İLE= 4. Sonra AC-B² = 4 > 0 olduğundan, sabit bir noktada bir uç noktaya, yani minimuma ulaşılır (çünkü A > 0).

Tanım 5.4. Eğer fonksiyon bağımsız değişkenleri ise f (x 1 , x 2 ,…, x n) formdaki ek koşullara tabidir M denklemler ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,φ2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri olduğu durumda, denklemler (5.2) çağrılır bağlantı denklemleri.

Tanım 5.5. Fonksiyonun ekstremumu f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (5.2) karşılandığında buna denir. koşullu ekstremum.

Yorum. İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumunun aşağıdaki geometrik yorumunu sunabiliriz: fonksiyonun argümanları f(x,y)φ denklemiyle ilişkilidir (x,y)= 0, O düzleminde bir eğri tanımlıyor xy. Bu eğrinin her noktasından O düzlemine dik açıların yeniden oluşturulması xy yüzeyle kesişene kadar z = f(x,y),φ eğrisinin üzerindeki yüzeyde uzanan uzamsal bir eğri elde ederiz (x,y)= 0. Görev, sonuçta ortaya çıkan eğrinin uç noktalarını bulmaktır; bunlar elbette genel durumda fonksiyonun koşulsuz uç noktalarıyla çakışmaz. f(x,y).

İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu için gerekli koşulları öncelikle aşağıdaki tanımı tanıtarak belirleyelim:

Tanım 5.6.İşlev L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Nerede λi – bazıları sabittir, denir Lagrange işlevi ve sayılar λi– belirsiz Lagrange çarpanları.

Teorem 5.3(koşullu bir ekstremum için gerekli koşullar). Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(x,y) birleştirme denkleminin varlığında φ ( x, y)= 0'a yalnızca Lagrange fonksiyonunun sabit noktalarında ulaşılabilir L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Kanıt. Bağlantı denklemi örtülü bir bağımlılığı belirtir en itibaren X, bu nedenle şunu varsayacağız: en bir fonksiyon var X: y = y(x). Daha sonra z karmaşık bir fonksiyon var X ve kritik noktaları duruma göre belirlenir: . (5.4) Bağlantı denkleminden şu sonuç çıkar: . (5.5)

Eşitliği (5.5) bir λ sayısıyla çarpıp (5.4) ile toplayalım. Şunu elde ederiz:

, veya .

Son eşitlik sabit noktalarda sağlanmalıdır ve bundan şu sonuç çıkar:

(5.6)

Üç bilinmeyen için üç denklemden oluşan bir sistem elde edilir: x, y ve λ ve ilk iki denklem Lagrange fonksiyonunun durağan noktasının koşullarıdır. Yardımcı bilinmeyen λ'yı sistemden (5.6) çıkararak, orijinal fonksiyonun koşullu bir ekstrema sahip olabileceği noktaların koordinatlarını buluruz.

Açıklama 1. Bulunan noktada koşullu bir ekstremun varlığı, Lagrange fonksiyonunun ikinci dereceden kısmi türevlerinin Teorem 5.2'ye benzetilerek incelenmesiyle kontrol edilebilir.

Açıklama 2. Fonksiyonun koşullu uç noktasına ulaşılabilecek noktalar f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (5.2) karşılandığında sistemin çözümleri olarak tanımlanabilir. (5.7)

Örnek. Fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulalım z = xy buna göre x + y= 1. Lagrange fonksiyonunu oluşturalım L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) şuna benzer:

Burada -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Aynı zamanda L(x,y)şeklinde temsil edilebilir L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, dolayısıyla bulunan sabit noktada L(x,y) bir maksimumu vardır ve z = xy – koşullu maksimum